2015-2016学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷含答案
高一上学期期中考试数学试卷 Word版附答案
广东实验中学—高一（上）期中考试数 学本试卷共4页．满分为150分。
考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只交回答题卡．一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集为R ，集合{}1|>=x x M ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧><==e x e x x y y P 或1,ln |，则下列关系正确的是（ ）A ．M=PB ．P ⊂≠ MC ．M ⊂≠ PD ．P M R=Φ2．关于函数13y x-=叙述正确的是（ ）A ．在(),-∞+∞上单调递减B ．在()(),0,0,-∞+∞上单调递减C ．在()(),0,0,-∞+∞上单调递增D ．在()(),00,-∞+∞上单调递减3．函数()10<<=a a y x的图象是（ ）4．下列函数中，与x y =表示同一函数的是（ ） A ．xx y =B ．xa ay log =)(10≠>a a 且C ．2x y =D ．x a a y log =)(10≠>a a 且5．23=a ，则8log 6log 233-等于（ ） A ．a -2 B ．12+-a aC ．a 52-D ．a a 32-6．已知函数)(22R a a x x y ∈++=的图象如图所示， 则下列函数与它的图象对应正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数))1,((2-∞∈++=x c bx x y 是单调函数时，b 的取值范围（ ）A ．2-≥bB ．2-≤bC ．2->bD ．2-<b8．已知0>a 且1≠a ，则函数xa x f =)(和)1(log )(xx g a -=的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知偶函数)(x f 在)0,(-∞上单调递增，若0)1(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集是（ ）A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()0,1(+∞-10．设3lg )(-+=x x x f ，用二分法求方程03lg =-+x x 在)3,2(内的近似解的过程中得到0)3(,0)5.2(,0)75.2(,0)25.2(><><f f f f ，则方程的根落在区间（ ） A ．(2，2.25) B ．(2.25，2.5) C ．(2.5，2.75) D ．(2.75，3) 11．函数)4(log )(22x x x f -=的单调递减区间是（ ） A ．),4()0,(+∞-∞ B ．)4,0( C ．),4()2,(+∞-∞ D ．)4,2(12．函数132++-=x ax ax y 的图象与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值的集合为（ ）A ．}9,1{B ．}9,1,0{C ．}0{D ．}4,2,0{二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知b a ,是常数，函数3)1ln()(23++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上的最大值为10，则)(x f 在),0(+∞上的最小值为.14．已知函数1)391ln()(2+-+=x x x f ，则=+)21(lg )2(lg f f .15．已知)(x f 满足：xx f x ⎪⎭⎫⎝⎛=≥21)(,4；当4<x 时，)1()(+=x f x f ，则)3log 2(2+f =.16．设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有)4()(+=x f x f ，且当]0,2[-∈x 时，121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ，若在区间(-2,6)内关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a)1(>a 恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分8分）已知{}42-≤≤=a x a x A ，{}0652<--=x x x B ，若A B A = ，求a 的取值范围．18．（本题满分12分） 已知函数.5)1(.)(=+=f xax x f 且 （1）求a 的值；（2）判断函数)(x f 的奇偶性；（3）判断函数),2()(+∞在x f 上的单调性并用定义证明你的结论.19．（本题满分8分）已知奇函数)(x f 是定义域]2,2[-上的减函数，若0)34()12(>-++a f a f ，求实数a 的取值范围.20．（本题满分12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)（1）分别写出两种产品的收益与投资的关系；（2）该家庭有20万元的资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？21．（本题满分15分）已知函数的值满足，对任意实数y x ,都有，且9)27(,1)1(==-f f ，当)1,0()(10∈<<x f x 时，.（1）求的值，判断的奇偶性并证明；（2）判断在),0(+∞上的单调性，并给出证明； （3）若且，求a 的取值范围.22．（本题满分15分）对于函数，若满足，则称为函数的一阶不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点． （1）若，求的二阶不动点；（2）若是定义在区间D 上的增函数，且是函数的二阶不动点，求证：也必是函数的一阶不动点；（3）设，，若在上存在二阶不动点，求实数的取值范围．广东实验中学2016—2017学年高一（上)期中考试（数学）答案C 、1B 、2C 、3D 、4A 、5B 、6 B 、7C 、8A 、9C 、10D 、11B 、1213、-4 14、2 15、241 16、(]243，17、解：解得}61|{<<-=x x B ……1分A B A = ，B A ⊆∴ ……3分 （1）若A=∅ 则B A ⊆成立，此时a a <-42， 即4<a ……4分（2）若A ∅≠ 要B A ⊆，则需⎪⎩⎪⎨⎧<-->≥-642142a a a a ……6分即⎪⎩⎪⎨⎧<->≥514a a a ，解得54<≤a ……7分综上所述：)5,(-∞∈a . ……8分18、解:(1)由5)1(=f ，得:a +=154=∴a ……3分(2)xx x f 4)(+= ),0()0,(+∞-∞∈ x 且)()4()(x f xx x f -=+-=-为奇函数)(x f ∴. ……6分 (3)任取：212x x <<)41)(()(4)(44)()(2121211*********x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=-+-=--+=-……9分1440221212121<><-∴<<x x x x x x x x),2()(0)()(21∞+∴<-∴在x f x f x f 上为增函数 ……12分19、解：由0)34()12(>-++a f a f得)34()12(-->+a f a f ……2分 又)43()34()(a f a f x f -=--为奇函数，得 ……3分)43()12(a f a f ->+∴ ……4分又上的减函数是定义域]2,2[)(-x f212432-≥+>-≥∴a a ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≥++>--≥2121243432a a a a ……6分）的取值范围为解得31,41[a ∴ ……8分20、解：（1）x k x g x k x f 21)(,)(==设：2121)1(,81)1(k g k f ====∴ 即)0(21)(),0(81)(≥=≥=x x x g x x x f ……6分 （2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为)20(x -万元. 依题意得：)200(20218)20()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y ……8分 )520(20≤≤-=t x t 令 ……10分3)2(812182022+--=+-=t t t y 则.3162万元万元时，收益最大为时，即当==∴x t ……12分21、（1）1)1(,1=-==f y x 可得令 ……2分1)1()1()()(-1=--⋅=-=f f x f x f y ，则令为偶函数即)(),()(x f x f x f -=∴ ……5分 ：上是增函数，证明如下在),0()(+∞x f ……6分10,02121<<∴<<x x x x 设：，由题设知1021<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<x x f 且)()()()(2212211x f x xf x x x f x f =⋅=， )1)(()()(21221⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴x x f x f x f x f ……8分0)(,1)(0221><<x f x x f 又 上是增函数在故),0()(),()(21+∞<∴x f x f x f ……10分（3）3)]3([)9()3()93()27(,9)27(f f f f f f =⨯=⨯==而339)3(,9)]3([==∴f f 则 39)1(≤+a f)3()1(f a f ≤+∴ ……12分202,3101,0≤≤∴≤≤+∴>+∴≥a a a a a 即 ……15分22、解：（1）若943)32(2)]([,32)(+=++=+=x x x f f x x f 则3:,94,)]([-==+=∴x x x x x f f 解得得由332)(-=+=∴x x x f 的二阶不动点为 ……5分 （2）的二阶不动点是函数)(0x f x这与假设矛盾即上为增函数，有在区间则由若这与假设矛盾即上为增函数，有在区间则由若则记,),()()(,,),()()(,)(,)(,)]([0000000000t x x f t f D x f x t t x x f t f D x f x t x t f t x f x x f f >>><<<===∴ 000)(,x x f x t ==∴即.)(0证的一阶不动点，命题得是函数x f x ∴ ……10分（3）函数在上单调递增，则由（2）可知，若在上存在二阶不动点，则在上也必存在一阶不动点；反之，若在上存在一阶不动点，即，那么，故在上也存在二阶不动点。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
广东省实验中学2015-2016学年高二上学期期末考试 化学(文)试题(Word版)
广东实验中学2015—2016学年（上）高二级期末考试文 科 化 学命题：叶其辉 校对：叶其辉本试卷全部为选择题，共6页，满分100分，考试用时60分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 Cl 35.5一、单项选择题Ⅰ(本题共30小题，每小题1分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题意)1．下列名言名句中隐含化学变化的是( )A ．冰封三尺B ．涂脂抹粉C ．沙里淘金D ．火上浇油2．下列反应属于化合反应的是( )A ．2Mg ＋O 2=====点燃2MgOB ．2Al ＋Fe 2O 3=====高温Al 2O 3＋2Fe C ．2HClO=====光照2HCl ＋O 2 ↑ D ．NaOH ＋Al(OH)3===NaAlO 2＋2H 2O3．18 g 水的物质的量是( )A ．0.5 molB ．1 molC ．0.1 molD ．6.02×1023 mol4．对NaNO 3分类，不正确的是( )A ．属于钠盐B ．属于硝酸盐C ．属于正盐D ．属于酸式盐5．下列关于 816O 的叙述正确的是 ( )A ．质量数为8B ．质子数为8C ．中子数为16D ．电子数为16 6．关于FeCl 3溶液和Fe(OH)3胶体描述正确的是( )A ．两者都能产生丁达尔现象B ．两者都不能产生丁达尔现象C ．FeCl 3溶液能产生丁达尔现象，Fe(OH)3胶体不能产生丁达尔现象D ．FeCl 3溶液不能产生丁达尔现象，Fe(OH)3胶体能产生丁达尔现象 7．下列物质分类合理的是( )A ．氧化物：COB ．酸：NaHSO 4C ．碱：纯碱D ．铵盐：NH 3·H 2O8．下列物质属于电解质的是( )A ．铁线B ．蔗糖C ．氯化钠D ．盐酸9．下列化学反应中，H 2SO 4作为氧化剂的是( )A ．2NaOH ＋H 2SO 4===Na 2SO 4＋2H 2OB ．C ＋2H 2SO 4(浓)=====△CO 2↑＋2SO 2＋2H 2O C ．BaCl 2＋H 2SO 4===BaSO 4↓＋2HCl D ．CuO ＋H 2SO 4===CuSO 4＋H 2O 10．在2H 2＋O 2=====点燃2H 2O 的反应中，能量转化方式为( )A ．化学能转化为热能B ．化学能转化为电能C ．热能转化为化学能D ．化学能转化为机械能11．下列选项中，表示ⅥA 族某元素原子结构示意图的是( )A B C D 12．下列说法不正确的是( )A ．氢处于第一周期B ．氯处于第ⅦA 族C ．硅与碳处于同一主族D ．第三周期元素全部是金属元素13．下列物质中既有有离子键又有共价键的是( )A ．Na 2SB ．NaClC ．Na 2O 2D ．BaCl 214．能用H ＋＋OH －===H 2O 来表示的化学反应是( )A ．氢氧化钡溶液与H 2SO 4溶液反应B ．氢氧化钡溶液与HNO 3溶液反应C ．KOH 溶液和醋酸溶液反应D ．氢氧化钠溶液与NaHCO 3溶液反应15．下列元素中非金属性最强的是( )A ．MgB ．NaC ．FD ．Cl16．下列反应属于吸热反应的是( )A ．碳酸钙受热分解B ．氧化钙溶于水C ．甲烷燃烧D ．铝粉与盐酸反应17．下列微粒只有氧化性的是( )A ．Cu 2＋B ．Fe 2＋C ．Cl 2D ．Cl －18．下列说法正确的是( )A ．由H 原子形成1 mol H —H 键要吸收能量B ．所有燃烧的反应都是放热反应C．NaOH溶于水是放热反应D．凡经加热而发生的化学反应都是吸热反应19．工业生产硫酸时，其中之一的反应是2SO2＋O22SO3，下列说法错误的是() A．增大氧气的浓度可提高反应速率B．升高温度可提高反应速率C．使用催化剂能显著增大反应速率D．达到化学平衡时，正、逆速率相等且等于零20．下列各组元素的性质递变情况错误的是()A．N、O、F原子最外层电子数依次增加B．N、O、F原子半径依次增大C．Na、Mg、Al元素最高正化合价依次升高D．Li、Na、K的金属性依次增强21．下列钠的化合物俗名为小苏打的是()A．Na2SO4·10H2O B．Na2CO3C．NaHCO3D．NaOH22．下列物质敞口放置不会对空气造成污染的是()A．食盐B．苯C．浓盐酸D．浓硝酸23．饱和食盐水露置在空气中一段时间后，有少量固体析出，这是因为()A．氯化钠溶解度减小B．溶液中溶质的质量分数变小C．溶剂的质量减小D．溶液变成不饱和溶液24．根据报道，我国某些城市的酸雨严重，为了改变这一状况，某市正准备推广使用清洁能源，下列不是清洁能源的是()A．太阳能B．煤C．天然气D．酒精25．下列物质不属于天然高分子化合物的是()A．淀粉B．纤维素C．蛋白质D．塑料26．红磷和白磷互为()A．同分异构体B．同素异形体C．同位素D．同系物27．小李为了鉴别新买来的饮料不是牛奶而是豆浆，最好选用()A．溴水B．氯水C．碘酒D．酒精28．下列物质中能使湿润的红色石蕊试纸变蓝的是()A．CO2B．SO2C．NH3D．H229．硼的原子序数是5，硼的最高价氧酸的化学式不可能是()A．HBO2B．H3BO3C．H2BO3D．H4B2O530．1 mol/L MgCl2的含义是()A．1 L水中含有1 mol MgCl2B．1 L溶液中含有1 mol Cl－C．将95 g MgCl2溶于1 000 g水中配成溶液D．1 L溶液中含有95 g MgCl2二、单项选择题Ⅱ(本题共20小题，每小题2分；共40分。
广东省深圳市高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案
深圳市高级中学2015－2016学年第一学期期中测试高一数学命题人：程正科 审题人：范铯本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷为1-12题，共60分；第Ⅱ卷为13-22题，共90分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡相应的位置。
2.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案。
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
第Ⅰ卷（本卷共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}|24x A x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则AB 等于( ) （A ）(1,2) （B ） (1,2] （C ） [1,2)（D ）[1,2]2.函数()()2log 31xf x =-的定义域为（ ）（A ）[)1,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）[)0,+∞ （D ） ()0,+∞ 3．已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x，则))91((f f =（ ） （A ）12 （B ）14 （C ）16 （D ）184．已知f (x )＝(a －1)x 2＋3ax ＋7为偶函数，则f (x )在区间(－5,7)上为 ( )（A ）先递增再递减 （B ）先递减再递增 （C ）增函数 （D ） 减函数5．三个数a ＝0.42，b ＝log 20.4，c ＝20.4之间的大小关系是( )（A ）a c b << （B ）a b c << （C ）b a c << （D ）b c a <<6．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：（789（ ） （A ）12（B ）12-（C ）2 （D ）2-10.函数()f x 是R 上的偶函数,在[0,)+∞上是减函数,若(ln )(1),f x f >则x 的取值范围是 （）（A ）(0,1)(,)e +∞ （B ）1(0,)(1,)e -+∞ （C ）1(,1)e - （D ） 1(,)e e -11．已知函数53()28f x ax bx x =++-且10)2(=-f ，那么=)2(f ( )（A ）26- （B ）26 （C ）10- （D ）10 12．已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，且对任意的1[1,2]x ∈-，都存在2[1,2]x ∈-，使21()()f xg x =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[3，＋∞) （B ）(0,3] （C ）⎣⎡⎦⎤12，3 （D ）⎝⎛⎦⎤0，12第Ⅱ卷（本卷共计90分）二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
广东省茂名市第五中学2015-2016学年高一数学测试题 含
