全国初中数学竞赛辅导(初2)第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题
八年级数学竞赛培优 一元二次方程的整数根 含解析
一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有整数根的非负整数m 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．32．设n 是正整数，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根，则n ＝____．3．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有整数根，则负整数k 的值为____．4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2k －4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0只有正整数根，试求非负整数a 的值．【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为______．10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为____．11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有____组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为____．13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y的方程y2＋2ay＋b＝0的两个实数根为y1，y2，且满足x1·y1－x2·y2＝2 008.求b的最小值．一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为(C) A．0B．1C．2D．32．设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，则n＝__3或4__．【解析】一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0，则n≤4.又∵n是正整数，∴n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根．所以n＝3或4.3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有整数根，则负整数k的值为__－2__．【解析】根据题意得k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)＝4(2－k)≥0，解得k≤2且k≠1，x＝1±2－kk－1.因为原方程有整数根，则2－k＝4时，即k＝－2时，x有整数根．4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不等的实根，∴20－8k>0.∴k<5 2.(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k为1或2，∴x＝－1±5－2k.∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3；当k＝2时，5－2k＝1.∴k＝2.5．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0只有正整数根，试求非负整数a的值．解：依题意知，关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0一定有实根，∴Δ≥0，即4－4a ≥0.解得a ≤1.∵a 是非负整数，∴a ＝1或a ＝0.当a ＝1时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＋1＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝1.∵1是正整数，∴a ＝1符合题意；当a ＝0时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＝0，解这个方程得x 2＝2，x 1＝0，∵0不是正整数，∴a ＝0不符合题意，故舍去．即所求的非负整数a ＝1.【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .解：将原方程化为x 2＋x ＋10－k (k －1)＝0.∵Δ＝1－4[10－k (k －1)]＝(2k －1)2－40，∴设(2k －1)2－40＝m 2(m ＞0)，则(2k －1)2－m 2＝40，∴(2k －1＋m )·(2k －1－m )＝40，∵2k －1＋m 与2k －1－m 均为整数，而40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，考虑到2k －1＋m 与2k －1－m 奇偶性相同，且2k －1＋m ＞2k －1－m ，故有⎩⎨⎧2k －1＋m ＝20，2k －1－m ＝2，或⎩⎨⎧2k －1＋m ＝10，2k －1－m ＝4，分别解得⎩⎨⎧k ＝6，m ＝9，或⎩⎨⎧k ＝4，m ＝3.分别代入原方程，得x ＝－1＋92＝4或x ＝－1＋32＝1，故当k ＝6时，正整数根为4，当k ＝4时，正整数根为1.7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．解：将原方程中的x 视作已知数，a 视作元，整理成一个关于a 的一元一次方程，即a (x ＋2)2＝2(x ＋6)．∵x ＋2≠0，∴a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2.又∵a 为正整数，∴2（x ＋6）（x ＋2）2≥1，解得－4≤x ≤2.把x ＝－4，－3－1，0，1，2代入到a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2中，得a ＝1，6，10，3，149，1.∴正整数a 的值为1，3，6，10.【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( D )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组【解析】 ∵x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )，∴(x －3)2＋(y －3)2＋(x ＋y )2＝18.则符合条件的整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为__2__013__．【解析】 先消去c ，再配方算.6a 2＋a ＋b 2－16b ＝2⇒6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1122＋(b －8)2＝66＋124. 观察易知上式中a ≤3，故a ＝1，2，3，经试算，a ＝1，2时，b 均不是整数；当a ＝3时，b ＝5，11，于是有(a ，b ，c )＝(3，5，13)，(3，11，61)，故abc max ＝3×11×61＝2 013.10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为__10__．【解析】 因为(b －a 1)(b －a 2)(b －a 3)(b －a 4)(b －a 5)＝2 009，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是五个不同的整数，所以b －a 1，b －a 2，b －a 3，b －a 4，b －a 5也是五个不同的整数．又因为2 009＝1×()－1×7×()－7×41，所以b －a 1＋b －a 2＋b －a 3＋b －a 4＋b －a 5＝41.由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9，可得b ＝10.11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有__3__组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 【解析】 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .再由题中关系式得x 31＋x 32＝()x 1＋x 2⎣⎡⎦⎤()x 1＋x 22－3x 1x 2＝()x 1＋x 22－2x 1x 2＝x 1＋x 2，即－a ()a 2－3b ＝a 2－2b ＝－a .(1)若a ＝0，则b ＝0.(2)若a ≠0，则a 2－3b ＝1，a 2－2b ＋a ＝0，于是a ＋b ＝－1，()1＋b 2－3b －1＝0，b ()b －1＝0.所以b ＝0或b ＝1，即有如下三组a ，b 的值满足条件⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1，则与之对应的两根x 1，x 2为⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝0，或⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝1，或⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝1，共三组． 