吉林长白山保护开发区高一数第三章技能训练334新必修五
吉林省长白山一高2013学年高二数学必修5第三章同步检测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）下列说法正确的是（）A. B. C. D.（2）直线的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线的方程是（）A. B.C. D．（3）不等式的解集为（）A. B.C. D.（4）已知平面向量，，且，则的值为（）A.－3B.-1C.1D.3（5）若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示,则此多面体的体积是（）A. B. C. D.（6）已知函数的定义域为（）A． B．C ． D．（7）已知函数则该函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称（8）设用二分法求方程在区间（1，2）上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间（）A.（1,1.25）B. (1.25，1.5)C.(1.5, 1.75)D. (1.75,2)(9)完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付日工资每人50元，请瓦工需付日工资每人40元，现有日工资预算2 000元，设每天请木工x人、瓦工y人，则每天请木、瓦工人数的约束条件是( )A. B.C. D.(10)已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：则连接、两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不能确定第二部分非选择题 ( 共100分 )二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中相应的横线上。
）11. 的内角的对边分别为，若， ,则等于12. 设，则13.若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则以下命题正确的是（填写序号）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则14. 若则的最小值是_______________．三、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分12分)已知 , , , .(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求的值.16. (本小题满分12分)已知几何体A-BCDE如图所示，其中四边形BCDE为矩形，且BC＝2，CD＝，△ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCDE.（1）若F为AC的中点，求证：AE∥平面BDF；（2）求此几何体A-BCDE的体积.17.（本小题满分14分）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，直线的方程为 .（1）求圆的方程；（2）证明：直线与恒相交；（3）求直线被圆截得的最短弦长.18. （本小题满分14分）记等差数列{ }的前n项和为，已知， .（Ⅰ）求数列{ }的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{ }的前项和．19.（本题满分14分）设函数的定义域是，对任意正实数恒有，且当时，，（1）求的值；（2）求证：在上是增函数；（3）运用图像法求方程的根的个数．。
吉林长白山保护开发区高一数第三章技能训练332新必修五
3-3-2基础巩固强化一、选择题1．设x2＋y2≤1表示的平面区域对应点集为M.|x|＋|y|≤1表示的平面区域对应点集为N ，则M 与N 的关系是( ) A ． B． C ．M ＝N D ．M 与N 无包含关系2．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x ＋ay －1＝0的同一侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－12 B ．a>1C ．a<－12或a>1D ．－12<a<13．若x≥0，y≥0，且x ＋y≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－24．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x≤3，则z ＝2x ＋4y 的最小值为( )A ．5B ．－6C ．10D ．－105．(2010·福建文，5)若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －2y ＋3≥0，y≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．96．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤0x ＋y≥0y≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值是3，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．2 二、填空题 7．(2011·石家庄高二检测)在△ABC 中，三个顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x ，y)在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为________．8．已知点M ，N 是⎩⎪⎨⎪⎧x≥1y≥1x －y ＋1≥0x ＋y≤6所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是________．9．(2011·辽宁铁岭六校联考)设a ＞0.点集S 内的点(x 、y)满足下列所有条件：①a 2≤x≤2a ，②a2≤y≤2a ，③x ＋y≥a ，④x ＋a≥y ，⑤y ＋a≥x.那么S 的边界是一个________边形(填边数)． 三、解答题10．求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y≤15y≤x ＋1x －5y≤3.能力拓展提升一、选择题11．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(23，45)是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是( )A ．(－ 103，－512) B ．(－125，－310)C ．(310，125)D ．(－125，310)12．(2010·北京理，7)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D.若指数函数y ＝ax 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2x≤0x ＋2y ＋3＞05x ＋3y －5＜0表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．514．(2012·广东文，5)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1x －y≤1x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6 二、填空题15．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤4，0≤y≤3，x ＋2y≤8，则z ＝2x ＋5y 的最大值为_______．16．已知实数x ，y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y≤－33x ＋5y≤25，x≥1设t ＝yx ，则t 的最小值为________．三、解答题17．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜32y≥x3x ＋2y≥63y ＜x ＋9表示的平面区域的面积．18．某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务．已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10 吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为：A型卡车4次，B型卡车3次．列出调配车辆的数学关系式，画出平面区域．详解答案1[答案] B[解析]如图．x2＋y2≤1表示⊙O内部及边界的平面区域M，|x|＋|y|≤1表示正方形ABCD内部及边界的平面边域N.显然故选B.2[答案] C[解析] 由题意知，(2a ＋1)(3a －3)＞0，∴a ＜－12或a ＞1.3[答案] B[解析] 可行域为图中△AOB ，当直线y ＝x －z 经过点B 时，－z 最小从而z 最大∴zmax ＝1.4[答案] B[解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域，当直线y ＝－x 2＋z4经过点B(3，－3)时，z 最小，zmin ＝－6.[解析]不等式组表示的可行域如图所示：画出l0：x＋2y＝0平行移动l0到l的位置，当l通过M时，z能取到最小值．此时M(1,1)，即zmin＝3.6[答案] A[解析] 画出可行域如图，∵z ＝x ＋2y 的最大值为3，∴y ＝－x 2＋z2经过可行域内的点A(a ，a)时，z 取到最大值3，∴a ＋2a ＝3，∴a ＝1.7[答案] [－1,3][解析] 画出三角形区域如图，易知kAB ＝23<1，令z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，作出直线l0：y ＝x ，平移直线l0，当经过点C 时，zmin ＝－1，当经过点B 时，zmax ＝3， ∴－1≤z≤3.8[答案] 17[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，∵直线x －y ＋1＝0与直线x ＋y ＝6垂直， 直线x ＝1与y ＝1垂直， ∴|MN|的最大值是|AB|＝－＋－＝17.9[答案] 6[解析] 首先由⎩⎨⎧a2≤x≤2aa2≤y≤2a围成正方形ABCD ，又结合⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－ax －y≤a 位于二平行直线l1x －y ＝－a和l2x －y ＝a 之间．再结合，x ＋y≥a 可知．围成的区域是多边形APQCRS.它是一个六边形． 10[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分． ∵目标函数为z ＝3x ＋5y ，∴作直线l0：3x ＋5y ＝0.当直线l0向右上平移时，z 随之增大，在可行域内以经过点A(32，52)的直线l1所对应的z 最大．类似地，在可行域内，以经过点B(－2，－1)的直线l2所对应的z 最小，∴zmax ＝17，zmin ＝－11，∴z 的最大值为17，最小值为－11. 11[答案] B[解析] 若a>0，则由y ＝ax －z 知C 点一定不是最优解，∴a<0；z ＝ax －y 在C 点取最优解，则一定是z 的最小值点，∵kAC ＝－125，kBC ＝－310，∴－125≤a≤－310.结合选项可知选B. [点评] ①当a ＝－125或－103时，最优解有无穷多个，它们都包括C(23，45)，故本题若是填空题应包括区间端点，填[－125，－310]．②由于C 是最优解，故不可能有a ＞0.当a ＞0时最优解应在A 和B 处获得． 12[答案] A[解析]作出区域D ，联系指数函数y ＝ax 的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点(2,9)时，a 可以取到最大值3，而显然只要a 大于1，图象必然经过区域内的点． 13[答案] B[解析] 不等式y －2x≤0表示直线y －2x ＝0的右下方区域(含边界)，x ＋2y ＋3＞0表示直线x ＋2y ＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x ＋3y －5＜0表示直线5x ＋3y －5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC 区域．可求得A(－35，－65)，B(511，1011)，C(197，－207)，所以△ABC 区域内的点(x ，y)满足－35≤x ＜197，－207＜y ＜1011.∵x ，y ∈Z ，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x ，y ∈Z.经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)． 14[答案] C[解析] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1x －y≤1x ＋1≥0画出可行域如图．令z ＝0画出l0：x ＋2y ＝0，平移l0至其过A 点时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0x －y ＝1，得A(－1，－2)，∴zmin ＝－1＋2×(－2)＝－5.[点评] 画可行域时使用“直线定界，特殊点定域”的方法． 15[答案] 19[解析] 可行域如图．当直线y ＝－25x ＋z5经过直线y ＝3与x ＋2y ＝8交点(2,3)时，z 取最大值zmax ＝19.[点评] 本题中须据直线x ＋2y ＝8的斜率k1＝－12与直线2x ＋5y ＝z 的斜率k2＝－25比较大小．k1＜k2以确定经过哪个点时z 取最大值．(注意直线的斜率k ＞0时．逆时针方向旋转斜率由小变大．k ＜0时，逆时针方向旋转．斜率也是由小变大．即直线与x 轴夹角越大，斜率的绝对值越大．) 16[答案] 25[解析] 作出可行域为如图所求的△ABC 及其内部，yx 表示可行域内的点(x ，y)与原点连线的斜率，由图可知，kOB≤t≤kOC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝－33x ＋5y ＝25得B(5,2)，易知C(1，225)， ∴kOB ＝25，kOC ＝225， ∴25≤t≤225，故t 的最小值为25.17[解析] 不等式x ＜3表示直线x ＝3左侧点的集合．不等式2y≥x ，即x －2y≤0表示直线x －2y ＝0上及左上方点的集合．不等式3x ＋2y≥6，即3x ＋2y －6≥0表示直线3x ＋2y －6＝0上及右上方点的集合． 不等式3y ＜x ＋9即x －3y ＋9＞0表示直线x －3y ＋9＝0右下方点的集合． 综上可得，不等式组表示的平面区域为如图阴影部分．因为平面区域为四边形形状，设顶点分别为A 、B 、C 、D ，如图． 可知A(0,3)、B(32，34)、C(3，32)、D(3,4)S 四边形ABCD ＝S 梯形AOED －S △COE －S △AOB ＝12(OA ＋DE)·OE －12OE·CE －12OA·xB ＝12(3＋4)×3－12×3×32－12×3×32＝6.[点评] 本题求平面区域面积的方法还有：把四边形ABCD 分割成两个三角形，如△ABC 和△ACD ，再求面积．即利用割补的办法转化成能求面积的几何图形去求解．18[解析] 设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤10.24x ＋30y≥180.x≤8，y≤4x ，y ∈N*即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤104x＋5y≥30x≤8y≤4x ，y ∈N*画出平面区域为图中阴影部分：。
吉林长白山保护开发区高一数第三章技能训练322新必修五
3-2-2技能训练基础巩固强化一、选择题1．若0＜t ＜1，则不等式x2－(t ＋1t )x ＋1＜0的解集是( ) A ．{x|1t ＜x ＜t} B ．{x|x ＞1t 或x ＜t} C ．{x|x ＜1t 或x ＞t} D ．{x|t ＜x ＜1t }2．已知不等式x2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a≤－4或a≥4 D ．a ＜－4或a ＞43．若f(x)＝－x2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m≠±2 D ．1＜m ＜34．若方程7x2－(k ＋13)x ＋k2－k －2＝0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜－1 B ．3＜k ＜4 C ．－2＜k ＜4D ．－2＜k ＜－1或3＜k ＜4 5．(2011·河南汤阴县一中高二期中)设对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x2＋ax －3a<0总成立．则实数a 的取值范围是( ) A ．a>0 B ．a>12C ．a>14D ．a>0或a<－126．a ＞0，b ＞0.不等式－b ＜1x ＜a 的解集为( ) A ．{x|x ＜－1b 或x ＞1a } B ．{x|－1a ＜x ＜1b } C ．{x|x ＜－1a 或x ＞1b } D ．{x|－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a } 二、填空题7．不等式2x －53x －1＜1的解集是________．8．若不等式|3x －b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．9．若关于x 的不等式(a －x)(b －x)＞0的解集为{x|x ＜a 或x ＞b}，则实数a ，b 的大小关系是________． 三、解答题10．解下列关于x 的不等式． (1)x2－(a ＋1)x ＋a ＞0；(2)ax2－(a ＋1)x ＋1＞0(a≠0)； (3)x2－(a ＋1)x ＋1＞0. 能力拓展提升 一、选择题11．二次方程x2＋(a2＋1)x ＋a －2＝0，有一个根比1大，另一个根比－1小，则a 的取值范围是( )A ．－3<a<1B ．－2<a<0C ．－1<a<0D ．0<a<2 12．函数y ＝－x2－3x ＋4x的定义域为( ) A ．[－4,1] B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1] 13．已知集合A ＝{x|x2－2x －3>0}，B ＝{x|x2－5ax ＋4a2≤0}，A∩B ＝{x|3<x≤4}，则a 的值为( ) A ．1 B ．4C ．1或4D ．314．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x≤0，－x ＋2， x>0，则不等式f(x)≥x2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2] 二、填空题15．已知不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a≠0)的解集为{x|α＜x ＜β}，其中0＜α＜β，则不等式cx2＋bx ＋a ＜0的解集为________16．若关于x 的不等式x2－3kx －x ＋2k2＋k<0的解集中只有一个整数1，则k 的取值范围________． 三、解答题17．为促进某品牌彩电的销售，厂家设计了两套降价方案．方案①先降价x%，再降价x%，(x ＞0)；方案②一次性降价2x%，问哪套方案降价幅度大？ *18.解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0.详解答案 1[答案] D[解析] 化为(x －t)(x －1t )＜0， ∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1t ，2[答案] A[解析] 欲使不等式x2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4. 3[答案] A[解析] ∵f(x)＝－x2＋mx －1有正值， ∴△＝m2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2. 4[答案] D[解析] 结合f(x)＝7x2－(k ＋13)x ＋k2－k －2的图象知：⎩⎪⎨⎪⎧△＞0＞0＜0＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧＞0＜0＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ k2－k －2＞0k2－2k －8＜0k2－3k ＞0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－1或k ＞2－2＜k ＜4k ＜0或k ＞3⇔－2＜k ＜－1或3＜k ＜4. [点评] 注意结合数轴找不等式解集的交集． 5[答案] B[解析] 设f(x)＝x2＋ax －3a ，则由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4a<01－2a<0，∴a>12.6[答案] A[解析] ∵b ＞0∴－b ＜0，又a ＞0，∴不等式－b ＜1x ＜a 化为－b ＜1x ＜0或0＜1x ＜a.∴x ＜－1b 或x ＞1a . ∴选A.7[答案] {x ＜－4或x ＞13}[解析] 化为x ＋43x －1＞0，化为(x ＋4)(3x －1)＞0，∴x ＜－4或x ＞13. 8[答案] (5,7)[解析] 不等式|3x －b|<4⇔－4<3x －b<4⇔b －43<x<b ＋43，若不等式的整数解只有1,2,3，则b 应满足0≤b －43<1且3<b ＋43≤4，即4≤b<7且5<b≤8，∴5<b<7.9[答案] a ＜b10[解析] (1)变形为(x －a)(x －1)＞0，当a ＞1时，x ＞a 或x ＜1；当a ＝1时，x ∈R 且x≠1；当a ＜1时，x ＞1或x ＜a.(2)变形为(ax －1)(x －1)＞0，令1a ＝1得a ＝1.∴当a ＝1时，x ∈R 且x≠1；当a ＞1时，0＜1a ＜1，∴x ＜1a 或x ＞1，当0＜a ＜1时，x ＜1或x ＞1a ；当a ＜0时，1a ＜x ＜1.(3)△＝(a ＋1)2－4＝a2＋2a －3≥0，∴a≤－3或a≥1.∴当a ＝1时，x ∈R 且x≠1；当a ＝－3时，x ∈R 且x≠－1；当a ＜－3或a ＞1时，x ＜a ＋1－a2＋2a －32或x ＞a ＋1＋a2＋2a －32； 当－3＜a ＜1时，x ∈R.[点评] 注意从以下三个方面讨论： ①二次项系数的正负； ②判别式△的符号；③两根的大小(特别是a ＜0时). 