2019-2020年高中数学第2章概率1离散型随机变量及其分布列课后演练提升北师大版选修
高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习课练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为—A ·—B ；恰有一个发生为(—A ·B)∪(A·—B )；至多有一个发生为(—A ·—B )∪(—A ·B)∪(A·—B )．4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (aξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (aξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品； (2)两次都取到正品．解：设A ＝{第一次取到次品}，B ＝{第二次取到正品}．(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P (A )＝4100，第二次取到正品的概率为P (B |A )＝9699，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B |A )＝4100×9699＝32825. (2)因为A ＝{第一次取到次品}，且P (A )＝1－P (A )＝96100， P (B |A )＝9599，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96100×9599＝152165. 专题2 独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值X 围．解析：(1)因为P 1＝23，P 2＝12，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23()P 2·P 2＝89P 2－49P 22， 又ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤1.[变式训练] 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率． (2)2人中恰有1人射中目标的概率． (3)2人中至少有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ， A 与B ，与为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B 发生)．根据题意，知事件A 与B 互斥，所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )＝P (A )P ()＋P ()P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A )＋P (B )]＝0.72＋0.26＝0.98.专题三 独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3道题解答． (1)求X 同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ X 同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“X 同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125. 归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C k n ·p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A.80243B.100243C.80729D.100729解析：每次摸球中奖的概率为C 14C 15C 29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率P ＝C 13×59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－592＝80243.答案：A专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容． [例4] (2016·某某卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112，②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0.解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P9a 2－a3－8a求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：ξ 0 1 P2313。
高中数学第2章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2离散型随机变量的分布列新人教B版选修2
概率
2.1.2 离散型随机变量的分布列
[学习目标] 1.在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量 及其分布列的概念.认识分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
ξ＝4，即取出的 3 个球中最大号码为 4，其他 2 个球只能在 号码为 1,2,3 的 3 个球中取，所以，P(ξ＝4)＝CC6233＝230； ξ＝5，即取出的 3 个球中最大号码为 5，其他 2 个球可以在 号码为 1,2,3,4 的 4 个球中取，所以，P(ξ＝5)＝CC6243＝130；
跟踪演练2 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
ξ －1
0
1
P
1 2
1－2q q2
(1)求q的值；
解 由分布列的性质得，1－2q≥0，
q2≥0，12＋(1－2q)＋q2＝1，
∴q＝1－
2 2.
(2)求P(ξ<0)，P(ξ≤0). 解 P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝12， P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0) ＝12＋1－2(1－ 22)＝ 2－12.
ξ＝6，即取出的 3 个球中最大号码为 6，其他 2 个球可以在号
码为 1,2,3,4,5 的 5 个球中取，所以，P(ξ＝6)＝CC6253＝12. 所以，随机变量ξ的分布列为
ξ3 4 5 6
P
1 20
3 20
3 10
1 2
规律方法 求离散型随机变量的分布列关键有三点： (1)随机变量的取值； (2)每一个取值所对应的概率； (3)所有概率和是否为1来检验.
高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列同步测控北师大版选修2_3
高中数学 第二章 概率 1 离散型随机变量及其分布列同步测控 北师大版选修2-3我夯基，我达标1.如果X 是一个离散型随机变量，那么下列叙述中不正确的是( ) A.X 取的每一个可能值的概率都是非负实数 B.X 取所有可能值的概率之和为1C.X 取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和解析：X 在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D 项错. 答案：D则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51 解析：P(射击一次命中环数大于7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0.28+0.29+0.22=0.79. 答案：C3.设随机变量X 的分布列为P(X=i)=a(31)i，i=1,2，3，则a 的值为( ) A.1 B.139 C.1311 D.1327解析： 由a·31+a·(31)2+a·(31)3=1，解得a=1327. 答案：D4.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述一次试验的成功次数，则P(X=0)等于( )A.0B.21C.31D.32 解析：P(X=0)表示试验失败，P(X=1)表示试验成功，∴P(X=0)+P(X=1)=1.又∵P(X=1)=2P(X=0)， 即有3P(X=0)=1.∴P(X=0)=31. 答案：C5.抛掷两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X=4表示的随机试验的结果是( ) A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点 C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 解析：掷两颗骰子的点数及和的分布情况如表：由表知：1+3=4,2+2=4,3+1=4. 答案：D6.随机变量X 的分布列为P(X=k)=)1(+k k C，k=1,2，3，C 为常数，则P(0.5<X<2.5)=_________.解析：由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1，得433221⨯+⨯+⨯C C C =1，解得C=34.∴P(0.5<X<2.5)=P(X=1)+P(X=2)=3+9=9.答案：987.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的解析：P(X=0)=1012522=C C =0.1，P(X=1)=251213C C C =106=0.6， P(X=2)=2523C C =0.3〔或P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=0.3〕.答案：0.1 0.6 0.38.袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X 的概率分布列.解析：直接考虑得分较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分；3红1黑得7分；2红2黑得6分；1红3黑得5分.故P(X=5)=;354473314=C C C P(X=6)=;3518472324=C C C P(X=7)=3512471334=C C C ；P(X=8)=.35147344=C C C ∴X 的分布列为：9.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： 不放回抽样时，抽到次品数X 的分布列.解法一：不放回抽样，抽到次品数X=0,1，2，不考虑次序得P(X=0)=15731038=C C ，P(X=1)=1573102812=C C C ，P(X=2)=1513102218=C C C . 解法二：不放回抽样，抽到次品数X=0，1,2，考虑次序得P(X=0)=15731038=A A ，P(X=1)=157310232812=A C C C ，P(X=2)=310332218A A CC =151. 故X 的分布列为：10.下列表中成为随机变量X 的分布列的是( )B.对于A ，由于P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=1.1>1，故排除A. 对于B ，由于P(X=3)=-0.1<0，故排除B.对于D ，由于P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1.2>1，故排除D. 只有C 满足P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=1，且0≤P(X=-1)≤1，0≤P(X=0)≤1，0≤P(X=1)≤1两条性质，故选C. 答案：C若P(X 2<x)=12，则实数x 的取值范围是 …( ) A.4≤x≤9 B.4<x≤9 C.4≤x<9 D.4<x<9 解析：若P(X 2<x)=1211，则X 要取遍0，±1，±2各个值. 当x≤4时，X 2≤3，X 取不到±2；当x>9时，X 2=9，X 取到3. 均与已知矛盾. ∴4<x≤9. 答案：B解析：∵p 1+p 2+…+p 6=1，而p 1+p 2+p 4+p 6=0.6， ∴p 3+p 5=0.4.∴p 3=0.25，p 4=0.15. 答案：2 5我创新，我超越13.A ，B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是123现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为X ，Y.求X ，Y 的概率分布.解：X ，Y 的可能取值分别为3,2,1，0. P(X=3)=32×52×52=758，P(X=2)=32×52×53+31×52×52+32×53×52=7528， P(X=1)=32×53×53+31×52×53+31×53×52=52，P(X=0)=31×53×53=253.根据题意知X+Y=3，所以P(Y=0)=P(X=3)=758， P(Y=1)=P(X=2)=7528，P(Y=2)=P(X=1)=52，P(Y=3)=P(X=0)=253.。
19-20 第2章 2.3 2.3.1 离散型随机变量的数学期望
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【解】 (1)X 的所有可能取值有 6,2,1，－2.