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为__x ＝1__．【解析】 x 3＋4x 2－3x －2＝0∵原方程可化为2＝x (x 2＋4x －3)，∴2是x 的倍数，∵x 为正整数，∴x ＝1或2，当x ＝1时，x 2＋4x －3＝2；当x ＝2时，x 2＋4x －3＝9≠2舍去．∴x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为x ＝1.13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y 的方程y 2＋2ay ＋b ＝0的两个实数根为y 1，y 2，且满足x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008.求b 的最小值．解：由韦达定理，得x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝b ；y 1＋y 2＝－2a ，y 1·y 2＝b . 即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2a ＝－（x 1＋x 2）＝（－x 1）＋（－x 2），y 1·y 2＝b ＝（－x 1）·（－x 2）， 解得⎩⎨⎧y 1＝－x 1，y 2＝－x 2，或⎩⎨⎧y 1＝－x 2，y 2＝－x 1.把y 1，y 2的值分别代入x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008得x 1·(－x 1)－x 2·(－x 2)＝2 008或x 1·(－x 2)－x 2·(－x 1)＝2 008(不成立)．即x 22－x 21＝2 008，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝2 008因为x 1＋x 2＝2a >0，x 1·x 2＝b >0，所以x 1>0，x 2>0.于是有2a ·4a 2－4b ＝2 008，即a ·a 2－b ＝502＝1×502＝2×251.因为a ，b 都是正整数，所以⎩⎨⎧a ＝1，a 2－b ＝5022，或⎩⎨⎧a ＝502，a 2－b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝2，a 2－b ＝2512，或⎩⎨⎧a ＝251，a 2－b ＝4. 分别解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1－5022，或⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1， 或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4－2512，或⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4. 经检验只有⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1，⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4符合题意．所以b 的最小值为b 最小值＝2512－4＝62 997.。
第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题
第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以(m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而要使x1a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值为2，-4，-10．说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以(x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解(1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以c≥b-1．同理有所以c≤b+1，所以b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以(x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以(x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．练习二十六1．填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，(2)已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0有两个不相同的正整数根，则k=____．(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0有两个整数根，求m的值及方程的根．3．已知关于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的值．4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程ax2＋2ax＋a-9＝0至少有一个整数根．。
初中数学专题辅导_含参数的一元二次方程的整数根问题
1、已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-3=0(1) 当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2式方程的两根，且(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,求m的值。
2、已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实根x1、x2，(1)求k的取值、范围。
(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？3、试证：关于x的方程mx2-(m+2)x=-1必有实根。
4、m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．5、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0,(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．6、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．7、已知方程kx2-(2k-1)x+k-2=0的两根为x1、x2，且x12+x22=3，求k的值。
8、当m为何值时，关于x的方程(m2-4)x2+2(m+1)x+1=0有实根。
9、已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m2+2=0有两个相等的实数根，是判断直线y=(2m-3)x-4m+7能否通过A(-2,4)，并说明理由。
10、已知关于x 的方程(m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.11、已知关于x 的方程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a 、b 的值；(2)已知k 为一实数，求证：关于x 的方程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.12、关于x 的方程kx 2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不 存在，说明理由.13、已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，若方程a c b x c b ax 2)(22222=++++有两个等根，试判断△ABC 的形状.14、若方程2312x x +=的两个根是x 1，x 2，求1112x x +。
八年级数学竞赛培优 一元二次方程的整数根 含解析
