2013届高三理科数学二轮专题课件4-29坐标系与参数方程(选修4-4)

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高三数学理科二轮复习 4-29坐标系与参数方程(选修4-4)

高三数学理科二轮复习  4-29坐标系与参数方程(选修4-4)

高考专题训练二十九 坐标系与参数方程(选修4-4)班级_______ 姓名_______ 时间:45分钟 分值:100分 总得分_______一、填空题(每小题6分,共30分)1.(2011·陕西)直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,设点A ,B 分别在曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =3+cos θy =4+sin θ(θ为参数)和曲线C 2:ρ=1上,则|AB |的最小值为________.解析:C 1:(x -3)2+(y -4)2=1 C 2:x 2+y 2=1.最小值为|C 1C 2|-2=5-2=3. 答案:32.(2011·湖北)如图,直角坐标系xOy 所在的平面为α,直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′与y 轴重合)所在平面为β,∠xOx ′=45°.(1)已知平面β内有一点P ′(22,2),则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为________;(2)已知平面β内的曲线C ′的方程是(x ′-2)2+2y ′2-2=0,则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是________.解析:(1)如图P ′(22,2)在α上坐标P (x ,y )x =22cos45°=22×22=2,y =2,∴P (2,2).(2)β内曲线C ′的方程(x ′-2)22+y ′2=1同上解法.中心(1,0)即投影后变成圆(x -1)2+y 2=1. 答案:(1)P (2,2) (2)(x -1)2+y 2=13.(2011·深圳卷)已知点P 是曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θy =4sin θ(θ为参数,0≤θ≤π)上一点,O 为原点.若直线OP 的倾斜角为π4P 坐标为________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θy =4sin θ(0≤θ≤π)可得x 29+y 216=1(0≤y ≤4),由于直线OP 的方程为y =x ,那么由⎩⎨⎧x 29+y 216=1y =x (0≤y ≤4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =125y =125.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫125,1254.(2011·佛山卷)在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ=4相交于A 、B 两点,若|AB |=4,则直线l 的极坐标方程为________.解析:设极点为O ,由该圆的极坐标方程为ρ=4,知该圆的半径为4,又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4,所以∠AOB =60°,∴极点到直线l 的距离为d =4×cos30°=23,所以该直线的极坐标方程为ρcos θ=2 3.答案:ρcos θ=2 35.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为________.分析:本题考查极坐标方程与普通方程的互化.解析:由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,其普通方程为x 2+y 2=2y ,ρcos θ=-1的普通方程为x =-1,联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 2=2y x =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1y =1,点(-1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,3π4. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫2,3π4二、解答题(每小题7分,共70分)6.已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),曲线C 2:⎩⎨⎧x =22t -2,y =22t(t 为参数).(1)指出C 1,C 2各是什么曲线,并说明C 1与C 2公共点的个数; (2)若把C 1,C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C 1′,C 2′.写出C 1′,C 2′的参数方程.C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同?说明你的理由.解:(1)C 1是圆,C 2是直线.C 1的普通方程为x 2+y 2=1,圆心为(0,0),半径r =1.C 2的普通方程为x -y +2=0.因为圆心(0,0)到直线x -y +2=0的距离为1,所以C 2与C 1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C 1′:⎩⎨⎧x =cos θ,y =12sin θ(θ为参数),C 2′:⎩⎨⎧x =22t -2,y =24t(t 为参数).化为普通方程分别为C 1′:x 2+4y 2=1,C 2′:y =12x +22,联立消元得2x 2+22x +1=0, 其判别式Δ=(22)2-4×2×1=0,所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点,和C 1与C 2公共点的个数相同.7.已知直线l :⎩⎨⎧x =-1-22t y =2+22t与抛物线y =x 2交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解:把⎩⎨⎧x =-1-22t ,y =2+22t ,代入y =x 2,得t 2+2t -2=0,∴t 1+t 2=-2,t 1t 2=-2.由参数的几何意义,得 |AB |=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=10.8.(2011·福建)在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x -y +4=0,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos α,y =sin α(α为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4,π2,判断点P 与直线l 的位置关系;(2)设点Q 是曲线C 上一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.解:(1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4,π2化为直角坐标系,得P (0,4).因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x -y +4=0,所以点P 在直线l 上.(2)因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q 的坐标为(3cos α,sin α)从而点Q 到直线l 的距离为:d =|3cos α-sin α+4|2=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6+42=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6+22, 由此得,当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=-1时,d 取得最小值,且最小值为 2.9.已知曲线C 的极坐标方程为ρ2-42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4+6=0,求:(1)曲线C 的普通方程;(2)设点P (x ,y )是曲线C 上任意一点,求xy 的最大值和最小值.解:(1)原方程可化为ρ2-42ρ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ·cos π4+sin θ·sin π4+6=0,即ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0.∵⎩⎪⎨⎪⎧ρ2=x 2+y 2,x =ρcos θ,y =ρsin θ,∴x 2+y 2-4x -4y +6=0,即(x -2)2+(y -2)2=2,此方程即为所求普通方程.(2)设x -22=cos θ,y -22=sin θ,则xy =(2+2cos θ)(2+2sin θ)=4+22(cos θ+sin θ)+2cos θsin θ.设t =cos θ+sin θ,则t =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4,∴t ∈[-2,2],t 2=1+2cos θsin θ,从而2cos θsin θ=t 2-1.∴xy =3+22t +t 2.当t =-2时,xy 取得最小值1;当t =2时,xy 取得最大值9.10.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=22.圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x =-22+r cos θy =-22+r sin θ(θ为参数,r >0).(1)求圆心的极坐标;(2)当r 为何值时,圆O 上的点到直线l 的最大距离为3?解:(1)圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,-22, 设圆心的极坐标为(ρ,θ), 则ρ=⎝ ⎛⎭⎪⎫-222+⎝ ⎛⎭⎪⎫-222=1, 所以圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,54. (2)直线l 的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ+22cos θ=22,∴直线l 的普通方程为x +y -1=0, ∴圆上的点到直线l 的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪-22+r cos θ-22+r sin θ-12,即d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪-2+2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4-12.∴圆上的点到直线l 的最大距离为2+2r +12=3,∴r =4-22.11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合,且两个坐标系的单位长度相同,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+t cos αy =1+t sin α(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)若直线l 的斜率为-1,求直线l 与曲线C 交点的极坐标; (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23,求直线l 的参数方程. 解:(1)直线l 的普通方程为y -1=-1(x +1),即y =-x , ① 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0. ② ①代入②得:2x 2-4x =0,解得x =0或x =2.∴A (0,0),B (2,-2),极坐标为A (0,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,7π4. (2)由题意可得圆心C (2,0)到相交弦的距离为22-(3)2=1,设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y -1=k (x +1),则y =kx +k +1,∴|2k +k +1|k 2+1=1,∴k =0或k =-34. ∴l :⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+t y =1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1-45ty =1+35t(t 为参数).12.已知A 、B 是椭圆x 29+y 24=1与x 轴、y 轴的正半轴的两交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P ,使四边形OAPB 的面积最大.解:设点P 的坐标为(3cos θ,2sin θ),其中0<θ<π2,∵S四边形AOBP =S △APB +S △AOB ,其中S △AOB 为定值,故只需S △APB最大即可.因为AB 为定长,故只需点P 到AB 的距离最大即可.AB 的方程为2x +3y -6=0,点P 到AB 的距离为d =|6cos θ+6sin θ-6|13=613·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4-1,∴θ=π4时,d 取最大值,从而S △APB 取最大值,这时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322,2.13.已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2cos θy =2sin θ(θ为参数),P 是圆与y 轴的交点,若以圆心C 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点P 的圆的切线的极坐标方程.解:依题意,圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2cos θy =2sin θ是以(1,0)为圆心,2为半径的圆,与y 轴交于(0,±3),如图所示.设R 是切线上一点,∵PR 为圆C 的切线,∴△CPR 为直角三角形,∴CR ·cos ∠RCP =CP ,又∠PCO =π3,∴极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-2π3=2;若取圆与y 轴负轴交点,则极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+2π3=2.14.(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =cos φy =sin φ(φ为参数),曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos φ,y =b sin φ,(a >b >0,φ为参数).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θ=α与C 1,C 2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=π2时,这两个交点重合.(1)分别说明C 1,C 1是什么曲线,并求出a 与b 的值;(2)设当α=π4时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1,当α=-π4时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.解:(1)C 1是圆,C 2是椭圆.当α=0时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a =3.当α=π2时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b ),因为这两点重合,所以b =1.(2)C 1,C 2的普通方程分别为x 2+y 2=1和x29+y 2=1,当α=π4时,射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x =22,与C 2交点B 1的横坐标为x ′=31010.当α=-π4时,射线l 与C 1,C 2的两个交点A 2,B 2分别与A 1,B 1关于x 轴对称,因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′+2x )(x ′-x )2=25.15.(2011·课标)在直线坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos αy =2+2sin α(α为参数)M 是C 1上的动点,P 点满足OP →=2OM →,P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求|AB |. 解:(1)设P (x ,y ),则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y 2,由于M 点在C 1上,所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2=2cos α,y 2=2+2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos α,y =4+4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos α,y =4+4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1=4sin π3, 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2=8sin π3. 所以|AB |=|ρ2-ρ1|=2 3.。