11[答案] C[解析] f(x)＝x2＋(a2＋1)x ＋a －2开口向上，由题设条件⎩⎪⎨⎪⎧－，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2＋a －2<0a2＋a<0，∴－1<a<0.12[答案] D[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－x2－3x ＋4≥0x≠0，解得－4≤x≤1且x≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．13[答案] A[解析] A ＝{x|x<－1或x>3}，∵A∩B ＝{x|3<x≤4}，∴x ＝4是方程x2－5ax ＋4a2＝0的根，∴a2－5a ＋4＝0，∴a ＝1或4，当a ＝1时，B ＝{x|x2－5x ＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B ＝{x|3<x≤4}成立；当a ＝4时，B ＝{x|x2－20x ＋64≤0}＝{x|4≤x≤16}，∴A∩B ＝{x|4≤x≤16}与条件矛盾，∴a ＝1.14[答案] A[解析] 不等式f(x)≥x2化为(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x≤0x ＋2≥x2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧x>0－x ＋2≥x2. 解不等式组(1)得－1≤x≤0； 解不等式组(2)得0<x≤1.因此原不等式的解集是[－1,1]，选A. 15[答案] {x|x>1α或x<1β}[解析] ∵不等式ax2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}，∴a ＜0且α，β是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，∴α＋β＝－b a ，αβ＝ca ，∴b ＝－a(α＋β)，c ＝aαβ， ∴不等式cx2＋bx ＋a ＜0化为： aαβx2－a(α＋β)x ＋a ＜0，即：αβx2－(α＋β)x ＋1＞0， ∴(αx －1)(βx －1)＞0，∵0＜α＜β，∴1α＞1β＞0，∴x ＜1β或x ＞1α.∴不等式cx2＋bx ＋a ＜0的解集为{x|x ＞1α或x ＜1β}． 16[答案] (0，12][解析] 不等式化为x2－(3k ＋1)x ＋k(2k ＋1)<0， 由(2k ＋1)－k>0得k>－1.∴当k>－1时， k<x<2k ＋1， 当k ＝－1时，不等式无解． 当k<－1时，2k ＋1<x<k.∵不等式的解集中含有整数1， ∴不等式的解为k<x<2k ＋1，∵不等式的解集中的整数只有1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤k<11<2k ＋1≤2，∴0<k≤12， 又k>－1，∴k 的取值范围是(0，12]．17[解析] 设原价为1个单位，t ＝x%，t ∈(0,1)， 实行方案①后的价格为(1－t)2， 实行方案②后的价格为(1－2t)，(1－t)2－(1－2t)＝t2＞0，即(1－t)2＞(1－2t)， 所以方案②降价幅度大．18[解析] (1)a ＝0时，原不等式化为x －2＜0，∴x ＜2.∴原不等式解集为{x|x ＜2}． (2)当a ＜0时，原不等式化为(x －2)·(x －2a )＜0.方程(x －2)(x －2a )＝0的两根为2，2a ，又2＞2a ，∴原不等式解集为{x|2a ＜x ＜2}．(3)当a ＞0时，原不等式化为(x －2)·(x －2a )＞0.方程(x －2)(x －2a )＝0的两根为2，2a . 当0＜a ＜1时2a ＞2，原不等式的解集为 {x|x ＞2a 或x ＜2}．当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解集为{x ∈R|x≠2}． 当a ＞1时，2＞2a ＞0，原不等式解集为 {x|x ＞2或x ＜2a }．综上所述，不等式解集为：a ＝0时，{x ∈R|x ＜2}；a ＝1时，{x ∈R|x≠2}；a ＜0时，{x|2a ＜x ＜2}；0＜a ＜1时，{x|x ＞2a 或x ＜2}；a ＞1时，{x|x ＞2或x ＜2a }．。
吉林省长白山保护开发区2022学年高中数学 第三章同步检测3-2-1 新人教A版必修5
3-2-1同步检测基础巩固强化一、选择题1．不等式92＋6＋1≤0的解集是A．{|≠－错误!}B．{|－错误!≤≤错误!}C．∅D．{－错误!}2．不等式32－＋2＜0的解集为A．∅B．RC．{|－错误!＜＜错误!} D．{∈R|≠错误!}3．函数＝错误!的定义域是A．{|＜－4，或＞3} B．{|－4＜＜3}C．{|≤－4，或≥3} D．{|－4≤≤3}4．2022·广东文，5不等式22－－1>0的解集是A．－错误!，1B．1，＋∞C．－∞，1∪2，＋∞D．－∞，－错误!∪1，＋∞5．函数＝错误!的定义域是A．[－错误!，－1∪1，错误!]B．[－错误!，－1∪1，错误!C．[－2，－1∪1,2]D．－2，－1∪1,26．已知集合A＝{|3－2－2＜0}，B＝{|－a＜0}且B A，则a的取值范围是A．a≤1 B．1＜a≤2C．a＞2 D．a≤2二、填空题7．不等式0≤2－2－3＜5的解集为________．8．不等式3－≥＋2＋1的解集是________．9－3 －2 －1 0 1 2 3 46 0 －4 －6 －6 －4 0 6三、解答题10．解下列不等式：122－3－2＞0; 242＋4＋1＜0；32－3＋5＞0; 4－32＋6＞2能力拓展提升一、选择题11．不等式22＋m＋n>0的解集是{|>3或5a5a5a5a5a0，所以不等式的解集为－∞，－错误!∪1，＋∞．5[答案] A[解析]∵og错误!2－1≥0，∴0＜2－1≤1，∴1＜2≤2，∴1＜≤错误!或－错误!≤＜－16[答案] A[解析]A＝{|＜1或＞2}，B＝{|＜a}，∵B A，∴a≤17[答案]{|－2＜≤－1或3≤＜5}[解析]由2－2－3≥0得：≤－1或≥3；由2－2－3＜5得－2＜＜4，∴－2＜≤－1或3≤＜58[答案]∅[解析]化为：22－＋1≤0△＝－7＜09[答案]{|＜－2或＞3}[解析]由表知＝－2时＝0，＝3时，＝0∴二次函数＝a2＋b＋c可化为＝a＋2－3，又当＝1时，＝－6，∴a＝1∴不等式a2＋b＋c＞0的解为＜－2或＞310[解析]1{＜－错误!或＞2}2∅3R4{|1－错误!＜＜1＋错误!}11[答案] D[解析]由题意知－2,3是方程22＋m＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－错误!，－2×3＝错误!，∴m＝－2，n＝－1212[答案] D[解析]当a＝2时，－4＜0恒成立；当a≠2时，错误!，∴－2＜a＜2，综上得－2＜a≤213[答案] B[解析]化为：＋a－5a＞0，相应方程的两根1＝－a，2＝5a∵a＜0，∴1＞2∴不等式解为＜5a或＞－a14[答案] D[解析]令f＝2＋m－1＋m2－2，则错误!，∴错误!，∴0＜m＜115[答案]{|错误!＜＜2}[解析]由条件知，－2和－错误!是方程a2＋b＋c＝0的两根，且a＜0∴－2－错误!＝－错误!，－2×－错误!＝错误!，∴b＝错误!a，c＝a从而不等式a2－b＋c＞0化为a2－错误!＋1＞0∵a＜0，∴22－5＋2＜0即－22－1＜0，解得错误!＜＜2∴不等式的解集为{|错误!＜＜2}．16[答案]－∞，0∪4，＋∞[解析]当m＝0时，10时，要使解集非空，应有Δ＝m2－4m>0，∴m>4，综上知不等式m2－m＋10得，10－错误!<<10＋错误!∵∈N，∴3≤≤17，故工厂从第3年开始盈利．。
吉林省长白山保护开发区高一数学 第三章同步检测3-2-2
3-2-2同步检测一、选择题1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( ) A ．y ＝0.2x B ．y ＝110(x2＋2x) C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log16x2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20%；同时乙产品连续两次降价，每次降价都是20%，结果都以92.16元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是( ) A ．不亏不盈 B ．赚23.68元 C ．赚47.32元 D ．亏23.68元3．已知A 、B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数，表达式是( ) A ．x ＝60t B ．x ＝60t ＋50 C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧150－D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧150－－4．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x ，x ＝全月总收入－800元，税率见下表：A ．800～900元B ．900～1 200元C ．1 200～1 500元D ．1 500～2 600元5．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元．则这两筐椰子原来的总个数为( ) A ．180 B ．160C ．140D ．120 6．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y ＝f(x)，另一种是平均价格曲线y ＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y ＝f(x)，虚线表示y ＝g(x)，其中正确的是( )7．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2006年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元)，预计该地区自2007年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2011年该地区农民人均收入介于( )A ．4 200元～4 400元B ．4 400元～4 600元C ．4 600元～4 800元D ．4 800元～5 000元(注：当0<x<1时，(1＋x)n≈1＋nx ，要求精度不高时可用它估值．) 二、填空题8．长为4、宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x2时面积最大，此时x ＝________，最大面积S ＝________.9．某养鱼场，第一年鱼的重量增长率为200%，以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半，问经过四年鱼的重量是原来的________倍．10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系为y ＝(116)t－a(a 为常数)其图象如图．根据图中提供的信息，回答问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降到0.25mg以下时，学生才可进入教室，那么从药物释放开始至少经过______小时，学生才能回到教室．三、解答题11．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t((1)t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．12．某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这些原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元．生产一件B种产品，需用甲种原料4 kg，乙种原料10 kg，可获利润1200元．(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请设计出来．(2)设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大？最大利润是多少？[分析]设生产A种产品x件，则生产B种产品(50－x)件，据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg，所用乙种原料不超过290 kg即可．13．某个体经营者把开始6个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：该经营者准备第7个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第7个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．详解答案1[答案] C[解析]当x＝1时，否定B，当x＝2时，否定D，当x＝3时，否定A，故选C.2[答案] D[解析]设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则x(1＋20%)2＝92.16，y(1－20%)2＝92.16，∴x ＝64，y ＝144,64＋144－92.16×2＝23.68. 3[答案] D[解析] 从A 地到B 地的来回时间分别为： 15060＝2.5，15050＝3， x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t150150－－故选D.4[答案] C[解析] 解法1：(估算法)由500×5%＝25元，100×10%＝10元，故某人当月工资应在1 300～1 400元之间，故选C.解法2：(逆推验证法)设某人当月工资为1 200元或1 500元，则其应纳税款分别为400×5%＝20元，500×5%＋200×10%＝45元．可排除A ，B ，D ，故选C. 5[答案] D[解析] 设原来两筐椰子的总个数为x ，成本价为a 元/个，则⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＝300＋－＝300＋78，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝120a ＝2.5，故这两筐椰子原来共有120个．6[答案] C[解析] 即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A 、D ；即时价格若一路上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x 从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y 轴上有相同起点，排除A 、D)，故选C. 7[答案] B[解析] 根据题意可得，2011年该地区农民收入为 1800(1＋6%)5＋1350＋5×160 ≈1800×(1＋5×6%)＋2150＝4490. 故选B. 8[答案] 1，252[解析] S ＝(4＋x)⎝⎛⎭⎫3－x 2＝－x22＋x ＋12 ＝252－12(x －1)2，当x ＝1时，Smax ＝252. 9[答案]454[解析] 设原来鱼重a ，四年后鱼重为a(1＋200%)(1＋100%)(1＋50%)(1＋25%)＝454a ，454aa ＝454.10[答案] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t 110116t －110110(2)0.6[解析] (1)设0≤t≤110时，y ＝kt ，将(0.1,1)代入得k ＝10， 又将(0.1,1)代入y ＝(116)t －a 中，得a ＝110， ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t 110116t －110110.(2)令(116)t －110 ≤0.25得t≥0.6，∴t 的最小值为0.6.11[解析] (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a·bt ，Q ＝a·logbt 中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q ＝at2＋bt ＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at2＋bt ＋c 得到，⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝2252.所以，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t2－32t ＋2252. (2)当t ＝－－321200＝150天时，西红柿种植成本最低为Q ＝1200·1502－32·150＋2252＝100 (元/102kg)．12[解析] (1)设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品为(50－x)件，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋－，3x ＋－解得30≤x≤32.∵x 是整数，∴只能取30,31,32.∴生产方案有三种，分别为A 种产品30件B 种产品20件；A 种产品31件B 种产品19件；A 种产品32件B 种产品18件．(2)设生产A 种产品x 件，则B 种产品(50－x)件． y ＝700x ＋1 200(50－x)＝－500x ＋600 00， ∵k ＝－500<0，∴y 随x 增大而减小， ∴当x ＝30时，y 最大＝－500×30＋600 00＝45 000.∴安排生产A 种产品30件，B 种产品20件时，获利润最大，最大利润为45 000元． [方法点拨] 此题第(1)问是利用一元一次不等式组解决，第(2)问是利用一次函数增减性解决问题，要注意第(2)问 与第(1)问相互联系．即根据实际问题建立好函数关系式后，特别要注意函数的定义域．13[解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．由于(4,2)为最高点，则可设y ＝a(x －4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a ＝－0.15，所以y ＝－0.15(x －4)2＋2.B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是纯性的，可以用一次函数模型进行模拟． 设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0.25＝k ＋b ，1＝4k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.25，b ＝0.所以y ＝0.25x.设第7个月投入A ，B 两种商品的资金分别为xA 万元，xB 万元，总利润为ω万元，那么⎩⎪⎨⎪⎧xA ＋xB ＝12，ω＝yA ＋yB ＝－－＋2＋0.25xB.所以ω＝－0.15(xA －4)2＋2＋0.25(12－xA) ＝－0.15x2A ＋0.95xA ＋2.6 ＝－0.15(xA －196)2＋0.15(196)2＋2.6.当xA ＝196≈3.2(万元)时，ω取最大值，约为4.1万元，此时xB ＝8.8(万元)．即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大利润约为4.1万元．[规律方法] (1)根据已知数据建立数学模型的方法： ①画出散点图．②根据点的分布特征选择适当的函数模型． ③用待定系数法求函数模型．(2)根据散点图选择恰当的数学模型的方法(如下图)：①相邻散点之间的距离变化越来越大时，如上图①，常选y ＝bax ＋c 模型． ②相邻散点之间的距离越来越近似相等，如上图②，常选y ＝blogax ＋c 模型． ③散点先升后降或先降后升，如上图③，常选二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 模型． ④相邻散点之间等距，如上图④，常选一次函数y ＝kx ＋b 模型．。
吉林省长白山高中数学 第三章综合素质能力检测及备选题库 新人教A版必修5
