2019-2020年高三第一次模拟试题数学(文)含答案,推荐文档

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上海高中2024年高三第一次模拟考试(数学试题含解析)

上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023—2024学年四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学(文科)模拟试题(含答案)

D．若 c 0 ，则 ac bc
5．已知 5a
10b
，则
b a
（
）
A．
1 2
B．2
C． log510
D．1 lg2
6．已知 tan 2 ，则 sin2 （）
A．- 3 5
B． 4 5
C． 3 10
D． 7 10
7．若等比数列an首项 a1 2, a4 8 2 ，则数列an的前 n 项和为（）
件的的积属于区间（）
A． 1, 4
B．4, 7
C． 7,13
D．13,
二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框
图，若输入的 a，b 分别为 21，14，则输出的 a=
.
14．已知点
M
1,1, N
2,
m
，若向量
MN
与
a
m, 2 的方向相反，则
r a
．
15．已知函数
f
x
ex ex 2, x
x2 2x, x
0
0 ，则
f
x
的值域为
．
16．已知函数 f x, g x 的定义域为 R ，且 f x f x 6, f 2 x g x 4 ，若 g x 1 为奇
3．已知平面向量
a
与
b
的夹角为
45
,
a
b
2
，且
a
2 ，则
a
b
·
a
b
（
）
A． 2 2
B．-2
C．2
D． 2 2

天一大联考2020届高三第一次模拟考试[语文试题含答案]

天一大联考2020届高三第一次模拟考试语文一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成下面小题。

人工智能机器人写的诗、画的画、作的曲并不能被称作艺术品，因为艺术是创作者对客观世界的认识，是其主观情感的呈现，而艺术活动更多是一种创造的过程，它充满感性色彩，人类艺术创造最大的特征就是情感化。

而人工智能是理性的，它整套艺术生产逻辑基于数据，即便人工智能的文艺创作开始加入情感激发和随机化模块，但创作的内容仍然是从大量作品中提取、分解、组合而成，这种重组方式不能称为情感化的艺术创作。

人工智能目前没有可能创造与人类智力相当或者超过人类智力的作品，因为极具个人色彩的创造性活动是无法复制的。

人类对人工智能文艺创作能力的抗拒和排斥，一方面基于主观情感上的“一时难以接受”，因为在人工智能时代，文学艺术可能会是人工智能机器人留给人类的最后一片施展才华的乐园；另一方面，人工智能在文艺方面的“造诣”，尚处在“低幼”阶段，离人类的文艺创作水平还差很远，并且在相当长一段时间内，仍然难以跟人类匹敌。

以微软机器人“小冰”的绘画作品为例，乍一看，颇具“艺术色彩”，但仔细观察会发现那些作品仍然难以摆脱元素堆砌的痕迹。

就像“中国的城市化进程”这个主题，小冰所画的内容基本上都在“建筑”“人”“家具”这几个模棱两可的元素上来回重复。

而即便是输入“城市”这个关键词，小冰依旧会把城市跟椅子、时钟这类元素联系到一起，画作也不算完整，甚至过于抽象。

人工智能对于人类生存现实基础的改变，迫使人们不得不重新思考艺术与现实的关系、作家和艺术家在艺术活动中的地位、艺术存在的意义及其终极走向等一系列问题。

正如艺术批评家李心沫所言，在人类的绘画作品和运用人工智能程序绘制的作品已经很难被人进行区分的今天，我们已经无法对人工智能视而不见，一味地唯我独尊或排斥是没有意义的。

在人工智能与经济社会同频共振的趋势下，艺术世界将会发生巨大改变，并重塑艺术的边界，其未来是否会影响到艺术家的主体性身份？是否原本只有人类可以胜任的艺术工作，将被人工智能取代？这些问题，只有交给时间来回答。

北京市东城区2020届高三下学期4月第一次模拟新高考适应考试数学试题 Word版含答案

2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．23．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．7207．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝48．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．969．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）三、解答题16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：C．2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】利用复数模长的性质即可求解．解：∵复数z＝，∴＝＝，故选：A．3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【分析】根据x＜0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）≤﹣4，并且x＝﹣1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．解：∵x＜0，∴，当且仅当，即x＝﹣1时取等号，∴f（x）有最大值，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．故选：A．5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a＞﹣b＞0，即a＞0，b＜0，满足a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有＝36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有＝2种情况，则有36×2＝72种不同的坐法；故选：C．7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，即：⇒a＝1，∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：A．8．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．96【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由a1a5a9＝27，可得a53＝27，即a5＝3，即a1q4＝3，①a6与a7的等差中项为9，可得a6+a7＝18，即a1q5+a1q6＝18，②①②相除可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则a10＝a5q5＝3×32＝96．故选：D．9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，故选：C．10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C 中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n （C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B ∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n （A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：C．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行的条件直接求解．解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．故答案为：．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝1．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），∴tan（α+）＝＝﹣，故α+为第二象限角．∴可令α+＝，此时，α＝，sinα＝1，故答案为：1．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥DE，从而A1O⊥平面BCDE，由此能证明A1O⊥BD．（Ⅱ）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．∴A1O⊥DE，∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，∴A1O⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴A1O⊥BD．（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（0，1，2），设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣1），设直线A1C和平面A1BD所成角为θ，则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．【分析】取①，由余弦定理可得cos B＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：tan B＝1，B∈（0，π），解得B，可得sin C＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；解：（1）若选择①，由余弦定理，……………因为B∈（0，π），所以；……………………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以………所以．……………（2）若选择②a cos B＝b sin A，则sin A cos B＝sin B sin A，……………因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，……………因为B∈（0，π），所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，…所以．……………（3）若选择③，则，所以，……………因为B∈（0，π），所以，所以，所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，………18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：＝（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，众数为33．（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a＞35时，X＝35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X＝136）＝，P（X＝147）＝，P（X＝154）＝，P（X＝189）＝，P（X＝203）＝，X的分布列为：X136147154189203P＝．（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a＝0存在大于0的实数根，根据y＝x2+x+a 在x＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）＝﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．解：（1）由f（x）＝lnx﹣﹣1得：f′（x）＝，（x＞0），由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）＝，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）＝及题设得：g′（x）＝＝，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f（e）＝﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；（II）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，可得l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．可得直线P'Q的方程可以为，令y＝0，，把根与系数的关系代入化简即可得出．解：（Ⅰ）∵椭圆C：，∴c2＝a2﹣b2＝4，解得c＝2，∴焦点F（2，0），离心率．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，∴m＝﹣2k，∴l：y＝k（x﹣2）．由，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．∴直线P'Q的方程可以设为，令y＝0，＝＝＝＝3．∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．【分析】（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（Ⅲ）令S n＝a1+a2+…+a n，则．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．再由成立证明a n为常数．【解答】（Ⅰ）解：m＝5时，数列{a n}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，又数列{a n}的前3项互不相等，（1）当a2＝0时，若a3＝1，则a3＝a4＝a5＝ (1)且对n≥3，都为整数，∴m＝2；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝4；（2）当a2＝1时，若a3＝0，则a3＝a4＝a5＝ 0且对n≥3，都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝3；综上，m的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n≥1，令S n＝a1+a2+…+a n，则．又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及a n+1均为整数，∴＝a n+1＝，故＝常数．从而＝常数．故存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．。

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题含答案

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分）又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分）在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分）（2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分）（2）由，且当时，，当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立，（11分）令，∵ ，∴ ，在上单调递增，∴ ，解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ，推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分）（3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分）由于右边大于，则，即，考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分）当时，，代入（**）式得，解得；当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题 Word版含答案

南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试卷2020.1.14一、填空题1.已知集合 A ＝ {-1，0，2}， B ＝ {-1，1，2}，则 A ∩B =________.2.已知复数 z 满足(1+ i ) z ＝ 2i ，其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.5.已知等差数列{a n } 的公差 d 不为 0 ，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则1a d的值为_____. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.7.在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为______.8.已如函数.若当 x ＝6π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值为______.9. 已知函数 f (x ) ＝ (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈R ) 是奇函数 . 若对于任意的 x ∈ R ，关于 x 的不等式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上，且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若2CD DA =，则 BD 的最小值为______.13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C 1 : x 2 + y 2 ＝ 8 与圆C 2 : x 2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A ，B 两点.若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + 2af (x )+1- a 2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15. (本小题满分14 分)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D，E 分别为BC，AC 的中点。