P(X＝6)＝122060＝0.63，
P(X＝2)＝25000＝0.25，P(X＝1)＝22000＝0.1，
P(X＝－2)＝2400＝0.02.
故 X 的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
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(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34. (3)设技术革新后的三等品率为 x，则此时 1 件产品的平均利润为 E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01 ＝4.76－x(0≤x≤0.29)． 依题意，E(X)≥4.73，即 4.76－x≥4.73， 解得 x≤0.03，所以三等品率最多为 3%.
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合作探究 提素养
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二点分布与二项分布的数学期望 【例 1】 某运动员投篮命中率为 p＝0.6. (1)求投篮 1 次时命中次数 X 的数学期望； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 Y 的数学期望． 【精彩点拨】 (1)利用二点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望 公式求解．
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【解】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件 数．
(1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则 A 表示“甲、 乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 P(A)＝1－ P( A )＝1－CC2623
＝1－15＝45.
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(2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，且
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【例 3】 随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中一等品 126
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时跟踪检测：第2章 随机变量及其分布阶段性测试题
姓名，年级：时间：阶段性测试题二第二章随机变量及其分布（时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1的值为( )A．0 B．错误!C．错误!D．1解析：由分布列的性质得错误!＋错误!＋p1＝1,得p1＝错误!。
答案：B2．某校举行安全知识测试,约有2 000人参加，其测试成绩ξ~N（80，σ2）（σ〉0,试卷满分100分),统计结果显示P(ξ≤65）＝0.3，则此次安全知识测试成绩达到优秀（不低于95分）的学生人数约为（)A．200 B．300C．400 D．600解析：由正态分布密度曲线的对称性，可得P（ξ≥95）＝P(ξ≤65)＝0.3，所以测试成绩达到优秀的学生人数约为0。
3×2 000＝600，故选D.答案：D3．某射手射击所得的环数X的分布列如下，如果命中8环及8环以上为优秀，则该射手射击一次为优秀的概率是( )A．0.3 B．0。
4C．0.5 D．0。
6解析：P＝P（X＝8）＋P(X＝9）＋P(X＝10）＝0。
3＋0.25＋0.05＝0。
6.答案：D4．已知随机变量X的分布列如下:若随机变量η＝3X－1，则A．4.2 B．18.9C．5.3 D．随m变化而变化解析：因为0.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0。
3,所以E(X）＝1×0。
2＋2×0。
5＋3×0。
3＝2.1。
又η＝3X－1，所以E（η）＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3。
答案：C5．设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m，则ξ的数学期望E（ξ）＝( )A．1 B．5C.错误!D.错误!解析：由x2－2x－8≤0得,－2≤x≤4，∴S＝｛－2，－1，0,1，2,3,4｝，∴ξ的分布列为∴E（ξ）＝－错误!错误!错误!错误!错误!错误!，故选A。
2019高中数学第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列精练含解析北师大版选修232019041621.doc
§1 离散型随机变量及其分布列A组1.袋中有大小、形状、质地相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是( ) A.5 B.9 C.10 D.25解析:X的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.答案:B2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )A.0B.C.D.解析:设X的分布列为X 0 1P p 2p即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败率为p,则成功率为2p.由p+2p=1,得p=,故选C.答案:C3.设随机变量Y的分布列为Y -1 2 3P m则“≤Y≤”的概率为( )A. B. C. D.解析:依题意知,+m+=1,则m=.故P=P(Y=2)+P(Y=3)=.答案:C4.抛掷两枚骰子一次,ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则ξ的所有可能的取值为( )A.0≤ξ≤5,ξ∈NB.-5≤ξ≤0,ξ∈ZC.1≤ξ≤6,ξ∈ND.-5≤ξ≤5,ξ∈Z解析:ξ的所有可能取值为-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,即-5≤ξ≤5,ξ∈Z.答案:D5.设X是一个离散型随机变量,其分布列如下:X -1 0 1P 1-2a a2则a等于( )A.1B.1±C.1+D.1-解析:由分布列性质可得解得a=1-,故选D.答案:D6.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为ξ,则{ξ<2}表示的试验结果是.?解析:应分ξ=0和ξ=1两类.ξ=0表示取到3件正品;ξ=1表示取到1件次品、2件正品.故{ξ<2}表示的试验结果为取到1件次品、2件正品或取到3件正品.答案:取到1件次品、2件正品或取到3件正品7.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(0<X<2)= .?解析:由题意得=1,解得c=.所以P(0<X<2)=P(X=1)=.8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.(1)求ξ的分布列;(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.解P(ξ=k)=,k=0,1,2.(1)ξ可能取的值为0,1,2.所以ξ的分布列为ξ0 1 2P(2)由(1),“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.9.导学号43944027如图所示,设P1,P2,…,P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量S.(1)求S=的概率;(2)求S的分布列.解(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法,其中S=为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)的面积,共12种,所以,P.(2)S的所有可能取值为.S=为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)的面积,共6种,所以P.S=为等边三角形(如△P1P3P5)的面积,共2种,所以P,又由(1)知P,故S的分布列为SPB组1.一串钥匙有6把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为( )A.6B.5C.4D.2解析:由于是逐次试验,可能前5次都打不开锁,那么剩余钥匙一定能打开锁,故选B.答案:B2.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )A.20B.24C.4D.18解析:由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24种.答案:B3.(2016·江苏响水中学期中)设随机变量X的概率分布为P(X=2k)=ak(a为不为零的常数,k=1,2,3,4,5),则P(X>6)= .?解析:由随机变量分布列的性质知概率之和为1,故P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)+P(X=8)+P(X=10)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,∴a=,∴P(X=2k)=k(k=1,2,3,4,5),∴P(X>6)=P(X=8)+P(X=10)=.4.