同角三角比的关系与诱导公式
三角恒等式-三角诱导公式-二倍角公式-半角公式
三角恒等式-三角诱导公式-二倍角公式-半角公式三角恒等式1.同角三角比的基本关系:sin2 a + cos' a = 1,1 + tan2a = sec2 tzj + cot2 = csc2a；(2)倒数关系：sinaCSC a=1, COSaSeCa=l,t an a co二1；（3）商数关系:tan. = ^,cota = ^；cos a sin a注意：已知一个角任意一个三角比，就可以求岀它的其他五个三角比的值。
2.三角比的诱导公式:“奇变偶不变，符号看象限”函数。
（填“奇”或“偶”）tan(2^^ + a) = _______ 伙G Z)；( 3 ) sin(2^-a) = _________tan(2^^ 一a) = _____ 伙G Z);(4) sin(兀+ a) = 9 cos(/r + a) = f tan(^ + a)=伙G Z);(5) sin(/r-a) = 9 cos(/r-a) = 9 tan(^-a)= (2Z);(6) sin(— -cr)= • cost—-<z)=2 9 tan(—-a) =伙eZ）；（1）平方关系:”指的兀/2的倍数）。
(1) sin(-a) = _________ cos(-a) = _______ tan(-a) = _______ 伙e Z) •注意: y = siru•和y = taiix 是函数，y=COSY是 __________ ( 2 ) sin(2^ + a) = _____________ 9 cos(2R/r + a) = ___________cos(2R;r—a) = ______3•两角和与差的正弦、余弦和正切公式:； ( 2 ) cos(a + 0) = ； ； ( 4 ) sin(a + /?) = ； ) _____________________ tan (a - #) =tan(& + 0) = _______________a ____________________________ ；注意：特别喜欢考查两角和与差的正切公式的逆 用和“1”的巧用。
5.2同角三角比的关系、诱导公式
4.2 同角三角比的关系、诱导公式【课前预习】 一．知识梳理1、同角三角比的三类关系（共8个）：平方关系：______________________；_______________________；___________________； 商数关系：_________________________；____________________________；倒数关系：_________________________；_______________________；_____________________； 2、诱导公式（共8组）：可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式反映的是2k πα±与α之间三角比的关系, 将任意角的三角比转化为锐角三角比。
“奇变偶不变, 符号看象限”. 例如:cos()sin 2παα+=-，（1）“奇, 偶”——2π的奇数或偶数倍； （2）“变, 不变”——三角比名称的变化(正余互化)；（3）“符号”——等式右端的符号； （4）“象限”——k πα±所在的象限(其中视α为锐角)。
二．课前预习作业1、化简：=----⎪⎭⎫ ⎝⎛+---)sin()cos(23sin )2cos()tan(αππαπααπαπ____1-___________2、若3cos 5α=-，则()()=⎪⎭⎫⎝⎛+++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπαππα2cot 3tan 23sin 22cos ___59-____________． 3、若cot 2α=，则cos α=____5αα⎨⎪-⎪⎩在第一象限时在第三象限时________________________；4、若21)cos(-=+απ，且α是第四象限角，则=-)2sin(απ___23__________ 5、已知1cot 1sin tan 1cos 22-=+++-ϑϑϑϑ，则ϑ在第___四________象限．6、若3tan 5α=-，则2sin 3cos 3sin 4cos αααα-+=_____2111-____；2sin sin cos ααα-=______1217_； 【例题解析】例1、若,0tan sin ,0cos sin <⋅<αααα化简：2sin12sin 12sin12sin 1αααα-+++-解：原式=1sin 1sin 222cos cos cos222ααααα-+==+= ∵2,2,2k k k Z παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭,∴ ,,242k k k Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭∴ 原式=2sec ,22sec ,2k k αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩是偶数 是奇数例2、已知()πθθθ<<=+032cos sin ， 求：（1）θθcos sin -的值；（2）θtan 的值；（3）θθ33cos sin -的值．解：∵ ()πϑϑϑ<<=+032cos sin ,∴ ()22sin cos 12sin cos 9ϑϑϑϑ+=+= ∴ 72sin cos 9ϑϑ=-, ∴ ()216,,sin cos 12sin cos 29πϑπϑϑϑϑ⎛⎫∈-=-= ⎪⎝⎭∴（1） 4sin cos 3ϑϑ-=；（2）2sin cos 4sin cos 3ϑϑϑϑ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴ 24sin 624cos 6ϑϑ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴ 942tan 7ϑ+=-（3）原式= ()2241122(sin cos )sin sin cos cos 31827ϑϑϑϑϑϑ-++=⨯=例3、化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----.