江苏省南京2019届高三一模数学含答案

2019届高三年级第一次模拟考试数学 (满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. 若集合A ＝(－∞，1]，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝a ＋i (其中i 为虚数单位)．若zz ＝2，则实数a 的值为________．3. 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝________.4. 从1，2，3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________．5. 在如图所示的流程图中，若输入x 的值为－4，则输出c 的值为________．(第5题)(第9题)6. 若双曲线x 22－y 2m＝1的离心率为2，则实数m 的值为________．7. 已知y ＝f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln 2)的值为________．8. 已知等比数列{a n }为单调递增数列，设其前n 项和为S n .若a 2＝2，S 3＝7，则a 5的值为________．9. 如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E 、F 分别为AB 、PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．10. 设A ＝{(x ，y)|3x ＋4y ≥7}，点P ∈A ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r>o)的两条切线PA 、PB.若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为________．11. 设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，其中ω>0.若函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．12. 若正实数a 、b 、c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________． 13. 设函数f(x)＝x 3－a 2x(a>0，x ≥0)，O 为坐标原点，A(3，－1)，C(a ，0)．若对此函数图象上的任意一点B ，都满足OA →·OB →≤OA →·OC →成立，则a 的值为________．14. 若数列{a n }满足a 1＝0，a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3，a 4n a 4n －1＝a 4n ＋1a 4n＝12，其中n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n <m 成立，则m 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记△ABC 的面积为S ，且2S ＝AB →·AC →. (1) 求角A 的大小；(2) 若c ＝7，cos B ＝45，求a 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、CC 1上的点(点D 不同于点C)，且AD ⊥DE ，F 为棱B 1C 1上的点，且A 1F ⊥B 1C 1.求证：(1) 平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2) A 1F ∥平面ADE.盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝m ln x－x＋600xx2＋144－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6.(1) 求实数m的值；(2) 求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln 6＝1.8)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k(x －m)(m ∈R )与椭圆C 相交于P 、Q 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．(1) 若函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，求t的取值范围；(2) 求证：对任意实数t，在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；(3) 当t＝3时，若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．已知数列{a n}，其中n∈N*.(1) 若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q>0，n∈N*)．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n＋2－3，n∈N*, 若a1＝1，a2＝2，且|a2n＋1－a n a n＋2|≤k恒成立，求k的最小值．2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)直线l ：2x －y ＋3＝0经过矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d 变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t(t 为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知正实数x 、y 、z ，满足x ＋y ＋z ＝3xyz ，求xy ＋ yz ＋xz 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA ＝AB＝2，E是棱PB的中点．(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2) 求二面角BECD的余弦值．23. (本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C0n＋a2C1n＋a3C2n＋…＋a n C n n＝(a n＋2－1)·2n－1成立．＋1(1) 求a3的值；(2) 证明：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)数学参考答案1. {－1，1}2. ±13. 804. 135. 46. 67. －38. 169. 36 10. 1 11. ⎣⎡⎭⎫56，43 12. 87 13. 6214. 815. (1) 由2S ＝AB →·AC →，得bc sin A ＝bc cos A ，因为A ∈(0，π)，所以tan A ＝1，即A ＝π4.故A 的大小为π4.(6分)(2) 在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以sin B ＝35，所以sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A·sin B ＝7210.(10分)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a 22＝77210，解得a ＝5.故a 的值为5.(14分)16. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC.(2分) 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.又因为AD ⊥DE ，在平面BCC 1B 1中，BB 1与DE 相交，所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 又因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1.(8分) 因为A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1F.又因为A 1F ⊥B 1C 1，在平面BCC 1B 1中，BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.(10分) 在(1)中已证得AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD.又因为A 1F ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE.(14分) 17. (1) 由题意，得f(6)＝29.6，代入f(x)＝m ln x －x ＋600xx 2＋144－6(4≤x ≤22，m ∈R )，得m ln 6－6＋600×662＋144－6＝29.6，解得m ＝12.(5分)(2) 由已知函数求导得f ′(x )＝12－x x ＋600·144－x 2（x 2＋144）2＝(12－x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x ＋600（12＋x ）（x 2＋144）2.令f ′(x )＝0得x ＝12，(9分)当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以函数在x ＝12处取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．(12分)答：(1) 实数m 的值为12.(2) 每天空气质量指数最高的时刻为12时．(14分)18. (1) 在椭圆C 中，2c ＝2，两准线间的距离为2·a 2c ＝8，即a 2c ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ①由(1)得，点A(－2，0)，设点P(x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q(－x 0，－y 0)．由x 204＋y 203＝1得y 20＝3－3x 204，(5分) 所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.故k 1k 2的值为－34.(8分)②由(1)得，点A(－2，0)．设点P(x 1，y 1)，则直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k 1（x ＋2），消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，(10分)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21，代入y ＝k 1(x ＋2)，得y 1＝12k 13＋4k 21，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21.(12分)由k 1k 2＝－14得k 2＝－14k 1，整体代换得点Q(24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k )．(13分) 设M(m ，0)，由P 、Q 、M 三点共线，得PM →∥QM →，即12k 13＋4k 21·⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21－21＋12k 21－m ＝－12k 11＋12k 21·(6－8k 213＋4k 21－m)，化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，解得m ＝1.故实数m 的值为1.(16分)19. (1) 由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1，得f′(x)＝3x 2－2tx ，由f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝23t. 因为函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，所以23t ≤0或23t ≥1，解得t ≤0或t ≥32. 故t 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(4分)(2) 由(1)知f′(x)＝3x 2－2tx ，令f′(x)＝1，则3x 2－2tx －1＝0，所以Δ＝(－2t)2＋12>0，即对任意实数t ，f′(x)＝1总有两个不同的实数根x 1，x 2，所以不论t 为何值，函数f(x)的图象在点x ＝x 1，x ＝x 2处的切线平行．(8分)设这两条切线的方程分别为y ＝(3x 21－2tx 1)x －2x 31＋tx 21＋1和y ＝(3x 22－2tx 2)x －2x 32＋tx 22＋1.若两条切线重合，则－2x 31＋tx 21＋1＝－2x 32＋tx 22＋1，即2(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝t(x 1＋x 2)，即2[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]＝t(x 1＋x 2)．又x 1＋x 2＝2t 3，所以x 1x 2＝t 29，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t 29－4t 29＝0，即x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾，所以这两条切线不重合．综上，对任意实数t ，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行．(10分)(3) 当t ＝3时，f(x)＝x 3－3x 2＋1，则f ′(x)＝3x 2－6x ，由(2)知当x 1＋x 2＝2时，两切线平行．设A(x 1，x 31－3x 21＋1)，B(x 2，x 32－3x 22＋1)，不妨设x 1>x 2，则过点A 的切线方程为y ＝(3x 21－6x 1)x －2x 31＋3x 21＋1.(11分)所以两条平行线间的距离d ＝||2x 32－2x 31－3（x 22－x 21）1＋9（x 21－2x 1）2 ＝||（x 2－x 1）[]2（x 1＋x 2）2－2x 1x 2－3（x 1＋x 2）1＋9（x 21－2x 1）2＝4，化简得(x 1－1)6＝1＋9[(x 1－1)2－1]2，(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ≥0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2－8λ＋10)＝0，显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有三解．又(x 1－1)2＝λ(λ≥0), x 1>x 2, x 1＋x 2＝2，所以x 1有三解，所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)20. (1) ①由a 4－a 3＝4，a 3－a 2＝2，a 2－a 1＝1，累加得a 4＝8.(3分)②因为a n ＋1－a n ＝q n －1，所以a n －a n －1＝q n －2，…，a 2－a 1＝1，当q ＝1时，a n ＝n ，满足题意；当q ≠1时，累加得a n ＋1＝1－q n1－q＋a 1，所以a n ＝1－q n －11－q＋a 1.(5分) 若存在r ，s ，t 满足条件，化简得2q s ＝q r ＋q t ，即2＝q r －s ＋q t －s ≥2q r ＋t －2s ＝2，此时q ＝1(舍去)．(7分)综上所述，符合条件q 的值为1. (8分)(2) 由c n ＝b n ＋2－3，n ∈N *可知c n ＋1＝b n ＋3－3，两式作差可得b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，又由c 1＝1，c 2＝4，可知b 3＝4，b 4＝7，故b 3＝b 2＋b 1，所以b n ＋2＝b n ＋1＋b n 对一切的n ∈N *恒成立．(11分)对b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，b n ＋2＝b n ＋1＋b n 两式进行作差可得a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1，又由b 3＝4，b 4＝7可知a 3＝1，a 4＝3，故a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥2)．(13分)又由a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2＋a n ＋1)＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2a n ＋1)＝－a 2n ＋1＋a n a n ＋2，n ≥2，所以|a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3|＝|a 2n ＋1－a n a n ＋2|，(15分)所以当n ≥2时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝5；当n ＝1时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝3，故k 的最小值为5.(16分)21. A . 设直线l 上一点(x ，y )，经矩阵M 变换后得到点(x ′，y ′)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝x ＋dy ，因为变换后的直线还是直线l ，将点(x ′，y ′)代入直线l 的方程，得2ax －(x ＋dy )＋3＝0，即(2a －1)x －dy ＋3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝2，－d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，d ＝1，(6分) 所以令矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a 0－1λ－d ＝(λ－a )(λ－d )＝0，解得λ＝a 或λ＝d ，所以矩阵的M 的特征值为32与1.(10分) B. 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2－2x ＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1，0)，半径r ＝1.(3分)又⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t ，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y －2＝0，(6分)所以圆心到直线l 的距离d ＝||1－212＋（3）2＝12，所以直线l 被圆C 截得的弦长为212－⎝⎛⎭⎫122＝ 3. (10分)C. 因为x ＋y ＋z ＝3xyz ，所以1xy ＋1yz ＋1zx ＝3.(5分) 又(xy ＋yz ＋zx )·⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ≥(1＋1＋1)2＝9，所以xy ＋yz ＋zx ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号，所以xy ＋yz ＋zx 的最小值为3. (10分)22. (1) 因为PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．又因为PA ＝AB ＝2，AD ＝1，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)．(2分) 因为E 为棱PB 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫22，0，22，所以EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，PD →＝(0，1，－2)，所以cos 〈EC →，PD →〉＝1＋112＋1＋12×1＋2＝63，所以异面直线EC 与PD 所成角的余弦值为63.(6分) (2) 由(1)得EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，BC →＝(0，1，0)，DC →＝(2，0，0)．设平面BEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 1＋y 1－22z 1＝0，y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝1，所以平面BEC 的一个法向量为n 1＝(1，0，1)．设平面DEC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 2＋y 2－22z 2＝0，2x 2＝0，令z 2＝2，则y 2＝1，所以平面DEC 的一个法向量为n 2＝(0，1，2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝21＋1×1＋2＝33，由图可知二面角BECD 为钝角，所以二面角BECD 的余弦值为－33. (10分)23. (1) 在a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋a 3C 2n ＋…＋a n ＋1C n n ＝(a n ＋2－1)·2n －1中，令n ＝1，则a 1C 01＋a 2C 11＝a 3－1，由a 1＝1，a 2＝3，解得a 3＝5. (3分)(2) 假设a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列，则a k ＝2k －1. ①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5, 此时假设成立；(4分) ②当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列．(5分)由a 1C 0k －1＋a 2C 1k －1＋a 3C 2k －1＋…＋a k C k －1k －1＝(a k ＋1－1)·2k －2，k ≥2，对该式倒序相加，得(a 1＋a k )2k －1＝2(a k ＋1－1)·2k －2，所以a k ＋1－a k ＝a 1＋1＝2，所以a k ＋1＝2k ＋1＝2(k ＋1)－1.根据①、②可知数列{}a n 是等差数列．(10分)。

贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案

江西省贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案贵溪市实验中学高中部2019-2020学年第一学期第一次月考高三(文科）数学试卷考试时间：120分钟总分：150 命题人：第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}31|<<-=x x A ，(){}1lg |-==x y x B ，则()=⋂B C A R （）A 。

()3,1B 。

()3,1- C.()1,1- D.(]1,1-2．已知命题:p x R ∀∈,1sin x e x ≥+。

则命题p ⌝为( ） A ．x R ∀∈，1sin x e x <+ B ．x R ∀∈，1sin x e x ≤+ C ．0x R∃∈，001sin x e x ≤+D ．0x R∃∈，001sin x e x <+3．下列哪一组函数相等（） A 。

()()xx x g x x f 2==与B.()()()42x x g x x f ==与C.()()()2x x g x x f ==与D.()()362x x g x x f ==与 4. = 255tan （）A ．3-2- B ．32-+C ．3-2D ．32+5．设a ，b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的(） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．()的图像为函数R x x y x ∈-=22（） A.B.C 。

D 。

7．已知定义在R 上的函数f （x ),其导函数f ′(x ）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）①f （b )＞f （a ）＞f （c ）；②函数f （x )在x ＝c 处取得极小值在x ＝e 处取得极大值;③函数f （x ）在x ＝c 处取得极大值在x ＝e 处取得极小值;④函数f （x ）的最小值为f （d ）．A.③ B 。