2015-2016学年度高一数学测试题(2)（考试进度是必修二的圆和必修三的程序框图）班别 姓名 学号一、 选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22πD ．4π2．直线3x ＋4y －5＝0与圆(x －1)2＋(y －12)2＝34.的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交且过圆心D ．相交不过圆心3．圆x 2＋y 2－2x ＝0和圆x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交D ．内切4．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是( )A 、x ＋3y ＝0.B 、 x ＋2y ＝0.C 、X -3y ＝0.D 、2 x ＋3y ＝0. 5．流程图中的功能是( )A 、算法的起始与结束；B 、算法输入和输出信息；C 、计算、赋值；D 、判断条件是否成立．6．阅读下图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果是( ) A 、2 ， B 、3， C 、4， D 、5（第6题图）（第7题图）7．阅读上面的第6题流程图，则输出的S 等于( ) A 、30， B 、55， C 、13， D 、58．下面的流程图的输出结果为 ( ) A 、6，B 、20，C 、30，D 、120（第8题图）9执行下面的伪代码时，While 循环语句的执行次数是( ) A6，B 、5，C 、4，D 、3N ←0While N<20 N ←N ＋1N ←N ×N End While Print N（第9题图）（第10题图）10．如上图给出的是计算1＋12＋13＋…＋112的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是( )A 、n ≤12,B 、n<12，C 、n>12,D 、n.>11 11．阅读下面的流程图，若输入的a 、b 、c 分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是：( )A．75、21、32 B．21、32、75C．32、21、75 D．75、32、21（ (12题图）第11题图）12．以下给出了一个流程图，其作用是输入x的值，输出相应的y 的值，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值有几个（）．A、2，B、1，C、5，D、3二、填空（每小题5分,共20分）13．已知圆x2－4x－4＋y2＝0的圆心是P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是________．14．某工厂2010年的年生产总值为200万元，技术革新后预计以后每年的年生产总值都比上一年增长5%.为了求年生产总值超过300万元的最早年份，有人设计了解决此问题的流程图(如下图)，请在空白判断框内填上一个适当的式子应为___________________．15．如图是一个流程图，则输出的S的值是____（14题图）（15题图16．过点(2,1)的直线中，被圆22240x yyx+-+=截得的最长弦所在的直线方程是____________．三、解答题（共70分）17.（10分）如果执行下面的程序框图，求输出的S，写出计算过程18．（10分）根据下列程序框图写出函数y=f(x)相应的函数关系式，并求出f(f(-3))的值．19．（10分）点A(1,0)在圆2222330ax a y xa +-++-=上，求a 的值20．（14分）如图所示的程序框图，当输入的x 的值为0和4时，输出的值相等，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个问题． (1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x 的值为3时，求输出的f(x)的值． (3)要想使输出的值最大，求输入的x 的值．21．(12分)圆x2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝3π4时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．22．(14分)已知圆C ：x2＋y2－4x －14y ＋45＝0及点Q(－2，3)， (2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；(3)若N(a ，b)满足关系：a2＋b2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．2015-2016学年度高一数学测试一试题(2)部分答案CCCA B CBBDA AD 13.22, 14.a>3, 15.63，16.解析 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0.18.解答解析：因为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，y=f(f(-3))=-119解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋a2＋3a －3＝0，2a 2＋02－4a2＋3a －3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，或a ＝1，a<1，∴a ＝－2.答案 －220.解 (1)该程序框图解决的是求二次函数f (x )＝－x 2＋mx 的函数值的问题．(2)当输入的x 的值为0和4时，输出的值相等， 即f (0)＝f (4)．因为f (0)＝0，f (4)＝－16＋4m ，所以－16＋4m ＝0， 所以m ＝4.所以f (x )＝－x 2＋4x . 因为f (3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x 的值为3时，输出的f (x )的值为3. (3)因为f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x ＝2时，f (x )max ＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x 的值应为2. 21．解 (1)∵α＝3π4，k ＝tan 3π4＝－1，AB 过点P ，∴AB 的方程为y ＝－x ＋1． 代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0， |AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝30．(2)∵P 为AB 中点，∴OP ⊥AB ． ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12．∴AB 的方程为x －2y ＋5＝0．22解（1）圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8.如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(2)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2± 3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.。
广东省实验中学2013-2014学年高一下学期期中数学试卷(带解析)
广东省实验中学2013-2014学年高一下学期期中数学试卷（带解析）1．已知1cos ,(370,520),2ααα=∈︒︒则等于（ ） A ．390︒ B ．420︒ C ．450︒ D ．480︒【答案】B 【解析】试题分析：由1cos 420cos(36060)cos 602=+==，可知选B 。
考点：任意角的三角函数.2．直线xtan π57-y=0的倾斜角是 （ ） A ．52π B ．－52π C ．57π D ．53π【答案】A 【解析】试题分析：将直线化为7tan 5y x π=，设其倾斜角为θ，则72tan tantan 55θππ==，而[0,]θπ∈，∴25θπ=. 考点：直线的倾斜角与斜率.3．在平行四边形ABCD 中，BC CD BA -+等于 （ ） A ．BC B ．DA C ．AB D ．AC 【答案】A 【解析】试题分析：如图，在平行四边形ABCD 中，CD BA =,∴BC CD BA BC -+=.考点：平面向量的加法与减法运算.4．已知向量(1,3)a =,(1,0)b =-,则|2|a b += （ ）A ．1B ．2 D ．4【答案】C 【解析】试题分析：2(1,3)2(-=a b +=+⋅1，0)，∴2|a+2b|=(1)-. 考点：平面向量的坐标运算与模的坐标表示.5．cos15︒的值是（ ）A 【答案】C【解析】 试题分析：cos15cos(4530)cos45cos30sin 45sin30=-=+12=. 考点：两角差的余弦公式的运用.6．已知||5,||3,12,a b a b ==⋅=-且则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．4- B ．4 C ．125- D ．125【答案】A【解析】试题分析：∵=|a|||cos<,>a b b a b ⋅⋅⋅，而a 在b 上的投影为-12|a|cos<,>===-43|b|a b a b ⋅⋅. 考点：平面向量数量积. 7．把函数()sin(2)3f x x π=-+的图像向右平移3π个单位可以得到函数()g x 的图像，则()4g π等于（ ）A ． C ．1- D ．1 【答案】D 【解析】 试题分析：()f x 平移3π个单位以后得到的函数()s i n [2()]s i n (2)s i n 233g x x x x πππ=--+=-+=， ∴()sin142g ππ==.考点：函数图像平移的规律.8．在四边形 ABCD 中，AB =DC ，且0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形 【答案】B 【解析】试题分析：∵AB DC =，∴//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形.考点：平行四边形与菱形的判定，平面向量的数量积. 9．已知函数()()212fx x x =-⋅cos cos ，x ∈R ，则f(x)是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 【答案】C 【解析】 试题分析：221cos 411cos 21cos 21cos 42()(1cos 2)cos (1cos 2)2224xx xx f x x x x +-+--=-⋅=-⋅===为偶函数，242T ππ==. 考点：二倍角公式的变形，函数奇偶性的判断.10．已知函数14sin()929y A x x x ππωφ=+==在同一个周期内当时取最大值，当时取最小值12-，则该函数的解析式为（ ） A ．2sin()36x y π=- B ．1sin(3)26y x π=+C ．1sin(3)26y x π=-D ．1sin()236x y π=--【答案】B【解析】试题分析：由题意最大值为12，最小值为12-可得12A =，而42299T πππω=-=，∴3w =， 又∵49x π=时取得最大值，检验B,C 即可知选B. 考点：三角函数的图像与性质.11．已知一个扇形周长为4，面积为1，则其中心角等于 (弧度).【答案】2 【解析】试题分析：由周长为4，可得24r l +=，又由面积为1，可得112lr =，解得1,2r l ==，∴2lrα==. 考点：弧度制下的扇形的相关公式.12．已知向量a ，b 夹角为60°，且||a ＝1，|2|a b -＝||b ＝__________. 【答案】4 【解析】试题分析：∵22|2|23,4a 4a b+b =12a b -=∴-⋅，即2441||cos 60||12b b -⋅⋅⋅+=，解得||4b =.考点：平面向量的数量积. 13．已知sin cos sin()2sin(),2sin cos πααπαααα+-=-+=-则.【答案】13【解析】试题分析：∵sin()2sin()2ππαα-=-+，∴s i n 2c o αα=-,∴原式=2cos cos 12cos cos 3αααα-+=--.考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.14．已知向量,a b 满足||1,||2a b ==,()a b a -⊥, 向量a 与b 的夹角为________. 【答案】4π 【解析】试题分析：∵()a a b -⊥，∴()a =0a b -⋅，即2a -ab =0⋅，代入条件中数据：1c o s ,0a b -<>= ∴2cos a b 2<>=，，∴a 与b 的夹角为4π.考点：平面向量的数量积.15．已知平行四边形ABCD ，则AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅= . 【答案】0【解析】 试题分析：AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅=()[()]BA BA BC BA BA BC BC BC-⋅+-⋅-++⋅2=-()BA BC BA --22222()()0BC BA BC BA BC BA BC ++=---+=.考点：平面向量的数量积.16．已知2sin 2sin 1,sin cos 0,R x y y x m x y +=+-≥∈且对任意的恒成立，则m 的取值范围是 . 【答案】0m ≤ 【解析】 试题分析：将已知不等式化简可得：2221sin 13sin cos 1sin sin sin 222x m y x x x x -≤+=+-=--+，令213()sin sin 22f x x x =--+，则问题转化为min[()]m f x ≤.由1sin 11sin 1sin 12x x y -≤≤⎧⎪⎨--≤=≤⎪⎩ 可得1sin 1x -≤≤,显然当sin 1x =时，min 13[()]1022f x =--+=,∴0m ≤. 考点：三角函数的最值问题.17．已知函数()2sin f x =63x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(05)x ≤≤，点A 、B 分别是函数()y f x =图像上的最高点和最低点．（1）求点A 、B 的坐标以及OA ·OB 的值；（2）设点A 、B 分别在角α、β的终边上，求tan （2αβ-）的值． 【答案】（1）(1,2),(5,1),A B -3OA OB ⋅=；（2）292. 【解析】试题分析：（1）根据x 的取值范围得到x+63ππ的取值范围，然后根据角的取值范围可以得到()f x 在该范围上的图像，结合三角函数的图像性质判断出最高点最低点，从而可以得到A,B 的坐标，进而求得向量的数量积；（2）首先根据任意角的三角函数的定义可以求得tan α与tan β，由倍角公式可以得到tan 2β，再利用两角差的正切公式求tan(2)αβ-的值.（1）∵05x ≤≤， ∴ππ7π3636x π≤+≤， 1分 ∴1ππsin()1263x -≤+≤． 2分 当πππ632x +=，即1x =时，ππsin()163x +=，()f x 取得最大值2； 当ππ7π636x +=，即5x =时，ππ1sin()632x +=-，()f x 取得最小值-1． 因此，点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B -． 4分 ∴152(1)3OA OB ⋅=⨯+⨯-=． 5分 （2）∵点(1,2)A 、(5,1)B -分别在角,αβ的终边上， ∴tan 2α=，1tan 5β=-， 7分 ∴212()55tan 21121()5β⨯-==---， 8分 ∴52()2912tan(2)212()12αβ---==+⋅-． 10分 考点：1、三角函数的最值；2、任意角的三角函数；3、两角差与倍角的正切公式. 18．已知点),0,0(O (2,3),(5,4),(7,10),()A B C AP AB AC R λλ=+∈若（1）是否存在λ，使得点P 在第一、三象限的角平分线上？（2）是否存在λ，使得四边形OBPA 为平行四边形？（若存在，则求出λ的值，若不存在，请说明理由.） 【答案】（1）存在；（2）不存在. 【解析】 试题分析：（1）根据已知的等式求得P 的坐标，再根据P 在第一、三象限角平分线上可以得到P 的坐标满足y x =，从而可以建立关于λ的方程，方程组的解的情况即是λ的存在情况；（2）由四边形OBPA 是平行四边形，结合向量加法的平行四边形法则，可以得到OP OA OB =+，从而建立关于λ的方程组，方程组的解的情况即是λ的存在情况.（1）存在.设(,)P x y ，则(2,3)AP x y =--，∵(3,1),(5,7)AB AC == 3分 由AP AB AC λ=+得2355531747x x y y λλλλ-=+=+⎧⎧⇒⎨⎨-=+=+⎩⎩ 5分若点P 在第一、三象限的角平分线上，则x y =，即5547λλ+=+，12λ=. 6分 （2）不存在.若四边形OBPA 为平行四边形，则OP OA OB =+ 8分∵(7,7)OA OB +=，∴557477x y λλ=+=⎧⎨=+=⎩，方程组无解，因此满足条件的λ不存在 10分考点：1、向量的坐标运算；2、第一、三象限角平分线上点的坐标特点3、向量加法的平行四边形法则.19．已知sin()sin 0,32ππαααα++=-<<求cos 的值。
高中高一数学上学期期中试卷(创新班,含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市桐乡高中高一（上）期中数学试卷（创新班）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．B．C．D．2．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．3．设向量=（cosα，），若的模长为，则cos2α等于（）A．﹣B．﹣C．D．4．平面向量与的夹角为，若，，则=（）A．B．C．4 D．125．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．6．为了得到g（x）=cos2x的图象，则需将函数的图象（）A．向右平移单位B．向左平移单位C．向右平移单位D．向左平移单位7．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．28．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或二．填空题（本大题共7小题，第9-11小题每空3分，第12小题每空2分，第13-15小题每空4分，共36分）．9．已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），当∥时，k=；当（﹣）⊥，则k=．10．已知α为第二象限的角，sinα=，则=，tan2α=．11．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=，cos∠BCF=．12．函数y=的图象如图，则k=，ω=，φ=．13．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R 恒成立，则①；②；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．14．已知，， =，则在上的投影的取值X围．15．已知，∠APB=60°，则的取值X围是．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量，（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；（2）求在上的值域．17．已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求的值．18．已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；（2）若A为锐角，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A．19．已知向量=（co sα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．20．定义向量的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设，试判断g（x）是否属于S，并说明理由；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）是函数的图象上一动点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M运动时，求tan2x0的取值X围．2015-2016学年某某省某某市桐乡高中高一（上）期中数学试卷（创新班）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】先利用诱导公式使tan600°=tan60°，进而根据求得答案．【解答】解：∵，∴．故选A【点评】本题主要考查了用诱导公式化简求值的问题．属基础题．2．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【考点】平行向量与共线向量；单位向量．【专题】平面向量及应用．【分析】由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．3．设向量=（cosα，），若的模长为，则cos2α等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由||==，求得cos2α=，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α=2cos2α﹣1的值．【解答】解：由题意可得||==，∴cos2α=．∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故选：A．【点评】本题主要考查求向量的模，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4．平面向量与的夹角为，若，，则=（）A．B．C．4 D．12【考点】向量的模；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】分析由向量，求出向量，要求，先求其平方，展开后代入数量积公式，最后开方即可．【解答】解：由=（2，0），所以=，所以====12．所以．故选B．【点评】点评本题考查了向量的模及向量的数量积运算，考查了数学转化思想，解答此题的关键是运用．5．