一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有整数根的非负整数m 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．32．设n 是正整数，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根，则n ＝____．3．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有整数根，则负整数k 的值为____．4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2k －4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0只有正整数根，试求非负整数a 的值．【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为______．10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为____．11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有____组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为____．13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y的方程y2＋2ay＋b＝0的两个实数根为y1，y2，且满足x1·y1－x2·y2＝2 008.求b的最小值．一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为(C) A．0B．1C．2D．32．设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，则n＝__3或4__．【解析】一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0，则n≤4.又∵n是正整数，∴n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根．所以n＝3或4.3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有整数根，则负整数k的值为__－2__．【解析】根据题意得k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)＝4(2－k)≥0，解得k≤2且k≠1，x＝1±2－kk－1.因为原方程有整数根，则2－k＝4时，即k＝－2时，x有整数根．4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不等的实根，∴20－8k>0.∴k<5 2.(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k为1或2，∴x＝－1±5－2k.∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3；当k＝2时，5－2k＝1.∴k＝2.5．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0只有正整数根，试求非负整数a的值．解：依题意知，关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0一定有实根，∴Δ≥0，即4－4a ≥0.解得a ≤1.∵a 是非负整数，∴a ＝1或a ＝0.当a ＝1时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＋1＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝1.∵1是正整数，∴a ＝1符合题意；当a ＝0时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＝0，解这个方程得x 2＝2，x 1＝0，∵0不是正整数，∴a ＝0不符合题意，故舍去．即所求的非负整数a ＝1.【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .解：将原方程化为x 2＋x ＋10－k (k －1)＝0.∵Δ＝1－4[10－k (k －1)]＝(2k －1)2－40，∴设(2k －1)2－40＝m 2(m ＞0)，则(2k －1)2－m 2＝40，∴(2k －1＋m )·(2k －1－m )＝40，∵2k －1＋m 与2k －1－m 均为整数，而40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，考虑到2k －1＋m 与2k －1－m 奇偶性相同，且2k －1＋m ＞2k －1－m ，故有⎩⎨⎧2k －1＋m ＝20，2k －1－m ＝2，或⎩⎨⎧2k －1＋m ＝10，2k －1－m ＝4，分别解得⎩⎨⎧k ＝6，m ＝9，或⎩⎨⎧k ＝4，m ＝3.分别代入原方程，得x ＝－1＋92＝4或x ＝－1＋32＝1，故当k ＝6时，正整数根为4，当k ＝4时，正整数根为1.7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．解：将原方程中的x 视作已知数，a 视作元，整理成一个关于a 的一元一次方程，即a (x ＋2)2＝2(x ＋6)．∵x ＋2≠0，∴a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2.又∵a 为正整数，∴2（x ＋6）（x ＋2）2≥1，解得－4≤x ≤2.把x ＝－4，－3－1，0，1，2代入到a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2中，得a ＝1，6，10，3，149，1.∴正整数a 的值为1，3，6，10.【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( D )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组【解析】 ∵x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )，∴(x －3)2＋(y －3)2＋(x ＋y )2＝18.则符合条件的整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为__2__013__．【解析】 先消去c ，再配方算.6a 2＋a ＋b 2－16b ＝2⇒6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1122＋(b －8)2＝66＋124. 观察易知上式中a ≤3，故a ＝1，2，3，经试算，a ＝1，2时，b 均不是整数；当a ＝3时，b ＝5，11，于是有(a ，b ，c )＝(3，5，13)，(3，11，61)，故abc max ＝3×11×61＝2 013.10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为__10__．【解析】 因为(b －a 1)(b －a 2)(b －a 3)(b －a 4)(b －a 5)＝2 009，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是五个不同的整数，所以b －a 1，b －a 2，b －a 3，b －a 4，b －a 5也是五个不同的整数．又因为2 009＝1×()－1×7×()－7×41，所以b －a 1＋b －a 2＋b －a 3＋b －a 4＋b －a 5＝41.由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9，可得b ＝10.11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有__3__组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 【解析】 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .再由题中关系式得x 31＋x 32＝()x 1＋x 2⎣⎡⎦⎤()x 1＋x 22－3x 1x 2＝()x 1＋x 22－2x 1x 2＝x 1＋x 2，即－a ()a 2－3b ＝a 2－2b ＝－a .(1)若a ＝0，则b ＝0.(2)若a ≠0，则a 2－3b ＝1，a 2－2b ＋a ＝0，于是a ＋b ＝－1，()1＋b 2－3b －1＝0，b ()b －1＝0.所以b ＝0或b ＝1，即有如下三组a ，b 的值满足条件⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1，则与之对应的两根x 1，x 2为⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝0，或⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝1，或⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝1，共三组． 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为__x ＝1__．【解析】 x 3＋4x 2－3x －2＝0∵原方程可化为2＝x (x 2＋4x －3)，∴2是x 的倍数，∵x 为正整数，∴x ＝1或2，当x ＝1时，x 2＋4x －3＝2；当x ＝2时，x 2＋4x －3＝9≠2舍去．∴x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为x ＝1.13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y 的方程y 2＋2ay ＋b ＝0的两个实数根为y 1，y 2，且满足x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008.求b 的最小值．解：由韦达定理，得x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝b ；y 1＋y 2＝－2a ，y 1·y 2＝b . 