2019-2020学年江西省高三（上）第一次大联考数学试卷2（含答案解析）

2019-2020学年江西省⾼三（上）第⼀次⼤联考数学试卷2（含答案解析）2019-2020学年江西省⾼三（上）第⼀次⼤联考数学试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =lg(1?x)}，B ={y|y =2x +1}，则( )A. A ∩B ={x|x <0}B. A ∪B =RC. A ∪B ={x|x >1}D. A ∩B =? 2. 已知集合M ={x|?2x +1>0}，N ={x|x 12 B. a <12 C. a ≤12 D. a ≥12 3. 下列命题中的真命题是( )A. 2>5B. (?1)2<0C. 12≥5D. a 2<04. 函数f(x)=x 2?2ax +3在区间[2,3]上是单调函数，则a 的取值范围是( )A. a ≤2或a ≥3B. 2≤a ≤3C. a ≤2D. a ≥35. 函数y =lnx 2的图像可能是( )A. B.C. D.6. 设函数f (x ?2)=2x +5，则f (2)=( )A. 11B. 13C. 15D. 97. 如果log 12x x >1D. x >y >1 8. 已知x ，y ∈R ，则“x +y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充分且必要条件D. 不充分也不必要条件 9. 已知函数f(x)=2lnx +x 22+(5?m)x 在(4,5)上单调递增，则实数m 的取值范围是( )A. (?∞,5+2√2]B. (?∞,192)C. (?∞,5+2√2)D. (?∞,192] 10. 已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x ≤0时，f(x)=log 2(1?x).若f(a 2?1)<1，则实数a 的取值范围是( )A. (?√2,0)∪(0,√2)B. (?√2,√2)C. (?1,0)∪(0,1)D. (?1,1)11. 函数f(x)={1?x 2(x <1)2?x (x ≥1),f[f(?4)]=( ) A. 12 B. 18 C. 2 D. 812.已知函数f(x)=lnx?(a+1)x，若关于x的不等式f(x)>0恰有3个整数解，则这3个整数解为()A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.函数f(x)=1xlnx的单调递增区间是______ ．14.曲线f(x)=2?xe x在点(0,2)处的切线⽅程为______ ．15.命题“?x∈[?1,1]，x2?3x+1<0”的否定是______．16.函数的最⼤值为______，此时x=__________________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70.0分）17.已知：命题p：和是⽅程的两个实根，且不等式对任意实数m∈[?1,1]恒成⽴；命题q：函数的定义域为R.若命题p是假命题，命题q是真命题，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=a?b2x+1(a,b为常数)是奇函数，且f(1)=13．(1)求实数a，b的值；(2)若函数g(x)=(4x?1)f(x)?k有两个不同零点，求实数k的取值范围；19.已知函数f(x)=e x?x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)>kx对任意的x>0恒成⽴，求实数k的取值范围．20.已知函数f(x)=x2?2ax+2，x∈[?2,3]．(1)当a=?2时，求函数f(x)的最⼤值和最⼩值．(2)求y=f(x)在区间[?2,3]上的最⼩值．21.已知函数f(x)=xlnx+ax+b在(1,f(1))处的切线为2x?2y?1=0．(1)求实数a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．+ln(1+x)22.设函数f(x)=11+x(1)求函数f(x)的单调区间；x2+1．(2)证明：当x∈(0,1)时，f(x)<(1?ln2)x3+12-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A ={x|y =lg(1?x)}={x|x <1}，B ={y|y =2x +1}={y|y >1}，∴A ∩B =?．故选：D ．先分别求出集合A 和B ，利⽤交集定义能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能⼒，考查函数与⽅程思想，是基础题．2.答案：D解析：解：M ={x|?2x +1>0}={x|x <12}，∵M ?N ，由数轴得∴a ≥12.故选：D ．化简集合M ，利⽤数轴求解．本题考查了集合的包含关系，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵2>5为假命题；(?1)2=1<0为假命题；12≥5为真命题a 2≥0恒成⽴，a 2<0为假命题；故选C根据实数⼤⼩的关系，可以判断A ，C 的真假，根据实数平⽅具有⾮负性，可以判断B ，D 的真假，进⽽得到答案．本题考查的知识点是命题的真假判断与应⽤，是对真假命题定义的直接考查，属于基础题，认真解答，属于送分题．4.答案：A解析：解：∵函数f(x)=x 2?2ax +3的图象是开⼝⽅向向上，且以x =a 为对称轴的抛物线故函数f(x)=x 2?2ax +3在区间(?∞,a]为减函数，在区间[a,+∞)上为增函数，若函数f(x)=x 2?2ax +3在区间[2,3]上为单调函数，则a ≤2，或a ≥3，故答案为：a ≤2或a ≥3．故选：A ．由已知中函数的解析式f(x)=x 2?2ax +3，根据⼆次函数的图象和性质，判断出函数f(x)=x 2?2ax +3在区间(?∞,a]为减函数，在区间[a,+∞)上为增函数，由函数f(x)=x 2?2ax +3在区间[2,3上为单调函数，可得区间在对称轴的同⼀侧，进⽽构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围．本题考查的知识点是⼆次函数的性质，其中根据函数f(x)=x2?2ax+3在区间[2,3]上为单调函数，判断出区间在对称轴的同⼀侧，进⽽构造关于a的不等式是解答本题的关键．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的图像．【解答】解：因为函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除C，D⼜函数y=lnx2在(0,+∞)上为增函数，故排除A，故选B．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的基本概念，是基础题．令x=4，代⼊解析式即可求值．【解答】解：因为f(x?2)=2x+5，令x=4，所以f(2)=f(4?2)=2×4+5=13．故选B．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查了对数函数的单调性．利⽤底数⼩于1时，对数函数为减函数得出x，y，1的⼤⼩关系．【解答】解：log12x2y<0=log121，因为为减函数，则x>y>1．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于简单题．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进⾏解答即可．【解答】解：若x≤12且y≤12”，则x+y≤12+12=1成⽴，即必要性成⽴，当x=1，y=0时，满⾜x+y≤1，但x≤12且y≤12不成⽴，即充分性不成⽴，则“x+y≤1”是“x≤12且y≤12”必要不充分条件，故选：B．9.答案：D解析：解：函数在(4,5)上单调递增，∴f′(x)=2x+x+5?m≥0，化为：m≤2x+x+5，⽽g(x)=2x+x+5在(4,5)上单调递增，∴g(x)>g(4)=192．∴m≤192．则实数m的取值范围是(?∞,192].故选：D．函数f(x)=2lnx+x22+(5?m)x在(4,5)上单调递增，f′(x)≥0，化为：m≤2x+x+5，⽽g(x)=2x+x+5在(4,5)上单调递增，即可得出最⼩值．本题考查了利⽤导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．10.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，⼀元⼆次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1?x)为减函数，结合偶函数f(x)满⾜f(?1)=1，可得答案．。

上海市徐汇区2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题 (含答案解析)

上海市徐汇区2020届高考一模试卷数学一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝．2．向量在向量方向上的投影为．3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为．4．复数的共轭复数为．5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是．6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝．7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．8．已知等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，若数列{S n}是递增数列，则a1的取值范围是．9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为．10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3且（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是．12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（）A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：415．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣9，11）B．（﹣25，﹣9）C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞）D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i ＝n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i+n i＜m j+n j，则排在前面；②若m i+n i ＝m j+n j，且n i＜n j，则排在的前面，按此规则排列得到数列{a n}．（例如：，，，……）．（1）依次写出数列{a n}的前10项；（2）对数列{a n}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．上海市2020届徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝{x|x≤1或x＞2} ．【解答】解：∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．向量在向量方向上的投影为 3 ．【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）＝＝＝，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）＝5×＝3，故答案为3；3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为55 ．【解答】解：二项式（3x﹣1）11的二项展开式的通项公式T r+1＝•（3x）11﹣r•（﹣1）r，令r＝2，可得中第3项的二项式系数为＝＝55，故答案为：55．4．复数的共轭复数为．【解答】解：∵＝，∴．故答案为：．5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是a≤﹣2或a≥2 ．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），即2≤|a|，∴a≤﹣2或a≥2，故答案为：a≤﹣2或a≥2．6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝．【解答】解：令arcsin（2x+1）＝即sin＝2x+1＝解得x＝故答案为：7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：因为x∈R，条件p：x2＜x，所以p对应的集合为A＝（0，1）；因为条件q：≥a（a＞0），所以q对应的集合为B＝（0，]；因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，所以，所以0＜a≤1，故答案为：（0，1]．8．已知等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，若数列{S n}是递增数列，则a1的取值范围是（﹣3，+∞）．【解答】解：S n＝na1+．∵数列{S n}是递增数列，∴S n+1＞S n，∴（n+1）a1+×3＞na1+．化为：a1＞﹣3n，对于∀n∈N*都成立．∴a1＞﹣3．故答案为：（﹣3，+∞）．9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为840 ．【解答】解：根据题意，0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有8种：0与2，1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9分2种情况讨论：①当个位与千位数字为0，2时，只能千位为2，个位为0，有A82＝56种，②当个位与千位数字为1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9时，先排千位数字，再排十位数字，最后排个位与百位，有7×A82×A22＝784种，共784+56＝840；故答案为：840．10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点F（，0），且斜率为的直线方程为，所以，整理得9x2﹣15x+4＝0，解得，当x＝时，解得y＝，设点M（），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，所以N（，）．所以NF的直线方程为，所以当M（）到直线的距离d＝＝．故答案为：11．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3且（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是（）．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3，当n＝1时，，解得，当n＝3时，，整理得，①当n＝4时，，整理得，②由①②得：，所以，整理得，解得，所以：实数p的取值范围是（），故答案为：（）．12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是[2﹣12，+∞）．【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象，x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0，即为f（x）＜m（x+2）+2，作出直线y＝m（x+2）+2，其恒过定点（﹣2，2），由解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，可得x1＜0，x2＜0，x3＞0，当x≤﹣1时，x1，x2，是方程x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0的两个实根；即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的两个实根，∴x1+x2＝m﹣6；当x＞﹣1时，x3是方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根；∴x3＝；∴结合图象可得m＜0，当直线y＝m（x+2）+2经过（0，1）时，可得2m+2＝1，解得m＝﹣；当直线y＝m（x+2）+2与直线y＝1﹣4x平行时，m＝﹣4．由直线y＝m（x+2）+2在y＝f（x）的上方，可得﹣4＜m＜﹣．∴m+4＞0，∴x1+x2+x3＝m﹣6+＝m+4+﹣12≥2﹣12＝2﹣12；当且仅当m+4＝时，即m＝﹣4+时取等号；故答案为：[2﹣12，+∞）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（）A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 【解答】解：由＝可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率﹣，由题意可知所求直线的斜率率k＝﹣，故所求的直线方程为y＝﹣（x﹣1）即3x+5y+3＝0．故选：B．14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：4【解答】解：∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．又∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，∴相似比为1：＝：2．则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是：2．故选：C．15．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣9，11）B．（﹣25，﹣9）C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞）D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）【解答】解：化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则|C1C2|或|C1C2|＜，即5＞或5，解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．故选：D．16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由三角形垂心性质可得，，不妨设＝x，∵3+4+5＝，∴，∴，同理可求得，∴．故选：D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．【解答】解：（1）圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．所以圆锥的高为h＝．所以，S圆锥侧＝π•1•3＝3π．（2）如图所示：在圆锥中，作MN∥SP，交OP于N，则异面直线AM与PS所成的角为∠AMN．依题意：AM＝，MN＝，AN＝，所以＝，所以面直线AM与PS所成角的大小．18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．【解答】解：（1）若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对于任意实数恒成立．即：x2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，所以|x+a|＝|x﹣a|恒成立，即a＝0．（2）在的基础上，讨论x﹣a的符号，①当x≥a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．②当x＜a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．又由于a时，，所以函数f（x）的最小值为．19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，∴DF＝；在Rt△ABF中，BF＝＝3，∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km）∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km）∴景点C与景点D之间的距离约为4km．20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i ＝n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i+n i＜m j+n j，则排在前面；②若m i+n i ＝m j+n j，且n i＜n j，则排在的前面，按此规则排列得到数列{a n}．（例如：，，，……）．（1）依次写出数列{a n}的前10项；（2）对数列{a n}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．【解答】解：（1）依题意，数列{a n}的前10项为：，，，，，，，，，；（2）依题意按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，∴前10项和为：S10＝+++＝5；求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即＝2019，∴n∈（63，64），数列分母取慢2﹣64时，共有＝2016项，所有分母为65的还有3项，即：，，，∴数列{b n}前2019项为：{，，，，，，，，，，…，，，，}，当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S＝+++…+＝，∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′＝+++…+＝•＝1008，S2019＝S′+＝1008，（3）依题意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，这种情况B中的元素最多．21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【解答】解：（1）由题意得椭圆方程：＝1，所以A（0，2），设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5•（1﹣）+（y﹣2）2＝﹣y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，∴椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）的方法：椭圆方程：+＝1，A（0，2）设P（（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2•（1﹣）+（y﹣2）2＝（﹣+1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，讨论：①当开口向上时，满足：⇒⇒﹣2＜a＜2（舍）；②当开口向下时，满足⇒2＜a≤2，综上a的范围：（2，2]．（3）a＝2，椭圆方程：+＝1，由题意：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：y＝x+2⇒M （，0）则直线AQ：y＝+2⇒N（，0），MN为直径的圆过定点C（m，n）则，＝0，所以得定点（0，2）．。

2019-2020学年新疆兵团二中高三(上)第一次月考数学试卷1(9月份) (含答案解析)

