一个线性方程组中有没有多余的方程
第三章线性规划的解法习题解答090426y
第三章线性规划的解法§3.1重点、难点提要一、线性规划问题的图解法及几何意义1．图解法。
线性规划问题采用在平面上作图的方法求解，这种方法称为图解法。
图解法具有简单、直观、容易理解的特点，而且从几何的角度说明了线性规划方法的思路，所以，图解法还有助于了解一般线性规划问题的实质和求解的原理。
（1）图解法适用于求解只有两个或三个变量的线性规划问题，求解的具体步骤为：1）在平面上建立直角坐标系；2）图示约束条件，找出可行域。
具体做法是画出所有约束方程(约束条件取等式)对应的直线，用原点判定直线的哪一边符合约束条件，从而找出所有约束条件都同时满足的公共平面区域，即得可行域。
求出约束直线之间，以及约束直线与坐标轴的所有交点，即可行域的所有顶点；3）图示目标函数直线。
给定目标函数Z一个特定的值k，画出相应的目标函数等值线；4）将目标函数直线沿其法线方向向可行域边界平移，直至与可行域边界第一次相切为止，这个切点就是最优点。
具体地，当k值发生变化时，等值线将平行移动。
对于目标函数最大化问题，找出目标函数值增加的方向(即坐标系纵轴值增大的方向)，等值线平行上移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最大值的最优解；对于目标函数最小化问题，找出目标函数值减少的方向(即坐标系纵轴值减少的方向)，等值线平行下移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最小值的最优解。
（2）线性规划问题的几种可能结果：1）有唯一最优解；2）有无穷多个最优解；3）无最优解(无解或只有无界解)。
2．重要结论。
（1）线性规划的可行域为一个凸集，每一个可行解对应该凸集中的一个点；（2）每一个基可行解对应可行域的一个顶点。
若可行解集非空，则必有顶点存在，从而，有可行解必有基可行解。
（3）一个基可行解对应约束方程组系数矩阵中一组线性无关的列向量，对于n 个变量m 个约束方程的线性规划问题，基可行解的个数不会超过!!()!m n n m n m C =-。
线性代数总结
线性代数总结在学习线性代数之前就有几个老师说过线性代数并不比高数简单，我就这样半信半疑的开启了学习这门课的旅程。
在这本书的第一章中，我们主要学了以下几点：一、利用对角线法则计算二阶和三阶行列式。
二、n阶行列式的定义及性质。
三、代数余子式的定义及性质。
四、计算简单的n阶行列式的方法和克拉默法则。
在这第一章中还有一些细节值得我们注意：1、行列式展开的每项均由不同行不同列的元素组成。
2、进行列式的初等变换时r i+r j与r j+r i的区别。
3、特殊行列式如范德蒙德行列式的公式。
4、上三角行列式与下三角行列式的特殊应用。
第二章我们主要学习了矩阵及其运算方法，主要内容如下：一、同型矩阵（两个行列式的行数和列数均相等）、零矩阵（元素均为0）、对角矩阵（不在对角线上的元素都为0）、单位矩阵（对角线上的元素都为1的对角矩阵）、对称矩阵(A T=A,其元素以对角线为对称轴相对应)等特殊矩阵的定义。
二、如何计算矩阵的加法、数乘、转置以及矩阵间的乘法。
三、可逆矩阵和伴随矩阵的概念和性质及其之间的联系。
四、分块矩阵的概念及其运算规律，行向量组与列向量组。
同样第二章中也有一些细节，如：1、利用A=PBP-1则f(A)=Pf(B)P-1计算矩阵的多项式。
2、|A*| = |A|^(n-1)，|b*A|=b^n|A| 其中n是方阵A的阶数。
3、矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。
4、矩阵|A|=0的充分必要条件是A T A=0。
5、|A|=0时，A成为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
在第三章里老师向我们介绍了矩阵的初等变换与线性方程组，以下是主要内容：一、利用初等行变换将矩阵转化为行阶梯形和行最简形。
二、矩阵的秩的概念及其性质，矩阵等价的定义及其充要条件。
三、线性方程组解的无解、有唯一解和有无限个解的充要条件以及当矩阵为方阵时的特殊情况。
四、矩阵方程AX=B有解的充要条件和求解线性方程组的方法。
在这一章中有几点值得我们特别注意：1、行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数。
第三章 线性方程组
概念、定理辨析第三章 线性方程组判断下列各命题的真假，并说明理由。
1．每个矩阵都与唯一的一个行阶梯形矩阵等价。
【答案】：错误。
【提示】：例如：设矩阵123423013535A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则31221212341234230101672353500001234(1)0167000r r r A B r r r C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪=−−−−−→---= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫÷- ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭所以，矩阵A 与行阶梯形矩阵B 等价，也与行阶梯形矩阵等价C，显然BC≠。
2．含n 个变量n 个方程的线性方程组至多有n 个解。
【答案】：错误。
【提示】：设含n 个变量n 个方程的线性方程组为1n n A x b⨯=，则当()(,)R A R A b n =<时，该方程组有无穷多个解。
3．如果一个线性方程组有两个不同的解，那么它必然有无穷多解。
【答案】：正确。
【提示】：利用线性方程组的解的结构即可。
4．如果一个线性方程组有解但没有自由变量，则它有唯一解。
【答案】：正确。
5．如果增广矩阵(,)A b 通过初等行变换变为(,)C d ，则方程组A x b =和C xd=有相同的解集。
【答案】：正确。
【提示】：利用线性方程组求解的方法即知。
6．如果方程组A x b=有多于一个的解，则方程组0A x=也如此。
【答案】：正确。
【提示】：利用非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解的关系即可。
7．如果A为一个m n⨯矩阵，并且方程组A x b=对某些b是有解的，则A中的列张成m R。
【答案】：错误。
【提示】：例子：只要选择满足条件R(A)<m的矩阵即可。
8．如果增广矩阵(,)A b可以通过初等行变换变为行最简形矩阵，则方程组是有解的。
【答案】：错误。
【提示】：因为任何一个矩阵都可以通过初等行变换变为行最简形矩阵，而线性方程组A x b=有解的充分必要条件是()(,)=。
3-2 线性方程的解的情况
推论 2.3 当m<n时, n元齐次方程组一定有非零解. 推论 2.4 当m=n时, 如果系数矩阵的行列式为0,
(1) 设有效方程个数为 r (去掉多余的方程``0=0'), 不出现矛 盾, 则方程组有解. 分两种情况
(i) 若 r=n, 则阶梯形方程组即为上三角方程组
因此, 解唯一
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9
一般情形
(ii) 若 r<n, 则有阶梯形方程组为
其余的未知量称为自由未知量.