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．6．为了得到g（x）=cos2x的图象，则需将函数的图象（）A．向右平移单位B．向左平移单位C．向右平移单位D．向左平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵y=sin（﹣2x+）=cos[﹣（﹣2x+）]=cos（2x+）=cos[2（x+）]，∴将函数y=sin（﹣2x+）图象上所有的点向右平移个单位，即可得到g（x）=cos2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得=0，根据=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．【解答】解：由题意可得=0，由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]=0﹣（1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，解得λ=，故选B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．8．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos（β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣s in2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．二．填空题（本大题共7小题，第9-11小题每空3分，第12小题每空2分，第13-15小题每空4分，共36分）．9．已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），当∥时，k=；当（﹣）⊥，则k= 0 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算和向量平行、垂直的性质求解即可．【解答】解：∵向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），∵∥，∴，解得k=．∵向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），∴=（3﹣k，﹣1），∵（﹣）⊥，∴（3﹣k）•1+（﹣1）•3=0，解得k=0．故答案为：，0．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行和向量垂直的性质的合理运用．10．已知α为第二象限的角，sinα=，则= 3 ，tan2α=．【考点】二倍角的正切．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】先由已知求得的X围，求出tanα的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案．【解答】解：∵α为第二象限的角，∴可得：∈（kπ，k），k∈Z，∴tan＞0，又∵sinα=，∴cosα=﹣，tanα==﹣，∴tanα=﹣=，整理可得：3tan2﹣8tan﹣3=0，解得：tan=3或﹣（舍去）．tan2α==．故答案为：3，．【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．11．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=，cos∠BCF=．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】取AB中点D，连接CD，设AB=6，则AC=BC=3，由余弦定理求出CE=CF=，再由余弦定理得cos∠ECF，由此能求出tan∠ECF．由半角公式求出c os∠DCF，sin∠DCF，再由cos∠BCF=cos（45°﹣∠DCF），能求出结果．【解答】解：取AB中点D，连接CD，设AB=6，则AC=BC=3，由余弦定理可知cos45°===，解得CE=CF=，再由余弦定理得cos∠ECF===，∴sin，∴tan∠ECF==．cos∠DCF=cos==，sin∠DCF=sin==，cos∠BCF=cos（45°﹣∠DCF）=cos45°cos∠DCF+sin45°sin∠DCF=（）=．故答案为：，．【点评】本题考查角的正切值、余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、半角公式的合理运用．12．函数y=的图象如图，则k=，ω=，φ=．【考点】函数的图象．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】由直线y=kx+1过点（﹣2，0）得k=；可确定=﹣=π，从而确定ω=，再代入点求φ即可．【解答】解：∵直线y=kx+1过点（﹣2，0），∴k=；∵=﹣=π，∴T=4π，∴ω==，（，﹣2）代入y=2sin（x+φ）得，sin（+φ）=﹣1，解得，φ=；故答案为：，，．【点评】本题考查了分段函数及数形结合的思想应用．13．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R 恒成立，则①；②；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是①②③（写出所有正确结论的编号）．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到x=是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．【解答】解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ）∵∴2×+θ=kπ+∴θ=kπ+∴f（x）═sin（2x+kπ+）=±sin（2x+）对于①=±sin（2×+）=0，故①对对于②，=sin（），|f（）|=sin（），∴，故②正确．对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对对于⑤∵要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞，此时平方得b2＞a2+b2这不可能，矛盾，∴不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤错故答案为：①②③．【点评】本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．14．已知，， =，则在上的投影的取值X围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由已知求出，再求出，代入投影公式，转化为关于t的函数，利用换元法结合配方法求得在上的投影的取值X围．【解答】解：∵=，且，，∴===．==4﹣2t+t2．∴在上的投影等于=．令4﹣t=m，则t=4﹣m，t2=16﹣8m+m2．∴上式=f（m）=．当m=0时，f（m）=0；当m＞0时，f（m）==∈（0，1]；当m＜0时，f（m）=﹣=﹣∈（，0）．综上，在上的投影的X围为（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]．【点评】本题考查向量在几何中的应用，综合考查向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量在向量上的投影是解题的关键，是中档题．15．已知，∠APB=60°，则的取值X围是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；运动思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，取AB中点C，把问题转化为求的取值X围解决．【解答】解：如图，，∠APB=60°，取AB的中点C，连接PC，则===．由图可知，P为图中优弧上的点（不含A、B）．∴（PC⊥AB时最大），∴的取值X围是（0，]．故答案为：（0，]．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，由题意画出图形是解答该题的关键，是中档题．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量，（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；（2）求在上的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cos2x﹣sin2x即可（2）先表示出在=（sin2x+），再根据x的X围求出函数f（x）的最大值及最小值．【解答】解：（1）∵∥，∴，∴，（3分）∴．（6分）（2）∵，∴，（8分）∵，∴，∴，（10分）∴，（12分）∴函数f（x）的值域为．（13分）【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算．考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题．是高考的热点问题．17．已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，确定函数的周期，求出ω，确定ϕ的值，求出f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求出，，利用诱导公式化简，然后再用二倍角公式求出它的值．【解答】解：（Ⅰ）∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T=2π，则．∴f（x）=sin（x+ϕ）．（2分）∵f（x）是偶函数，∴，又0≤ϕ≤π，∴．则 f（x）=cosx．（5分）（Ⅱ）由已知得，∴．则．（8分）∴．（12分）【点评】本题是中档题，考查函数解析式的求法，诱导公式和二倍角的应用，考查计算能力，根据角的X围求出三角函数值是本题的解题依据．18．已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；（2）若A为锐角，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A．【考点】二倍角的余弦；平面向量的综合题．【专题】解三角形．【分析】（1）根据二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简解析式，由正弦函数的周期、最值求出结果；（2）根据向量垂直的条件列出方程，代入f（x）由诱导公式化简求出，由三角函数值的符号、角A的X围求出的X围，由平方关系求出的值，利用两角差的余弦函数、特殊角的三角函数值求出cos2A的值．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=﹣﹣=cos2x﹣1=，∴函数f（x）最小值是﹣2，最小正周期T==π；（2）∵向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，∴1+5f（﹣A）=0，则1+5[]=0，∴=＞0，∵A为锐角，∴，则，∴==，则cos2A=cos[（）﹣]=+=×+=．【点评】本题考查二倍角的余弦公式变形，两角差的正弦、余弦公式，向量垂直的条件，以及正弦函数的性质等，注意角的X围，属于中档题．19．已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题．（2）根据向量a与b的夹角为确定，再由a⊥c可知向量a点乘向量c等于0整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再将代入即可得到答案．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），，∴f（x）=•=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=．令t=sinx+cosx（0＜x＜π），则t=，则2sinxcosx=t2﹣1，且﹣1＜t＜．则，﹣1＜t＜．∴时，，此时．由于＜x＜π，故．所以函数f（x）的最小值为，相应x的值为；（2）∵与的夹角为，∴．∵0＜α＜x＜π，∴0＜x﹣α＜π，∴．∵⊥，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．∴sin（x+α）+2sin2α=0，．∴，∴．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积运算．向量一般和三角函数放在一起进行考查，这种题型是高考的热点，每年必考．20．定义向量的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设，试判断g（x）是否属于S，并说明理由；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）是函数的图象上一动点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M运动时，求tan2x0的取值X围．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；压轴题；新定义；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义及基本不等式求出的X围，最后利用二倍角的正切公式及正切函数的单调性即可得到结论．【解答】（本题满分15分）解：（1）因为：，g（x）的相伴向量为（4，3），所以：g（x）∈S；（3分）（2）∵h（x）=cos（x+α）+2cosx=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx，∴h（x）的“相伴向量”为，．（7分）（3）的“相伴函数”，其中，当时，f（x）取得最大值，故，∴，∴，又M（a，b）是满足，所以，令，∴，m＞2∵在（1，+∞）上单调递减，∴（15分）【点评】本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识．是对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功．。
2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题_Word版含答案
2015--2016学年度高一第一学期第一次月考数学试题（时间：90分钟，总分100分）一、选择题（共10小题，每小题4分）1、已知集合P={x ∈N | 1≤x ≤10}，Q={x ∈R| x 2+x －6=0}，则P ∩Q=（ ）A. { 1, 2, 3 }B. { 2, 3}C. { 1, 2 }D. { 2 }2、已知集合U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }，A={ 2, 4, 5, 7 }，B={ 3, 4, 5 }则（C ∪A ）∪（C ∪B ）=（ ）A. { 1, 6 }B. { 4, 5}C. { 2, 3, 4, 5, 7 }D. { 1, 2, 3, 6, 7 }3、设集合A={ 1, 2 }，则满足A ∪B = { 1, 2, 3 }的集合B 的个数是（ ）A. 1B. 3C. 4D. 84、函数f(x)=x 2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则（ ）A. m=－2B. m=2C. m=－1D. m=15、设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f(x)=2x 2－x, 则f(1)等于（ ）A. －3B. －1C. 1D. 36、在区间（－∞，0）上为增函数的是（ ）A. y=1B. y=2x1x +- C. 1x 2x y 2---= D. y=1+x 27、若函数y=f(x)的定义域[－2，4]，则函数g(x) = f(x) + f(－x)的定义域是（ ）A. [－4，4]B. [－2，2]C. [－4，－2]D. [2，4]8、设abc>0，二次函数f(x) = ax 2 + bx + c 的图象可能是（ ）A. B. C. D.9、函数x2y =的单调减区间为（ ） A. R B. （－∞, 0）∪（0, +∞）C. （－∞, 0）, （0, +∞）D. （0，+∞）10、已知定义在R 上的奇函数f(x)在（－∞, －1）上是单调减函数，则f(0), f(－3)+f(2)的大小关系是（ ）A. f(0)<f(－3)+f(2)B. f(0)=f(－3)+f(2)C. f(0)> f(－3) +f(2)D. 不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题4分）11、已知集合A={－1, 1, 2, 4}, B={－1, 0, 2}，则A ∩B= 。
2015~2016学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷附答案
2015~2016学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷说明：1、全卷共4页，五道大题。
2、考试时间100分钟，满分120分。
一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D2、下列事件是必然事件的是（）A、明天太阳从西边升起B、掷出一枚硬币，正面朝上C、打开电视机，正在播放“新闻联播”D、任意画一个三角形，它的内角和等于180°3、一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋里随机摸出一个球，摸出的球是红色的概率是（）A 、B 、 C、D 、4、在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（）A、 B、2 C、4 D、65、用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A、（x+5）2=16B、（x+5）1=1C、（x+10）2=91D、（x+10）2=1096、若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为（）A、－1B、－2C、－3D、－47、如图，∠O =30°，C为OB上的一点，且OC=6，以点C为圆心、半径为3的圆与OA的位置关系是（）A、相离B、相交C、相切D、以上三种情况均有可能8、如图，在⊙O中直径垂直于弦AB，若∠C=25°则∠BOD的度数是（）A、25°B、30°C、40°D、50°9、某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场所，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列出的方程为（）A、x（x－11）=180B、2x+2（x－11）=180C、x（x+11）=180D、2x+2（x+11）=18010、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图像见如图，关于该函数的说法错误的是（）A、函数有最小值第7题图第8B 、对称轴是直线x=1/2C 、当x ﹤1/2，y 随x 增大而减小D 、当－1﹤x ﹤2时，y ﹥0二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11、如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得△ADE ，则∠BAD= 度。
广东省实验中学2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷
广东省实验中学2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。