2019-2020学年新疆兵团二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A =｛x ｜2x 2−x ≥0｝，B =｛y ｜y >−1｝，则A ∩B =( )A. (−1,0]B. (−1,12] C. [12,+∞)D.2. 当复数z =m 2+m−6m+(m 2−2m)i 为纯虚数时，则实数m 的值为( )A. m =2B. m =−3C. m =2或m =−3D. m =1或m =−33. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是( )A. y =1x B. y =x 2C. y =2|x|D. y =cosx4. 已知命题“∀x ∈R ，x 2−2ax +3≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A. a =√3B. a >√3或a <−√3C. −√3<a <√3D. −√3≤a ≤√35. 已知命题p 1：存在正数a ，使函数y =2x +a ⋅2−x 在R 上为偶函数；p 2：对任意的x ∈R ，函数y =sinx +cosx +√2的值恒为正数，则在命题q 1:p 1∨p 2，q 2:p 1∧p 2，q 3:(¬p 1)∨p 2和q 4:p 1∧(¬p 2)中，真命题是( )A. q 1，q 3B. q 2，q 3C. q 1，q 4D. q 2，q 46. 若函数f(x)={(14)x,x ∈[−1,0),4x,x ∈[0,1],则f(log 43)=( )A. 13B. 14C. 3D. 47. 曲线f (x )=ln (2x −1)−x 在点(1,−1)处的切线方程是( )A. x +y +2=0B. x +y −2=0C. x −y +2=0D. x −y −2=08. 函数f (x )=log a | x |+1(a >1)的图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f(32+x)=f(x −32)且x ∈(−32,0)时，f(x)=log 2(−3x +1)，则f(2020)=( )A. 4B. log 27C. 2D. −210. 函数f(x)=sinx 在区间(0,5π)上可找到n(n ≥2)个不同数x 1，x 2，…，x n ，使得：f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n，则自然数n 的所有可能取值集合为( )A. {2,3}B. {2,3，4}C. {2,3，4，5}D. {3,4，5，6}11. 已知函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤√31−log 3x,x >√3，若f(a)=f(b)=f(c)且a <b <c ，则ab +bc +ac 的取值范围为( )A. (1,4)B. (1,5)C. (4,7)D. (5,7)12. 已知函数f(x)在R 上满足f(x)+f(−x)=x 2，当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>x.若f(1+a)−f(1−a)≥2a ，则实数a 的取值范围是( )A. [0,+∞)B. [1,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥y ≤1x −y −2≤0，则z =2x−2y 的最大值为________． 14. 若函数是偶函数，则实数a 的值为________．15. 定义在R 上的偶函数f(x)在(−∞,0]上递减，f(−1)=0，则满足f(log 2x)>0的x 的取值范围是______ ．16. 已知函数f(x)=x 3−3x 2+3+a 的极大值为5，则实数a =________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知正项数列{a n −1}是公差为2的等差数列，且√24是a 2与a 3的等比中项。

浙江省温州市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案

浙江省温州2024届高三第一次模拟考试数学学科（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数1i1i +-的虚部为（）A.i - B.iC.0D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-，所以虚部为1.故选：D ．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.5【答案】B 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,∞∞-⋃+C.[]4,6- D.(][),46,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心()2,3-到直线:2l y x b =+的距离≤，解得212b ≤≤，故b 的取值范围是[]2,12.故选：A4.三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且3AB =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32π3D.12π【答案】B 【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H 为ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D 为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O ，则点O 为三棱锥外接球的球心，因为PA ⊥平面ABC ，且ABC 为等边三角形，2,3PA AB ==，所以四边形AHOD 为矩形，3AH AB ==112OH PA ==，所以2OA ==，即三棱锥外接球的半径2R =，则该三棱锥外接球的表面积为24π16πR =.故选：B5.已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，()()1123(1)1121211110n n n nn n n n a a q a q aT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n nn n n n nT a q a q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11na q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】A 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间，可得3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+≤-≤∈Z ，且0ω>，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++≤≤∈Z .由题意可知：()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ43π2π3π44k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得()9186433k k k ω-+≤≤+∈Z .又0ω>，于是103ω<≤.故选：A .7.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，=2AB ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（）A.⎡⎤⎣⎦B.⎡⎣C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP ED AF λμ=+ 得到3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，从而得到2π4αλμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由此可求得2λμ-的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则()0,0A ，()1,0E ，()0,1D ，()1,1C ，()2,0B ，()ππcos ,sin 22P ααα⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则31,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()cos ,sin AP αα=，()1,1ED =- ，31,22AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AP ED AF λμ=+ ，∴()()3131cos ,sin 1,1,,2222ααλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，∴()13sin cos 4λαα=-，()1cos sin 2μαα=+，∴()()11π23sin cos cos sin sin cos 224λμααααααα⎛⎫-=--+=-=- ⎪⎝⎭，∵ππ22α-≤≤，∴3πππ444α-≤-≤，∴π1sin 42α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π14α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故21λμ≤-≤，即()2λμ⎡⎤⎣⎦-∈.故选：A.8.已知lg4lg5lg610,9,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数分析可知()f x 在[]4,6上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为lg4lg5lg610,9,8a b c ===，两边取对数得：lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，令()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，则()()()()()()lg 1414lg 14lg lg 1ln1014ln10ln1014x x x x x x f x x x x x ⎡⎤----⋅=-=⎢⎥-⋅-⎢⎥⎣⎦'，令()lg g x x x =⋅，则()()()()1lg lg lg 0,1,ln10g x x x x x x x '=⋅+⋅=+>∈''+∞，可知()g x 在()1,+∞上单调递增，因为46x ≤≤，则81410x ≤-≤，可知14x x ->恒成立，则()()14g x g x ->，即()()140g x g x -->，可得()0f x ¢>，则()()lg lg 14f x x x =⋅-在[]4,6上单调递增，可得()()()456f f f <<，可得lg4lg10lg5lg9lg6lg8⋅<⋅<⋅，即lg lg lg a b c <<，又因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以a b c <<.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A.1x <B.20.50.5log log x x >C.233x x< D.()()11x x x x -=-【答案】BC 【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10xx ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC10.设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1(3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（）A.A ，B 相互独立B.5()6P A B +=C.()13P B A =D.()()P A B P B A≠【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =-==-=，事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=，所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +=+=+-=，即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +-=⇒==，故A 正确；则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B+=+-=+-⋅1313534346=+-⨯=，故B 正确；由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误；()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B --====，()()()()()()21336243P BA P A P AB P B A P A P A --====即()()P A B P B A ≠，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥-P ABC 中，ACBC ⊥，4AC BC ==，D 是棱AC 的中点，E 是棱AB 上一点，2PD PE ==，AC ⊥平面PDE ，则（）A.//DE 平面PBCB.平面PAC ⊥平面PDEC.点P 到底面ABC 的距离为2D.二面角D PB E --的正弦值为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取DE 的中点O ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，利用线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABC ，求出PO 可判断C ；以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面PBD 、平面PBD 的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D ．【详解】对于A ，因为AC ⊥平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC DE ⊥．因为AC BC ⊥，且直线,,AC BC DE ⊂平面ABC ，所以//DE BC ．因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ，A 正确；对于B ，AC ⊥平面PDE ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PDE ⊥平面PAC ，B 正确；对于C ，取DE 的中点O ，连接PO ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，因为PD PE =，所以PO DE ⊥．因为AC ⊥平面PDE ，PO ⊂平面PDE ，所以AC PO ⊥，因为DE AC D ⋂=，DE ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，PO =，C 错误；对于D ，如图，以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，因为D 是AC 的中点，4AC BC ==，所以()()()()0,0,0,3,2,0,1,0,0,1,0,0O B E D -，因为2PD PE ==，所以PO =，即(P ，所以()((()4,2,0,1,0,,1,0,,2,2,0DB DP EP EB ===-=，设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114200x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =111y z =-=-，所以平面PBD的一个法向量)1m =--，设平面PBE 的一个法向量()222,,n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222200x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得221y z ==，所以平面PBE的一个法向量)n =，所以1cos ,7m nm n m n-⨯-⋅== ，设二面角D PB E--为[],0,πθθ∈，所以21sin 7θ==，所以二面角D PB E --的正弦值为7，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线():2200l x ay b a -+=≠与C 的准线1l ，交于点A ．已知l 与C 相切，切点为B ，直线BF 与C 的一个交点为D ，则（）A.点(),a b 在C 上B.BAF AFB∠<∠C.以BF 为直径的圆与1l 相离 D.直线AD 与C 相切【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，联立直线l 与抛物线方程，根据根的判别式得到点(),b a 在C 上；B 选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出以BF 为直径的圆与y 轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线BD 方程，与抛物线方程联立求出D 点坐标，从而求出直线AD 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A ，联立直线l 与C 的方程，消去x 得2240y ay b -+=，因为l 与C 相切，所以2Δ4160a b =-=，即24a b =，所以点(),b a 在C 上，A 错误．对于B ，过点B 作BM 垂直于C 的准线，垂足为M ，由抛物线定义知BF BM =，因为0a ≠，所以AB BM >，所以在ABF △中，AB BF >，由大边对大角得BAFAFB ∠<∠，B 正确．