若随机变量η的分布列为η-2 -1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当P(η<x)=0.8时,实数x的取值范围是( )A.x≤2B.1≤x≤2C.1<x≤2D.1<x<2解析:由随机变量η的分布列知:P(η<-1)=0.1,P(η<0)=0.3,P(η<1)=0.5,P(η<2)=0.8,则当P(η<x)=0.8时,实数x的取值范围是1<x≤2.答案:C5.若P(ξ≤x2)=1-β,P(ξ≥x1)=1-α,其中x1<x2,则P(x1≤ξ≤x2)等于.?解析:由分布列性质可有:P(x1≤ξ≤x2)=P(ξ≤x2)+P(ξ≥x1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β).答案:1-(α+β)6.导学号43944028设离散型随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.1 0.3 m求:(1)2X+1的分布列;(2)|X-1|的分布列.解由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.首先列表为X 0 1 2 3 42X+1 1 3 5 7 9|X-1| 1 0 1 2 3从而由上表得两个分布列为:(1)2X+1的分布列2X+1 1 3 5 7 9P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3(2)|X-1|的分布列|X-1| 0 1 2 3P 0.1 0.3 0.3 0.3。
【2019-2020】高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列学案北师大版选修2_3
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列学案北师大版选修2_3撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量的表示方法和性质.3.会求简单的离散型随机变量的分布列．知识点一离散型随机变量思考1 ①掷一枚均匀的骰子，出现的点数；②在一块地里种下8颗树苗，成活的棵数．以上两个现象有何特点？思考2 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？梳理(1)随机变量将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于________，这种________称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示．(2)离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能够__________，这样的随机变量称为离散型随机变量．知识点二离散型随机变量的分布列思考掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？梳理(1)离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝________(i＝1,2，…)，①或把上式列成表为上表或①式称为离散型随机变量X的分布列．(2)离散型随机变量的性质①____________.②____________.类型一随机变量的概念例1 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.引申探究若将本例(3)的条件改为抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．跟踪训练1 下列是离散型随机变量的是( )A．某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差XB．将一枚硬币抛掷三次，出现正面朝上的次数XC．抛掷一枚六个面都是六个点的骰子，所得的点数XD．某人上班路上所花的时间X类型二利用分布列的性质求事件概率例2 设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X≥)；(3)求P(<X<)．反思与感悟利用分布列及其性质解题时要注意两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.跟踪训练2 (1)下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列．试说明该同学的计算结果是否正确；(2)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q的值；②求P(ξ<0)，P(ξ≤0)．类型三求离散型随机变量的分布列命题角度1 利用两随机变量的关系求分布列例3 已知随机变量ξ的分布列为反思与感悟若随机变量X，Y满足关系式Y＝f(X)，则可由X的取值情况得出Y的取值情况，即可以把X的取值看成定义域，Y的取值看成值域，即可根据X的分布列，得出Y的分布列．跟踪训练3 已知随机变量X的分布列为求随机变量Y＝sinX的分布列．命题角度2 利用排列组合求分布例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数；(2)求随机变量ξ的分布列．引申探究若本例条件不变，试求甲取到白球的概率．反思与感悟求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列．1．下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为( )A．①② B．③④C．①③ D．②④2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于( )A. B. C. D.233．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：则下列计算结果错误的是( )A．a＝0.1B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.34．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)＝________.5．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．答案精析问题导学知识点一思考1 各现象的结果都可以用数表示．思考2 可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．梳理(1)一个数对应(2)一一列举出来知识点二思考x＝1,2,3,4,5,6，概率均为.梳理(1)pi p1 p2 (2)①pi>0②p1＋p2＋…＝1题型探究例1 解(1)X的可能取值为1,2,3，...，10，X＝k(k＝1，2， (10)表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．引申探究解设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5, 6.依题意得X＝x－y.则－5≤X≤5，即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．则X>4⇔X＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．跟踪训练1 B例2 解(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.(2)∵P(X＝)＝k(k＝1,2,3,4,5)，∴P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝.(3)当<X<时，只有X＝，，时满足，故P(<X<)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＝＋＋＝.跟踪训练2 解(1)因为P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＋＝，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确．(2)①由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，1＋(1－2q)＋q2＝1，2所以q＝1－.②P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝，P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝＋1－2＝－.例3 解 由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，， 所以η1的分布列为由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和， 所以η2的分布列为跟踪训练3 解 由Y ＝sinX ，得Y ＝⎩⎨⎧P(Y ＝－1)＝P(X ＝3)＋P(X ＝7)＋P(X ＝11)＋…＝＋＋＋…＝， P(Y ＝0)＝P(X ＝2)＋P(X ＝4)＋P(X ＝6)＋…＝＋＋＋…＝， P(Y ＝1)＝P(X ＝1)＋P(X ＝5)＋P(X ＝9)＋…＝＋＋＋…＝.所以随机变量Y 的分布列为例4 解(1)设袋中原有n个白球，由题意知1＝＝＝，7可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝.所以ξ的分布列为引申探究解因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.跟踪训练4 解(1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P＝＝＝.(2)X的取值为100,80,60,40.P(X＝100)＝＝，P(X＝80)＝C232·C13＋C12·C2332＋C23C58＝，P(X＝60)＝＝＝，P(X＝40)＝＝.所以X的分布列为当堂训练1．C 2.D 3.C 4.235．解由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，则P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝＝，P(ξ＝6)＝＝.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为。