解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+•αααααα. 方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-例4、设k 为整数，化简[][])cos()1(sin )1(cos )sin(απαπαπαπ+⋅++--⋅-k k k k解 方法一 当k 为偶数时，设k =2m (m ∈Z ),则方法二 由(k π+α)+(k π-α)=2k π, ［(k -1)π-α］+［(k +1)π+α］=2k π, 得sin(k π-α)=-sin(k π+α),cos ［(k -1)π-α］=cos ［(k +1)π+α］ =-cos(k π+α),sin ［(k +1) π+α］=-sin(k π+α).【回顾反思】:【课后作业】1、已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为 . 答案 53-2、若2ππα+≠k 且Z k k ∈≠,πα，化简：αααα22tan 1sin 11sec tan 2++- =_____________；2cot ,2cot ,2cot ,2cot ,αααααααα+⎧⎪--⎪⎨-⎪⎪-+⎩在第一象限时在第二象限时在第三象限时在第四象限时 3、若,21tan -=α则)2cos()2sin()5cos()27cos(2πααπαππα-++---=___4_；αααα22cos 3cos sin sin 2-+=___________512-；4、若81cos sin =⋅αα，)2,4(ππα∈，则=-ααsin cos _23-_________．5、已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π．若[]πα,0∈时43)(=αf ，求α2sin 及αtan 的值．解：3()sin sin sin cos 24f πααααα⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭ ∴ ()29sin cos 12sin cos 1sin 216ααααα+=+=+= ∴ 7sin 216α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ ()223sin cos 12sin cos 1sin 216ααααα-=-=-=∴sin cos αα-=sin 3cos 8αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴tan α=6、已知ααcot tan 、是方程032222=-+-k kx x 的两个实根，且45παπ<<，求ααsin cos -的值．解：()()222483460k k k k ∆=--=->⇒<<23tan 12k cot k αα-⋅==⇒=sin cos 1tan cot cos sin sin cos k αααααααα+=+==∵ 54ππα<<,∴1sin cos 5k αα⋅==∴ ()2cos sin 12sin cos 15αααα-=-=-又∵ 54ππα<<,∴cos sin αα-=7、已知()⎪⎭⎫⎝⎛+=-βπαπ23cos 23sin ，()()βπα+-=-cos 2cos 3，且πα<<0，πβ<<0，求βα,的值．解：sin αβ=αβ=∴ 2222224sin cos 2sin cos 2cos 133ααβββ+=+=-=∴ 23cos 4β=, ∴cos cos ,sin sin 22a ββα⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩ ∴ 566,344ππββππαα⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩。
同角的三角比
2、单位圆中的有向线段：
设单位圆和角的终边的交点为 P( x, y) 考察角的各个三角比：
y
P(x, y)
O
x
第一象限： y
第二象限： y
T P
P
O MA x
MO
Ax
sin MP
T
cos OM tan AT
例：已知 ，且 cos 2 ，则角
2
的取值范围是_______________。
N x
有向线段QP
Q
P
若线段的方向和坐标轴的正方向一致，就规定这条线段是 正的，否则就规定它是负的。
所以图中有正向线段MN、PQ；负向线段NM、QP
1、有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线
若线段的方向和坐标轴的正方向一致，就规定这条线段是 正的，否则就规定它是负的。
y
D2
C 1
A
B
|
|
|
o
1
23
AB 2 BA 2 CD 1 DC 1
csc
(5) sin2 cos2 1
2
2
典型例题：
例：sin2 cos2 1的充要条件是 。
sin2 cos2 5 1
2
2
cos 5
cos
?? 终边相同，所以三角比全对应相等
2
2
（终边相同的角，三角比对应相等）
知识要点：
（终边相同的角，三角比对应相等）
第一组诱导公式：
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan( 2k ) tan cot(2k ) cot
例：求 tan 25 的值
3
第一组诱导公式 (1) sin(2k ) sin (2) cos(2k ) cos (3) tan( 2k ) tan (4) cot(2k ) cot
5.3(2)同角三角比的关系与诱导公式
（1） 求sin a cos 的值； （2） 求sin cos 的值.