对于C ，()1,0F ，由A 选项l 与C 相切，切点为B ，可得(),B b a ，其中24a b =，则BF 的中点坐标为1,22b a +⎛⎫⎪⎝⎭，且()221BF b a =-+()()22211412b a b bb -+-++==，由于半径等于以BF 为直径的圆的圆心横坐标，故以BF 为直径的圆与y 轴相切，所以与1l 相离，C 正确；对于D ，设直线BD 方程为11b x y a -=+，与C 联立得()24140b y y a ---=，所以4D a y ⋅=-，解得4D y a=-，则21144111D D b b x y a a a a b --⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭，因为221,b A a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AD 方程为22b y x a a=--，联立直线AD 与曲线C 的方程得2240by ay ++=，因为2Δ4160a b '=-=，所以直线AD 与C 相切，D 正确．故选：BCD ．【点睛】抛物线的相关结论，22y px =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与y 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切；22x py =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与x 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以[3,1]-是(],a -∞的一个真子集，则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.14.已知正项数列{}n a 满足121n n n a a n +=+，则106a a =_______.【答案】485【解析】【分析】由递推公式可得121n n a n a n +=+，再由累乘法即可求得结果.【详解】由121n n n a a n +=+可得121n na n a n +=+，由累乘可得9101879870662928272648918171615a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=++++.故答案为：48515.直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，AC BC ⊥，6AC =，8BC =，14AA =．若平面α将该直三棱柱111ABC A B C -截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】104π【解析】【分析】α可能是AC 的中垂面，BC 的中垂面，1AA 的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则222238489R =++=或222264468R =++=或2222682104R =++=，所以2max 4π104πS R ==．故答案为：104π16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．【答案】1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形为()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成立，故()10x F a->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1e e a ≥，得到答案.【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，即()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，令()ln ,0F t t t t =>，则()()11x F aF x -≥-恒成立，因为()1ln F t t ='+，令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故()10x F a ->，当(]10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()11x F a F x -≥-恒成立，当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()1e ,t ∞-∈+上单调递增，由()()11x F a F x -≥-得()1ln 11ln 1x x a x a x --≥-⇒≥-，令11u x =->，()ln u g u u =，则()21ln u g u u -'=，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()ln u g u u =单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u g u u =单调递减，故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1e e eg ==，故1ln e a ≥，即1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，从而构造()ln ,0F t t t t =>进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +-=，a =cos 3A =.（1）求角B 及边b 的值；（2）求sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3B =，94b =（2【解析】【分析】（1）由余弦定理得到π3B =，求出2sin 3A =，由正弦定理得到94b =；（2）由二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为()0,πA ∈，cos 3A =，所以2sin 3A ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，即232=94b =；【小问2详解】由（1）得2sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，2251cos 22cos 12139A A ⎛=-=⨯-= ⎝⎭，8sin(2)sin 2cos cos 2s 11929i 1n 2A B A B A B -=-=⨯-⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n n a b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得20232024n T >成立的n 的最小值．【答案】（1）21n n a =-；（2）10.【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系及递推式可得112(1)n n a a -+=+，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求n T ，由不等式能成立及指数函数性质求得10n ≥，即可得结果.【小问1详解】当2n ≥时，111(2)(21)2()1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，所以121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，而1111211a S a a ==-⇒=，所以112a +=，故{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12nn a +=⇒21n n a =-.【小问2详解】由1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a ++++===-----，所以111111111111337715212121n n n n T ++=-+-+-++-=---- ，要使1202324112102n n T +>=--，即111202520211422n n ++>-<⇒，由1011220252<<且*N n ∈，则11110n n +≥⇒≥.所以使得20232024n T >成立的n 的最小值为10.19.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =．（1）求证：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得EF ∥平面OBC ，再由线面平行的性质可得EF ∥11B C ，由等腰三角形的性质可得AH ⊥EF ，从而可得AH ⊥11B C ，再由已知可得OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ，则由已知条件可证得11A B ⊥平面1OC N ，从而可得1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，过E 作EM ⊥1OB 于M ，则可得EM ∥OA ，设1OB x =，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得x ，在11R t OA B 中可求出11A B 的长，从而可求得ON ，进而可直角三角形1OC N 中可求得结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面OBC ，BC ⊂平面OBC ，所以EF ∥平面OBC ，因为EF ⊂平面111A B C ，平面111A B C Ç平面11OBC B C =，所以EF ∥11B C ．因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以11,22AE AB AF AC ==，因为AB AC =，所以AE AF =，因为H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，所以AH ⊥11B C ．因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB OC O = ，所以OA ⊥平面OBC ，因为11B C ⊂平面OBC ，所以OA ⊥11B C ，因为OA AH A= 因此11B C ⊥面OAH ．（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ．因为111111,,OC OA OC OB OA OB O ⊥⊥= ，因为1OC ⊥平面11OA B ，因为11A B ⊂平面11OA B ，所以111OC A B ⊥，因为1ON OC O = ，所以11A B ⊥平面1OC N ，因为1C N ⊂平面1OC N ，所以1C N ⊥11A B，所以1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角．过E 作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则111,122EM OA OM OB ====．设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，则13OC =，在11R t OA B中，11A B ==则1111OA OB ON A B ⋅==．所以在1R t ONC中，11tan OC ONC ON ∠==故二面角111O A B C --为20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）23（2）512【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件1A ，取到乙盒子为事件2A ，取到丙盒子为事件3A ，取到黑球为事件B ：由全概率公式得1122331815132()()(|)()(|)()(|)31236363P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，故摸出的球是黑球的概率是23.【小问2详解】由条件概率公式得2215()536(|)2()123P A B P A B P B ⨯===，故此球属于乙箱子的概率是51221.设椭圆(222:109x y C b b +=<<，P 是C 上一个动点，点()1,0A ，PA长的最小值为2．（1）求b 的值：（2）设过点A 且斜率不为0的直线l 交C 于,B D 两点，,E F 分别为C 的左、右顶点，直线BE 和直线DF 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点P 坐标，并求出PA 长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设出点,B D 的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，设焦距为2(0)c c >，设00(,)P x y ，则222000||(1),[3,3]PA x y x =-+∈-，而22200(19x y b =-，则222200||(1)219b PA x x b =--++=222222*********()199c c x x b x b c c -++=-++-，而0b <<，则2(9(3,9))b -∈，即2(3,9)c ∈，因此29(1,3)c∈，由0[3,3]x ∈-，得当029x c =时，222min 295||1(22PA b c =+-==，即229392b b -=-，化简得42221450b b -+=，又0b <<，解得23b =，所以b=【小问2详解】由（1）知，椭圆C 的方程为22193x y +=，点(3,0),(3,0)E F -，设()()1122,,,B x y D x y ，则121212,33y y k k x x ==+-，即12k k =121212213(3)3(3)y x y x x y y x --⋅=++，斜率不为0的直线l 过点(1,0)A ，设方程为1x my =+，则112121221122(13)2(13)4k y my my y y k y my my y y +--==+++，由22139x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得22(3)280m y my ++-=，显然0∆>，则12122228,33m y y y y m m --+==++，即有2211)4(my y y y =+，因此()()121112112212212212422241444482y y y k my y y y y k my y y y y y y y +--+====++++，所以12k k为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知()3ln (1)f x x k x =--.（1）若过点(2,2)作曲线()y f x =的切线，切线的斜率为2，求k 的值；（2）当[1,3]x ∈时，讨论函数2π()()cos π2g x f x x =-的零点个数.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得()g x '在[1,3]内单调递减，分类讨论判断()g x 在[1,3]内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】由题意可得：3()f x k x'=-，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，则切线斜率为003()2k f x k x '==-=，即032k x =-，可得切线方程为()()0003ln 12y x k x x x ---=-⎡⎤⎣⎦，将(2,2)，032k x =-代入可得()()0000323ln 2122x x x x ⎡⎤⎛⎫----=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理得001ln 10x x -+=，因为1ln ,y x y x ==-在()0,∞+内单调递增，则1ln 1y x x=-+在定义域()0,∞+内单调递增，且当1x =时，0y =，可知关于0x 的方程001ln 10x x -+=的根为1，即01x =，所以0321k x =-=.【小问2详解】因为2π2π()()cos 3ln (1)cos π2π2g x f x x x k x =-=---，则3π()sin 2g x k x x '=-+，可知3y x=在[1,3]内单调递减，且[1,3]x ∈，则ππ3π,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，可知πsin 2y x =在[1,3]内单调递减，所以()g x '在[1,3]内单调递减，且(1)4,(3)g k g k ''=-=-，（i ）若0k -≥，即0k ≤时，则()()30g x g ''≥≥在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递增，则()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅱ）若40k -≤，即4k ≥时，则()()10g x g ''≤≤在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递减，则()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅲ）若400k k ->⎧⎨-<⎩，即04k <<时，则()g x '在()1,3内存在唯一零点()1,3m ∈，可知当1x m ≤<时，()0g x '>；当3m x <≤时，()0g x '<；则()g x 在[)1,m 内单调递增，在(],3m 内单调递减，且()10g =，可知()()10g m g >=，可知()g x 在[)1,m 内有且仅有1个零点，且()33ln 32g k =-，①当()33ln 320g k =-≤，即3ln 342k ≤<时，则()g x 在(],3m 内有且仅有1个零点；②当()33ln 320g k =->，即30ln 32k <<时，则()g x 在(],3m 内没有零点；综上所述：若[)3,ln 34,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；若3ln3,42k⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g x在[1,3]内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．。