2013年高考数学(陕西专版)二轮复习专题讲义:选修4-4 坐标系与参数方程 课件

2013年高考数学(陕西专版)二轮复习专题讲义:选修4-4 坐标系与参数方程 课件

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2.(2012· 朝阳区综合练习)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别为
x=t+2, y=t2 x=1+s, l: y=1-s
(s 为参数)和 C:
(t 为参数),若 l 与 C 相交于 A、B 两点,则|AB|=
________.
工具
P π π 3 ,圆心为直线 ρsinθ- =- 2, 与极轴的交点,则圆 C 4 3 2
的极坐标方程为________.
工具
二轮新课标数学(陕西专版) 选修4-4
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解析:如图,在 令 θ=0,得 ρ=1,
π ρsinθ-3=-
3 2中
所以圆 C 的圆心坐标为(1,0).
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1.在极坐标系中,直线 弦长为________.
π ρsinθ+4=2
被圆 ρ=4 所截得的
工具
二轮新课标数学(陕西专版) 选修4-4
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解析: 依题意,直线与圆的直角坐标方程分别是 x+y- 2 2=0、x2+y2=16, 2 2 则圆心(0,0)到直线 x+y-2 2=0 的距离等于 =2, 2 因此该直线被圆截得的弦长等于 2 16-22=4 3.
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二轮新课标数学(陕西专版) 选修4-4
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解析: (1)由 ρ=2 5sin θ,得圆的直角坐标方程为 x2+(y - 5)2=5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t2-3 2t +4=0. 由 Δ=(3 2)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两 根,
x=x +rcos θ, 0 y=y0+rsin θ
x2 y2 (θ 为参数, 0≤θ≤2π). ②椭圆a2+b2=1 的参 (θ 为参数).