高中数学 第二章 概率 1 离散型随机变量及其分布列学
§1 离散型随机变量及其分布列1．随机变量(1)我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X ，Y 来表示．实际上，随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的集合到实数集的映射．(2)随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量． 预习交流1随机变量与函数的关系是怎样的？提示：随机变量与函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；随机试验的结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．2．离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作P (X ＝a i )＝p i (i ＝1，2，…)，①或列成表显然p i ＞0，p 1＋p 2＋ (1)预习交流2盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔．从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为ξ，那么ξ可能的取值是什么？当ξ＝2时表示怎样的试验结果？提示：ξ的取值为0,1,2,3，“ξ＝2”表示取出2支白粉笔和1支红粉笔．1．随机变量指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；(3)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．思路分析：利用随机变量的定义去分析相应的实例．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，所以是随机变量．(3)掷一颗骰子可能出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，因此不是随机变量．下列变量中属于离散型随机变量的有__________．①在2 008张已编号的卡片(从1号到2 008号)中任取一张，被取出的编号数为X ； ②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X ；③从2 008张已编号的卡片(从1号到2 008号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X ； ④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径之差X ；⑤投掷一颗骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X .答案：①②③解析：①②③中变量X 的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，④中的X 的取值为某一范围内的实数，无法列出，不是离散型随机变量．⑤中的X 的取值是确定的，是6，不是随机变量．判断一个变量是否为随机变量，主要是看变量的值的出现是否是随机的，结果是随机的变量为随机变量，如果随机变量能按一定的顺序列举出来，则这种随机变量则是离散型随机变量．2.离散型随机变量的分布列从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．思路分析：要求赢得的钱数X 的概率分布列，需先写出X 的可能取值，然后求出X 中每一个可能值的概率，从而列出分布列．解：从箱中取两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量x ＝－2，此时 P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522； 当取到1白1黄时，结果输1元，随机变量x ＝－1，此时P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211； 当取到1白1黑时，结果赢1元，随机变量x ＝1，此时P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411； 当取到2黄时，结果无输赢，随机变量x ＝0，此时P (X ＝0)＝C 22C 212＝166； 当取到1黑1黄时，结果赢2元，随机变量x ＝2，此时P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433； 当取到2黑时，结果赢4元，随机变量x ＝4，此时P (X ＝4)＝C 24C 212＝111，设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)， (1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35的值． 解：由题意得x(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝1215＝45.解答此类问题的关键有两点：一是依据试验的所有可能结果写出随机变量的可能取值；二是依据随机变量取值所对应的结果求出随机变量取每一个值的概率．1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )．A ．取到产品的件数B ．取到正品的概率C ．取到次品的件数D ．取到次品的概率 答案：C解析：对于A 中取到产品的件数是一个常量不是变量，B ，D 也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )．A ．5B ．9C ．10D ．25答案：B解析：两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示试验结果是( )．A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．第4次击中目标答案：C解析：ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中，就不一定，因为他只有5发子弹． 4．掷一枚骰子，出现点数X 是一随机变量，则P (X ＞4)的值为__________．答案：13解析：P (x ＞4)＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝16＋16＝13. 5．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产了1件，2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天，两天分别得1分，2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．解：ξ的可能取值为0,1,2.ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．。
高中数学 第二章 概率 1 离散型随机变量及其分布列导学案 北师大版选修23
§1 离散型随机变量及其分布列自主整理1.随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个_____________.2.随机变量的取值能够_____________的随机变量称为离散型随机变量.3.设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…，随机变量X 取a i 的概率为p i (i=1,2，…)，记作p(X=a i )=P i (i=1,2，…)称为__________________________________________________________________________。
