高三5月训练(文数)
2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题(5月月考)数学试题
2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题（5月月考）数学试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ） ABCD2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y = B．y =±C．y x = D．2y x =± 3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=- 4．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A． B ．4π C． D ．3π5．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．36． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A．75 B．65 C．55 D．457．函数cos()cosx xf xx x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A．B．C．D．8．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月份C．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元9．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 10．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,1 11．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．112．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高三5月大联考(全国乙卷)文科数学试题及参考答案
2023届高三5月大联考（全国乙卷）文理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，设复数21,z z 对应的点分别为()()1,12021-Z Z ，，，则=21z z （）A .2B .3C .2D .12.已知集合()(){}012<+-=x x x M ，{}30≤≤=x x N ，则=N M （）A .[)20，B .[]30，C .(]31，-D .(]32，3.《“健康中国2030”规划纲要》提出，将康时促进人的全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件.实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志.也是全国各族人民的共同愿望.为普及健康知识，某公益组织为某社区居民组织了一场健康知识公益讲座，讲座后居民要填写健康知识问卷（百分制），为了解讲座效果，随机抽取了10为居民的问卷，并统计得分情况如下表所示：则下列说法错误的是（）A .该10位居民的问卷得分的极差为30B .该10位居民的问卷得分的中位数为94C .该10位居民的问卷得分的中位数小于平均数D .该社区居民的问卷得分不低于90分的概率估计值大于0.24.已知2.0log 1.0=a ，a b lg =，ac 2=，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a <<B .b c a <<C .a c b <<D .ca b <<5.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为152，“两个球都是白球”的概率为31，则“两个球颜色不同”的概率为（）A .154B .157C .158D .1511答题居民序号12345678910得分728365768890659095766.若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A.94B .98C .115D .11107.若函数()()⎩⎨⎧≥++<++=0,1ln 0,122x a x x ax ax x f 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A .()()∞+∞-，，10 B .()1,0C .()1，∞-D .()∞+，08.若平面向量b a ,满足b a 2=，且b a22+与b 垂直，则b a ,的夹角为（）A .43πB .32πC .3πD .4π9.已知椭圆E ：()012222>>=+b a b y a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，左、右焦点分别为21,F F ，延长2BF 交椭圆E 于点P .若点A 到直线2BF 的距离为3216，21F PF ∆的周长为16，则椭圆E 的标准方程为（）A .1162522=+y xB .1323622=+y xC .1484922=+y x D .16410022=+y x 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n n n a S S S -=+++1232，7264=-a a ，344=S ，则2023是数列{}n a 的（）A .第566项B .第574项C .第666项D .第674项11.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2()00<<->ϕπω，，()30=f ，且()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，则下列说法错误的个数是（）①存在ω值，使得函数()x f 在[]π,0上有两个极小值点；②ω的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛619613，；③函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛50π，上单调递增；④若Z ∈ω，则函数()x f 图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛092π.A .4B .3C .2D .112.在正三棱锥ABC P -中，E D ,分别为侧棱PC PB ,的中点，若BE AD ⊥，且7=AD ，则正三棱锥ABC P -外接球的表面积为（）A .π435B .π572C .π7108D .π9152二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为.14.已知公比小于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12232+==S a a ，，=1a .15.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，︒=∠120ADC ，121AA AD =，E 是棱1AA 的中点，O 为底面菱形ABCD 的中心，则异面直线EO 和AD 所成角的余弦值为.16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 是双曲线C右支上一点，记21F MF ∆的垂心为G ，内心为I .若GI F F 1221=，则双曲线C 的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：（1）确定a 的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；（2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20甲.记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m .①求m 的值.②从这m 家中小微企业中随机抽取3家，这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250）内的概率.18.（12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ABC ∆的面积为3，12222=-+c b a .（1)求C ；（2）若33cos cos -=B A ,求c .19.（12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，2211===AA AC AB ，141AA AE =，D 为棱1CC 的中点，F 为棱BC 的中点.（1）求证：⊥BE 平面C AB 1；（2）求三棱锥DEF B -的体积.20.（12分）已知函数()()01ln >+=a ax xx f .（1）当21e a =时，求()x f 的单调区间；（2）若函数()axx f y 1+=有两个不同的零点，求a 的取值范围.21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，M 是其准线与x 轴的交点，过点M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当点A 的坐标为()0,4y 时，有BA MB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点A 关于x 轴的对称点为点P ，证明：直线BP 过定点，并求出该定点坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ααsin 21cos t y t x （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PN PM -的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知c b a ,,都是正实数..（1）若1=ac ，求证：()()b c b b a 4≥++；（2）若1112121=++++cb a ，求c b a ++的最小值.参考答案一、选择题1.C解析：由题意，知i z 21=，i z -=12，∴i i i z z +-=-=11221，∴221=z z .2.A 解析：∵集合{}21<<-=x x M ，{}30≤≤=x x N ，∴[)20，=N M .3.B解析：将这10为居民的问卷得分按照从小到大的顺序排列为65,65,72,76,76,83,88,90,90,95，∴极差为95-65=30，故A 正确；中位数为5.7928376=+，故B 错误；平均数为()5.798095909088837676726565101>=+++++++++⨯，故C 正确；由题表及样本估计总体，知该社区居民问卷得分不低于90分的概率估计值为2.03.0103>=，故D 正确.4.D解析：∵x y 1.0log =在()∞+，0上单调递减，∴1.0log 2.0log 1log 1.01.01.0<<，即10<<a .∵x y lg =在()∞+，0上单调递增，∴1lg lg <a ，即0<b .∵xy 2=在R 上单调递增，∴022>a，即1>c .综上，得c a b <<.5.C解析：设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则()()31152==B P A P ，且B A C =.∵C B A ,,两两互斥，∴()()()()()[]158311521111=--=+-=-=-=B P A P B A P C P C P .6.A解析：初始值20==n S ，.第一次执行循环体：43113111212=⨯=⨯=-=n S a ，，，否；第二次执行循环体：6531311531=⨯+⨯=⨯=n S a ，，，否；第三次执行循环体：8751531311751=⨯+⨯+⨯=⨯=n S a ，，，否；第四次执行循环体：10971751531311971=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=n S a ，，，是，输出S .∵9491717151513131121971751531311=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯+⨯+⨯+⨯=S ，∴输出S 的值为94.7.A 解析：①当0=a 时，()()⎩⎨⎧≥+<=0,1ln 0,1x x x x f ，则()x f 只有一个零点0，不符合题意；②当0<a 时，作出函数()x f 的大致图象，如图1，()x f 在()0，∞-和[)∞+，0上各有一个零点，符合题意；③当0>a 时，作出函数()x f 的大致图象，如图2，()x f 在[)∞+，0上没有零点.若()x f 在()0，∞-上有两个零点，则符合题意，此时必须满足()011<-=-a f ，解得1>a .综上，得0<a 或1>a ，故选A.8.B 解析：∵b a 22+与b 垂直，∴()022=⋅+b b a ，化简得222b b a -=⋅.设b a ,的夹角为θ，则21cos -=⋅⋅=ba b a θ.∵[]πθ，0∈，∴32πθ=.9.B解析：由题意，得()()()0,,00,2c F b B a A ，，-，则直线2BF 的方程为0=-+bc cy bx ，∴点A 到直线2BF 的距离()321622=+=+--=c a a bc b bc abd ①.由21F PF ∆的周长为16，得16222121=+=++c a F F PF PF ，即8=+c a ②联立①②解得a b 322=③∵222c a b -=，∴a c 31=④.联立②④，解得26==c a ，，∴24=b ，故椭圆E 额标准方程为1323622=+y x .10.D 解析：由n n n n a S S S -=+++1232，得()n n n n n a S S S S --=-+++1122，即122++=+n n n a a a ，∴数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由7264=-a a 和344=S 得⎩⎨⎧=+=+1732711d a d a ，解得⎩⎨⎧==341d a ，∴()13314+=⨯-+=n n a n .由202313=+n ，得674=n .11.B 解析：∵()30=f ，∴23cos =ϕ.∵0<<-ϕπ，∴6πϕ-=.当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6,66πωπππωx ，∵()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，∴ππωππ362<-≤得619613<≤ω，∴根据图象可以判断，()x f 在[]π,0上有两个极大值点，一个极小值点，∴①错误，②错误；当⎪⎭⎫⎝⎛∈5,0πx 时，6566ππωπωππ-<-≤-，显然065>-ππω，不符合题意∴③错误；由Z ∈ω得3=ω，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63cos 2πx x f ，令Z k k x ∈+=-，263πππ，得Z k k x ∈+=，923ππ，当0=k 时，92π=x ，∴④正确.故选B.12.C 解析：如图，∵ABC P -为正三棱锥，P AC PBC P AB ∆≅∆≅∆，7==BE AD .取线段PE 的中点F ，连接AF DF ,，∵D 为PB 的中点，∴BE DF ∥，BE DF 21=.∵BE AD ⊥，∴DF AD ⊥.在ADF Rt ∆中，72==DF AD ，由勾股定理，得235=AF .设x P A APB ==∠，θ.在P AD ∆中，由余弦定理的推论，得222745212741cos x xx x x -=⋅-+=θ①同理，在P AF ∆中，由余弦定理的推论，得222235817412435161cos x xx x x -=⋅-+=θ②.联立①②，解得32=x ，32cos =θ.在P AB ∆中，由余弦定理，得()()832323223232cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=APB PB P A PB P A AB ，∴22=AB .取ABC ∆的中心1O ，连接11AO PO ，，则⊥1PO 平面ABC ，三棱锥ABC P -的外接球球心O 在1PO 上，连接OA ，设外接球半径为R .在1P AO Rt ∆中，R OA =，36232231=⨯=AB AO ，∴()321236232222121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AO P A PO ，∴R R PO OO -=-=321211，∴21212AO OO AO +=，即2223623212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=R R ，解得7213=R ，∴所求外接球的表面积为ππ710842=R .二、填空题13.01=--y x 解析：2ln 1xxy -='，当1=x 时，1='y .又当1=x 时，0=y ，∴曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为1-=x y ，即01=--y x .14.4-解析：设等比数列{}n a 的公比为()0<q q ，将22=a 代入123+=S a ，得1222++=qq ，∴02322=--q q ，解得21-=q 或2=q （舍去），∴41-=a .15.1473解析：如图，连接C D C A AC 11，，，∵O 为AC 的中点，E 是棱1AA 的中点，∴C A OE 1∥.∵11D A AD ∥，∴C A D 11∠或其补角为异面直线EO 与AD 所成的角.不妨设1=AD ，则211111=====DD AA CD AD D A ，.在ADC ∆中，由余弦定理得：32111211120cos 22222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=︒⋅-+=DC AD DC AD AC .∵1111D C B A ABCD -为直四棱柱，∴⊥1AA 平面ABCD .又⊂DC AC ,平面ABCD ，∴DC AA AC AA ⊥⊥11，.∵11AA DD ∥，∴DC DD ⊥1，∴()732222211=+=+=AC AA C A ，512222211=+=+=DC DD C D 在C D A 11∆中，由余弦定理的推论得：14737125712cos 111212121111=⨯⨯-+=⋅-+=∠C A D A C D C A D A C A D .16.2解析：如图，连接MI GM ，并延长，与21F F 分别交于点D O ,.设双曲线C 的焦距为c 2.由题意得c GI 61=.∵21F F GI ∥，且G 为重心，则32=ODGI ，∴4c OD =.∵I 为21F MF ∆的内心，∴MD 为21MF F ∠的平分线，∴35212121===∆∆DF D F S S MF MF MDF D MF ，∴2135MF MF =.又a MF MF 221=-，∴a MF a MF 3521==，.设21F MF ∆的内切圆半径为r ，则M 到x 轴的距离为r 3，∵r F F S F MF 3212121⋅⋅=∆，()r F F MF MF S F MF ⋅++⋅=∆21212121，∴2121213F F MF MF F F ++=，∴a c 2=，∴双曲线C 的离心率2==ace .三、解答题（一）必考题17.解：（1）由频率分布直方图，得()150001.0006.02003.0002.0=⨯++++a ，解得004.0=a .设中位数为t ，专项贷款金额在[0,150)内的频率为0.45，在[150,200)内的频率为0.3，∴中位数t 在[150,200)内，∴()05.0006.0150=⨯-t ，解得158≈t ，∴估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.（2）①由题意，得抽取比例为6112020=，专项贷款金额在[200,300]内的中小微企业有()30001.0004.050120=+⨯⨯家，∴应抽取56130=⨯家，∴5=m .②在抽取5家中小微企业中，专项贷款金额在[200,250)内的有4545=⨯家，记为D C B A ，，，，专项贷款金额在[250,300]内的有1515=⨯家，记为E .从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为CDE BDE BCE BCD ADE ACE ACD ABE ABD ABC ,,,,,,,,,，共10种，其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况为BCD ACD ABD ABC ,,,，共4种，∴所求概率52104==P .18.解：（1）∵ABC ∆的面积为3，∴3sin 21=C ab ，即32sin =C ab ①由余弦定理的推论，得abc b a C 2cos 222-+=.∵12222=-+c b a ，∴6cos =C ab ②.易知2π≠C ，①÷②，得33tan =C .∵()π，0∈C ，∴6π=C .（2）∵6π=C ，∴23cos =C ，即()23cos =+-B A ，∴23sin sin cos cos -=-B A B A .又33cos cos -=B A ，∴63sin sin =B A .由正弦定理得c CcB b A a 2sin sin sin ===，∴B c b A c a sin 2sin 2==，.由（1），知32sin =C ab ，∴34=ab ，∴34sin sin 42=B A c ，即23sin sin cB A =，∴6332=c ，解得6=c .19.解：（1）∵11112141BB AA AA AC AB AA AE ====，，，∴12121BB AB AB AE ==，，∴1BB ABAB AE =.∵111C B A ABC -为直三棱柱，∴侧面11A ABB 为矩形，∴︒=∠=∠9011ABB AB A ，∴1~BAB AEB ∆∆，∴AEB BAB ∠=∠1.又︒=∠+∠90AEB EBA ，∴︒=+∠901BAB EBA ，∴1AB BE ⊥.∵⊥1AA 平面ABC ，⊂AC 平面ABC ，∴AC AA ⊥1.又⊂=⊥11AA A AB AA AB AC ，， 平面11A ABB ，∴⊥AC 平面11A ABB ，∵⊂BE 平面11A ABB ，∴BE AC ⊥.∵⊂=11AB A AC AB ， 平面C AB 1，⊂AC 平面C AB 1，∴⊥BE 平面C AB 1.（2）连接AF ，∵⊄111AA BB AA ，∥平面11B BCC ，⊂1BB 平面11B BCC ，∴∥1AA 平面11B BCC ，∴三棱锥DEF B -的体积CD S V V V V ABF ABF D BDF A BDF E DEF B ⋅====∆----31.∵︒=∠==902BAC AC AB ，，F 为BC 的中点，∴BC AF BC ⊥=，22，∴2==BF AF ，∴1222121=⨯⨯=⋅⋅=∆AF BF S ABF ，∴三棱锥DEF B -的体积32213131=⨯⨯=⋅=∆-CD S V ABF DEF B .20.解：（1）由题意，知()x f 的定义域为()∞+，0，当21e a =时，()()()222222ln 1ln e x x e x e x f e x x e x f +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-='+=，.令()x e x x g 2ln 1+-=，则()0122<--='xe x x g ，∴()x g 在()∞+，0上单调递减.∵()02=eg ，∴当()2,0e x ∈时，()0>x g ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,2e x 时，()0<x g ，从而()0<'xf ，∴()x f 的单调递增区间为()2,0e ，单调递减区间为()+∞,2e.（2）函数()ax x f y 1+=有两个不同的零点等价于()01=+axx f 有两个不同的解，等价于()011ln =++x ax 有两个不同的解.令()()11ln ++=x ax x h ，()+∞∈,0x ，则()()2ln +='x a x h .由()0='x h ，得21ex =.又0>a ，∴当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0e x 时，()0<'x h ；当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,12e x 时，()0>'x h ，∴()x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0e 上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,12e 上单调递增，∴()22min 11e a e h x h -=⎪⎭⎫⎝⎛=.①当012≥-ea 即20e a ≤<时，()x h 至多有一个零点，不符合题意；②当012<-e a 即2e a >时，012<⎪⎭⎫ ⎝⎛e h ，()011>+=a h .由单调性和函数零点存在定理，知()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,12e 上有且只有一个零点.∵2e a >，∴22111e a a <<，且a aa a h ln 2112-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛.令()x x x ln 21-+=ϕ，则()xx x 2-='ϕ，∴当()+∞∈,2x 时，()0>'x ϕ，∴()x ϕ在()∞+，2上单调递增.∵22>>e a ，∴()()04ln 32>-=>ϕϕa ，∴012>⎪⎭⎫⎝⎛a h .由单调性和函数零点存在定理，知()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛21,0e 上有且只有一个零点.∴当2e a >时，()x h 有两个不同的零点，即()axx f y 1+=有两个不同的零点，符合题意.综上，a 的取值范围是()+∞,2e .21.解：（1）设()B B y x B ,，由BA MB =得B 诶线段MA 的中点.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p M ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=02242y y p x B B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2420y y p x B B ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B ，把⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B 代入px y 22=中，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛422220p p y ，把()0,4y A 代入px y 22=中，得p y 820=，∴p p p 2422=⎪⎭⎫⎝⎛-.又0>p ，∴4=p ，∴抛物线C 的方程为x y 82=.（2）由题意，知直线l 的斜率存在且不为0，∵()02，-M ，∴可设直线l 的方程为2-=my x .设()()2211,,y x B y x A ，，则点()11,y x P -.由⎩⎨⎧=-=xy my x 822消去x 得01682=+-my y ，∴0>∆，根据根与系数的关系得1682121==+y y m y y ，.直线BP 的斜率12212212121288y y y y y y x x y y k -=-+=-+=，直线BP 的方程为()21228x x y y y y --=-，∴()()()221222122122128181********y y y y y y y x y y y y y y x ++--=+---=()28112+-=y y y ，即直线BP 的方程可表示为()28112+-=y y y x .∴直线BP 过定点，且定点坐标为()02，.（二）选考题22.解：（1）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ，∴θθρcos 2sin 2+=，即θρθρρcos 2sin 22+=.又θρcos =x ，θρsin =y ，222ρ=+y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x .（2）依题意，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：()043cos 2sin 2=-+-t t αα.设点N M ,所对应的参数分别为21,t t ，则43cos 2sin 2121-=+=+t t t t ，αα.∵点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴1t PM =，2t PN =.∵021<t t ，∴2121t t t t PN PM +=-=-()ϕααα+=+=sin 5cos 2sin ，其中552sin 55cos ==ϕϕ，.由()03cos 2sin 2>++=∆αα，得R ∈α，∴当()1sin ±=+ϕα时，PN PM -最大，且最大值为5.23.解：（1）∵c b a ,,都是正实数，∴02>≥+ab b a ，02>≥+bc c b ，∴()()bc ab c b b a 22⋅≥++，当且仅当1===c b a 时，等号成立，即()()ac b c b b a 4≥++.又∵1=ac ，∴()()b c b b a 4≥++.（2）∵1112121=++++c b a ，∴12212422=++++cb a .由柯西不等式，得()()[]()22122212142221242++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++++++c b a c b a ，即()22215222+≥+++c b a ，即222+≥++c b a ，当且仅当()c b a 21222=+=+，即222222+===c b a ，，时等号成立，∴c b a ++的最小值为222+.。