即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2a ＝－（x 1＋x 2）＝（－x 1）＋（－x 2），y 1·y 2＝b ＝（－x 1）·（－x 2）， 解得⎩⎨⎧y 1＝－x 1，y 2＝－x 2，或⎩⎨⎧y 1＝－x 2，y 2＝－x 1.把y 1，y 2的值分别代入x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008得x 1·(－x 1)－x 2·(－x 2)＝2 008或x 1·(－x 2)－x 2·(－x 1)＝2 008(不成立)．即x 22－x 21＝2 008，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝2 008因为x 1＋x 2＝2a >0，x 1·x 2＝b >0，所以x 1>0，x 2>0.于是有2a ·4a 2－4b ＝2 008，即a ·a 2－b ＝502＝1×502＝2×251.因为a ，b 都是正整数，所以⎩⎨⎧a ＝1，a 2－b ＝5022，或⎩⎨⎧a ＝502，a 2－b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝2，a 2－b ＝2512，或⎩⎨⎧a ＝251，a 2－b ＝4. 分别解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1－5022，或⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1， 或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4－2512，或⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4. 经检验只有⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1，⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4符合题意．所以b 的最小值为b 最小值＝2512－4＝62 997.。
一元二次方程整数根问题的题与解法
一元二次方程整数根问题解题探析福建漳平市官田中学（364412） 李阿明一元二次方程整数根问题是初中数学竞赛常见的题型。
它的解答方法在一些杂志上有了介绍，但大部分没有总结出规律性解法。
学生在解答这类问题时，仍然要走很多的弯路，甚至茫然不知所措，无从思考。
本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行归类，并做具体的解题指导，供同学们参考。
一、观察已知的方程的两根能否先求出。
若能先求出根（当然这里能求出的是含有字母系数的根），再根据整数的特点，确定字母系数的取值。
例1 已知方程（a 2 – 1）x 2 – 2(5a+1)x +24 =0有两个不相等的负整数根根，则整数a =解析：在a 2 – 1≠ 0条件下，可求得方程的两个根x 1 = ，x 2 = ； 由x 1是负整数可得a 的可能值为：- 2，-3，-5；由x 2是负整数可得a 的可能值为：- 1，-2，-5；取相同的a 值- 2、- 5，即为所求。
评注：原方程的两根可以先求出（用a 表示），利用整除的性质，确定出所有的a 的可能值。
14+a 16-a二、利用一元二次方程有整数根的必要条件是根的判别式为完全平方数，确定字母系数的取值（范围）。
例2 已知方程x2 + kx – k + 1 = 0(k为整数)有两个不相等的整数根，刚k =解析：依题意可知∆ = k2 + 4k - 4是完全平方数，不妨设该平方数为t2,则k2 + 4k – 4= t2, (k + t +2)(k+2 -t) = 8(k + t +2)与(k+2 -t)同奇偶且8是偶数，所以有：解得k = 1 或– 5经检验：k = 1 或– 5满足题目的要求。
评注：此题的关键在于设根的判别式为t2（t为整数），然后利用整数 整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k的值。
三、利用根与系数的关系，转化为整数积的形式，讨论字母系数的可能取值。
例3 求所有有理数r,使得方程rx2 + (r+1)x + r – 1= 0的所有根为整数。
一元二次方程的公共根与整数根(讲义)
一元二次方程的公共根与整数根（讲义）知识点睛一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程a某2b某c0(a0)的实根情况，可以用判别式b24ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程a某2b某c0(a0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴b24ac为完全平方数；⑵bb24ac2ak或bb24ac2ak，其中k为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．例题精讲一、一元二次方程的公共根【例1】求k的值，使得一元二次方程某2k某10，某2某(k2)0有相同的根，并求两个方程的根．ABC【例2】设a,b,c为ABC的三边，且二次三项式某22a某b2与某22c某b2有一次公因式，证明：一定是直角三角形．【例3】三个二次方程a某2b某c0，b某2c某a0，c某2a某b0有公共根．⑴求证：abc0；a3b3c3⑵求的值．abc【例4】试求满足方程某2k某70与某26某(k1)0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a1)某2(a22)某(a22a)0和abba的值．(b1)某(b2)某(b2b)0(其中a，b为正整数)有一个公共根，求baab222二、一元二次方程的整数根【例6】k为什么实数时，关于某的方程(6k)(9k)某2(11715k)某540的解都是整数？【例7】若关于某的方程6k9k某211715k某540的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．【例8】已知a是正整数，如果关于某的方程某3(a17)某2(38a)某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例9】若k为正整数，且关于k的方程(k21)某26(3k1)某720有两个相异正整数根，求k的值．【例10】关于某的二次方程(k26k8)某2(2k26k4)某k24的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．【例11】当m为何整数时，方程2某25m某2m25有整数解．【例12】已知关于某的方程4某28n某3n2和某2(n3)某2n220，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【例13】求所有有理数r，使得方程r某2(r1)某(r1)0的所有根是整数．【例14】已知关于某的方程某2(a6)某a0的两根都是整数，求a的值．【例15】已知k为常数，关于某的一元二次方程(k22k)某2(46k)某80的解都是整数，求k的值．【例16】已知p为质数，二次方程某22p某p25p10的两根都是整数，请求出p的所有可能的值．【例17】已知12m40，且关于某的二次方程某22(m1)某m20有两个整数根，求整数m．abm2【例18】若一直角三角形两直角边的长，a、b(ab)均为整数，且满足．试求这个直角三ab4m角形的三边长．【例19】关于某的方程a某22(a3)某(a2)0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．【例20】已知方程a某23a28a某2a213a150(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a．【例21】当m是什么整数时，关于某的一元二次方程m某24某40与某24m某4m24m50的根都是整数．【例22】设m为整数，且4m40，方程某222m3某4m214m80有两个整数根，求m的值及方程的根．【例23】当m为何整数时，方程2某25m某2m25有整数解．【例24】已知方程a某23a28a某2a213a150(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a．【例25】若关于某的方程6k9k某211715k某540的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．【例26】设方程m某2(m2)某(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．【例27】已知a是正整数，且使得关于某的一元二次方程a某22(2a1)某4(a3)0至少有一个整数根，求a的值．【例28】已知关于某的方程a2某2(3a28a)某2a213a150(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．【例29】已知b，c为整数，方程5某2b某c0的两根都大于1且小于0，求b和c的值．【例30】已知a，b都是正整数，试问关于某的方程某2ab某求出来；如果没有，请给出证明．，且某1某20，【例31】已知方程某2b某c0及某2c某b0分别各有两个整数根某1,某2及某1,某20．