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10
理论结果
定理 2.1. 一般的 n 元线性方程组的解有三种情况: 无解, 有
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back
唯一解, 有无穷多解. 设方程组已化为阶梯形.
(i) 若有效方程个数 r=n, 则原方程组有唯一解; (ii) 若 r<n, 则原方程组有无穷多解. 这无穷多个解 可用一般解表示出来,其中主变量有 r 个, 自由变量 有 n-r 个.
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理论结果
推论 2.2 设 n 元齐次线性方程组经过初等变换化成阶梯形
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3
例题 2.2
解线性方程组解:17:50 Nhomakorabea4
例题 2.2
解线性方程组
情形2. 有效方程的个数小于未知量的个数且没有出现矛盾, 方程组有无穷多解.
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5
例题 2.2
增广矩阵
一般解为
写成集合形式:
线性方程组解法归纳总结
线性方程组解法归纳总结在数学领域中，线性方程组是一类常见的方程组，它由一组线性方程组成。
解决线性方程组是代数学的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的解法进行归纳总结。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过逐步消元，将线性方程组转化为一个上三角形方程组，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取一个非零的主元（通常选取主对角线上的元素），通过初等行变换将其它行的对应位置元素消为零。
3. 重复上述步骤，逐步将系数矩阵转化为上三角形矩阵。
4. 通过回代法，从最后一行开始求解未知数，逐步得到线性方程组的解。
高斯消元法的优点是理论基础牢固，适用于各种规模的线性方程组。
然而，该方法有时会遇到主元为零或部分主元为零的情况，需要进行特殊处理。
二、克拉默法则克拉默法则是一种用行列式求解线性方程组的方法。
它利用方程组的系数矩阵和常数向量的行列式来求解未知数。
具体步骤如下：1. 求出系数矩阵的行列式，若行列式为零则方程组无解。
2. 对于每个未知数，将系数矩阵中对应的列替换为常数向量，再求出替换后矩阵的行列式。
3. 用未知数的行列式值除以系数矩阵的行列式值，即可得到该未知数的解。
克拉默法则的优点是计算简单，适用于求解小规模的线性方程组。
然而，由于需要计算多次行列式，对于大规模的线性方程组来说效率较低。
三、矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的方法。
通过矩阵的逆运算或者伴随矩阵求解线性方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵的形式，其中系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数向量矩阵为B。
即AX=B。
2. 若系数矩阵A可逆，则使用逆矩阵求解，即X=A^(-1)B。
3. 若系数矩阵A不可逆，则使用伴随矩阵求解，即X=A^T(ATA)^(-1)B。
矩阵法的优点是适用于各种规模的线性方程组，且运算速度较快。
线性代数课程的教学改革
线性代数课程的教学改革本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！线性代数课程的教学改革为了适应现代科技发展对应用型人才的大量需求，培养造就一批创新能力强、适应经济社会发展需要的各类型高质量工程技术人才，为国家走新型工业化发展道路、建设创新型国家和人才强国战略服务。
我国高等院校本科阶段以应用型工程师为培养目标的要求，对本校的教育理念与教学模式进行改革。
作为重要基础课程的线性代数课程有了一套完整的结构体系，利用多媒体等现代教学手段教学，但学生还是觉得这门课程过于抽象难学，究其原因是在新的培养目标背景下，非数学专业线性代数课程发展还存在以下的问题：1 现阶段我国高校非数学专业线性代数课程中存在的问题课程定位不够准确我国高校本科的主要任务是应用型、创新型人才的培养。
基于这一培养目标，非数学专业的线性代数课程也要进行重新定位。
当前我国高校线性代数课程比较关注教学内容结构逻辑性，注重培养学生的思维逻辑能力，然而却忽视了线性代数课程的实践性以及应用性，不能很好的在知识学习过程中让学生学会知识的同时开发其创新能力和应用能力，不能满足人才培养目标的需要。
于是对线性代数课程进行改革与调本文由论文联盟http://收集整理整已是当务之急。
内容抽象，几何直观解释、应用实例少许多学校实施3+1 办学模式，即3年理论教学加1年社会应用实践，各门课程的理论学时相对减少，我校线性代数课程只有32学时，完成行列式、矩阵、向量组的相关性、方程组求解和二次型标准化五章内容的教学，学生感觉教学速度太快，加上线性代数涉及n维空间、矩阵的秩、线性相关、线性变换、线性空间等概念以及与其相关的定理、推论，几何直观解释和应用实例太少，学生学习的过程中不能透彻理解知识点并将各知识点有机的联系在一起，达不到既学知识又提升能力的效果。
信息技术与课程的有机融合有待加强我国从20世纪50年代起全面学习前苏联的教育经验，数学教育特别强调数学的思维训练功能，这一数学传统一直影响至今。
向量组线性相关的几种证明方法