2023-2024学年浙江省高三下学期5月联考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省高三下学期5月联考数学模拟试题一、单选题1．若集合{}{22530,A x x x B y y =--≤=∣∣，则A B ⋃=（）A ．{}03x x ≤≤∣B ．12xx ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭∣C ．{}1xx ≥∣D ．{}13xx ≤≤∣【正确答案】B【分析】解不等式求集合A 、由幂函数的性质得集合B ，再求并集即可.【详解】由题意可得()()212532130,32x x x x A ⎡⎤--=+-≤⇒=-⎢⎥⎣⎦，易知y =[)00,y B ≥⇒=+∞，故A B ⋃=12xx ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭∣.故选：B2．若()i 14z -=，则z =（）AB C ．3D ．2【正确答案】A【分析】利用复数的除法运算及求模公式计算即可.【详解】由()4i 14114i iz z z -=⇒=-=+⇒=，故选：A3．已知单位向量,,a b c 满足0a b c ++= ，其中()1,0c = ，则2a b + 在c上的投影向量是（）A ．3,22⎛-- ⎝⎭B ．322⎛ ⎝⎭C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.【详解】因为单位向量,,a b c 满足0a b c ++=，所以()()22221212c a b c a ba ab b a b -=+⇒-=+=+⋅+=⇒⋅=-，由投影向量计算公式可知2a b + 在c 上的投影向量是2cos 2,c a b a b c c+⋅+⋅，即()()222223a b c c a a b b c c+⋅⨯=--⋅-⨯故()223232a a b b c c --⋅-⨯=-，而()1,0c = ，故33,022c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：D4．《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为正方形的阳马中，若1AB PA ==，则（）A ．直线PA 与直线BC 所成角为π3B ．异面直线AD 与直线PCC ．四棱锥P ABCD -的体积为1D ．直线PC 与底面ABCD【正确答案】B【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A ；求出线面距离判断B ；求出四棱锥体积判断C ；求出线面角的余弦判断D 作答.【详解】由PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，而1AB PA ==，则阳马可补形成正方体111ABCD PB C D -，如图，对于A ，由PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，因此直线PA 与BC 所成角为π2，A 错误；对于B ，连接1CD ，11//,AD PD PD ⊂平面1PCD ，AD ⊄平面1PCD ，则有//AD 平面1PCD ，从而异面直线AD 与直线PC 的距离等于直线AD 与平面1PCD 的距离，取1CD 的中点H ，连接DH ，则1DH CD ⊥，而1PD ⊥平面11CDD C ，DH ⊂平面11CDD C ，于是1DH PD ⊥，又11111,,PD CD D PD CD =⊂ 平面1PCD ，因此DH ⊥平面1PCD ，所以直线AD 与平面1PCD 的距离为2DH =，B 正确；对于C ，四棱锥P ABCD -的体积211111333ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=，C 错误；对于D ，连接AC ，则PCA ∠是直线PC 与底面ABCD 所成的角，而AC PC =因此cos3AC PCA PC ∠=，D 错误.故选：B5．临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（）A ．11120B ．1691C ．1176D ．543【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答.【详解】恰有1位同学拿到自己写的祝福卡有111533C C C 53345=⨯⨯=种，恰有2位同学拿到自己写的祝福卡有2152C C 10220=⨯=种，恰有3位同学拿到自己写的祝福卡有35C 10=种，恰有4位（5位）同学拿到自己写的祝福卡有1种，因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为452010176+++=个，至少有3位同学摸到自己写的祝福卡的事件有10111+=个基本事件，所以至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率1176P =.故选：C.6．定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩设函数(){}min sin ,cos (0)f x x xωωω=>，可以使()f x 在5ππ(,)122上单调递减的ω的值为（）A ．23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3C ．3,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]3,4【正确答案】C【分析】分段写出函数()f x 解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】依题意，3π2ππ2πsin ,[,)44(),Z π2π5π2πcos ,[,)44k k x x f x k k k x x ωωωωωωωωωω⎧∈-++⎪⎪=∈⎨⎪∈++⎪⎩，函数()f x 的递减区间是3π2ππ2π[,]42k k ωωωω-+-+，π2ππ2π[,]4k k ωωωω++，Z k ∈，于是5ππ3π2ππ2π(,)[,]12242k k ωωωω⊆-+-+或5πππ2ππ2π(,)[,]1224k k ωωωω⊆++，Z k ∈，即3π2π5π412π2ππ22k k ωωωω⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，Z k ∈，解得2494155k k ω-≤≤-，由0412494155k k k ω<≤-⎧⎪⎨-<-⎪⎩，得114k <<，无解；或π2π5π412π2ππ2k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，Z k ∈，解得2434255k k ω+≤≤+，由0422434255k k k ω<≤+⎧⎪⎨+<+⎪⎩，得1724k -<<，则0k =或1k =，当0k =时，325ω≤≤，当1k =时，2765ω≤≤，选项C 满足，ABD 不满足.故选：C7．已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，()()12,0,,0F c F c -分别是C 的左、右焦点，若12F PF ∠的角平分线与直线x a =交于点I ，且11222IPF IF F IPF S S =+ ，则C 的离心率为（）A ．2BC ．3D【正确答案】B【分析】根据给定条件，结合双曲线定义证明点I 是12F PF △的内心，再借助三角形面积公式求解作答.【详解】作12PF F ∠的平分线交12F PF ∠的平分线于I '，过I '作21,,I M PF I N PF I T x '''⊥⊥⊥轴，垂足分别为,,M N T，如图，则点I '为12PF F △的内心，有1122||||,||||,||||PM PN F N FT F M F T ===，设0(,0)T x ，1212120002||||||||||||()()2a PF PF F N F M FT F T x c c x x =-=-=-=+--=，则0x a =，于是直线I T '与直线x a =重合，而12F PF ∠的角平分线与直线x a =交于点I ，即I '与I 重合，则点I 为12PF F △的内心，因此令||||||IM IN IT r ===，由1122IPF IF F IPF S S =+ ，得1122111||||222||PF r F F PF r r ⋅⋅=+⋅，因此12||||PF PF =+，即有122||||PF PF a =-，即c =，所以双曲线C 的离心率为ce a==故选：B8．已知(),,1,0a b c ∈-，且满足()3ln 21e 11ln 2,ln ,e 134c b a a b c +-++=+==-，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c<<【正确答案】B【分析】变形给定的等式，构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数探讨单调性，借助单调性比较大小作答.【详解】由1ln2ln(1)ln 323a a a a +=+⇔=+-+，得ln(1)2ln 3a a -+=-，由3e (1)ln 3ln(1)ln 44b b b b +=⇔=++-，得ln(1)3ln 4b b -+=-，由ln 21e 1ln(1)ln 21c c c c +-=-⇔+=+-，得ln(1)1ln 2c c -+=-，令函数()ln(1)f x x x =-+，显然()(2),()(3),()(1)f a f f b f f c f ===，求导得1()111x f x x x '=-=++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x ∞∈+时，()0,()'>f x f x 单调递增，于是(1)(2)(3)f f f <<，即有()()()f c f a f b <<，而,,(1,0)a b c ∈-，所以b a c <<.故选：B思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．样本数据5,9,10,13,9,7,3,6的上四分位数为9.5B ．若随机变量ξ服从两点分布，若()103P ξ==，则()23D ξ=C ．若随机变量ξ服从正态分布(),1N u ，且()(2)f x P x x ξ=-<<是偶函数，则1u =-D ．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的值越接近于1【正确答案】AC【分析】求出上四分位数判断A ；求出两点分布的方差判断B ；利用正态分布的对称性求出u 判断C ；利用相关系数与相关性强弱的关系判断D 作答.【详解】对于A ，样本数据3,5,6,7,9,9,10,13，由875%6⨯=，得上四分位数为9109.52+=，A 正确；对于B ，112()(1339D ξ=-⨯=，B 错误；对于C ，由()(2)f x P x x ξ=-<<是偶函数，得(2)(2)P x x P x x ξξ--<<-=-<<，又(),1N u ξ~，因此2()12x x u -+-==-，C 正确；对于D ，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的绝对值越接近于1，D 错误.故选：AC10．直三棱桂111ABC A B C -中，11,,AB BC BB AB BC E ===⊥为棱BC 上的动点，F 为1A E 中点，则（）A ．11A E AB ⊥B ．三棱锥111C A FB -的体积为定值C ．四面体111A AB C -的外接球表面积为4πD ．点F 的轨迹长度为12【正确答案】ABD【分析】由题意补直三棱柱为正方体，结合正方体的特征可判定A ，利用等体积法转化可判断B ，利用正方体的外接球及球的表面积公式可判断C ，利用三角形中位线判断D 即可.【详解】由题意可知：直三棱柱为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一半，如图所示.对于A ，连接AB 1，A 1B ，结合正方体的特征，易知BE ⊥AB 1，AB 1⊥A 1B ，故AB 1⊥面A 1BE ，1A E ⊂面A 1BE ，则11A E AB ⊥，即A 正确；对于B ，由题意可知F 到上下底面的距离均为0.5，故111111C A FB F A B C V V --=是定值，即B 正确；对于C ，四面体111A AB C -24π3πS R ==,即C 错误；对于D ，连接A 1C ，取其中点O ，连接OF ，易知OF 为1A BC 的中位线，故E 从B 运动到C 的过程中F 的运动轨迹长度为BC 一半，即D 正确.综上ABD 三项正确.故选：ABD11．抛物线2:2(0)C x py p =>的准线方程为1y =-，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则（）A ．C 的方程为22x y=B ．2AB BF +的最小值为4+C ．过点(4,2)M 且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条D ．过点,A B 分别作C 的切线，交于点()()000,0P x y x ≠，则直线,,PF PA PB 的斜率满足211PF PA PBk k k =+【正确答案】BD【分析】求出抛物线方程判断A ；设出直线l 的方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义及均值不等式计算判断B ；设出过点M 的直线方程，与抛物线方程联立求解判断C ；求导并结合选项B 的信息求解判断D 作答.【详解】对于A ；依题意，12p-=-，解得2p =，C 的方程为24x y =，A 错误；对于B ，由选项A 知，(0,1)F ，设直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有124x x =-，2212123||2||||3||13(1)44x x AB BF AF BF y y ++=+=+++=+44≥+=+，当且仅当12x =时取等号，B 正确；对于C ，过点(4,2)M 且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于y 轴，设此直线方程为4(2)x t y -=-，由24(2)4x t y x y-=-⎧⎨=⎩消去y 得：22404t x x t --+=，当0=t 时，4x =，直线与抛物线仅只一个交点，当0t ≠时，21(24)2410t t t t ∆=--+=-+=，解得12t =±，即过点(4,2)M 且与抛物线相切的直线有2条，所以过点(4,2)M 且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，C 错误；对于D ，由24x y =求导得2x y '=，由选项B 知，12,22PA PB x x k k ==，121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，1212122(112)22PA PB x x k k k x x x x ++=+==-，由111222()2()2x y x x y x y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩两式相减得：222121211(022)x x x x x y y ---+-=，即2212121(24)x x x x x -=-，则1222x x x k +==，于是02x k =，10111111(21)1(2)x y k x y kx y kx kx =-+=-=-+=-，即点(2,1)P k -，所以21211,22PFPF PA PBk k k k k k k -==-=-=+，D 正确.故选：BD12．已知()(),,e ,x a b f x ax g x ∈=-=R ）A ．对于任意的实数a ，存在b ，使得()f x 与()g x 有互相平行的切线B ．对于给定的实数0x ，存在a b ､，使得()()00g x f x ≥成立C ．()()y f x g x =-在[)0,∞+上的最小值为0，则a的最大值为D ．存在a b ､，使得()()2e 2f xg x -≤+对于任意x ∈R 恒成立【正确答案】ABC【分析】对于A ，对两函数求导，再求出导函数的值域，由两值域的关系分析判断，对于B ，由()()00g x f x ≥可得0x b ，从而可判断，对于C ，令()()()h x f x g x =-，再由102h ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥可得a ≤0x 为()h x 的极小值点，然后列方程表示出,a b ，从而可用0x表示a ，再构造函数，利用导数可证得结论，对于D ，根据函数值的变化情况分析判断.【详解】对于A ，()e xf x a a '=->-，()g x '=当0x ≥时，()(),g x b b b '=-，当0x <时，()(),g x b b '==-=-∈-，综上，()(),g x b b '∈-，所以对于任意的实数a ，存在b ，使(),a -+∞与(),b b -有交集，所以对于任意的实数a ，存在b ，使得()f x 与()g x 有互相平行的切线，所以A 正确，对于B ，由于给定的实数0x ，当a 给定时，则()0f x 为定值，由()()00g x f x ≥，得00e x ax ≥-，0x b ，所以存在b 使上式成立，所以B 正确，对于C ，令()()()e x h x f x g x ax =-=--()12111e 2222h a b a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，当[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥恒成立，所以102h ⎛⎫⎪⎝⎭≥，()102a -≥，即a ≤若()h x 在[)0,∞+上递增，因为()()()h x f x g x =-在[)0,∞+上的最小值为0，所以()010h b =-=，得1b =，所以()e xh x ax =-()e 0xh x a '=-≥在[)0,∞+上恒成立，即e x a ≥在[)0,∞+上恒成立，令()e 0)x t x x =≥，则()2e 10(0)xt x x '=-≥≥，所以()t x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()01t x t ≥=，所以1a≤，所以1a a =++若()h x 在[)0,∞+上不单调，因为()()()h x f x g x =-在[)0,∞+上的最小值为0，所以设0x 为()h x的极小值点，则()()00000e 0e 0x x h x ax h x a ⎧=--=⎪⎨=-='⎪⎩，解得()(002000e 1e 1x x a x x b x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩所以()(00200e 11x x a x x x =-+-02000e 11x x x x ⎡=-++-⎣令()020000e 11x x x x x ϕ⎡=-++-⎣，则()02000000e 11e 21x x x x x x x x ϕ⎡⎤⎡'⎢=-++-+---⎣⎢⎣000e 11x x x x ⎡⎤⎢=+-⎢⎣由()00x ϕ'=，得0000e 110x x x x ⎡⎤⎢+-=⎢⎣，00x =或00110x x +--，解得00x =，或01x =-（舍去），或012x =-（舍去），或012x =，当0102x <<时，()00x ϕ'>，当012x >时，()00x ϕ'<，所以()0x ϕ在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以()120111e 122422x ϕϕ⎛⎛⎫≤=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝综上a ≤C 正确，对于D ，()()e x f x g x ax -=--，当x →+∞时，()()f x g x -→+∞，所以D 错误，故选：ABC关键点点睛：此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，对于选项C 解题的关键是由题意设0x 为()h x 的极小值点，则()()0000h x h x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，求出,a b ，则可表示出a 再构造函数，利用导数可得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.三、填空题13．已知5112a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为120，则=a __________.【正确答案】1-【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于a 的方程，解出即可.【详解】512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为5552155,05,N C (2)C 2k k k k k kk T x xk k x ----+=≤=≤∈，5112a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为()322355C 2C 2120a ⋅+-=,解得1a =-.故答案为.1-14．已知圆221:4C x y +=和圆222:(3)(2)1C x y -+-=，则过点42,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭且与12,C C 都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）【正确答案】2x =或512260x y +-=（写出一条即可）【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.【详解】若过M 的切线斜率不存在，即为2x =，此时显然与两圆都相切；若过M 的切线斜率存在，不妨设为()423y k x -=-，则()()120,0,3,2C C 到()423y k x -=-的距离分别为1252,112d d k ====⇒=-，即()452512260312y x x y -=--⇒+-=.综上过M 与两圆都相切的直线为：2x =或512260x y +-=故2x =或512260x y +-=（写出一个即可）15．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和记为()N n S n *∈，满足233326a a S +=+，若数列{}n S 为单调递增数列，则公差d 的取值范围为__________.【正确答案】03d <<【分析】根据给定条件，确定0(2)n a n ≥≥恒成立，再分析判断0d >，结合已知等式求解作答.【详解】因为数列{}n S 为单调递增数列，则当2n ≥时，10n n n a S S -=->，而等差数列{}n a 的公差0d ≠，若0d <，由1(1)n a a n d =+-知，数列{}n a 单调递减，存在正整数0n ，当0n n >时，0n a <，110n n n n S S a a ++-=<<与数列{}n S 为单调递增数列矛盾，因此0d >，由233326a a S +=+，得22232(6)3a a d a +=++，即230a d =->，解得3d <，则03d <<，所以公差d 的取值范围为03d <<.故03d <<16．若函数2()(,R)f x ax b a b =-∈与函数1()g x x x=+的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则a 的取值范围为__________.【正确答案】((0, 【分析】把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答.【详解】依题意，方程21xax b x -=+，即3210a x x bx --=-有三个不等实根，设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为123,,(0)x m d x m x m d d =-==+≠，于是321[()]()[()]a x x a x m d x m m x b x d --=--+---，整理得32322222113(3)()x x x mx x m d x m m d ab a a --=--+---，因此22131()m a m m d a⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则22111()39d a a a =-，即有221339d a =+>，解得0a <或0a <<，所以a的取值范围是((0, ..故((0, 思路点睛：涉及给定两个函数图象交点横坐标问题，可以等价转化为方程实根问题，再结合方程思想求解即可.四、解答题17．在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且1313,,a a a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和n S 满足22=-n n S b .