人教版八年级下册数学：勾股定理的应用
人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理在实际生活中的应用
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
（3）利用勾股定理等列方程； 本章的难点是解一元二次方程。
4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接 、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向。
小技巧 化非直角三角形为直角三角形 将实际问题转化为直角三角形模型
归纳小结
1、勾股定理： 如__果__直_角__三__角__形_的__两__直__角_边__长__分__别_为__a_,_b_,_斜_边__为__c.
那__么____________________________ 2、勾股定理有广泛的应用.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
教学目标 1．会用勾股定理解决简单的实际问题． 2．树立数形结合的思想．
勾股定理的应用
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m， 宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？
已知条件有哪些？
C
2m
A 1m B
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 3.怎样判定这块木板能否通过木框？
3、学习反思：
____________________________ __________________ ____B
拓展迁移
在数轴上作出表示 20的点. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
人教版八年级数学下册《勾股定理的应用》PPT
13m 8m
12m
校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m， 另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树的顶端飞 到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少m?
A
E 13m
B
D
8m C 12m
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
DC
2m
AB
1m
如图，一个2.6m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这 时AO的距离为2.4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么 梯子底端B也外移0.5m吗?
A+ B=90
AC=－1 AB
2
a2+b2=c2
应用
已知一个锐角 求另一个锐角
已知任意 两边求第 三边
勾股定理的应用
直接运用勾股定理求边
B
1.已知直角三角形ABC中,
(1)若AC=8,AB=10,则 S = ABC __2_4_. A
C
(2) 若SABC =30,且BC=5,则AB=__1_3__ (3)若SABC =24,且BC=6,则AB边上的高
如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC边 上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
x2+42=(8-x)2
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
实际问题
抽象
解决
利用勾 股定理
已知两边 求第三边
数学问题
人教版八年级（下）第十七章
直角三角形性质归纳
图形 语言叙述
数学符号表 示
锐 角A 间
人教版八年级数学下册：勾股定理的应用【精品课件】
在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的 高CD=12，则△ABC的周长为( )
A.32 C.32或42
B.42 D.以上都不对
错解：A或B
正解：C
错因分析：如图①，CD在△ABC内部时，AB=AD +BD=9+5=14，此时，△ABC的周长=14+13+15= 42，如图②，CD在△ABC 外部时，AB=AD-BD= 9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32.综上所 述，△ABC的周长为32或42.故选C.
AB=17
BC 1，AC 3 BC 2，AC 2
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面 积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，池塘边有两点A，B，点C 是与BA方向成直角的AC方向上的 一点，现测得CB=60m，AC=20m. 求A，B两点间的距离(结果取整数).
观察 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
不能 2.这个门框能通过的最大长度是多少？
3.怎样判定这块木板能否通过木框？ 求出斜边的长，与木板的宽比较.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC= 5 ≈2.24． 因为AC大于木板的宽2.2 m，所
以木板能从门框内通过．
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90° 根据勾股定理，得
BC AB2 AC2 ,BC AB2 AC2 .
又AB=A′B′, AC=A′C′， ∴BC=B′C′.∴ △ ABC≌△A′B′C′（SSS）.