郑州航空工业管理学院毕业论文设计2011届数学与应用数学专业0711061 班题目向量组线性相关的几种证明方法姓名王守玉学号071106128 指导教师刘燕职称讲师2011 年 4 月19 日内容提要向量组的线性相关性在线性代数中是一块基石在它的基础上我们可以推导和衍生出其他许多理论.所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法可以帮助我们更好的理解其他理论知识.本文从介绍向量组线性相关性的定义着手论述了若干种判定证明向量组线性相关的方法例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用于向量组的线性相关性的判定并比较了不同判定方法的适用条件及范围. 向量组线性相关性的证明理论作为数学知识中的基础理论在现实世界中有着深入的广泛应用.所以熟练地掌握向量组线性相关性的证明方法是很重要的. 关键词向量组线性相关行列式判定方法矩阵线性方程组等. Several Methods for Judging the Related Linearity of Vectors Group AuthorWang shou yu The guidance of teachersLiu yan Abstract The Related Linearity of Vectors Group in Linear Algebra is one cornstonethe basis of its derivation and derived from our many other theories.So skilled master linear vector to determine the relevance of the method helps us to better understand the other theories.This article from the Vector Groupintroduced the definition of a linear correlation to proceedand discussed a number of Vector Group to determine the method of linear correlation.For examplethe definition of the use of linear correlationthe value of the determinantrank of matrixhomogeneous solution of linear equations applied to vector groupssuch as knowledge of the linear correlation found.And compare different methods to determine the conditions and scope of the application. Vector Group to determine the linear correlation of theoretical knowledge as the basis of mathematical theoryin the real world with extensive use of depth.So it is very important to hold the methods for judging the related linearity of vectors group masterly. Key wordsVectors group Related dependence Determinant Judging method Matrix Solution of system of linear equations 目录第一章绪论……………………………………………………………1 第二章向量组线性相关性的定义及性质.…………………………2 第三章向量组线性相关性的证明方法…….……….………………6 3.1 利用定义法证明..………….……….…….……………….…6 3.2 利用向量组内向量之间的线性关系证明………….……………6 3.3 利用齐次线性方程组的解证明……………….………………7 3.4 利用矩阵的秩证明向量组线性相关性…………………………7 3.5 利用行列式的值来证明向量组线性相关性……………………9 3.6 方程组法………………………………………….…………11 3.7反正法…………………………………………….………12 第四章向量组线性相关的具体应用…………………………….……….13 结论与展望…………………………………………………..………16 致谢………………………………………………………………….…17 参考文献………………………………………………………………18 1 向量组线性相关的几种证明方法作者071106128 王守玉指导教师刘燕讲师第1章绪论线性相关性这个概念在数学专业许多课程中都有体现如解析几何、高等代数和常微分方程中等等.它是线性代数理论的基本概念它与向量空间包括基、微数、子空间等概念有密切关系同时在解析几何以及常微分方程中都有广泛的应用.因此掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义也是解决问题的重要的理论根据.向量组的线性相关与线性无关实际上可以推广到函数组的线性相关与线性无关. 在线性代数中向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用.它可以将线性代数中的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起.若能熟练地掌握向量组的线性相关性则能更好的理解线性代数的各部分知识理清线性代数的框架做到融会贯通. 本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法从定义及性质下手熟悉了一些重要理论从而能在各领域中得到更好的运用.本文的第二章就是介绍了向量组线性相关的定义以及相关理论熟悉定义就能更清晰的掌握向量组线性相关性的本质.而本文的第三章主要给出了向量组线性相关的若干种判定方法比较了不同判定方法的优劣及适用范围并给出了一些详细证明附带了一些证明题和例题2 从而能更深刻地熟悉这些理论知识.第四章主要给出了向量组线性相关性的具体应用.而后面的就是结论与展望及一些参考文献还有一些附录关于引用的具体文献. 第2章向量组线性相关性的定义及性质定义2.1 给定向量组12:mAaaa如果存在不全为零的数12mkkk使1122mmkakaka0 则称向量组是线性相关的否则称它为线性无关. 注1说向量组12maaa线性相关通常是指2m的情形.但上述定义也适用于1m的情形.当1m时向量组只含有一个向量对于只含一个向量a的向量组当a0时是线性相关的当a0时是线性无关的.对于含2个向量12aa的向量组它线性相关的充分必要条件是12aa的分量对应成比例其几何意义是两向量共线.3个向量线性相关的几何意义是三向量共面. 注2向量组12:2mAaaam线性相关也就是在向量组A中至少有一个能由其他1m个向量线性表示.这是因为如果向量组A线性相关则有不全为0的数12mkkk使2-1式成立.因12mkkk不全为0不妨设10k于是便有12211mmakakak 即1a能由2maa线性表示. 