(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n c b a =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，若不等式()22log 1n T n n a +->-对任意*N n ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)21n a n =-，2nn b =(2)11a -<<【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，根据等比中项的性质得到方程，求出d ，即可求出{}n a 的通项公式，再根据11,1,2n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，即可得解；（2）由（1）可得()221n n c n =--，利用分组求和法求出n T ，令()122n f n n +=--，利用作差法判断()f n 的单调性，即可求出()min f n ，从而得到关于a 的对数不等式，解得即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为10,1d a ≠= ，且1313,,a a a 成等比数列，23113a a a ∴=，即2(12)112d d +=+，解得2d =或0d =（舍去），所以()12121n a n n =+-=-.数列{}n b 的前n 项和22=-n n S b ，当1n =时，1122b b =-，12b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=-，12n n b b -∴=，即数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，2n n b ∴=.（2）由（1）可得()221nn n n c b a n =-=--，()()1221212122122n n n n n T n +-+-∴=-=---2122n n T n n n +∴+-=--.令()122n f n n +=--，()()()2111212210n n n f n f n n n +++∴+-=-+-+=->，()f n ∴单调递增，()min ()11f n f ∴==.()2log 11a ∴-<，012a ∴<-<，11a ∴-<<.18．在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，压力随着现代生活节奏的加快、社会竞争日趋激烈等逐渐增大.某市研究组为了解该市市民压力的情况，随机邀请本市200名市民进行心理压力测试评估，得到一个压力分值，绘制如下样本数据频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计该市市民压力分值位于区间[]70,100的概率；(2)估计该市市民压力分值的平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(3)若市民的压力分值不低于70，则称为“高压市民”.研究组对“高压市民”按年龄段进行研究，发现年龄在30岁到50岁的“高压市民”有35人，年龄在30岁到50岁的“非高压市民”有25人，剩余“高压市民”的年龄分散在其它年龄段.为研究方便，记年龄在30岁到50岁为年龄段A ，其余为年龄段B .根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.压力高压市民非高压市民年龄段A 年龄段B附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中a b c d n +++=.()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【正确答案】(1)0.013a =，0.35；(2)58；(3)列联表见解析，有99.9%的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出a ，再由频率估计概率作答.（2）利用频率分布直方图估计压力分值的平均值作答.（3）由（1）及已知完善22⨯列联表，求出2χ的观测值，与临界值比对作答.【详解】（1）依题意，0.040.020.050.10100.160.150.18100.041a a +++++++++=，解得0.013a =，记“该市市民的压力分值在区间[]70,100”为事件C ，则()()0.0180.0130.004100.35P C =++⨯=.（2）由频率分布直方图及（1）知，压力分值在各分组区间内的频率依次为：0.04,0.02,0.05,0.10,0.13,0.16,0.15,0.18,0.13,0.04，所以50.04150.02250.05350.1450.13550.16650.15x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯750.18850.13950.0458+⨯+⨯+⨯=.（3）由（1）知，高压市民有2000.3570⨯=人，年龄段A 的人数有35人，年龄段B 的人数为35人，所以22⨯列联表为：压力高压市民非高压市民合计年龄段A 352560年龄段B3510514070130200零假设0H ：该市高压市民与其年龄在在30岁到50岁无关，22200(351053525)8002010.828601407013039χ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.19．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，AB AP ⊥，平面PCD ⊥平面,ABCD PD AD =.(1)若H 为AP 的中点，证明：AP ⊥平面HCD ；(2)若1,AB AD PA ==PAB 与平面PCD 所夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析；(2)22.【分析】（1）利用等腰三角形的性质及线面垂直的判定推理作答.（2）根据给定条件，作出平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角，再结合对应三角形计算作答.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，H 为AP 的中点，又PD AD =，则AP HD ⊥，而,//AB AP AB CD ⊥，因此,,,AP CD HD CD D HD CD ⊥⋂=⊂平面HCD ，所以AP ⊥平面HCD .（2）在平面PCD 内过点P 作PO CD ⊥交直线CD 于O ，连接OA ，如图，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，则PO ⊥平面ABCD ，而AO ⊂平面ABCD ，则有PO AO ⊥，又AP CD ⊥，,,AP PO P AP PO =⊂ 平面PAO ，于是CD ⊥平面PAO ，AO ⊂平面PAO ，则AO CD ⊥，有POD AOD ≌，得2PO OA ==，//,AB CD CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，则//AB 平面PCD ，平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，因此////l AB CD ，有,l PA l PO ⊥⊥，从而APO ∠为平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角，显然π4APO ∠=，则cos 2APO ∠=，所以平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值为2.20．记锐角ABC 内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､.已知π2sin cos sin 262C A B B -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若3c =，求a b c ++的取值范围.【正确答案】(1)π3C =(2)(3⎤+⎦【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到tan 2C =（2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由πA B C ++=，故π=--A B C ，故π2sinsin cos cos cos sin sin 22222A B B C C C C B B B ---⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭，12sincos 2sin sin cos sin sin262222C C C CB B B B B π⎫⎛⎫+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，cos cos cos 22C CB B =，因ABC 是锐角三角形，故cos 0B ≠，.故tan2C =π26C =，所以π3C =.（2）由正弦定理可知sin sin sin a b c A B C===故,a A b B ==，()33a b c A B A A C ++=++=+++)3sin cos cos sin A A C A C =+++.π33cos 36sin 6A A A ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭.由ABC 是锐角三角形，可知02,6202A A B ππππ⎧<<⎪⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪<<⎪⎩，故ππ2π,633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故(3a b c ⎤++∈+⎦.21．已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率为2，抛物线22:8C x y =的准线与1C 相交，所得弦长为(1)求1C 的方程；(2)若()()1122,,,A x y B x y 在2C 上，且120x x <<，分别以,A B 为切点，作2C 的切线相交于点P ，点P 恰好在1C 上，直线,AP BP 分别交x 轴于,M N 两点.求四边形ABMN 面积的取值范围.【正确答案】(1)221168y x +=(2)(【分析】（1）根据题意可得曲线过点)2-，然后根据曲线的离心率和,,a b c 之间的关系即可求解；（2）设直线AB 的方程为()()1122(0),,,,y kx m m A x y B x y =+>，与曲线方程联立，用韦达定理，利用切线方程求出,M N 两点的坐标，然后将面积的表达式求出来，再根据函数的性质即可求解.【详解】（1）由题知1C过点)2-，则222222461c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩221:1168y x C ∴+=.（2）设直线AB 的方程为()()1122(0),,,,y kx m m A x y B x y =+>，联立28y kx m x y =+⎧⎨=⎩，得2880x kx m --=，212128,8,Δ64320x x k x x m k m +==-=+>，则12AB x =-，而28x y =，则4x y '=，故以A 为切点的切线为()1114x y y x x -=-，即2111,,0482x x x y x M ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭，同理以B 为切点的切线为2222,,0482x x x y x N ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭，则122x MN x =-，由2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故两式作差得：2212124488x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1242x x x k +==，两式求和得：()22212121212121222248484x x x x x x x x x x x x y x x m +-+++=-=-==-，所以点()4,,P k m -由P 在椭圆上222116m k +=，即(]0,4m ∈.点P 到直线AB的距离d =，所以1212ABPS d AB x ==- ，12122MNP x x S m -= ，1212122ABP MNPx x S S S x m -=-=-- (221232834k m x x k m⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭2344m m ⎛=-++ ⎝2(6)[134m -=-，而2(6)134m y -=-、2(8)108m y -=-在(]0,4m ∈上递增且恒正，则S 在(]0,4m ∈上递增，(S ∈.22．己知函数()e ln xa f x x x x=+-有三个极值点()123123,,x x x x x x <<，其中a ∈R .(1)求a 的取值范围；(2)求证：132x x +>；(3)求证.()()3134132e f x f x x x a +>-【正确答案】(1)10ea <<(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为(0)e x x a x =>有两个不等实根，令()(0)e xxg x x =>，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求解；（2）根据题意，2131,,x x x =是0e xxa -=的两个根，将问题等价转化为证明()()112g x g x <-，令()()()2(01)h x g x g x x =--<<，利用函数的单调性进而求证；（3）根据题意可得()()131ln f x f x a ==+，将要问题等价转化为()1313421ln e ex x x x a a ++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭，令()()11ln ,0,e g a a a a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，利用导数与函数的单调性得到()210e g a -≤<，令()132,x x t ∞+=∈+，()(),2,e tth t t ∞=∈+，根据函数的单调性进而求证.【详解】（1）()()()()22e 1e 111x x a x x a x f x x x x ---=+-='(0)e xx a x ∴=>有两个不等根令()(0)e x x g x x =>，则()101ex x g x x '-=>⇒<()g x ∴在()0,1单调递增，[)1,+∞上单调递减，且()max 11e g g ==10ea ∴<<.（2）由（1）知，2131,,x x x =是0e xx a -=的两个根先证()()()()133131112222x x x x g x g x g x g x +>⇔>-⇔<-⇔<-令()()()2(01)h x g x g x x =--<<，则()()()()()221e 120e x x x h x g x g x -'--=+''-=>()h x ∴在()0,1上单调递增()()10h x h ∴<=()()2(01)g x g x x ∴<-<<又()()111012x g x g x <<∴<-得证（3）因为1212e e x x x x a ==，所以1212e e 1x x x x a==，1122ln ln ln x x x x a -=-=，所以()()131ln f x f x a==+要证()()3134132e f x f x x x a -+>，即证：()13341321ln ex x a x x a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，又因为13213e x x x x a +=，即证.()1313421ln e ex x x x a a ++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭令()()()11ln ,0,,2ln e g a a a a g a a ⎛⎫=+∈=+ ⎝'⎪⎭，所以()210,,e a g a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，()211,,e e a g a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()210e g g a ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，即()210e g a -≤<.令()132,x x t ∞+=∈+，()()()()1,2,,,2,e e t tt t h t t h t t ∞∞'-=∈+=∈+时，()h t 单调递减，所以()02h t <<所以()()42e g a h t ->，即()1313421ln e e x x x x a a ++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()()3134132e f x f x x x a -+>成立.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.。
2023届河南省创新发展联盟5月高考仿真模拟预测文数试题含答案
高三数学考试（文科）本试题卷分为选择题和非选择题两部分，共23小题，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={xly =-/I=x ｝，则CRA=A.{xix 《O} B.{xix ζ1}已｛xJx >O }D. {xlx>l}2.复数z =i(l 一i)+2在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限 c.第三象限D.第四象限3.在等比数列｛a ，.｝中，若αs =2，句句＝句，则｛a ，.｝的公比q =A . ./2B. 2C .2./2D.44.己知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01,02，…，46进行编号．现提供随机数表的第7行至第9行：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 . 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 54若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是A. 07 B. 12 C. 39 D 44 5.已知函数f(x ）是定义在R上的奇函数，且f(x-3)=f （到＋1，则f(6=A.一1B.1C. -2D.26.己知函数f(x ）＝「＇－lnx-a ，若对任意的zε口，＋oo ,f(x ）注0成立，则a的最大值是A.In 2B ._l c.1D.e7.勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东叹末期数学家赵爽在为《周静算经》作注时给出的，他利用了句股困方图，此图被称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个金等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示〉，若在大正方形内随机取一点，该9点落在小正方形内的概率为币’则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为2一盯人 B.v'3434c 主. 17D. .JI 于17［高三数学第l 页（共4页）文科］@Q!巳·HEN·8己知椭圆C ：王＋亏＝l的左、右顶起分别是A ,B ，。
江西师大附中届高三5月模拟考试数学(文)试题.doc
江西师大附中201X 年高三5月模拟考试文科数学试卷命题人：欧阳晔 赵子兵 审题人：赵子兵欧阳晔 201X.5一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,0,1(2),x M y y x N x y g x x M N ==>==-则为( )A.(1,2)B.),1(+∞C.),2[+∞D.),1[+∞2.设5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，则( )A.a c b <<B.b c a <<C.a b c <<D.b a c << 3.曲线311y x =+在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9 B.－3 C.9 D.15 4.下列函数中，周期为π，且在[0,]2π上为减函数的是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 5.设,m n 是平面α内的两条不同直线，12,l l 是平面β内的两条相交直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是( )A.//m β且1//l αB.1//m l 且2//n lC.////m n ββ且D.2////m n l β且6.已知函数|ln |1()||x f x e x x=--，则函数(1)y f x =+的大致图象为( )7.若数列{}()为常数满足d N n d a a a nn n ,111*+∈=-,则称数列{}n a 为“调和数列”.已知正项数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“调和数列”,且90921=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++b b b ,则64b b ⋅的最大值是( ) A.10B.100C.200D.4008.已知圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴相交于A 点,C D 、两点在圆O 上,C 在第一象限,D 在第二象限,C D 、的横坐标分别为108135-、，则cos COD ∠=( ) A.1665-B.1665C.5665-D.56659.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.83πB. C.163πD. 10.过双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线的右支于点P ,若1()2OE OF OP =+,则双曲线的离心率为( )二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.某单位为了了解用电量y 度与气温x C ︒之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:由表中数据得线性回归方程60y bx =+中,预测当气温为4C -︒时,用电量的度数约为_______.12.阅读如右图所示的程序框图，输出的结果S 的值为_______.13.定义区间],[21x x )(21x x <的长度为12x x -,已知函数|l o g |21x y =的定义域为],[b a ,值域为]2,0[,则区间],[b a 长度的最大值为_______.14.在ABC ∆中,6,8AB AC ==,O 为ABC ∆的外心,则AO BC ⋅=________.15.已知实数,x y 满足02020x y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，复数z x yi =+(i 是虚数单位),则12z i--的最大值与最小值的乘积为___________.三、解答题：本大题共6小题；共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)某培训班共有n 名学生,现将一次某学科考试成绩（单位:分）绘制成频率分布直方图,如图所示.其中落在[80,90)内的频数为36.(1)请根据图中所给数据，求出a 及n 的值；(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩? (3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中,随机抽取两名学生的成绩,求所取两名学生的平均分不低于70分的概率.17.(12分)ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，满足222()AB AC a b c ⋅=-+. (1)求角A 的大小;(2)求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小.18.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面,ABCD 四边形ABCD 为正方形,4,3,AB PA A ==点在PD 上的射影为G 点.(1)求证:AG ⊥平面;PDC(2)在棱AB 上是否存在一点E ,使得//AG 平面PEC .若存在,求出AE 的长;若不存在,请说明理由.19.(12分)已知{a n }为递增的等比数列，且{a 1，a 3，a 5}⊆{－10，－6，－2,0,1,3,4,16}． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n +1－n －2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出b n ；若不存在，说明理由．20.(13分)设椭圆C :2221(0)2x y a a +=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点,2120AF F F ⋅=,坐标原点O 到直线AF 1的距离为113OF . (1)求椭圆C 的方程;(2)设Q 是椭圆C 上的一点,过点Q 的直线l 交 x 轴于点(1,0)F -,交 y 轴于点M ,若||2||MQ QF =,求直线l 的斜率.21.(14分)已知函数2()ln a af x x x x =-+(a R ∈). (1)若1a =,求函数()f x 的极值;(2)若()f x 在[1,)+∞内为单调增函数，求实数a 的取值范围; (3)对于n N *∈,求证:21ln(1)(1)ni in i =<++∑.高三数学（文）参考答案1~10. ADCAB ABBCC 11. 68 12. －1 13.154 14. 1415. 16.(1)第四组的频率为:10.050.2250.350.0750.3----=0.30.0310a ∴==,361200.3n ==(2)第一组应抽:0.05402⨯=个 第五组应抽:0.075403⨯=个(3)设第一组抽取的2个分数记作12,A A ,第五组的3个记作123,,B B B ,那么从这两组中抽取2个有:12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 10种,其中平均分不低于70分有9种, 所以概率为:910P =17.解：(1)由已知2222cos 2bc A a b c bc =---，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-，∴1cos 2A =-，∵0A π<<，∴23A π=(2)∵23A π=，∴3BC π=-，03C π<<.241cos sin()sin()2323C C B B ππ+--=+-2sin()3C π=+∵03C π<<，∴2333C πππ<+<，∴当32C ππ+=，24sin()23C B π--2，解得6B C π==．