最大值、最小值问题

2 2 f (2) 16 12(2 a ) 12(1 a )1 5 由于
所以 3 3a 2 5
解得 6 a 6 3 3 所以a的取值范围为 ( 6 , 6 ) 3 3
1．下列说法正确的是( D ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值
解:（1）首先写出V关于x的函数解析式.根据
题意可得V=f（x）=（48-2x）2x 由实际情况可知函数的定义域为｛x︳0<x<24｝. 根据导数公式表及求导法则，可得
f (x) 4x(48 2x) (48 2x) 2 (48 2x)(6x 48) 12(x 24)(x 8) 解方程V(x) 0, 得x1 8, x 2 24.
【提升总结 】 函数f(x)在区间[a，b]上最值的取值规律：
函数的最值或者在极值点取得,或者在区间的
端点取得.因此,要想求函数的最值,应首先求出函
数的极值,然后所有的极值点与区间端点的函数值
进行比较,其中最大的值即为函数的最大值,最小
的值即为最小值.
例题解析
例1.求函数y=f(x)=x3-2x2 +5在区间[-2,2]上的 最大值和最小值. 2 3 2 f '( x ) 3 x 4x 解由f(x)=x -2x +5,得 4 2 由 f '( x) 3 x 4 x 0 ,得x=0,x= 3 列表如下：
回顾本节课你有什么收获？
1.函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值. (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最
b 4a 5， b 3,
所以a=2.
5.已知函数f(x)＝2x3－12x.求函数f(x)的
单调递增区间,并求函数f(x)在[－1,3]上
的最大值和最小值．
解析： f(x)＝2x3－12x， f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)． 令 f′(x)＝0，得 x＝－ 2或 x＝ 2.
2 3 为3,最小值为-5,则a=_______,b=________.
解析：f′(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2)=0,
x1 0, x 2 2, x 3 2,
又f(1)=a-4a+b=b-3a, f(2)=16a-16a+b=b, f 2 b 4a, 所以
所以当x=-t时,f(x)取得最小值。 3 h ( t ) t t 1(t 0) f(x)的最小值为 (2)令 g(t ) h(t ) (2t m) t 3t m 1(t 0) 2 2 g '( t ) 3 t 3( t 0) 则 ,由 g '(t ) 3t 3 0 得t=-1(舍去),t=1,列表如下：
y 5t CD 3t BD 5t 400 x 2 3t (100 x )(0 x 100)
令 y t (
5x
唯一解x=15,比较后可得在x=15处取得最大值。 所以,当x=15 km,即D点选在距A点15 km时, 总运费最省.
400 x 2
3) 0,在 0 x 100 的范围内有
f '( x) 6 x2 6(2 a 2 ) x 6(1 a 2 ) 由题意知 f '( x) 6 x2 6(2 a2 ) x 6(1 a2 ) 0 恒成立 2 2 2 36 （ 2+ a ) 144(1 a ) 0 ,得 a 4 0 则
函数的最值
高二数学组
崔建欣
1.理解最值的概念，了解函数的极值与最值的 区别与联系.(重点) 2.掌握用导数求函数最值的方法，会解决一些
生活中的优化问题.(难点)
探究点1
函数的最值的概念
函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：
不超过 函数在这个区间上所有点的函数值都_______f(x 0); 函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：
变式训练
函数 f ( x) 2 x3 3(2 a2 ) x2 6(1 a2 ) x 1 (1)若f(x)在R上单调,求实数a的值。 (2)f(x)在 [0, 2] 的最大值为5,求实数a的取值范围.
3 2 2 2 解:(1)由 f ( x) 2 x 3(2 a ) x 6(1 a ) x 1 ,得
（1）试写出该企业获得的生产利润w（单位：万元）
与产量x之间的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大
利润为多少？
解:(1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y， 所以,由w=w(x)=18x-(x3-24x2+63x+10), (2)求w=w(x)的导函数
w(x) 3x 2 48x 45.由w(x) 0, 得x1 1, x 2 15.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
X
f′(x)
, 2
＋
2
0