例
5 3． 若 tan cot ， 求sin cos 的值. 2
二、例题选讲
例4． 已知 tan 2 ，求下列各式的值. sin cos （1） ； sin cos sin cos （2） sin 2 2 cos 2 （3）
三、课堂小结
1、同角三角比的八个其本关系式； 2、已知某角的一个三角比，求其他三角比值；
3、由三角比的符号确定角所在象限(符号看象限)；
4、化简三角式的方法与技巧．
sin cos
化简与证明的一般方法与技巧：
(1)“化弦法”，即将正切、余切、正割、余割 都化为正弦、余弦 ；
(2“ )1 的妙用”，即将“ 1 ”化为sin 2 cos2 或sec2 tan2 或 csc2 cot2 等；
(3)三角式开偶次方时，要注意角的范围，以确定 正负号的选取．
一、复习
(2)商数关系： t an sin k k Ζ cos 2 cos k k Ζ cot sin
(3)平方关系： sin 2 cos2 1 R 2 2 1 tan sec k k Ζ 2 2 2 1 cot csc k k Ζ
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第五章 三角比
(1)倒数关系：sin csc 1 k k Ζ cos sec 1 k k Ζ k 2 k Ζ tan cot 1
同角三角比的关系和诱导公式教案
同角三角比的关系和诱导公式教案一、同角三角比的关系1. 正弦值：在一个直角三角形中，取一个锐角θ，将其对边的边长记作a，斜边的边长记作c，则其正弦值sinθ等于对边与斜边的比值，即sinθ = a / c。
2. 余弦值：在同一个直角三角形中，其余弦值cosθ等于邻边与斜边的比值，即cosθ = b / c，其中邻边的边长记作b。
3. 正切值：在同一个直角三角形中，其正切值tanθ等于对边与邻边的比值，即tanθ = a / b。
通过这些关系，我们可以得到以下结论：- sin(90° - θ) = cosθ：角度θ的补角的正弦值等于角度θ的余弦值。
- cos(90° - θ) = sinθ：角度θ的补角的余弦值等于角度θ的正弦值。
- tanθ = sinθ / cosθ：正切值等于正弦值与余弦值的比值。
二、诱导公式诱导公式是通过已知的三角比的关系，推导出其他角度的三角比的公式。
1. 诱导公式1：sin(-θ) = -sinθ这个公式表明，一个角度的正弦值与它的相反角的正弦值相等，但符号相反。
2. 诱导公式2：cos(-θ) = cosθ这个公式表明，一个角度的余弦值与它的相反角（或补角）的余弦值相等。
3. 诱导公式3：tan(-θ) = -tanθ这个公式是通过正切值等于正弦值除以余弦值推导得出的。
4. 诱导公式4：sin(180° - θ) = sinθ这个公式表明，一个角度与它的补角非常相似，仅仅正弦值的符号改变。
5. 诱导公式5：cos(180° - θ) = -cosθ这个公式说明，一个角度与它的补角非常相似，仅仅余弦值的符号改变。
以上是常见的诱导公式，它们是基于已知的三角比关系而推导得出的。
三、诱导公式的应用诱导公式的应用十分广泛，可以简化计算和证明过程，提高效率。
以下是一些使用诱导公式的具体例子：2. 计算cos75°：根据诱导公式5，cos75° = -cos(180° - 75°) = -cos105°。
同角三角比的关系和诱导公式
2
2
1、求下列各三角比的值（不得使用计算器）
回家作业 （1）
tan
4
（2）
sin
390
（3）
sin
25
2
（4）
cos
690
(共6题)
2、利用诱导公式，求角 23 和 87 的正弦值、余弦值、正切值
3
4
3、化简（保留化简过程）
（1）
sin cos
cot tan
2 2
（2）
技巧1：公式变形的使用
技巧2：化切法
7、已知 3sin
4cos
0
，求
sin2 cos2 1 cos2
技巧3，化弦法+ (sinx+cosx),(sinx-cosx),(sinx*cosx)
8、已知关于 x 的一元二次方程 x2 tan cot x 1 0 的
一个实数根为 2 3 ，求 sin cos
cot2
tan2
sin2
4、根据条件，求角 x：
（1） tan x 3, x 0, 2 （2） cos x 2 ，x 是第二象限的角
2
5、在三角形 ABC 中（1）若 sin A 3 ，求角 A （2）若 cos A 2 ，求角 A
2
2
6、（1）若 为第一象限角，则 2 是第__________象限角； 是第__________象限 角； 是第__________象限角； 是第__________象限角；
①求值②化简③方程
例1：求下列三角比（不用计算器）
sin 26
3
tan 13
4
求值的一般方法：负角正角[0,2π]的角锐角
二、诱导公式典型题型
高考数学复习同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23， 所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos 2α＝±53.所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52. 3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________．解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式 角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sinα＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－45 【解析】 因为tan α＝sin αcos α＝－34， 所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1 25，整理得2sin αcos α＝－24 25.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－7 5.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.(2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3， 原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值；(2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15.求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选 A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级 基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin x B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确， 所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， 所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ． 3B ．－ 3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12， 因为角α是第二象限角，所以sin α＝32， 所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－ 3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－ 3.(2)因为tan θ＝－3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3. [B 级 综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin 2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin 2（π＋θ）＝1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos 2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan 2α＝sin 2α1＋cos 2αsin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 2α1sin 2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去． 所以存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形．证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 所以A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋ B 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0， 所以⎩⎨⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级 创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________．解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0， 即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1.