某1某20；⑴求证：某10，某20，某10，某2⑵求证：b1≤c≤b1；⑶求b,c所有可能的值．1(ab)0是否有两个整数解？如果有，请2【例32】设p、q是两个奇整数，试证方程某22p某2q0不可能有有理根．【例33】试证不论n是什么整数，方程某216n某70没有整数解，方程中的是任何正的奇数．【例34】求方程a3bab32a22b240的所有整数解．某y(a2)某【例35】已知a为整数，关于某,y的方程组的所有解均为整数解，求a的值．23某y(a1)某2a2【例36】求方程【例37】求所有的整数对(某,y)，使某3某2y某y2y34某24某y4y247．【例38】设m是不为零的整数，关于某的二次方程m某2(m1)某10有有理根，求m的值．【例39】当m是什么整数时，关于某的一元二次方程m某24某40与某24m某4m24m50的根都是整数．【例40】a是正整数，关于某的方程某3(a17)某2(38a)某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例41】已知a,b是实数，关于某,y的方程组y某3a某2b某有整数解(某,y)，求a,b满足的关系式．ya某b某y3的所有正整数解．某2某yy27【例42】已知p为质数，使二次方程某22p某p25p10的两根都是整数，求出所有可能的p的值．【例43】设关于某的二次方程(k26k8)某2(2k26k4)某k24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．b为何值时，方程某2b某20和某22某b(b1)0有相同的整数根？并且求出它们的整数【例44】根？【例45】已知关于某的方程(a1)某22某a10的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个．【例46】求所有正实数a，使得方程某2a某4a0仅有整数根．【例47】方程(某a)(某8)10有两个整数根，求a的值．【例48】求所有的正整数a，b，c使得关于某的方程某23a某2b0,某23b某2c0,某23c某2a0的所有的根都是正整数．【例49】n为正整数，方程某2(31)某3n60有一个整数根，则n__________．【例50】求出所有正整数a，使方程a某22(2a1)某4(a3)0至少有一个整数根．【例51】已知方程(a21)某22(5a1)某240有两个不等的负整数根，则整数a的值是__________．【例52】不解方程，证明方程某21997某19970无整数根【例53】已知方程某21999某a0有两个质数根，则常数a________．【例54】已知方程某2m某m10有两个不相等的正整数根，求m的值．【例55】当m是什么整数时，关于某的方程某2(m1)某m10的两根都是整数？【例56】设方程m某2(m2)某(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．【例57】已知a是正整数，如果关于某的方程某3a17某238a某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例58】若k为正整数，且关于k的方程k21某263k1某720有两个相异正整数根，求k的值．【例59】设a为质数，b，c为正整数，且满足292a2bc5094a1022b511cbc2求abc的值．。
不定方程及含参数的一元二次方程的整数根问题的解法
不定方程及含参数的一元二次方程的整数根问题的解法丹阳六中王献忠一、利用“质数”及“互质”的性质1．求方程y3＝x2＋x的整数解；2．已知p、q都是自然数，关于x的方程2px2－qx＋1990＝0的两个根都是质数，求1998p1998＋q的值；3．(2002年“宇振杯”上海市初中数学竞赛试题) 已知p为质数，使方程x2－2px＋p2－5p－1＝0的两个根都是整数。
求出p的所有可能的值；4．(1991年“希望杯”初中数学竞赛试题) 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的整数根，则这个方程的根是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；5．(1999年全国初中数学竞赛试题)a 是大于零的实数，已知在惟一实数k，使关于x的方程x2＋(k2＋ak)x＋1999＋k2＋ak＝0的两根均为质数，求a的值；二、因式分解法1．求方程6ab=9a－10b＋303的整数解；2．(十三届“五羊杯”初二数学竞赛试题) 方程x/3＋14/y＝3有＿＿＿＿＿组正整数解；3．求2xy－5＝4y－x的整数解；4．a为何整数时，关于x的方程x2＋ax－8＝0有整数解？5．xy＋yz＝63，xz＋yz＝23的正整数解的组数是( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 三、判别式法(一)不等式(组) 法1．求方程x2－3xy＋2y3＝0的正整数解；2．解方程组x＋y＝2，xy－z2＝13．方程组x3－y3－z3＝3xyzx2＝2(y＋z) ；的正整数解；(二)夹逼法(非负数)1．(2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题)求方程1／x＋1／y－1／xy2＝3／4 的正整数解；2．求方程x＋y＝x2－xy＋y2的整数解；3．(2003年全国初中数学联赛试题) 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方恰好等于这个四位数。
(三)完全平方数法方程a2x2－(3a2－8a)x＋2a2－13a＋15＝0 (其中a是非负整数) 至少有一个整数根，那么a＝＿＿＿＿；四、求根法(用一个未知数的代数式表示另一个未知数)(一)直接求根1．(2000年全国初中数学竞赛试题)己知关于x的方程(a－1)x2＋2x－a－1＝0的根都是整数。
中考数学考前专题复习一元二次方程整数根问题
中考数学考前专题复习一元二次方程整数根问题学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分 一、解答题1．已知关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值．2．在平面直角坐标系中，抛物线2222y x mx m m =++-的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标（用含有字母m 的代数式表示）；（2）若点()2,B B y ，()5,C C y 在抛物线上，且B C y y >，则m 的取值范围是 ；（直接写出结果即可）（3）当13x ≤≤时，函数y 的最小值等于6，求m 的值．3．已知关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣2m ＝0．(1)求证：不论m 取何值，此方程总有实数根；(2)若m 为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m 的值．4．已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两根都为整数，求正整数m 的值．5．某数学兴趣小组在探究函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：(1)研究函数特点：该小组认为，可以将该函数转化为已经学过的二次函数来研究，即将绝对值符号去掉，得到分段函数（每段均为二次函数），其解析式为（填空）：y ＝x 2﹣2|x |+3()()()()00x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩ㅤㅤㅤㅤ＜． (2)画图象：在给出的坐标系中，分别画出当x ≥0时和x ＜0时所对应的二次函数的图象；（要求描出横坐标分别为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3所对应的点）(3)研究性质：根据函数图象，完成以下问题：①观察函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象，以下说法正确的有 （填写正确选项的代码）． A ．对称轴是直线x ＝1B ．函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）C ．当﹣1＜x ＜1时，y 随x 的增大而增大D ．当函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象向下平移3个单位长度时，图象与x 轴有三个公共点．①结合图象探究发现，当m 满足 时，方程x 2﹣2|x |+3＝m 有四个解；①设函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象与其对称轴相交于P 点，当直线y ＝n 和函数y ＝x 2﹣2|x |+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P 所构成的三角形是等腰直角三角形，则n 的值为 ．参考答案：1．（1）12m >；（2）1 【解析】【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；（2）根据韦达定理可得12250x x m =-+>，124x x +=，得到1522m <<，根据两个根和m 都是整数，进行分类讨论即可求解．