2013届江苏高三数学试题分类汇编:坐标系与参数方程 (选修4-4)

2013届江苏高三数学试题分类汇编:坐标系与参数方程 (选修4-4)

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 坐标系与参数方程1、(东莞市2013届高三上学期期末)在直角坐标系xOy 中,圆以C 的参数方程是3cos 1sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则 圆心C 的极坐标是 . 答案:)6,2(π2、(佛山市2013届高三上学期期末)在极坐标系中,直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=(ρ∈R )垂直,则直线l 极坐标方程为 . 答案:2sin()16πρθ+=(或2cos()13πρθ-=、cos 3sin 1ρθρθ+=) 3、(广州市2013届高三上学期期末)已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 . 答案:24、(惠州市2013届高三上学期期末)直线2cos 1ρθ=与圆2cosρθ=相交的弦长为 .【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和,圆心到直线的距离为21211=-,所以弦长为3)21(122=- 5、(江门市2013届高三上学期期末)以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系) , (θρ(πθ20<≤),曲线C 的极坐标方程是2=ρ,正六边形ABCDEF 的顶点都在C 上,且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列。

若点A 的极坐标为)3, 2(π,则点B 的直角坐标为 . 答案:)3 , 1(-6、(茂名市2013届高三上学期期末)已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 。

答案:37、(汕头市2013届高三上学期期末)已知直线4sin cos :=-θρθρl ,圆θρcos 4:=C ,则直线l 与圆C 的位置关系是________.(相交或相切或相离?)答案:相交8、(增城市2013届高三上学期期末)曲线⎩⎨⎧+==1t y t x (t 为参数且0>t )与曲线⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x (θ为参数)的交点坐标是 . 答案:(1,2)11、(珠海市2013届高三上学期期末)在直角坐标系x O y 中,已知曲线1C :⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数)与曲线2C :⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,(θ为参数)相交于两个点A 、B ,则线段AB 的长为 .答案:4。

高三数学课件:选修4-4 坐标系与参数方程

高三数学课件:选修4-4 坐标系与参数方程

2.常用简单曲线的极坐标方程
3.参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是 某个变数 t 的函数xy==fgtt (*),如果对于 t 的每一个允许值,由 方程组(*)所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(*)就 叫做这条曲线的 参数方程 ,变数 t 叫做参数.
(2)设点 A 的极坐标为2,π3,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值.
[解] (1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1, θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=co4sθ.
由|OM|·|OP|=16 得 C2 的极坐标方程 ρ=4cosθ(ρ>0). 因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),由题设知|OA|=2,ρB= 4cosα,于是△OAB 面积 S=12|OA|·ρB·sin∠AOB =4cosα·sinα-π3
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1.极坐标与直角坐标 (1)极坐标系:在平面内取一个定点 O,叫做 极点 ,自极 点 O 引一条射线 Ox,叫做 极轴 ;再选定一个长度单位、一个 角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),就建立了 极坐标系.
(2)点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点 M,若设 |OM|=ρ(ρ≥0),以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角为 θ,则 点 M 可用有序数对 (ρ,θ) 表示.
[跟踪演练] (2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2 +y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的参数方程是xy==ttcsionsαα,, (t 为参数),l 与 C 交于 A, B 两点,|AB|= 10,求 l 的斜率.

坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)

坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)

6
A(4,
) 3
4 【规律方法】点的极坐标是距离和角组成的实数对,求三 O 5 角形的面积常常利用两边和夹角的正弦积的一半计算. 5 B(5,)
6
x
【例3】在以O为极点的极坐标系中,直线l的极坐标方程是
ρ cosθ -2=0,直线l与极轴相交于点M,以OM为直径的圆的极
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程,再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l:ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x,化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
练习:
7 3 ),则|AB|=___. 12 12 2.在极坐标系中,定点A(2, ),点B在直线 2 5 (1, ) ρ cosθ +ρ sinθ =0上运动,当线段AB最短时,点B的极坐标 3 6
1.极坐标系中,点A(1,5 ),B(2,-
为_______. 3.若M、N分别是曲线ρ =2cosθ 和 sin( ) 2 上的动点,
复习
M ρ
θ
o x
θ =a(ρ ∈R)
ρ cosθ =a
ρ sinθ =a
下列极坐标方程如何转化为直角坐标方程
3 θ
.
y
3x
= 2 sin( ) . 4 2 ρ =4sinθ
3
. sin cos cos sin 2 4 4 2 ρ 2=4ρ sinθ ρ 2=5 3 ρ cosθ -5ρ sinθ
则M、N两点间的距离的最小值是________. 2 1
4 2
(0≤a<π ,a≠π /2)