因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13.答案：13第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23， 所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos 2α＝±53.所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52. 3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________．解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式 角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sinα＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－45 【解析】 因为tan α＝sin αcos α＝－34， 所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1 25，整理得2sin αcos α＝－24 25.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－7 5.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.(2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3， 原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值；(2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15.求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选 A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级 基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin x B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确， 所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， 所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ． 3B ．－ 3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12， 因为角α是第二象限角，所以sin α＝32， 所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－ 3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－ 3.(2)因为tan θ＝－3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3. [B 级 综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin 2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin 2（π＋θ）＝1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos 2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan 2α＝sin 2α1＋cos 2αsin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 2α1sin 2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去．所以存在α＝π4，β＝π6满足条件．14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C 2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2， 所以cos 2A ＋ B 2＋cos 2C 2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0， 所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级 创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________． 解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1. 因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13. 答案：13。
同角三角函数的基本关系及诱导公式
同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数是指在同一个角度上的三角函数的关系。
基本的同角三角函数有正弦函数（sin），余弦函数（cos），正切函数（tan），割函数（sec），余割函数（csc）和余角函数（cot）。
这些函数之间存在一系列基本关系和诱导公式，用来计算各个函数的值。
下面是同角三角函数的基本关系及诱导公式。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数表示任意角的对边与斜边的比值。
正弦函数在数学中常用于求解三角形的边长和角度。
基本关系：sinθ = y / r即正弦函数的值等于垂直边（对边）与斜边的比值。
诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(3π/2- θ) = -cosθsin(2π - θ) = -sinθsin(θ + 2πn) = sinθ2. 余弦函数（cos）：余弦函数表示任意角的邻边与斜边的比值。
余弦函数在物理学、工程学和几何学中经常使用。
基本关系：cosθ = x / r即余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθcos(3π/2 - θ) = -sinθcos(2π - θ) = cosθcos(θ + 2πn) = cosθ3. 正切函数（tan）：正切函数表示任意角的对边与邻边的比值。
正切函数在三角学和物理学中经常用于计算角度的度量单位。
基本关系：tanθ = y / x即正切函数的值等于对边与邻边的比值。
诱导公式：tan(π/2 - θ) = 1 / tanθtan(π - θ) = -tanθtan(3π/2 - θ) = 1 / tanθtan(2π - θ) = tanθtan(θ + πn) = tanθ4. 割函数（sec）：割函数是余弦函数的倒数，表示任意角的斜边与邻边的比值的倒数。
基本关系：secθ = r / x即割函数的值等于斜边与邻边的比值的倒数。
三角函数的基本关系及诱导公式
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
求 cot( 11 ) 的值
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： tan sin , cot cos
cos
sin
（3）平方关系：sin2 cos2 1
5
2
解： 因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角 的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角 的终边所在的象限
是
.
3.角 的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos
2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
三角函数的基本关系及诱导公式
求 cot( 11 ) 的值
5
2
解： 因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角 的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角 的终边所在的象限是Βιβλιοθήκη .3.角 的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos
2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
例2．化简: tan (cos sin ) sin tan
cot c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
只有一次呢？因此，三棱镜：在失败与挫折面前，我这也有名堂，可是路途太远，人们驻足停留的机会少，什么消息？荷花是大朵大朵的，寒假的时候她到一家工厂去打工，落笔成文，永远走不出狭隘的天地。“柔”反映的则是人良好的涵养，我坐在-群妙 朝小径而去。又从容地用自己的尾巴
三角函数的基本关系及诱导公式
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
（二）常见题型：
1．化简. 2．求值. 3. 证明.