如果向量组中有某个向量能由其余1m个向量线性表示不妨3 设ma能由11maa线性表示即有11m使112211mmmaaaa于是11111mmmaaa0 因为111m这m个数不全为0至少10所以向量组是线性相关的. 注3向量组的线性相关与线性无关的概念也可用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时这个方程就是多余的这时称方程组是线性相关的当方程组中没有多余方程就称该方程组线性无关. 向量组12:mAaaa构成矩阵12mAaaa向量组A 线性相关就是齐次线性方程组1122mmxaxaxa0即Ax0有非零解. 只有充分理解了向量组线性相关的定义我们才能找到不同的判定方法来判定某组向量是否是线性相关的并比较不同的判定方法的适用条件. 向量组线性相关的性质特征性质1向量组12:mAaaa线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余1m个向量线性表示. 性质2对于各分量都给出的向量组12:mAaaa若以123mAaaaa为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0有非零解向量则此向量组12:mAaaa是线性相关的.若以123mAaaaa为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0只有零解向量则此向量组12:mAaaa 4 是线性无关的. 设向量组12:mAaaa是由m个n维列向量所组成的向量组则向量组的线性相关性可由向量组所构成的矩阵123mAaaaa的秩的大小来判定.即 1 当RAm时则向量组12:mAaaa是线性无关的. 2 当RAm时则向量组12:mAaaa是线性相关的. 这是经常用到的一种判定相关性的方法. 我们将向量12naaa几行排成矩阵12...TTTTnaaABa 为阶梯型矩阵则有定理2.1 向量组12naaa线性相关的充分必要条件是矩阵中出现零行. 证明阶梯型矩阵中出现零行矩阵TA的秩TRAnTRARAn齐次线性方程组1122nnaxaxax0有非零解向量组12naaa线性相关. 推论2.1 向量组12naaa线性无关的充分必要条件是矩阵B中不出现零行. 对矩阵TA进行初等行变换化为阶梯型矩阵B的过程其实就是对12naaa进行向量的线性运算.如果中出现零行则向量组12naaa中一定有某个向量能被其余的1n个向量线性表示从而知向量组12naaa 是线性相关的反之如果B中没有零行则向量组5 12naaa中没有任何一个向量能被其他的1n向量线性表示从而知12naaa是线性无关的. 推论2.2 如果向量组12naaa中含有零向量则向量组12naaa是线性相关的. 推论2.3 如果向量组12naaa中有个部分组12mkkkaaa其中1212iknimmn线性相关则向量组12naaa也一定线性相关. 性质3若向量组12:mAaaa是由m个n维列向量所组成的向量组且向量组A所构成的矩阵123mAaaaa即A为m阶方阵则1当0A时则向量组12:mAaaa是线性相关的. 2当0A时则向量组12:mAaaa是线性无关的. 若向量组12:mAaaa的个数m与维数n不同时则1当mn时则向量组12:mAaaa是线性相关的. 2当mn时转化为上述来进行判定即选取m个向量组成的m维向量组若此m维向量组是线性相关的则添加分量后得到的向量组也是线性相关的. 性质4对于各分量都给出的向量组12s线性相关的充要条件是以12s 的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解若齐次线性方程组只有零解则向量组线性无关. 第三章向量组线性相关性的证明方法6 3.1 利用定义法证明这是证明向量组的线性相关性的基本方法.定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组也适用于分量已经给出的具体向量组. 例3.1设112223334baabaabaa441baa证明向量组1234bbbb线性相关. 证明设存在4个数1234kkkk使得11223344kbkbkbkb0 将112223334441baabaabaabaa代入上式有112223334441kaakaakaakaa0 141122233344kkakkakkakka0取132411kkkk则有11223344kbkbkbkb0 由向量组线性相关的定义可知向量组1234bbbb线性相关. 3.2 利用向量组内向量之间的线性关系证明根据上一章讲到的性质1我们带入上一例题中比如取132411kkkk则1234bbbb即1b可由234bbb三个向量线性表示所以向量组1234bbbb线性相关.这种证明方法就是利用向量组内向量之间的线性关系进行证明的. 3.3 利用齐次线性方程组的解证明在应用定义法解一个齐次线性方程组需由该方程组是否有非零7 解来证明向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定. 例3.2证明向量组1232105754137411aaa线性相关. 证明以123aaa为系数向量的齐次线性方程组是112233xaxaxa0即1231232312327305704405110xxxxxxxxxxx 利用矩阵的谐醯缺浠唤 匠套榈南凳 卣驛化为行阶梯型矩阵即1212122527315715727304404451115111rrrrrrA23324421171412415715715701717011 01104401100002424011000rrrrrrr 由行阶梯型矩阵可知23RA即齐次线性方程组有非零解所以向量组123aaa线性相关. 3.4 利用矩阵的秩证明向量组线性相关性上一章讲到的定理2.1和推论2.1推论2.2推论2.3充分的告诉了我们如何根据矩阵的秩证明向量组的线性相关性. 例3.3证明向量组123134752453246753aaa的线性无关. 证明将123aaa以行排成矩阵8 1231347513475245320231184675300001aAaa 矩阵A化为阶梯型矩阵后没有出现零行则123aaa中每个向量都不能被剩下的向量线性表示故由推论知向量组123aaa是线性无关的. 我们注意到定理中的矩阵TA 在初等行变换的过程中不论是否化成了阶梯型矩阵一旦出现零行就可以断定12naaa中必有一个向量能被其余剩下的n-1个向量线性表示从而知向量组12naaa线性相关. 例3.4证明向量组123413215224691127413595aaaa的线性相关. 