高三数学二轮复习 4-29坐标系与参数方程(选修4-4)课件 理 人教版

高三数学二轮复习 4-29坐标系与参数方程(选修4-4)课件 理 人教版

[解]
(1)直线 l 的参数方程为xy==11++ttscionsπ6π6

x=1+ 即
3 2t
y=1+12t
(t 为参数).
x=1+ (2)把直线
23t
y=1+12t
代入 x2+y2=4,
得(1+ 23t)2+(1+12t)2=4, 化简得 t2+( 3+1)t-2=0, 所以 t1t2=-2,则点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2.
0,23 3. 所以 P 点的直角坐标为1, 33, 则 P 点的极坐标为
2
3
3,π6,
所以直线 OP 的极坐标方程为 θ=π6,ρ∈(-∞,+∞).
[点评] 直角坐标与极坐标互化公式用错,三角函数 展开错误,对直线的极坐标基础知识生疏等都是导致解题 错误的原因.在直角坐标与极坐标互化时,重点是极坐标 化为直角坐标,要牢记其互化公式,正确地进行三角变换, 还要注意互化前后的等价性.
[解] (1)由 ρcosθ-π3=1,得 ρ12cosθ+ 23sinθ=1. 从而 C 的直角坐标方程为12x+ 23y=1,即 x+ 3y=2. θ=0,ρ=2,所以 M(2,0).θ=π2时,ρ=233,所以 N23 3,π2.
(2)M 点 的 直 角 坐 标 为 (2,0) , N 点 的 直 角 坐标 为
ρ2=sinθs2in3π3-θ0<θ<π3,即为所求极坐标方程.
类型三 把参数方程化为普通方程 【例 3】 将下列参数方程化为普通方程,并说明方 程表示的曲线.
x=2+sin2θ (1)y=-1+cos2θ
(θ 为参数);
x=a2t+1t (2)y=b2t-1t
(a、b 为大于零的常数,t 为参数).

选修4-4数学坐标系与参数方程

选修4-4数学坐标系与参数方程

选修4-4数学坐标系与参数方程一、基础知识与考点梳理坐标系是解决几何问题的工具之一,包括平面直角坐标系和极坐标系。

参数方程是通过参数的变化来描述图形的方程,常用于描述曲线的运动或变化。

考点:1. 平面直角坐标系:了解坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的坐标表示方法以及表示直线和曲线的方程的求解方法。

2. 极坐标系:了解极坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的极坐标表示方法以及表示曲线的方程的求解方法。

3. 参数方程:了解参数方程的定义和解题步骤,熟练掌握参数方程求交点和极值点的方法。

二、典型例题解析例1、已知函数y=x²-2x+3,求其图像与x轴、y轴、直线x=1、y=3所围成的面积。

【解析】:1. 求该函数的根,即当y=0时x满足的条件:x=1±√2。

2. 绘制函数图像。

由于该函数为二次函数,故开口向上,图像开口向上,存在顶点,而顶点的横坐标为x=-b/2a,即x=1。

当x=0时,y=3,即函数在y轴上截距为3,因此y轴上的一点为(0,3)。

3. 按要求计算所求面积=△x=1△x=-∫1√2(y-3)dx+∫√2^3(y-x²+2x)dx=2-2√2/3例2、考虑曲线x=2cost+cos2t,y=2sint-sin2t的形状和特征,求其极坐标方程,指出极点和极轴,找出曲线上各点的对称点。

【解析】:1. 观察曲线方程,发现x的系数为2,y的系数为-1。

而2cos2t+1=2cos²t-2sin²t+1,故有x=4cos²t-1-y。

2. 代入x²+y²=r²,消去t,即得其极坐标方程r=4cos2θ-3。

3. 极点为(θ=r=0),为对称中心,且曲线轨迹在极轴之上。

4. 若要求曲线上一点的对称点,可先求该点的极坐标系(r,θ),则其对称点的极坐标系为(r,-θ),再用x=rcosθ,y=rsinθ回代直角坐标系。

高考数学理科二轮专题复习课件:选修4-4坐标系与参数方程

高考数学理科二轮专题复习课件:选修4-4坐标系与参数方程
在普通方程中引入参数 t,将其转 换为参数方程。引入的参数 t 可 以是任意一个满足条件的函数, 例如角度、时间等。
03 极坐标
极坐标
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04 综合应用
参数方程与极坐标的综合应用
参数方程与极坐标的互化
01
将参数方程转化为极坐标方程,或将极坐标方程转化为参数方
程,是解决综合问题的重要技巧。
参数方程在极坐标中的应用
02
利用参数方程表示的点在极坐标系中的位置,可以解决与极坐
标相关的问题。
极坐标在参数方程中的应用
03
利用极坐标的性质,可以简化参数方程的求解过程。
参数方程与直角坐标的综合应用
1 2
参数方程与直角坐标的互化
将参数方程转化为直角坐标方程,或将直角坐标 方程转化为参数方程,是解决综合问题的重要技 巧。
参数方程与普通方程的转换
参数方程可以转换为普通方程,反之亦然。参数方程转换为 普通方程的过程是通过消去参数 t 来实现的。普通方程转换 为参数方程则需要引入参数 t 来描述 x 和 y 的关系。
参数方程的应用
解决实际问题
参数方程在解决实际问题中有着广泛 的应用,例如物理学、工程学、经济 学等领域的问题可以通过建立参数方 程来解决。
描述复杂运动
优化问题求解
在某些优化问题中,参数方程可以用 来描述约束条件或目标函数,从而方 便求解。
对于一些复杂的运动,如行星运动, 参数方程可以用来描述它们的轨迹和 运动规律。
参数方程与普通方程的互化
消参法
通过消去参数 t,将参数方程转换 为普通方程。常用的消参方法有 代入消参和加减消参。
引入参数法
高考数学理科二轮专题复习 课件选修4-4坐标系与参数方

选修4-4坐标系与参数方程复习课件

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高考数学(理科,人教版)二轮专题整合突破复习课件专题八 第2讲 选修4-4 坐标系与参数方程(共31张PPT)

