第六章 定积分的应用总结

第六章 定积分的应用 总结

一、定积分的元素法

1．用定积分表示量U 的条件

如果量U 满足：

（1） ；

（2） ；

（3） ，那么就可考虑用定积分表示这个量U ．

2．写出量U 的积分表达式的步骤：

（1） ；

（2） ；

（3） ．

二、平面图形的面积

1．若平面图形由连续曲线))()()((),(x g x f x g y x f y ≥==及直线)(,b a b x a x <==所围成，则其面积为=A ．

2．若平面图形由连续曲线))()()((),(y y y x y x ψϕψϕ≥==及直线)(,d c d y c y <==所围成，则其面积为=A ．

3．由连续曲线0)(),(≥=θϕθϕρ及两射线βθαθ==,围成的曲边扇形的面积为=A ．

三、体积

1．旋转体的体积

（1）由连续曲线0)(≥=x f y ，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为=x V ．

（2）由连续曲线0)(≥=y x ϕ，直线)(,d c d y c y <==及y 轴所围成的平面图形绕y 轴

旋转一周而成的旋转体的体积为=V ．

2．平行截面面积为已知的立体的体积

适当建立x 轴，使立体在过点)(,b a b x a x <==且垂直于x 轴的两平面之间，)(x A 为该立体过点x 且垂直于x 轴截面的面积，于是该立体的体积为=V ．

四、平面曲线的弧长

1．曲线可求长的充分条件： ．

2．求光滑曲线弧的长度的公式：（设L 为平面光滑曲线弧）

如果已知L 的参数方程：)(),(),

(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ，其中)(t ϕ和)(t ψ在],[βα上有连续导数，

且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则L 的长度为=s ．

如果已知L 的直角坐标方程：)()(b x a x f y ≤≤=，其中)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ．

如果已知L 的极坐标方程：)()(βθαθρρ≤≤=，其中)(θρ在],[βα上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ．

四、定积分在物理学上的应用

1．变速直线运动的路程

某物体作直线运动，已知速度)(t v 是时间t 的连续函数，且0)(≥t v ，则该物体从时刻1t 到时刻2t （21t t ≤）的运动路程为=s ．

2．变力沿直线作功

如果力F 的方向不变（与x 轴同向）且大小为)(x F ，物体在力F 的作用下由x 轴上的点a 移动到点b ，则力F 对物体作的功为=W ．

3．水压力

一般使用定积分的 法得到水压力的定积分表示式，再计算其值．

4．引力

求引力时通常分别求引力在两个坐标轴上的分力，使用定积分的 法．要注意充分利用对称性．