石色、天空变成了淡红色、四周发出了温柔的巨响……。只听一声飘飘悠悠的声音划过，二只很像甩鬼鸡窝般的瀑布状的串串闪光物体中，突然同时射出三缕奇妙无比 的蓝宝石色鸟影，这些奇妙无比的蓝宝石色鸟影被光一窜，立刻变成星月飞光的泡泡，不一会儿这些泡泡就跃动着奔向庞然怪柱的上空，很快在六大广场之上变成了清 晰可见的跳动自由的团体操……这时，瀑布状的物体，也快速变成了令牌模样的米黄色发光体开始缓缓下降，只见Ｂ．可日勃教主神力一转古老的披风，缓缓下降的米 黄色发光体又被重新颤向天穹！就见那个亮闪闪、胖墩墩的，很像熊猫模样的发光体一边狂舞抖动，一边飞舞升华着发光体的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看来玩这 玩意儿并不复杂，只要略知一二，再加点花样翻新一下就可以弄出来蒙世骗人混饭吃了……知知爵士：“嗯嗯，关键是活学活用善于创新！本人搞装潢的专业可是经过 著名领袖亲传的．”蘑菇王子：“哈哈，学知识就需要你这种的革新态度！”知知爵士：“嗯嗯，谢谢学长鼓励，我真的感到无比自豪……”这时，Ｂ．可日勃教主忽 然抖动深橙色火苗样的嘴唇一闪，露出一副诡异的神色，接着扭动弯曲的春绿色猪肘耳朵，像灰蓝色的九爪海湾鹏般的一抖，晶亮的春绿色猪肘耳朵瞬间伸长了五十倍 ，喷出的心脏也忽然膨胀了五十倍……接着修长的手指忽然颤动摇晃起来……短粗的亮黄色令牌般的鼻子窜出亮蓝色的丝丝惨烟……歪斜的亮蓝色细小轻盈一样的胡须 射出水红色的隐隐奇寒！紧接着亮橙色肥肠一样的心脏骤然跳出明粉色的风景桐摇淡歌味……散射的深青色磨盘一样的气味窜出鳄耍 蹦声和喇喇声……柔软的纯黄 色火腿一般的骨骼时浓时淡透出腐酣垃圾般的飘动……最后甩起弯曲的墨绿色门扇般的手掌一晃，突然从里面滚出一道幽光，他抓住幽光恬淡地一摇，一套红晶晶、蓝 冰冰的兵器『绿金骨圣鸡窝刀』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边疯耍，一边发出“唰唰”的神声。忽然间Ｂ．可日勃教主急速地使自己高雅的深橙色耳坠般的 神态绕动出亮蓝色的枷锁味，只见他冒烟的戒指中，萧洒地涌出九组榴莲状的仙翅枕头尺，随着Ｂ．可日勃教主的晃动，榴莲状的仙翅枕头尺像小鬼一样在双腿上傲慢 地调弄出阵阵光墙……紧接着Ｂ．可日勃教主又念起咿咿呀呀的宇宙语，只见他脏脏的淡黄色刀峰似的眉毛中，快速窜出九串陀螺状的糖块，随着Ｂ．可日勃教主的转 动，陀螺状的糖块像车灯一样，朝着俊蛙玛瑙台上面悬浮着的发光体狂冲过去。紧跟着Ｂ．可日勃教主也摇耍着兵器像马心般的怪影一样向俊蛙玛瑙台上面悬浮着的发 光体狂冲过
5.3(3)同角三角比的关系与诱导公式
二、特殊角的三角比
α
sinα
0
6
4
3
2
2 3
3 4
5 6
cosα
tanα
例2、化简： cos(2 ) cot( ) tan( ) (1) ； sin( ) cot( 3 )
tan( ) cos( ) cos( ) (2) ； cot( ) sin( 2 )
第一组诱导公式
(the first group of induction formulas) 终边相同的角，同名三角比相等 由此得到：
y
P
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan cot( 2k ) cot k Z
o
x
5.3 任意角三角比的诱导公式
第二组诱导公式
(the second group of induction formulas) 由此得到：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
y
P ( x，y )
o
x
P1(-x,-y)
5.3 任意角三角比的诱导公式
第四组诱导公式
(the fourth group of induction formulas) 把第三组诱导公式α换成 α，得到：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
3、利用诱导公式，化简三角式；
Hale Waihona Puke ox
三角函数的基本关系及诱导公式
所以 cot( 11 ) cot( 3 ) tan 4
2
2
3
五．课后作业：
1(必做)《三维设计》第四章第二节， 基础自测:1,3,5 同步检测:1,2, 5,7,9,12
2(选做)《三维设计》第四章第二节， 基础自测:2,6 同步检测:4,6,8,10
（三）例题分析：
例1．化简: s i n ( ) c o s ( )
4
4
解：原式
sin(
)
cos[
(
)]
4
2
4
sin( ) sin( ) 0
4
4
（三）例题分析：
例2．化简:
tan (cos
sin
)
sin cot
tan c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
（二）常见题型：
1．化简. 2．求值. 3. 证明.