高考数学(理科,人教版)二轮专题整合突破复习课件专题八 第2讲 选修4-4  坐标系与参数方程(共31张PPT)
π ������ + 4
=
2 m(m 为非零常数)与 ρ=b.若 2
直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率 6 为 . 3
������ = ������cos������, 解析:将椭圆 C 的参数方程 ������ = ������sin������ (φ 为参数,a>b>0)化为 标准方程为
2 4
注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线 ������ ������������ PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0.由参数方程可得 y=2 x- 2 +1.所以
������
-
������������ 2
2
= 1,
+ 1 = 2,
π 4 ������ 2=Biblioteka 2 2������ 2
+
������ 2 ������ 2
=1(a>b>0).又直线 l 的极坐标方程为 ρsin ������ +
2 2
m(m 为非零常数),即 ρ sin������·
+ cos������·
2 2
=
2 2
m,则该直
线的一般式为 y+x-m=0.圆的极坐标方程为 ρ=b,其标准方程为 x2+y2=b2.∵直线与圆 O 相切, |������ | ∴ =b,|m|= 2b.又∵直线 l 经过椭圆 C 的焦点, ∴|m|=c.∴c= 2b,c2=2b2. ∵a =b +c =3b ,∴e =������ 2 = 3. ∴e= .
从近几年的高考情况看,该部分主要有三个考点:一是平面坐标 系的伸缩变换;二是极坐标方程与直角坐标方程的互化;三是极坐标 方程与参数方程的综合应用.对于平面坐标系的伸缩变换,主要是以 平面直角坐标系和极坐标系为平台,考查伸缩变换公式的应用,试题 设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状.对于 极坐标方程与直角坐标方程的互化,是高考的重点和热点,涉及直线 与圆的极坐标方程,从点与直线、 直线与圆的位置关系等不同角度考 查,研究求距离、最值、轨迹等常规问题.极坐标方程与参数方程的 综合应用,主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景,转化为 普通方程,从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算. 预计 2014 年高考中,本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐 标方程的互化、 参数方程与普通方程的互化,考查简单曲线的极坐标 方程和参数方程,试题多以填空题、解答题的形式呈现,属于中档题.

高中数学选修4-4-参数方程

高中数学选修4-4-参数方程

参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1.参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数,即,并且对于t的每一个允许值,由该方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F(x,y)=0叫做普通方程.2.参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程:消去参数,消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.3.直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α(x﹣x0)(t为参数)圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(θ为参数)椭圆(θ为参数)+=1(a>b>0)双曲线(θ为参数)﹣=1抛物线y2=2px(p>0)(t为参数)【解题思路点拨】1.选取参数时的一般原则是:(1)x,y与参数的关系较明显,并列出关系式;(2)当参数取一值时,可唯一的确定x,y的值;(3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点P(x,y);(2)选择适当的参数;(3)找出x,y与参数的关系,列出解析式;(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义,有如下常用结论:(1)若M1,M2为l上任意两点,M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1﹣t2|;(2)若M0为线段M1M2的中点,则有t1+t2=0;(3)若线段M1M2的中点为M,则M=t M=.一般地,若点P分线段M1M2所成的比为λ,则t P=.4.直线的参数方程的一般式(t为参数),是过点M0(x0,y0),斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2+b2=1且b≥0时,才是标准方程,t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程化为标准方程是(t′∈R),式中“±”号,当a,b同号时取正;当a,b异号时取负.5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找x,y的关系困难,甚至找不出时,可以通过引入参数,建立动点的参数方程后求解.4.圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α(x﹣x0)(t为参数)圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(θ为参数)椭圆(θ为参数)+=1(a>b>0)双曲线(θ为参数)﹣=1抛物线y2=2px(p>0)(t为参数)【解题思路点拨】1.选取参数时的一般原则是:(1)x,y与参数的关系较明显,并列出关系式;(2)当参数取一值时,可唯一的确定x,y的值;(3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点P(x,y);(2)选择适当的参数;(3)找出x,y与参数的关系,列出解析式;(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义,有如下常用结论:(1)若M1,M2为l上任意两点,M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1﹣t2|;(2)若M0为线段M1M2的中点,则有t1+t2=0;(3)若线段M1M2的中点为M,则M0M=t M=.一般地,若点P分线段M1M2所成的比为λ,则t P=.4.直线的参数方程的一般式(t为参数),是过点M0(x0,y0),斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2+b2=1且b≥0时,才是标准方程,t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程化为标准方程是(t′∈R),式中“±”号,当a,b同号时取正;当a,b异号时取负.5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找x,y的关系困难,甚至找不出时,可以通过引入参数,建立动点的参数方程后求解.例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为(t为参数).圆C的参数方程为(θ为参数),则直线l被圆C截得的弦长为___.例2.已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,则直线l截圆C所得的弦长是___.例3.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ(ρ≥0),直线l的参数方程为(t为参数),设直线l与抛物线C的两交点为A、B,点F为抛物线C的焦点,则|AF|+|BF|=___.当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).圆C的参数方程是=(θ为参数),直线l与圆C交于两个不同的点A、B,当点P在圆C上运动时,△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程(θ∈R)所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为2,若该直线的参数方程改写成(t为参数),则在这个方程中P点对应的t值为____.练习4.设a∈R,直线ax-y+2=0和圆(θ为参数)相切,则a的值为___。

