2017年苏州市中考数学《巧用常值换元法解题》复习指导

巧用常值换元法解题

常值换元是指把题目中的常数用字母来代换，达到化难为易，顺利解题的目的，颇有欲擒故纵的味道，举例如下.

一、用常值换元法计算

例1 (杭州市“思维数学”夏令营数学竞赛题)计算:

111(1)232003----g …111()232004+++…111(1)23

2004----- (1)

1

1

()232003+++g …的结果应该是( ) (A) 1

2004 (B) 12003 (C)2003

2004

(D)20042003 解 令1

11

=232003x +++… 则原式1

1

(1)()(1)20042004x x x x =-+---

221()200420042004x x

x x x x =-+-+--+-

1

2004=.

故选A.

例2 (西安市竞赛题)

{{{9999+199n n n ⨯个个个

………

解 令{99=n x 个

…

则{101x =+n 个…0，{19921n x =+个

…

∴原式21x x x =⨯++

2221(1)x x x =++=+

{221010n ==n 个

…0

二、用常值换元法因式分解

例3 (江苏省竞赛题)分解因式:

42199919981999x x x +++

解 令1999y =，则19981y =-.

∴原式42(1)x yx y x y =++-+

42x yx yx x y =++-+

42(1)x x y x x =-+++

32(1)(1)x x y x x =-+++

2(1)[(1)]x x x x y =++-+

22(1)(1999)x x x x =++-+.

三、用常值换元法证明

例4 (第十二届“五羊杯”初中数学竞赛题)设n 为自然数{{

244441n n A =++个个

……，则 . (A)A 为完全平方数

(B)A 为7的倍数

(C)A 恰好有3个约数

(D)以上结论都不对

解 令{

44=n x 个

…, 则{{2(1)111001n n x -=g 个个……，{100=9+1n x 个

… {{

2A=411+411+1n n ∴⨯⨯个个

…… {

(1)=4100141n x x -⨯++g 个

… {

4(1001)41x x =+++n 个

… 4(92)41x x x =+++

236121x x =++

{{22(1)(6111)667n -=⨯+=n 个个

…… 故选(A).

四、用常值换元法构造方程.

例 5 (第四届全国数学公开赛试题)已知实数a 、b 、c 满足a b ≠，且

1999(99()()0a b b c c a --+-=，求2()()()

c b c a a b ---的值.

解析 x =，则等式可变形为

2()()()0a b x b c x c a -+-+-=

方程根的定义，可知x =2

()()()0a b x b c x c a -+-+-=的一根. 观察知，当1x =时，()()()0a b b c c a -+-+-=成立，

所以1x =是方程2()()()0a b x b c x c a -+-+-=的一根.

由a b ≠，知方程2()()()0a b x b c x c a -+-+-=是关于x 的一元二次方程. 由根与系数的关系，得

1c b a b -=-1c a a b

-=-.

2()()()c b c a c b c a a b a b a b

----∴=⨯=---1)1)⨯

1999=

例6 (上海市初中数学竞赛题)解方程:

22(2)2x x =--.

解 令2y =，则原方程变形为

22()x x y y =--,

整理得224(21)()0y x y x x -++-=.

解上述关于y 的一元二次方程，得

y =

= 2(21)(21)2

x x +±+=. 2y =Q

24222x x ∴=++，或2422x x =-.

解上述两个关于x 的一元二次方程，得

1x =，2x =，31x =-，42x =.