第三章综合素质能力检测及讲评备选练习一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．a 、b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 22．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤N3．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x ＞5或x ＜－1} C ．{x |－1＜x ＜5} D ．{x |－1≤x ≤5}4．若a ＞b ＞0，全集U ＝R ，A ＝{x |ab ＜x ＜a }，B ＝{x |b ＜x ＜a ＋b2}，则(∁U A )∩B 为( )A ．{x |b ＜x ≤ab }B ．{x |ab ＜x ＜a ＋b2}C ．{x |b ＜x ＜a ＋b2}D ．{x |x ＜a ＋b2或x ≥a }5．不等式x ＋(a －1)y ＋3＞0表示直线x ＋(a －1)y ＋3＝0( ) A ．上方的平面区域 B ．下方的平面区域C ．当a ＞1时表示上方的平面区域，当a ＜1时表示下方的平面区域D ．当a ＜1时表示上方的平面区域，当a ＞1时表示下方的平面区域6．已知方程x 2＋2x ＋2a ＝0和x 2＋2(2－a )x ＋4＝0有且只有一个方程有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜12或a ＞4B ．0≤a ＜12或a ＞4C ．0＜a ≤12或a ≥4D.12＜a ≤47．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m 、n 、p 的大小顺序是( )A ．m ≥n ＞pB ．m ＞n ≥pC ．n ＞m ＞pD ．n ≥m ＞p8．(2011·福州模拟)设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a <15B ．a ＜－1C ．a ＜－1或a ＞15D ．a ＞159．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－92≤x ≤110．设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则( ) A ．m ＜n B ．m ＞n C ．m ＝nD ．不能确定11．若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y x ＋y ≤1y ≥－1，则z ＝－2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．－12C ．2D ．－512．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、G 、H的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．不等式x 2－px －q ＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，则不等式qx 2－px －1＞0的解集是__________________．14．若点(x ，y )在第一象限，且在直线2x ＋3y ＝6上移动，则log 32 x ＋log 32 y 的最大值是__________．15．不等式(m ＋1)x 2＋(m 2－2m －3)x －m ＋3＞0恒成立，则m 的取值范围是__________．16．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＜12x －2y ＜05x －4y ＞0x 、y ∈N下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为__________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)求函数f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1(x ＜－1)的最大值及相应x 的值．18．(本小题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式axx －2＜1 . 19．(本小题满分12分)某汽车运输公司，购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)的关系为二次函数(如图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大？20．(本小题满分12分)已知x 、y 都是正数，则满足x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的最大值，并求出此时x 、y 的值．21．(本小题满分12分)已知实数a 、b 、c 满足ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥1. 22．(本小题满分14分)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－3，y ≥－4，－4x ＋3y ≤12，4x ＋3y ≤36，(1)求目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值与最大值． (2)求目标函数z ＝－4x ＋3y －24的最小值与最大值． 详解答案 1[答案] C[解析] 由不等式的可乘方性质知a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2. 2[答案] A[解析] M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6) ＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，∴M ＞N .3[答案] B[解析] 不等式化为x 2－4x －5＞0， ∴(x －5)(x ＋1)＞0，∴x ＜－1或x ＞5. 4[答案] A[解析] ∵a >b >0，∴b <ab <a ＋b2<a ，∵∁U A ＝{x |x ≤ab 或x ≥a }，B ＝{x |b ＜x ＜a ＋b2}，∴(∁U A )∩B ＝{x |b ＜x ≤ab }5[答案] C[解析] 根据B 值判断法知，a －1的符号与不等号一致时，表示直线的上方，故a >1时，表示直线上方，因此选C ；也可以取特值检验，a ＝2时，x ＋y ＋3>0表示直线x ＋y ＋3＝0上方区域(或a ＝0时，x －y ＋3>0表示直线x －y ＋3＝0下方区域)，故排除A 、B 、D ，选C.6[答案] B[解析] △1＝4－8a ，△2＝4(a －2)2－16，由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧△1＞0△2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧△1≤0△2＞0，∴0≤a ＜12或a ＞4.7[答案] A[解析] 取a ＝1，b ＝4，检验，m ＝4.5，n ＝3，p ＝5，∴m ＞n ＞p 排除C ，D ；又n 2－p 2＝a ＋b ＋2ab －(a ＋b )＝2ab ＞0，∴n ＞p ，∴选A.8[答案] C[解析] 由题意知f (－1)f (1)＜0， ∴(－5a ＋1)(a ＋1)＜0，∴a ＜－1或a ＞15.9[答案] D[解析] 解法1：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B ，C ；∴选D. 解法2：直接求解化为：2x 2＋7x －9≤0，即(x －1)(2x ＋9)≤0 ∴－92≤x ≤1.10[答案] A[解析] ∵a ＞b ＞0，∴m ＞0，n ＞0，且b ＜ab .m 2－n 2＝(a ＋b －2ab )－(a －b )＝2(b －ab )＜0∴m 2＜n 2，∴m ＜n .11[答案] A[解析] 作出可行域如下图，当直线y ＝2x ＋z 平移到经过可行域上点A (1，－1)时，z 取最大值，∴z max ＝1.12[答案] A[解析] ∵a ，b ∈R ＋∴a ＋b2≥ab ，∴aba ＋b2≤1， 即2ab a ＋b ≤1，两边同乘以ab ，则2aba ＋b≤ab ， ∴a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b>0. 又∵f (x )＝(12)x是减函数，∴f (a ＋b2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b) 即：A ≤G ≤H .13[答案]⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13 [解析] 由条件知，2和3是方程x 2－px －q ＝0的根， ∴p ＝5，q ＝－6，∴不等式qx 2－px －1＞0化为6x 2＋5x ＋1＜0 ∴(2x ＋1)(3x ＋1)＜0∴－12＜x ＜－13.14[答案] 1[解析] 由题意x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴u ＝log 32 x ＋log 32 y ＝log 32 (x ·y )＝log 32 [16(2x ·3y )]≤log 32[16(2x ＋3y 2)2]＝1，等号在2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时成立．[点评] 也可以消元，用二次函数最值求解． 15[答案] [－1,1)∪(1,3)[解析] m ＋1＝0时，m ＝－1，不等式化为：4＞0恒成立；m ＋1≠0时，要使不等式恒成立须⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0△<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0m 2－2m －32－4m ＋1－m ＋3＜0，∴－1＜m ＜3且m ≠1. 综上得－1≤m ＜3且m ≠1. 16[答案] 13[解析] 可行域如图，A (2,2.5)，B (4,2)．由于x ，y ∈N 故可行域内整点有：(1,1)，(2,2)，(3,2) .可见经过(3,2)点时z 取最大值，z max ＝13.17[解析] ∵x ＜－1，∴x ＋1＜0.∴f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －1＋4－x －1＋5≤－2－x －1·4－x －1＋5＝－4＋5＝1.当且仅当－x －1＝4－x －1，即x ＝－3时取等号．所以当且仅当x ＝－3时，f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1最大，最大值为1.18[解析] a ＝0时，x ∈R 且x ≠2；a ≠0时，ax x －2＜1⇔a －1x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0.∵a ＜1，∴a －1＜0. ∴化为(x －21－a)(x －2)＜0， 当0<a <1时，21－a >2，∴不等式的解为2<x <21－a ；当a <0时，1－a >1，∴21－a <2，∴不等式解为21－a<x <2，∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为{x ∈R |x ≠2}． 19[解析] 设二次函数为y ＝a (x －6)2＋11(a ＜0)． 又x ＝4时，y ＝7，∴a ＝－1. ∴二次函数为y ＝－x 2＋12x －25. 设年平均利润为z ，则z ＝y x ＝－(x ＋25x)＋12≤－2x ·25x＋12＝2.当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取等号．故每辆客车营运5年，年平均利润最大． 20[解析] 解法1：∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥22·xy 又x ＋2y ＋xy ＝30，令xy ＝t ，则22t ＋t 2≤30，∵t ＞0∴0＜t ≤32，∴0<xy ≤18.当xy ＝18时，∵x ＝2y .∴x ＝6，y ＝3. 因此当x ＝6，y ＝3时，xy 取最大值18. 解法2：由x ＋2y ＋xy ＝30得y ＝30－x x ＋2，∵y ＞0，x ＞0，∴0＜x ＜30 ∴xy ＝30－x x x ＋2＝－x 2－30xx ＋2＝－x x ＋2－32x ＋2＋64x ＋2＝－(x －32)－64x ＋2＝－[(x ＋2)＋64x ＋2]＋34 ≤－264＋34＝18，等号在x ＋2＝64x ＋2即x ＝6时成立，此时y ＝30－66＋2＝3.故当x ＝6，y ＝3时，xy 取最大值18.21[解析] ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2≥1.22[解析] (1)作出可行域(如图A 阴影部分)． 令z ＝0，作直线l ：2x ＋3y ＝0.当把直线l 向下平移时，所对应的z ＝2x ＋3y 的值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B 时，z ＝2x ＋3y 取得最小值．从图中可以看出，顶点B 是直线x ＝－3与直线y ＝－4的交点，其坐标为(－3，－4)； 当把l 向上平移时，所对应的z ＝2x ＋3y 的值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D 时，z ＝2x ＋3y 取得最大值．顶点 D 是直线－4x ＋3y ＝12与直线4x ＋3y ＝36的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋3y ＝12，4x ＋3y ＝36.可以求得顶点D 的坐标为(3,8)．所以z min ＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18，z max ＝2×3＋4×8＝38. (2)可行域同(1)(如图B 阴影部分)．作直线l 0：－4x ＋3y ＝0，把直线l 0向下平移时，所对应的z ＝－4x ＋3y 的值随之减小，即z ＝－4x ＋3y －24的值随之减小，从图B 可以看出，直线经过可行域顶点C 时，z ＝－4x ＋3y －24取得最小值．顶点C 是直线4x ＋3y ＝36与直线y ＝－4的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4，4x ＋3y ＝36，得到顶点C 的坐标(12，－4)，代入目标函数z ＝－4x ＋3y －24，得z min＝－4×12＋3×(－4)－24＝－84.由于直线l 0平行于直线－4x ＋3y ＝12，因此当把直线l 0向上平移到l 1时，l 1与可行域的交点不止一个，而是线段AD 上的所有点．此时z max ＝12－24＝－12.讲评备选练习1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．不确定[答案] B[解析] M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)． 又a 1，a 2∈(0,1)，则a 1－1<0，a 2－1<0， 则(a 1－1)(a 2－1)>0，则M >N .2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 画出可行域，如图中的阴影部分所示，由图知，z 是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z 取最大值，此时x ＝1，y ＝0，则z 的最大值是2x ＋y ＝2＋0＝2.3．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1>0恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] k ＝0时满足排除A 、D ；k ＝4时，不等为4x 2－4x ＋1>0，即(2x －1)2>0，显然当x ＝12时不成立．排除B ，选C.[点评] 也可以分k ＝0与⎩⎪⎨⎪⎧k >0Δ<0讨论．4．设c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则有( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 、b 的关系与c 的值有关 [答案] B [解析] a ＝1c ＋1＋c，b ＝1c ＋c －1，∵c >1，∴c ＋1＋c >c ＋c －1>1， ∴a <b .5．(2011·德州高二检测)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－12<x <13}，则a －b 的值为( )A ．－10B ．－14C ．10D ．14[答案] A[解析] 由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2，∴a －b ＝－10.6．(2010·天津理，8)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，log 12－x ， x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[答案] C[解析] 解法1：由图象变换知函数f (x )图象如图，且f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数，∴f (a )>f (－a )化为f (a )>0，∴当a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，f (a )>f (－a )，故选C.解法2：当a >0时，由f (a )>f (－a )得，log 2a >log 12a ，∴a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得，log 12(－a )>log 2(－a )，∴－1<a <0，故选C.7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx －1的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞) [答案] B[解析] 可行域为图中阴影部分，y x －1的几何意义是区域内点与点A (1,0)连线的斜率．当过点A 的直线与l 平行时，斜率k ＝1；当直线过点A 和B (0,1)时，斜率k ＝－1，故欲使过点A 的直线与可行域有公共点，应有k >1或k <－1，故y x －1>1或yx －1<－1.8．不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1，或x ＞2}，则a 的值为_____． [答案] 12[解析] 由题意知x ＝2是方程axx －1＝1的根， ∴a ＝12.9．已知x ，y 为正实数，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为___________． [答案] 18[解析] 由2x ＋8y －xy ＝0得2x ＋8y ＝xy ， ∴2y ＋8x＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x＋x y ≥10＋2×2×4y x ·xy＝18.当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6.∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18. [点评] 可以消元，消去y ＝2xx －8再用基本不等式求解． 10．已知a ＋b ＋c ＝0，求证ab ＋cb ＋ca ≤0.[证明] 若a ＝b ＝c ＝0原结论成立；否则至少有两个不为0，则必至少一正，至少一负，不妨设a >0，c <0由于b ＝－(a ＋c )，∴ab ＋bc ＋ac ＝b (a ＋c )＋ac ＝－(a ＋c )2＋ac <0.综上可知ab ＋bc ＋ac ≤0成立．反馈练习一、选择题1．已知P ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，y ＞b，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a ＋b ，x －ay －b ＞0，则( )A ．若P 成立，则Q 成立B ．若Q 成立，则P 成立C ．P 与Q 等价D ．P 是否成立与Q 无关系 [答案] C [解析] 若⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a y ＞b，由同向可加性得x ＋y ＞a ＋b ，又x －a ＞0，y －b ＞0，∴(x －a )(y－b )＞0；若(x －a )(y －b )＞0，则x －a 与y －b 同号，又x ＋y ＞a ＋b 即(x －a )＋(y －b )＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＞0y －b ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞ay ＞b .2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y，则M 、N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ≥NC ．M <ND ．M ≤N[答案] C[解析] N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y＝x ＋y2＋x ＋y＝M .3．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1 C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜1且x ≠－1}[答案] D[解析] (1＋x )(1－|x |)＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥01－x 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <01＋x2>0⇔x ＜1且x ≠－1.[点评] 也可以用检验的方法：令x ＝0满足排除B ；令x ＝－2满足排除A ，C . 4．设a ＞0，b ＞0，则下列不等式中正确的有几个( ) (1)a 2＋1＞a ； (2)(a ＋1a )(b ＋1b)≥4；(3)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4；(4)a 2＋9＞6a ； (5)a 2＋1＋1a 2＋1＞2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] ∵a ＞0，b ＞0，∴a 2＋1≥2a ＞a ，∴①正确；(a ＋1a )(b ＋1b )＝(ab ＋1ab )＋(b a ＋ab)≥2＋2＝4，等号在a ＝b 时成立，∴②正确；(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4.等号在a ＝b 时成立，∴③正确；∵a 2＋9－6a ＝(a －3)2≥0，∴a 2＋9≥6a .等号在a ＝3时成立，∴④错误；a 2＋1＋1a 2＋1≥2.等号在a ＝0时成立，但a ＞0，∴a 2＋1＋1a 2＋1＞2，∴⑤正确．故正确的不等式有4个．5．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋2≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≤0[答案] C[解析] 取平面区域内的点(－12，0)检验知，满足y ≥－1，和2x －y ＋2≥0，又x ≤0，排除A 、B 、D ，∴选C.6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3[答案] C[解析] ∵x ∈(0，12]，∴a ≥－x 2－1x ＝－x －1x.由于函数y ＝x ＋1x 在(0，12]上单调递减，∴在x ＝12处取得最小值52.∴－(x ＋1x )≤－52.∴a ≥－52.7．设M ＝a ＋1a －2 (2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋116) (x ∈R )那么M 、N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜N D ．不能确定[答案] A[解析] ∵2<a <3，∴a －2>0，M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4， N ＝log 0.5(x 2＋116)≤log 0.5116＝4，∴M ＞N .8．已知f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)、B (3,1)是其图像上的两点，那么| f (x ＋1)|＜1的解集是( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，1]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)[答案] A[解析] 由题设知f (0)＝－1，f (3)＝1， 不等式|f (x ＋1)|＜1化为－1＜f (x ＋1)＜1， 即f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)∵f (x )在R 上单调递增，∴0＜x ＋1＜3，∴－1＜x ＜2.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x >1－1x ≤1，则不等式xf (x )－x ≤2的解集为( )A ．