选修4-4坐标系与参数方程

选修4-4坐标系与参数方程

建立联系.
Y=byb>0
(2)已知变换后的曲线方程 f(x,y)=0,一般都要改写为方程 f(X,Y)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′=3x,
1,-2
1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:
求点 A 3
经过φ变换所得的点 A′的坐标.
2y′=y.
第 1 页 共 22 页
解析:设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),
x=1x′, 由题意,将 3
y=2y′
代入 x2- y2 =1 64
得x′2-4y′2=1,化简得x′2-y′2=1,
9 64
9 16
即x2- y2 =1 为曲线 C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线, 9 16
则所求焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0).
选修 4-4 坐标系与参数方程
第一节 坐 标 系
本节主要包括 2 个知识点: 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换; 2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
x′=λ·xλ>0,
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作用下,点 P(x,y)对应到点
4.将圆 x2+y2=1 变换为椭圆x2+y2=1 的一个伸缩变换公式为φ: X=axa>0, 求 a,b 的值.
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Y=byb>0,
X=ax, 解y=1Y, b
代入 x2+y2=1 中得Xa22+Yb22=1,所以 a2=9,b2=4,即 a=3,b=2.
突破点(二) 极坐标系
(2)直线 C3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a. 解析:(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2+(y-1)2=a2,

选修4-4坐标系和参数方程

选修4-4坐标系和参数方程

数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲 坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y )确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ,已知各观测点到中心的距离都是1020m ,试确定该巨响的位置。

(假定当时声音传播的速度为340m/s ,各相关点均在同一平面上)以接报中心为原点O ,以BA 方向为x 轴,建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则 A(1020,0), B(-1020,0), C(0,1020) 设P (x,y )为巨响为生点,由B 、C 同时听到巨响声,得|PC|=|PB|,故P 在BC 的垂直平分线PO 上,PO 的方程为y=-x ,因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声,故|PA|- |PB|=340×4=1360,由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上,2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=-x代入上式,得x =± , ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

变式训练1.一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米,并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2.在面积为1的PMN ∆中,2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ,建立适当的坐标系,求以M ,N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一点,且PF 1→·PF 2→=0,tan ∠PF 1F 2=12,则此椭圆的离心率为( ). A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23-y 2=1的两个焦点,P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为2时,1PF ·2PF 的值为( )A .2B .3C .4D .6 3.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点在圆x 2+y 2+2x -3=0上,则p =( )A.12B .1C .2D .3 4.已知两定点A (1,1),B (-1,-1),动点P 满足P A →·PB →=x22,则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (-5,0)、B (5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x =3上,则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0),且与直线x =-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.7.已知:圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l :ax +y +2a =0. (1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点,且AB =22时,求直线l 的方程.8. 已知长方形ABCD ,22=AB ,BC=1。

高考数学(理)总复习课件:选修4—4 坐标系与参数方程 第1课 坐标系

高考数学(理)总复习课件:选修4—4 坐标系与参数方程 第1课 坐标系

2
4.常见曲线的极坐标方程 (1) 圆 心 在 极 点 , 半 径 为 r 的 圆 的 极 坐 标 方 程 :
ρ=r(0≤θ<2π) . _______________
π (2) 圆 心 为 r, 2 , 半 径 为
r 的圆的极坐标方程:
ρ=2rsin θ(0≤θ<π) _________________.
3.点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极坐标为________.
解析:因为点 P(1,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2,
π π 且 OP 与 x 轴所成的角为- ,所以点 P 的极坐标为2,-3 . 3 π 答案:2,-3
4.在极坐标系中,过点
解析:将方程 ρ=5cos θ-5 3sin θ 两边都乘以 ρ 得: ρ2=5ρcos θ-5 3ρsin θ, 化成直角坐标方程为 x2+y2-5x+5 3y=0.
5 5 3 圆心的坐标为 ,- , 2 2 5π 化成极坐标为5, 3 . 5π 答案:5, 3 (答案不唯一)
[清易错]
1.极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公 式.在解决此类问题时考生要注意两个方面:一是准确 应用公式,二是注意方程中的限制条件. 2.在极坐标系下,点的极坐标不唯一性易忽视. 注意极坐标(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ)(k∈Z),(-ρ,π+θ+ 2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标.
1.圆 ρ=5cos θ-5 3sin θ 的圆心的极坐标为________.
(3) 过 极 点 , 倾 斜 角 为 α 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 : θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ∈R) ___________________________.

2013届高考数学复习 选修4-4坐标系与参数方程课件

2013届高考数学复习 选修4-4坐标系与参数方程课件

0≤θ≤2π);
x-x0 2 y-y02 ②椭圆 + = 1(a > b > 0) 的 参 数 方 程 为 a2 b2 x=x0+acosθ (θ 为参数). y=y0+bsinθ
(4)双曲线的参数方程 x 2 y2 ①双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的参数方程为 a b x=asecθ 1 (θ 为参数,其中 secθ= ); cosθ y=btanθ y2 x 2 ②双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的参数方程为 a b x=btanθ (θ 为参数); y=asecθ
2.求曲线的极坐标方程的方法 求曲线的极坐标方程的基本步骤与直角坐标系中求曲线方程的 基本步骤相同.即: 第一步 建立适当的极坐标系; 第二步 在曲线上任取一点 P(ρ,θ); 第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等式; 第四步 用极坐标 ρ,θ 表示上述等式,并化简得极坐标方程; 第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标方程. 通常,第五步的过程不必写出,只要对方程进行检验,最后加 以确认.
x-x0 2 y-y02 ③双曲线 - =1(a>0,b>0)的参数方程为 a2 b2 x=x0+asecθ (θ 为参数); y=y0+btanθ y-y02 x-x0 2 ④双曲线 - =1(a>0,b>0)的参数方程为 a2 b2 x=x0+btanθ (θ 为参数). y=y0+asecθ
变式 1 极坐标方程 ρ2cosθ-ρ=0 的直角坐标方程为________.
答案 x2+y2=0 或 x=1 解析 ∵ρ(ρcosθ-1)=0,∴ρ=0 或 ρcosθ=1, ∴x2+y2=0 或 x=1.
题型二 利用极坐标解题 例 2.O 为已知圆 O′外的定点,点 M 在圆 O′上,以 OM 为边 作正三角形 OMN,当点 M 在圆 O′上移动时,求点 N 的轨迹方程 (O、M、N 逆时针排列). 分析 建立极坐标系,由余弦定理得圆 O′的极坐标方程,再