并且有①p i _____________0，②p 1+p 2+…=_____________. 如果随机变量X 的分布列如上表，则称随机变量X 服从这一分布(列)，并记为_____________. 高手笔记1.随机变量是将随机试验的结果数量化.2.随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件.3.随机变量X 取每一个值a i 的概率P(X=a i )等于其相应的随机事件A i 发生的概率P(A i ).4.若X 为一个随机变量，则Y=aX+b(a,b 为常数)也为随机变量.5.离散型随机变量的分布列中第一行表述了随机变量X 的所有可能的取值,在这里要注意按一定的次序来填写；第二行表述了随机变量X 取相应上行中数值a i 的概率的大小p i =P(X=a i )，i=1,2，… 6.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于其在这个范围内取每一个值的概率之和.7.离散型随机变量的分布列不仅清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究随机试验数量特征的基础. 名师解惑1.随机变量与以前学过的变量有什么区别与联系？剖析：随机变量作为一个变量，当然有它的取值范围，这和以前学过的变量一样.不仅如此，还有它取每个值的可能性的大小，如：从装有无差别的6只黑球、4只白球的袋中，随机抽取3只球，所得的白球个数是一随机变量X ，其取值为X=0，1，2，3；而取每个值的可能性的大小，可通过其相应的随机事件发生的大小——即其概率来反映.即“若X=2”，对应事件A 2：“取出的3只球中恰有两只白球”，其概率：P(A 2)=.1031238910123463102416=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C C 若“X=3”对应事件A 3：“取出的3只球中恰有三只白球”的概率：P(A 3)=.101123891012323431034=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=CC所以随机变量X=2的可能性大小为103，而X=3的可能性大小为301. 综上，随机变量X 不仅有它的取值范围{x 1，x 2，…，x n ，…}，而且还有取每个值的可能性大小——概率P(X=x i )，i=1,2，…，n ，…，这是与通常的变量所不同的. 2.常见的离散型随机变量的分布列有哪些？ 剖析：(1)单点分布：它的分布列为其中0<P<1，且p+q=1.(3)超几何分布：P(X=k)=nNk n MN k M C C C --•(其中k 为非负整数) 称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布.(4)二项分布：P(X=k)=C kn p k(1-p)n-k(k=0，1,2，…，n)称X 服从参数为n ，p 的二项分布. 3.求离散型随机变量的分布列的步骤?剖析：首先，明确随机变量的所有可能取值； 其次，求出与这些可能取值等价的事件的概率； 最后，在确定概率和为1后，按要求写出分布列. 讲练互动【例1】将一枚均匀硬币抛掷一次，试指出下列四种描述中，哪个是描述此随机试验的随机变量X ，并求出X 的分布列. (1)出现正面的次数；(2)出现正面或反面的次数； (3)掷硬币的次数；(4)出现正反面的次数之和.分析：解决本题的关键是判断随机变量，确定X 的取值.在一个随机试验中，用来描述此随机试验的随机变量有多种形式，但不论选哪一种形式，它对应的都是随机试验所有可能的结果.由于某些随机试验结果的属性不同，结果的数量化本身就是多样的，如正面向上取1反面向上取0.同时随机试验可能出现的结果的确认标准应该是一个，如掷硬币这样的随机试验可能的结果，一个标准是正面向上的次数，或者是反面向上的次数，但不论以正面向上还是以反面向上，只能取一种划分方法，如出现正面的次数，这时X 的取值为0、1.解：掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量X ，X 的取值是0、1，故(1)是；而(2)中标准模糊不清；(3)中掷硬币次数就是1，不是随机变量；(4)中出现正面和反面次数之和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量.绿色通道:题中分布列为二点分布列，有很多随机现象都是用此分布列来表示，如某一随机事件发生用1表示，则不发生用0表示，其事件发生的次数就是一个随机变量，这个随机变量的分布列便是二点分布列. 变式训练1．将一颗骰子掷2次，求下列随机变量的分布列. (1)两次掷出的最大点数；(2)第一次掷出点数减去第二次掷出点数的差. 解：【例2】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2，3,4，5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列.分析：随机取出3个球的最大号码X 所有可能取值为3,4，5,6. “X=3”对应事件“取出的3个球，编号为1,2，3”；“X=4”对应事件“取出的3个球中”恰取到4号球和1,2，3号球中的2个；“X=5”对应事件“取出的3个球中”恰取到5号球和1,2，3,4号球中的2个；“X=6”对应事件“取出的3个球中”恰取到6号球及1,2，3,4，5号球中的2个，而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来求解，从而获得X 的分布列.解：随机变量X 的取值为3,4，5,6.从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为36C ，事件“X=3”包含的基本事件总数为C 33，事件“X=4”包含的基本事件总数为11C 23C ；事件“X=5”包含的基本事件总数为11C 23C ；事件“X=5”包含的基本事件总数为11C C 24；事件“X=6”包含的基本事件总数为11C C 25；从而有P(X=3)=2013633=C C ；P(X=4)=;203362311=C C C P(X=5)=362411C C C =103；P(X=6)=362511C C C =21. ∴随机变量X 的分布列为：绿色通道:确定离散型随机变量X 的分布列的关键是要搞清X 取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列组合知识求出X 取每个值的概率.. 变式训练2．一批零件有9个合格品，3个不合格品，安装机器时，从中任取一个，若取出不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.解：设在取得合格品以前取出的不合格品数记为X ，则X 是一个随机变量，且其取值为0,1，2,3，“X=0”表示从12个零件中取出一件，取到合格品，其概率P(X=0)=11219C C =43129=，“X=1”表示从12个零件中取2件，第一次取到不合格品，第二次取到合格品，其概率P(X=1)=2121913C C C =.449111293=⨯⨯ 同理，P(X=2)=22091011129233121923=⨯⨯⨯⨯=C C C ， P(X=3)=2201910111291236121933=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C C ，则分布列为：【例3】设随机变量X 的分布列为P(X=i)=10(i=1,2，3,4)，求：(1)P(X=1或X=2)；(2)P(21<X<27)；(3)函数F(x)=P(X<x)，若P(X<x)=52，求x 的最大值.分析：利用分布列的性质p 1+p 2+…=1解题.解：(1)P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)=101+102=103=0.3. (2)P(21<X<27)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=101+102+103=0.6.(3)F(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤<≤.4,1,43,106,32,103,21,101,1,0x x x x k由上可知P(X<x)=52时，3<x≤4， ∴x 的最大值为4. 绿色通道:已知分布列时，可求分布函数F(x)，由本题可知离散型随机变量的分布函数是分段函数. 变式训练3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表：(2)求P(X>-1).解：(1)因为离散型随机变量的分布列满足： ①p i ≥0，i=1,2，... ②p 1+p 2+ (1)所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q q解得q=1-21.(2)P(X>-1)=P(X=0)+P(X=1)=2-1+2-2=2,或者P(X>-1)=1-P(X=-1)=1-2=2.【例4】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次若取出的是黑球则不再放回，直到取出白球为止，求取球次数的概率分布列.分析：先考虑取球次数这一随机变量的可能取值，然后求出每一种取值的概率，最后写出分布列.解：由题意得取球次数X 是一随机变量.若每次取出黑球不再放回，所以X 的可能取值为1,2，3,4，5，“X=1”表示“从中取出一个球，取到白球”，则P(X=1)=51114=C .“X=2”表示“从中取两个球，第一次取到黑球，第二次取到白球”，则P(X=2)=2514C C ==⨯45451，同理P(X=3)=3524C C =51，P(X=4)=4534C C =51，P(X=5)=5544C C =51.所以若每次取出黑球不再放回，取球次数X 的分布列为：绿色通道:本题的关键是求随机变量X 取每一个可能值时的概率.也可以这样解：P(X=1)=51；P(X=2)=54×41=51；P(X=3)= 54×43×31=51；P(X=4)=54×43×32×21=51；P(X=5)= 54×43×32×21×11=51. 变式训练4．某射手有5发子弹，射击一次命中概率是0.9，如果命中就停止射击，求耗用子弹数的分布列.分析：只要确定了X 取哪些值以及各值代表的随机事件的概率即可.解：X 的取值只有1,2，3,4，5，当X=1时，P(X=1)=0.9，当X=2时，要求第一次没射中，第二次射中，故P(X=2)=0.1×0.9=0.09，同理，当X=3时，要求前两次没有射中，第三次射中，P(X=3)=0.12×0.9=0.009，类似地，P(X=4)=0.000 9，第5次射击不同，只要前4次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以P(X=5)=0.14=0.000 1，所以分布列。
2019-2020年高中数学第2章概率1离散型随机变量及其分布列课后演练提升北师大版选修