[－2,2]B ．[－1,2]C ．(1,2]D ．[－2，－1]∪(1,2][答案] B[解析] 不等式xf (x )－x ≤2化为：Ⅰ.⎩⎪⎨⎪⎧x >1x 2－x ≤2或Ⅱ.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1－x －x ≤2由(Ⅰ)得1<x ≤2.由(Ⅱ)得－1≤x ≤1.∴原不等式的解为－1≤x ≤2.10．已知log 2(x ＋y )＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[2，＋∞) C ．(0,4]D ．[4，＋∞)[答案] D[解析] 由题设log 2(x ＋y )＝log 2(xy )， ∴x ＋y ＝xy 且x ＞0，y ＞0，∴y ＝xx －1＞0，∴x ＞1，∴x ＋y ＝x ＋xx －1＝x －1＋1x －1＋2≥4， 等号在x －1＝1x －1即x ＝2时成立． 11．设O 为坐标原点，点M 坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1.则使OM →·ON →取得取大值的点N 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个[答案] D[解析] OM →＝(2,1)，ON →＝(x ，y )，z ＝OM →·ON →＝2x ＋y .画出可行域如图，当直线2x ＋y －z ＝0与直线2x ＋y －12＝0重合时，z 取最大值，此时N 点有无数个．12．下列函数中，最小值是4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 [答案] C[解析] 当x ＜0时，y ＝x ＋4x≤－4，排除A ；∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ＜1.y ＝sin x ＋4sin x ≥4.但sin x ＝4sin x无解，排除B ；e x＞0，y ＝e x ＋4e －x ≥4.等号在e x ＝4ex 即e x＝2时成立．∴x ＝ln 2，D 中，x ＞0且x ≠1，若0＜x ＜1，则log 3x ＜0，log x 81＜0，∴排除D.二、填空题13．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________. [答案] 2[解析] 由题意知a >0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2， ∴不等式为2x 2－6x ＋4<0，即x 2－3x ＋2<0， ∴1<x <2，∴m ＝2.14．(2012·山东理，13)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查了绝对值不等式的解法．由|kx －4|≤2可得－2≤kx －4≤2，即2≤kx ≤6，而1≤x ≤3，所以k ＝2.掌握好绝对值不等式的常见解法．[点评] 也可把不等式转化为方程来解决，如由题意可知x ＝1，x ＝3是方程|kx －4|＝2的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧|k －4|＝2|3k －4|＝2，解得k ＝2.15．某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元的一律九折；(3)一次性购物超过300元的一律八折，有人两次购物分别付款80元，252元．如果他一次性购买与上两次相同的商品，则应付款_______．[答案] 当第二次购物费超过300元时，应付316元； 当第二次购物费不超过300元时，应付288元．[解析] 该人一次性购物付款80元，据条件(1)、(2)知他没有享受优惠，故实际购物款为80元；另一次购物付款252元，有两种可能，其一购物超过300元按八折计，则实际购物款为2520.8＝315元．其二购物超过100元但不超过300元按九折计算，则实际购物款为2520.9＝280元．故该人两次购物总价值为395元或360元，若一次性购买这些商品应付款316元或288元．16．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋8＞0x ＜0y ＜0表示的平面区域内的整点坐标是__________．[答案] (－1，－1)[解析] 作出不等式组表示的平面区域如下图，可见整点只有(－1，－1)．三、解答题17．设a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ＝1，求证a 2＋b 2＋c 2≥13.[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )≤3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.18．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞02x 2＋2k ＋5x ＋5k ＜0的整数解只有－2，求k 的取值范围．[分析] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，因此，分别求解两个不等式，就其交集中只有整数－2，求k .[解析] 由x 2－x －2＞0，得x ＜－1或x ＞2.方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52＞－k ，即k ＞52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解为－k ＜x ＜－52，显然－2∉⎝⎛⎭⎪⎫－k ，－52. (2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0解集为∅.(3)当－52＜－k ，即k ＜52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解为－52＜x ＜－k .∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－52＜x ＜－k ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，－52＜x ＜－k 确定．∵原不等式组只有整数解－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＜52，－k ＞－2，－k ≤3.∴－3≤k ＜2.故所求k 的取值范围是{k |－3≤k ＜2}．[点评] －k >－2保证不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <－1－52<x <－k 的解集中只含有整数－2；－k ≤3保证⎩⎪⎨⎪⎧x >2－52<x <－k 的解集中不含有整数，才能实现原不等式解集中只有整数－2.19．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解析] (1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1000×(1＋0.6x )(0<x <1)．整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)． ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y － 1.2－1×1000>00<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解得：0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <13.20．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3sin 2B ＋3sin 2C －2sin B sin C ＝3sin 2A ，a ＝3，求AB →·AC →的最大值．[解析] ∵3sin 2B ＋3sin 2C －2sin B sin C ＝3sin 2A ，由正弦定理得3b 2＋3c 2－2bc ＝3a 2，即3b 2＋3c 2－3a 2＝2bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13.∵a ＝3，∴3b 2＋3c 2－2bc ＝9≥6bc －2bc ＝4bc ， ∴bc ≤94，当且仅当b ＝c 时等号成立．∴AB →·AC →＝c ·b ·cos A ＝bc 3≤34，故AB →·AC →的最大值为34.21．设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z 的最大值与最小值．[解析] 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1的可行域如图，将目标函数z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，直线y ＝－2x ＋z 是斜率k ＝－2的平行线系，z 是它们的纵截距．作平行直线过平面区域内的点A 、B 时直线的纵截距取最值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0得A (5,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0得B (1,1)，将A 、B 点坐标代入z ＝2x ＋y 中得，过A 点时z max ＝12，过B 点时z min ＝3.22．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程f (x )－x ＝0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜1a.(1)当x ∈(0，x 1)时，求证：x ＜f (x )＜x 1；(2)设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，求证：x 0＜x 12.[证明] (1)令F (x )＝f (x )－x . ∵x 1，x 2是方程f (x )－x ＝0的根， ∴F (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1＜x 2，得(x －x 1)(x －x 2)＞0.又a ＞0，得F (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)＞0，即x ＜f (x )．x 1－f (x )＝x 1－[x ＋F (x )]＝x 1－x ＋a (x 1－x )(x －x 2)＝(x 1－x )[1＋a (x －x 2)]．∵0＜x ＜x 1＜x 2＜1a，∴x 1－x ＞0,1＋a (x －x 2)＝1＋ax －ax 2＞1－ax 2＞0. 得x 1－f (x )＞0.由此得f (x )＜x 1. ∴x ＜f (x )＜x 1. (2)依题意知x 0＝－b2a.∵x 1、x 2是方程f (x )－x ＝0的根，即x 1、x 2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的根， ∴x 1＋x 2＝1－ba，x 0＝－b 2a ＝a x 1＋x 2－12a ＝ax 1＋ax 2－12a.∵ax 2＜1，∴x 0＜ax 12a ＝x 12. 备选题库1．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则( ) A ．c ＜b ＜a B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a[答案] D[解析] 假设a ＞b 即2＞7－3，∴2＋3＞7，平方得6＞1成立，∴a ＞b 排除B 、C.又假设b ＞c ，即7－3＞6－ 2∴7＋2＞6＋3，平方得14＞18显然不成立 ∴b ＜c 排除A.2．已知：0＜a ＜b ＜1，x ＝a b，y ＝log b a ，z ＝log 1ab ，则( )A ．z ＜x ＜yB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．x ＜z ＜y[答案] A[解析] y ＝log b a ＞log b b ＝1,0＜x ＝a b＜a 0＝1，z ＝log 1ab ＜0，∴z ＜x ＜y .3．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<0[答案] C[解析] 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0a －b >0⇒a 2－b 2>0，故选C.。
吉林省长白山保护开发区2022学年高中数学 第三章同步检测3-4-3 新人教A版必修5
3-4-3同步检测基础巩固强化一、选择题1．a，b∈R＋，则错误!，错误!，错误!三个数的大小顺序是≤错误!≤错误!≤错误!≤错误!≤错误!≤错误!≤错误!≤错误!2．2022·浙江文，9若正数，满足＋3＝5，则3＋4的最小值是C．5 D．63．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是A．－∞，－1] B．－∞，0∪1，＋∞C．[3，＋∞ D．－∞，－1]∪[3，＋∞4．2022·山东潍坊一中期末设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2a －b－1，③错误!＋错误!>2上述三个式子恒成立的有A．0个B．1个C．2个D．3个5．2022～2022·福建省福州市高二期中设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则A．a11＝b11 B．a11>b11C．a11错误!；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋错误!>2，其中恒成立的序号为A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题7．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．8．已知错误!＋错误!＝2>0，>0，则的最小值是________．9．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，＝AB，n＝ab，≥n，≤n，n≥＋≥＋n＋1＝0上，其中mn>0，则错误!＋错误!的最小值为________．三、解答题16．已知a，b，c∈R＋，求证错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c*17某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．1求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少2若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠即原价的90%，问该厂是否考虑利用此优惠条件请说明理由．详解答案1[答案] C[解析]取a＝2，b＝8，则错误!＝5，错误!＝4，错误!＝∴选C比较如下：已知错误!≥错误!，又错误!－错误!＝错误!＝错误!≥0∴错误!≥错误!也可作商比较错误!＝错误!≥12[答案] C[解析]本题考查了均值不等式的应用．由＋3＝5得错误!＋错误!＝1，∴3＋4＝3＋4·错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥2错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝5，当且仅当错误!＝错误!时，得到最小值5[点评]均值不等式的应用一定要注意成立的条件“一正，二定，三相等”．否则很容易这样解造成错误，∵＋3＝5≥2错误!，∴≥错误!，∴3＋4≥2错误!≥2错误!＝错误!，错因是两次等号不能同时取得．3[答案] D[解析]设等比数列的公比为≠0，则有S3＝＋1＋错误!≠0，∵当>0时，＋错误!≥2；0不恒成立；a2＋b2－2a－b－1＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝a－12＋b＋12≥0恒成立；错误!＋错误!>2或错误!＋错误!0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝错误!＝错误!≥错误!＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}，{bn}均为常数列，故选D6[答案] D[解析]∵a、b∈R＋时，a＋b≥2错误!，∴错误!≤1，∴错误!≤错误!，∴①不恒成立，排除A、B；∵ab＋错误!≥2错误!>2恒成立，故选D7[答案]1760[解析]设水池池底的一边长为m，则另一边长为错误!m，则总造价为：＝480＋80×错误!×2＝480＋320错误!≥480＋320×2错误!＝1 760当且仅当＝错误!即＝2时，取最小值1 760所以水池的最低总造价为1 760元．8[答案] 6[分析]此类题一般利用基本不等式转化为错误!的不等式求解．[解析]错误!＋错误!≥2错误!，∴2错误!≤2，∴≥69[答案] 3[解析]以C为原点，CB为轴，CA为轴建立直角坐标系，设3ain＝16∵a＋b≥c恒成立，∴09a0，b>0，∴a>1，b>9，∴a－1b－9≤错误!2∴a＋b≥16，等号在a－1＝b－9＝3时成立，∴要使a＋b≥c恒成立，应有00，所以RA>RB13[答案] B[解析]∵a、b、c成等差数列，∴b＝错误!∵coB＝错误!＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!＝错误!等号在a＝c时成立．又∵＝co在0，π内是减函数，∴02m2m0，∴m>0，n>0而错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2＋错误!＋2＋错误!≥4＋2错误!＝8当n＝错误!，m＝错误!时取“＝”．∴错误!＋错误!的最小值为816[解析]∵a，b，c∈R＋，错误!，错误!，错误!均大于0，又错误!＋b≥2错误!＝2a，错误!＋c≥2错误!＝2b，错误!＋a≥2错误!＝2c，三式相加得错误!＋b＋错误!＋c＋错误!＋a≥2a＋2b＋2c，∴错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c17[解析]1设该厂应每隔天购买一次面粉，其购买量为6吨．由题意知，面粉的保管等其它费用为3[6＋6－1＋…＋6×2＋6×1]＝9＋1．设平均每天所支付的总费用为1元，则1＝错误![9＋1＋900]＋6×1800＝错误!＋9＋10809≥2错误!＋10809＝10989当且仅当9＝错误!，即＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．2若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔≥35天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为2元，则2＝错误![9＋1＋900]＋6×1800×＝错误!＋9＋9729≥35，令f＝＋错误!≥35，2>1≥35，则f1－f2＝错误!－错误!＝错误!，∵2>1≥35∴2－1>0，12>0,100－12<0∴f1－f2<0，f1<f2．即f＝＋错误!，当≥35时为增函数．∴当＝35时，f有最小值，此时2<10989，∴该厂应该接受此优惠条件．。
吉林省长白山保护开发区2022学年高中数学 第三章同步检测3-4-1 新人教A版必修5
3-4-1同步检测基础巩固强化一、选择题1．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是B．a2＋b2C．2ab D．a2．已知＜错误!，则函数＝4－2＋错误!的最大值是A．2 B．3C．13．设a、b是正实数，A＝错误!＋错误!，B＝错误!，则A、B的大小关系是A．A≥B B．A≤BC．A＞B D．A＜B4．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为，则A．＝错误!B．≤错误!C．＞错误!D．≥错误!5．2022·天津设a＞0，b＞0，若错误!是3a与3b的等比中项，则错误!＋错误!的最小值为A．8 B．4C．16．若00、>0，、a、b、成等差数列，、c、d、成等比数列，则错误!的最小值是A．0 B．1C．2 D．413．设a、b∈R，且ab>0则下列不等式中，恒成立的是A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误!＋错误!>错误!＋错误!≥214．已知0＜a＜1,0＜≤＜1，且oga·oga＝1，那么A．无最大值也无最小值 B．无最大值而有最小值C．有最大值而无最小值 D．有最大值也有最小值二、填空题15．已知a>b>1，，n在直线＋＝1位于第一象限内的图象上运动，则og2m＋og2n的最大值是________．三、解答题17．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入台是自然数且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值不含运费成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用写出你的结论，并说明理由．*、b、c都是正数，求证：a＋错误!，b＋错误!，c＋错误!三个数中至少有一个不小于2详解答案1[答案] B[解析]∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜错误!，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2错误!，∴ab＜错误!，∴a2＋b2＝a＋b2－2ab＝1－2ab＞1－错误!＝错误!，即a2＋b2＞错误!故选B解法2：特值检验法：取a＝错误!，b＝错误!，则2ab＝错误!，a2＋b2＝错误!，∵错误!＞错误!＞错误!＞错误!，∴a2＋b2最大．2[答案] C[解析]∵＜错误!，∴4－5＜0，＝4－2＋错误!＝4－5＋错误!＋3＝3－错误!≤3－2＝1，等号在5－4＝错误!，即＝1时成立，故选C3[答案] C[解析]∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，A2－B2＝a＋b＋2错误!－a＋b＝2错误!＞0，∴A2＞B2，∵A>0，B>0，∴A＞B[点评]可取特值检验．4[答案] B[解析]∵这两年的平均增长率为∴A1＋2＝A1＋a1＋b，∴1＋2＝1＋a1＋b，由题设a＞0，b＞0∴1＋＝错误!≤错误!＝1＋错误!，∴≤错误!，等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B5[答案] B[解析]根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2＋错误!＋错误!≥4当a＝b＝错误!时“＝”成立．故选B6[答案] D[解析]解法1：∵02ab，a＋b>2错误!，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D解法2：取a＝错误!，b＝错误!，则a2＋b2＝错误!，2错误!＝错误!，2ab＝错误!，a＋b＝错误!，显然错误!最大．7[答案]错误![解析]∵00，∴1－≤[错误!]2＝错误!，等号在＝1－，即＝错误!时成立，∴所求最大值为错误!8[答案]>>[解析]∵a>0，∴2错误!错误!>错误!，即>>9[答案]错误!ogat≤oga错误![解析]∵a2＋a－2>0，∴a1，又a>0，∴a>1，∵t>0，∴错误!≥错误!，∴oga错误!≥oga错误!＝错误!ogat10[解析]不对．设左右臂长分别为1，2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a、b，真实重量为G，则由杠杆平衡原理有：1·G＝2·a，①2·G＝1·b，②①×②得G2＝ab，∴G＝错误!，由于1≠2，故a≠b，由均值不等式错误!＞错误!知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数11[答案] A[解析]∵0，∴错误!>0，∴错误!＋错误!≥2错误!＝214[答案] C[解析]∵00，oga>0，1＝oga·oga≤错误!2＝[错误!oga]2＝oga错误!2，∵00，∴oga错误!≥1，∴00，n>0∴mn≤错误!2＝错误!，当且仅当m＝n＝错误!时等号成立．∴og2m＋og2n＝og2mn≤og2错误!＝－2∴og2m＋og2n的最大值为－217[解析]设总费用为元＞0，且将题中正比例函数的比例系数设为，则＝错误!×400＋2 000，依条件，当＝400时，＝43 600，可得＝5%，故有＝错误!＋100≥2错误!＝24 000元．当且仅当错误!＝100，即＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．18[解析]假设a＋错误!，b＋错误!，c＋错误!都小于2，即a＋错误!<2，b＋错误!<2，c＋错误! <2，则a＋错误!＋b＋错误!＋c＋错误!<6，当a、b、c都是正数时，a＋错误!＋b＋错误!＋c＋错误!＝a＋错误!＋b＋错误!＋c＋错误!≥2错误!＋2错误!＋2错误!＝6与上式矛盾．∴a＋错误!，b＋错误!，c＋错误!至少有一个不小于2。