2, 2

2
0

2,

－
＋
f(x)
极大值
极小值
所以函数 f(x)的单调递增区间为 (－∞，－ 2,( 2，＋∞ )． 因为 f(－1)＝ 10,f(3)＝ 1,f( 2)＝－ 8 2， 所以当 x＝ 2时 ,f(x)取得最小值为－8 2； 当 x＝ 3 时,f(x)取得最大值为 18.
即当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容 器容积最大，最大容积为8 192 cm3.
例3
产量与利润
对于企业来说，生产成本、销售收
入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产 企业的研究表明，该企业的生产成本y(单位：万元)和 生产收入z(单位：万元)都是产量x（单位：t）的函数，
分别为y=x3-24x2+63x+10, z=18x.
最小值与最大值：
①x∈ [-2，0] f（0）,f(-2) f(2),f(4)
②x∈ [2，4]
③x∈ [-2，4]
f(1),f(-2)或f（4）
问题3 f(x)=x3-3x+3在以下区间上的
最小值与最大值：
①x∈ [-2，0] f(-2),f(-1)
②x∈ [2，4]
f(2),f(4)
③x∈ [-2，4] f(-2)或f(1),f(4) 观察并总结函数最值点取值的规律？
值 解析: y 4 x 3 4 x. 令 y 0,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y , y 的变化情况如下表:
x -2 (-2,1) -1 (-1,0) 0 0 + 0 (0,1) 1 0 (1,2) 2 +
y'
y 13
-
↘
4
↗
5
↘
4
↗
13
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
例2：一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个 大小相同的小正方形，然后折起， 可以做成一个无盖长方体容器， 所得容器的容积V（单位：cm3） 是关于截去的小正方形的边长x
（单位:cm）的函数.
(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？
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(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最
大？最大容积是多少？
a x1 o
X2 X3
b
x
探究点2
求函数f(x)在区间[a，b]的最值
问题1: f(x)=x+1在以下区间上 的最小值与最大值： ①x∈ [-2，0] f（-2）,f(0) ②x∈ [2，4]
f(2),f(4)
③x∈ [-2，4] f(-2),f(4)
问题2
f(x)=x2-2x-3在以下区间上的
不小于 函数在这个区间上所有点的函数值都________f(x 0).
最值 函数的最大值和最小值统称为______.
练一练
观察右边一个定义
y
在区间[a,b]上的函数
y=f(x)的图像，你能找
出函数y=f（x）在区间
[a，b]上的最大值、最 小值吗？ f(x2) 是极大 f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 值，在区间上的函数的最大值是______ f(b) ，最小值是 f(x3) _______.
1 4 1 3 1 2 2.函数y= x x x ,在［－1,1］上 4 3 2 的最小值为( A )
A.0
B.－2
C.－1
13 D. 12
76
,最小值为 -5 .
3.函数 y = x³ + 3 x²－9x在 [－4 , 4 ]上
的最大值为
4.函数f(x)=ax4-4ax2+b(a＞0,1≤x≤2)的最大值
根据x1=8，x2=24列表，分析导函数的符号得
到函数的单调性与极值点
x f′(x) V＝f(x)
(0，8) ＋
8 0 极大值
(8，24) －
x=8是函数的极大值点，相应极大值为 V=f(8)=(48-16)2×8=8 192(cm3). 根据对函数变化规律的讨论可知： 当0<x≤8时，函数V=f(x)是增加的；当8≤x＜ 24时,V=f(x)是减少的. (2)区间（0,24）上任意点的函数值都不超过 f(8),因此x=8是函数的最大值点.此时V=8192cm3
所以a=0
2 2 2 2 f '( x ) 6 x 6(2 a ) x 6(1 a ) 6( x 1 a )( x 1) (2)由 且1 1 a 2 知f(x)在(0,1)上增,在[1,1 a 2 ] 上减
在[1 a2 , ) 上增 所以f(x)的最大值为f(1)或f(2)
x
-2
f′(x) 20
(2,0) +
0
0
极大值
4 (0, ) 3
4 3
4 ( , 2) 3
2
4
-
0
极小值
+
f(x) -11
4 f(0)=5,f( 3
5
f(-2)=-11,f(2)=5 y=x3-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值是5,最小值是-11
103 )= 27 ,
【举一反三 】4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小 求函数y=x
典型例题
例4.已知函数 f ( x) tx 2t x t 1(t 0) (1)求f(x)的最小值h(t). (2)若h(t)<-2t+m对t (0, 2)恒成立,求实数 m的取值范围。
2 2
3 f ( x ) t x t t t 1(t 0) 解:(1) 2
列表如下
x (0，1) － 1 0 极小值 (1,15 ) + 15 0 极大值 (15，＋ ∞) －
w'(x)
w(x)
w(0)=-10,w(15)=1 340,故函数w=w(x)的最大值为 w(15)=1340,即该企业的产量为15t时,可获得最大 利润,最大利润为1340万元。
【变式练习 】
如图,铁路线上AB段长
【提升总结】
求函数最值的四个步骤
第一步 求函数的定义域.
第二步 求 f'(x) ,解方程f'(x)=0 . 第三步 列出关于x,f'(x) ,f(x)的变化表. 第四步 求极值、端点值，确定最值.
Байду номын сангаас 探究点3
生活中的最值问题
利用导数解决生活中的最值问题 的基本思路：
生活中的最值 问题 用函数表示的数学问题 解决数 学模型 作答 生活中的最值问题 的答案 用导数解决数学问题
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
C
在AB上某一处D,向C修
一条公路.已知铁路每吨
B
D
A
千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
【变式练习答案 】 解析 :设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,
2 km）. CD= 202 x 2 400 x（ 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨 千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到 工厂C的总运费为
3
典型例题
t g′(t) g(t) (0,1) ＋ 1 0 极大值 (1,2) －
所以,g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m 由h(t)<-2t+m对t (0, 2) 恒成立,得 1-m<0,即m>1 所以m的取值范围为(1, ) 点评:把恒成立问题转化为求函数最值问题。 注意端点处能否取得,本题中函数有最大 值,因而端点处不能取。