18.(1),PA ABCD CD ABCD ⊥⊆平面平面PA CD ∴⊥ 又CD AD ⊥CD PAD ∴⊥平面AG PAD ⊆平面CD AG ∴⊥ 又,AG PD PD CD D ⊥=AG PDC ∴⊥平面(2)假设棱AB 存在一点E ,使//AG PEC 平面.过G 作//GM PC CD M 交于,连AM ,则//GM PEC 平面, AG GM G =//AGM PEC ∴平面平面 它们都与平面ABCD 相交,//AM EC ∴//AE CM AECM ∴四边形为平行四边形AE CM ∴=设AE x =,则,4CM x DM x ==- 在Rt PAD ∆中,可求916,55PG GD ==//DM DG GM PC CM PG ∴= 即4169x x -=,3625x ∴=因此存在点E 满足题意,3625AE =. 19.(1)因为{a n }是递增的等比数列，所以数列{a n }的公比是正数，又{a 1，a 3，a 5}⊆{－10，－6，－2,0,1,3,4,16}，所以a 1＝1，a 3＝4，a 5＝16，从而q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，(2)假设存在满足条件的等差数列{b n }，其公差为d .则当n ＝1时，a 1b 1＝1， 又∵a 1＝1，∴b 1＝1；当n ＝2时，a 1b 2＋a 2b 1＝4，b 2＋2b 1＝4，b 2＝2. 则d ＝b 2－b 1＝1，∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .以下证明当b n ＝n 时，a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n －1b 2＋a n b 1＝2n ＋1－n －2对一切n ∈N *都成立． 设S n ＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n －1b 2＋a n b 1，即S n ＝1×n ＋2×(n －1)＋22×(n －2)＋23×(n －3)＋…＋2n －2×2＋2n －1×1， ①2S n ＝2×n ＋22×(n －1)＋23×(n －2)＋…＋2n －1×2＋2n×1， ②②－①得S n ＝－n ＋2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋2(1－2n )1－2＝2n ＋1－n －2，所以存在等差数列{b n }，b n ＝n ，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n －1b 2＋a n b 1＝2n ＋1－n －2对一切n ∈N *都成立.20．(1)由于2120AF FF =，则有212AF F F ⊥,过O 作1OG AF⊥于G 21113OG AF OF AF ∴==123AF AF ∴= 123,22a a AF AF ∴==2221212AF AF F F =+ 22234(2)22a a a ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2a ∴= 故所求椭圆C 的方程为22142x y += (2) 由题意知直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k , 直线l 的方程为(1)y k x =+， 则有M （0,k ）， 设11(,)Q x y ，由于Q ， F ，M 三点共线，且||2||MQ QF =，根据题意，得1111(,)2(1,)x y k x y -=±+， 解得11112,2,33x x y k ky ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩或 又点Q 在椭圆上，所以22222()()(2)()33114242k k ---+=+=或解得0,4k k ==±.综上，直线l 的斜率为0,4k k ==±.21.()f x '2233122(0)a a x ax ax x x x x +-=+-=>(1)若1a =,()f x '232x x x +-=,令()f x '=0,得12x x ==-或(负值舍去)令()f x '>01x ⇒>,()f x '<001x ⇒<<()(1)0f x f ∴==极小,无极大值(2)()f x 在[1,)+∞上单调递增,∴()f x '2320x ax ax +-=≥在[1,)+∞上恒成立.即220x ax a +-≥在[1,)+∞上恒成立.令2()2g x x ax a =+- 当122a a -≤≥-即时,(1)01g a ≥⇒≤21a ∴-≤≤ 当122a a -><-即时,()0802ag a -≥⇒-≤≤ 82a -≤<- 综上:[8,1]a ∈-(3)当1a =时,由(2)知,()f x 在[1,)+∞上单调递增 即1x >时,()(1)0f x f >=, 即211ln (1)x x x x >-> 取1()n x n N n *+=∈,11n n+>2221ln1(1)(1)n n n n n n n n +∴>-=+++ 21231ln ln lnln(1)12(1)ni i n n ni =+∴<+++=++∑。
新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第二十三中学2023-2024学年高三下学期5月月考语文试题(含答案)
乌鲁木齐市第二十三中学高三年级五月月考语文试题总分150分考试时间150分钟第一部分：现代文阅读（共35分。
请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。
）阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：卓越的演化生物学家西奥多修斯·多布赞斯基写道：“若无演化之光，生物学的一切都无意义。
”严肃的、可重复的科学研究已经得出结论，音乐的声响实在和植物没有关系，而且这从演化的角度来看也是有意义的。
在植物的演化史长河中，只有200年历史的古典音乐和只有50年历史的摇滚乐不过是一点小浪花。
不过，是否至少在理论上存在什么有利的声音，值得植物去回应呢？特拉维夫大学的理论生物学家莉拉赫·哈达尼教授用数学模型研究演化。
她认为植物的确能对声音产生反应，但我们必须设计正确的实验来检测这一行为。
按她的设想，我们应该设计一种研究，用已知自然界存在的声音去影响一个特定的植物生理过程。
如果科学家想要研究植物对声波的反应，那么他们需要考虑，能够让植物听到并产生演化优势的那些与生理相关的声音究竟是什么。
这样的声音可能要么能提供有关水分之类资源所在位置的线索，要么能提醒植物即将发生的有益或有害的生物相互作用——比如与传粉者或食草动物之间的相互作用。
直到最近几年，才有人尝试去识别这样的反应。
莫尼卡·加利亚诺是西澳大利亚大学的一位研究副教授；斯泰法诺·曼库索教授则是佛罗伦萨大学植物神经生物学国际实验室主任。
她们与其同事一起尝试为她们起名为“植物生物声学”的研究领域建立理论和实践基础。
在2012年发表的一项研究中，她们报道，如果声波的波长类似于水传播的振动波长，则根尖会明显向水源弯曲。
这似乎暗示，根可以通过聆听水流来搜寻新的水源！事实上，加利亚诺的团队近来又表明，豌豆的根可以朝向水流方向生长。
这些研究结果有助于解释城市工程师几十年前就知道的现象：树木的根常会包围地下的供水管和污水管，甚至侵入其中，导致大量设备损坏和财产损失。
广东省广州科学城中学2023届高三下学期5月月考数学试题
均在
C
上，且关于
y
轴对称．
若直线 AP, AQ 的斜率之积为 1 ，则 C 的离心率为（ ） 4
A． 3 2
B． 2 2
C．
1 2
D．
1 3
二、多选题 13．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举 办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将师生的竞赛成绩 （满分 100 分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的 是（ ）
B．函数
f
( x)
在区间
æ çè
1 2
,
+¥
ö ÷ø
上单调递减
C．函数 f (x) 有两个不同的零点
D． f ( x) < ex - x2 - 2 恒成立
三、填空题
19．函数
y
=
log2
1+ 1-
x x
的定义域是______.
20．在
æ çè
x
-
5 ön 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 64，则 x3 的系数为__ x ÷ø
B
=
-3 ，求
tan C
．
26．已知{an} 为等差数列，{bn} 是公比为 2 的等比数列，且 a2 - b2 = a3 - b3 = b4 - a4 ．
(1)证明： a1 = b1 ；
{ } (2)求集合 k bk = am + a1,1 £ m £ 500 中元素个数．
27．某种病菌在某地区人群中的带菌率为 10% ， 目前临床医学研究中已有费用昂贵 但能准确检测出个体是否带菌的方法. 现引进操作易、成本低的新型检测方法: 每次只
2024年辽宁省名校高三语文5月模拟调研考试卷附答案解析
2024年辽宁省名校高三语文5月模拟调研考试卷试卷满分150分。
考试时长150分钟一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：世界不少国家和地区的乡村都曾因城镇化的快速推进面临各种挑战，而数字技术革命给农业发展和乡村治理带来全新改变。
以移动互联网、大数据、云计算、物联网和人工智能为代表的数字技术蓬勃兴起，为传统农业转型升级和乡村治理现代化创造了前所未有的机遇。
将数字技术广泛融入农业产业发展的各环节，利用数字技术服务乡村发展和治理，已成为世界潮流。
部分国家和地区在开展数字乡村建设和智慧农业方面的实践起步较早，形成了具有借鉴价值的发展模式和路径。
这些国家和地区积极推动数字技术在农业生产经营中的应用，发展融合生产、加工、销售终端全流程在内的农业产业化模式。
如澳大利亚积极利用大数据技术服务现代农业发展，通过全面的数据采集、先进的技术手段和精准的数据分析利用平台，实现农业生产的智能管控、精准运行和科学管理。
以色列采用数字技术建设了农业生产培训平台，将农业前沿技术、市场变动等信息向农业经营主体实时公开，帮助农民及时掌握市场信息，助力其提升农业生产技能。
近年来，中国高度重视数字乡村建设。
2018年中央一号文件首次提出实施“数字乡村战略＂，2020年启动国家数字乡村试点。
此外，还发布《数字乡村发展战略纲要》《数字乡村发展行动计划》等政策文件。
截至2022年6月，中国乡村网民规模达2.93亿；乡村互联网基础设施建设全面覆盖，实现“县县通5G、村村通宽带”；数字技术在农业生产和乡村治理领域广泛应用，乡村电商快速发展，为加快乡村振兴提供了有利条件。
数字乡村建设是一个长期、复杂的系统性工程。
应因地制宜，使数字乡村建设与地方实际和发展模式相结合，走出一条中国式农业农村现代化之路。
农业产业的数字化运用应充分考虑特色产业方向，针对各地农技服务、乡村淘宝、直播带货、休闲农业、绿色农场、康养小镇等不同发展战略，采用多样数字技术路径。
山东省菏泽市2007—2008学年度第二学期高三年级5月模拟(数学文科)
山东省菏泽市2007—2008学年度第二学期高三年级5月模拟数学（文）试题说明：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共12页，考试时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目用钢笔和2B 铅笔写、涂在答题 卡. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，若需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不准答在试卷面上.3．参考公式：锥体的体积公式是：sh V 31=，其中S 表示其底面积，h 为高. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题意的，把正确选项的代号涂在答题卡上或填在和Ⅱ卷相应的空格内.1．设全集U 是实数集R ，},112|{},4|{2≥-=>=x x N x x M 则图中阴影部分所表示的集 合是（ ）A ．}12|{<≤-x xB ．}22|{≤≤-x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2．在△ABC 中，)3,2(),1,(,90==︒=∠k C ，则k 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．23 D ．23-3．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线 4．若0lg lg =+b a （其中1,1≡≠b a ），则函数xxb x g a x f ==)()(与的图象 （ ） A ．关于直线y=x 对称 B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称5．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,0,)0(1212222=⋅>>=+PF PF b a b y a x 且上一点,21t a n21=∠F PF 则该椭圆的离心率为 （ ）A ．21 B ．32 C ．31 D ．35 6．某人从甲地去乙地共走了500m ，途经一条宽为xm 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为54，则河宽为 （ ）A ．80mB ．100mC ．40mD ．50m7．曲线21)4cos()4sin(2=-+=y x x y 与直线ππ在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次 记为P 1，P 2，P 3，……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π48．一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形 的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 （ ） A ．1 B ．21 C ．31D ．619．已知抛物线).0(22>=p px y 直线l 经过定点)20(),0,(p m m M <<且交抛物线于A 、B两点，则AOB ∠为（ ） A ．锐角 B ．钝角C ．直角D ．锐角或直角10．函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，)(x f y =的图象经过（0，－1）和下面哪一个点时，能使不等式}31|{1)1(1<<-<+<-x x x f 的解集为 （ ）A ．（3，2）B ．（4，0）C ．（3，1）D ．（4，1）11．如果函数)1ln(2)(+-=x b a x f 的图象在1=x 处的切线l 过点（b1,0-），并且l 与圆C ：,122相离=+y x 则点（a,b ）与圆C 的位置关系是（ ）A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不能确定12．某地一年的气温)(t f （单位：℃）与时间t （月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令g （t ）表示时间段[0,t]的平均气温，g （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案填在Ⅱ卷相应题号的空格内.13．某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130—140分数段的人数为90人，则90—100分数段的人数 .14．已知函数)(),(),2sin(2)(,sin 2)(x g x f m x x x g x x f 与直线=-==π的图象分别交M 、N 两点，则|MN |的最大值为 . 15．设)(x f 是以2为周期的奇函数，且)2cos 4(,55sin ,3)52(ααf f 则若==-的值等于.16．已知点P （x,y ）的坐标满足AOP A x y x y x ∠⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-cos ||),0,2(,012553034则设（O 为坐标原点）的最大值为 .三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说、证明过程或推演步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，.0),cos ,(cos ),,2(=⋅=+=n m C B n b c a m 且（1）求角B 的大小；（2）设)()(,2cos 23)cos(cos sin 2)(x f x f x C A x x x f 的周期及当求-+=取得最大值时的x 的值.18．（本题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、PC 、BC的中点，且P A=PB ，AC=BC 、 （1）证明：AB ⊥PC ； （2）证明：PE//平面FGH19．（本小题满分12分）已知函数)6(),2(),0(),(log )(2f f f m x x f 且+=成等差数列. （1）求)30(f 的值；（2）若a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断)()(c f a f +与)(2b f的大小关系，并证明你的结论.20．（本小题满分12分）某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0）满足13+-=m kx （k 为常 数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2006年生产该产品的 固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家将每年产品的销售价 格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不 包括促销费用）.（1）将2006年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21．（本题满分12分）如图，椭圆的方程为)0(122222>=+a ay a x ，其右焦点为F ，把椭圆的长轴分成6等分，过每个点作x 轴的垂线交椭圆上半部于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5五个点， 且|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F |=52.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 过F 点（l 不垂直坐标轴），且与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M （m,0），试求m 的取值范围.22．（本题满分14分）已知函数,0)0(),,(4131)(23=∈++-=f R d c a d cx x ax x f 满足 R x f f 在且0)(',0)1('≥=上恒成立.（1）求d c a ,,的值； （2）若;0)()(',41243)(2<+-+-=x h x f b bx x x h 解不等式 （3）是否存在实数m ，使函数]2,[)(')(+-=m m mx x f x g 在区间上有最小值－5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.山东省菏泽市2007—2008学年度第二学期高三年级5月模拟参考答案一、选择题CACCD BADBD AD 二、填空题 13．810 14．22 15．－3 16．5三、解答题 17．解：（1）由0cos cos )2(,0=++=⋅C b B c a n m 得0cos cos cos 2=++∴c b B c B a由正弦定理，得0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A ………………3分即0)sin(cos sin 2=++B C B A0)1cos 2(sin =+∴B A在0sin ,≠∆A ABC 中01cos 2=+∴B.32π=∴B ……………………6分（2）因为,32π=B3π=+∴C A)32sin(2cos 232sin 21)(π-=-=∴x x x x f ………………8分 ∈+=-∴k k x x f ,2232)(ππππ令的周期为 ，得125ππ+=k x （∈k ） 即当时125ππ+=k x （k ∈ ）时)(x f 取最大值.……………………12分 18．解：（1）证明：连接EC ，AB EC ⊥有………………2分又,PB PA =PE AB ⊥∴………………4分PEC PC PEC AB 面面⊂⊥∴,PC AB ⊥∴（2）连结FH ，交于EC 于R.连接GR .在.//,PE GR PEC 中∆………………9分..FHG GR FHG PE 面⊂⊄.//FHG PE 面∴……………………12分19．解：（1）由得成差数列,)6(),2(),0(f f f)0)(6()2(),6(log log )2(log 22222>+=+++=+m m m m m m m 即2=∴m 得…………………………………………………………4分5)230(log )30(2=+=∴f …………………………6分（2）),2)(2(log )()(,)2(log )2(log 2)(22222++=++=+=c a c f a f b b b f,2ac b =又b c a b b c a ac b c a 4)(2444)(2)2()2)(2(22-+=---++==+-++∴…………9分4)(2)(22>-+∴≠=>+b c a c a b c a c a)(2)()(,)2(log )2)(2(log 222b f c f a f b c a >++>++∴即………………12分20．解（1）由题意可知当0=m 时，1=x （万件）,231=-=∴k k 即………………2分123+-=∴m x 每件产品的销售价格为x x1685.1+⨯（元）……………………4分 )168(]1685.1[2006m x x xx y ++-+⨯=∴年的利润………………6分m n m x -+-+=-+=)123(8484……………………8分)0(29)]1(116[≥++++-=m m m（2）,8162)1(116,0=≥+++≥m m m 时 ……………………10分 31116,21298=⇒+=+=+-≤∴m m m y 当且仅当（万元）时，21max =y （万元）……………………11分所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元…………12分21．解：（1）由题意，知.,3251轴对称分别关于与与y P P P P 设椭圆的左焦点为F 1，则|P 1F |+|P 5F |=|P 1F |+|P 1F 1|=2a ，同时|P 2F |+|P 3F |=2a 而|P 3F |=a ∴|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |+|P 4F |+|P 5F |=5a =522=∴a1222=+∴y x 椭圆方程为…………………………6分（2）由题意，F （1，0），设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y1222=+y x 代入椭圆方程为整理，得0224)21(2222=-+-+k x k x k……………7分因为l 过椭圆的右焦点，.,B A l 与椭圆交于不同的两点∴设),(),,(),,(002211y x AB y x B y x A 中点为，则12)1(,122)(21,21420022*******+-=-=+=+=+=+k kx k y k k x x x k k x x …………9分)(100x x ky y AB --=-∴的垂点平分线方程为令2222222001211212122,0kk k k k k k ky x m y +=+=+-+=+==得由于012>k ,2122>+∴k.210<<∴m …………………………12分22．解：（1）,0)0(=f0=∴d21,0)1('21)('2=+=+-=∴c a f c x ax x f 有及 021,0)('2≥+-≥c x ax R x f 即上恒成立在 恒成立即021212≥-+-a x ax 恒成立……………………2分显然0=a 时，上式不能恒成立a x ax x f a -+-='≠∴2121)(,02函数是二次函数由于对一切,0)(,≥'∈x f R x 都有于是由二次函数的性质可得⎪⎩⎪⎨⎧≤--->.0)21(4)21(,02a a a41:0)41(,0016121,022=⎪⎩⎪⎨⎧≤->⎪⎩⎪⎨⎧≤+->a a a a a a 解得即 41==c a ………………………………4分 （2）.41==c a .412141)(2+-='∴x x x f 041243412141,0)()(22<-+-++-<+'∴b bx x x x x h x f 即由 即0)21)((,02)21(2<--<++-x b x b x b x 即………………6分 当)21,(,21),,21(,21b b b b 解集为时当解集为时<> 当ϕ解集为时,21=b ……………………………………8分 （3）,41==c a 412141)(2+-='∴x x x f .41)21(41)()(2++-=-'=∴x m x mx x f x g 该函数图象开口向上，且对称轴为.12+=m x假设存在实数m 使函数41)21(41)()(2++-=-'=x m x mx x f x g 区间]2.[+m m 上有最小值－5.①当]2,[)(,12,1+<+-<n m x g m m m 在区间函数时上是递增的..541)21(41,5)(2-=++--=∴m m m m g 即 解得.373=-=m m 或 ,137-> 37=∴m 舍去.………………10分 ②当]12,[)(,212,11++<+≤<≤-m m x g m m m m 在区间函数时上是递减的，而在区间]2,12[++m m 上是递增的，.5)12(-=+∴m g 即541)12)(21()12(412-=+++-+m m m 解得均应舍去或,212121212121+-=--=m m ………………12分 ③当1≥m 时，]2,[)(,212++≥+m m x g m m 在区间函数上递减的 5)2(-=+∴m g 即.541)2)(21()2(412-=+++-+m m m 解得221.221221--+---=m m m 其中或应舍去. 综上可得，当2213+-=-=m m 或时，函数.5]2,[)()(-+-'=上有最小值在区间m m mx x f x g ………………14分。
湖北省高中名校联盟2024届高三下学期5月第四次联合测评(三模)语文试题Word版含解析
湖北省高中名校联盟2024届高三第四次联合测评（圆创5月联考）语文试题及答案一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，18分)阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一为进一步发挥新时代科普在我国创新发展中的作用，迫切需要构建具有前沿性和科学性的高质量科普体系。
新时代高质量科普的框架体系具有“全周期、多主体、强支撑”的特点，从时间、主体、环境三个维度发力，侧重生态文化、人才、成果转化等方面的支撑和相关目标实现。
在时间维度上强调终身科普。
法国成人教育学家保罗·郎格郎指出，“教育和训练的过程并不随学校学习的结束而结束,而是应贯穿于生命的全过程”。
根据科普的分阶段特性，结合终身教育理念，可将身科普体系概括为三个子系统，即校园科普、社会科普和网络科普。