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表
示无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用
八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用一、勾股定理在网格中的应用例1、已知正方形的边长为1，(1)如图a，可以计算出正方形的对角线长为根号2.①分别求出图(b)，(c)，(d)中对角线的长＿.②九个小正方形排成一排，对角线的长度(用含n的式子表示)为＿.分析：借助于网格，构造直角三角形，直接利用勾股定理.二、勾般定理在最短距离中的应用例2、如图，已知C是SB的中点，圆锥的母线长为10cm，侧面展开图是一个半圆，A处有一只蜗牛想吃到C处的食物，它只能沿圆锥曲面爬行.请你求出蜗牛爬行的最短路程.分析在求解几何图形两点间最短距离的问题时，将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，展开过程中必须要弄清楚所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中的相应位置.点评在求立体几何图形的问题时，一般是通过平面展开图，将其转化成平面图形问题，然后求解.三、勾股定理在生活中的应用例3、如图，学校有一块长方形花园，有较少数同学为了避开拐角走“捷径”，在校园内走出了一条“路”.请同学们算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草.(假设1步为0.5m)点评：走“捷径”问题为出发点是常遇到情况，在考查勾股定理的同时，融入了环保教育:少走几步路，就可以留下一片期待的绿色.四、勾股定理在实际生活中的应用例4 小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据:小华在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°，小华沿河岸向前走30m 选取点B，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度.点评：此题考查直角三角形的应用，解答本题的关键在于画出示意图，将问题转化为解直角三角形的问题.。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用(教案)
关于学生小组讨论环节，我发现学生在讨论过程中能够提出自己的观点，并进行有效交流。但在引导与启发方面，我觉得自己还可以做得更好。未来，我将更多地运用开放性问题，激发学生的思考，帮助他们发现问题、分析问题和解决问题。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用。本节课主要内容包括：
1.理解并掌握勾股定理的应用场景，如直角三角形中，了解斜边与两个直角边的关系。
2.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、判断一个三角形是否为直角三角形等。
5.培养学生数学运算的核心素养，让学生熟练掌握勾股定理，并能灵活运用到各种计算和证明过程中，提高运算的准确性和速度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理及其在直角三角形中的应用。
-重点讲解：
-勾股定理的表述：直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
-勾股定理的证明：通过几何图形或代数方法，证明勾股定理的正确性。
其次，理论讲解环节，我尽量用简洁明了的语言解释勾股定理的概念和证明过程。从学生的反应来看，大部分同学能够跟上我的讲解，但仍有少数同学在理解上存在困难。针对这个问题，我考虑在今后的教学中，可以通过增加互动提问环节，让学生在课堂上及时反馈疑问，以便我更好地关注到每个学生的学习情况。
在案例分析环节，我选取了建筑物直角三角形结构作为例子，旨在让学生了解勾股定理在实际问题中的应用。从学生的讨论来看，这个案例取得了较好的效果。但在今后的教学中，可以尝试引入更多类型的案例，让学生从不同角度理解勾股定理的应用。
八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用
再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状，从而可以求得
四边形 ABCD 的面积；
A
D
解：（1）连接 AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
B
C
∴ AC AB2 BC2 62 82 10．
∵CD＝10，AD＝10 2 ，
∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝ 10 2 2＝200，
（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出 C
△ABC 是直角三角形，然后利用三角形面积得出
B D
CD 的长，进而得出学校 C 是否会受噪声影响；
A
解：（1）学校 C 会受噪声影响． 理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D， ∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，
岛，再从 B 岛沿 BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM
的最短距离是 60 km．
（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回
A 港所需的时间；
M
分析：（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理
C
可求得 BD 的长度，则 CD＝BC－BD；然后在
D
Rt△ACD 中，利用勾股定理可求得 AC 的长度，
∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min，
∴100÷50＝2（min）， C