2019-2020年高中数学第2章概率1离散型随机变量及其分布列课后一、选择题 1.下列变量中，不是随机变量的是( )A. 中超足球赛某场比赛的进球数B.标准状态下，水在100 C 时会沸腾C. 某日上证收盘指数D. 某地110在一天内接到的报警电话数 解析： 由物理知识可知，在标准状况下，水在 100 C 时会沸腾，这是必然事件，不是随机变量.答案： B2. 设随机变量 X 等可能取值1,2，…，n ,如果F (X <4) = 0.3，那么( )A. n = 3B. n = 4C. n = 10D. n 不能确定解析：•.•随机变量X 等可能取值，P 1+ P 2+…+ P n = np i = 1. 1 1R X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = = — P[ X <4) = 0.1 ,n 3n = 10.答案： C 3.若随机变量X 的分布列如下，则 m的值是()A.C. 1 1 1解析： 由分布列性质得 -+ - + m= 1,「. m=-.3 6 2 答案： B 4.①某机场候机室中一天的游客数量为 X ;② 某寻呼台一天内收到的寻呼次数为 X ;B.D.③某水文站观察到一天中长江的水位为X;④某立交桥一天经过的车辆数为X其中不是离散型随机变量的是 ( )A.①中的X C.③中的X 解析：答案： C 二、 填空题5. ___________________________________________ 下列变量中是离散型随机变量的是 . ① 某无线寻呼台1 min 内接到的寻呼次数 X ; ② 连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数 X ;③ 将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和 X ; ④ 某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X .解析： 判断一个变量是否是离散型随机变量， 主要看变量的某些值的出现是不是确定 的，并且变量的取值能否按一定顺序列举出来•④中 X 取值为某一范围实数，无法列出，为连续型随机变量.答案：①②③6•袋中有4只红球和3只黑球，从中任取 4只球，取到一只红球得 1分，取到一只黑 球得3分，设得分为随机变量 X,则RX < 6) = __________________________ .解析： 可能的情形为：4红，3红1黑，2红2黑，1红3黑，对应的得分依次是 4 分，6分，8分，10分.C 41 12 13RX W 6)= RX = 4)+ P (x =6)= -7+否=35+歹 35.… 13 答案：35 三、 解答题7.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由. (1) 某人射击一次命中的环数；B.②中的X D.④中的X(2) 任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3) 投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；2⑷某个人的属相；(5)在标准大气压下，水的结冰温度.解析： (1)某人射击一次，可能命中的环数是 0环，1环，…，10环结果中的一个，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量.(2) 任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上， 因此投掷5次硬币,出现正面向上的次数可能是 0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量.(3) 投一颗骰子出现的结果是 1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个 结果是随机的，因此是随机变量.(4) 属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量. (5)标准大气压下，水的结冰温度是0 C,不是随机变量.&写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1) 一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取 3个，其中所含白球的个数为 X ; (2) 一个袋中装有5个同样大小的球，编号为 1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出 3个球,被取出的球的最大号码数为 X .(2) X 可取 3,4,5.每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得 2分，用E 表示得分数，求 E 的概率分布.解析： 由题意知，E 的可能取值是0,1,2,3,4 ，则 C i 4X3 1E =0) = 3= 9X8= 6.解析：(1) X 可能的取值为0,1,2.X = 0表示取出的 3个球中有 0个白球, 3个黑球. X = 1表示取出的 3个球中有 1个白球,2个黑球.X = 2表示取出的 3个球中有 2个白球, 1个黑球. X = 3表示取出的 3个球的编号为 1,2,3.X = 4表示取出的 3个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4. X = 5表示取出的 3个球的编号为1,2,5 或 1,3,5 或 2,3,5 或 1,4,5 或 2,4,5 或 3,4,5.尖子生题库☆☆☆ 9•袋中有4个黑球，3个白球, 2个红球，从中任取 2个球，每取到一个黑球得4X 2+ 3 9X8 11 36.2P( E= 3)=害3X29X81 6.P " 4)= Ch 36.故E的概率分布列为1 1P( E = 0) = 6, P( E = 1) = 3,11 1R E=2)= 36，P( E= 3)= 6，R E = 4) =36，故E的分布列为E01234P11111163366362019-2020年高中数学第2章概率2超几何分布课后演练提升北师大版选修、选择题1 •袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从其中任取2个球，则取得的2球颜色不同的概率约为（） A. 0.357 B. 0.536解析：P= C = 28~ °.536.答案：BC. 0.464D. 0.2502. 50个乒乓球中，合格品45个，次品5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率为（）C3A.右C50 B.C5+ C2+ CC 1-鬲 D.解析： 可以直接考虑次品1个、2个、3个，也可以用对立事件没有出现次品答案： B 二、填空题5•—次口试中，学生要从10道题中随机抽出3道题回答，答对其中两道题就获得及格,某学生会答10道题中的8道题，那么这位学生口试及格的概率是6•某小组有男生 6人，女生4人，现要选3个人当班干部，则当选的 3人中至少有1 个女生的概率为 _______________________ .解析： &C + C 4C 6 + C 4 5P - C 1o - 6. 答案：5 6答案： C3•从4个女同学和5个男同学中，任选 3人，选到2个女同学和1个男同学的概率 p为（）1 5 A.B.14 145 11 C ~D —8484Gd5解析： P —舌-14. 答案： B 4 •袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是（dd-1-1 + C 2-0B・C 2出现次品的概率:1— C 0.解析：记黑球个数为 X, P (X > 1) = P (X = 1) + P (X = 2)=曽+(C?=咒必dCL iC-C-C o ,5X7 8X7解析: 从超几何分布来看，及格的概率 P =c l c ；+ C 8 14 15答案:1415三、解答题7•袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列.并求至少有一个红球的概率.解析： X = 0,1,2,3 , X = 0表示取出的三个球全是黑球, C 3 1RX = °)= C 3=35.C 3 42 3)=矿 35••• X 的分布列为:至少有一个红球的概率为 P (X > 1) = 1 — 35 = 34.分布列.解析：X 的可能取值为0,1,23 {X = 0}表示取出的5件产品全是正品.R X = °)=C 3C 4 105 5R X = 1) = C = 252= 12；{X = 3}表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品. 曲 21 1 RX = 3) ==252= 12.• X 的分布列为:尖子生题库 ☆☆☆9.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上同理P (X = 1)=荟器C 4C 18"CT = 35,&设有1°件产品中，有 3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数{X = 1}表示取出的5件产品中有1件次品, 4件正品.{X = 2}表示取出的5件产品中有2件次品, 3件正品.P (X = 2)=105 5252= 12；最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等， 用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; ⑵ 随机变量X 的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率. 方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为 A “一次取出的3个小 球上有两个数字相同”的事件记为 B,则事件A 和事件B 是对立事件,所以随机变量X 的概率分布列为(3) “一次取球得分介于 20分到40分之间”的事件记为 C, 则 P ( C ) = P ( X = 3 或 X = 4) = F ( X = 3) + F ( X = 4) 2 3 13=—+ —=— 15 10 30'解析：(1)方法一：“一次取出的 3个小球上的数字互不相同”的事件记为 A ,则 P (A )= Gbdd 2 do = 3. 因为R B)= C 5C C 8 1 3, C 0 所以RA)=1-P (B ) = 1-1 = | (2)由题意, X 所有可能的取值为2,3,4,5.F (X = 2)= 6。