网络科普是随着信息技术的发展而诞生，并且逐渐成为主流的一种科普方式，是终身科普体系中最重要、最广泛、最多样的方式。
通过构建终身科普体系，保证公众科普的常态化和终身供给。
在主体维度上，强调跨学科、多主体、广覆盖、融产业的特征。
就多主体特征而言，新时代科普需要构建政府、企业、个人协同运营的体系。
事实上，政府在坚持科普社会公益事业属性的同时，也要看到其他主体在科普方面的重要作用。
如鼓励企业出资建设科技场馆、展厅设施等,在宣传展示企业科技实力和企业文化的同时，参与和支持科学技术知识的教育与普及工作。
对于个人主体则要调动行业专家和科技工作者的科普能动性,鼓励个人在科普领域自由创作、形成影响。
在环境营造上，需全面完善生态体系，营造文化氛围，储备人才队伍，完善成果转化体系。
生态体系上，科普作为科技创新生态的重要组成部分，直接服务于信息的传导，并通过改变人的认识层面，促进科技创新。
文化氛围上，科普已经成为促进社会主义文化建设的重要措施。
有专家认为,科普在形式上是一种社会教育活动,具有社会性、群众性和持续性，这也赋予了科普文化活动的属性。
科普工作要针对这种属性，不失时机地广泛渗透到各种社会活动中,才能形成规模宏大、富有生机、社会化的大科普。
2024届福建省莆田市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试题(含解析)
莆田一中2024届高三模拟卷试卷数学试题本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．1．已知i 是虚数单位，，，则（ ）．A ．5BC ．2D ．42．已知各项均为正数的等比数列，若，则（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．93．在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则（ ）．A ．B ．C ．D ．4．已知函数，若，则（ ）．A ．B ．C ．D ．5．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．A ．B ．C ．4D ．56．生活中很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如畚箕，其结构为如图所示的五面体ADEBCF ，其中四边形ABFE 与CDEF 都为等腰梯形，ABCD 为平行四边形，若面ABFE ，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（ ）．,a b ∈R ()2i i i a b +=-i a b +={}n a 59a =3436log log a a +=ABC △EB =3144AB AC-1344AB AC-3144AB AC+1344AB AC+()22xf x x =+()3f a <()1,a ∈+∞()0,1a ∈(),1a ∈-∞()1,1a ∈-24y x =3y x =+AD ⊥222EF AB AE BF ===D ABF -1VA ．B ．C ．D ．7．已知，，则（ ）．A．B ．C ．D ．8．双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C 的左右两支分别交于M ，N 两点．若且，则双曲线的离心率为（ ）．ABCD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题得目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9．已知一组正实数样本数据，满足，则（ ）．A ．样本数据的第80百分位数为B ．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C ．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D ．将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍10．如图，在正方体中，P 为棱AB 上的动点，平面，Q 为垂足，则（）．A ．B ．平面截正方体所得的截面可能为三角形18V 15V 14V 13V π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 22tan sin sin βαββ=+2αβ+=π3π22π3π()2222:1,0x y C a b a b-=>1F 2F 1F 114F M MN = 121cos 4F NF ∠=()1,2,3,,10i x i =L 12310x x x x ≤≤≤≤L 8x 1111ABCD A B C D -DQ ⊥1D PC 1QD QC=1D PCC ．当P 位于AB 中点时三棱锥的外接球半径最大D ．线段DQ 的长度随线段AP 的长度增大而增大11．已知，分别是函数和的零点，则（ ）．A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．12．已知集合，，若，则实数__________．13．从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有__________种．14．已知函数，如图，A ，B ，C 是曲线与坐标轴的三个交点，直线BC 交曲线于点M ，若直线AM ，BM 的斜率分别为，3，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线；（2）讨论的单调性．16．（15分）已知正项数列的前n 项和为，且，．（1）求；（2）在数列的每相邻两项、之间依次插入、、…、，得到数列：、、、、、、、、、、…，求的前20项和．17．（15分）如图所示的空间几何体是以AD 为轴的圆柱与以ABCD 为轴截面的半圆柱拼接而成，其中AD 为半圆柱的母线，点G 为弧CD 的中点．1D DCP -1x 2x ()1e xf x x =-()1ln g x x x=-1102x <<12ln ln 0x x +=12e ln 1xx =1213562x x <+<{}1,3,21A m =--{}23,B m=B A ⊆m =()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭()y f x =()y f x =37ω=()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦12a =()y f x =()()0,0f ()f x {}n a n S 11a =2218n n S S n +-=n S {}n a k a 1k a +1a 2a k a {}n b 1a 1a 2a 1a 2a 3a 1a 2a 3a 4a {}n b 20T 14（1）求证：平面平面BCG ；（2）若，且平面BDF 与平面ABGE 到直线BG 的距离．18．（17分）已知椭圆的离心率为，A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，为左焦点，且．若P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．19．（17分）设离散型随机变量X ，Y 的取值分别为，．定义X 关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A 生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A 的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A 的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．设第n 天上午培养皿中A 的个体数量为．规定，．（1）求，；（2）证明；（3）已知，求，并结合（2）说明其实际含义．附：对于随机变量X ，．BDF ⊥4AB =()2222:10x y M a b a b+=>>121F 1ABF △2QN QC k k -QN k QC k {}12,,,p x x x L {}()12,,,,q y y y p q *∈N L j Y y =()1j q ≤≤()()1pj iiii E X Y y x P X x Y y =====∑()()()1qjjj E X E X Y y P Y y ====∑n X ()110E X =()10D X =()24P X =()434E X X =()10n E X =()()221n n E X X t t t t *-==+∈N ()nD X ()()()22D XE XE X -⎡⎤⎣⎦=参考答案一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．1．【答案】B【解析】由题设有，而，故，，故，故选：B ．2．【答案】C【解析】由题意得．故选：C法2．（特值法），则．3．【答案】A【解析】在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，，故选A ．4．【答案】D【解析】因为的定义域为R ，且，所以为偶函数，又当时，单调递增，且，所以由可得，即，解得．故选D ．法2．，，所以符合题意排除AB ，又，不符合题意，排除C ，选D ．5．【答案】A【解析】转化为焦点到直线的距离6．【答案】C【解析】（割补法）因为ABCD 为平行四边形，所以，2i 1i a b +=+,a b ∈R 1a =2b =i a b +==()23436346353log log log log log 814a a a a a +====9n a =3log 2n a =ABC △()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-()22xf x x =+()()()2222xxf x x x f x --=+-=+=()f x 0x ≥()22xf x x =+()13f =()3f a <()()31fa f <=1a <11a -<<0a =()03f <0a =()13f -=()1,0F 3y x =+d ==ABD BCD S S =△△所以．（等底同高）记梯形ABFE 的高为h ，因为，所以，所以，（同高）所以该五面体的体积．故选C ．7．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，，所以，所以，所以B ．法2．（特值法）令，则，选B ．令，则，选B ．8．【答案】D【解析】由双曲线定义可知，，1F BCD F ABD V V V --==2EF AB =112222AEF ABF S EF h AB h S =⋅=⨯⋅=△△122D AEF D ABF V V V --==111124D AEF D ABF F BCD V V V V V V V V ---=++=++=2sin 22tan sin sin βαββ=+22sin 2sin cos 2cos cos sin sin 1sin αβββαβββ==++sin sin sin cos cos ααβαβ+=()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ=-=+()πcos cos 2ααβ⎛⎫-=+⎪⎝⎭π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ0,22α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()0,παβ+∈π2ααβ-=+π22αβ+=π5πcos 2cos 36αβ⎛⎫++== ⎪⎝⎭π6β=π2tan tan 6ααα==⇒=⇒=π4α=2sin 22sin 2sin cos 1sin 0ββββββ=+⇒=+⇒=122NF NF a -=212MF MF a -=设，则有，，，由余弦定理可得，整理可得：，故，，则有，整理可得：，．故选D ．【备注】可设，则，计算更简便．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题得目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9．【答案】BC【解析】对于A ，由10×80％＝8，所以样本数据的第80百分位数为，故A 错误；对于B ，由题意存在这样一种可能，若，则极差为，此时样本数据的极差不变，故B 正确；对于C ，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故C 正确；对于D ，，故错误．故选BC ．10．【答案】ABD【解析】选项A ，连接，CQ ，则，，因为，所以，选项A 正确；选项B ，当P 位于点A 时，截面为三角形，选项B 正确；1MF m =22MF a m =+15NF m =252NF m a =-()()()()2221245221cos 24524m m a m a F NF m m a +--+∠==⨯⨯-23m a =1103NF a =243NF a =()222121042133cos 1044233a a c F NF a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯2283a c =2228e 3c a ==11MF =4MN =892x x +12310x x x x =≤≤≤L 101102x x x x -=-224S S '=1D Q 1DQ D Q ⊥DQ CQ ⊥1DD DC =1QD QC =选项C ，平面DCP ，记的外接圆半径为r ，则外接球半径，由正弦定理得，当P 位于AB 中点时，，选项C 错误；选项D ，为定值，过P 作于点M ，过M 作，则，可知随AP 的增大而变小，所以选项D 正确．CD 选项可直观感知，再论证，寻找变化中的不变量．【辨析】（1）存在点P 使得；（2）存在点Q ，使得平面；（3）点Q 在圆上运动？【练习】如图，在直三棱柱中，，，E 、F 分别为，的中点，过点A 、E 、F 作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（）．A ．三棱柱外接球的表面积为B ．C ．若交于M ，则D ．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为5∶4【详解】如图所示：将该三棱柱视为正方体的一部分，则三棱柱外接球的半径，，其表面积为，故A 错误；延长AF 与交于点P ，连接PE 交于M ，连接FM ，则平面AEMF 即为截面．因为，F 是中点，所以是PC的中点，1DD ⊥DCP△R =2sin CDr DPC=∠45DPC DAC ∠>∠=︒11113D D CPD DCP DCP V V S DD --==⋅△PM CD ⊥1MN CD ⊥1PN CD ⊥1D CP S QA QB ⊥PQ ∥11ADD A 111ABC A B C -16AC BC CC ===AC BC ⊥1BB 11A C α111ABC A B C -108π1BC α∥α11BC EM =α111ABC A B C -1111ABCD A B C D -111ABC A B C-2R=R =24π108πR =1CC 11B C α1FC AC ∥1C由与相似，得，得，而E 是的中点，所以ME 与不平行且相交，所以与截面不平行，故B 项错误；因为，又，所以在中，，故C 项正确；延长PE 交BC 于点Q ，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为所以剩余部分的体积为，所以体积之比为，故D 项错误．故选AC ．11．【答案】BCD【解析】思路1．（同构）令，得，即，，令，得，即，即，，记函数，，则，所以函数在上单调递增，因为，，所以，故A 错误；又，，所以，，所以，故B 正确；所以，故C 正确；又，所以，结合，得，因为，所以，且，因为在区间上单调递减，所以，即，故D 正确．1MPC △1MEB △11112PC MC EB MB ==11113B M BC =1BB 1BC 1BC α12B M =13B E =1Rt B EM △13EM ==α111ABC A B C -1111111681234626378323232P ACQ P FMC A QBE V V V -----=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=166678302⨯⨯⨯-=7813305=()0f x =111e xx =11e 1xx =10x >()0g x =221ln x x =22ln 1x x =2ln 2ln e 1xx =21x >()e xh x x =0x >()()1e 0xh x x '=+>()e xh x x =()0,+∞()111e 1x h x x ==112h ⎛⎫=<⎪⎝⎭112x >()111e 1xh x x ==()2ln 22ln ln e1x h x x ==12ln x x =12e x x =()()112121ln ln ln ln e ln10xx x x x x +====1222e ln ln 1xx x x ==()23122e 133h h x ⎛⎫=>=⎪⎝⎭123x <112x >11223x <<121x x =12111x x x x +=+11223x <<1y x x =+12,23⎛⎫⎪⎝⎭1123112322x x +<+<+1213562x x <+<【思路2】问题转化为函数图像，分别与交点问题，由与互为反函数，图像关于直线对称；图像本身关于对称，如图点，，则，依题意得．选项B ．所以选项C ．可以发现选项BC 等价，要么全对要么全错，而A 错，则BC 必然正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．12．【答案】1【解析】由题知，，若，则或，当时，方程无解；当时，，解得：，此时，，，符合题意，所以．故答案为：1．13．【答案】54【解析】理解关键词“若干人”的含义①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果，余下的两个学科给剩下的两个人，有e xy =ln y x =1y x=e xy =ln y x =y x =1y x=y x =()11,ex P x ()22,ln Q x x 1122ln e x x x x =⎧⎨=⎩11112222111e ln x x x x x x x x ⎧=⎪⇒=⇒=⎨⎪=⎩()121212ln ln 0ln 01x x x x x x +=⇔=⇔=1121121222e ln 1e 1ln 1ln 1x xx x x x x x x x ⎧=⎪=⇔=⇔=⎨⎪=⎩{}1,3,21A m =--{}23,B m =B A ⊆21m =-221m m =-21m =-221m m =-2210m m -+=1m ={}1,3,1A =-{}3,1B =1m =13C 3=24C 6=种结果，所以不同的安排方案共有种，②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来，有种结果，再将四门不同学科分成两堆，有种结果，将学科分给学生，有种结果，所以不同的安排方案共有种，综合得不同的安排方案共有种．14．【答案】【解析】关键在于逆用“五点法”，，，，则四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）当时，函数，则，切点坐标为，，则曲线在点处的切线斜率为，所求切线方程为，即．（2），函数定义域为R ，，①，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减．②，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减．③，恒成立，在上单调递增．22A 2=36236⨯⨯=23C 3=2422C 3A =22A 2=33218⨯⨯=361854+=π()0,sin B ϕ,0C ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭2,sin M ϕϕω-⎛⎫-⎪⎝⎭π,0A ϕω-⎛⎫⎪⎝⎭sin 3π71ππsin π763AM BMk k ϕϕϕωϕωϕϕϕω⎧==⎪-⎪⎪⇒=⇒=⇒=⎨+⎪==⎪⎪⎩12a =()()2e 21xf x x x =-+()01f =()0,1()()2e 1x f x x '=-()y f x =()0,1()01f '=-()10y x -=--10x y +-=()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦()()()()2e 122e 21x xf x x a x a x a x '⎡⎤=+--=-+⎣⎦12a >-()0f x '>1x <-2x a >()0f x '<12x a -<<()f x (),1-∞-()2,a +∞()1,2a -12a <-()0f x '>2x a <1x >-()0f x '<21a x <<-()f x (),2a -∞()1,-+∞()2,1a -12a =-()0f x '≥()f x (),-∞+∞综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增．16．【详解】（1）解：对任意的，因为，当时，，因为，所以，故．当时，适合，所以，．（2）解：因为，，所以当时，，所以，，所以，数列的前20项分别为：1、1、2、1、2、2、1、2、2、2、1、2、2、2、2、1、2、2、2、2，所以的前20项是由6个1与14个2组成． 所以．【备注】6分处容易漏写，累加法，累乘法都需补充说明的情况．17．【解析】【思路1】（1）过G 作交弧AB 上一点，连结GB ，则G 为弧AB 的中点，则且，所以四边形HBCG 为平行四边形，所以．由题意可知，，为等腰直角三角形，则．因为G 为弧AB 的中点，则为等腰直角三角形，则，12a >-()f x (),1-∞-()2,a +∞()1,2a -12a <-()f x (),2a -∞()1,-+∞()2,1a -12a =-()f x (),-∞+∞n *∈N 2218n n S S n +-=2n ≥()()2222221211n n n S S S S S S -=-++-+L ()()81811812311n n =-++⨯+=++++-+⎡⎤⎣⎦L L ()()2181212n n n -=⨯+=-0n a >0n S >21n S n =-1n =111S a ==21n S n =-21n S n =-n *∈N 21n S n =-n *∈N 2n ≥()()1212112n n n a S S n n -=-=----=⎡⎤⎣⎦1,12,2n n a n =⎧=⎨≥⎩{}n b {}n b 206114234T =⨯+⨯=1n =1n =GH BC ∥GH BC ∥GH BC =HB CG ∥FB BC ⊥Rt ABF △π4ABF ∠=Rt ABH △π4ABH ∠=所以，则．因为，则．又因为BC 、面BCG ，，所以平面BCG ，因为面BDF ，所以平面平面BCG ．思路2．（建系简答）以A 为原点，AF ，AB ，AD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，设，，，，，则，，，，设平面ABD 和平面BCG 的一个法向量为，，由，可取，由，可取，所以，所以，所以平面平面BCG ．（2）如图所示建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，，，，设平面BDF 的一个法向量为，则，即，令，．设平面ABG 的一个法向量为，则，即，令，，π2FBH ∠=FB BH ⊥HB GC ∥FB CG ⊥CG ⊂BC CG C = BF ⊥BF ⊂BDF ⊥()2,0,0F a ()0,2,0B a ()0,0,D b ()0,2,C a b (),,G a a b -()2,2,0BF a a =- ()0,2,BD a b =- ()0,0,BC b = (),,0CG a a =--()111,,m x y z = ()222,,n x y z =111122020m BF ax ay m BD ay bz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ (),,2m b b a = 22200n BC bz n CG ax ay ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ()1,1,0n =- 0m n b b ⋅=-+= m n ⊥ABD ⊥AD a =()0,0,0A ()4,0,0F ()0,4,0B ()0,0,D a ()2,2,G a -()0,4,BD a =- ()4,4,0BF =- ()0,4,0AB = ()2,2,AG a =- ()2,2,BG a =--()1111,,n x y z =1100n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111140440y az x y -+=⎧⎨-=⎩11y =141,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()2222,,n x y z =2200n AB n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222240220y x y az =⎧⎨-++=⎩21x =221,0,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得，所以，，，则，，，所以点E 到直线BG．18．【解析】【详解】（1）由题意得又，解得，∴椭圆M的标准方程为．（2）【分析】目标涉及直线QN ，QC 的斜率，考虑直接引进直线QC 的斜率为参数进行运算更为直接．【思路1．设线法】（设x 型直线）直线，依题意可设直线（且，（注：P不为椭圆顶点）121212cos cos ,n n n n n n θ⋅====4a =()2,2,4G -()0,4,0B ()4,0,4E ()2,2,4BG =-- ()4,4,4BE =-d =()1212c a a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩222c a b =-21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=):2AB y x =+:2PC x my =+0m ≠m ≠由，则，所以，由，，所以，由B ，P ，N 三点共线得，所以，所以．【思路2．设线法】（设y 型直线）设直线QC 的斜率为k ，则直线QC 的方程为：，又，，直线AB 的方程为，由，解得，所以，)22Q x my y y x =+⎧⎪⇒=⎨=+⎪⎩2Q Q x my =+=Q ()22222212341203434120P xmy m m y my y m x y =+⎧-⇒++=⇒=⎨++-=⎩2268234P P P m x my xm -+=+⇒=+2226812,3434m m P m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭BP BN kk ==n x⇒=====QNk ==12QN QC k k m -==()2y k x =-(B ()2,0A -)2y x =+())22y k x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩Q由，得，由，则，所以，则，∴，依题意B 、P 不重合，所以，即，所以，∴直线BP 的方程为，令，解得，∴，∴，∴为定值．【思路3．