第二讲 坐标系与参数方程(选修4-4)

第二讲 坐标系与参数方程(选修4-4)
π (3)直线过Mb,2且平行于极轴:ρsinθ=b.
2.圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为:
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r; (2)当圆心位于M(r,0),半径为r:ρ=2rcosθ;
【标准解答】
(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换
x=x1 下变为C上点(x,y),依题意,得 y=2y1
2 y y 2 2 2 2 由x 1 +y 2 1 =1得x +( ) =1,即曲线C的方程为x + = 2 4
1.
x=cost 故C的参数方程为 y=2sint
π π 3 3 故D的直角坐标为(1+cos3,sin3),即(2, 2 ).
类题通法
对于同时含有极坐标方程和参数方程的题可考虑同时 化为普通方程再求解.
x=-2t-1, 5.已知直线l: y=t-1
(t为参数)与曲线C:ρ= )
π 4 2sin(θ+ ),则直线l和曲线C的位置关系为( 4 A.相交 C.相离 B.相切 D.相交或相切
ห้องสมุดไป่ตู้例3】
(2014· 新课标卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以
坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C π 的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0, ]. 2 (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= 3 x+2
垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
解:将曲线C1的参数方程化为普通方程,曲线C2的极 坐标方程化为参数方程后求解. (1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为y= x2(x≠0),由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方 程为x+y-1=0,则曲线C2的参数方程为 x=-1- 2t, 2 2 y=2+ 2 t 得t2+ 2t-2=0,

【人教版】数学(理)复习:选修4-4《坐标系与参数方程》(第2节)ppt课件 大赛获奖精美课件PPT

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cos θ=x-1 令 sin θ=y x=cos θ+1 ,即 y=sin θ
(θ 为参数).
答案
x=cos θ+1, y=sin θ
(θ 为参数)
[关键要点点拨]
x=x0+tcos α, 1.在直线的参数方程 y=y0+tsin α
(t 为参数)中 t 的几何意义
x=1+2t, “ y=1-2t x=t, C1 的参数方程 y= t
(t 为参数 )”若变为
(t 为参数)”,试判断曲线 C1 与 C2 的位置关系. 得 x+y=2,又 C2 化为 x2+y2=2,
解析
x=1+2t, 由 y=1-2t,
|2| ∴圆心到直线 x+y-2=0 的距离,d= = 2=r, 2 ∴C1 与 C2 相切.
[规律方法] 1.消去参数的方法一般有三种:
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数;
(2)利用三角恒等式消去参数; (3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整 体上消去参数. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范
围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f(t)和
是表示在直线上过定点 P0(x0,y0)与直线上的任一点 P(x,y)构 成的有向线段 P0P 的长度且在直线上任意两点 P1、 P2 的距离为 |P1P2|=|t1-t2|= t1+t22-4t1t2. 2.参数方程化为普通方程的关键是消参数:一要熟练掌握常用技 巧(如整体代换);二要注意变量取值范围的一致性,这一点最 易忽视
参数.
[基础自测自评]
x=3t+2, 1.(教材习题改编)参数方程 y=t-1
(t 为参数)的普通方程为
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x=ft y=g(t), 那么 y=gt
就是曲线的参数方程, 在参数方程与
普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致.
5.圆的参数方程如图所示,设圆 O 的半径为 r,点 M 从初始位置 M0 出发, 按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆 周运动,设 M(x,y),则
x=rcosθ y=rsinθ
(φ 为参数),其中参数 φ 仍为离心角,通常规定参数 φ 的 范围为 φ∈[0,2π).
7.双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方
x=asecφ x2 y2 程为 2- 2=1(a>0,b>0),其参数方程为 (φ 为参 a b y=btanφ
π 3 数),其中 φ∈[0,2π)且 φ≠ ,φ≠ π. 2 2 y2 x2 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 2- 2=1(a>0, b>0), a b
[解]
(1)由 y=-1+cos2θ 可得 y=-2sin2θ, sin2θ 把
=x-2 代入 y=-2sin2θ 可得 y=-2(x-2), 2x+y-4 即 =0, 又∵2≤x=2+sin2θ≤3, ∴所求的方程是 2x+y-4=0(2≤x≤3), 它表示的是 一条线段.
a 1 (2)∵x= t+ ,∴t>0 时,x∈[a,+∞), 2 t t<0 时,x∈(-∞,-a]. a 1 a2 2 1 2 由 x= t+ 两边平方可得 x = t +2+ 2 2 t 4 t b 1 b2 2 1 2 由 y= t- 两边平方可得 y = t -2+ 2 2 t 4 t ① ②
第四部分
选考内容
第二十九讲 坐标系与参数方程(选修4-4)
考纲要求