证明将1234aaaa以行排成矩阵12341321513215224690408111274000001359513595aaAaa 所以矩阵A经过初等行变换后出现了零行则1234aaaa中必有一向量可以由其余的向量线性表示氏蛄孔?234aaaa是线性相关的. 例3.5设12311112313TTTaaat问当t为何值时向量组123aaa 线性相关并将3a表示为1a和2a的线性组合. 解利用矩阵的秩有123Aaaa11111111112301201213021005ttt 可见当5t时向量组123aaa线性相关并且有9 111101012012000000A所以3122aaa 利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同但实质上是一样的都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵从而求出向量组的秩即系数矩阵的秩然后再作出判定. 3.5 利用行列式的值来证明向量组线性相关性例3.6已知123111025247TTTaaa试讨论123aaa的线性相关性. 证明令123Aaaa则1021240157A所以123aaa线性相关. 行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解然后再对向量组的线性相关性作出判定所以能应用行列式值进行判定的向量组也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 例3.7已知向量组123:Aaaa是线性无关的且有112223331baabaabaa证明向量组123bbb线性无关. 证明一设有123xxx使得112233bxbxbx0即112223331xaaxaaxaa0整理为131122233xxaxxaxxa0 10 因为123aaa是线性无关的所以131223000xxxxxx由于此方程组的系数行列式10111020011故方程组只有零解1230xxx所以向量组123bbb线性无关. 证明二将已知的三个向量等式写成一个矩阵等式123123*********bbbaaa 记作BAK.设Bx0以BAK代入AKx0.因为矩阵A的列向量组线性无关所以可推知Kx0.又因为20K知方程Kx0只有零解0x所以矩阵B的列向量组123bbb线性无关. 证明三将已知条件可以写为123123*********bbbaaa 记做BAK因为0k所以k可逆由矩阵的秩的性质可知RARB且3RA由此3RB所以B的三个列向量线性无关. 例3.8已知3阶矩阵与三维列向量x满足323xxx且向量组2xxx线性无关. 1记2xxx求三阶矩阵使. 2求的值. 解1因为23223xxxxxxx 2000103011xxx然后可以得到000103011使得11 . 2因为得到了且2xxx而向量组2xxx是线性无关的.故P是可逆的.1所以10 3.6方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题. 例3.11 证明向量组123211103202431的线性相关. 证明以123为系数的齐次线性方程组13123123132203402300kkkkkkkkkk 解得之1323kkkk即12311kkk是方程组的一组非零解故123线性相关. 例3.12 讨论12311112313t. 1 当t为何值时向量组123线性无关2 当t为何值时向量组123 线性相关3 当向量组123线性相关性将3表示为1和2的线性组合. 解设有实数123xxx使112233xxx0则得方程组123123123023030xxxxxxxxtx 其系数行列式111123513Dtt 1当5t时0D方程组只有零解1230xxx这时向量组123线性无关. 12 2当5t时0D方程组有非零解即存在不全为0的数123xxx使112233xxx0此时123线性相关. 3当5t时由111101123012135000有1323020xxxx 令31x得11x22x因此有12320从而3122. 3.7 反证法在有些题目中直接证明结论常常比较困难而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义定理公理相悖的结果从而结论的反面不成立即结论成立.此方法是数学中常用的证明方法欲证命题真先假设命题假导出矛盾从而原命题得证. 例3.9设向量组12:mAaaa中任一向量ia不是它前面1i个向量的线性组合且0ia证明向量组12:mAaaa是线性无关的. 证明反证法假设向量组12:mAaaa线性相关则存在不全为零的m个数123mkkkk使得1122mmkakaka0 由此可知0mk否则由上式可得112121mmmmmmkkkaaaakkk 即ma可由它前面1m个向量线性表示这与题设矛盾因此0mk 112211mmkakaka0. 类似于上面的证明同理可得12320mmkkkk最后得到11ka0 因为ia0所以10k但这又与123mkkkk不全为0相矛盾. 因此向量组12:mAaaa是线性无关的. 13 第四章向量组线性相关的具体应用曲面造型是CAD/CAM、CG、计算机动画、计算机仿真、计算机可视化等众多领域的一项重要内容主要研究在计算机图像系统环境下对曲面的表示、设计、显示和分析.经过30多年的发展它已形成了以有理B样条曲面参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体以插值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系. 在80年代后期参数曲面是CAD/CAM 曲面的主要表示方法尤其形成了NURBS 理论使它成为工业产品几何形状定义的唯一数学描述方法.但随着计算机设计的几何对象不断朝着多样化、特殊化、拓扑结构复杂化方向的发展参数曲面的局限性也越来越明显. 通常用参数曲面构造复杂拓扑结构的物体表面时需要对曲面片进行剪裁或直接在非规则的四边形网格上构造曲面片无论哪种情况都要考虑片与片之间的光滑拼接这是很困难的.对于影视动画领域的活动模型需要采用更加简便的方法来构造任意拓扑结构曲面. 细分方法正是在这种情况下迅速发展起来其基本思想是采用一定的细分规则在给定的初始网格中渐进地插入新的顶点从而不断细化出新的网格.重复运用细分规则在极限时该网格收敛于一个光滑曲面.细分曲面就是由初始控制网格按照一定的细分规则反复迭代而得到的极限曲面它具有以下优点适应任意拓扑结构、仿射不变、算法简洁通用高效、应用规模可大可小. 正是由于细分曲面有着传统参数曲面所不具备的优点现已广泛14 应用于计算机辅助几何设计、计算机动画造型及商业造型软件等领域.Loop细分网格具有局部性质.。
线性方程组解的判定