【详解】解：（1）①一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根，①()164250m ∆=--+>，解得12m >； （2）设该方程的两个根为1x 、2x ，①该方程的两个根都是符号相同的整数，①12250x x m =-+>，124x x +=，①1522m <<， ①m 的值为1或2，当1m =时，方程两个根为11x =、23x =；当2m =时，方程两个根1x 与2x 不是整数；①m 的值为1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．2．(1)顶点A 的坐标为2(,)m m m ；(2)72m <-；(3)1414m -+=或2- 【解析】【分析】(1)将抛物线解析式化成22()y x m m m =++-的形式，即可求得顶点A 的坐标；(2)将()2,B B y ，()5,C C y 代入抛物线中求得B y 和C y 的值，然后再解不等式即可求解；(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m 的值．【详解】解：(1)由题意可知：抛物线222222()y x mx m m x m m m =++-=++-，①顶点A 的坐标为2(,)m m m ；(2)将()2,B B y 代入2222y x mx m m =++-中，得到2222222234B y m m m m m =+⨯+-=++，将()5,C C y 代入2222y x mx m m =++-中，得到22252522925C y m m m m m =+⨯+-=++，由已知条件知：B C y y >，①222925234m m m m ++<++，整理得到：621m <-，解得：72m <-， 故m 的取值范围是：72m <-； (3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为x m =-，分类讨论：①当1m -<，即1m >-时，1x =时二次函数取得最小值为22212221y m m m m m =++-=++，又已知二次函数最小值为6，①2216m m ++=，解得1414m -+=或1414m --=， 又1m >-，故1414m -+=符合题意； ①当3m ->，即3m <-时，3x =时二次函数取得最小值为2223232259y m m m m m =+⨯+-=++，又已知二次函数最小值为6，①22596m m ++=，解得32m =-或1m =-， 又3m <-，故32m =-或1m =-都不符合题意； ①当13m ，即31m -≤≤-时，x m =-时二次函数取得最小值为222222y m m m m m m =++-=-，又已知二次函数最小值为6，①26m m -=，解得3m =或2m =-，又31m -≤≤-，故2m =-符合题意；综上所述，1414m -+=或2-． 【点睛】本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．3．(1)证明见解析(2)﹣1（答案不唯一）【解析】【分析】 （1）由题意知()()()222242412442b ac mm m m m ∆==⨯⨯-=+=-++-﹣，判断其与0的关系，即可得出结论；（2）表示出方程的两根，根据要求进行求解即可．(1) 证明：由题意知()()()222242412442b ac mm m m m ∆==⨯⨯-=+=-++-﹣ ①（m +2）2≥0，①①≥0，①关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣2m ＝0总有实数根；(2)解：由（1）知，①＝（m +2）2，①x ()()22(2)2222m m m m --±+-+±+==，①12222m m x -+++==，2222m m x m -+--==-， ①方程有一根小于2，①﹣m ＜2，①m ＞﹣2，①m 为整数，①满足条件的m 的一个值为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于利用判根公式确定方程根的个数，利用公式求方程的根．4．（1）5m ＜；（2）3m =【解析】【分析】（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．【详解】解：（1）①关于x 的方程26210x x m -+-=有两个实数根，①()()264218400m m ∆=---=-+>，解得，5m ＜；（2）由题意得， 6408==31022m x m ±±－－， ①x 为整数，且m 为正整数，①3m =或5m =，又①5m ＜①3m =．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．5．(1)223x x -+，223x x ++(2)见解析(3)①B 、D ；①2＜m ＜3；①2或6【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质求解即可；（2）把3x=-，2-，1-，0，1，2，3分别代入函数表达式求出y的值，描点确定函数图象；（3）根据函数图象性质即可求解．(1)解：()22223023{23(0)x x xy x xx x x-+=-+=++<．故答案为：223x x-+，223x x++；(2)解：把3x=-，2-，1-，0，1，2，3分别代入函数表达式得：6y=，3，2，3，2，3，6，描点确定函数图象如下：(3)解：①A．对称轴是直线0x=，故错误；B．函数22||3y x x=-+的图象有两个最低点，其坐标分别是(1,2)-、(1,2)，故正确；C．当11x-<<时，函数在y轴右侧的部分，y随x的增大而减小，故错误；D．当函数22||3y x x=-+的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；故答案为：B、D；①从图象看，23m<<时，方程223x x m-+=有四个解，故答案为：23m <<；①如图，当直线y n =处于直线y m =或'y m =的位置时，点P 和图象上的点构成等腰直角三角形，即2n =或6．故答案为：2或6．【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，解题的关键是主要通过函数作图，确定函数的性质，依据函数的性质，确定函数与直线的位置关系，通过图象求解问题．。
中考数学专题 一元二次方程的整数根
解题思路：把 x2 xy 2 y2 29 看作关于 x 的二次方程，由 x 为整数得出关于 x 的二次方程的
根的判别式是完全平方数，从而确定 y 的取值范围，进而求出 x 的值.
【例 4】 试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程 rx2 (r 2)x r 1 0 有根且只有整数根.
于______________.
5．两个质数 a, b 恰是 x 的整系数方程 x2 21x t 0 的两个根，则 b a 等于（ ） ab
A． 2213
B． 58 21
2402
C．
49
D． 365 38
6．若 x2 mx 6 0 的两个根都是整数，则 m 可取值的个数是（ ）
A．2 个
例题与求解
【例 1】 已知关于 x 的方程 (4 k)(8 k)x2 (80 12k)x 32 0 的解都是整数，求整数 k 的值.
（绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两
种情形讨论，这样确定 k 的值才能全面而准确.
【例 2】 p, q 为质数且是方程 x2 13x m 0 的根，那么 q p 的值是（
x2 2( y 50)x ( y2 y) 0 ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.
【例 6】 试求出所有这样的正整数解 a ，使得二次方程 ax2 2(2a 1)x竞赛试题）
解题思路：本题有两种解法. 由于 a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以 a 为元，以 x 为已知数整理成
A．100
B．400
C．700
D．1000
（太原市竞赛试题）
9．求所有的实数 k ，使得方程 kx2 (k 1)x (k 1) 0 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）
一元二次方程整数根问题求解方法导析
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（责任编辑 赵良河）
中学生数理化 （初中版 ・ 初三使用）
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欲使 "&， 则 ! 应 取 $， 故所求的整数 ! "$ 均为正整数， )! 注 意 到 !!) ， 的值为 $! 二、 判别式法 例" 设 # 为自然数， 且 13#31-! 若方程 "$%$#$#%)’"*1#$%&1#*/, 求 # 的值 ! - 的两根均为整数， 导析： 方程两根均为整数， 4 # ,1#$#%)’$%1#1#$%&1#*/’,1#$#*&’ ，
导析： 如果我们只把注意力盯在 两 个 方 程 及 ! 为 整 数 上 ， 很容易钻 的牛角尖 ! 进 “设法求出两个方程的根， 再去求出 ! 的值” 实际上， 由于两个方程都有实数根， 所以 ! *!’ ， ! "!’! 这样便躲过 一元二次方程的求根公式， 直接找到 ! 所在的范围 !
! *&+#$,"#$-!-$!’. 即 */#*/!!’ ， !"*!