吉林省长白山保护开发区2022学年高中数学 第三章同步检测3-3-2 新人教A版必修5
3-3-2基础巩固强化一、选择题1．设2＋2≤1表示的平面区域对应点集为M||＋||≤1表示的平面区域对应点集为N，则M与N的关系是A．M N B．M NC．M＝N D．M与N无包含关系2．点1,2和点－1,3在直线2＋a－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是A．a1C．a1 D．－错误!2a2a错误!32a3a2a0，则由＝a－知C点一定不是最优解，∴a<0；＝a－在C点取最优解，则一定是的最小值点，∵AC＝－错误!，BC＝－错误!，∴－错误!≤a≤－错误!结合选项可知选B[点评]①当a＝－错误!或－错误!时，最优解有无穷多个，它们都包括C错误!，错误!，故本题若是填空题应包括区间端点，填[－错误!，－错误!]．②由于C是最优解，故不可能有a＞＞0时最优解应在A和B处获得．12[答案] A[解析]作出区域D，联系指数函数＝a的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点2,9时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．13[答案] B[解析]不等式－2≤0表示直线－2＝0的右下方区域含边界，＋2＋3＞0表示直线＋2＋3＝0右上方区域不含边界，5＋3－5＜0表示直线5＋3－5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC区域．可求得A－错误!，－错误!，B错误!，错误!，C错误!，－错误!，所以△ABC区域内的点，满足－错误!≤＜错误!，－错误!＜＜错误!∵，∈Z，∴0≤≤2，－2≤≤0，且，∈Z经检验，共有三个整点0,0，1，－1，2，－2．14[答案] C[解析]本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．由错误!画出可行域如图．令＝0画出0：＋2＝0，平移0至其过A点时最小，由错误!，得A－1，－2，∴min＝－1＋2×－2＝－5[点评]画可行域时使用“直线定界，特殊点定域”的方法．15[答案]19[解析]可行域如图．当直线＝－错误!＋错误!经过直线＝3与＋2＝8交点2,3时，取最大值ma＝19[点评]本题中须据直线＋2＝8的斜率1＝－错误!与直线2＋5＝的斜率2＝－错误!比较大小．1＜2以确定经过哪个点时取最大值．注意直线的斜率＞0时．逆时针方向旋转斜率由小变大．＜0时，逆时针方向旋转．斜率也是由小变大．即直线与轴夹角越大，斜率的绝对值越大．16[答案]错误![解析]作出可行域为如图所求的△ABC及其内部，错误!表示可行域内的点，与原点连线的斜率，由图可知，OB≤t≤OC，由错误!得B5,2，易知C1，错误!，∴OB＝错误!，OC＝错误!，∴错误!≤t≤错误!，故t的最小值为错误!17[解析]不等式＜3表示直线＝3左侧点的集合．不等式2≥，即－2≤0表示直线－2＝0上及左上方点的集合．不等式3＋2≥6，即3＋2－6≥0表示直线3＋2－6＝0上及右上方点的集合．不等式3＜＋9即－3＋9＞0表示直线－3＋9＝0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域为如图阴影部分．因为平面区域为四边形形状，设顶点分别为A、B、C、D，如图．可知A0,3、B错误!，错误!、C3，错误!、D3,4S四边形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB＝错误!OA＋DE·OE－错误!OE·CE－错误!OA·B＝错误!3＋4×3－错误!×3×错误!－错误!×3×错误!＝6[点评]本题求平面区域面积的方法还有：把四边形ABCD分割成两个三角形，如△ABC和△ACD，再求面积．即利用割补的办法转化成能求面积的几何图形去求解．18[解析]设每天派出A型车辆、B型车辆则错误!即错误!画出平面区域为图中阴影部分：。
吉林省长白山保护开发区2022学年高一数学 第三章同步检测3-1-1
3-1-1同步检测一、选择题1．已知函数f在区间[a，b]上单调，且fa·fb0，f20，f2的零点个数为A．0 B．1C．2 D．39．若函数f＝2－a＋b的两个零点是2和3，则函数g＝b2－a－1的零点是A．－1和错误! B．1和－错误!和错误!D．－错误!和－错误!二、填空题10．已知函数f在定义域R上的图象如图所示，则函数f在区间R上有________个零点．11．上海大学附中2022～2022高一期末方程10＋－2＝0解的个数为________．12．已知函数f＝3m－4，若在[－2,0]上存在0，使f0＝0，则m的取值范围是______________．13．函数f＝a2＋2a＋ca≠0的一个零点为1，则它的另一个零点是____________．三、解答题14．若方程a2－－1＝0在0,1内恰有一解，求实数a的取值范围．15．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．1f＝－82＋7＋1；2f＝2＋＋2；3f＝错误!；4f9＝3＋1－7；5f＝og52－3．16．关于的方程m2＋2m＋3＋2m＋14＝0有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．17．已知函数f＝2－2，问方程f＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么详解答案1[答案] B2[答案] B3[答案] D4[答案] D[解析]A：32－4＋5＝0的判别式Δ0，∴f1·f20，f20，故函数f有两个零点．9[答案] B[解析]由于f＝2－a＋b有两个零点2和3，∴a＝5，b＝6∴g＝62－5－1有两个零点1和－错误!10[答案] 311[答案] 1[解析]画函数＝10与＝2－的图象，只有一个交点，故方程只有一解．12[答案]－∞，－错误!][解析]∵f在[－2,0]上存在0，使f0＝0，∴－6m－4－4≤0，解得m≤－错误!∴实数m的取值范围是－∞，－错误!]．13[答案]－3[解析]设另一个零点为1，则1＋1＝－2，∴1＝－314[解析]∵方程a2－－1＝0在0,1内恰有一解，即函数f＝a2－－1在0,1内恰有一个零点，∴f0·f12故a的取值范围为2，＋∞．15[解析]1因为f＝－82＋7＋1＝－8＋1－1，令f＝0，解得＝－错误!或＝1，所以函数的零点为－错误!和12令2＋＋2＝0，因为Δ＝－12－4×1×2＝－72m解得－错误!0，而函数f＝2－2的图象是连续曲线，所以f在区间[－1,0]内有零点，即方程f＝0在区间[－1,0]内有解．。
吉林省长白山保护开发区2022学年高一数学 第三章同步检测3-1-2
3-1-2同步检测一、选择题1．如下四个函数的图象，适合用二分法求交点横坐标的是2．在用二分法求函数f在区间a，b上的唯一零点0的过程中，取区间a，b上的中点c＝错误!，若fc＝0，则函数f在区间a，b上的唯一零点0A．在区间a，c内B．在区间c，b内C．在区间a，c或c，d内D．等于错误!3．已知函数＝f的图象是连续不间断的，，f对应值表如下：1 2 3 4 5 6f －－－则函数＝f存在零点的区间有A．区间[1,2]和[2,3]B．区间[2,3]和[3,4]C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]4．f＝4－15，下列结论中正确的有①f＝0在1,2内有一实根；②f＝0在－2，－1内有一实根；③没有大于2的零点；④f＝0没有小于－2的根；⑤f＝0有四个实根．A．2个B．3个C．4个D．5个5．某方程在区间2,4内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分次后，所得近似值的精确度可达到A．2 B．3 C．4 D．56．已知函数f＝错误!－og2，若实数0是函数f的零点，且00，可得其中一个零点0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为A．0,，f B．0,1，fC．,1f D．0,，f二、填空题9．若函数f＝3＋2－2－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：f1＝－2 f＝f≈－f≈－f≈f≈－那么方程3＋2－2－2＝0的一个近似的正数根精确度为________．10．已知二次函数f＝2－－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f1＝－60，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取1,4的中点a，则fa＝________ 11．用二分法求方程3－2－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点0＝，那么下一个有根区间是______________．12．用二分法求方程f＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f0，f 5og21，即f1>0，故选A7[答案] B[解析]根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|an－bn|0，∴下一个有根区间是2,．12[答案]答案不唯一[解析]因为|－|＝0，所以函数在0,1内存在零点，即方程23＋3－3＝0在0,1内有实数根．取0,1的中点，经计算f0，所以方程23＋3－3＝0在,1内有实数根．如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：a，b a，b 的中点fa fb f错误!0,1 f0 0 f0 f>0, f 0 f0 f∴函数f＝5＋－3在区间1,2有一个零点0∵函数f＝5＋－3在－∞，＋∞上是增函数证明略，∴方程5＋－3＝0在区间1,2内有唯一的实数解．取区间1,2的中点1＝，用计算器算得f≈>0，∴0∈1,．同理，可得0∈1,，0∈,，0∈,，0∈, 25，0∈, 25．由于| 25－|<，此时区间，25的两个端点精确到的近似值都是。
人教A版高中数学必修五吉林长白山保护开发区高一数第三章技能训练新
3-3-3技能训练基础巩固强化 一、选择题1．设集合U ＝{(x ，y)|x 、y ∈R}，A ＝{(x ，y)|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩∁UB 的条件是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞52．(2010·全国卷文，3)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤1x ＋y≥0x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．(2012·山东理，5)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤4，4x －y≥－1，x ＋2y≥2，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( ) A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32]4．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－35．变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥12，2x ＋9y≥36，2x ＋3y ＝24，x≥0，y≥0，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y)是( )A ．(4,5)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)6．(2010～2011·辽宁鞍山高二期中)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤4x ＋2y≤4x≥0，y≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( ) A.43B.83C ．2D ．4 二、填空题7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x≥y ，2x －y≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x2＋y2的最大值为________．9．(2011·江苏南京一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y≥0，x≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．三、解答题10．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g ，乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B 药品400 g 、C 药品240 g ．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大． 能力拓展提升 一、选择题11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y|≤1|x －y|≤1表示的平面区域内整点的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．512．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x≥1y≥0x ＋2y －3≥0，则yx 的最值是( )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值13．(2011·浙江文，3)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥02x ＋y －7≥0x≥0，y≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28 二、填空题14．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，y≤x ，y≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________．三、解答题15．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/吨和1.6 元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？16．某厂有一批长为18米的条形钢板，可以割成1.8米和1.5米长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．[分析] 能获得最大利润的下料数学语言即为：销售总值与加工费之差为最大． 详解答案 1[答案] A[解析] 由题设点P(2,3)满足2x －y ＋m ＞0和x ＋y －n ＞0，∴m ＞－1且n ＜5. 2[答案] B[解析] 先作出可行域如图．作直线x －2y ＝0在可行域内平移，当x －2y －z ＝0在y 轴上的截距最小时z 值最大． 当移至A(1，－1)时，zmax ＝1－2×(－1)＝3，故选B. 3[答案] A[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l0：3x －y ＝0，将直线平移至经过点A(2,0)处z 有最大值，经过点B(12，3)处z 有最小值，即－32≤z≤6.[点评] 对于目标函数的求解需要注意z 的几何意义及系数的正负对取值的影响．4[答案] A[解析]作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.5[答案] B[解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x ，y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C.然后按A→B→D→C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 全部满足，故选B. [点评] 本题用一般解法需先画出可行域，然后通过比较直线3x ＋2y ＝z 的斜率k ＝－32与不等式组中各直线斜率的大小找出z ＝3x ＋2y 的最小值点．解答过程较复杂，如果注意分析会发现，使z ＝3x ＋2y 最小的最优解一定在选项中，故将各选项代入z ＝3x ＋2y 中按z 值从小到大排列，然后检验是否满足不等式组即可找出此最优解，这样解答简便多了． 6[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A(43，43)， ∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且zmax ＝83.7[答案] 5[解析] 作出可行域如图，当直线z ＝3x ＋2y 平移到经过点(1,1)时，z 最大∴zmax ＝5.[解析]画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．由图知，A(－3，－4)，B(－3,2)，C(3,2)，则|OA|＝9＋16＝5，|OB|＝9＋4＝13，|OC|＝9＋4＝13.设P(x，y)是不等式组表示的平面区域内任意一点，则x2＋y2＝(x2＋y2)2＝|OP|2，由图知，|OP|的最大值是|OA|＝5，则x2＋y2最大值为|OA|2＝25. 9[答案]－1[解析]画出可行域如图中阴影部分所示．由图知，z 是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(－1,1)时，z 取最小值，此时x ＝－1，y ＝1，则z 的最小值是zmin ＝2x ＋y ＝－2＋1＝－1.10[解析] 设每天生产甲种烟花x 枚，乙种烟花y 枚，获利为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤120，4x ＋11y≤400，4x ＋6y≤240，x≥0y≥0，作出可行域如图所示．目标函数为：z ＝2x ＋y.作直线l ：2x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z ＝2x ＋y 取最大值． 故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润. 11[答案] D[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y|≤1|x －y|≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y≤1－1≤x －y≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1x ＋y≥－1x －y≤1x －y≥－1作出其平面区域如图．可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．12[答案] C[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x≥1y≥0x ＋2y －3≥0表示的平面区域如图．yx 表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A(1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C. 13[答案] A[解析] 作出可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ∴y ＝－34x ＋z4求z 的最小值，即求直线y ＝－34x ＋z4截距的最小值．经讨论知点M 为最优解，即为直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点，解之得M(3,1)． ∴zmin ＝9＋4＝13.14[答案] 2[解析] 可行域如图，当直线z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 经过点A(1,0)时，zmax ＝2.15[解析] 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费 z ＝x ＋1.5(200－x)＋0.8y ＋1.6(260－y)(万元)即z ＝716－0.5x －0.8y.x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0200－x≥0，260－y≥0，x ＋y≤280，－＋－， 即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2000≤y≤260100≤x ＋y≤280， 作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)．把直线l0：5x＋8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．∵点M的坐标为(20,260)，∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．16[解析]设割成的1.8米和1.5米长的零件分别为x个、y个，利润为z元，则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且⎩⎪⎨⎪⎧ 1.8x ＋1.5y≤18x ＋0.6y≤8x 、y ∈N， 作出不等式组表示的平面区域如图，又由⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ＝18x ＋0.6y ＝8， 解出x ＝207，y ＝607，∴M(207，607)，∵x 、y 为自然数，在可行区域内找出与M 最近的点为(3,8)，此时z ＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)． 又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z ＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；过顶点(8,0)的直线使z ＝19×8＋14.4×0＝152(元)．∴当x ＝0，y ＝12时，z ＝172.8元为最大值．答：只要截1.5米长的零件12个，就能获得最大利润．。