安徽省重点高中联盟校(A10联盟)2025届高三第一次摸底考试数学试题含答案

高三数学试题（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足()1i 2z +=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算计算得到1i z =-，即可判断.【详解】由()1i 2z +=可得，22(1i)1i 1i 2z -===-+，即复数z 在复平面内对应的点为(1,1)Z -在第四象限.故选：D.2.在ABC V 中，2,CD DB AE ED == ，则CE =（）A.1163AB AC -B.1263AB AC -C.1536AB AC -D.1133AB AC -【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量AB 和AC表示即得.【详解】如图所示，由题意，1112()2223CE CA CD AC CB=+=-+⨯1115()2336AC AB AC AB AC =-+-=-.故选：C.3.已知直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，则a b +的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出切点为()0,0，进而求得1b =，得到()()ln 1f x x =+，结合导数的几何意义，得到1a =，进而得到答案.【详解】由题意，直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，即切点为()0,0，所以ln 0b =，解得1b =，所以()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，可得()01f '=，即切线的斜率为1k =，所以1a =，所以2a b +=.故选：B.4.已知椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），则“C 的离心率22e =，是8λ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆离心率定义，对参数λ的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可.【详解】椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），当C 的离心率2e =，若04λ<<，有2e ==，解得2λ=，即充分性不成立；当8λ=时，得椭圆22:184x y C +=，此时离心率为2e ===，即必要性成立.所以“C 的离心率2e =，是8λ=”的必要不充分条件.故选：B.5.若1为函数()()()21f x x x a =--的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(),1-∞ C.()1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得()()()1321f x x x a '=---，结合1x =是函数()f x 的一个极大值点，得出不等式2113a +>，即可求解.【详解】由函数()()()21f x x x a =--，可得()()()1321f x x x a '=---，令()0f x '=，可得1x =或213a x +=，因为1x =是函数()f x 的一个极大值点，则满足2113a +>，解得1a >，所以实数a 的取值范围为()1,+∞.故选：C.6.若sin140tan 40λ︒-︒=，则实数λ的值为（）A.2- B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和化切为弦将已知式化成sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，再运用二倍角公式和辅助角公式化简即可求得λ的值.【详解】由sin140tan 40λ︒-︒=sin 40sin 40cos40λ︒︒-=︒即sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，即1sin802sin(4060)2sin802λ=+= ，因sin800> ，解得4λ=.故选：D.7.设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则()5f =（）A.0B.1- C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据函数性质，结合“赋值法”求函数值.【详解】因为函数()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-⇒()10f =；因为()23f x +为偶函数，所以()()2323f x f x -+=+，令1x =得：()()15f f =，所以()50f =.故选：A8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，2OM ON OF =-=-，过点M 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且()01MA MB λλ=<<，直线BN 与C 的另一个交点为P ，若直线AN 与PM 的斜率满足3AN PM k k =，则AB =（）A.2B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意得(1,0),(1,0)M N -，则可设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，分别与抛物线方程联立，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由韦达定理可得31y y =-，31x x =，结合3AN PM k k =，可解得11,x y 的值，从而可得m 的值，再利用弦长公式即可求解.【详解】由题意得1(,0)2F ，2OM ON OF =-=- ，(1,0),(1,0)M N ∴-，设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，联立221y x x my ⎧=⎨=-⎩，得2220y my -+=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则12122,2y y m y y +==，联立221y x x ny ⎧=⎨=+⎩，得2220y ny --=，则23232,2y y n y y +==-，则31y y =-，则31x x =，故311131,111AN PM y y yk k x x x ===--++，由3AN PM k k =，得1111311y y x x -=⋅-+，解得21111,212x y x ===，则11132x m y +==±，故2AB ==.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质量均匀的骰子两次．记事件A =“第一次抛出的点数是1”，事件B =“两次抛出的点数不同”，事件C =“两次抛出的点数之和是8”，事件D =“两次抛出的点数之和7”，则（）A.A 与D 相互独立B.B 与D 相互独立C.()2|15P C B =D.()13P C D =【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的概率公式可判断AB 的正误，根据条件概率的计算公式可求()|P C B ，从而可判断C 的正误，根据互斥事件的概率公式可求()P C D ，故可判断D 的正误.【详解】对于A ，由题设有()161666P A ⨯==⨯，()61666P D ==⨯，()166P AD =⨯，故()()()P AD P A P D =，故,A D 相互独立，故A 正确.对于A ，由题设有()655666P B ⨯==⨯，()61666P BD ==⨯，故()()()P BD P B P D ≠，故,B D 不相互独立，故B 错误.对于C ，()()()4236|5156P P BC P B C B ===，故C 正确.对于D ，由题设,C D 互斥，故()()()511166636P C D P C P D =+=+=⨯ ，故D 错误，故选：AC.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1DD 的中点，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥111B A D P -的体积为定值B.直线1//B E 平面1A BDC.当11A P AC ⊥时，1A P AC ⊥D.直线1B E 与平面11CDD C 所成角的正弦值为23【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，将三棱锥111B A D P -转换成111P A B D -后易得其体积为定值；对于B ，建系后，证明1B E与平面1A BD 的法向量不垂直即可排除B 项；对于C ，设出(,,0)P m n ，利用110AC A P ⋅=证得m n =，再计算1AC A P ⋅，结果不为0，排除C 项；对于D ，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A ，如图1，因111111111111113326B A D P P A B D A B D V V S --==⨯=⨯= ,故A 正确；对于B ，如图2建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,)2D B A BE ,于是，111(1,1,0),(1,0,1),(1,1,2DB DA B E ===--- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则10n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可取(1,1,1)n =--r ，由1111(1,1,1)(1,1,)110222n B E ⋅=--⋅---=-++=≠ 知n 与1B E 不垂直，故直线1B E 与平面1A BD 不平行，即B 错误；对于C ，由上图建系，则1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1)AC =-=- ,(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)AC =-=-,因P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点,不妨设(,,0)P m n ，则,[0,1]m n ∈，1(1,,1)A P m n =--，由题意，11(1,1,1)(1,,1)110AC A P m n m n n m ⋅=-⋅--=-+-=-=，即m n =，于是(,,0)P m m ，此时1(1,1,0)(1,,1)110AC A P m m m m ⋅=-⋅--=-+=≠ ，故1A P 与AC不垂直，即C 错误；对于D ，由图知平面11CDD C 的法向量可取为(1,0,0)m = ，因11(1,1,)2B E =--- ，设直线1B E 与平面11CDD C 所成角为θ，则111||12sin |cos ,|33||||12B E m B E m B E m θ⋅=<>===⋅⨯，故D 正确.故选：AD.11.已知点(),A m n 在圆22:4O x y +=外，过点A 作直线AM ，AN 与圆O 相切，切点分别为M ，N ，若60MAN ∠=︒，则（）A.8mn ≤ B.221498m n +≥C.[]91,17m +-∈D.当,0m n >742≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据相切关系可得2216m n +=，根据不等式即可判断AD ，利用不等式的乘“1”法即可判断B ，根据三角换元即可结合三角函数的性质求解C.【详解】由于AM ，AN 与圆O 相切，且60MAN ∠=︒，故120MON ∠=︒,60MOA ∠=︒，由2MO =,得4AO =，故22164m n +=>，符合题意，故22162mn m n +=≥，即8mn ≤，当且仅当228m n ==等号成立，故A 正确，()22222222221411414195516161616n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+≥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当223223n m ==时等号成立，B 错误，令4sin ,4cos m n θθ==，则[]π94sin 98sin 91,173m θθθ⎛⎫+-=+-=+-∈ ⎪⎝⎭，C 正确，当,0m n >时,()2222162m n m n mn mn m n +=++=+⇒+=，由于8mn ≤，故522m n +=≤==，由于2+≤≤742+≤，当且仅当m n ==等号成立，故D 正确，故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，32122a a -++=⨯，解得2a =．故答案为：213.已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正实数ω的取值范围为__________．【答案】50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】求导，即可根据余弦函数的单调性求解.【详解】由题意得，()πcos 6x x f ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππππ,6662x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，只需πππ62ω+≤，解得503ω<≤故答案为：50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦14.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称无序子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．已知集合106x I x x -⎧⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭N ，则集合I 的所有划分的个数为___________．【答案】51【解析】【分析】化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可.【详解】由题意得，{}{}N 161,2,3,4,5|I x x =∈≤<=，共有5个元素，则2划分有1255C C 15+=个，3划分有15512432C C C 2C 25+=个，4划分有25C 10=个，5划分有1个，所以共有划分的个数为51个．故答案为；51四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABC V 中，内角,,A B C 满足()sin sin sin B A B C +-=．（1）求A ；（2）若ABC V 的外接圆半径为2，且1cos cos 6B C =-，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3A =（2）3【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得1cos 2A =，故可求A ；（2）根据三角变换可得1sin sin 3B C =，故可求面积.【小问1详解】在ABC V 中，πC A B =--，∴()sin sin C A B =+，∵()sin sin sin B A B C +-=，∴()()sin sin sin B A B A B +-=+，则sin sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A B A B A B +-=+化简得sin 2cos sin B A B =．又sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又∵0πA <<，∴π3A =．【小问2详解】∵π3A =，∴2π3B C +=，∴()1cos 2B C +=-．即1cos cos sin sin 2B C B C -=-，又1cos cos 6B C =-，∴111sin sin 263B C =-=记内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，∵ABC V 的外接圆半径2R =，∴由正弦定理可得21sin sin 2243b c bc B C R R R =⋅==，∴163bc =，∴1116sin 22323ABC S bc A ==⨯⨯= .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，CAB CBA ∠=∠，()1,01BC AC BM BA λλ⊥=<<．（1）求AB 的长；（2）若二面角1B B C M --λ的值．【答案】（1）AB =（2）12λ=【解析】【分析】（1）证明⊥BC 平面11ACC A ，则有BC AC ⊥，由2CA CB ==，求得AB =（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角1B B C M --的余弦值，可求出λ的值．【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，所以1CC CB ⊥．又1BC AC ⊥，111CC AC C ⋂=，11,CC AC ⊂平面11ACC A ，所以⊥BC 平面11ACC A ，因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥，而CAB CBA ∠=∠，故2CA CB ==，故AB =．【小问2详解】由1CC ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以C 为原点，1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxy z ，因为12CA CB CC ===，所以()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2C A B B ，故()2,2,0BA =- ，因为1)0(BM BA λλ=<<，故()2,22,0M λλ-．易知()1,0,0m =是平面1BCB 的法向量．因为()()12,22,0,0,2,2CM CB λλ=-=．设 =s s 是平面1CMB 的法向量、所以100n CM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()2220220x y y z λλ⎧+-=⎨+=⎩，取1x λ=-，得,y z λλ=-=，所以()1,,n λλλ=--，因为二面角1B B C M --2，故余弦值为33，则23cos ,31321m n m n m n λλ⋅===⨯-+，解得12λ=.17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，直线4:3l y x=与E 交于A ，B 两点，220F A F B =⋅﹒（1）求E 的离心率；（2）M 为E 上一点（不在x 轴上），过2F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为N ，若1ON =，求12AF F 的面积．【答案】（15（2）4【解析】【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可；（2）结合图形特征，再应用面积公式计算.【小问1详解】由题意得，直线43y x =与双曲线两交点A ，B 关于原点对称，不妨设点A 在第一象限，由220F A F B =⋅，得22F A F B ⊥，设()2,0F c ，则24,tan 3OA c AOF =∠=，所以2243sin ,cos 55AOF AOF ∠=∠=，则34,55A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程，得222291612525c c a b-=，即()2222291612525c c a c a -=-，化简得222169251e e e -=-，即42950250e e -+=，因为1e >，所以25e =，则e =，即双曲线E ．【小问2详解】因为点2F 关于12F MF ∠的平分线MN 的对称点G 在1MF 或1MF 的延长线上，所以1122F G MF MF a =-=，又ON 是21F F G 的中位线，所以ON a =，因为1ON =，所以1a =，因为e =，所以双曲线E 的方程为2214y x -=，所以c =，则3545,55A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．又12||2F F c ==，所以121425AF F S =⨯=△．18.已知函数()2sin f x x x =-．（1）若函数()F x 与()f x 的图象关于点π,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，求()F x 的解析式；（2）当[]0,πx ∈时，()f x m ≤，求实数m 的取值范围；（3）判断函数()()()11g x x f x =++在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的零点个数，并说明理由．【答案】（1）()π22sin F x x x =+--（2）π,3⎫-+∞⎪⎭（3）零点个数为1，理由见解析【解析】【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式；（2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题；（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.【小问1详解】由题意得，()()()()2π22sin πππ22sin F x f x x x x x =--=--+-=+--．【小问2详解】由题意得，()[]2co ,πs 1,0f x x x '=-∈，令()'0f x =，解得π3x =，所以当π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>；当π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x <′，所以()f x 在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x的最大值为π3π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由于[]0,πx ∈时，()f x m ≤，所以实数m的取值范围为π,3⎫+∞⎪⎭【小问3详解】令()0g x =，则()()12sin 10x x x +-+=，整理得12sin 01x x x -+=+，令()12sin 1h x x x x =-++，则()()212cos 11h x x x '=--+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<．所以()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()πππ1π1112sin 20,π2sinπππ0ππ2222π1π11122h h ⎛⎫=-+=-+>=-+=-+< ⎪++⎝⎭++，所以由零点存在性定理得，()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点．当[)π,x ∈+∞时，()12sin 2π101h x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点．综上所述，()h x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上存在唯一零点，即函数()g x 在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数为1．19.定义：从数列{}n a 中随机抽取m 项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,m k k k a a a ()12m k k k <<< ，将它们组成一个项数为m 的新数列{}n b ，其中()1,2,,i i k b a i m == ，若数列{}n b 为递增数列，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”；（1）已知数列{}n a 满足42,1,3,52,2,4,6n n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，数列{}n b 是{}n a 的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的{}n b ﹔（2）已知数列{}n a 是项数为m 的等比数列，其中3m ≥，若数列{}n b 为1，16，81，求证：数列{}n b 不是数列{}n a 的“3项递增衍生列”；（3）已知首项为1的等差数列{}n a 的项数为14，且141105ii a==∑，数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”，其中114m ≤≤．若在数列{}n b 中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m 的最大值．【答案】（1）{}n b 为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（1）先列出数列的前6项，根据“3项递增衍生列”，可列出满足条件的所有数列.（2）利用“反证法”证明数列不是数列的“3项递增衍生列”.（3）先明确数列的各项，再根据“m 项递增衍生列”的概念分析数列的构成特点，可求数列的最大项数.【小问1详解】由题意得，数列为1，8，3，4，5，2，若是数列的“3项递增衍生列”，且1345<<<，则为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒【小问2详解】设等比数列的公比为q ．假设数列是数列的“3项递增衍生列”，则存在1231k k k m ≤<<≤，使1231,16,81k k k a a a ===，所以31212131,k k k k k k k k a a qa a q --==，则312116,81k k k k q q --==，所以()3116221log 81log 81log 3*log 16q q k k k k -===-．因为*2131,k k k k --∈N ，所以3121k k k k --为有理数，但2log 3为无理数，所以（*）式不可能成立．综上，数列不是数列的“3项递增衍生列”．【小问3详解】设等差数列的公差为d ．由14111491105ii aa d ==+=∑，又11a =，所以1d =，故数列为1，2，3，4，5，L ，14﹒令i i k b a =，因为数列中各项均为正整数，故313k k a a -≥﹔（若312k k a a -=，则123,,k k k a a a ，成等差数列）同理533k k a a -≥，且5331k k k k a a a a -≠-，所以513k k a a -≥，同理957k k a a -≥，且9551k k k k a a a a -≠-，所以9115k k a a -≥，这与已知条件矛盾，所以8i k ≤，此时可以构造数列为1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列．综上所述，m 的最大值为8．【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决的关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“m 项递增衍生列”条件的使用，是解题的入手点；二是应用数列的单调性或等差等比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题.。

安徽省马鞍山市2019-2020学年高三第一次(期末)教学质量检测数学文试题含答案

2019-2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测高三文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，复数211z ii在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若全集UR ，集合11A x x ，20B x x x ，则U A C B 为( ) A.02x x B.01x x C.01x xD.10x x3.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A.30B.31C.32D.334.已知圆22:1C x a y 与抛物线24y x 的准线相切，则a 的值为( )A.0B.2C.0或1D.0或25.设2zx y ，其中变量,x y 满足000xy xy y k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( ) A.2 B.1 C.1 D.26.如图，三棱柱111ABCA B C 中，侧棱1AA 底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )A.1CC 与1B E 是异面直线B.AC平面11ABB AC.11AC ∥平面1AB ED.AE 与11B C 为异面直线，且1AEB C7.《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”中最重要的一种。