（设点法+椭圆参数方程）】设点，则，，，由B ，P ，N 三点共线得，()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()2222341616120k x k x k +-+-=()()42225643416120k kk∆=-+->221612234P k x k -=+228634Pk x k -=+()2228612223434P P k ky k x k k k ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭2228612,3434k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭2860k -≠k ≠BPk ==y x =+0y =0=x =N ⎫⎪⎪⎭12QNk k ===2QN QC k k -=()2cos P θθ0θ≠π2±πBP BN k k =，，，联立，得，所以所以【思路4．（设点法）+点满足方程】设点，则（且）由B ，P ，N 三点共线得直线，，2cos1sin N x θθ=⇒=-):2AB l y x =+):2CD l y x =-))22y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()2sin cos 1sin cos 1Q x θθθθ+-=-+sin cos 122sin cos 1sin cos 12cos 2sin cos 11sin Q QNQ N y k x x θθθθθθθθθθ+-⎫+⎪-+===⎪+--⎪--+-⎝⎭==()1sin sin 221sin cos 2cos 1QN QC QN PC k k k k θθθθθ⎫--=-=-⎪⎪---⎭()cos sin 11sin cos 2cos 1θθθθθ⎫=+-⎪⎪---⎭()22cos 2cos sin 1sin cos 122cos cos sin cos 1sin θθθθθθθθθθ⎫--++⎪=+⎪---+⎝⎭112⎫=-=⎪⎭()00,P x y 2200143x y +=00x ≠02x ≠±BP BN k k =N x =⇒=):2AB l y x =+()00:22CPy l y x x =--联立，得，，所以，【备注】当P →B 时，Q 与B 重合，，此时，，所以【其他解法】有待诸君补充19．【解析】（1）事件发生当且仅当在第1天内A 个体有2个分裂，8个死亡．所以．写法1．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有k 个个体分裂，则的取值为，所以的取值集合为，，所以．写法2．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有K 个个体分裂，则，，所以，．【注】引进基础随机变量，寻找目标随机变量与基础随机变量的一次函数关系，类题：4月11日周考T18)()00222y x y y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩Q x =Q y =0Q QN Q Ny k x x -==-0022QN QCy k k x -=-=-==N →+∞0QN k →QC k =2QN QC k k -→24X =()1022101454C 21024P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭34X =4X ()442k k k +--=4X {}0,2,4,6,8()423441124C C 216k k P X k X ⎛⎫==== ⎪⎝⎭()012344444443C C C C C 40246841616161616E X X ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=34X =14,2K B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()1422E K =⨯=42X K =()()4342224E X X E K ===⨯=【背景】对一个个体来说，一次生理反应要么死亡，要么变成2个，即个数从1变成0和2是等可能的，记一个A 个体一次生理反应后的个体数为X ，则，2，，，所以，即1个个体一次反应后的期望依然是1．这是一种变异型的二项分布，可以理解为：一个质点从数轴上1出发，往右走1格（试验成功）即为2，往左走1格（试验失败）即为0，只不过与一个质点的一维随机连续游走不同的是，这里是多个独立的质点同时进行试验，且每轮试验每个个体都是从数轴1开始运动．然后再利用公式可得n 个个体试验的期望．（2）由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后，有k 个个体分裂，则的取值为．在事件发生的条件下，令随机变量Z 表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且．因此．设的取值集合为，则由全期望公式可知．这表明是常数列，所以．思路2．先计算，则可取0，2，4，…，，且，所以．0X =()102P X ==()122P X ==()1102122E X =⨯+⨯=()()()1212E X X E X E X +=+1n X t -=1n -n X ()2t k t k k +--=1n X t -=1n -1,2Z B t ⎛⎫~ ⎪⎝⎭2n X Z =()()11022tn n nn k E X X t k P Xk X t --===⋅==∑()()012222tk k P Z k E Z t t ==⋅===⨯⨯=∑1n X -{}12,,,r x x x L ()()()()()111111r rn n n i n i i n i n i i E X E X X x P X x x P X x E X ----========∑∑(){}n E X ()()110n E X E X ==()1n n E X X t -=n X 2t ()12C 2ti n t P X i ⎛⎫== ⎪⎝⎭()100112C 2C 22t ttt i i n n tt i i E X X t i i -==⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑()000111C C C 2222tttt ttit i i tt t t i i i i t i t t t -===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-==⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑【备注】这里没有利用二项分布的期望公式，相当于重新推导了p 取下的二项分布期望公式．（3）由（2）可知．这表明是公差为10的等差数列．又因为，所以，从而．可以看出，随着n 的增大而增大，而为定值．这表明药物的介入会使得微生物A 的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大．【备注说明】第二行．12()()()22111rnnn i n i i E XE XX x P X x --====∑()()()221111r i i n i n n i x x P X x E X X ---==+==+∑()2110n E X -=+(){}2nE X ()()()22111100E X D X E X =+=⎡⎤⎣⎦()()2100101n E X n =+-()()()()22101n n n D X E X E X n =-=-⎡⎤⎣⎦()n D X ()n E X ()()()2211rnii n i i E Xxx P X x -==+=∑()()21111rri n i i n i i i x P X x x P X x --====+=∑∑()()211n n E X E X --=+。
2023年湘豫名校联考高三5月高考三模文科数学试卷含答案
湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x =≥，{}216x B x =<，则A B = （）A.()2,4 B.[)2,4 C.[)2,+∞ D.{}2,42.已知复数322i i iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a ，b 满足()6,10a b -=- ，()238,15a b +=- ，则a b ⋅=（）A.29- B.29C.13- D.134.已知x ，y 满足约束条件30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则34z x y =+的最大值为（）A.4B.9C.11D.125.某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（）A.平均数B.中位数C.方差D.众数6.若双曲线1C 与双曲线222:17xC y -=有相同的焦距，且1C 过点()3,1，则双曲线1C 的标准方程为（）A.22162x y -=B.221-=C.22162x y -=221= D.22162x y -=或2213x y -=7.函数()3221x f x x x=-+的部分图象大致为（）A.B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，m 分别为1，1，4，则输出的M =（）A.4B.5C.18D.2729.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列不等式不正确的是（）A .14ab ≤B.2212a b +≥C.1121a b +>+ D.1≤10.已知等差数列{}n a 中，18522a a a +=-，31126a a +=，则数列{}cos πn a n ⋅的前2022项的和为（）A.1010B.1011C.2021D.202211.已知非钝角ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点.若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PAQ △周长的最小值为1+-P ABC 外接球的体积为（）A.B.6πC. D.8π12.已知函数()()33f x bx b x =-+在[]1,1-上的最小值为3-，则实数b 的取值范围是（）A.(],4-∞- B.[)9,+∞ C.[]4,9- D.9,92⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若数列{}n a 是公比为2的等比数列，763a a <，写出一个满足题意的通项公式n a =______.14.已知点P 为圆()22:44C x y +-=上的动点，则点P 到直线:3450l x y +-=的距离的最大值为______.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()220f x f x --+=，又当[)2,0x ∈-时，()22xf x =+，则121log 84f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.16.将函数()sin2f x x =的图像先向右平移π8个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的()20ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，22223cos sin 22B B a c ac ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求证：a ，b ，c 成等比数列；（2）若222sin 3sin sin 4B AC =+，求cos B 的值.18.随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数y （单位：人）与该初级私人健身教练价格x （单位：元/小时）的情况，如下表所示.月份12345初级私人健身教练价格x （元/小时）210200190170150初级私人健身教练课程的月报名人数y （人）587911（1）求(),i i x y （1i =，2，3，4，5）的相关系数r ，并判断月报名人数y 与价格x 是否有很强的线性相关性?（当[]0.75,1r ∈时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）（2）请建立y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.001）（3）当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）参考公式：对于一组数据(),i i x y （1i =，2，3，⋯，n ），相关系数()()niix x y y r --=∑归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()niix x y y b --=∑$，ˆˆay bx =-.5.385≈.19.如图，直三棱柱111ABC AB C -中，2AC =，3BC =，AB =D 为1CC 上一点，且1:4:9CD C D =.（1）证明：平面1AB D ⊥平面11ABB A ；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的表面积为7713132+，求五面体1ABCDB 的体积.20.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，离心率为23，过点1F 作直线l （与y轴不重合）交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF 的周长为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 是椭圆C 的上顶点，设直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，当0k ≠时，求证：12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为定值.21.已知函数()()()e 1cos xf x a x a =+-∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（2）若()0,πx ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为33,212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为π6⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB +的值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()42f x x x a =++-.（1）当2a =时，求不等式()13f x ≤的解集；（2）当0a >时，若()25f x a a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】A【12题答案】【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】2n （答案不唯一）【答案】1【14题答案】【答案】215【15题答案】【答案】14964【16题答案】【答案】150,1,44⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）16【18题答案】【答案】（1）0.929r ≈-，y 与x 有很强的线性相关性（2）0.08623.824ˆyx =-+（3）4人【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）172【20题答案】【答案】（1）22195y x +=（2）证明见解析【21题答案】【答案】（1）()ππe e 1π0x y -+-=（2）π2e ,∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程【22题答案】【答案】（1）0x -=，220x y x +-=（2）32选修4-5：不等式选讲【23题答案】【答案】（1）1313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）(]0,1。
贵州省织金县第一中学2024届高三5月模拟(三模)数学试题
贵州省织金县第一中学2024届高三5月模拟（三模）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤2．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．783．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-4．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]5．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是326．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m7．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．408．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( ) A ．324B ．5212C ．5312 D ．56129．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．410．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．211．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．25312．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三5月联考(三模)数学(文)试题 Word版含答案
2021年高三5月联考（三模）数学（文）试题 Word版含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数A．B．C．D．2．已知集合,，则A．B．C．D．3. 已知，那么“”是“共线”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为A． B． C． D．5.在中，若，则的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 48B.C.16D. 327．已知偶函数f（x），当时，f（x）=2sinx，当时，，则A．B．1 C．3 D．8.曲线与曲线的A.长轴长相等B. 短轴长相等C.离心率相等D. 焦距相等9.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是10．对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得对，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．已知函数，则在点处的切线方程为 .12．设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数________. 13、在各项均为正项的等比数列，已知1234512345111113131,16a a a a a a a a a a ++++=++++=，则 （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）在梯形中，∥，，，点、分别在、上，且∥，若，则的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线的参数方程分别为：（为参数）和：（为参数），若与相交于、两点，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数.(1)求的最大值和最小正周期；(2) 若，是第二象限的角，求.17．（本小题满分12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（Ⅰ）求该组织的人数．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．18．（本小题满分14分）如图，三棱锥中，，为的中点，，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：⊥平面；（Ⅲ）求四面体ABCD的体积。
福建省福州市高三5月综合练习数学(文)试题(解析版).docx
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A={x|x 2－(a+3)x+3a=0},B={x|x 2－5x+4=0},集合A ∪B 中所有元素之和为8,则实数a 的取值集合为( ) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4}2. 抛物线y=2x 2的准线方程为( ) A.41-=y B.81-=y C.21=x D.41-=x3. 已知a ∈R,且a ≠0,则"11"<a是“a>1”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件4.函数y=ln(x+1)与xy 1=的图像交点的横坐标所在区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为815,则判断框内应填入的条件是( ) A.k<3 B.k>3 C.k<4 D.k>46. 某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是( )7. 函数)36sin(2ππ-=xy (0≤x≤9)的最大值与最小值的和为( ).A.32-B.0C.－1D.31--9. 已知直线a,b 异面, ,给出以下命题:①一定存在平行于a 的平面α使α⊥b ;②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α;③一定存在平行于a 的平面α使α⊂b ;④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点.则其中论断正确的是( )A.①④B.②③C.①②③D.②③④10. 已知P(x,y)为椭圆11625:22=+y x C 上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )A.3B.3C.512 D.111. 在△ABC 中,若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,且cos2B +cos B +cos(A －C )=1,则有( ).A.a 、c 、b 成等比数列B.a 、c 、b 成等差数列C.a 、b 、c 成等差数列D.a 、b 、c 成等比数列12. 已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠,)()(')(')(x g x f x g x f >,且()()x f x a g x =（01a a >≠且）, (1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-,对于数列})()({n g n f (n=1,2,…,10),任取正整数k(1≤k ≤10),则其前k 项和大于1615的概率是( ). A.103 B.52 C.21 D.53第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13. 一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下(]10,20,2;(]20,30,3;(]30,40,4;(]40,50,5;(]50,60,4;(]60,70,2.则样本在(]10,50上的频率是 ．14. 已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f (其中R ∈x ,0>ω,πϕπ<<-)的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式是 .15. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .16. 已知32()69,,f x x x x abc a b c =-+-<<且()()()0f a f b f c ===,现给出如下结论:①0)1()0(>⋅f f ;②0)1()0(<⋅f f ;③0)3()0(>⋅f f ;④;0)3()0(<⋅f f ;⑤()f x 的极值为1和3.其中正确命题的序号为 .【解析】三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. (本小题满分12分)已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=.(I)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式:123232222n n n b b b b a =+++⋅⋅⋅+(n 为正整数) 求数列{}n b 的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2(单位:千米).如何设计,可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．即AP≤2 3.19. (本小题满分12分)把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b.试就方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩(※) 解答下列问题:(Ⅰ)求方程组没有解的概率;(Ⅱ) 求以方程组(※)的解为坐标的点落在第四象限的概率..20. (本小题满分12分)已知正△ABC 的边长为a , CD 是AB 边上的高,E 、F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B,如图所示.(Ⅰ)试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由;(Ⅱ)若棱锥E-DFC 的体积为243,求a 的值;(Ⅲ)在线段AC 上是否存在一点P,使BP ⊥DF ？如果存在,求出ACAP 的值;如果不存在,请说明理由.考点：1.图形的翻折.2.线面间的位置关系.3.开放性题的等价变换.4.空间想象力.21. (本小题满分12分)已知焦点在y 轴,顶点在原点的抛物线C 1经过点P(2,2),以C 1上一点C 2为圆心的圆过定点A(0,1),记N M 、为圆2C 与x 轴的两个交点.(1)求抛物线1C 的方程;(2)当圆心2C 在抛物线上运动时,试判断MN 是否为一定值？请证明你的结论;(3)当圆心2C 在抛物线上运动时,记m AM =,n AN =,求mn n m +的最大值．,因为C 2在抛物线上,a 2=2b,且圆被x 轴截得的弦长22. (本题满分14分) 已知函数()x ax b f x e x+= (,,0a b R a ∈>且). (Ⅰ)若2,1a b ==,求函数()f x 的极值;(Ⅱ)设()(1)()x g x a x e f x =--．① 当1a =时,对任意)(0,x ∈+∞,都有()1g x ≥成立,求b 的最大值;② 设()()g x g x '为的导函数.若存在1x >,使()()0g x g x '+=成立,求b a的取值范围.因为b＜0,所以:当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在。
山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学(文)试题(A卷)(含答案解析)