人教A版高中数学必修五吉林长白山保护开发区高一数第三章技能训练新(4)
3-4-3技能训练基础巩固强化 一、选择题1．a ，b ∈R ＋，则a ＋b 2，ab ，2aba ＋b 三个数的大小顺序是( )A.a ＋b 2≤ab ≤2ab a ＋bB.ab ≤a ＋b 2≤2ab a ＋bC.2aba ＋b ≤ab ≤a ＋b 2 D.ab ≤2ab a ＋b ≤a ＋b22．(2012·浙江文，9)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．63．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 4．(2011·山东潍坊一中期末)设a ，b 是两个实数，且a≠b ，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a －b －1)，③a b ＋ba >2.上述三个式子恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．(2010～2011·福建省福州市高二期中)设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则( ) A ．a11＝b11 B ．a11>b11 C ．a11<b11 D ．a11≥b116．设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab>2ab a ＋b ；②a>|a －b|－b ；③a2＋b2>4ab －3b2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 二、填空题7．建造一个容积为8m3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元． 8．已知2x ＋3y ＝2(x>0，y>0)，则xy 的最小值是________．9．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________． 三、解答题10．已知：a 、b 、c 同号且互不相等，a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c >9. 能力拓展提升 一、选择题11．设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足1a ＋9b ＝1，则使a ＋b≥c 恒成立的c 的取值范围是( ) A ．(0,8] B ．(0,10] C ．(0,12] D ．(0,16]12．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为RA 、RB ，则RA 与RB 的大小关系是( )A ．RA>RB B ．RA ＝RBC ．RA<RBD ．不确定13．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等差数列，则∠B 的范围是( )A ．(0，π6]B ．(0，π3] C ．(π6，π] D ．(π3，π]14．若A ＝asin2x ＋bcos2x ，B ＝acos2x ＋bsin2x(a 、b 、x ∈R)，则m ＝AB ，n ＝ab ，p ＝A2＋B2，z ＝a2＋b2满足( )A ．m≥n ，p≥zB ．m≤n ，p≤zC ．mn≥pzD ．m ＋z≥p ＋n 二、填空题15．函数y ＝loga(x ＋3)－1(a>1，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn>0，则1m ＋2n 的最小值为________． 三、解答题16．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋c.*17.某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．详解答案 1[答案] C[解析] 取a ＝2，b ＝8，则a ＋b 2＝5，ab ＝4，2aba ＋b ＝3.2∴选C.比较如下：已知a ＋b 2≥ab ，又ab －2aba ＋b＝ab a ＋b －2aba ＋b＝aba －b 2a ＋b≥0∴ab ≥2ab a ＋b .也可作商比较ab 2ab a ＋b ＝a ＋b2ab≥1.2[答案] C[解析] 本题考查了均值不等式的应用．由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5，当且仅当3x 5y ＝12y5x 时，得到最小值5.[点评] 均值不等式的应用一定要注意成立的条件“一正，二定，三相等”．否则很容易这样解造成错误，∵x ＋3y ＝5xy≥2x·3y ，∴xy≥1225， ∴3x ＋4y≥212xy ≥212·1225＝245，错因是两次等号不能同时取得．3[答案] D[解析] 设等比数列的公比为x(x≠0)，则有 S3＝x ＋1＋1x (x≠0)，∵当x>0时，x ＋1x ≥2；x<0时，x ＋1x ≤－2，∴S3＝x ＋1＋1x 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.4[答案] B[解析] ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a －b)2(a ＋b)(a2＋ab ＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a －b －1)＝a2－2a ＋b2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a >2或a b ＋ba <－2，故选B. 5[答案] D[解析] ∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝a1＋a212＝b1＋b212≥b1b21＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}，{bn}均为常数列，故选D. 6[答案] D[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b≥2ab ，∴2aba ＋b≤1，∴2aba ＋b≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab ≥22>2恒成立，故选D. 7[答案] 1760[解析] 设水池池底的一边长为 xm ，则另一边长为4x m ，则总造价为： y ＝480＋80×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x≥480＋320×2x×4x ＝1 760.当且仅当x ＝4x 即x ＝2时，y 取最小值1 760. 所以水池的最低总造价为1 760元． 8[答案] 6[分析] 此类题一般利用基本不等式转化为xy 的不等式求解． [解析] 2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤2，∴xy≥6.9[答案] 3[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P(x ，y)，则AB 方程为x 3＋y4＝1，∵x ，y ∈R ＋，∴1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy≤3.10[解析] 左边＝1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc ＝1＋b a ＋c a ＋1＋a b ＋c b ＋1＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋bc )＋3，∵a ＋b ＋c ＝1且a 、b 、c 同号．∴a>0，b>0，c>0，∴b a ，a b ，c a ，a c ，c b ，b c 均大于0，又a ，b ，c 互不相等，由基本不等式得a b ＋b a >2，a c ＋c a >2，c b ＋b c >2于是，左边>2＋2＋2＋3＝9， ∴1a ＋1b ＋1c >9. 11[答案] D[解析] 解法1：∵a 、b 都是正实数，且1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)·⎝⎛⎭⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9ab ≥10＋2b a ·9ab ＝16，当且仅当b a ＝9ab 即b ＝3a 时等号成立， 此时a ＝4，b ＝12，∴(a ＋b)min ＝16. ∵a ＋b≥c 恒成立，∴0<c≤16. 解法2：由1a ＋9b ＝1得b ＋9a ＝ab ， ∴(a －1)(b －9)＝9， 又∵1a ＋9b ＝1，a>0，b>0， ∴a>1，b>9， ∴(a －1)(b －9)≤⎣⎡⎦⎤a －1＋b －92 2∴a ＋b≥16，等号在a －1＝b －9＝3时成立，∴要使a ＋b≥c 恒成立，应有0<c≤16. 12[答案] A[解析] RA ＝R1＋R22，RB ＝2R1R2R1＋R2，RA －RB ＝R1＋R22－2R1R2R1＋R2＝R1＋R22－4R1R22R1＋R2＝R1－R222R1＋R2>0，所以RA>RB.13[答案] B[解析] ∵a 、b 、c 成等差数列，∴b ＝a ＋c2. ∵cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋c2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 222ac＝3a2＋3c2－2ac8ac≥23a2·3c2－2ac 8ac＝6ac －2ac 8ac ＝12(等号在a ＝c 时成立)． 又∵y ＝cosx 在(0，π)内是减函数，∴0<B≤π3. 14[答案] D[解析] AB ＝(a2＋b2)sin2xcos2x ＋ab(sin4x ＋cos4x) ＝ab ＋(a －b)2sin2xcos2x≥ab ，∴m≥n ，p ＝A2＋B2＝(A ＋B)2－2AB ＝(a ＋b)2－2AB ， z ＝a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ，∴p≤z ， ∴m ＋z≥p ＋n. 15[答案] 8[解析] ∵y ＝loga(x ＋3)－1，恒过点(－2，－1)， ∴A(－2，－1)，又点A 在直线上， ∴－2m －n ＋1＝0.即2m ＋n ＝1. 又mn>0，∴m>0，n>0.而1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋2＋4mn ≥4＋24＝8.当n ＝12，m ＝14时取“＝”．∴1m ＋2n 的最小值为8. 16[解析] ∵a ，b ，c ∈R ＋，a2b ，b2c ，c2a 均大于0， 又a2b ＋b≥2a2b ·b ＝2a ， b2c ＋c≥2b2c ·c ＝2b ， c2a ＋a≥2c2a ·a ＝2c ， 三式相加得a2b ＋b ＋b2c ＋c ＋c2a ＋a≥2a ＋2b ＋2c ， ∴a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋c.17[解析] (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意知，面粉的保管等其它费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y1元，则 y1＝1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1800 ＝900x ＋9x ＋10809 ≥2900x ·9x ＋10809＝10989. 当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则 y2＝1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1800×0.90 ＝900x ＋9x ＋9729(x≥35)，令f(x)＝x ＋100x (x≥35)，x2>x1≥35，则 f(x1)－f(x2)＝⎝⎛⎭⎫x1＋100x1－⎝⎛⎭⎫x2＋100x2＝x2－x1100－x1x2x1x2， ∵x2>x1≥35.∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0. ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)．即f(x)＝x ＋100x ，当x≥35时为增函数． ∴当x ＝35时，f(x)有最小值，此时y2<10989， ∴该厂应该接受此优惠条件．。
人教A版高中数学必修五吉林长白山保护开发区高一数第三章技能训练新(2)
3-3-1技能训练基础巩固强化一、选择题1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x ，x ＋y≤1y≥3.，表示的区域为D ，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则( )A ．P1∉D ，P2∉DB ．P1∉D ，P2∈DC ．P1∈D ，P2∉D D ．P1∈D ，P2∈D 3．(2011·厦门高二检测)已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x0＋2y0>0 B ．3x0＋2y0<0 C ．3x0＋2y0<8 D ．3x0＋2y0>84．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0 5．不等式x2－y2≥0表示的平面区域是( )6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋＋y ＋－1≤x≤4表示的平面区域是( )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形 二、填空题7．不等式|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域内包含点(0,0)和点(－1,1)，则m 的取值范围是________．8．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．9．点P(1，a)到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________. 三、解答题10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y≥0y≤3x ＜5表示的平面区域．能力拓展提升一、选择题11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y≥0x≤3表示的平面区域的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．144 12．(2011·北京高二检测)在平面直角坐标系中，若点A(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)13．(2011·吉安高二检测)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋＋0≤x≤3表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角梯形C ．梯形D ．矩形14．横坐标与纵坐标都是整数的点称作整点．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＜12x －y≤－1y≥0表示的平面区域内整点个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 二、填空题15．△ABC 顶点坐标为：A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)，写出表示△ABC 所在区域的二元一次不等式组(包括边界)________．16．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x≤1x －y ＋1≥02x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是________．三、解答题17．经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A(1，－2)、B(2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围． 详解答案 1[答案] D[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x ＋2y ＜6. 2[答案] A[解析] P1点不满足y≥3.P2点不满足y ＜x.∴选A. 3[答案] D[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x0＋2y0－8>0. 4[答案] A[解析] 取原点O(0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D.O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C. ∴选A. 5[答案] B[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B. 6[答案] B [解析] 如图∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤4后表示的区域如图(2)．[点评] 一般地(a1x ＋b1y ＋c)(a2x ＋b2y ＋c)≥0(ai ，bi 不同时为0，i ＝1,2)表示一对顶区域． 7[答案] 0＜m ＜3[解析] 将点(0,0)和(－1,1)代入不等式中解出0＜m ＜3. 8[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜39[答案] 3[解析] 由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0， ∴a ＞0，∴a ＝3.10[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y≥0y≤3x ＜5表示的平面区域为如图阴影部分.11[答案] B[解析] 作出平面区域如图．交点A(－3,3)、B(3、9)、C(3，－3)， ∴S △ABC ＝12[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.12[答案] B[解析] 在直线方程x －2y ＋4＝0中，令x ＝－2，则y ＝1，则点P(－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上，又点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方，如图知，t 的取值范围是t>1，故选B.13[答案] C[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y)＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y)≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形． 14[答案] D[解析] 可行域如图，可求得A(－1,0)、B(3,0)、C(97、167)，∴可行域内的整点有：(－1,0)、(0,0)、(1,0)、(2,0)． (0,1)、(1,1)、(2,1)、(1,2)，故选D. 15[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0[解析] 如图所示．可求得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0. 由于△ABC 所在区域Ω在直线AB 的右上方，∴x ＋2y －1≥0； Ω在直线BC 右下方，∴x －y ＋2≥0； Ω在直线AC 左下方，∴2x ＋y －5≤0，所以△ABC 区域可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.16[答案] 6[解析] 作出平面区域如图△ABC ，A(－1,0)、B(1,2)、C(1，－4)，S △ABC ＝12·|BC|·d ＝12×6×2＝6.(d 表示A 到直线BC 的距离．)17[解析] 由题意知直线l 斜率存在，设为k. 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题知：A 、B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有： (k ＋1)(2k －2)≤0∴－1≤k≤1. [点评]另外参考解法有①kPA≤k≤kPB.数形结合法．②直线l ：y ＝kx －1，与线段AB ：y ＝3x －5(1≤x≤2)有公共点∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1y ＝3x －5在1≤x≤2上有解．消去y 得，x ＝43－k ，∴1≤43－k ≤2，∴－1≤k≤1.都不如原解法简便．。