考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知1cos ,(370,520),2ααα=∈︒︒则等于 （ ） A ．390︒ B ．420︒ C ．450︒ D ．480︒ 2. 直线xtan057=-y π的倾斜角是 （ ）A ．52π B ．－52π C ．57π D ．53π 3. 在平行四边形ABCD 中，BC CD BA -+等于 （ ）A ．BCB ．DAC ．ABD ．AC 4. 已知向量(1,3)a =,(1,0)b =-,则|2|a b +=（ ）A ．1B C ．2D ．45. cos15︒的值是（ ）A 6. 已知||5,||3,12,a b a b ==⋅=-且则向量a 在向量b 上的投影等于（ ）A ．4-B ．4C ．125- D ．1257. 把函数()sin(2)3f x x π=-+的图像向右平移3π个单位可以得到函数()g x 的图像，则()4g π等于（ ）A ．2-．2C ．1-D ．1 8. 在四边形 ABCD 中，AB → =DC → ，且AC → ·BD →= 0，则四边形 ABCD 是（ ）A 矩形B 菱形C 直角梯形D 等腰梯形9. 已知函数()()212fx x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 10. 已知函数14sin()929y A x x x ππωφ=+==在同一个周期内当时取最大值，当时取最小值12-，则该函数的解析式为（） A ．2sin()36x y π=-B ．1sin(3)26y x π=+ C ．1sin(3)26y x π=- D ．1sin()236x y π=--二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. 已知一个扇形周长为4，面积为1，则其中心角等于 (弧度)12. 已知向量a ，b 夹角为60°，且||a ＝1，|2|a b -＝||b ＝__________. 13. 已知sin cos sin()2sin(),2sin cos πααπαααα+-=-+=-则14. 已知向量,a b 满足||1,||2a b ==,()a b a -⊥, 向量a 与b 的夹角为________.三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分10分） 已知函数()2sin f x =63x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭(05)x ≤≤，点A 、B 分别是函数()y f x =图像上的最高点和最低点． （1）求点A 、B 的坐标以及OA ·OB 的值；（2）没点A 、B 分别在角α、β的终边上，求tan （2αβ-）的值．16. （本小题满分10分）已知点),0,0(O (2,3),(5,4),(7,10),()A B C AP AB AC R λλ=+∈若 1) 是否存在λ，使得点P 在第一、三象限的角平分线上？ 2) 是否存在λ，使得四边形OBPA 为平行四边形？ （若存在，则求出λ的值，若不存在，请说明理由。
2020-2021学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣26．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、多项选择题（共4小题）.9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是811．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝，单调递增区间是．14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}解：因为集合A＝{x|1≤x+1＜5}＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴∁R B＝{x|x＞2}，∴A∩（∁R B）＝{x|2＜x＜4}，故选：C．2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．解：A．y＝|x|和的定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；B.的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为{x|x≠1}，m＝n+1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，定义域不同，不是同一函数．故选：A．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：∵，∴a＜0，∵ln3＞lne＝1，∴b＞1，∵0＜2﹣0.99＜20＝1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，A∈（0，π），考虑充分性，“”推不出“”，如当A＝时，sin A＝，所以“”不是“”的充分条件；再考虑必要性，“”⇒A∈（）⇒“”，所以“”是“”的必要条件；故选：C．5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣2解：设t＝x+2，则x＝t﹣2，∴f（t）＝2t﹣2+t﹣2﹣2＝2t﹣2+t﹣4，∴f（x）＝2x﹣2+x﹣4．故选：A．6．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由函数y＝，y＝log a（x+），当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）解：由函数图象知，A＝，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，所以函数f（x）＝sin（2x+φ）；因为f（）＝sin（+φ）＝﹣sin（+φ）＝﹣，所以+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）；将函数的图象向右平移个单位长度后，得y＝sin[2（x﹣）+]的图象，即y＝sin（2x﹣）．故选：C．8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：方程cos x＝log8x的实数解的个数，即函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象交点的个数．数形结合可得函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象（图中红色曲线）交点的个数为3，故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．解：对于A，cos2﹣sin2＝cos＝；对于B，＝tan45°＝；对于C，2sin195°cos195°＝sin390°＝sin30°＝；对于D，＝＝．故选：BC．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是8解：已知a，b为正实数，（a+）（b+）＝ab+++≥2+2＝4，当且仅当a＝b ＝1是取等号，故，所以A正确；因为正实数a，b满足a+b＝4，∴4≥2，化为：ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，则log2a+log2b＝log2（ab）≤log24＝2，其最大值是2．则log2a+log2b的最大值为2，所以B正确；若a＞b，a，b为正实数，有不等式性质有，所以C正确；若a+b＝1，+＝（+）•（a+b）＝1+4++≥5+2＝9，所以D不正确；故选：ABC．11．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期解：根据函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，整理得f（x）＝2cos2x+|cos x|﹣1，对于A：若x∈[﹣π，π]，当x＝±π或时，满足函数f（x）＝0，则f（x）有4个零点，故A错误；对于B：由于t∈[0，1]，当t＝0时，f（x）的最小值为﹣1，故B错误；对于C：利用函数的关系式转换为f（x）＝g（x）+h（x），由于函数g（x）＝|cos x|在（0，）上单调递减，函数h（x）＝|cos2x|在（0，）上单调递减，故f（x）在区间上单调递减，故C正确；对于D：因为f（x+π）＝f（x），所以f（x）的周期T＝π，故D正确；故选：CD．12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数解：由题意函数f（x）＝a sin x+b cos x＝sin（x+φ），其中a，b∈R，ab≠0．因为＝1，对一切x∈R恒成立，可知f（）＝±1，所以+φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝，f（）＝sin（+），f（）＝sin（+），故f（）＞f（），或f（）＜f（），故A错误；因为f（x﹣）＝sin（x﹣+）＝sin x，所以f（x）为奇函数，故C错误；因为f（x+）＝sin（x++）＝sin（x+）＝cos x，又因为cos x是偶函数，所以f（x）为偶函数，故D错误；f（﹣x）＝sin（﹣x）＝sin（x﹣），故B正确；故选：B．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝2，单调递增区间是．解：由周期的求解方法可知；π＝，可得ω＝2；可得函数f（x）＝2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ∴+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）即函数f（x）的递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），故答案为2，[+kπ，+kπ]（k∈Z）14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是“存在一个三角形没有内切圆”．解：全称命题“所有三角形都有内切圆”，它的否定是特称命题：“存在一个三角形没有内切圆”．故答案为：“存在一个三角形没有内切圆”．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．解：∵角α的终边在直线y＝3x上，∴tanα＝3，∴＝＝＝＝．故答案为：．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为（0，9）．解：函数f（x）的图象如图所示：由图可得a+d＝2，b+c＝2，5＜e＜6，所以M＝（a+b+c+d+e）f（e）＝（4+e）（6﹣e）＝﹣e2+2e+24＝﹣（e﹣1）2+25，因为5＜e＜6，所以函数M在（5，6）上单调递减，又e＝5时，M＝9，e＝6时，M＝0，所以M的取值范围为（0，9），故答案为：（0，9）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式＝；（2）原式＝3+lg100+2＝3+2+2＝7．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．解：（1）∵函数是幂函数，∴m2+2m﹣2＝1，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，∵幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴m+2＜0，即m＜﹣2，∴m＝﹣3，∴f（x）＝x﹣1，（2）令g（x）＝x﹣3，因为g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，∵（3﹣a）﹣3＞（a﹣1）﹣3，∴3﹣a＜a﹣1＜0或0＜3﹣a＜a﹣1或3﹣a＞0＞a﹣1，解得2＜a＜3或a＜1，故a的取值范围为：{a|2＜a＜3或a＜1}．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．解：f（x）＝sin2x﹣×（1+cos2x）+＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），则（1）f（x）的最小正周期T＝，由2x﹣＝kπ+得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称轴为{x|x＝+，k∈Z}．由2x﹣＝kπ得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）若锐角α满足，且β满足，则sin[2（α+）﹣]＝﹣，得sin（2α+）＝cos2α＝﹣，即2cos2α﹣1＝﹣，得2cos2α＝，即cos2α＝，则cosα＝，sinα＝，∵，∴cos（α+β）＝±，当cos（α+β）＝时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝×+×＝，当cos（α+β）＝﹣时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．解：（1）函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y＝ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1）符合要求．根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，∴，解得．故该函数模型的解析式为，1≤x≤12，x∈N*；（2）当x＝0时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是m2，由＞10•，得＞10，∴x＞＝≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．解：（1）由于定义域为R的函数是奇函数，则即，解得，即有f（x）＝，经检验成立；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．证明：设任意x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，由于x1＜x2，则2x1＜2x2，即有＞0，则有f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；（3）不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0，由奇函数f（x）得到f（﹣x）＝﹣f（x），f（2t2﹣kt）＜﹣f（2+t2）＝f（﹣t2﹣2），再由f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则2t2﹣kt＞﹣t2﹣2，即有3t2﹣kt+2＞0对t∈[﹣1，4]恒成立，当t＝0时，2＞0，显然成立；当0＜t≤4时，k＜＝3t+，3t+≥2，当且仅当t＝时，取得等号，则k＜2；当﹣1≤t＜0时，k＞＝3t+，又3t+＝﹣[（﹣3t）+]≤﹣2，当且仅当t＝﹣∈[﹣1，0）时，取得等号，则k＞﹣2；综上可得k的范围是（﹣2，2）．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．解：（1）因为f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，则6个零点间有周期，所以①，又8个零点间的一定比[0，2π]的区间长度大，即②，由①②可得，又为f（x）的零点，所以，k1∈Z③，为f（x）图象的对称轴，则，k2∈Z④，④﹣③可得，即ω＝2（k2﹣k1）+1，因为k1∈Z，k2∈Z，所以ω为奇数，故ω＝3，由③可得φ＝，k1∈Z，又|φ|，所以φ＝﹣，故；（2）由（1）可知，ω＝2（k2﹣k1）+1，k1，k2∈Z，故ω为奇数，因为f（x）在上单调，则，解得ω≤12，所以ω的最大值可能为11，9，7，…，当ω＝11时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝﹣，故，此时函数f（x）在上不单调；当ω＝9时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝，故，此时函数f（x）在上单调递减，符合题意．综上可得，ω的最大值为9．。
广东省广州市越秀区高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），则直线AB的倾斜角大小（）A．30° B．45° C．135°D．150°2．已知函数f（x）=x n的图象过点（3，），则n=（）A．B．C．D．3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线A1B是异面直线的是（）A．直线AB1B．直线CD1C．直线B1C D．直线BC14．下列函数中，与函数y=|x|表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=log22|x|5．已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1）B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）6．若m＞n，则（）A．0.2m＜0.2n B．log0.3m＞log0.3nC．2m＜2n D．m2＞n27．如图所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，侧视图是一个直径为2的圆，则该几何体的表面积是（）A．4πB．6πC．8πD．16π8．在空间在，设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β9．圆（x﹣3）2+（y+2）2=1与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切10．若x0是函数f（x）=lgx与g（x）=的图象交点的横坐标，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则函数f （x）的大致图象是（）A． B． C．D．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．当a＞0时，函数F（x）有2个零点B．当a＞0时，函数F（x）有4个零点C．当a＜0时，函数F（x）有2个零点D．当a＜0时，函数F（x）有3个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=lg（4﹣x）+的定义域是．14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是．16．里氏地震M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，则7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的倍．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B≠∅，某某数a的取值X围．18．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，﹣1），B（7，3），C （2，8）．（1）求直线AB的方程；（2）求AB边上高所在的直线l的方程；（3）求△ABC的外接圆的方程．19．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．（1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．21．已知圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点（﹣1，3）的直线l被圆0所截得的弦长为4，求直线1的方程；（3）若过点A（0，）作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆0于B、C两点，且k1k2=﹣，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．2015-2016学年某某省某某市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），则直线AB的倾斜角大小（）A．30° B．45° C．135°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出直线AB的斜率，从而求出直线AB的倾斜角．【解答】解：∵A（1，0），B（3，2），∴k AB==1，则直线AB的倾斜角大小是45°，故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角问题，是一道基础题．2．已知函数f（x）=x n的图象过点（3，），则n=（）A．B．C．D．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），代入点的坐标，求出n的值．【解答】解：函数f（x）=x n的图象过点（3，），∴3n=，解得n=．故选：A．【点评】本题考查了利用函数图象上的点的坐标求函数解析式的问题，是基础题．3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线A1B是异面直线的是（）A．直线AB1B．直线CD1C．直线B1C D．直线BC1【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得A1B与B1C的位置关系是异面．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1C∥A1B∴A1B∥平面DCC1D1，而D1C1与B1C是相交直线，∴A1B与B1C的位置关系是异面．故选：C．【点评】本题考查异面直线的判定，是基础题．4．下列函数中，与函数y=|x|表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=log22|x|【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，y==x，x≥0，与函数y=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，y==x，x∈R，与函数y=|x|（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于C，y==|x|，x≠0，与函数y=|x|（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，y=log22|x|=|x|，x∈R，与函数y=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．