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2.7线性方程组解的情况判定
1 6 36 104 1 6 36 104
(A，B) 1 10 100 160 0
4 64
56
1 20 400 370 0 14 364 266
1 6 36 104 1 6 0 86
0 1 16
14 0 1 0
(2)
2
x1 x2 x1 3x2
2 x3 x3
7， 6，
3x1 x2 2 x3 5 ；
x1 2 x2 3x3 11 ，
(3)
2
x1 x1
x2 3x2
x3 x3
7， 6，
3x1 x2 2 x3 5 ．
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2.7线性方程组解的情况判定
crrxr drcrr1xr1crnxn，
其中 xr1 ， ，x n 为自由未知量．因此，方程 组(2.6.1)有无穷多解．
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2.7线性方程组解的情况判定
定理2.7.1(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(2.6.1)有解的充分必要条件是其 系数矩阵与增广矩阵的秩相等．即
1.当 dr1 0时，阶梯形矩阵(2.7.1)和 (2.7.2)所表示的方程组中的第 r1个方程
“ 0dr1”是一个矛盾方程，因此，方程
组(2.6.1)无解．
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2.7线性方程组解的情况判定
2.当 dr1 0时，方程组(2.6.1)有解． 并且解有两种情况：
(1)如果 rn，则阶梯形矩阵(2.7.1) 表示的方程组为
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1 1 2 3
考研数学：线性代数分析之线性方程组-
考研数学：线性代数分析之线性方程组勤能补拙，滴水穿石，成功离我们并不会太遥远，只要用心我们就可以得到自己想要的。
接下来我们就线性方程组进行简单的分析。
线性代数的入门学习就是：线性方程组。
我们可以把线性方程组看作是线性代数的一个基石，我们是通过研究线性方程组来建立的线性代数这门学科。
线性方程组的求解可以分为齐次线性方程组与非齐次线性方程组，其中每类中都有具体线性方程组求解和抽象线性方程组求解之分。
方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：(1)、方程组是否有解，即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解，有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法是求解线性方程组的最基本也是最直接的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个常数k乘以某个方程。
我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组我们都可以通过高斯消元法来化解成为阶梯形方程组。
通过阶梯形方程组我们可以直观的判断线性方程组解的情况。
通过矩阵表示出线性方程组，对该矩阵(如果是非齐次线性方程组，则是对其的增广矩阵)做相应的初等变化，我们可以将其化解为阶梯形矩阵，同样我们可以直观的得到其解的情况。
在判断线性方程组解的情况时，齐次线性方程组，我们只关心解的唯一性，以及不唯一情况下如何表示出所有解;非齐次线性方程组，我们首先要进行判断解是否存在，之后是唯一性，以及通解的表示。
对于齐次而言，判断唯一性的根本是通过r(A)与n之间的关系，如果r(A)=n 则该线性方程组的解唯一;当r(A)对于非齐次线性方程组而言，当系数矩阵的秩与增广矩阵秩不相等时，无解;当两者相等且等于n时，有唯一解;当两者相等且小于n时，有无穷多的解。
再讨论过线性方程组解的情况后，我们接下来讨论，在线性方程组有无穷多解的情况下，如何表示这些解，也就是其通解的情况。
初中方程组的解的判定
初中方程组的解的判定初中阶段，学生开始接触方程组的求解，并学习如何判断一个方程组是否有解、有唯一解还是有无穷多解。
本文将介绍初中方程组解的判定方法，帮助学生更好地理解和掌握这个知识点。
一、方程组的类型在进行解的判定之前，我们首先需要了解不同类型的方程组。
根据方程的个数和变量的个数，方程组可以分为三类：含有相同个数的线性方程、含有多个变量的方程和含有不同数量的方程。
1. 含有相同个数的线性方程组线性方程组是指其中的方程都是一次方程的方程组。
当方程个数和未知数个数相等时，我们称之为含有相同个数的线性方程组。
例如：2x + 3y = 54x - 5y = 72. 含有多个变量的方程组含有多个变量的方程组指的是方程组中的方程含有多个未知数。
例如：2x + 3y - z = 54x - 5y + 2z = 73x + 2y + z = 33. 含有不同数量的方程的方程组当方程的个数和未知数个数不相等时，我们称之为含有不同数量的方程的方程组。
例如：2x + 3y = 54x - 5y + 2z = 7二、方程组解的判定方法1. 含有相同个数的线性方程组的解判定对于含有相同个数的线性方程组，我们可以通过消元法或代入法来判断其解的情况。
a. 消元法通过消元法，将方程组化为行简化阶梯矩阵，然后根据行简化阶梯矩阵的形式进行解的判断。
如果行简化阶梯矩阵中的行数与列数相等，并且每个未知数对应的列都有主元素（主元素是指矩阵中所在行的首个非零元素），则方程组有唯一解。
如果行简化阶梯矩阵中的行数小于列数，那么方程组有无穷多解。
如果行简化阶梯矩阵中出现了全为0的行，且主元素不在最后一列，那么方程组无解。
b. 代入法通过代入法，将一个方程的变量表示为其他变量的表达式，然后代入到其他方程中进行求解。
如果代入后的方程组得到了一个恒等式，即等式为真，则方程组有无穷多解。
如果代入后的方程组得到了一个矛盾式，即等式为假，则方程组无解。
2. 含有多个变量的方程组的解判定对于含有多个变量的方程组，我们需要使用高斯消元法或矩阵求逆的方法进行解的判断。
线性方程组解题归纳
初等行变换法
总结词
初等行变换法是一种基于矩阵的初等行变换来求解线性方程 组的方法。
详细描述
初等行变换法包括三种变换：交换两行、对一行乘以非零常 数、将一行乘以常数加到另一行。通过这些变换，将线性方 程组的系数矩阵A变为单位矩阵I，从而得到线性方程组的解 。
逆矩阵法