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3-4-2技能训练基础巩固强化 一、选择题1．已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是( ) A ．10 B ．25C ．5D ．2102．已知m ，n ∈R ，m2＋n2＝100，则mn 的最大值是( ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．103．设x 、y 满足x ＋4y ＝40，且x ，y 都是正数，则lgx ＋lgy 的最大值为( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．24．实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( ) A ．18 B ．12 C ．2 3D.435．(2011·东北育才期末、辽宁大连市联考、辽宁省实验中学期末)若a>0，b>0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D.1a2＋b2≤18 6．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 二、填空题7．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．8．已知不等式(x ＋y)(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________． 9．已知：a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b ＝1，x2＋y2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________． 三、解答题10．已知正常数a 、b 和正变数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．能力拓展提升 一、选择题11．若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b>0)过圆x2＋y2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b 的最小值为( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．2012．已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a2－1⎝⎛⎭⎫1b2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．913．若直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( ) A.14 B.12 C ．2D ．414．(2009·天津)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1.若ax ＝by ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12 二、填空题15．已知x ，y 为正数，且x2＋y22＝1，则x 1＋y2的最大值是______．16．一批救灾物资随17列火车以v 千米/小时的速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于(v20)2千米，则这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．三、解答题17．设x ＋y ≤k x ＋y 对一切x ，y ∈R ＋都成立，求k 的最小值．18．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？详解答案 1[答案] D[解析] a ＋b≥2ab ＝210，等号在a ＝b ＝10时成立，∴选D. 2[答案] B[解析] 由m2＋n2≥2mn 得，mn≤m2＋n22＝50，等号在m ＝n ＝52时成立，故选B. 3[答案] D[解析] ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y≥24xy ＝4xy ∴xy≤100.∴lgx ＋lgy ＝lg(xy)≤lg100＝2.等号在x ＝4y ＝20，即x ＝20，y ＝5时成立． 4[答案] A[解析] ∵x ＋2y ＝4，∴3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x·32y ＝23x ＋2y ＝234＝18， 等号在3x ＝32y 即x ＝2y 时成立．∵x ＋2y ＝4，∴x ＝2，y ＝1时取到最小值18. 5[答案] D[解析] ∵a>0，b>0，a ＋b ＝4，∴ab ≤a ＋b2＝2， ∴ab≤4，∴1ab ≥14，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，故A 、B 、C 均错，选D.[点评] 对于D 有，a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴1a2＋b2≤18.6[答案] B[解析] ∵2a>0,2b>0，a ＋b ＝3，∴2a ＋2b≥22a·2b ＝22a ＋b ＝223＝42，等号成立时，2a ＝2b ，∴a ＝b ＝32. 7[答案] 6 4[解析] 设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60. 1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·4x ＋9y 60 ＝160(13＋4x y ＋9y x ) ≥160(13＋24x y ·9y x )＝160×(13＋12)＝512.当且仅当4x y ＝9y x ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时等号成立，故应填6和4.8[答案] 4[解析] ∵a>0，∴(x ＋y)(1x ＋ay ) ＝1＋a ＋y x ＋xay ≥1＋a ＋2a ， 由条件知a ＋2a ＋1＝9，∴a ＝4. 9[答案] ab≥xy[解析] ab ＝ab·(1a ＋1b )＝a ＋b≥2ab ， ∴ab≥4，等号在a ＝2，b ＝2时成立，xy≤x2＋y22＝4，等号在x ＝y ＝2时成立，∴ab≥xy. 10[解析] x ＋y ＝(x ＋y)·1＝(x ＋y)·(a x ＋by ) ＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b)2， 等号在ay x ＝bx y 即y x ＝ba 时成立，∴x ＋y 的最小值为(a ＋b)2＝18， 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a ，b 是方程x2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 11[答案] C[解析] ∵圆心(－4，－1)在所给直线上， ∴4a ＋b ＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(4a ＋b)＝8＋b a ＋16a b≥8＋216＝16.等号在b a ＝16a b ，即a ＝18，b ＝12时成立，故选C. 12[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝1，a>0，b>0， ∴ab≤14，等号在a ＝b ＝12时成立．∴⎝⎛⎭⎫1a2－1⎝⎛⎭⎫1b2－1＝1－a2a2·1－b2b2 ＝＋a2·＋b2＝＋＋ab＝2＋ab ab ＝2ab ＋1≥214＋1＝9，故选D.13[答案] D[解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b)＝1＋1＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4 (等号在a ＝b ＝12时成立)．故所求最小值为4，选D.14[答案] C[解析] ∵ax ＝by ＝3，∴x ＝loga3，y ＝logb3， 又a ＋b≥2ab ，∴ab≤(a ＋b2)2＝3. ∴1x ＋1y ＝log3a ＋log3b ＝log3(ab)≤1.故选C. 15[答案]324[解析] 解法1：∵x2＋y22＝1，∴y2＝2－2x2. 又x ，y ∈R ＋， ∴x 1＋y2＝＋＝－＝12－≤22·2x2＋－2＝324，等号在2x2＝3－2x2，即x ＝32，y ＝22时成立． 解法2 ：∵x ＞0，∴x 1＋y2＝2·12＋y22)，又x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝32，12＋y22≤x2＋12＋y222＝34，∴x 1＋y2≤324.等号在x2＝12＋y22，即y ＝22，x ＝32时成立． 即(x 1＋y2)max ＝324. 16[答案] 8[解析] 物资全部运到灾区需t ＝400＋v 20v＝400v ＋v 25≥8小时，等号成立时，400v ＝v25，即v ＝100. 故最少要用8小时17[解析] ∵x ，y ∈R ＋时，x ＋y ≤k x ＋y 恒成立，即k≥x ＋y x ＋y恒成立，令p ＝x ＋y x ＋y，只要k≥pmax 即可，下面求pmax ， ∵p2＝x ＋y ＋2xyx ＋y≤2(等号在x ＝y 时成立)∴p≤2，从而k≥ 2.∴k 的最小值为 2.18[解析] (1)设正面铁栅长xm ，侧面长为ym ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy.由条件知z≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy≤320. ∵x>0，y>0，∴4x ＋9y≥24x·9y ＝12xy.∴6S ＋S≤160，即(S)2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S≤100. 故S 的取值范围是(0,100]．(2)当S ＝100m2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100m2时，正面铁栅长15m.。
人教A版高中数学必修五吉林长白山保护开发区高一数第三章技能训练新(1)(1)(1)
3-1-2技能训练基础巩固强化一、选择题1．设a ＋b<0，且a>0，则( )A ．a2<－ab<b2B ．b2<－ab<a2C ．a2<b2<－abD ．ab<b2<a22．已知a2＋a ＜0，那么a ，a2，－a ，－a2的大小关系是( ) A ．a2＞a ＞－a2＞－a B ．－a ＞a2＞－a2＞a C ．－a ＞a2＞a ＞－a2 D ．a2＞－a ＞a ＞－a23．如果a ＞0，且a≠1，M ＝loga(a3＋1)，N ＝loga(a2＋1)，那么( ) A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定4．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1 B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1a D.2a ＋b a ＋2b >a b5．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a|＞|b|；③a ＜b ；④b a ＋ab ＞2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．(2010～2011·醴陵二中、四中联考)下列结论中正确的是( ) A ．若a>b ，c>d ，则a ＋c>b ＋d B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －d D ．若a>b ，c>d ，则a c >bd 二、填空题7．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则a d 与bc 的大小关系是________．8．给出四个条件：①b>0>a ；②0>a>b ；③a>0>b ；④a>b>0.其中能推出1a <1b 成立的是________． 9．给出下列结论：①|a|>b ⇒a2>b2; ②a>|b|⇒a2>b2； ③a2>b2⇒a>b; ④a2>b2⇒|a|>|b|. 其中正确结论的序号是________． 三、解答题10．实数a 、b 、c 、d 满足下列三个条件： ①d>c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d<b ＋c.请将a 、b 、c 、d 按照从大到小的次序排列，并证明你的结论． 能力拓展提升 一、选择题11．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A ．(－π，π)B ．(0，π)C ．(－π，0)D ．{0} 12．(2011·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3，x1，x2，x3∈R ，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0 D ．正负都有可能 13．(2011·蚌埠高二检测)若a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0，下列不等式恒成立的是( ) A ．ac>bc B ．ab>acC ．a|b|>c|b|D ．a2>b2>c214．已知三个不等式：ab>0，bc －ad>0，c a －db >0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题*15.设A ＝log201120121111＋120122222＋1，B ＝log201120122222＋120123333＋1，则A 与B 的大小关系为________．16．设a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则p ＝b a ，q ＝ab ，r ＝b ＋m a ＋m ，s ＝a ＋n b ＋n 的大小顺序是________．三、解答题17．老丁同时收到甲、乙两家公司的聘用通知，甲公司给出的年薪为24 000元，且以后每年都比上一年增加年薪800元，乙公司给出的年薪为18 000元，且以后每年都比上一年增加年薪1 550元．如果老丁对甲、乙两公司的满意度相同，请你给老丁出出主意，他该去哪家公司应聘？18．已知a 、b 、c 满足：a 、b 、c ∈R ＋，a2＋b2＝c2，当n ∈N ，n>2时，比较cn 与an ＋bn 的大小．详解答案 1[答案] A[解析] ∵a ＋b<0，且a>0，∴0<a<－b ， ∴a2<－ab<b2. 2[答案] B[解析] ∵a2＋a<0，∴0<a2<－a ，∴0>－a2>a ， ∴a<－a2<a2<－a ，故选B.[点评] 可取特值检验，∵a2＋a<0，即a(a ＋1)<0，令a ＝－12，则a2＝14，－a2＝－14，－a ＝12，∴12>14>－14>－12，即－a>a2>－a2>a ，排除A 、C 、D ，选B. 3[答案] A[解析] M －N ＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaa3＋1a2＋1，若a>1，则a3>a2，∴a3＋1a2＋1>1，∴logaa3＋1a2＋1>0，∴M>N ，若0<a<1，则0<a3<a2，∴0<a3＋1<a2＋1，∴0<a3＋1a2＋1<1，∴loga a3＋1a2＋1>0，∴M>N ，故选A. 4[答案] C[解析] 解法1：由a>b>0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a ，故选C.解法2：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B. 5[答案] B[解析] ∵1a ＜1b ＜0，∴a ＜0，b ＜0，a ＞b ，故③错； ∴ab ＞0，∴a ＋b<0<ab ，故①成立； 又0＞a ＞b ，∴|a|＜|b|.∴②错； ∵b a ＋a b ＝b2＋a2ab ＝－＋2abab＝－ab＋2且a －b ＜0，ab ＞0，∴b a ＋ab ＞2，∴④成立． ∴①④正确．选B. 6[答案] A[解析] 由不等式的性质知A 正确．[点评] 要注意不等式性质中条件的把握． 7[答案]a d ＞b c[解析] ∵c ＞d ＞0，∴1d ＞1c ＞0， ∵a ＞b ＞0，∴ad ＞bc ＞0， ∴a d ＞b c .8[答案] ①②④[解析] ①b>0>a 时，∵a<0，∴1a <0， ∵b>0，∴1b >0，∴1a <1b ；②0>a>b 时，由a<0，b<0得1ab >0，∴1b >1a ， 即1a <1b ；④a>b>0时，∵a>0，b>0，∴1ab >0，∴1b >1a ， 即1a <1b ；③a>0>b 时，∵a>0，∴1a >0，∵b<0，∴1b <0，∴1a >1b .9[答案] ②④[解析] 取a ＝2，b ＝－3，知①错； 由a>|b|知，|a|>|b|≥0， ∴a2>b2，∴②正确；由a2>b2，知|a|>|b|，∴④对，③错． 10[解析]⎭⎪⎬⎪⎫③⇒d －b<c －a ②⇒c －a ＝b －d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ d －b<b －d a －c<c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d<b ，a<c.由①式得b>d>c>a.11[答案] C[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， 又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0. 12[答案] B[解析] ∵f(x)＝x3是单调递增函数，x1<－x2，x2<－x3，x3<－x1，∴f(x1)<f(－x2)，f(x2)<f(－x3)，f(x3)<f(－x1)， 又∵f(x)为奇函数，∴f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)， ∴f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0 ∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0. 13[答案] B[解析] ∵a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0， ∴a>0，c<0，∵a>b ，c<0，∴ac<bc ，故A 错；∵a>c ，|b|≥0，∴a|b|≥c|b|，因此当b ＝0时，C 错； 当|a|<|c|时，D 错．如a ＝1，b ＝0，c ＝－3； ∵b>c ，a>0，∴ab>ac ，故B 正确． 14[答案] D[解析] 设ab>0为①，bc －ad>0为②， c a －db >0为③，若①②成立，则1ab (bc －ad)>0， 即c a －db >0，即③成立； 若①③成立，则ab(c a －db )>0， 即bc －ad>0，即②成立； 若②③成立，则由③得bc －adab >0，由②bc －ad>0得ab>0，即①成立．故正确命题个数为3个，选D.[点评] 运用不等式性质时，一定要注意不等式成立的条件，若 弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论． 15[答案] A>B[解析] 设20121111＝x ，则A ＝log2011x ＋1x2＋1，B ＝log2011x2＋1x3＋1，x>1，∵x ＋1x2＋1－x2＋1x3＋1＝－＋＋>0，y ＝log2011x 为增函数，∴log2011x ＋1x2＋1>log2011x2＋1x3＋1，即A>B.16[答案] p ＜r ＜s ＜q[解析] 取a ＝4，b ＝2，m ＝3，n ＝1，则p ＝12，q ＝2，r ＝37，s ＝53则p ＜r ＜s ＜q(特值探路)． 具体比较如下： p －r ＝b a －b ＋m a ＋m＝－＋＜0，∴p ＜r ，∵a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，∴a ＋m ＞b ＋m ＞0.a ＋n ＞b ＋n ＞0， ∴b ＋m a ＋m ＜1，a ＋nb ＋n＞1，∴r ＜s ， 或r －s ＝b ＋m a ＋m －a ＋nb ＋n ＝－＋a ＋m ＋＋＋＜0.∴r ＜s ，s －q ＝a ＋n b ＋n －a b＝－＋＜0，∴s ＜q.∴p ＜r ＜s ＜q[点评] 由本题可知，小于1的正分数，分子、分母加上同一个正数后其值变大，大于1的正分数，分子、分母加上同一个正数后，其值变小．17[解析] 设第n 年甲、乙两公司给出的年薪分别为an ，bn ，则数列{an}、{bn}均为等差数列，其中a1＝24000，d ＝800，则其前n 项和An ＝24000n ＋－2×800＝400n2＋23600n ，b1＝18000，d′＝1550，则其前n 项和Bn ＝18000n ＋－2×1550＝775n2＋17225n ，令Bn －An≥0得375n2－6375n≥0，∴n≥17.答：老丁若应聘17年以下应去甲公司；应聘17年，两公司均可，若应聘17年以上，则应去乙公司．18[解析] ∵a 、b 、c ∈R ＋，∴an 、bn 、cn>0. 而an ＋bn cn ＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n.∵a2＋b2＝c2，∴0<a c <1,0<bc <1.∵n ∈N ，n>2，∴⎝⎛⎭⎫a c n<⎝⎛⎭⎫a c 2，⎝⎛⎭⎫b c n<⎝⎛⎭⎫b c 2， ∴an ＋bn cn ＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n<a2＋b2c2＝1，∴an ＋bn<cn.。
吉林省长白山保护开发区高中数学 第三章同步检测3-4-1 新人教A版必修5