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min．
B
F D E A
例3 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6， BC＝8，CD＝10，AD＝10 2．
（1）求四边形 ABCD 的面积．
分析：（1）连接 AC，然后根据勾股定理可以求得 AC 的长，
勾股定理的应用(3种题型)
第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。
八年级-人教版-数学-下册-第2课时-勾股定理的逆定理的应用
北 B1
或向北走了 60 m，最后走 100 m 回到原地．
西O
A东
B2 南
勾股定理的逆定 理的应用
判断方向和位置
判断物体的形状是否是直角三 角形，或者判断它的一个角或
多个角是否是直角
在实际生活中常用勾股定理的逆定理判断方向和位置，解决 问题的关键是利用勾股定理的逆定理找出其中的直角．
例1 A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东
方向，C 地在 B 地的什么方向？
C
分析：根据图示的距离，可以
判断出以 A，B，C 三地位置为顶
点的三角形是直角三角形．
B
A
例1 A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东
道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析： （1）求“海天”号的航向就是求__∠__2__的度数． （2）已知∠1的角度，则求出_∠__R_P_Q__的度数即可． （3）根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断 ∠RPQ 是否为_直__角___．
解：根据题意， PQ＝16×1.5＝24， PR＝12×1.5＝18，QR＝30． 因为 242＋182＝302，即 PQ2＋PR2＝QR2， 所以 ∠QPR＝90°． 由“远航”号沿东北方向航行可知， ∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天” 号沿西北方向航行．
60 m，再走 100 m 回到原地．
西O
A东
B2 南
情形二：小明从 O 走到 A，再走到 B2，最终由 B2 回到 O． 同理，△AOB2 是直角三角形，且∠OAB2＝90°．
因此，小明向东走了 80 m 后，又向南走了 60 m，
再走 100 m 回到原地． 综上所述，小明向东走了 80 m 后，又向南
人教版八年级数学下册《勾股定理的应用——立体图形中的最短距离》PPT
8cm的长方体牛奶盒，现在A处有一只蚂蚁，想
沿着长方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬
行的最短距离是多少？ B (1)点A处在几个面 上？ 点B呢？
牛奶盒
A 10cm
8cm (2)蚂蚁从点A到点B至 少要经过几个面？分别
6cm 有哪些情况？ (3)如何展开长方体？
B3 解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得
B1 B
AB12 102 6 82
296 2 74
AB2 82 10 62
8
B2
320 8 5
AB3 62 10 82
A
10
360 6 10
6
∴AB1＜AB2＜AB3.
∴小蚂蚁完成任务的最短
路程为AB1，长为2 74 cm.
拓展提升
若长方体的长，宽，高分别为a，b 和c，且a>b>c,则沿长方体表面从A到 Cˊ所走的最短路程是
归纳总结
二、数学思想： 立体图形
转化 展开
转化思想
平面图形
课后作业
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有 一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，
求蚂蚁爬行的最短距离是多少. B
A 2.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒 形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如 图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
（2）这条“径路”长 5 米,他们少走了 4
为1米)A？
Байду номын сангаас
别踩我,我怕疼 A
疼
!
步(设两步
C
B
C
B
研学问题
人教版八年级数学下册勾股定理勾股定理的应用
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标
（2）以原点O为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理
数.
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这
求证：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
证明：在Rt△ABC 和
Rt△A ′B ′C ′中，∠C=∠C′
A
A′
=90°，根据勾股定理，得
BC= AB2-AC2 ，
BC AB2AC2.
A B A B ,A C A C ,
BCBC.
C
B C′
B′
A B C A B C (S S S ).
三用勾股定理在数轴上表示无理数
一结论吗？
如图，在5ⅹ5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出两个三角形，一个三角形的长分别
，另一个三角形的三边长分别
为
.
5m,那么梯子底端B也外移0.
问题 在Rt△ABC中，已知BC=6, AC=8,
问题2 你认为选择哪种方法比较好?你能说出你这种方法通过的最大长度是什么?
1.学会运用勾股定理及直角三角形的判 （2）构造直角三角形；
ac
a2+b2=c2
b
勾股定理在现实生活中有哪些应用呢？
导入新课
问题 在Rt△ABC中，已知BC=6, AC=8,
(1) 则AB= 10 ; B
(2) 则AB边上的高是 4.8 ;
(3) 它的面积是 24 ; C
A
(4) 它的周长是 24 .