5．已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1）B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）【考点】指数函数的图象变换．【专题】探究型；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】把指数函数y=2x的图象向上平移1个单位，然后再结合y=2x的性质可得函数f（x）=2x+1的性质，则答案可求．【解答】解：函数f（x）=2x+1的图象是把y=2x的图象向上平移1个单位得到的．∴f（x）=2x+1的图象过点（1，1），在R上是增函数，图象不具有对称性，值域为（1，+∞）．综上可知，B正确．故选：B．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了指数函数的图象平移，是基础题．6．若m＞n，则（）A．0.2m＜0.2n B．log0.3m＞log0.3nC．2m＜2n D．m2＞n2【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：∵y=0.2x为减函数，∴若m＞n，则0.2m＜0.2n正确，∵y=log0.3x为减函数，∴若m＞n，则log0.3m＜log0.3n，或对数函数不存在，错误∵y=2x为增函数，∴若m＞n，则2m＞2n，错误当m=1，n=﹣1时，满足m＞n，但m2＞n2不成立，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．7．如图所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，侧视图是一个直径为2的圆，则该几何体的表面积是（）A．4πB．6πC．8πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体，根据数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，知该几何体是底面直径为2，高为2的圆柱体；∴该圆柱体的表面积是S=2S底+S侧=2π×12+2π×1×2=6π．故选：B．【点评】本题考查了三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出几何体的形状与数据特征，从而求出答案，是基础题．8．在空间在，设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】对应思想；空间位置关系与距离．【分析】由线面位置关系逐个判断即可：选项A，可得m∥n，m与n相交或m与n异面；选项B，可得α∥β或α与β相交；选项C，同一个平面成立，在空间不成立；选项D，垂直于同一条直线的两个平面平行【解答】解：选项A，由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；选项B，由m∥α，n∥α，可得m∥n，m与n相交或m与n异面，故错误；选项C，由垂直于同一条直线的两个平面平行可知结论正确；选项D，m∥α，m∥β可得α∥β或α与β相交，故错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．9．圆（x﹣3）2+（y+2）2=1与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据题意，算出两圆的圆心分别为C1（3，﹣2）、C2（7，1），得到|C1C2|=5即得圆心距等于两圆半径之差，从而得到两圆相内切．【解答】圆（x﹣3）2+（y+2）2=1的圆心为C1（3，﹣2），半径r=1同理可得圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的圆心为C2（7，1），半径R=6∴|C1C2|==5，可得|C1C2|=R﹣r，两圆相内切故选：D．【点评】本题给出两圆方程，求它们的位置关系，着重考查了圆的方程、圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．10．若x0是函数f（x）=lgx与g（x）=的图象交点的横坐标，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），使用零点的存在性定理进行判断．【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx﹣．则当x∈（0，1）时，lgx＜0，，∴h（x）＜0；h（1）=﹣1，h（2）=lg2﹣＜lg﹣=0，h（3）=lg3﹣＞lg﹣=0，∴h（2）h（3）＜0．h（x）在（2，3）上有零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点的存在性定理，属于基础题．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则函数f （x）的大致图象是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于原点对称，函数在R上单调递增，且增长比较缓慢，从而结合选项得出结论【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），可得函数f（x）的图象关于原点对称，函数在R上单调递增，且增长比较缓慢，结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，函数的图象特征，属于中档题．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．当a＞0时，函数F（x）有2个零点B．当a＞0时，函数F（x）有4个零点C．当a＜0时，函数F（x）有2个零点D．当a＜0时，函数F（x）有3个零点【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】讨论a，再由分段函数分别代入求方程的解的个数，从而确定函数的零点的个数即可．【解答】解：当a＞0时，由af（x）+1+1=0得，f（x）=﹣＜0，故ax+1=﹣或log3x=﹣，故有两个不同的解，由log3f（x）+1=0得，f（x）=，故ax+1=或log3x=，故有两个不同的解，故共有四个解，即函数有4个零点；当a＜0时，af（x）+1+1=0无解，由log3f（x）+1=0得，f（x）=，故ax+1=（无解）或log3x=，故有﹣个解，故共有一个解，故选B．【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=lg（4﹣x）+的定义域是（2，4）．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数以及二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：2＜x＜4，故答案为：（2，4）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数二次根式的性质，是一道基础题．14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出正方体的棱长为6，利用一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，可得球的半径为3，即可求出球的体积．【解答】解：由题意，正方体的棱长为6，∵一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，∴球的半径为3，∴球的体积是=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是2．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据题意可知，当Q为过圆心作直线的垂线与圆的交点的时候，Q到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离．【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，所以圆心A（1，1），圆的半径r=，则圆心A到直线x+y﹣8=0的距离d==3，所以动点Q到直线距离的最小值为3﹣=2．故答案为：2．【点评】此题要求学生会将圆的方程化为标准式方程并会根据圆的标准式方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式化简取值，是一道中档题．此题的关键是找出最短距离时Q的位置．16．里氏地震M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，则7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的103倍．【考点】对数的运算性质．【专题】应用题；方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据题意，列出方程lgA7﹣lgA0=7①，lgA4﹣lgA0=4②，组成方程组求出的值．【解答】解：根据题意，得；lgA7﹣lgA0=7①，lgA4﹣lgA0=4②；由①得，A7=A0•107，由②得，A4=A0•104；∴=103，即7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的103倍．故答案为：103．【点评】本题考查了对数运算的性质与应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B≠∅，某某数a的取值X围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（1）化简集合A，根据并集和补集的定义即可求出，（2）根据交集的定义，及A∩B≠∅即可求出a的X围．【解答】解：（1）集合A={x|x（x﹣3）＜0}=（0，3），B={x|x≥1}=[1，+∞），∴A∪B=（0，+∞），∴∁R（A∪B）=（﹣∞，0]；（2）由B={x|x≥a}=[a，+∞），A=（0，3），∵A∩B≠∅，∴a＜3，∴a的取值X围为（﹣∞，3）．【点评】本题考查了集合的交并补运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．18．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，﹣1），B（7，3），C （2，8）．（1）求直线AB的方程；（2）求AB边上高所在的直线l的方程；（3）求△ABC的外接圆的方程．【考点】待定系数法求直线方程；圆的标准方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出直线AB的斜率，代入直线的点斜式方程即可；（2）求出直线l的斜率，代入点斜式方程整理即可；（3）设出圆的标准方程，根据待定系数法求出即可．【解答】解：（1）∵K AB==2，∴直线AB的方程是：y+1=2（x﹣5），即2x﹣y﹣11=0；（2）∵AB⊥l，∴K AB•K l=﹣1，解得：K l=﹣，∴过C（2，8），斜率是﹣的直线方程是：y﹣8=﹣（x﹣2），即x+2y﹣18=0；（3）设三角形外接圆的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，（r＞0），由题意得：，解得：a=2，b=3，r=5，∴△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=25．【点评】本题考查了求直线和圆的方程问题，考查求直线的斜率问题，是一道中档题．19．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．（1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明PB⊥平面PAD，即可证明平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，证明PE⊥平面ABCD，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PB⊂⊙O所在的平面PAB，∴AD⊥PB，∵PA⊥PB，PA∩AD=A，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAD；（2）解：在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PE⊂⊙O所在的平面PAB，∴AD⊥PE，∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD，直角△PAB中，AB=2，PA=1，∴PB=，∴PE==，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V==．【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查四棱锥P﹣ABCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，则PA∥EO，由此能证明PA∥平面EO．（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，从而BC⊥平面PDC，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能证明PB⊥平面DEF．【解答】证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，∵底面ABCD中矩形，∴点O是AC的中点，又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO，∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面EO．（2）PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC，∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PB⊥平面DEF．【点评】本查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点（﹣1，3）的直线l被圆0所截得的弦长为4，求直线1的方程；（3）若过点A（0，）作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆0于B、C两点，且k1k2=﹣，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（1）由已知条件利用点到直线的距离公式求出圆的半径，由此能求出圆的方程．（2）直线l被圆0所截得的弦长为4，圆心到直线的距离d==1，分类讨论，即可求直线1的方程；（3）根据题意，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中k1k2=﹣，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可．【解答】解：（1）∵圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切，∴r==，∴圆O的方程为x2+y2=5；（2）∵直线l被圆0所截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离d==1，斜率不存在时，x=﹣1，满足题意；斜率存在时，设方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=，∴直线1的方程为4x﹣3y+13=0，综上所述，直线1的方程为4x﹣3y+13=0或x=﹣1；（3）由题意知，设直线AB：y=k1x+，与圆方程联立，消去y得：（1+k12）x2+2k1x=0，∴x B=﹣，y B=，即B（﹣，），∵k1k2=﹣，用﹣代替k2得：C（，），∴直线BC方程为y﹣=（x+），令x=0，可得y=3则直线BC定点（0，3）．【点评】此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的两点式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；（3）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0．令x1＞x2，则x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在R上是减函数．（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），则不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），即f（x2+3a）＞f（3x+ax），∵f（x）在R上是减函数，∴不等式等价为x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a=0时，不等式的解集为∅，当a＞3时，不等式的解集为（3，a），当a＜3时，不等式的解集为（a，3）．（12分）【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．。
高中高一数学上学期9月月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市文华高中高一（上）9月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{a，b，c}当中的元素是△ABC的三边长，则该三角形是（）A．正三角形 B．等腰三角形C．不等边三角形 D．等腰直角三角形2．集合{1，2，3}的子集共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个3．已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．4．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定5．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2≤x＜2}6．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=8．函数的定义域是（）A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）∩（3，+∞）D．（﹣∞，3）∪（3，+∞）9．设集合M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }，则M∪N中元素的个数为（）A．11 B．10 C．16 D．1510．设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U A）∩（∁U B）={1，5}，则下列结论正确的是（）A．3∉A，3∉B B．3∉A，3∈B C．3∈A，3∉B D．3∈A，3∈B11．函数f（x）=x2﹣2x∈{﹣2，﹣1，0，1}的值域是（）A．{2，﹣1，﹣2} B．{2，﹣1，﹣2，﹣1} C．{4，1，0，﹣1} D．[2，﹣1，﹣2]12．已知f（x）=3x2+1，则f[f（1）]的值等于（）A．25 B．36 C．42 D．49二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．{x|x＞3}用区间表示为，{x|﹣2≤x≤5}用区间表示为，{x|﹣2≤x＜5}用区间表示为．14．0N，Q，N*， Z．15．如图，全集为U，A和B是两个集合，则图中阴影部分可表示为．16．若A={1，4，x}，B={1，x2}，且A∩B=B，则x=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，某某数a的取值集合．18．设A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，当a为何值时，①A∩B=∅；②A∩B≠∅；③A⊆B．19．已知函数（1）求函数的定义域（2）求f（4）20．已知函数，（1）点（3，14）在函数的图象上吗？；（2）当x=4时，求g（x）的值；（3）当g（x）=2时，求x的值．21．已知f（x）=，求f（f（3））的值．22．已知集合U={x|﹣3≤x≤3}，M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}．求：（1）集合N；（2）集合M∩（C U N）；（3）集合M∪N．2015-2016学年某某省某某市文华高中高一（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{a，b，c}当中的元素是△ABC的三边长，则该三角形是（）A．正三角形 B．等腰三角形C．不等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【专题】阅读型；集合思想；分析法；集合．【分析】由集合中元素的互异性可知，a，b，c互不相等，又a，b，c是△ABC的三边长，由此可得三角形的形状．