总结词
逆矩阵法是一种利用逆矩阵的概念求解线性方程组的方法。
系数矩阵的行线性相关
当系数矩阵的行线性相关时，线性方 程组无解。
无数解的情况
系数矩阵为行满秩矩阵
当系数矩阵为行满秩矩阵时，线性方程组有无数解。
系数矩阵的列线性相关
当系数矩阵的列线性相关时，线性方程组有无数解。
04
线性方程组的应用
在几何中的应用
01
02
线性方程组可以用于解决平面几何问题，例如两点间的距离、点到直 线的距离、直线的交点等。
得到准确结果。
常见的求解算法包括高斯消 元法、逆矩阵法、迭代法等 。
对于大规模的线性方程组采用迭代方法求解
01
02
03
对于大规模的线性方程 组，直接求解可能会消 耗大量的计算资源和时
间。
采用迭代方法，如 Jacobi迭代、GaussSeidel迭代等，可以逐 步逼近准确解，减少计
算量。
迭代方法通常需要设定 初始值，通过迭代逐步 改进，直至达到预设的
线性方程组解题归纳
汇报人：
汇报时间：2023-12-01
目录
• 线性方程组基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的讨论 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解法的选择 • 线性方程组解法的优化
01
线性方程组基本概念
线性方程组的定义
解析线性方程组中的若干问题
解析线性方程组中的若干问题
线性方程组是数学中最重要的一类问题，它主要涉及线性方程的解法，以及如何用统一的方式解决大量未知的方程。
本文将首先介绍线性方程组的相关概念，进而讨论如何解决线性方程组中的问题，最后探讨如何使用数学工具自动解决线性方程组。
一、线性方程组的相关概念
线性方程组是一组形如ax + by + c = 0的线性方程的集合，其中a, b, c是常数。
通常情况下，线性方程组中的方程数量是由用户去指定的，例如有3个方程时，就可以构成一组3元一次方程组。
线性方程组中方程的解为多个变量，这些变量可以是实数、复数乃至于矢量空间中的变量。
二、解决线性方程组中的问题
线性方程组表达式中的变量满足无穷多种不同的取值，因此线性方程组的解也有无穷多种。
实际上，解决线性方程组的问题关键在于如何找到线性方程的解，即求解线性方程组的所有解。
在这里，我们介绍几种用于解决线性方程组的方法，即解析法、图解法以及矩阵法。
（1）解析法
对于简单的线性方程组，可以通过解析法来解决，即手动推导出每个变量的取值，使得线性方程组成立。
这种方法适用于解决简单的线性方程组，但是在处理复杂的线性方程组，这种方法往往不再有效。
（2）图解法
另一种解决线性方程组的方法是图解法，即将线性方程组中的方
程画出来，然后尝试寻找其解。
这种方法可以用于解决两个或多个未知的线性方程，但它的效率较低，不适用于大量的线性方程。
（3）矩阵法
矩阵法是用矩阵的运算方法来解决线性方程组的一种方法，它能够有效解决大量未知数的线性方程组。
矩阵法对复杂的线性方程组非常有效，且可以得到较为满足的解。
初中数学 如何判断一个方程是否有多个解
初中数学如何判断一个方程是否有多个解要判断一个方程是否有多个解，我们需要考察方程的特点和性质。
以下是一些常见的方法和技巧，可用于判断一个方程是否有多个解。
1. 分析方程的形式：首先，我们可以通过观察方程的形式来判断是否有多个解的可能性。
例如，如果方程中存在平方项（如x^2）、立方项（如x^3）或其他高次项，那么方程可能会有多个解。
2. 研究方程的条件或限制：有时，方程的条件或限制可以告诉我们方程是否有多个解。
例如，方程中存在绝对值（如|2x - 6|）或分式（如1/(x - 2)）等特殊形式，我们需要根据这些条件来判断方程的解的情况。
3. 解方程：解方程是判断方程是否有多个解的常用方法。
通过求解方程，我们可以确定方程的解的个数。
如果方程有且只有一个解，则该方程是唯一解方程；如果方程有多个解，则该方程是多解方程。
4. 观察方程图形：绘制方程的图形可以帮助我们直观地理解方程的解的情况。
通过观察方程的图形，我们可以判断方程是否有多个解。
例如，对于二次方程，我们可以观察抛物线的形状和与x轴的交点数量来判断方程的解的个数。
5. 利用性质和定理：数学中有一些性质和定理可以帮助我们判断方程是否有多个解。
例如，平方根的性质告诉我们，一个平方根方程（如x^2 = a）有两个解，一个立方根方程（如x^3 = a）有三个解，以此类推。
6. 推导方程的一般解：对于某些特殊形式的方程，我们可以通过推导方程的一般解来判断方程是否有多个解。
例如，对于线性方程组，我们可以通过消元法或矩阵运算等方法来推导方程的一般解。
需要注意的是，判断一个方程是否有多个解并不是一种绝对准确的方法，而是一种基于方程的特点和性质的推测和判断。
在实际问题中，我们可能需要综合运用多种方法来判断方程的解的情况。
总结起来，要判断一个方程是否有多个解，我们可以通过分析方程的形式、研究方程的条件、解方程、观察方程图形、利用性质和定理以及推导方程的一般解等方法来进行判断。
线性方程组的基本概念
1 −2 1 4 1 −1 1 0 = B4 0 0 1 −3 0 0 0 0
x 1 − x 3 = 4 , x1 = x3 + 4, x1 1 4 x − x = 3 , x2 = x3 + 3, 即 x2 1 3 ⇔ 2 3 x = 1 x3 + 0 x3 = x3 + 0, x 4 = − 3, 3 − 3 x 0 x4 = 0 * x3 − 3 4 0 = 0, 其中x3可以取任意值 可以取任意值,即方程有无数个解 其中 可以取任意值 即方程有无数个解 注意:A的秩与 的秩与(A,b)的秩相等为 ，但未知系数 的秩相等为3，但未知系数X 注意 的秩与 的秩相等为 有4个。 个 结论:A的秩与 的秩与(A,b)的秩相等,但秩的值小于n。有 结论 的秩与 的秩相等 。 14 无数个解。 无数个解。
x1 = x2 + x4 + 1 2 x = x + 0x + 0 2 4 ⇔ 2 x3 = 0 x2 + 2 x4 + 1 2 x4 = 0 x2 + x4 + 0
其中x2 , x4任意.
结论:A的秩与 的秩相等,但秩的值小于n 结论 的秩与(A,b)的秩相等 的秩与 的秩相等 （x的个数）。有无数个解。
ɶ 增广矩阵有时也记为 A，或者B，或者A，或（A，b)
2
若引进记号
a11 a α1 = 21 ⋮ am1
a12 a 22 ⋯ α2 = ⋮ am 2
a1n a α n = 2n ⋮ amn
一个线性方程组中有没有多余的方程
一个线性方程组中有没有多余的方程,那就是要看对应的向量组是否线性相关.若向量组线性相关,则该方程组就一定有多余的方程.