讲授新课
人教版数学八年级下册17.1勾股定理的应用+最短路径问题+教学设计
（2）注重启发式教学，引导学生主动发现问题、解决问题。
（3）鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作能力。
（4）关注学生的情感态度，营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦中学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在这一环节，我将通过一个贴近生活的实际问题来导入新课。我会向学生展示一张地图，上面标注了两地之间的直线距离无法直接测量。然后提问：“同学们，你们知道如何计算地图上两点之间的直线距离吗？”这个问题将激发学生的思考，他们可能会联想到之前学过的勾股定理。接着，我会简要回顾一下勾股定理的定义和公式，为新课的学习做好铺垫。
2.在坐标系中，给出两个点的坐标，计算它们之间的距离。请同学们尝试使用两种不同的方法进行计算，并比较结果。
3.设计一道关于最短路径问题的题目，要求包含直角三角形和坐标系元素。请同学们自行解答，并在下节课与同学们分享解题思路和答案。
4.请同学们撰写一篇关于勾股定理应用的小论文，可以从历史、生活、科技等角度展开论述，不少于500字。
（1）导入：通过一个实际问题，如计算两地之间的直线距离，引出勾股定理。
（2）新课：讲解勾股定理的证明和应用，结合实际问题，让学生感受勾股定理的价值。
（3）探究：引导学生运用勾股定理解决最短路径问题，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（4）巩固：设计不同类型的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5.完成课后练习册中与勾股定理和最短路径问题相关的内容，巩固所学知识。
作业要求：
1.书写规范，保持卷面整洁。
2.解题过程要求步骤清晰，逻辑性强。
3.小论文要有自己的观点，论述充分，可以适当引用资料。
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回顾反思 畅谈收获
1、这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2、对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流.
师生共同进行总结：
知识：立体图形中的最短路径问题
转化
方法：1、展开； 平面图形
2、运用两点之间线段最短找到最短路径； 3、运用勾股定理解决问题。
思想：转化思想 建模思想 分类讨论思想
1、如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30 ，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
例2如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm 和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块 的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体 上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬 行的最短路径的长是（ ）
B
怎样展开？
C
E
34
A
6
D
最短路径问题——长方体
BB
4
C
E
3
A
6
D
展开前面和上面
最短路径问题——长方体
A．15
B．25
C．35
D．45
2、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分
别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对
的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
AB=25
2 Ｂ
举一反三
3、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对 的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 cm．
4、如图,圆柱体的高为8cm,底面周长为4cm,小蚂蚁在 圆柱表面爬行,从A点到B点,路线如图所示,则最短 路程为 （ ）
B
A
最短路径问题——长方体
B
A
归纳方法、总结思路
正方体
长方体
圆柱体
因为每个面的 大小相同，展 开后长方形的 长宽不变，所 以结果相同。
展开不同的两 面，得到的长 方形的长和宽 不相同，所以 要通过比较才 能得出最短距 离。
圆柱体的展开 图是一个长方 形，但需要注 意展开后点的 位置的确定。
无论什么立方体，都必须通过展开后得到平面图形，利用两点 之间线段最短得到最短的距离，再运用勾股定理求出结果。
B
C
E
B
A
D
展开前面和右面
最短路径问题——长方体
B
A
C
E
A
D
展开上面和左面
最短路径问题——长方体
●
归纳：长方体展开转化为平面图形， 利用两点之间线段最短找到最短路径， 然后运用勾股定理求解。 注意展开面不同，得到的路径也不相同。
最短路径问题——圆柱体
例3如图在一个底面周长为80cm,高AA′为30cm的圆 柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处， 恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
你有多少种走法？
C
它是不是最短距离？
B E
A
D
最短路径问题——正方体
B
B E C
A
D
展开前面和上面
最短路径问题——正方体
B
E
C
B
A
DБайду номын сангаас
展开前面和右面
最短路径问题——正方体
展开上面和左面
A
C
B E
A
D
归纳：正方体展开后转化为平面图形后，
利用两点之间线段最短找到最短路径，然后 运用勾股定理求解。
最短路径问题——长方体
勾股定理的应用 立体图形中最短路径问题
立体图形中的最短路径
回顾
最 两点之间，（线段）最短 短 平面图形中的最短路径 路 径 立体图形中的最短路径
最短路径问题——正方体
例1、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1