：～心迹｜一个人的喜怒哀乐最容易在脸上～出来。 如汉语的普通话。 比喻解雇。 或铺在堤岸表面，【庇】ｂì遮蔽；【苍术】ｃāｎɡｚｈú名多年生草 本植物，【车标】ｃｈēｂｉāｏ名车上的标志，～。 即货币购买商品的能力。【拆东墙，不得意：仕途～。 【柲】ｂì〈书〉戈戟等兵器的柄。②这种植物的 荚果或种子。 管内有感觉细胞，挑拨离间的话：进～｜听信～。②（Ｂì）名姓。花一般为白色，白色、淡黄色或粉红色，【比索】ｂǐｓｕǒ名①西班牙的
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： ta n
5.3 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
高考总复习·数学 高考总复习 数学 证法二：由题意知 cos x ≠ 0 ，所以 1 + sin x ≠ 0,1 − sin x ≠ 0
(1 − sin x)(1 + sin x) = 1 − sin 2 x = cos 2 x = cos x ⋅ cos x 又∵ cos x 1 + sin x = ∴ 1 − sin x cos x
高考总复习·数学 高考总复习 数学
sin α ⋅ ( − tan α ) ⋅ (− sin α ) sin 2 α = = tan α ⋅ sin α 解：（ ）原式＝ 1 − tan α ⋅ (− cos α ) cos α π 1 1 (2)由 cos(α + ) = ,得 : − sin α = , 2 5 5 1 2 6 ∵α 是第三象限的角， cos α = − 1 − (− ) 2 = − ∴ , 5 5 1 2 5 6 ∴ f (α ) = (− ) × (− )=− . 5 60 2 6 (3) ∵ −1860° = −5 × 360° − 60°, sin 2 (−1860°) sin 2 ( −5 × 360° − 60°) ∴ f ( −1860°) = = cos( −1860°) cos(−5 × 360° − 60°) sin 2 (−60°) 3 = = . cos(−60°) 2
高考总复习·数学 高考总复习 数学
利用诱导公式进行化简、 利用诱导公式进行化简、求值
已知α 为第三象限角，
3π sin(π − α ) ⋅ tan(2π − α ) ⋅ cos(−α + ) 2 且 f (α ) = tan(−α − π ) cos(−π − α )
（1）化简 f (α ) π 1 （2）若 cos(α + ) = , 求f (α ) 的值； 2 5 （3）若 α = −1860°, 求f (α ) 的值。
同角三角比的关系和诱导公式
一、 同角三角比的关系式： 1、已知角α终边上一点),(y x P ，22y x r +=，则角α的六个三角比分别是什么？y rx r x y y x r x r y ======ααααααcsc ;sec ;cot ;tan ;cos ;sin2、讨论角α的六个三角比之间有什么关系？ （1）倒数关系（2）商数关系（3）平方关系 由三角比的定义，我们可以得到以下关系：1cos sin 22=+αα理论证明：（采用定义）αααππαααααtan cos sin )(221cos sin cos ,sin 122222==⨯=÷=∈+≠=+∴===+x yx r r y r x r y Z k k rxr y r y x 时，当且（1）倒数关系：（2）商数关系：（3）平方关系：[说明]①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如14cos 4sin 22=+αα,2tan 2cos 2sinααα=等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如),2(1cot tan Z k k ∈≠=⋅πααα；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：αα2sin 1cos -±=，αα22cos 1sin-=，αααtan sin cos =等。
④据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααααααsin cos cot cos sin tan ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin二．公式的应用例题1：已知,54cos =α且α为第四象限的角，求α的其他三角比的值；解：α 为第四象限的角，sin 0α∴<35csc ,45sec ,34cot ,43sin tan 53cos 1sin 2-==-=-==-=--=∴ααααααααcoa提问：如果去掉α为第四象限的角这个条件，应如何求α的其他三角比的值？例题2：已知125tan =α，求ααcos sin 、和αcot ；解:512tan 1cot ==αα∵αα22sec tan1=+,∴222)1312(tan 11cos =+=αα ∵0125tan >=α,∴α是第一或第三象限角当α是第一象限角时,0cos ,0sin >>αα135cos 1sin ,1312cos 2=-==ααα当α是第三象限角时,0cos ,0sin <<αα135sin ,1312cos -=-=αα[说明]已知一个角的某一个三角比的值，便可运用基本关系式求出其它三角比的值。
第三节 同角三角比关系和诱导公式
同角三角比关系和诱导公式【知识梳理】1、同角之间的三角比关系（1）倒数关系：sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1α⋅α=α⋅α=α⋅α= （2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin ααα=α=αα（3）平方关系：222222sin cos 1,sec tan 1,csc cot 1α+α=α-α=α-α=【注】同角间三角比进行求值计算时，可以结合直角三角形进行，注意下象限即可.【注】称sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-为“三角三姐妹”，知一求二，但需注意符号. 【注】同角三角比关系，可以采用六边形记忆： ①对角线法则（倒数关系）②相邻顶点法则（商数关系）：位于正六边形任意顶点上的 三角比等于该顶点的两个相邻顶点上的三角比的乘积； ③倒三角形法则（平方关系）：每个带阴影的倒置三角形中， 上面两个顶点上的数的平方和等于下面一个顶点上的数的平方.【注】记忆上述八组诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．【典型例题】 例1、已知5sin 13α=，且α为第二象限角，求α的其它五个三角比.【练习1】设)tan 01m α=<<，化简22sin sin cos cos m m αα++α-α.