1.根据具体问题选择适当坐标系,简捷 解决问题. 2.极坐标系的应用. 3.直角坐标与极坐标的互化. 4.参数方程和普通方程的互化.
考纲要求


5.会利用直线参数方程中参数的几何 意义解决有关线段问题. 6.会利用圆、椭圆的参数方程,解决 有关的最值问题.
它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率 的倒数. 顶点在坐标原点, 开口向上的抛物线 x2=2py(p>0)
x=2pt 的参数方程是 y=2pt2
(t 为参数).
9.直线的参数方程 经过点 M0(x0,y0),倾斜角为
π αα≠ 的直线 2
l 的普通
方程是 y-y0=tanα(x-x0),而过 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l
2.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的 正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示. (2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直 角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直 角坐标的互化公式如表:
点M 互化 公式
(θ 为参数).
6.椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准
x=acosφ x2 y2 方程为 2+ 2=1(a>b>0),其参数方程为 (φ 为 a b y=bsinφ
参数),其中参数 φ 称为离心角;焦点在 y 轴上的椭圆的
x=bcosφ y2 x2 标准方程是 2+ 2=1(a>b>0),其参数方程为 a b y=asinφ
x=bcotφ 其参数方程为 y=acscφ
(φ 为参数),其中 φ∈(0,2π)且 φ≠π.
以上参数 φ 都是双曲线上任意一点的离心角.
8.抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y2=2px(p>0)
x=2pt2 的参数方程为 y=2pt
(t 为参数),参数 t 为任意实数,
[解] 建立如图所示的极坐标系,设动点 M 坐标为
π (ρ,θ),0<θ< .P,Q 3 π 两点坐标分别为(ρ1,0),ρ2, . 3
1 π 则有 ρ1ρ2sin =8 2 3 1 ρρ sinθ=4 2 1
π 1 ρρ2sin -θ=4 2 3 π 1 2 ②×③得 ρ ρ1ρ2sinθsin -θ=16 4 3
(θ 为参数)
(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表 示什么曲线; π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的 2 动点,求 PQ 的中点 M 到直线 数)距离的最小值.
x=3+2t, C3: y=-2+t
(t 为参
[分析]
(1)曲线 C1,C2 的参数方程都可以通过适当
x=x +tcosα 0 的参数方程为 y=y0+tsinα
(t 为参数).
高频考点
类型一 【例 1】 极坐标与直角坐标的互化 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x
轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C 的极坐标方程为
π ρcosθ- =1,M,N 分别为 3
[解]
[点评] 本题第(2)问中,在表示点 M 的坐标时,若 受第(1)问的影响, 把点 M 的坐标用曲线 C2 的直角坐标表 达,这样就很难得到正确结果了;即使能用参数的方法得 5 到 d= |4cosθ-3sinθ-13|, 由于对绝对值内函数式变形 5 5 5 不对,也会导致错误,如 d= |4cosθ-3sinθ-13|= 5 5 |5cos(θ+φ)-13|,仍然认为当 cos(θ+φ)=-1 时取最小
(2)M 点 的 直 角 坐 标 为 (2,0) , N 点 的 直 角 坐标 为
2 3 . 0, 3
所以 P
2 3 π , , 3 6
点的直角坐标为1,
3 , 则 P 点的极坐标为 3
π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= , ρ∈(-∞, +∞). 6
变形采用平方消元的方法化为普通方程, 根据得到的普通 方程和学习过的曲线方程就可以知道参数方程表示的是 π 什么曲线;(2)当 t= 时,点 P 的坐标就是已知的,动点 2 Q 的坐标可以用参数 θ 表示, 既而就可以用参数 θ 表示出 点 M 的坐标,将直线的参数方程化为普通方程,根据点 线距离公式就得到一个关于 θ 的函数, 求这个函数的最小 值即可.
① ② ③ ④
32 由①得 ρ1ρ2= 代入④得 3
2 3 π 0<θ< ,即为所求极坐标方程. ρ= π 3 sinθsin -θ 3
2
类型三
把参数方程化为普通方程
【例 3】 将下列参数方程化为普通方程,并说明方 程表示的曲线.
x=2+sin2θ (1) y=-1+cos2θ
[点评] 直角坐标与极坐标互化公式用错,三角函数 展开错误, 对直线的极坐标基础知识生疏等都是导致解题 错误的原因. 在直角坐标与极坐标互化时, 重点是极坐标 化为直角坐标, 要牢记其互化公式, 正确地进行三角变方程
【例 2】 已知 P,Q 分别在∠AOB 的两边 OA,OB π 上,∠AOB= ,△POQ 的面积为 8,求 PQ 的中点 M 的 3 极坐标方程. [分析] (1)建立以 O 为极点,OP 所在直线为极轴的 极坐标系. (2)设点 M 的极坐标,依△POQ 的面积建立关系式.
直角坐标(x,y)
x=ρcosθ y=ρsinθ
极坐标(ρ,θ) ρ2=x2+y2 y tanθ= (x≠0) x
在一般情况下,由 tanθ 确定角时,可根据点 M 所在 的象限取最小正角.
3.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点, 半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r(0≤θ<2π) ρ=2rcosθ
(θ 为参数).
这就是圆心在原点 O,半径为 r 的圆的参数方程,其 中 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置 时,OM0 转过的角度. 圆心为(a,b),半径为 r 的圆的普通方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2,
x=a+rcosθ 它的参数方程为 y=b+rsinθ
π 过点a, ,与极轴 2
ρcosθ=a
π π - <θ< 2 2
ρsinθ=a (0<θ<π)
平行的直线
4.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形 式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系
要点串讲
1.极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极 点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ.有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取任意 实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0,θ),θ 可 以取任意实数.
x2 y2 ①-②并化简,得所求的曲线方程为 2 - 2=1(a>0, a b b>0), 它表示的曲线是中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线.
类型四
椭圆参数方程的应用 已知曲线
x=-4+cost, C1: y=3+sint,
【例 4】
(t 为参
x=8cosθ, 数)C2: y=3sinθ.
π π - ≤θ< 2 2
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