山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A 卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集R U =，集合{}|12A x x =-≤<，{}|21B x x =-≤<，则()U A B ⋃=（ ）A ．{}|22x x x 或<-≥B ．{}|21x x x 或≤-≥C ．{}|12x x x 或≤->D ．{}|11x x x 或<-≥2．设复数2105i(2i)z -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．1D ．i3．已知0.42a =，5log 2b =，0.43c =，则（ ） A ．a c b << B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 为虚轴上的端点，若12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，则C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =±5．函数()sin f x x x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．2021年，我国各地落实粮食生产责任和耕地保护制度，加大粮食生产扶持力度，支持复垦撂荒地，2021年全国粮食总产量13657亿斤，比上年增长约2.0%，全年粮食产量再创新高，且连续7年保持在1.3万亿斤以上，我国2020—2021年粮食产量种类分布及占比统计图如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．我国2020年的粮食总产量为13390亿斤B ．我国2021年豆类产量比2020年减产明显，下降了约14.2%C ．我国2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是玉米D ．我国2021年的各类粮食产量中，增长速度最快的是薯类7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，411a =，且1a ，3a ，11a 成等比数列，若40m S =，则m =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，造型浑厚，工艺精美，其形状可视为圆台和圆柱的组合体，口径为28.8cm ，经测量计算可知圆台和圆柱的高度之比约为57，体积之比约为2521，则圆柱的底面直径约为（ ）A ．4cmB ．14cmC ．18cmD ．22cm9．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．B ．6C ．D ．810．若函数32()52f x x x x =+--在区间(,5)m m +内有最小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(4,1)-B ．(4,0)-C ．[3,1)-D ．(3,1)-11．已知函数π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在区间[0,]π上有且仅有两条对称轴，则()f x 在以下区间上一定单调的是（ ） A ．π2π,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭12．已知数列{}n a 中，14a =，()11333n n n a a a +=-+，数列1n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．202201S << B ．2022312S <<C ．2022322S <<D ．202223S <<二、填空题13．已知2sin 53πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 14．若非零向量a →，b →满足||2||b a →→=，225a b b →→→⋅=，则a →与b →夹角的余弦值为___________.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F （5，0），点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，且AF BF ⊥，||4||3AF BF =，则C 的离心率为___________.16．已知正三棱锥P ABC -的所有棱长都为P A 为直径的球的球面被侧面PBC 所截得曲线的长为___________. 三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin cos sin )a C A A c A =-.(1)求A ；(2)a =ABC 的外接圆圆心为点P ，求PBC 的周长.18．随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚.“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相连，对我国经济发展有极大的促进作用，我国冰雪经济市场消费潜力巨大.为了更好地普及冰雪运动知识，某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩（满分100分），将数据分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如下频数分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：(1)若成绩不低于60分为合格，不低于80分为优秀，根据样本估计总体，估计参加讲座的学生的冰雪知识的合格率和优秀率；(2)若x 为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s ，计算得12.1s ≈，若255x s -，则不及格学生需要参加第二次讲座，否则，不需要参加第二次讲座，试问不及格学生是否需要参加第二次讲座？19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA =(1)证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ； (2)求三棱锥11D BCB -的体积.20．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，点(3,3)M 在E 上. (1)求E 的方程；(2)设动直线l 交E 于A ，B 两点，点P ，Q 在E 上，且90APB ∠=︒，若直线l 始终平分弦PQ ，求点P 的坐标.21．已知函数2()(1)e 4x f x a x x x a =--+--. (1)当4a =时，求()f x 的单调区间；(2)若不等式2()(2)f x x ≤-对任意,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的最大整数值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=+. (1)求直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求22||||OA OB +的值. 23．已知函数()|2|2|5|f x x x =---. (1)画出()y f x =的图象；(2)若()|2|f x x t +，求实数t 的取值范围.参考答案：1．A 【解析】 【分析】先求出A B ，再求()UA B 即可求解.【详解】根据题意得：{}|22A B x x ⋃=-≤<，所以{}()|22UA B x x x 或⋃=<-≥.故选：A. 2．C 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算，即可求出复数z ，进而求出z 的虚部. 【详解】 由题得，2105i 105i (105i)(34i)2i (2i)34i (34i)(34i)z ---+====+---+，所以z 的虚部为1.故选：C. 3．B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可知(0,1)b ∈，根据幂函数的性质可知0.40.4321>>，由此即可得到结果. 【详解】因为555log 1log 2log 5<<，所以5log 2(0,1)b =∈，又函数0.4y x =在()0,+∞上单调递增，所以0.40.403221>>=，所以c a b >>. 故选：B. 4．A 【解析】 【分析】由题得=c ，求出b a =即得解.【详解】解：设原点为O ，由12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，可1||tan 30OA b OF c ==︒=c ∴，a，b a ∴ 故C的渐近线方程为y =. 故选：A. 5．D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A ，利用(0)f 的值排除B ，利用当π()0,x ∈时， ()0f x >可排除C ，进而得出结论. 【详解】由题可知，函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞， 又()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，所以 ()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 对称，可排除A ； 又(0)0sin 00f ==，可排除B ；当π()0,x ∈时，sin 0x >，则()sin 0f x x x =>，可排除C. 故选：D. 6．D 【解析】 【分析】计算出我国2020年的粮食总产量，即可判断A ；计算出我国2021年豆类产量比2020年豆类产量下降比例，即可判断B ；分别计算出我国2021年各类粮食产量的增减情况，即可判断C ，D. 【详解】由题得，我国2020年的粮食总产量为42372685521359745820013390+++++=（亿斤），故A 正确；我国2021年豆类产量比2020年豆类产量下降了458393100%14.2%458-⨯≈.故B 正确；我国2021年各类粮食产量中，只有豆类产量下降，而稻谷增长了4257423720-=（亿斤），小麦增长了2739268554-=（亿斤），玉米增长了54515213238-=（亿斤），薯类增长了60959712-=（亿斤），其他增长了2082008-=（亿斤），由此可得增长量最大的是玉米，增长速度最快的也是玉米.故C 正确，D 错误. 故选:D. 7．A 【解析】 【分析】由题知23111a a a =，411a =，进而转化为1a ，d 的方程求解得12a =，3d =，再根据前n 项和公式求解即可. 【详解】解：由题得23111a a a =，则2111(2)(10)a d a a d +=+，得123d a =，又411a =.则1311a d +=，解得12a =，3d =， 所以31n a n =-，所以2(312)322n n n n nS -++==， 故23402m m mS +==，又*m ∈N ，所以5m =. 故选：A. 8．C 【解析】 【分析】设圆台的底面半径为r cm.圆台，圆柱的高分别为5h cm ，7h cm ，根据圆台和圆柱的体积公式即可得结果. 【详解】设圆台的底面半径为r cm.圆台，圆柱的高分别为5h cm ，7h cm ，则()2222128.828.85514.414.43223V r r h r r h ππππ⎡⎛⎫⎤=⨯+⨯+⨯⨯⨯=++⨯⎢ ⎪⎥⎝⎭⎦⎢⎣圆台， 又2277V r h r h ππ=⨯⨯=圆柱，所以2225(14.414.4)253=721r r h V V r h ππ++=圆台圆柱， 即2 3.614.4 3.60r r --⨯=，解得9r ≈，所以218r ≈.故选：C. 9．B 【解析】 【分析】将几何体置于长方体中，根据三视图还原几何体可得该三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，从而即可求解. 【详解】解：将几何体置于长方体中，如图所示，=所以表面积为1462⨯.故选：B. 10．C 【解析】 【分析】先利用导数求出函数的单调区间，得到15m m <<+，令()5f x =-得到3x =-或1，即得解. 【详解】解：由题得，2()325(35)(1)f x x x x x '=+-=+-.令()0f x '>，解得53x <-或1x >；令()0f x '<，解得531x <-<，所以()f x 在区间5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内单调递增，在区间5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，所以函数的极小值(1)5f ==-.若()f x 在区间(,5)m m +内有最小值，则极小值即最小值， 所以15m m <<+，解得41m -<<，令()5f x =-，可得32530x x x +-+=，可得2(1)(3)0x x -+=，解得3x =-或1，由题得3m -，综上31m -<. 故选：C. 11．D 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称轴方程求得ππ3x k ω+=，解得(31)π3k x ω-=，结合在区间[0,]π上有且仅有两条对称轴，求得πππ835ω<≤，由此依次取1,0,1,2k =- 求得函数图象相应的对称轴的范围，比较和四个选项中区间的关系，即可判断答案. 【详解】令()1f x =±，即πcos 13x ω⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以ππ3x k ω+=，Z k ∈，所以(31)π3k x ω-=，Z k ∈;分别取1,2,3k =，得2π5π8π,,333x ωωω=，所以5π8ππ33ωω≤<，得πππ835ω<≤; 当1k =-时，得对称轴方程为43πx ω=-，且44,35π2ππω⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭； 当0k =时，得对称轴方程为π3x ω=-，且ππ,358πω⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭,,,0583πππ⎡⎫--⊂-⎪⎛⎫ ⎪⎝⎣⎭⎭⎢, 故π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数的单调区间，C 错误； 当1k =时，得对称轴方程为23x πω=，且2ππ2π,345ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，π2πππ,45,62⎛⎤⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎥⎝⎭⎦， 故ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭不是函数的单调区间，B 错误； 当2k =时，得对称轴方程为5π3x ω=，且5π5π,π38ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，π2π2π,25π5π,π,8338⎛⎫⎛⎫=≠∅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎤ ⎥⎦⎭⎛⎝，故A 错误，由以上分析可以看到，ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭介于1k =- 和0k = 时的相邻的对称轴之间，故()f x 在区间ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭上一定单调，故选：D 12．A 【解析】【分析】根据数列单调性的定义及裂项相消法求出n S ，进而即可求解.【详解】 由题得，2111(3)3(3)033n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-，又143a =>， 所以210a a ->.所以213a a >>，可得1n n a a +>.所以数列{}n a 是递增数列. 又113113(3)3n n n n na a a a a +==----，所以111133n n n a a a +=---，所以 1212231111111111333333n n n n S a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111333n n a a a ++-=----，所以20222023113S a =--，又20234a >，所以202331a ->，所以20231013a <<-，所以202201S <<.故选：A.13．19【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式，即可求出结果.【详解】 由题得，22221cos 2cos 212sin 1255539πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：19. 14．45##0.8 【解析】【分析】直接利用平面向量的夹角公式求解.【详解】解：由题得，22245cos ,15||||||2b a b a b a b b →→→→→→→→⋅〈〉===⋅.故答案为：4515．57【解析】【分析】 根据题意可得10AB =，结合||4||3AF BF =，AF BF ⊥求得||8AF =，||6BF =，继而可求出a ，求得答案.【详解】因为点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，故连接AB ，则AB 过原点O ，又因为AF BF ⊥，||5OF = ，故10AB =， 又||4||3AF BF =，所以||8AF =，||6BF =， 取C 的左焦点为F ' ，连接AF ' ，则||6AF BF '==， 所以||142AF AF a '+==，所以7a =，所以C 的离心率为57c a =， 故答案为：57 16．2π3##2π3【解析】【分析】 作出辅助线，找到球面被侧面PBC 所截得曲线是一段圆弧，求出弧长.【详解】如图，分别取P A ，BC 的中点为O ，D ，连接AD ，PD .则BC AD ⊥，BC PD ⊥，AD PD D =，所以BC ⊥平面P AD .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAD ⊥平面PBC ，交线为PD ，过A 作AE PD ⊥，垂足为E ，则AE ⊥平面PCD .过O 作OM PD ⊥.垂足为M ，所以OM ⊥平面PCD ，由于平面截球所得的为圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直，所以以P A 为直径的球的球面被侧面PBC 所截得曲线是以点M 为圆心的一段圆弧.易知E 是PBC 的中心，M 是PE 的中点，所以M ，E 分别是线段PD 的两个三等分点， 即MP ME =，所以所求曲线对应劣弧上的圆周角为π3BPC ∠=， 所以对应的圆心角为2π3，易知11133PM PD ===， 所以所截得曲线长度22π1π33l =⨯=. 故答案为：2π317．(1)π3(2)4+【解析】【分析】（1）结合正弦定理及已知条件，即可化简求得A 的值；（2）利用正弦定理解得ABC 外接圆的半径，即可求得PBC 的周长.(1)由已知及正弦定理，得sin cos sin cos sin sin cos A C A B A C A A =-，所以sin (sin cos cos sin )cos A A C A C B A +=，即sin sin cos A B B A =，又()0,πB ∈，所以sin 0B >.所以tan A =又()0,πA ∈，所以π3A =. (2)设ABC 的外接圆半径为r.则由正弦定理2sin a r A =.又==a BC π3A =， 所以2r =.即2PB PC ==，所以4PB PC BC ++=+即PBC 的周长为4+18．(1)合格率为92%，优秀率为52%(2)不需要对不及格学生进行第二次培训【解析】【分析】(1)根据表格即可算出格率和优秀率(2)先计算出均值，再根据2x s -的值，即可求解.(1)根据表格可知成绩不低于60分的频率为10080.92100-=， 所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的合格率为92%；根据表格可知成绩不低于80分的频率为30220.52100+=， 所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的优秀率为52%.(2) 由题得，815253022556575859579.3100100100100100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以279.312.1255.155x s -=-⨯=>，故不需要对不及格学生进行第二次培训.19．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据勾股定理可证AD BD ⊥，易证1AD DD ⊥，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（2）因为AD BC ∥，由（1）可知BC ⊥平面11BDD B ，由此可知BC 是三棱锥11C BB D -的高，再根据1111D BCB C BB D V V --=，由此即可求出结果.(1)证明：ABD △中，因为2AB =，1AD =，BD =所以222AB AD BD =+.所以AD BD ⊥，又侧面11ADD A 为矩形，所以1AD DD ⊥，又1BD DD D =，BD ，1DD ⊂平面11BDD B .所以AD ⊥平面11BDD B ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11BDD B .(2)解：因为AD BC ∥，AD ⊥平面11BDD B ，所以BC ⊥平面11BDD B ，易得1BC =，11B D 1B B ，1160D B B ∠=︒，所以11BB D △的面积1112BB D S ==△.三棱锥11D BCB -的体积11111111133D BCB C BB D BB D V V S BC --==⋅==△. 20．(1)23y x =(2)33,42⎛⎫± ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据已知抛物线过点(3,3)M 可求得抛物线方程；（2）利用点差法可求得AB k ，表示出l 的方程，再根据90APB ∠=︒，以及直线l 始终平分弦PQ ，可得到关于P 点横纵坐标的方程组，即可求得点P 的坐标.(1)因为(3,3)M 在抛物线上，所以236p =，解得32p =， 所以E 的方程为23y x =.(2)设00(,)P x y ，211(,)3y A y ，222(,)3y B y ， 则21222121333AB y y k y y y y -==+-， 则直线l 的方程为11123()-=-+y y x x y y ， 化简为2121211()33=+++-y y y x y y y x ，又∵2113y x =∵1212()3y y y x y y +=+.∵ 由10202222001213333AP BP y y y y k k y y y y --=⋅=---，得0202331⋅=-++y y y y 整理得2012120()9y y y y y y +++=-，∵由∵+∵得，1200(()3())3y y y y x x ++=--，故直线l 恒过点00(3,)H x y +-，由题意知H 为弦PQ 的中点，所以点00(6,3)Q x y +-.又因为P ､Q 在E 上，所以2002003,(3)3(6),y x y x ⎧=⎨-=+⎩解得034x =，032y =±， 即点P 的坐标为33,42⎛⎫± ⎪⎝⎭. 【点睛】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型。
安徽省芜湖市2024届高三5月教学质量统测数学试题