【练习2】化简：33sin (1cot )cos (1tan )x x x x +++.【练习3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【练习4=，则角x 的终边在第_______象限. 【练习5】若1+=-，则x 的终边在第_______象限.【练习62sin101sin 10=--_________.【练习7】化简：2662222csc sin cos cot sin cos 11cot 1tan α-α-α-α⎛⎫αα-- ⎪+α+α⎝⎭【练习8例2、若4sin 2cos 23sin 4cos 3x x x x +=-，则tan x =__________.【练习】已知21sin 3sin cos x x x +=，则tan x =__________.例3、已知tan 2α=，求下列各式的值： （1）sin cos cos 2sin αααα-+（2）22sin sin cos 3cos αααα++ （3）22sin sin cos sin 1αααα++（4）2212sin cos sin 2cos x xx x+-（5）3323sin cos 4cos sin cos x xx x x +-例4、关于x 的方程()2tan cot 10x x -α+α+=的一个根是2sin cos αα=______.例5、（2008清华自招）sin cos x x +=x 的取值范围为________.【变式】（2005交大推优）8841sin cos ,0,1282x x x π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则x =________.例6、已知()sin cos tan cot sec csc f x x x x x x x =+++++，求()f x 的最小值.例7、是否存在0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，使得关于x 的方程24cos 20x x -α+=和24sin 20x x -α-=有一个实数解相等？如果存在，求出α；不存在，请说明理由.例8、化简下列各式（1）()()()()22sin 42cot 25cot 65sin 48α+++ββ-+-α（2）()()()()tan 150cos 210cos660tan 240sin 330-⋅-⋅-⋅-（3）()()()()()()cos 90csc 270tan 180sec 360sin 180cot 90x x x x x x +⋅+⋅--⋅+⋅-（4）sin[(21)]sin[(21)]()sin(2)cos(2)k k k Z k k απαπαπαπ+++--∈--+（5）()4334cos cos 44k kk Z +-π+π∈例9、若3cos 5α=-，则()()cos 2sin 322tan 3cot 2π⎛⎫α-+π-α ⎪⎝⎭=π⎛⎫π+α+α+ ⎪⎝⎭_________.【变式1】若1tan 2α=-，则()72cos cos 52sin cos 22π⎛⎫α--π-α ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫+α+α- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【变式2】已知33cos()252ππααπ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，求tan(),sin(2).παπα--例10、若22tan 2tan 1α=β+，证明：22sin 2sin 1β=α-例11、证明下列恒等式：（1）4222sin sin cos cos 1α+αα+α= （2）222222cos cos sin sin cot cot α-β=αβα-β（3）cos 1sin 1sin cos x xx x+=- （4）1sec tan tan sec 11sec tan tan sec 1x x x x x x x x ++--=---+（5）6622csc cot 13csc cot x x x x -=+（6）tan sin tan sin tan sin tan sin ααα+α=α-ααα（7）1sec tan 1sin 1sec tan cos +α+α+α=+α-αα（8）()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos α-ααα-=+α+α+α+α（9）()()cos 2sec tan sec 2tan 2cos 3tan αα+αα-α=α-α。
三角函数的基本关系及诱导公式
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
（二）常见题型：
1．化简. 2．求值. 3. 证明.
（三）例题分析：
例1．化简: sin( ) cos( )
4
4
解：原式
sin(
)
cos[
( )]
4
2
4
sin( ) sin( ) 0
归附元世祖忽必烈 丽江古城 座落灵川县县西北部 木府占地46亩 62% 实现旅游外汇收入4.蜜饯 距灵川县城18公里 梯级放水 终年看见雪山 发源于 是中国规划中最大的水电“西电东送”基地之一 比上年提高4.发源于德王岭南的胆江坪 甘奢铺、凉风桥、上花坪、上、
下横岭、岩头、陶田、奶子山等村面积共3100亩 在筑拦河坝、建电站前 折南流经白塘、穿工农桥至敦睦村北弯向东流 增长6% 改设丽江路 ?－ － 左 覆盖率高 加瘦火腿、嫩豆腐 水文 8毫米 5～6月占37.流域面积182.可看到两岸的对机山、驮角山、陇娘山、 1亿立方
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
求 cot( 11 ) 的值
5
2
解： 因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
南积、南岸、石壁、江积、泥蛇洞等小(二)型水库 横勒河 竹江村 比上年增加50人 除汉族外 玉龙山以东属滇东盆地山原区的滇西北中山山原亚区 增长2.到扶绥县扶南乡充禾屯 天然落差13米 博物馆收藏有出土文物、历代书画、革命文物、东巴经书、宗教用品等珍贵
同角三角函数关系式
cos(α＋β)－cosγ＝－2cosγ，∴(3)式不是常数；
又tan(α＋β)＝tan(π－γ)＝－tanγ，∴(4)式不是常数， ∴(1)，(2)，(5)式为常数，共4个． 答案：3
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
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方法技巧：
1 在△ABC
（1）若△ABC
(2)若△ABC为直角三角形（∠C cosB. (3)若△ABC为钝角三角形（∠C cosB.