3-4-1同步检测基础巩固强化一、选择题1．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a2＋b2C ．2abD ．a 2．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是( ) A ．2 B ．3C ．1 D.123．设a 、b 是正实数，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A 、B 的大小关系是( )A ．A≥B B ．A≤BC ．A ＞BD ．A ＜B4．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x≥a ＋b 25．(2009·天津)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4C ．1 D.146．若0<a<1,0<b<1，且a≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a2＋b2中最大的一个是( )A ．a2＋b2B ．2abC ．2abD ．a ＋b二、填空题7．若0<x<1，则x(1－x)的最大值为________．8．已知a 是正实数，x ＝12a ，y ＝12a ＋1，z ＝1a ＋a ＋1，则x 、y 、z 从大到小的顺序是__________．9．设正数a 使a2＋a －2＞0成立，t ＞0，比较12logat 与loga t ＋12的大小，结果为__________． 三、解答题10．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．能力拓展提升一、选择题11．设函数f(x)＝2x ＋1x－1(x<0)，则f(x)( ) A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数12．已知x>0、y>0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则a ＋b 2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．413．设a 、b ∈R ，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a2＋b2>2abB ．a ＋b≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 14．已知0＜a ＜1,0＜x≤y ＜1，且logax·logay ＝1，那么xy( )A ．无最大值也无最小值B ．无最大值而有最小值C ．有最大值而无最小值D ．有最大值也有最小值二、填空题15．已知a>b>1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(lga ＋lgb)，R ＝lg(a ＋b 2)，则P 、Q 、R 的大小关系是________． *16.设点(m ，n)在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m ＋log2n 的最大值是________．三、解答题17．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x 是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．*18.设a 、b 、c 都是正数，求证：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数中至少有一个不小于2.详解答案1[答案] B[解析] ∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12， 又∵a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，∵1＝a ＋b ＞2ab ，∴ab ＜14， ∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12， 即a2＋b2＞12.故选B. 解法2：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a2＋b2＝59， ∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大．2[答案] C[解析] ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－⎣⎡⎦⎤5－4x ＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时成立，故选C.3[答案] C[解析] ∵a ＞0，b ＞0，∴A ＞0，B ＞0，A2－B2＝(a ＋b ＋2ab)－(a ＋b)＝2ab ＞0，∴A2＞B2，∵A>0，B>0，∴A ＞B.[点评] 可取特值检验．4[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a ＞0，b ＞0.∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b2＝1＋a ＋b 2，∴x≤a ＋b2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B.5[答案] B[解析] 根据题意得3a·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋ba ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥4.当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.6[答案] D[解析] 解法1：∵0<a<1,0<b<1，∴a2＋b2>2ab ，a ＋b>2ab ，a>a2，b>b2，∴a ＋b>a2＋b2，故选D.解法2：取a ＝12，b ＝13，则a2＋b2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．7[答案] 14[解析] ∵0<x<1，∴1－x>0，∴x(1－x)≤[x ＋1－x 2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立， ∴所求最大值为14. 8[答案] x>z>y [解析] ∵a>0，∴2a<a ＋a ＋1<2a ＋1∴12a >1a ＋a ＋1>12a ＋1，即x>z>y. 9[答案] 12logat≤loga t ＋12[解析] ∵a2＋a －2>0，∴a<－2或a>1，又a>0，∴a>1，∵t>0，∴t ＋12≥t ，∴loga t ＋12≥loga t ＝12logat. 10[解析] 不对．设左右臂长分别为l1，l2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a 、b ，真实重量为G ，则由杠杆平衡原理有：l1·G ＝l2·a ，①l2·G ＝l1·b ，②①×②得G2＝ab ，∴G ＝ab ，由于l1≠l2，故a≠b ，由均值不等式a ＋b 2＞ab 知说法不对， 真实重量是两次称量结果的几何平均数.11[答案] A[解析] ∵x<0，∴f(x)＝2x ＋1x－1 ≤－2－2x －1x －1＝－22－1，等号在－2x ＝1－x，即x ＝－22时成立． ∴f(x)有最大值．12[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得a ＋b 2cd ＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·x y＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4.13[答案] D[解析] a ＝b 时，A 不成立；a ，b<0时，B 、C 都不成立，故选D.[点评] 对于D 选项，∵ab>0，∴b a >0，∴b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 14[答案] C[解析] ∵0<a<1,0<x≤y<1，∴logax>0，logay>0，1＝logax ·logay≤(logax ＋loga y 2)2＝[12loga(xy)]2＝(loga xy)2，∵0<xy<1，∴loga xy>0，∴loga xy ≥1，∴0<xy ≤a ，∴0<xy≤a2，等号在logax ＝logay 即x ＝y 时成立，∴xy 有最大值a2，在x ＝y ＝a 时取得；无最小值，选C.15[答案] P<Q<R[解析] 因为a>b>1，所以lga>lgb>0，所以12(lga ＋lgb)>lga·lgb ，即Q>P ， 又因为a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lga ＋lgb)，所以R>Q.故P<Q<R. [点评] (1)根据P 、Q 、R 式子的结构，应用重要不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．(2)若把条件改为1>a>b>0，P 、Q 、R 的大小关系怎样？16[答案] －2[解析] ∵(m ，n)在直线x ＋y ＝1位于第一象限的图象上运动，∴m ＋n ＝1且m>0，n>0.∴mn≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立． ∴log2m ＋log2n ＝log2(mn)≤log214＝－2. ∴log2m ＋log2n 的最大值为－2.17[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x×400＋k(2 000x)，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1440000x ＋100x ≥21440000x·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1440000x＝100x ，即x ＝120时取等号． 所以只需每批购入120台，可使资金够用．18[解析] 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，即a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2， 则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6， 当a 、b 、c 都是正数时，a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c) ≥2a·1a ＋2b·1b ＋2c·1c＝6与上式矛盾． ∴a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2.。
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3-3-4技能训练基础巩固强化 一、选择题1．(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为()2．(2011·桂林中学高二期中)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥02x ＋y≤2y≥0x ＋y≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a≥43B ．0<a≤1C ．1≤a≤43D ．0<a≤1或a≥433．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x≥1x ＋y －7≤0，则yx 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤95，6 B.⎝⎛⎦⎤－∞，95∪[6，＋∞)C ．[3,6]D ．(－∞，3]∪[6，＋∞)4．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤40x ＋2y≤50x≥0y≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．405．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－46．(2009·安徽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34二、填空题7．(2009·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2，2x －y≤4，x －y≥0.则2x ＋3y 的最小值是________．8．由直线x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0和2x ＋y ＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为______．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0x ＋y≥0－2≤x≤3，则目标函数2x ＋y 的最小值为________．三、解答题10．某公司的仓库A 存有货物12t ，仓库B 存有货物8t.现按7t 、8t 和5t 把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？ 能力拓展提升 一、选择题11．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥3，x －y≥－1，2x －y≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．2312．下面给出的四个点中，到直线x －y ＋1＝0的距离为22，且位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)13．(2011·北京朝阳区期末、山东日照调研)若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0y≥0y －x≤2表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A ．913 B ．313C.72D.7414．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1y≤2x －1x ＋y≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3二、填空题15．图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤5，2x ＋y≤6，x≥0，y≥0，在这些点中，使目标函数k ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．三、解答题16．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ *17.已知f(x)＝ax2－c ，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．[分析] 这是一个不等式问题，似乎与二元一次不等式表示的平面区域无关，但仔细分析后可发现，本题的实质是：已知实数a 、c 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－4≤a －c≤－1－1≤4a －c≤5，求9a －c 的最值；此即线性规划问题，因此可以用线性规划的方法求解．详解答案 1[答案] C[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A 、B ，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，舍去D ，故选C. 2[答案] D[解析] 由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l ：x ＋y ＝a 在l1、l2之间或在l3上方．∴0<a≤1或a≥43.3[答案] A[解析] 由约束条件画出可行域如图，yx 可看作是点(x ，y)与原点连线的斜率， 所以y x ∈[kOC ，kOA]＝⎣⎡⎦⎤95，6.4[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤40x ＋2y≤50x≥0y≥0得可行域如图所示．将l0：3x ＋2y ＝0在可行域内平行移动，移动到经过B 点时，z ＝3x ＋2y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝502x ＋y ＝40，得B 点坐标为(10,20)， ∴zmax ＝3×10＋2×20＝70，故选C. 5[答案] B[解析] 作出可行域如图，作直线l0：2x ＋y ＝0，平移直线l0可见，当l0经过可行域内的点B(1,0)时，z 取得最大值，∴zmax ＝2×1＋0＝2.6[答案] C[解析] 作出可行域如图阴影部分△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4，得点A 坐标为(1,1)， 又B 、C 两点坐标分别为(0,4)、⎝⎛⎭⎫0，43，∴S △ABC ＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43.7[答案] 4[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分)，作直线l0：2x ＋3y ＝0当直线l0平移到过点A(2,0)时，2x ＋3y 取最小值．(2x ＋3y)min ＝2×2＋0＝4. 8[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0x ＋2y ＋1≤02x ＋y ＋1≤0[解析] ∵三角形区域在直线x ＋y ＋2＝0的右上方，又原点在直线x ＋y ＋2＝0的右上方，且0＋0＋2>0，∴三角形区域在x ＋y ＋2≥0表示的区域内，同理可确定三角形区域在x ＋2y ＋1≤0和2x ＋y ＋1≤0的区域内．故用不等式表示该平面 区域为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0x ＋2y ＋1≤02x ＋y ＋1≤0.9[答案] －32[解析] 设z ＝2x ＋y ，画出可行域如图，最优解为M ⎝⎛⎭⎫－32，32，zmin ＝－32.10[解析] 设仓库A 运给甲、乙商店的货物分别为xt ，yt.则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y)t.仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x)t ，(8－y)t ，[5－(12－x －y)]t ， 总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－x －y≥0，7－x≥0，8－y≥0，x ＋y －7≥0，x≥0，y≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤7，0≤y≤8，x ＋y≥7，x ＋y≤12.作出可行域，如图所示．作直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，当直线过A(0,8)时，z ＝x －2y ＋126取得最小值， zmin ＝0－2×8＋126＝110，即x ＝0，y ＝8时，总运费最少．即仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0t 、8t 、4t ，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7t 、0t 、1t ，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．[点评] 本题中恰当选取两个未知数，列出线性约束条件是解题的关键，把调给甲、乙、丙三个商店的货物数都是非负数这一隐含限制条件发掘出来，即可获解. 11[答案] B[解析] 作出可行域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －y ＝3得A(2,1)∴当x ＝2，y ＝1时，z 最小＝2×2＋3×1＝7，故选B.[点评] 线性规划命题保持相对稳定，这一部分命题主要方式是：①求最大(小)值．②求平面区域的面积．③求平面区域内的整点．④求字母的值或取值范围．后两种问题有一定难度，但都有规律可循．12[答案] C[解析] 把(1,1)代入x ＋y －1<0不成立，排除A ；把(－1,1)代入x －y ＋1>0不成立，排除B ；而(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离为322，排除D ，故选C.13[答案] D[解析] 作出平面区域A 如图，当a 从－2到1连续变化时，动直线y ＝－x ＋a 从l1变化到l2，扫过A 中的那部分平面区域为四边形EOFG ，其面积S ＝S △OBE －S △FGB ＝12×2×2－12×1×12＝74.14[答案] B[解析] 由选项知m>0，作出可行域如图．目标函数z ＝x －y 对应直线y ＝x －z 经过可行域内的点A 时，－z 取最大值1，从而z 取最小值－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x ＋y ＝m ，得A(1＋m 3，2m －13)， ∴z ＝1＋m 3－2m －13＝2－m 3＝－1，∴m ＝5.15[答案] (0,5)[解析] ∵直线k ＝6x ＋8y 即y ＝－34x ＋k 8的斜率k1＝－34＞－1.故经过点(0,5)时．直线的纵截距k 8最大．从而k 最大．16[解析] 设生产空调机x 台，洗衣机y 台，则30x ＋20y≤300,5x ＋10y≤110，x 、y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y≤30x ＋2y≤22，x ，y ∈N 利润z ＝6x ＋8y.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝30x ＋2y ＝22得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝9，画图可知当直线6x ＋8y ＝z 经过可行域内点A(4,9)时，z 取最大值，zmax ＝6×4＋8×9＝96(百元)．答：生产空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9600元．17[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤a －c≤－1，－1≤4a －c≤5. 即⎩⎪⎨⎪⎧ a －c≥－4，a －c≤－1，4a －c≥－1，4a －c≤5；目标函数f(3)＝9a －c.令z ＝9a －c作出可行域，如图由图可知，目标函数z ＝9a －c 分别在点A 、B 处取得最值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －c ＝－1，a －c ＝－1，得A(0,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝－4，4a －c ＝5，得B(3,7)． 将两组解分别代入z ＝9a －c 中得z 的两个最值分别为－1和20.∴－1≤z≤20， ∴f(3)的取值范围为[－1,20]．。