安徽省芜湖市2024届高三5月教学质量统测数学试题一、单选题1．角θ为第三象限角的充要条件是（ ）A ．sin 0cos 0θθ>⎧⎨>⎩B ．sin 0cos 0θθ<⎧⎨<⎩C ．sin 0cos 0θθ>⎧⎨<⎩D ．sin 0cos 0θθ<⎧⎨>⎩ 2．已知集合{}240A xx =-<∣，{}1,0,1,2B =-，则A B =I （ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|22x x -<< C ．{}1,0,1,2- D ．{}1,0,1- 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()4f x f x +=，当24x <<时，2()2x f x -=，则()1f =（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．44．已知函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式是（ ）A ．π()2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()2sin 2f x x = C ．π()2sin 4f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 2f x x =-5．下列说法正确的是（ ）A ．若随机变量()2~,X N μσ，则当σ较小时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X 的分布比较分散B ．在做回归分析时，可以用决定系数2R 刻画模型回归效果，2R 越小，说明模型拟合的效果越好C ．一元线性回归模型中，如果相关系数0.98r =，表明两个变量的相关程度很强D ．在22⨯列联表中，若所有数据均变成原来的2倍，则2χ不变（22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++） 6．已知椭圆22143x y +=，一组斜率32的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）A ．12y x =B ．2y x =-C ．12y x =-D ．2y x =7．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC 的边长为1，点P 为»AB 的中点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D 8．已知19a =，10ln 9b =，(lg111)ln9c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<二、多选题9．已知复数a ，b 满足2220a a -+=，2220b b -+=，则复数ab 的可能取值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2i D ．2i -10．已知等差数列 a n 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（ ）A ．若15k =，则815k S a =B ．若42S =，88S =，则1620S =C ．若 a n 为常数列，则 a n 一定为等比数列D ．若101a <≤且4017n n S S -=，则公差d 的最小值为12023- 11．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，其左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过点1F 的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点，交两条渐近线于M ，N 两点（P ，M 在第一象限），MN 的中点为R ，则（ ）A ．若直线l223b a >B ．2PQF V 的周长为12PFC ．以12A A 为直径的圆与以2PF 为直径的圆相交D ．若点M 恰为以12F F 为直径的圆与渐近线的一个交点，且21A R PF ⊥，则2e =三、填空题12．(1)n x +的展开式中2x 的系数为15，则n =．13．在△ABC 中，AB BC ==2AC =，将△ABC 沿AC 旋转，当点B 到达点B '的位置时，平面B AC '⊥平面BAC ，则三棱锥B ABC '-外接球表面积为．14．已知向量(5,)m x x =+u r ，(2sin cos ,sin cos )n a a θθθθ=+r ，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos t θθ=+，则实数t 的取值范围是，对任意R x ∈和上述θ，满足||m n +≥则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知ABC V 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan A =(1)求：2sin 2cos A A +的值；(2)若3a =，ABC V 的面积S =ABC V 的周长．16．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的动点，PA ⊥平面ABC ，AD PC ⊥．(1)求证：AD ⊥平面PBC ；(2)若C 是»AB 的中点，E 是BC 的中点，PA AC =，求平面ADE 与平面ABC 所成角的余弦值．17．已知函数()e sin x f x x =．(1)讨论函数()f x 在区间(0,π)上的单调性；(2)判断函数()()ln(1)21e xf x h x x x =++-+零点的个数． 18．已知抛物线C ：()220x py p =>上一点1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线距离为1．(1)求抛物线C 的方程；(2)①如图1所示，点O 为坐标原点，过点A x 0,y 0 作直线与抛物线C 切于点M ，N ，直线MN 与y 轴交于点G ，求点G 的坐标；②在①的条件下，如图2所示，若点A 在地物线E ：()220y qx q =>上，直线AM 、AN 与抛物线E 分别交于B ，P 两点，求证：BP 与抛物线C 相切．19．有一个摸球游戏，在一个口袋中装有λ个红球和μ个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中．(1)若10λ=、20μ=，重复上述摸球试验5次，用X 表示5次中摸出红球的次数，求X 的分布列及方差；(2)若10λ=，10μ=．①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记n a 为第n 次是甲摸球的概率，求n a ；②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y 表示所需摸球的次数，这里Y 服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为()01p p <<，失败的概率为1q p =-，若将试验进行到恰好出现r （r 为常数）次成功时结束试验，以随机变量Y 表示所需试验的次数，则Y 是一个离散型随机变量，称Y 服从以r 、p 为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记作~(,)Y NB r p ．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到这里的1~2,2Y NB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，*N n ∈，2n ≥．求()E Y ．。
江西省部分学校2024届高三5月大联考数学试卷(含解析)
高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在笿题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若点在圆的外部，则a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．3．已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．4．某中学举办了一次知识竞赛，从中随机抽取了部分学生的成绩绘制出如图所示的频率分布直方图，则估计该中学本次竞赛成绩的中位数为（）A ．68B ．71C ．75D ．795．已知等差数列的前n 项和为，，，使的n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．14D ．156．某校羽毛球队的4名男生和4名女生分成四组，参加四场混合双打比赛（每名队员只限参加一场比赛），则组队方法的总数为（ ）A ．24B ．288C ．576D ．1152{}2A x x x =-≤}2B =≤A B =-⎡⎣⎡⎣[]0,1[]1,4()1,1220x y x a +--=1,14⎛⎫-⎪⎝⎭1,14⎛⎫⎪⎝⎭(),1-∞()1,+∞()f x R ()21f =()10f x +<()1,1-()2,2-()2,-+∞(),2-∞-{}n a n S 10a >3140a a +=0n S >7．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A ，B 两点，，，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前n 项和．记数列的前n 项和为，利用上述方法求（ ）A．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．复数z 满足，则（ ）A ．z 为纯虚数B ．C ．D ．复数在复平面内对应的点在第三象限10．在正方体中，，M 为上一动点，则下列说法正确的是（）A ．与AB 共面且与共面的棱有5条B ．C ．D ．若与平面ABCD 交于点E ，则的面积为211．已知，且a ，b，则下列不等式恒成立的是（）1F 2F 2222:1x y C a b-=0a >0b >1F 2AB AF ⊥24tan 3A B F =∠32y x =±y =y x =y x =⨯()()()112122nnn n a n n n +=+⋅=-+⋅--⋅{}n a ()()()()()122311123021212221222n n n n n S a a a a n n n ++=++++=⨯--⨯+-⨯--⨯++-+⋅--⋅=⋅ 22n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 206T -=192432192432-204852204852-2i 20z z -+=1z =10012i z z+=1z -1111ABCD A B C D -2AB =1A B 1CC 11DB C M⊥1AM MC ++1C M EAC △a b ≠a b -<+A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．函数的最小正周期为________．13．已知A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，F 是椭圆C 的上焦点，为椭圆C 上一点，若，则椭圆C 的离心率为________，椭圆C 的方程为________．14．在长方形ABCD 中，，，点E 在线段AB 上，，沿DE 将折起，使得，此时四棱锥的体积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分．随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91．（1）计算样本平均数和样本方差；（2）若这次环保知识竞赛的得分X 服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照，，，的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线．（结果保留两位小数）（参考数据：）附：若随机变量X 服从正态分布，则，，．16．（15分）在如图所示的直三棱柱中，，，D 是BC 上的点E 是的中点．（1）若，证明：平面DEA ．（2）若ABC 为正三角形，D 是BC 的中点，求二面角的余弦值．17．（15分）的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 是a ，c的等比中项．e 1a b ->32230a a b ab b --+>5533a b a b--->-e 1a b +>42cos cos y x x =-()2222:10y x C a b a b +=>>8,13P ⎛⎫⎪⎝⎭23PF PA mPB =+3AB =2AD =1AE =ADE △AE DC ⊥A BCDE -x 2s ()2,N μσμ2σx 2s 15.87%68.26%13.59%2.28%3.46≈()2,N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+≈()220.9544P X μσμσ-<≤+≈()330.9974P X μσμσ-<≤+≈111ABC A B C -2AB=1AA =11A B 2BD CD =1//CA D AE B --ABC △（1）求B 的最大值：（2）若C 为钝角，求的取值范围．18．（17分）已知抛物线，圆，P 是抛物线上一点（异于原点）．（1）若Q 为圆上一动点，求的最小值；（2）过点P 作圆的两条切线，分别交抛物线于A ，B 两点，切点分别为E ，F ，若四边形ABFE 为梯形，求点P 的坐标．19．（17分）已知曲线在点处的切线方程为．（1）求a ，b 的值；（2）求的单调区间；（3）已知，且，证明：对任意的，．cos cos cos cos a BAC b b c B ++21:C y x =()222:41C x y -+=1C 2C PQ 2C 1C ()()ln f x x a x =+()()1,1f 3y bx =-()f x 12x y ≥≥()()()ln f x f y a xy +=[]1,2m ∈324x my ≤+≤高三数学试卷参考答案1．D 依题意得，，则．2．A 可化为，则，所以．又点在圆的外部，所以，故．综上，．3．D 由，可得，因为是奇函数，且，所以，因为在上单调递增，所以，故不等式的解集为．4．B 设m 为该中学本次竞赛成绩的中位数，因为，，所以，所以，解得．5．D ，因为，所以，，则，，，所以使的n 的最大值为15．6．A ．7．D 因为，，所以可设，，．因为，所以．在中，，，，所以，则，又，所以，故双曲线C 的渐近线方程为．8．B设，则解得，所以，则数列的前n 项和为．故．9．AC ，解得或，所以z 为纯虚数，不一{}[)21,A x x x =-=+∞≤}[]20,4B =≤=[]1,4A B = 220x y x a +--=221124x y a ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭104a +>14a >-()1,1220x y x a +--=221110a +-->1a <114a -<<()10f x +<()1f x <-()f x ()21f =()()2f x f <-()f x R 2x <-()10f x +<(),2-∞-()0.0160.030100.460.5+⨯=<()0.0160.0300.040100.860.5++⨯=>[)70,80m ∈()700.040.460.5m -⨯+=71m =314890a a a a +=+=10a >80a >90a <158150S a =>179170S a =<()()116168916802a a S a a +==+=0n S >44444444A A A 24A ==2AB AF ⊥24tan 3A B F =∠23AF m =4AB m =25F B m =224AF F B AB a +-=m a =12F F A △1AF a =23AF a =122F F c =22294a a c +=2252a c =222c a b =+b a =y x =()()()22221114222222n n n na nb nc an b a n a b cn an bn c --+-++-+-+++=-=140220a b a a b c =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩146a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩()()2221141646222n n nn n n n n --+-+++=-22n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭24662n n n ++-202019486243622T -=-=-()()222i 2i 2i i 2i 0z z z z z z -+=--=+-=i z =-2i z =1z =定成立，，或，则复数在复平面内对应的点在第二象限或第三象限．故选AC ．10．ABD AB 与不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线，与AB 平行且与相交的有CD ，，与AB 相交且与平行的有，，与AB 相交且与相交的有BC ，所以共有5条，故A 正确．易知平面，又平面，所以，故B 正确．如图，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则为的最小值，所以A ，M ， 三点共线．因为，所以．在中，根据正弦定理可得，解得C 错误．设平面与平面ABCD 的交线为l ，因为平面ABCD ，所以，则，又与平面ABCD 交于点E ，所以，则，故D 正确．11．BCD 由，可得．又在上单调递增，，所以，即，所以不一定成立，故A 错误．，故B 正确．因为单调递增，且，所以，即，故C 正确．易知，所以，故D 正确．12．2100122i i i z zz z z z++====11i z -=--12i -+1z -1CC 1CC 11C D 1CC 1AA 1BB 1CC 1DB 11A BC 1C M ⊂11A BC 11DB C M ⊥1A B 11A BC △11ABB A 1C 2C 2AC 2AC 1AM MC +2C 12AA AB ==1122A B AC BC ===12AA C △2112πsin sin 6AC AA AA C =∠212ππ14sin 4sin 4342A A C C A ∠⎫⎛⎫==+=+=⎪⎪⎪⎝⎭⎭11A BC 11//A C 11//A C l //AC l 1C M E l ∈2ACE ACB S S ==△△0a b <-<))lnlna b -<+())lnf x x =R ()()f a f b -<a b -<0a b +>e 1a b ->()()()()()()232232222220a a b ab b a a bb ab a b a b a b a b --+=---=--=-+>53xxy -=-a b >-5353a a b b --->-5533a b a b --->-e 1a a ≥+e 11a b b a ++≥+>π2，故所求函数的最小正周期．13．； 因为A ，B ，F 三点共线，所以，即，则，所以，即，解得．又为椭圆C 上一点，所以，解得，，故椭圆C的方程为．14设点A 在平面BCDE 上的投影为，当时，．过点A 作（图略），易得，设，则，在中，，则．在中，，解得，所以四棱锥的体积为．15．解：（1），．（2）该市所有参赛者的成绩X 近似服从正态分布．设竞赛成绩达到a 以上为特等奖，成绩达到b 以上但小于或等于a 为一等奖，成绩达到c 以上但小于或等于b 为二等奖，成绩小于或等于c 为参与奖，则，，，．因为，所以．因为，所以．()4222222111cos 4cos 41cos cos cos cos 1cos sin sin 24428y x x x x x x x x x --=-=-=-=-=-⨯=2ππ42T ==1322198y x +=213m +=13m =2133PF PA PB =+ 2FB AF = ()2a c a c +=-13c a =8,13P ⎛⎫⎪⎝⎭2264191a b +=3a =b =22198y x +=1A 1A E DC ⊥AE DC ⊥AF DE ⊥1A F DE ⊥1AA h =1A E =ADE △AF =1A F =1Rt A FE △111sin A FEF E A A =∠=h =A BCDE -()322132+⨯=()18478818485848591848x =⨯+++++++=()210369010149128s =⨯+++++++=()84,12N () 2.28%P X a >=()13.59%P b X a <≤=()68.26%P c X b <≤=()15.87%P X c ≤=()122 2.28%2P X μσμσ--<≤+≈290.92a μσ≈+≈()()2213.59%2P X P X μσμσμσμσ-<≤+--<≤+≈87.46b μσ≈+≈因为，所以．综上，分数小于或等于80.54的为参与奖，分数大于80.54且小于或等于87.46的为二等奖，分数大于87.46且小于或等于90.92的为一等奖，分数大于90.92的为特等奖．16．（1）证明：连接，交AE 于点F （图略）．因为，所以．又，所以，则．因为平面DEA ，平面DEA ，所以平面DEA ．（2）解：取O 为AB 的中点，连接OE ，OC ，易知OE ，OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OE ，OA ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．由D 是BC 的中点，得，则，．设平面DEA 的法向量为，则令，则，，可得．连接BE ，由题意知是平面ABE 的一个法向量，设二面角的大小为，由题可知为锐角，所以17．解：（1）因为b 是a ，c 的等比中项，所以．()0.6826P X μσμσ-<≤+≈80.54c μσ≈-≈1A B 1//AB A E 112BF ABFA A E==2BD CD =12BF BDFA DC==1//CA DF 1CA ⊂/DF ⊂1//CA ()0,1,0A ()0,1,0B -)E(C 10,2D ⎛- ⎝12ED ⎛=- ⎝)1,0AE =- (),,m x y z = 1020m ED y z mAE y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩ 1x =y =3z =()m =()0,0,1n =D AE B --θθcos cos ,m n m n m n θ⋅====D AE B --2b ac =由余弦定理可知，则，当且仅当时，等号成立．故B 的最大值为．（2）由已知可设，，则，所以，所以的取值范围为．18．解：（1）设，则，，所以的最小值为．又Q 为圆上一动点，所以的最小值为．（2）由题意得，设，，，直线，化简可得．因为圆与直线PA，化简可得．同理可得，所以，是方程的两根，2222cos b a c ac ac B =+-=222c 2122os a c ac ac ac ac ac B +--=≥=a c =π3b aq =()21c aqq =>2222o 0s 2c a aq aq a C b c ab ⎧+>⎪⎨+-=<⎪⎩2421010q q q q ⎧--<⎪⎨-->⎪⎩q <<()()2cos c s os sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin s in sin c in os A B a b B A A B B A C a C B B C C B A b c q c B C +++=====∈+++cos cos cos cos a B AC b b c B ++()00,P x y 200y x =()22222220000000715481671624PC x y x x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-+=-+ ⎪⎝⎭2PC 2C PQ 101y ≠±()211,A y y ()222,B y y 012201011PA y y k y y y y -==-+()200011:PA y y x y y y -=-+()01010x y y y y y -++=2C 1=()222010*******y y y y y -++-=()222020*******y y y y y -++-=1y 2y ()22200016150y y y y y -++-=所以，，．因为四边形ABFE 为梯形，所以，则，解得，，故点P 的坐标为．19．（1）解：，则．因为，所以，解得，．（2）解：．令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以恒成立，即恒成立，故在上单调递增，无单调递减区间．（3）证明：由，可得．又，所以．因为，，所以只需证明，，即证明，．先证明，即，令，则，所以在上单调递增．只需证，，即，．122061y y y y +=--201220151y y y y -=-20212221120116ABy y y k y y y y y --===--+2PC EF ⊥22002001164AB PC y y k y k y -=--⋅⨯=-20235y =0y =23,5⎛ ⎝()ln xx x af 'x +=+()11f 'a b =+=()10f =30b -=3b =2a =()221ln ln x f 'x x x xx +=+=++()21ln x F x x =++()22122x F 'x x x x-=-=()F x ()0,2()2,+∞()2ln 220F =+>()0F x >()0f 'x >()f x ()0,+∞()()()ln f x f y a xy +=0ln ln x y x y +=12x y ≥≥112x y ≥≥≥[]1,2m ∈12x y ≥≥224x y +≤23x y +≥2x y +≤23x y +≥2x y +≤12x y ≤≤-()ln g x x x =()1ln x x g'=+()ln g x x x =1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()2ln 2ln x y y x ≤--1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 20ln y y y y --+≥1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令，，则，所以，故．再证明，即．同理，只需证明，即．令，，则．令，，则，所以在上单调递增．又因为，，则存在，使得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，，所以，故．综上，对任意的，．()()()2ln 2ln y y y y y ϕ=--+1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()ln02y 'y y ϕ=≤-()()()l 2ln 210n y y y y ϕϕ=--+≥=2x y +≤23x y +≥312y x -≥≥33ln 2ln 2y y x x --≥33ln 022ln y y y y --+≤()33ln l 22n y y y h y y --=+1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()131ln 222ln y h'y y -=-++()131ln 22ln 2y k y y -=-++1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()11062k'y y y =+>-()k y 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦()115111ln ln 1ln 50224222k ⎛⎫=-++=-< ⎪⎝⎭()1102k =>01,12y ⎛⎫∈⎪⎝⎭()00k y =012y y ≤<()()0k y h'y =<01y y <≤()()0k y h'y =>()h y 01,2y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]0,1y ()10h =561551115ln ln ln 02442244h ⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭33ln 022ln y y y y --+≤23x y +≥[]1,2m ∈324x my ≤+≤。
北京市海淀区2022-2023学年高三下学期5月月考模拟数学试题
北京市海淀区2022-2023学年高三下学期5月月考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1,2,,8i =×××），集合{|A y =存在{1,2,,8}i Î×××，使得}i y y =，则集合A 的元素个数可能为________（写出所有可能的值）.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ^平面11CDD C ，11//A B 平面ABCD ，11//A B 平面11CDD C ；11//A D 平面ABCD ，11A D 与平面11CDD C 相交；11//C D 平面ABCD ，11C D Ì平面11CDD C .所以，直线l 平行于平面a ，平面b 垂直于平面a ，则直线l 与平面b 相交、平行或在平面内，故选D.【点睛】本题考查线面关系有关命题真假的判断，可以利用简单几何体作载体来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.3．C【分析】可设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ， ()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++列出关系式，由P 的轨迹为圆，求出圆心坐标即可【详解】设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ， ()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++得：222222222222112233112233()()()()()()x x y y x x y y x x y y x y x y x y -+-+-+-+-+-=+++++对命题Q：【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程220x x a ++=的两复根为11x bi =-+，21x bi =--，根据条件可得OP OQ ^uuu r uuu r，列方程求解即可【详解】根据题意设方程220x x a ++=的两虚根为11x bi =-+，21x bi =--，b 为实数，Q 方程的两根在复平面上对应的点分别为P 和Q ，三角形POQ 是等腰直角三角形，\OP OQ ^uuu r uuu r ，\210OP OQ b ×=-=uuu r uuu r ，21b \=，21212a x x (bi )\==-=，a \的值为2．故答案为2．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，向量垂直对应的数量积的坐标关系，属于基础题11．2【分析】作出可行域后,观察图象利用直线的纵截距最大找到最优解,代入即可求得.【详解】作出不等式||||1x y +£所表示的平面区域,如图:令2z x y =+,则2y x z =-+,。