在其第七章中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是植物蒲发芽的第一天长高三尺，植物莞发芽的第一天长高一尺。

蒲从第二天开始每天生长速度是前一天的一半，莞从第二天开始每天生长速度为前一天的两倍。

问这两种植物在何时高度相同？在此问题中，蒲和莞高度相同的时刻在( ) A.第二天B.第三天C.第四天D.第五天8.执行如图所示的程序框图，若输入的40N ，则输出的S ( )A.115B.116C.357D.3589.函数212ln 12f xx x 的图象大致是( )ABCD 10.已知函数1,0,x f x x 为有理数为无理数，则1232018f fff…( )A.44B.45C.1009D.201811.在ABC △中，tan sin 2A B C ，若2AB ，则ABC △周长的取值范围是( )A.2,22B.22,4C.4,222D.222,612.已知椭圆221112211:10x y C a b a b 与双曲线222222222:10,0x y C a b a b 有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF ，设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e 的取值范围是( )A.1,3B.1,3C.1,2D.1,2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量1,2a ，,6x b ，且a b ∥，则a b .14.将函数223sin cos 2cos 1f xx x x 的图象向左平移2个单位长度后得到函数g x ，则g x 的单调递减区间为.15.数列n a 的前n 项和为n S ，若22nnS a ，则数列2nna 的前n 项和为 .16.已知四棱椎P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且PA PD ，则四棱锥P ABCD 体积的最大值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边是,,a b c ，6BA AC ，2b c ，tan 15A.(1)求cos A 的值； (2)求BC 边上的高.18.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，1AB BCAC ，2PA，E 是PC 上的动点.(1)求证：平面PAC 平面BED ；(2)求四棱锥P ABCD 的侧面积.19.某中学为了解高一学生的视力健康状况，在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视力表，按照《中国学生体质健康监测工作手册》的方法对1039名学生进行了视力检测，判断标准为：双眼裸眼视力 5.0T 为视力正常， 5.0T 为视力低下，其中 4.9T 为轻度，4.6 4.8T为中度， 4.5T为重度.统计检测结果后得到如图所示的柱状图.(1)求该校高一年级轻度近视患病率；(2)根据保护视力的需要，需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊，并开展相应的矫治，则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人？ (3)若某班级6名学生中有2人为视力正常，则从这6名学生中任选2人，恰有1人视力正常的概率是多少？20.已知抛物线220x py p 的焦点到直线:20l x y 的距离为2. (1)求抛物线的标准方程；(2)设点C 是抛物线上的动点，若以点C 为圆心的圆在x 轴上截得的弦长均为4，求证：圆C 恒过定点. 21.已知函数2ln f xx ax x ，a R .(1)讨论函数f x 的单调性； (2)已知0a ，若函数0f x恒成立，试确定a 的取值范围.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cossinx t y t (t 为参数)，其中0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 5，P 为曲线1C 与2C 的交点. (1)当3时，求点P 的极径；(2)点Q 在线段OP 上，且满足20OP OQ ，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.23.已知函数1f xx a x ，其中0a .(1)当1a 时，求不等式4f x 的解集；(2)设函数1g xx ，当x R 时，0f xg x，求a 的取值范围.2019-2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测高三文科数学参考答案一、选择题1-5:CBBDA 6-10:DBDAA 11、12：CD二、填空题13.,36k kkZ 15.11222n n n16.43三、解答题17.解：(1)在ABC △中，由tan 15A ，可得1cos 4A. (2)由(1)知15sin A ，由6BA AC，24bc ，又2b c ，解得：6b ，4c ，由2222cos a b c bc A ，可得8a ，1115sin 2431522ABCS bc A △，设BC 边上的高为h ，则13152ABC S ah △，所以BC 边上的高为315h. 18.解：(1)在平行四边形ABCD 中，AB BC ， ∴四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ，∵PA 平面ABCD ，BD 平面ABCD ∴PABD ，又PAAC A ，∴BD 平面PAC ，∵BD 平面BED ， ∴平面PAC平面BED .(2)∵PA平面ABCD ，过A 作AFBC 交BC 于F ，连接PF ，∵2PA ，3AF，90PAF ∠°，∴11PF ， ∵BC AP ，BC AF ，PFAF F ，∴BC 平面PAF ，∴BC PF ，∴111111122PBC S BC PF △， 1122122PABS PA PB △，又∵PAB PAD △≌△，PBC PDC △≌△， ∴四棱锥P ABCD 的侧面积为11222PBC PABS S △△.19.解：(1)由柱状图可得：10.330.140.130.10.0723%，即该校高一年级学生轻度近视患病率为23%. (2)由已知可得：1039 1.30.1135≈(人) 即该校高一年级需通知的家长人数约为135人.(3)记6名学生中视力正常的学生为1A ，2A ，视力低下的学生为1B ，2B ，3B ，4B ，则从中任选2人所有可能为：12,A A ，11,A B ，12,A B ，13,A B ，14,A B ，21,A B ，22,A B ，23,A B ，24,A B ，12,B B ，13,B B ，14,B B ，23,B B ，24,B B ，34,B B ， ∴815P.即从这6名学生中任选2人恰有1人为视力正常的概率为815. 20.解：(1)由题意，22x py ，焦点坐标为0,2p， 2322p ，得2p ，所以抛物线的标准方程是24x y .(2)设圆心C 的坐标为200,4x x ，半径为r ，圆C 在x 轴上截得的弦长为4，所以222044x r，圆C 的标准方程：22222000444x x x x y ，化简得：2220012402y x xx x y ，①对于任意的0x R ，方程①均成立，故有：22102204y x xy 解得：0,2x y ，所以，圆C 过一定点为0,2.21.解：(1)由2ln f x x axx ，得：221'ax x f xx，0x ，当0a 时，'0f x 在0,上恒成立，函数f x 在0,上单调递增；当0a 时，令'0f x ，则2210ax x ，得11814a x a，21814a x a， ∵12102x x a，∴120x x ，∴令'0f x得20,x x ，令'0f x得2,xx ，∴f x 在1810,4a a上单调递增，在181,4a a上单调递减.(2)由(1)可知，当0a 时，函数f x 在20,x 上单调递增，在2,x 上单调递减，∴2maxf xf x ，即需20f x ，即2222ln 0x ax x ，又由2'0f x 得22212x ax ，代入上面的不等式得222ln 1x x ，由函数2ln h xx x 在0,上单调递增，11h ，所以201x ，∴211x ，∴2222221111122x a x x x ，所以a 的取值范围是1,a .22.解：(1)由题意可知，曲线1C 的极坐标方程是，当3时，联立方程组3sin5，解得103，故点P . (2)在极坐标系中，设点,Q ，1,P，由题意可得，1120sin5，进而可得4sin ，从而点Q 的轨迹的直角坐标方程为22240x y y .23.解：(1)当1a 时，11f x x x ，解不等式114x x ，得22x ，所以，4f x的解集为22x x.(2)当x R 时，110f x g x x a x x ，所以①当1x 时，0f xg x 等价于2a x 恒成立，所以1a ；②当1x a 时，0f x g x等价于ax 恒成立，所以1a ；③当x a 时，0f x g x 等价于3a x ，此时恒成立，所以0a ；综上可得，1,a ki .。

2020和平区高三一模数学试卷(含答案)

高三年级数学试卷第1页（共4页）和平区2019-2020学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测数学学科试卷温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共45分）注意事项:1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2.本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：∙如果事件A ，B 互斥,那么∙如果事件A ，B 相互独立,那么)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =.∙柱体的体积公式Sh V=.∙锥体的体积公式Sh V31=.其中S 表示柱体的底面积,其中S 表示锥体的底面积,h 表示柱体的高.h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C =（）A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}(2)设R a ∈，则“11≤-a ”是“032≥+-a a ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件(3)已知过点)2,2(P 的直线与圆5)1(22=+-y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则a 等于（）A ．21-B ．1C ．2D ．21(4)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x （万元）1245销售额y （万元）10263549高三年级数学试卷第2页（共4页）根据上表可得回归方程 y bx a =⋅+ 的b 约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）A ．54万元B ．55万元C ．56万元D ．57万元(5)设sin 6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b<<B ．b a c<<C ．c a b <<D ．c b a<<(6)著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如函数2)(xe e xf xx --=的图象大致是（）A ．B．C ．D ．(7)已知双曲线12222=-by a x (a >0，b >0)的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(--，则双曲线的焦距为（）A ．B ．C ．D ．(8)已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列说法错误的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在[,0]π-上是增函数(9)已知函数2|1|,70()ln ,x x f x x e x e-+-≤≤⎧=⎨≤<⎩，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,)-+∞B ．,1][3,)-∞-+∞ （C ．[1,3]-D ．,3]-∞（高三年级数学试卷第3页（共4页）第Ⅱ卷非选择题（共105分）注意事项:1.用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2020届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题(含答案解析)