【解答】解：由集合中元素的互异性可知，a，b，c互不相等，又a，b，c是△ABC的三边长，∴该三角形是不等边三角形．故选：C．【点评】本题考查集合中元素的互异性，考查了三角形形状的判断，是基础题．2．集合{1，2，3}的子集共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个．故选：D．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．3．已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．4．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定【考点】元素与集合关系的判断．【专题】分类讨论．【分析】从集合A只有一个元素入手，分为a=0与a≠0两种情况进行讨论，即可得到正确答案．【解答】∵A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，当a=0时，A={x|2x+1=0}，即A={}．当a≠0时，需满足△=b2﹣4ac=0，即22﹣4×a×1=0，a=1．∴当a=0或a=1时满足A中只有一个元素．故答案为：B【点评】本题考查了元素与集合的关系，需分情况对问题进行讨论，为基础题．5．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2≤x＜2}【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．【专题】集合．【分析】求出f（x）的定义域确定出M，求出g（x）的定义域确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由f（x）=，得到2﹣x＞0，即x＜2，∴M={x|x＜2}，由g（x）=，得到x+2≥0，即x≥﹣2，∴N={x|x≥﹣2}，则M∩N={x|﹣2≤x＜2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】集合的含义．【专题】阅读型．【分析】据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①⑤错，∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对【解答】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错对于②，∅是任意集合的子集，故②对对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错故选C【点评】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．7．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的函数是同一函数，它们的图象相同．【解答】解：对于A，f（x）=x（x∈R），与g（x）=（）2=x（x≥0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于B，f（x）=x2（x∈R），与g（x）=（x+1）2（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数，图象不同；对于C，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于D，f（x）=|x|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数，图象相同．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．8．函数的定义域是（）A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）∩（3，+∞）D．（﹣∞，3）∪（3，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分式函数的定义域求解．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣3≠0，所以x≠3，即函数的定义域为（﹣∞，3）∪（3，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查分式函数的定义域，比较基础．9．设集合M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }，则M∪N中元素的个数为（）A．11 B．10 C．16 D．15【考点】并集及其运算．【专题】集合思想；分析法；集合．【分析】直接由M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }，找出M、N中的元素，则M∪N中元素的个数可求．【解答】解：∵M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}={﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，∴M∪N={﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3}∪{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}={﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．则M∪N中元素的个数为：16．故选：C．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础题．10．设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U A）∩（∁U B）={1，5}，则下列结论正确的是（）A．3∉A，3∉B B．3∉A，3∈B C．3∈A，3∉B D．3∈A，3∈B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用集合间的关系画出韦恩图，结合韦恩图即可得到答案．【解答】解：因为：U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U A）∩（∁U B）={1，5}，对应的韦恩图为：故只有答案C符合．故选：C．【点评】本题考查集合的表示法，学会利用韦恩图解决集合的交、并、补运算．11．函数f（x）=x2﹣2x∈{﹣2，﹣1，0，1}的值域是（）A．{2，﹣1，﹣2} B．{2，﹣1，﹣2，﹣1} C．{4，1，0，﹣1} D．[2，﹣1，﹣2] 【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件，x取﹣2，﹣1，0，1时，可以求出对应的f（x）的值为2，﹣1，﹣2，﹣1，这样便可得出f（x）的值域．【解答】解：x∈{﹣2，﹣1，0，1}；∴f（x）∈{2，﹣1，﹣2}；∴f（x）的值域为{2，﹣1，﹣2}．故选A．【点评】考查函数值域的概念，定义域为孤立点函数的值域的求法，以及列举法表示集合．12．已知f（x）=3x2+1，则f[f（1）]的值等于（）A．25 B．36 C．42 D．49【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：f（x）=3x2+1，则f（1）=3+1=4，f[f（1）]=f（4）=3×42+1=49．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，解析式的应用，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．{x|x＞3}用区间表示为（3，+∞），{x|﹣2≤x≤5}用区间表示为[﹣2，5]，{x|﹣2≤x＜5}用区间表示为[﹣2，5）．【考点】区间与无穷的概念．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用区间的表示求解即可．【解答】解：{x|x＞3}用区间表示为：（3，+∞）；{x|﹣2≤x≤5}用区间表示为：[﹣2，5]；{x|﹣2≤x＜5}用区间表示为：[﹣2，5）；故答案为：：（3，+∞）；[﹣2，5]；[﹣2，5）；【点评】本题考查区间与集合的表示，是基础题．14．0∈N，∉Q，∈N*，∉ Z．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合思想；演绎法；集合．【分析】分析给定元素的分类，进而可得元素与集合的关键．【解答】解：0是自然数，故0∈N，是无理数，故∉Q，=4是正整数，故∈N*，是分数，故∉Z；故答案为：∈，∉，∈，∉【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，熟练掌握各种数集的字母表示，是解答的关键．15．如图，全集为U，A和B是两个集合，则图中阴影部分可表示为C U（A∪B）．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；数形结合；定义法；集合．【分析】根据所给图形知，阴影部分所表示的集合代表着不在集合A∪B中的元素组成的．【解答】解：∵图中阴影部分所表示的集合中的元素为不在集合A∪B中元素，即为C U（A∪B），故答案为：C U（A∪B）．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．16．若A={1，4，x}，B={1，x2}，且A∩B=B，则x= 0，2，或﹣2 ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由A∩B=B转化为B⊆A，则有x2=4或x2=x求解，要注意元素的互异性．【解答】解：∵A∩B=B∴B⊆A∴x2=4或x2=x∴x=﹣2，x=2，x=0，x=1（舍去）故答案为：﹣2，2，0【点评】本题主要考查集合的子集运算，及集合元素的互异性．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，某某数a的取值集合．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】利用子集的定义，即可解得实数a的取值集合．【解答】解：∵集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，∴a≥4∴实数a的取值集合为{a|a≥4}．【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于以不等式为依托，求集合的子集的基础题，也是高考常会考的题型．18．设A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，当a为何值时，①A∩B=∅；②A∩B≠∅；③A⊆B．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】①由A与B，以及A与B的交集为空集，确定出a的X围即可；②由A与B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的X围即可；③由A与B，以及A是B的子集，确定出a的X围即可．【解答】解：①∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A∩B=∅，∴，解得：﹣1≤a≤2；②∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A∩B≠∅，∴a＜﹣1或a＞2；③∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A⊆B，∴a+3＜﹣1或a＞5，解得：a＜﹣4或a＞5．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19．已知函数（1）求函数的定义域（2）求f（4）【考点】函数的定义域及其求法；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用分母不为0，开偶次方被开方数非负，列出不等式组求解即可．（2）利用函数的解析式直接求解函数值即可．【解答】解：（1）要使函数有意义，自变量的取值需要满足．函数的定义域为：（0，+∞）．（2）=．【点评】本题考查函数的定义域的求法，函数值的求法，是基础题．20．已知函数，（1）点（3，14）在函数的图象上吗？；（2）当x=4时，求g（x）的值；（3）当g（x）=2时，求x的值．【考点】函数的值；函数的图象．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）把x=3代入g（x），求出g（3）的值，即可作出判断；（2）把x=4代入g（x），求出g（x）的值即可；（3）根据g（x）=2，求出x的值即可．【解答】解：（1）把x=3代入得：g（3）==﹣≠14，则点（3，14）不在函数的图象上；（2）把x=4代入得：g（4）==﹣3；（3）根据g（x）=2，得到=2，解得：x=14．【点评】此题考查了函数的值，以及函数的图象，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知f（x）=，求f（f（3））的值．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求值即可．【解答】解：f（x）=，f（f（3））=f（32+1）=f（10）=10﹣5=5，∴f（f（3））=5．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题．22．已知集合U={x|﹣3≤x≤3}，M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}．求：（1）集合N；（2）集合M∩（C U N）；（3）集合M∪N．【考点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算．【专题】常规题型；转化思想．【分析】（1）由集合U={x|﹣3≤x≤3}，C U N={x|0＜x＜2}，利用数轴即可解答；（2）由M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}结合数轴即可获得解答；（3）结合（1）由数轴即可获得解答．．【解答】解：（1）∵U={x|﹣3≤x≤3}，C U N={x|0＜x＜2}．∴N={x|﹣3≤x≤0或2≤x≤3}；（2）∵M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}．∴M∩（∁U N）={x|0＜x＜1}；（3）由（1）知N={x|﹣3≤x≤0或2≤x≤3}又∵M={x|﹣1＜x＜1}∴M∪N={x|﹣3≤x＜1或2≤x≤3}．【点评】本题考查的是集合的交集、并集、补集及其运算．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想以及集合交并补的运算．值得同学们体会反思．。
高一数学下学期期末试卷 文(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某某某市平罗中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b＞0，下列命题为真命题的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞2．在锐角△ABC中，a、b分别是角A、B的对边，若2bsinA=a，则角B等于（）A．B．C．D．3．设向量=（1，m），=（m，4），若∥，则实数m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2或24．如图，下列几何体各自的三视图中，三个视图各不相同的是（）A．正方体B．圆锥C．三棱台D．正四棱锥5．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为（）A．49 B．50 C．51 D．526．若圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，它们的侧面积分别为S1和S2，则S1：S2=（）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：17．水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．4 D．88．设y=x+（x＞2）．当x=a时，y有最小值，则a的值是（）A．4 B．3 C．1+D．1+9．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定10．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．1611．若是非零向量且满足（）⊥，，则与的夹角是（）A．B．C． D．12．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S6=36，S n=324，S n﹣6=144，则n=（）A．15 B．16 C．17 D．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．不等式x2+8x＜20的解集是．14．数列{a n}满足：a1=2，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则a n=．15．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为．16．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知平面直角坐标系中，点O为原点．A（﹣3，﹣4），B（5，﹣10）．（1）求的坐标及||；（2）若=+， =2﹣，求•．18．已知某几何体的俯视图是如图所示的正方形，正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积S．19．一个车辆制造厂引进了一条汽车整车装配流水线，这条流水线生产的汽车月销量Q（辆）与单价x（万元）之间有如下关系：Q（x）=220﹣2x．设这条流水线生产的汽车的月产值为y（万元）．（1）写出函数y=f（x）的解析式，并求汽车的单价为多少时，月产值最大；（2）若这家工厂希望这条流水线的月产值不低于6000万元，那么汽车的单价应如何确定？20．等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且d=q，a1=b1=1，a3﹣b3=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和S n．21．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2acosB=bcosC+ccosB．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求a和c的值．22．在等差数列{a n}中，a2=2，a4+a6=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2an，T n是数列{b n}的前n项和，求T n．2015-2016学年某某某某市平罗中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b＞0，下列命题为真命题的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞【分析】根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a2＞b2，故A错误；a2＞ab，故B错误；＜1，故C正确；ab＞0，，即，故D错误；故选：C2．在锐角△ABC中，a、b分别是角A、B的对边，若2bsinA=a，则角B等于（）A．B．C．D．【分析】根据正弦定理，进行化简求出sinB的值，由锐角三角形求出B的值．【解答】解：锐角△ABC中，2bsinA=a，由正弦定理得，2sinB•sinA=sinA，又sinA≠0，所以sinB=，所以B=．故选：B．3．设向量=（1，m），=（m，4），若∥，则实数m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2或2【分析】直接利用向量平行的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：∵向量=（1，m），=（m，4），∥，∴1×4=m2，解得m=±2，故选：D．4．如图，下列几何体各自的三视图中，三个视图各不相同的是（）A．正方体B．圆锥C．三棱台D．正四棱锥【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，正方体的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，三棱台都不相同，得出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，故选：C．5．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【分析】先利用递推关系得出其为等差数列，再代入等差数列的通项公式即可．