解析:
1.“一个线性方程组中有没有多余的方程”,什么叫多余的方程?也就是该方程可以由其他的方程通过方程的初等变换得到的方程. 例如:方程组(I)
()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++31332202211321321321 x x x x x x x x x
我们就可以说方程(3)是多余的因为 方程(3)可以由方程(1)+(2)得到.
2.因为求方程组的解运算过程涉及的只是方程的系数.方程中解的情况由其系数决定.于
是由一个方程我们可以得到一个向量,如上面的例子
由方程(1)的系数对应着一个3维的向量()1,1,1
由方程(2)的系数对应着一个3维的向量 ()2,2,1
由方程(3)的系数对应着一个3维的向量 ()3,3,2
由此就组成一个向量组(
)1,1,11=α, ()2,2,12=α,()3,3,23=α 下面就说明若向量组线性相关,则该方程组就一定有多余的方程.
(由前面已知方程组(I)有多余的方程组(3)) 下面看看向量组321,,ααα是不是线性相关 线性相关使得
存在不为零的数321332211321321,,0.1,1,1,0ααααααααα∴=++-===∴=-+k k k k k k (由前面已知方程组(I)有多余的方程组(3)) 所以若向量组线性相关,则该方程组就一定
有多余的方程.
直观上可以这样理解.。
2-1 线性方程组中方程的个数
线性无关. 线性无关
线性无关， 例6 设α1 , α2 , α3线性无关， 求证 α1 + α2, α2 + α3 , α3 + α1线性无关 线性无关. 证明：此处略去 证明：此处略去250字 字
第二章 线性空间
（向量空间） 向量空间）
•
线性空间是某一类客 观事物的数学抽象， 观事物的数学抽象，可以 在空间解析几何中三维向 量空间的基础上理解。 量空间的基础上理解。 • 代数几何熔一炉， 代数几何熔一炉， 乾坤万物坐标书。 乾坤万物坐标书。
简 单 的 计 数 ？
•
2-1 方程个数与线 性相关、 性相关、线性无关
此处略去一千字， 证明 此处略去一千字，内容见黑板上
结论作为定理来 结论作为定理来用。 作为定理
α1 , α 2 , ⋯ , α m 是 F n 中的 n 个，只要 m > n ， 例2
则该向量组线性相关。 证明略） 则该向量组线性相关。 （证明略）
线性无关， 例3 若α1, α2 , …, αm 线性无关， α1, α2 , …, αm，β 线性相关，则β 可由α1, α2 , …, αm 线性 线性相关， 表出，且表式惟一. 表出，且表式惟一
回忆
• 互相可以线性表 互相可以线性表 示的方程组有什 么重要性质？ 么重要性质？
同解
x + y + z = 0 的三个方程是否线性相关？ 线性方程组 2x + y + 5z = 0 的三个方程是否线性相关？ x − 3 y + 4 z = 0 解 记 α1 = (1,1,1) ， α 2 = ( 2,1,5) ，α 3 = (1,−3,4)
将打
进行到底 ， 进行 到底， 到底
向量线性相关性与秩
例3
已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关 , b1 1 2 ,
b2 2 3 , b3 3 1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关 .
证 设有x1 , x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0 即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个同维的向量所组成的向量组 可以构成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 ,, m , 构成一个n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
方程组 结论 向量组A线性相关就是齐次线性 x1 1 x2 2 xm m 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A ( 1 , 2 , m ).
向量组1 , 2 ,, m线性相关
存在不全为0的x1 , x2 , xm , 使得
a11 x1 a12 x 2 a1m x m 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 m x m 0 齐次线性方程组 a n1 x1 a n 2 x 2 a nm x m 0 有非零解 a11 a12 a1n
则存在一组数k1 ,ki 1 , ki 1 ,km , 满足
i k11 ki 1i 1 ki 1i 1 kmm
即存在不全为0的数k1 ,ki 1 , 1 ki 1,km , ，
使得k11 ki 1i 1 (1)i ki 1i 1 kmm 0
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一个线性方程组中有没有多余的方程,那就是要看对应的向量组是否线性相关.若向量组线性相关,则该方程组就一定有多余的方程.
解析:
1.“一个线性方程组中有没有多余的方程”,什么叫多余的方程?也就是该方程可以由其他的方程通过方程的初等变换得到的方程. 例如:方程组(I)
()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++31332202211321321321 x x x x x x x x x
我们就可以说方程(3)是多余的因为 方程(3)可以由方程(1)+(2)得到.
2.因为求方程组的解运算过程涉及的只是方程的系数.方程中解的情况由其系数决定.于
是由一个方程我们可以得到一个向量,如上面的例子
由方程(1)的系数对应着一个3维的向量()1,1,1
由方程(2)的系数对应着一个3维的向量 ()2,2,1
由方程(3)的系数对应着一个3维的向量 ()3,3,2
由此就组成一个向量组(
)1,1,11=α, ()2,2,12=α,()3,3,23=α 下面就说明若向量组线性相关,则该方程组就一定有多余的方程.
(由前面已知方程组(I)有多余的方程组(3)) 下面看看向量组321,,ααα是不是线性相关 线性相关使得
存在不为零的数321332211321321,,0.1,1,1,0ααααααααα∴=++-===∴=-+k k k k k k (由前面已知方程组(I)有多余的方程组(3)) 所以若向量组线性相关,则该方程组就一定
有多余的方程.
直观上可以这样理解.。