2019_2020学年高中数学第2章概率2.1.2离散型随机变量的分布列讲义新人教B版
2.1.2 离散型随机变量的分布列学习目标：1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解二点分布的定义，并能简单的运用．(难点)教材整理1离散型随机变量的分布列阅读教材P41～P42例1以上部分，完成下列问题．1．定义要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：(1)X所有可能取的值x1，x2，…，x n；(2)X取每一个值x i的概率p1，p2，…，p n，需要列出下表：的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．2．性质(1)p i≥0，i＝1,2,3，…，n；(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．( )(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )【解析】(1)×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(2)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(3)√由分布列的性质可知，该说法正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2二点分布阅读教材P42例1以下部分，完成下列问题．如果随机变量X的分布列为其中0＜p ＜1，q设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，试验失败，1，试验成功，则P (Y ＝0)＝( )A ．0B ．12 C.13 D ．23【解析】 由题意知，可设P (Y＝1)＝p，则P (Y ＝0)＝1－p ，又p ＝2(1－p )，解得p ＝23，故P (Y ＝0)＝13.【答案】 C分布列及其性质的应用【例1】 设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i a(i ＝1,2,3,4)，求： (1)P (X ＝1或X ＝2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72. 【精彩点拨】 先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12<X <72的含义，利用分布列求概率．【解】 (1)∵∑i ＝14p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a＝1，∴a ＝10， 则P (X ＝1或X ＝2) ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)由a ＝10，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72 ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的.(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1，2，…，n.1．若离散型随机变量X 的分布列为：求常数a 【解】 由分布列的性质可知：3a 2＋a ＋4a －1＝1， 即3a 2＋5a －2＝0，解得a ＝13或a ＝－2，又因4a －1>0，即a >14，故a ≠－2.所以a ＝13，此时4a －1＝13，3a 2＋a ＝23.所以随机变量X 的分布列为：求离散型随机变量的分布列【例2】 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【精彩点拨】 X 的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．【解】 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 33，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25.从而有P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x i (i ＝1,2，…，n )． (2)求出取每一个值的概率P (ξ＝x i )＝p i . (3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．【解】 从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}． 当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X ＝1； 当取到2黄时，X ＝0； 当取到1黑1黄时，X ＝2； 当取到2黑时，X ＝4.则X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4. P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111.从而得到X 的分布列如下：二点分布[探究问题]1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？【提示】 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从二点分布的随机变量．2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从二点分布？ 【提示】 不一定．如随机变量X 的分布列由下表给出X【例3】 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红.求X 的分布列．【精彩点拨】 X 只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X ＝0的概率，最后列出表格的形式即可．【解】 由题设可知X 服从二点分布． P (X ＝0)＝C 25C 215＝221，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.∴X 的分布列为两步法判断一个分布是否为二点分布1．看取值：随机变量只取两个值0和1.2．验概率：检验P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是二点分布，否则不是二点分布．3．若离散型随机变量X 的分布列为则a ＝( )A.12 B ．13 C.15 D ．110【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可知，2a ＋3a ＝1，解得a ＝15.【答案】 C1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则常数a 的值为( A.13 B ．23 C.13或23D ．－13或－23A [由离散型随机变量分布列的性质可得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝13.]2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，….则P (2＜X ≤4)等于( )A.316 B ．14 C.116 D ．15【解析】 2＜X ≤4时，X ＝3,4.所以P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.【答案】 A3．随机变量η的分布列如下：【解析】 由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 【答案】 0 0.554．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．【解析】 设X 的分布列为⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1，解得－13≤d ≤13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，135．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．【解】 (1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为。