【解答】解：由2a n+1=2a n+1，得a n+1﹣a n=，故为首项为2，公差为的等差数列，所以a101=a1+100d=2+100×=52．故选：D．6．若圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，它们的侧面积分别为S1和S2，则S1：S2=（）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高，圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相关数值代入即可求得两个侧面积，进而求得其比值即可．【解答】解：∵圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，∴S1=2πrh，S2=πrh∴S1：S2=2：1，故选：B．7．水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．4 D．8【分析】将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．【解答】解：作出△ABC的平面图形，则∠ACB=2∠A′C′B′=90°，BC=B′C′=4，AC=A′C′=2，∴△ABC的面积为=4．故选：C．8．设y=x+（x＞2）．当x=a时，y有最小值，则a的值是（）A．4 B．3 C．1+D．1+【分析】将原式变形y=x﹣2++2，由x﹣2＞0根据不等式的性质，y=x﹣2++2≥2=2=2+2=4，当x﹣2=时取“=”，即可求得a的值．【解答】解：y=x+=x﹣2++2，∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴y=x﹣2++2≥2=2=2+2=4，∴当x﹣2=时取“=”，即x=3时取“=”∴当x=3时，y有最小值4，∴a=3，故答案选：B．9．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【分析】由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，代入余弦定理化简可得cosC的值，结合C的X围即可得解C的值，从而得解．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，∴由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，∴a=，c=，∴由余弦定理可得：cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴C=．故△ABC的形状是钝角三角形．故选：C．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A11．若是非零向量且满足（）⊥，，则与的夹角是（）A．B．C． D．【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到==2•，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，∴（）•=﹣2=0，（）•=﹣2=0，∴==2，设与的夹角为θ，则由两个向量的夹角公式得cosθ====，∴θ=60°，故选B．12．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S6=36，S n=324，S n﹣6=144，则n=（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】根据S n﹣S n﹣6=a n﹣5+a n﹣4+…+a n求得a n﹣5+a n﹣4+…+a n的值，根据S6=得a1+a2+…+a6的值，两式相加，根据等差数列的性质可知a1+a n=a2+a n﹣1=a6+a n﹣5，进而可知6（a1+a n）的值，求得a1+a n，代入到数列前n项的和求得n．【解答】解：∵S n=324，S n﹣6=144，∴S n﹣S n﹣6=a n﹣5+a n﹣4+…+a n=180又∵S6=a1+a2+…+a6=36，a1+a n=a2+a n﹣1=a6+a n﹣5，∴6（a1+a n）=36+180=216∴a1+a n=36，由，∴n=18故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．不等式x2+8x＜20的解集是（﹣10，2）．【分析】把不等式化为x2+8x﹣20＜0，左边因式分解，即可求出该不等式的解集．【解答】解：不等式x2+8x＜20可化为x2+8x﹣20＜0，即（x+10）（x﹣2）＜0，解得﹣10＜x＜2；所以该不等式的解集是（﹣10，2）．故答案为：（﹣10，2）．14．数列{a n}满足：a1=2，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则a n= 2n．【分析】利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1=2，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n．故答案为：2n．15．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为3π．【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，知道棱长为1的正方体的对角线是，做出半径，利用圆的表面积公式得到结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r=，∴球的表面积是4×=3π故答案为：3π16．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 6 ．【分析】根据基本不等式和指数运算可直接得到答案．【解答】解：∵a+b=2∴3a+3b≥2=2=6当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：6三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知平面直角坐标系中，点O为原点．A（﹣3，﹣4），B（5，﹣10）．（1）求的坐标及||；（2）若=+， =2﹣，求•．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：（1）∵A（﹣3，﹣4），B（5，﹣10），∴=（5，﹣10）﹣（﹣3．﹣4）=（8，﹣6），∴||==10，（2）∵=（﹣3，﹣4），=（5，﹣10），∴=+=（2，﹣15），=2﹣=（﹣6，﹣8）﹣（5，﹣10）=（﹣11，2），∴•=2×（﹣11）﹣15×2=﹣5218．已知某几何体的俯视图是如图所示的正方形，正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积S．【分析】由三视图得该几何体是正四棱锥，画出直观图，由题意求出棱长、高以及斜面上的高，（1）由椎体的条件求出该几何体的体积V；（2）由图和面积公式求出该几何体的表面积S．【解答】解：由三视图得该几何体是正四棱锥P﹣ABCD，如图所示：其中PO⊥平面ABCD，E是BC的中点，∵正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形，∴PO=4，AB=BC=6，OE=3，则PE==5，（1）该几何体的体积V==48；（2）∵E是BC的中点，∴PE⊥BC∴该几何体的表面积S==51．19．一个车辆制造厂引进了一条汽车整车装配流水线，这条流水线生产的汽车月销量Q（辆）与单价x（万元）之间有如下关系：Q（x）=220﹣2x．设这条流水线生产的汽车的月产值为y（万元）．（1）写出函数y=f（x）的解析式，并求汽车的单价为多少时，月产值最大；（2）若这家工厂希望这条流水线的月产值不低于6000万元，那么汽车的单价应如何确定？【分析】（1）根据题意列出不等式即可解得解析式；（2）根据题意，将题目条件转化为关于x的不等式，解不等式即可解得答案．【解答】解：（1）由题意可得，y=f（x）=xQ（x）=x=﹣2x2+220x=﹣2（x﹣55）2+6050，∴当x=55时，y=f（x）取得最大值；（2）根据题意得，﹣2x2+220x＞6000，移项整理，得x2﹣110x+3000＜0，∴50＜x＜60，∴汽车的单价在50﹣60万元间，可以使这家工厂这条流水线的月产值不低于6000万元．20．等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且d=q，a1=b1=1，a3﹣b3=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵d=q，a1=b1=1，a3﹣b3=1．∴1+2d﹣d2=1，d=q≠0，解得d=q=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=2n﹣1．（2）=a n+b n=2n﹣1+2n﹣1．∴数列{}的前n项和S n=+=n2+2n﹣1．21．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2acosB=bcosC+ccosB．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求a和c的值．【分析】（1）由已知及正弦定理得：sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．可求cosB=，结合X 围0＜B＜π，即可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求ac=4，联立a+c=4，从而解得a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，由2acosB=bcosC+ccosB，及正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，即sin（B+C）=2sinAcosB，又A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，从而sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．故cosB=，又0＜B＜π，所以B=．（2）∵b=2，B=，a+c=4①，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=16﹣3ac，可得：ac=4②，∴①②联立解得：a=c=2．22．在等差数列{a n}中，a2=2，a4+a6=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2an，T n是数列{b n}的前n项和，求T n．【分析】（1）求出等差数列的公差，然后求解数列的通项公式．（2）化简数列数列{b n}的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=2，a4+a6=10；∴2×2+6d=10，解得d=1．∴a n=2+1（n﹣2）=n．（2）b n=n×2n．T n=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n×2n2T n=1×22+2×23+3×24+4×25+…+n×2n+1，两式相减，得﹣T n=21+22+23+24+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1∴T n═n×2n+1﹣2n+1+2．。
高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷
XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷XXX2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。
考试时间为120分钟。
卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.如果A＝{x|x>−1}，那么正确的结论是A．A⊆B。
{0}∈A C。
{0}∈C2.函数f（x）＝2−2x，则f（1）＝A。
0 B.−2 C.2/2 D.−2/23.设全集I={x|x∈Z−3<x<3}，A={1，2}，B={−2，−1，2}，则A∪(I∩B)等于A。
{1} B。
{1，2} C。
{2} D。
{0，1，2}4.与函数y＝10lg(x−1)的定义域相同的函数是A。
y＝x−1 B。
y＝x−1 C。
y＝1/(x−1) D。
y＝x−15.若函数f（x）＝3＋3x−x与g（x）＝3−3^(−x)的定义域均为R，则A。
f（x）与g（x）均为偶函数 B。
f（x）为偶函数，g （x）为奇函数C。
f（x）与g（x）均为奇函数 D。
f（x）为奇函数，g （x）为偶函数6.设a=log_3(2)，b=ln2，c=5，则A。
a<b<XXX<c<a C。
c<a<b D。
c<b<a7.设函数y=x和y=1/2，则y的交点为（x，y），则x所在的区间是A.（，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）8.已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥1时f(x)=x−1，则f（x）<0的解集是A.（−1，∞）B.（−∞，1）C.（−1，1）D.（−∞，−1）∪(1，∞)9.某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A.不亏不盈B.盈利37.2元C.盈利14元D.亏损14元10.设函数f（x）在R上是减函数，则A。
f（a）>f（2a）B。
2023-2024学年广东省深圳大学附属实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳大学附属实验中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各结论中，正确的是（）A．{0}是空集B．{x|x2+x+2＝0}是空集C．{1，2}与{2，1}是不同的集合D．方程x2﹣4x+4＝0的解集是{2，2}2．命题“∃x＜2，x2﹣2x＜0”的否定是（）A．∃x≤2，x2﹣2x≥0B．∀x≥2，0＜x＜2C．∃x＜2，x2﹣2x≥0D．∀x＜2，x≤0或x≥23．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是（）A．1a ＞1bB．a2＞b2C．|a|＞|b|D．1a2＞1b24．若a＞0，则“a2＜b2”是“a＜﹣b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．若不等式x2﹣2x﹣m＜0在x∈[12，2]上有解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．(−34，+∞)D．（0，+∞）6．如图的曲线是幂函数y＝x n在第一象限内的图象．已知n分别取±2，±12四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（）A．2，12，−12，−2B．2，12，−2，−12C．−12，−2，2，12D．−2，−12，12，27．已知函数f（x）={−ax+a−1，x≥0x2−ax+1，x＜0是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（0，2]D．[0，2]8．若关于x 的不等式ax 2+2ax +3a ﹣4＜0对x ∈R 恒成立，则a 的取值集合为（ ） A ．{a |﹣2＜a ＜0}B ．{a |﹣2＜a ≤0}C ．{a |a ＜0}D ．{a |a ≤0}二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |x 2＞1}，则（ ） A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝RC ．A ⊆∁R BD ．B ∪（∁R A ）＝B10．下列各组函数表示相同函数的有（ ） A ．f(x)=√x 2，g （x ）＝|x |B ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0C ．f(x)=√x −1，g(x)=x √x−1xD ．f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0，g （t ）＝|t |11．下列结论中，所有正确的结论有（ ） A ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bB ．当x ＜2时，x −2+4x−2的最小值为4 C ．若a ∈R ，则2√a 2的最小值为2D ．若a ，b ∈R +，a +2b ＝2，则1a+4b≥92+2√212．若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0；（2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A ．f （x ）＝x 2B ．f （x ）＝﹣x 3C ．f(x)=1xD ．f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数f(x)=1√4−x 2+(x +1)0的定义域是 ．14．计算：(−16)−2+160.75= ． ．15．已知函数y ＝f （x ）满足2f(x)+f(1x )=2x ，x ∈R 且x ≠0，则f （x ）＝ ．16．对任意x ∈R ，给定f （x ）＝﹣x +5，g （x ）＝（x +1）2，记函数M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）集合A ＝{x ||x ﹣2|≤3}，B ＝{x |a +1≤x ≤2a ﹣1}． （1）当a ＝4时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）． （1）若f （x ）≥0的解集为{x |1≤x ≤4}，求a ，b 的值； （2）当b ＝2a ﹣1时，解不等式f （x ）＜0． 19．（12分）函数f(x)=ax 2+4x，且f （1）＝5． （1）求a 的值；（2）证明f （x ）为奇函数；（3）判断函数f （x ）在（0，2]上的单调性，并加以证明．20．（12分）已知函数f （x ）＝（m 2﹣5m +1）x m +1为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数g(x)=1−[f(x)]22+f(x)在x ∈[0，1]的值域．21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米． （1）设DN 的长为x （x ＞0）米，试用x 表示矩形AMPN 的面积；（2）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．22．（12分）函数f （x ）对任意实数x ，y 恒有f （x ）＝f （y ）+f （x ﹣y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0． （1）判断f （x ）的奇偶性； （2）求证：f （x ）是R 上的减函数；（3）若a ∈R ，解关于x 的不等式f （ax 2）+f （x +2）＜f （x 2）﹣f （ax ）．2023-2024学年广东省深圳大学附属实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各结论中，正确的是（）A．{0}是空集B．{x|x2+x+2＝0}是空集C．{1，2}与{2，1}是不同的集合D．方程x2﹣4x+4＝0的解集是{2，2}解：{0}是以0为元素的非空集合，故A错误；x2+x+2＝0的Δ＝﹣7＜0，无实数根，故B正确；相同集合的元素顺序可以不同，故C错误；同一集合不能有相同元素，故D错误．故选：B．2．命题“∃x＜2，x2﹣2x＜0”的否定是（）A．∃x≤2，x2﹣2x≥0B．∀x≥2，0＜x＜2C．∃x＜2，x2﹣2x≥0D．∀x＜2，x≤0或x≥2解：命题“∃x＜2，x2﹣2x＜0”是存在量词命题，又x2﹣2x＜0⇒0＜x＜2，所以其否定为全称量词命题，即为“∀x＜2，x≤0或x≥2”．故选：D．3．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是（）A．1a ＞1bB．a2＞b2C．|a|＞|b|D．1a2＞1b2解：对于A：由a＜b＜0得ab＞0，则aab ＜bab，即1a＞1b，故A成立；对于B：由a＜b＜0得﹣a＞﹣b＞0，则根据不等式的性质有（﹣a）2＞（﹣b）2＞0，即a2＞b2，故B 成立；对于C：由a＜b＜0得|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，则﹣a＞﹣b＞0，进而|a|＞|b|，故C成立；对于D：由a2＞b2可得1a2＜1b2，故D不成立．故选：D．4．若a＞0，则“a2＜b2”是“a＜﹣b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ＝1，b ＝2，满足a 2＜b 2，不能得到a ＜﹣b ，充分性不成立， 因为a ＞0，若0＜a ＜﹣b ，两边平方得a 2＜b 2，必要性成立． 