一元二次方程整数根问题
总结和展望
一元二次方程是数学中重要的一种方程类型，它具有广泛的应用和实际意义。未来，我们可以更深入地研究一 元二次方程的理论和应用，探索更多有趣的问题。
数学兴趣小组
如果你对数学感兴趣，可以加入你的学校或社区的数学兴趣小组，和志同道合的伙伴一起学习和探索。
图像特征
一元二次方程的图像是抛物线， 开口方向由a的正负性决定。
实际应用
一元二次方程可以用来建模和解 决现实生活中的问题，例如物体 运动、金融分析和天文学等。
一元二次方程整数根的概念
一元二次方程的整数根是指方程的解为整数的情况。我们需要找出如何判断方程是否有整数根。
1 定理
如果一元二次方程x²+px+q=0有整数根，那么它的两个根的和p和积q都是整数。
找出一元二次方程整数根的步骤和技巧
1
Step 1
先使用整除性判别法、完全平方数判别
Step 2
2
法和勾股数判别法判断方程是否有整数 根。
如果方程有整数根，可以使用试除法找
出正负两个根的可能值。
3
Step 3
将可能值带入方程验证，如果能够满足 方程的等式，则找到了方程的整数根。
一元二次方程整数根问题的实际应用
2 推论
当p和q都是整数时，一元二次方程x²+px+q=0可能有整数根。
判断一元二次方程是否有整数根的方法
整除性判别法
若方程的常数项q是一个质数 或一个质因数个数不超过2的 合数，则该方程没有整数根。
完全平方数判别法
若方程的判别式b²-4ac是一 个完全平方数，则该方程有 整数根。
勾股数判别法
若方程的系数a、b、c都是整 数，且a、b、c的最大公约数 为1，且有一个解为a、b、c 的三元组满足勾股定理，则 该方程有整数根。
九年级数学竞赛一元二次方程的整数解讲座
九年级数学竞赛一元二次方程的整数解讲座在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△= )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知、为质数且是方程的根，那么的值是( )A． B． C． D．思路点拨由韦达定理、的关系式，结合整数性质求出、、的值．【例3】试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当为整数时，关于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△= ( 为整数)解不定方程，讨论的存在性．注：一元二次方程(a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△= 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于的方程至少有一个整数根，求非负整数的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的的两个关系式中消去也较困难，又因的次数低于的次数，故可将原方程变形为关于的一次方程．学历训练1．已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有．2．已知方程有两个质数解，则m＝．3．给出四个命题：①整系数方程(a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程(a≠0)的根只能是无理数；④若、、均为奇数，则方程没有有理数根，其中真命题是． 4．已知关于的一元二次方程 ( 为整数)的两个实数根是、，则 = ．5．设rn为整数，且4 m40，方程有两个整数根，求m的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程(a≠0)至少有一个整数根，求的值．7．求使关于的方程的根都是整数的值．8．当为正整数时，关于的方程的两根均为质数，试解此方程．9．设关于的二次方程的两根都是整数，试求满足条件的所有实数的值．10．试求所有这样的正整数，使得方程至少有一个整数解．参考答案。
一元二次方程的整数根
所有可能的 p 值为 p = 3 或 p = 7 . 说明 :利用判别式是完全平方数 , 进而解 一个不定方程是求解一元二次方程整数根的 常用方法 . 例2 已知 a 、 b、 c 都是整数 , 且对一切 实数 x , 都有 ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c) 成立 . 求所有这样的有序数组 ( a , b , c) . 分析 : ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c ) 恒成立 , 即 x 2 - ( a + 2 005 ) x + ・ 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 这说明 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 解 :由题设知 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 故 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 所以 , Δ = ( a + 2 005) 2 - 4 ( 2 005 a - 2) = ( a - 2 005) 2 + 8 是完全平方数 . 令其为 n 2 , n 是正整数 , 则 ( n - a + 2 005) ( n + a - 2 005) = 8 . 由于 n - a + 2 005 与 n + a - 2 005 奇 偶性相同 , 且均大于 0 , 所以 , n - a + 2 005 = 2 , n - a + 2 005 = 4 , 或 n + a - 2 005 = 4 n + a - 2 005 = 2. 解得
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。
对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。
现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。
首先，我们需要判断方程是否有整数解。
根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。
因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。
接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。
对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。
如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。
对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。
具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。
需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。
此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。
九年级上册含参的一元二次方程讲义
含参的一元二次方程讲义含参的一元二次方程知识精讲一、含参数的一元二次方程含参数的一元二次方程是指未知数系数或者常数项含有参数的一元二次方程,解此类方程时要依照参数值和判别式的取值进行分类讨论,另外,利用方程解的情况来求解参数的取值范围或者是由参数的取值范围判断方程根的情况、二、一元二次方程的整数根关于一元二次方程的实根情况,能够用判别式来判别,然而关于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质。
方程有整数根的条件:假如一元二次方程有整数根,那么必定同时满足以下条件:1。
为完全平方数;2、或,其中为整数、以上两个条件必须同时满足,缺一不可。
另外,假如只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)、例题讲解判别式与解的关系例1。
1。
1已知,,为正数,若二次方程有两个实数根,那么方程的根的情况是( )Ａ。
有两个不相等的正实数根B、有两个异号的实数根Ｃ。
有两个不相等的负实数根D、不一定有实数根【答案】C【解析】的,∵二次方程有两个实数根,∴,∴,∴方程有两个不相等的实数根,而两根之和为负,两根之积为正、故有两个负根、故选C。
例1、1、2解关于的方程:【答案】,【解析】分类讨论,当时,原方程无解;当时,原方程是一元二次方程,解得,例1、１。
3设方程只有个不相等的实数根,求的取值和相应的个根、【答案】,相应求得方程根为,;,、【解析】方程等价于以下两个方程:①, ②,两方程无相同的根,由于原方程只有３个不相等的实根,故必有且只有方程①或②有重根,,,由于,故只估计是,即,相应求得方程根为,;,、特别解问题例1。
2、１已知关于x的方程(m≠0)(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)假如方程的两个实数根都是整数,求整数m的值、【答案】(1)见解析(２)或【解析】(1)证明:∵m≠0,∴是关于x的一元二次方程、∵,……………………………………………1分=９＞0。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1） 求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。
一元二次方程的整数根与有理根-初中数学知识点
一元二次方程的整数根与有理根一元二次方程的整数根与有理根例谈一元二次方程整 数根的求解 选自《初中数学竞赛》辅导丛书对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 的实数根问题，可以用根的判别式2=4b ac ∆- 来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有: (1 )直接求解， (2 )根的判别式法， (3 )根与系数的关系， (4 ) 巧设主元， (5 )构造函数等方法，另对公式1212x x x x ++ 的恒等变形也是解诀整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用。
下面笔者从近几年全国各地初中数学竞赛试题中选取有关一元二次方程整根的试题，供同行参考借鉴。