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2019-2020年高中数学第2章概率1离散型随机变量及其分布列课后演练提升北师大版选修一、选择题1．下列变量中，不是随机变量的是( ) A ．中超足球赛某场比赛的进球数 B ．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾 C ．某日上证收盘指数D ．某地110在一天内接到的报警电话数解析： 由物理知识可知，在标准状况下，水在100 ℃时会沸腾，这是必然事件，不是随机变量．答案： B2．设随机变量X 等可能取值1,2，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10D ．n 不能确定解析： ∵随机变量X 等可能取值，∴p 1＋p 2＋…＋p n ＝np i ＝1. ∴P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝P (X ＝3)＝1n ＝13P (X <4)＝0.1，∴n ＝10. 答案： C3．若随机变量X 的分布列如下，则m 的值是( )A ． 13B ． 2C ． 16D ． 14解析： 由分布列性质得 13＋ 16＋m ＝1，∴m ＝ 12.答案： B4．①某机场候机室中一天的游客数量为X ； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X ； ③某水文站观察到一天中长江的水位为X ； ④某立交桥一天经过的车辆数为X .其中不是离散型随机变量的是( ) A ．①中的X B ．②中的X C ．③中的X D ．④中的X解析：答案： C 二、填空题5．下列变量中是离散型随机变量的是____________. ①某无线寻呼台1 min 内接到的寻呼次数X ； ②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X ； ③将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X ；④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X .解析： 判断一个变量是否是离散型随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定的，并且变量的取值能否按一定顺序列举出来．④中X 取值为某一范围实数，无法列出，为连续型随机变量．答案： ①②③6．袋中有4只红球和3只黑球，从中任取4只球，取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝______________.解析： 可能的情形为：4红，3红1黑，2红2黑，1红3黑，对应的得分依次是4分，6分，8分，10分．P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44C 47＋C 34C 13C 47＝135＋1235＝1335.答案：1335三、解答题7．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； (3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相；(5)在标准大气压下，水的结冰温度．解析： (1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(3)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量． (5)标准大气压下，水的结冰温度是0 ℃，不是随机变量．8．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X ； (2)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为X .解析： (1)X 可能的取值为0,1,2.X ＝0表示取出的3个球中有0个白球，3个黑球． X ＝1表示取出的3个球中有1个白球，2个黑球． X ＝2表示取出的3个球中有2个白球，1个黑球．(2)X 可取3,4,5.X ＝3表示取出的3个球的编号为1,2,3.X ＝4表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4.X ＝5表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或2,3,5或1,4,5或2,4,5或3,4,5.尖子生题库☆☆☆9．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用ξ表示得分数，求ξ的概率分布．解析： 由题意知，ξ的可能取值是0,1,2,3,4，则 P (ξ＝0)＝C 24C 29＝4×39×8＝16.P (ξ＝1)＝C 14·C 13C 29＝13.P (ξ＝2)＝C 14·C 12＋C 23C 29＝4×2＋39×82＝1136.P (ξ＝3)＝C 13·C 12C 29＝3×29×82＝16.P (ξ＝4)＝C 22C 29＝136.故ξ的概率分布列为P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝13， P (ξ＝2)＝1136，P (ξ＝3)＝16， P (ξ＝4)＝136，故ξ的分布列为2019-2020年高中数学第2章概率2超几何分布课后演练提升北师大版选修一、选择题1．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从其中任取2个球，则取得的2球颜色不同的概率约为( )A ．0.357B ．0.536C ．0.464D ．0.250解析： P ＝C 15C 13C 28＝1528≈0.536.答案： B2．50个乒乓球中，合格品45个，次品5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率为( )A ．C 35C 350 B ．C 15＋C 25＋C 35C 350 C ．1－C 345C 350D ．C 15C 245＋C 25C 145C 350解析： 可以直接考虑次品1个、2个、3个，也可以用对立事件没有出现次品C 345C 350，∴出现次品的概率：1－C 345C 350.答案： C3．从4个女同学和5个男同学中，任选3人，选到2个女同学和1个男同学的概率p 为( )A ． 114B ． 514C ． 584D ． 1184解析： p ＝ C 24C 15C 39＝ 514.答案： B4．袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是( ) A ．C 15C 13C 28B ．C 15C 13＋C 25C 03C 28 C ．C 16C 18－1C 28D ．5×78×7解析： 记黑球个数为X ，P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 13C 28＋C 25C 03C 28＝C 15C 13＋C 25C 03C 28. 答案： B 二、填空题5．一次口试中，学生要从10道题中随机抽出3道题回答，答对其中两道题就获得及格，某学生会答10道题中的8道题，那么这位学生口试及格的概率是____________.解析： 从超几何分布来看，及格的概率P ＝C 28C 12＋C 38C 310＝1415. 答案：14156．某小组有男生6人，女生4人，现要选3个人当班干部，则当选的3人中至少有1个女生的概率为______________.解析： P ＝C 14C 26＋C 24C 16＋C 34C 310＝56. 答案： 56三、解答题7．袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列．并求至少有一个红球的概率．解析： X ＝0,1,2,3，X ＝0表示取出的三个球全是黑球， P (X ＝0)＝C 33C 37＝135.同理P (X ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 37＝435.∴X 的分布列为：至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－35＝35.8．设有10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数X 的分布列．解析： X 的可能取值为0,1,2,3. {X ＝0}表示取出的5件产品全是正品． P (X ＝0)＝C 03C 57C 510＝21252＝112；{X ＝1}表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品． P (X ＝1)＝C 13C 47C 510＝105252＝512；{X ＝2}表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品． P (X ＝2)＝C 23C 37C 510＝105252＝512；{X ＝3}表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品． P (X ＝3)＝C 33C 27C 510＝21252＝112.∴X 的分布列为：尖子生题库☆☆☆9．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解析： (1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A “一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是对立事件，因为P (B )＝C 15C 22C 18C 310＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23.(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130； P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310； P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量X 的概率分布列为(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C ， 则P (C )＝P (X ＝3或X ＝4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝215＋310＝1330.。