2020届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题一、单选题1．已知x ∈R ，则“0x >”是“1x >”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】解：由题意可知，x ∈R ，{}|0x x >⫌{}|1x x >∴“0x >”是“1x >”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题． 2．下列函数中，值域为()0,∞+的是（） A ．2xy = B ．12y x =C ．ln y x =D ．cos y x =【答案】A【解析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解．【详解】解：选项A.2xy =的值域为()0,∞+，选项B. 12y x =的值域为[)0,+∞，选项C.ln y x =的值域为R ，选项D. cos y x =的值域为[]1,1-．故选：A ．【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题．3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45︒角.以下判断正确的是（）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】B【解析】作出过P 与两直线相交的直线l 判断①；通过平移直线a ，b ，结合异面直线所成角的概念判断②．【详解】解：直线AB 与A 1D 1 是两条互相垂直的异面直线，点P 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB 1的中点Q ，则PQ ∥A 1D 1，且 PQ ＝A 1D 1，设A 1Q 与AB 交于E ，则点A 1、D 1、Q 、E 、P 共面，直线EP 必与A 1D 1 相交于某点F ，则过P 点有且只有一条直线EF 与a 、b 都相交，故①为真命题；分别平移a ，b ，使a 与b 均经过P ，则有两条互相垂直的直线与a ，b 都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B ．【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．4．某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型0.5sin 3.246y x πωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（） A ．16时 B ．17时C ．18时D ．19时【答案】D【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可．【详解】解：由题意可知，0x =时，0.5sin 0 3.24 3.496y πωπ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，由五点法作图可知：如果当16x =时，函数取得最小值可得：51662ππωπ+=，可得748ω=，此时函数70.5sin 3.24486y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：296147748T ππ==≈，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当19x =时，函数取得最小值可得：51962ππωπ+=，可得757ω=，此时函数70.5sin 3.24576y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：21147757T ππ==， 24x =时，70.5sin 24 3.243576y ππ⎛⎫=⨯++> ⎪⎝⎭，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．二、填空题5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =，则A B =I ______.【答案】{}2,4【解析】找出A 与B 的公共元素，即可确定出交集．【详解】解：∵{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =， ∴{}2,4A B =I ．故答案为：{}2,4 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 6．方程23x =的解为______. 【答案】2log 3x =【解析】把指数式化为对数式即可求出方程的解．【详解】解：23x =Q ，∴指数式化为对数式得：2log 3x =，故答案为：2log 3x =．【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题． 7．行列式2112-的值为______.【答案】5【解析】直接利用行列式公式可求．【详解】解：()212211512-=⨯-⨯-=故答案为：5 【点睛】本题考查二阶行列式计算．属于基础题． 8．计算2lim 1n nn →∞=+______.【答案】2【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【详解】解：222limlim 211101n n n n n→∞→∞===+++ 故答案为：2．【点睛】本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题．9．若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为______. 【答案】2【解析】根据圆面积公式算出底面半径r ＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l 的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．【详解】解：∵圆锥的底面积为π，∴圆锥的底面半径为r ，满足2r ππ=，解得1r = 又∵圆锥的侧面积为2π，∴设圆锥的母线长为l ，可得2rl ππ=，12l ππ⨯⨯=，解之得2l = 故答案为：2 【点睛】本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．10．已知向量1,22AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v，1,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，则BAC ∠=______.【答案】6π【解析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得BAC ∠的值．【详解】解：向量1,22AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，则112222cos 112AB AC BAC AB AC +⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，6BAC π∴∠=故答案为：6π．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题．11．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A =种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A =种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种；故答案为：72 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 12．已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=______.【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y ，然后即可求解．【详解】解：由题意可得，tan 2y α=-， ()tan tan παα-=-=Qtan 2y α∴=-=-解得y =sin 3α∴==故答案为：3．【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．13．近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工,A B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中,A B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了,A B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下表，依据数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月,A B 两种支付方式都使用过的概率为_______________【答案】310【解析】根据表中数据算出两种支付方式都使用过的人数，由古典概型概率的计算公式即可求解. 【详解】根据题意，得使用过A 支付方式的人数为：18292370++=（人）；使用过B 支付方式的人数为：10242155++=（人）；两种支付方式都没有使用过的人数：5（人）；两种支付方式都使用过的人数为：()7055100530+--=（人）；则该该员工在该月,A B 两种支付方式都使用过的概率为：30310010=. 故答案为：310【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.14．已知非零向量a v 、b v 、c v 两两不平行，且()//a b c +v vv ，()//b a c +v v v ，设c xa yb =+v v v ，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－3【解析】先根据向量共线把c r 用a r 和b r表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．【详解】解：因为非零向量a r 、b r 、c r两两不平行，且()//a b c +r r r ，()//b a c +r r r ，(),0a m b c m ∴=+≠r r r，1c a b m ∴=-r r r(),0b n a c n ∴=+≠r r r1c b a n∴=-r r r1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩ c xa yb =+r r r Q1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题，属于基础题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________【答案】1078【解析】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），分别令2,3,4,5n =，求得{}n a的前5项，观察得到最小值12310m =++++L ，最大值291222M =++++L ，计算可得M m +的值. 【详解】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），可得211a a a -=，解得2122a a ==，又3212{,}a a a a -∈，可得3213a a a =+=或3224a a ==，又43123{,,}a a a a a -∈，可得4314a a a =+=或5； 4325a a a =+=或6；4326a a ==或8；又541234{,,,}a a a a a a -∈，可得5415a a a =+=或6或7；5426a a a =+=或7或8；5437a a a =+=或8或9或10或12；5328a a ==或9或10或12或16，综上所示可得10S 的最大值为()10291121222102312M ⨯-=++++==-L ，最小值为()1101012310552m +⨯=++++==L ，所以1023551078M m +=+=. 故答案为：1078 【点睛】本题是一道数列的新定义，考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公式，属于中档题. 16．已知函数()1f x x a x=++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则实数m 的取值范围为______. 【答案】2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】本题要根据数形结合法将函数1y x x=+的图象向下平移到一定的程度，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m 的取值范围．【详解】解：由题意，1y x x =+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则只要找到其中一个实数a ，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小即可，如图，函数1y x x=+向下平移到一定才程度时，函数()1f x x a x =++的最大值最小．此时只有当()()13f f =时，才能保证函数()f x 的最大值最小．设函数1y x x=+图象向下平移了t 个单位，（0t >）． ()1023t t ∴-=--，解得83t =. ∴此时函数()f x 的最大值为1082333-=．根据绝对值函数的特点，可知实数m 的取值范围为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．三、解答题17．如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =.（1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小；（2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点，求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值. 【答案】（1）2arctan5θ=；（2）证明详见解析，4V =. 【解析】（1）说明1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ，通过求解三角形，推出结果即可．（2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，由于底面积和高都不变，故体积不变. 【详解】解：（1）由直棱柱知1A A ⊥平面ABCD ，所以1A A CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ，所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ 由题意15A D =，2CD =，所以2tan 5θ=所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2arctan5θ=. （2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ∆，则1113N A AM A AM V V d S -∆==⋅⋅，由已知3d =，112442A MM S ∆=⨯⨯=,所以13443V =⨯⨯=为定值.【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅u u u u v u u u u v；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u u v u u u u v，并指出向量1OZ u u u u v 、2OZ u u u u v满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-u u u u v u u u u v；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【解析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅u u u u r u u u u r 的大小，并得出何时取等号. 【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r所以125OZ OZ ⋅=-u u u u r u u u u r证明（2）1z a bi =+Q ，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =u u u u r Q ，()2,OZ c d =u u u u r12OZ OZ ac bd ∴⋅=+u u u u r u u u u r ，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+u u u u r u u u u r()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++u u u u r u u u u r()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u r u u u r ，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ u u u u r u u u u rP . 【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19．如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图.其中4AB =百米，3BC =百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求4MDN π∠=.（1）若2AN CM ==百米，判断DMN ∆是否符合要求，并说明理由；（2）设CDM θ∠=，写出DMN ∆面积的S 关于θ的表达式，并求S 的最小值.【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2）32cos cos 4S θθ=- ⎪⎝⎭，最小值为)1221.【解析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解MDN ∠，判断MDN ∆是否符合要求，即可．（2）CDM θ∠=，4ADN πθ∠=-，求出132sin 24cos cos 4S DN DM ππθθ=⋅⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．【详解】解：（1）由题意5MN 13DN =25DN = 所以2cos 22251365MDN ∠==≠⨯⨯所以4MDN π∠≠，DMN ∆不符合要求（2）CDM θ∠=Q ，4ADN πθ∠=-，所以cos 4DM θ=，3cos 4DN πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭1sin 24cos cos 4S DN DM πθθ=⋅⋅=- ⎪⎝⎭()cos cos cos sin 42πθθθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭Q)sin 2cos 214θθ=++11sin 224424πθ⎛⎫=++≤+⎪⎝⎭所以)121S ≥，S的最小值为)121.【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且()2*,,n n n a S a n N∈成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ；（2）证明（1）中的猜想；（3）设1(0)n n b ta t =->，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意*n N ∈，都有{}*|n m T b m N ∈∈，求实数t 的值.【答案】（1）11a =，22a =，33a =，n a n =；（2）详见解析；（3）1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）代入22n nn a a S +=，求出1a ，2a ，3a ，猜想出即可；（2）利用等差数列的定义证明即可；（3）由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-，因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t -都是整数，进而1t 是整数，所以1t k=，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--，因为n 的任意性，不妨设2m b T =，求出即可．【详解】（1）解：由已知22n nn a a S +=，所以11a =，22a =，33a =，猜想n a n =证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a = 所以()*n a n n =∈N（3）解由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()112n n n m t+-=-，因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t-都是整数，进而1t 是整数所以1t k =，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--，设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ①当1k =时，对于任意*n N ∈，()*112n n m N -=+∈ ②当2k =时，对于任意*n N ∈，()*322n n m N -=+∈ 所以实数t 取值的集合为1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n 项和公式的应用，中档题．21．已知函数()f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =.若0a <，且3524g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求函数()y g x =[]()1,2x ∈的反函数；（3）若在[]0,2上存在n 个不同的点()1,2,,.3i x i n n =⋅⋅⋅≥，12n x x x <<⋅⋅⋅<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(),2-∞；（2）[])30,3y x =∈；（3）(][),26,-∞-+∞U . 【解析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．【详解】解：（1）解不等式12x x -<当1x ≥时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <，综上，该不等式的解集为(),2-∞ （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-，因为()g x 是以2为周期的偶函数，所以3111122222g g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，且0a <，得2a =-，所以当01x ≤≤时，()()2g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈，所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-；②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥；③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以()()()()()()()1223m 1ax 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤2424a a f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()2224f a =-<，在[]0,2上，()()max max ,242a f x f f ⎧⎫⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. ()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤<，不满足.综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞U . ③当24a ≤<时，则122a ≤<，所以()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，于是()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()22max 22(0)2242a a a f x f f ⎛⎫⎛⎫≤=-=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令282a ≥，解得4a ≤-或4a ≥，不符合题意；④当02a <<时，()f x 分别在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[],2a 上单调递增，在,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()()()2(0)22a f f f f a ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222222224242a a a f f a a ⎛⎫=+=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭令22482a a -+≥，解得2a ≤-2a ≥+.综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。

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21. （本小题满分 12 分）已知关于的函数（1）当时，求函数的极值；（2）若函数没有零点，求实数的取值范围。
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。 22．（本小题满分 10 分）选修 4－1:几何证明选讲如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当，时，求的长．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13.已知数列中，，，则
x y 1 0 14．如果满足约束条件 x y 2 0 ，则目标函数的最大值是
x 2 y 0
15.过抛物线的焦点 F 作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若线段的长为 8，则
_____________ 16．已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
球的表面积和体积公式，，其中为球的半径Βιβλιοθήκη 第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
1．已知集合 A {x | x2 x 2 0}, B {x | y ln(1 x)}, 则（）
A．
B．
2019-2020 年高三第一次模拟试题数学（文）含答案
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；
6．掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于 6 的概率是（）
A． B． C． D．
7．数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则等于（）
A．
B．
C．
D．
8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的的值是（）
A．2
B．
C． D．3
9．如图所示程序框图中，输出（）
23.（本小题满分 10 分）选修 4—4: 坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，过点的直
x 2 线的参数方程为
2t 2 (为参数)，与分别交于.
y
4
2 t
2
(1)写出的平面直角坐标系方程和的普通方程； (2)若成等比数列，求的值.
24．（本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲．
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：
样本数据的标准差 s
1 n
(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2
，其中为样本的平均数
柱体体积公式，其中为底面面积，为高；锥体体积公式，其中为底面面积，为高
19．（本小题满分 12 分）如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,, ,平面底面,为的中点, ，
BC 1 AD 1,CD 3 ,是棱的中点。 2
P
（Ⅰ）求证: 平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积。
M
D
Q C
A
B
20. （本小题满分 12 分）过椭圆的左顶点作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知。（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程。
17．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) 2 cos(2x 2 ) 3
（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）设的三内角分别是．若，且,求边和的值．
3 sin 2x
18．（本小题满分 12 分）某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次 “低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少％的住户属于“低碳族”，则称这个小区为 “低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（1）任选两个小区进行调查，求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（2）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图 1 所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图 2 所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？
x2
，若存在实数满足
x 10
f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) f (x4 ) ，且，则的取值范围是（）
A.（20，32） B.（9,21） C.（8,24） D.（15，25）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做
答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答．
A. B. C. D.
10．点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（）
A． B．
C． D．
11．已知圆，直线，点在直线上．若在圆上存在点，使得（为坐标原点），则的取值范围是
（）
A． B．
C． D．
12．已知函数
f
(x)
| log2 sin( 4
x |,0 x),2
已知函数 f (x) | x 2 | | 2x a |, a R .
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
高三一模文科数学答案
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C
C
D
B
C
A
B
D
B
A
B
B
二、填空题：
C．
D．
2．若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（）
A．
B． C．
D．
3．已知中，，且的面积为，则（）
A．
B．
C．或 D．或
4．已知是边长为 2 的正三角形的边上的动点，则（）
A．有最大值为 8
B．是定值 6 C．有最小值为 2 D．与点的位置有关
5．设，且，则（）
A．
B． C． D．