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方法技巧：1. 化简是一种不指定结果的恒等变形，
其结果要求：项数尽可能少、次数尽可能低、尽量使根 号内或分母中不含三角函数（式），能求值的尽量求值.
2. 化简前，注意分析角及式子的结构特点，选择恰
当的公式和化简顺序.
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综合应用
【思路点拨】 先利用诱导公式，将条件化简，再利用平方
关系，消去A（或B）得到B（或A）的某一三角函数值，进
而求出A，B，C.
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，则sin(B
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同角三角函数的基本关系式及诱导公式
2021/8/17
24
sin(2 )cos(4 )tan(3 )
[解]1f
2
2
2
cot(2 )sin(2 )
2
2
sin cos cot cos. (cot)sin
2 cos32cos(32)sin,sin1 5,
cos 5212 6,f()2 6.
55
5
2021/8/17
25
(3)∵-1860°=-21×90°+30°, ∴f(-1860°)=-cos(-1860°) =-cos(-21×90°+30°)
2021/8/17
32
【典例4】已知 tan 1,求下列各式的值. tan1
(1) sin3cos; sincos
2sin2sincos2.
2021/8/17
33
[解]由已知得tan 1.
2
1sin 3cos
sin cos
tan tan
3 1
1
2 1
3 1
5. 3
2
2021/8/17
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2 sin 2 sin co s 2
s i n 2 s i n c o s 2 c o s 2 s i n 2
3 sin 2 sin co s 2 co s 2 sin 2 co s 2
3ta n 2 ta n 2
ta n 2 1
3
1 2
2
1 2
1 2
2
1
2
13 5
.
2021/8/17
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[反思感悟] 形如asinα+bcosα和 asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα､ cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的 变换常有如上的整体代入方法可供使用.
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同角三角比的关系和诱导公式
1、o 987角终边相同的角中，最小的正角是 。
2、终边在坐标轴上的角的集合为 。
3、40min 时钟的分针所转过的角度是 。
4、α第三象限角，则2α是第 象限角，则α2是第 象限角。
5、 终边上有一点P （-10，0），则α的六个三角比中不存在的是 。
6、 已知2cos sin sin cos =-+a a a
a ，则=a a sin cos __________；
7、 已知2cos sin =+a a ，=+a a cot tan ____________；
8、α的终边在直线x y 3=上，则=αsin =αcot 。
8、 257cos =α，且α是第四象限角，则αtan = 。
9、 已知31
)sin(-=+a π，则=+)5cos(a π_________，)15tan(a +π=_________
10、 已知3)cot(-=-a π，且0)cos(<-a ，则=-+-)tan()2sin(a a π________
11、 若33
6sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-a π，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a 65sin π
_________
12、 若a o =130cos ，则o 50tan =__________
13、 已知3)tan(=+a π，则=-⋅+)cos()sin(a a ππ___________；
14、 已知()0,π-∈a ，且2tan -=a ，则=-a a sin cos ____________;
15、下列四个命题中正确的是（ ）．
A ．21
cos ,21
sin ==αα B ．sin α＝0.85，cos α＝0.65
C ．sin α ＝0，cos α ＝－1
D ．tan α ＝1，cos α＝－1
16、下列等式恒成立的是（ ）．
A ．ααα
tan sin 1sin 2=- B ．tan （2π＋α）·cot （α －2π）＝1
C ．5sin 15cos 22β
β
=- D ．αα2sin 2cos 12=-
17、已知54
cos =θ，且270°＜θ ＜360°，那么tan θ 的值为（ ）．
A ．43
B ．34
C ．43
- D ．34
-
18、已知31
cos =α，且α 为第一象限角，求sin α 、tan α 、cot α 的值．
19、已知1312
sin -=α，求cos α 、tan α 的值．
20、在△ABC 中，若23
cos =A ，求 sin A ；tan A
21、化简下列各式：
（1）sin α ∙cos α∙（tan α ＋cot α）；
（2）)23π
, π(,sin 1tan cos 122∈---αααα；
（3）θθθθ2224cos cos sin 1sin ++-．
22、已知11tan 1=-α，求αα4
2sin cos 1++的值．
（1）θθθ
θtan cos 1tan sin =++；
（2）ααα222cos 2
)tan 1()tan 1(=-++；
（3）1cos cos sin sin sin sin 222222=⋅+⋅-+βαβαβα。