1. 直接求解例1 . m 是什么整数时方程()()221631720m x m x ---+= 有两个不相等的正整数根? 2 .利用判别式0∆≥例2. 已知方程()2320ax a x a --+-= 至少有一 个整数根，求整数a 的值例3. 求满足方程442214y x x y ++= 的所有整数对 (),x y3 .利用判别式∆ 是完全平方式例4. 设m 为整数且440m << ,方程()2222341480x m x m m --+-+= 有两个整数根，求m 的值和方程的根。
例5. x 为何有理数时代数式29+232x x -的值恰为两个连续正偶数的乘积?4 .利用韦达定理例6. 方程20x px q ++=的两个根都是正整数并且1992p q += ，求方程较大根与较小根之比。
例7. 求所有实数k 使方程()()2110kx k x k +++-= 的根都是整数5 .常元互换例8. 求出所有这样的正整数a 使得二次方程()()2221430ax a x a =-+-= 至少有一个整数根例9 . 使方程222170a x ax a ++-= 两根都是整数根的所有正数a 的和0 是多少?6 .利用整数性质例10 . 如果方程210x ax b -++= 的两 根12,x x 都为自然数，试证:22a b + 必为合数例11. 已知,m n 为整数，方程2+10530x mx n ++= 有实数，问方程有无整数根?7 .利用二次函数例12 .已知,b c 为整数， 方程250x bx c ++= 的两个根都大于1- 且小于0，求b 和c8 .综合应用例13 .已知关于x 的方程24832x nx n --= -- ---- ①和()22-3220x n x n +-+= ---- -②问是否存在这样的n 值， 使第一 个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?如存在，求出这样的n 值;如不存在，说明理由。
【九年级】九年级数学竞赛一元二次方程的整数解讲座
【九年级】九年级数学竞赛一元二次方程的整数解讲座在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式谋出来参数或求解的值域范围，或导入参数(设立△=)，通过穷举，迫近解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从更改主元进人，当方程中参数次数较低时，可以考量以参数居多元解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题解】【例1】若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路指点用因式分解法可以获得根的直观表达式，因方程的类型未阐明，故须按一次方程、二次方程两种情形探讨，这样确认就是的值就可以全面而精确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【基准2】未知、为质数且是方程的木，那么的值就是()a．b．c．d．思路指点由韦达定理、的关系式，融合整数性质谋出来、、的值．【例3】试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根．思路指点由于方程的类型未确定，所以应当分类探讨．当时，由根与系数关系获得关于r的两个等式，解出r，利用因式(数)水解先求出来方程两整数根．【例4】当为整数时，关于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果没有，请说明理由．思路指点T5800系数方程存有有理根的条件就是为全然平方数．设△=(为整数)解不定方程，讨论的存在性．备注：一元二次方程(a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=为全然平方数就是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于的方程至少有一个整数根，求非负整数的值．思路指点因根的则表示式繁杂，从韦达定理得出结论的的两个关系式中解出也较困难，又因的次数高于的次数，故可以将原方程变形为关于的一次方程．学历训练1．未知关于的方程的根都就是整数，那么符合条件的整数存有．2．已知方程有两个质数解，则m＝．3．得出四个命题：①T5800系数方程(a≠0)中，若△为一个全然平方数，则方程必存有有理根；②T5800系数方程(a≠0)中，若方程存有有理数根，则△为全然平方数；③无理数系数方程(a≠0)的木就可以就是无理数；④若、、均为奇数，则方程没有理数根，其中真命题就是．4．已知关于的一元二次方程(为整数)的两个实数根是、，则=．5．设rn为整数，且4<m<40，方程存有两个整数根，谋m的值及方程的木．(山西省竞赛题)6．已知方程(a≠0)至少有一个整数根，求的值．7．谋并使关于的方程的根都就是整数的值．8．当为正整数时，关于的方程的两根均为质数，试解此方程．9．设立关于的二次方程的两根都就是整数，试求满足条件的所有实数的值．10．试求所有这样的正整数，使得方程至少有一个整数解．。
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第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．
例1 m是什么整数时，方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得
由于x1，x2是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知
所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．
例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
解因为a≠0，所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
例4 关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．
解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，
要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．
综上所述，a的值为2，-4，-10．
说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．
例5 已知关于x的方程
x2＋(a-6)x＋a=0
的两根都是整数，求a的值．
解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
所以 (x1＋1)(x2+1)=7，
所以a=x1x2=0或16．
说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．
例6求所有有理数r，使得方程
rx2+(r+1)x＋(r-1)=0
的所有根是整数．
分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则
消去r得
x1x2-x1-x2＝2，
所以(x1-1)(x2-1)=3．
例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
至少有一个整数根，求a的值．
解将原方程变形为
(x＋2)2a= 2(x＋6)．
显然x＋2≠0，于是
由于a是正整数，所以a≥1，即
所以 x2+2x-8≤0，
(x＋4)(x-2)≤0，
所以-4≤x≤2(x≠-2)．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．
例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，
x2
(2)求证：b-1≤c≤b＋1；
(3)求b，c的所有可能的值．
解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，
(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理
c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1
=(x1＋1)(x2+1)≥0，
所以 c≥b-1．
同理有
所以 c≤b+1，
所以 b-1≤c≤b+1．
(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
(i)c=b＋1．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)＋1，
所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，
解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
(ii)c=b．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)，
所以 (x1+1)(x2＋1)=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
(iii)c=b-1．由韦达定理知
所以
综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．
练习二十六
1．填空：
(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，
(2)已知k为整数，且关于x的方程
(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0
有两个不相同的正整数根，则k=____．
(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，
(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．
(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．
2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程
(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0
有两个整数根，求m的值及方程的根．
3．已知关于x的一元二次方程
x2+(m-17)x+m-2=0
的两个根都是正整数，求整数m的值．
4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．
5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程
ax2＋2ax＋a-9＝0
至少有一个整数根．。