则“a 2＜b 2”是“a ＜﹣b ”的必要不充分条件． 故选：B ．5．若不等式x 2﹣2x ﹣m ＜0在x ∈[12，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．(−34，+∞)D ．（0，+∞）解：不等式x 2﹣2x ﹣m ＜0可化为m ＞x 2﹣2x ，设f （x ）＝x 2﹣2x ，则f （x ）＝（x ﹣1）2﹣1≥f （1）＝﹣1， 所以不等式x 2﹣2x ﹣m ＜0在x ∈[12，2]上有解，实数m 的取值范围是m ＞﹣1，即m ∈（﹣1，+∞）． 故选：B ．6．如图的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象．已知n 分别取±2，±12四个值，与曲线c 1、c 2、c 3、c 4相应的n 依次为（ ）A ．2，12，−12，−2 B ．2，12，−2，−12C ．−12，−2，2，12D ．−2，−12，12，2解：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象， 当n ＞0时，n 越大，递增速度越快， 故曲线c 1的n ＝2，曲线c 2的n =12，当n ＜0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n =−12， 曲线c 4的﹣2，故依次填2，12，−12，﹣2．故选：A ． 7．已知函数f （x ）={−ax +a −1，x ≥0x 2−ax +1，x ＜0是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，+∞）B ．（﹣∞，0]C ．（0，2]D ．[0，2]解：根据题意，函数f （x ）={−ax +a −1，x ≥0x 2−ax +1，x ＜0是R 上的减函数，则有{−a ＜0a 2≥01≥a −1，解可得0＜a ≤2，即a 的取值范围为（0，2]．故选：C ．8．若关于x 的不等式ax 2+2ax +3a ﹣4＜0对x ∈R 恒成立，则a 的取值集合为（ ） A ．{a |﹣2＜a ＜0}B ．{a |﹣2＜a ≤0}C ．{a |a ＜0}D ．{a |a ≤0}解：当a ＝0时，不等式ax 2+2ax +3a ﹣4＜0化为﹣4＜0对x ∈R 恒成立； 当a ≠0，要使得不等式ax 2+2ax +3a ﹣4＜0对x ∈R 恒成立， 则{a ＜0Δ=4a 2−4a(3a −4)＜0，解得a ＜0，综上，a 的取值集合为{a |a ≤0}． 故选：D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |x 2＞1}，则（ ） A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝RC ．A ⊆∁R BD ．B ∪（∁R A ）＝B解：A ＝{x |x 2＜1}＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞1}， 对于A ：易知A ∩B ＝∅，所以A 正确； 对于B ：A ∪B ＝{x |x ≠±1}≠R ，所以B 错误；对于C ：∁R B ＝{x |﹣1≤x ≤1}，所以A ⊆∁R B ，所以C 正确；对于D ：∁R A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥1}，所以B ⊆∁R A ，所以B ∪（∁R A ）＝∁R A ，所以D 错误． 故选：AC ．10．下列各组函数表示相同函数的有（ ） A ．f(x)=√x 2，g （x ）＝|x |B ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0C ．f(x)=√x −1，g(x)=x √x−1xD ．f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0，g （t ）＝|t |解：对于A ，f （x ）＝|x |，g （x ）＝|x |，故A 正确；对于B ，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x |x ≠0}，故B 错误；对于C ，f （x ）的定义域为{x |x ≥1}，g （x ）的定义域为{x |x ≥1且x ≠0}，故C 错误； 对于D ，f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0，g （t ）＝|t |={t ，t ≥0−t ，t ＜0，故D 正确．故选：AD ．11．下列结论中，所有正确的结论有（ ） A ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bB ．当x ＜2时，x −2+4x−2的最小值为4 C ．若a ∈R ，则2√a 2+2的最小值为2D ．若a ，b ∈R +，a +2b ＝2，则1a+4b≥92+2√2解：对于A ，因为ac 2＞bc 2，所以c 2＞0，因此在不等式ac 2＞bc 2两边同乘1c 2得a ＞b ，故A 正确；对于B ，当x ﹣2＜0，即﹣（x ﹣2）＞0时，−[−(x −2)+4−(x−2)]≤−2√[−(x −2)]×4[−(x−2)]=−4， 当且仅当−(x −2)=4−(x−2)，即x ＝0时，等号成立，所以x −2+4x−2的最大值为﹣4，故B 不正确； 对于C 、令t =√a 2+2．因为a ∈R ，所以t ≥√2，而2√a 2+2=√a 2+2+√a 2+2，因此2√a 2+2的最小值就是函数y =t +1t (t ≥√2)的最小值．又因为由对勾函数的性质知：函数y =t +1t在[√2，+∞)是增函数， 当t =√2时，函数y =t +1t 取得的最小值为√22=3√22， 即2√a 2+2的最小值为3√22，故C 不正确； 对于D ，由a ，b ∈R +，a +2b ＝2，可得1a+4b=12(a +2b)(1a+4b)=92+b a+2b a，因为a b+2b a≥2√a b⋅2b a≥2√2，所以1a+4b≥92+2√2，当且仅当{4a b =2baa +2b =2，即a =4√2−27，b =8−2√27时，等号成立．因此1a +4b ≥92+2√2，故D 正确． 故选：AD ．12．若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0；（2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A ．f （x ）＝x 2B ．f （x ）＝﹣x 3C ．f(x)=1xD ．f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0解：由（1）可知，f （x ）为奇函数，由（2）可知，f （x ）在定义域内为单调递减函数，对于A ，f （x ）＝x 2定义域为R ，又f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2＝f （x ），故f （x ）＝x 2为偶函数，故A 错误；对于B ，f （x ）＝﹣x 3定义域为R ，又f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）3＝x 3＝﹣f （x ），故f （x ）＝﹣x 3为奇函数， 又f （x ）＝﹣x 3在R 上单调递减，满足要求，B 正确；对于C ，f(x)=1x 分别在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，在定义域内不是单调递减，C 错误； 对于D ：f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0=−x|x|，f （﹣x ）＝x |﹣x |＝x |x |＝﹣f （x ），所以f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0是奇函数；根据二次函数的单调性，易知q （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）都是减函数，且在x ＝0处连续， 所以f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0在R 上是减函数，所以是“理想函数”，D 正确．故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数f(x)=1√4−x 2+(x +1)0的定义域是 （﹣2，﹣1）∪（﹣1，2） ．解：要使函数f(x)=1√4−x 2+(x +1)0有意义，则{4−x 2＞0x +1≠0，即{−2＜x ＜2x ≠−1， ∴f （x ）定义域是（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2）． 故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2）． 14．计算：(−16)−2+160.75= 44 ．解：(−16)−2+160.75=(−6)2+(24)34=36+23=36+8=44．故答案是：44．15．已知函数y ＝f （x ）满足2f(x)+f(1x )=2x ，x ∈R 且x ≠0，则f （x ）＝4x 3−23x．解：由2f(x)+f(1x)=2x ①， 用1x 替换x ，得2f(1x)+f(x)=2x②，①×2﹣②，得3f(x)=4x −2x ，得f(x)=4x 3−23x． 故答案为：f(x)=4x3−23x ．16．对任意x ∈R ，给定f （x ）＝﹣x +5，g （x ）＝（x +1）2，记函数M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值是 4 ．解：由题意得当f （x ）≥g （x ）时，﹣x +5≥（x +1）2⇒（x +4）（x ﹣1）≤0， 解得﹣4≤x ≤1，此时M （x ）＝f （x ）＝﹣x +5，当f （x ）＜g （x ）时，则﹣x +5〈（x +1）2⇒（x +4）（x ﹣1）＞0，解得x ＞1或x ＜﹣4， 此时M （x ）＝g （x ）＝（x +1）2， 综上M(x)={f(x)，−4≤x ≤1g(x)，x ＞1或x ＜−4⇒M(x)={−x +5，−4≤x ≤1(x +1)2，x ＞1或x ＜−4，易知y ＝﹣x +5在﹣4≤x ≤1上单调递减，最小值为4，在x ＝1取得；y ＝（x +1）2在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣4）上单调递减，所以y ＝（x +1）2＞（1+1）2＝4，综上M （x ）的最小值是4． 故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）集合A ＝{x ||x ﹣2|≤3}，B ＝{x |a +1≤x ≤2a ﹣1}． （1）当a ＝4时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（1）解不等式|x ﹣2|≤3，得﹣1≤x ≤5，故A ＝{x ||x ﹣2|≤3}＝[﹣1，5]， 当a ＝4时，集合B ＝{x |5≤x ≤7}＝[5，7]，所以A ∪B ＝[﹣1，7]； （2）若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，有以下两种情况：①当a +1＞2a ﹣1时，即a ＜2，集合B 为空集，符合B ⊆A ，此时实数a 的取值范围是（﹣∞，2）． ②当a ≥2时，若B ⊆A 成立，则{a +1≥−12a −1≤5，结合a ≥2解得2≤a ≤3，实数a 的取值范围是[2，3]．综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，3]． 18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）． （1）若f （x ）≥0的解集为{x |1≤x ≤4}，求a ，b 的值；（2）当b ＝2a ﹣1时，解不等式f （x ）＜0．解：（1）由题设f （x ）≥0的解集为{x |1≤x ≤4}，则1，4是方程ax 2+bx ﹣2＝0的两根， 由根与系数的关系知，{−ba =1+4−2a =1×4，解得a =−12，b =52，经验证满足题设，所以{a =−12b =52．（2）由题设ax 2+（2a ﹣1）x ﹣2＜0且a ≠0， 所以a(x −1a)(x +2)＜0，当1a ≤−2，即−12≤a ＜0时，不等式的解集为(−∞，1a )∪(−2，+∞)；当−2＜1a ＜0，即a ＜−12时，不等式的解集为(−∞，−2)∪(1a，+∞)； 当1a＞0，即a ＞0时，不等式的解集为(−2，1a )．19．（12分）函数f(x)=ax 2+4x ，且f （1）＝5．（1）求a 的值；（2）证明f （x ）为奇函数；（3）判断函数f （x ）在（0，2]上的单调性，并加以证明．解：（1）∵f(x)=ax 2+4x ，且f （1）＝5，∴a +4＝5，∴a ＝1；（2）证明：由（1）知f （x ）=x 2+4x， ∴定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又f （﹣x ）=x 2+4−x =−f （x ），∴f （x ）为奇函数；（3）f （x ）在（0，2]上单调递减，证明如下： 证明：∀x 1，x 2∈（0，2]，且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 1+4x 1−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)+4(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2， 又x 1，x 2∈（0，2]，且x 1＜x 2， ∴x 1﹣x 2＜0，x 1x 2﹣4＜0，x 1x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0， ∴f （x 1）＞f （x 2），∴f（x）在（0，2]上单调递减．20．（12分）已知函数f（x）＝（m2﹣5m+1）x m+1为幂函数，且为奇函数．（1）求m的值；（2）求函数g(x)=1−[f(x)]22+f(x)在x∈[0，1]的值域．解：（1）∵函数f（x）＝（m2﹣5m+1）x m+1为幂函数，∴m2﹣5m+1＝1，解得m＝5或m＝0．当m＝5时，f（x）＝x6是偶函数，不满足题意；当m＝0时，f（x）＝x是奇函数，满足题意．综上可知：m＝0．（2）∵g(x)=−12x2+x+12=−12(x−1)2+1在[0，1]上单调递增，且g(0)=12，g（1）＝1，∴函数g（x）的值域为[12，1]．21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D 点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．（1）设DN的长为x（x＞0）米，试用x表示矩形AMPN的面积；（2）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．解：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN＝（x+2）米，∵DN：AN＝DC：AM，∴AM=3(x+2)x，∴S AMPN=AN⋅AM=3(x+2)2x．（2）记矩形花坛AMPN的面积为S，则S=3(x+2)2x=3x+12x+12≥2√3x⋅12x+12=24，当且仅当3x=12x，即x＝2 时取等号，故DN的长为2米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米．22．（12分）函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）＝f（y）+f（x﹣y），且当x＞0时，f（x）＜0．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）若a∈R，解关于x的不等式f（ax2）+f（x+2）＜f（x2）﹣f（ax）．解：（1）由题意，函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）＝f（y）+f（x﹣y），令x＝y＝0得f（0）＝f（0）+f（0），解得：f（0）＝0，取x＝0，则由f（x）＝f（y）+f（x﹣y）得f（0）＝f（y）+f（﹣y）＝0，∴f（﹣y）＝﹣f（y），即f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数；（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＜0，∴f（x2﹣x1）＜0，由f（x）＝f（y）+f（x﹣y）得f（x）﹣f（y）＝f（x﹣y），∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＜0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数；（3）由f（x）＝f（y）+f（x﹣y）得f（ax2）+f（x+2）＝f（ax2+x+2），由f（x）＝f（y）+f（x﹣y）得f（x）﹣f（y）＝f（x﹣y），则f（x2）﹣f（ax）＝f（x2﹣ax），∴不等式f（ax2）+f（x+2）＜f（x2）﹣f（ax）可化为f（ax2+x+2）＜f（x2﹣ax），∵f（x）是R上的减函数，∴ax2+x+2＞x2﹣ax，即（a﹣1）x2+（a+1）x+2＞0………①．（i）当a＝1时，不等式①式即为2x+2＞0，解得：x＞﹣1，即原不等式解集为（﹣1，+∞）；（ii）当a＞1时，不等式①式化为(a−1)(x+2a−1)(x+1)＞0，即(x+2a−1)(x+1)＞0，若a＝3，上式不等式即为（x+1）2＞0，解得：x≠﹣1，即原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；若a＞3，则−2a−1＞−1，原不等式解集为(−∞，−1)∪(−2a−1，+∞)；若1＜a＜3，则−2a−1＜−1，原不等式解集为(−∞，−2a−1)∪(−1，+∞)；（iii）当a＜1时，不等式①式化为(a−1)(x+2a−1)(x+1)＞0，即(x+2a−1)(x+1)＜0，∵−2a−1＞−1，∴原不等式解集为(−1，−2a−1)；综上，当a＜1时，原不等式解集为(−1，−2a−1)；当a＝1时，原不等式解集为（﹣1，+∞）；当1＜a＜3时，原不等式解集为(−∞，−2a−1)∪(−1，+∞)；当a＝3时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；当a＞3时，原不等式解集为(−∞，−1)∪(−2a−1，+∞)．。
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2015-2016学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A．2πcm2B．2 cm2C．4πcm2D．4 cm22．（5.00分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．P、A、C三点共线B．P、A、B三点共线C．P、B、C三点共线D．以上均不正确3．（5.00分）角α的终边上有一点P（m，5），且，则sinα=（）A．B．C．或D．或4．（5.00分）函数的奇偶性为（）A．既奇又偶函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．奇函数5．（5.00分）已知θ为第一象限角，设，，且，则θ一定为（）A．B． C． D．6．（5.00分）下列结论中，一定正确的有（）个．①②③④若是平面内的一组基底，对于平面内任一向量，使的实数λ1，λ2有无数对．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个7．（5.00分）若cosθ＜0，且，那么θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8．（5.00分）已知，，则的值为（）A．B．C．D．9．（ 5.00分）已知O是△ABC所在平面内一点，且||2+||2=||2+||2=||2+||2，则O是△ABC的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心10．（5.00分）函数y=sin（2x+）的单调递减区间为（）A．（﹣+kπ，kπ]，k∈Z B．（﹣+kπ，+kπ]，k∈ZC．（﹣+kπ，+kπ]，k∈Z D．（+kπ，+kπ]，k∈Z二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5.00分）的值为．12．（5.00分）如图，若=，=，=，则向量可用，表示为．13．（5.00分）若，则=．14．（5.00分）课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积．运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路．例如：边长为1的正六边形ABCDEF中，点P是正六边形内的一点（含边界），则的取值范围是．15．（5.00分）已知函数，在下列四个命题中：①函数的表达式可以改写为；②当（k∈Z）时，函数取得最大值为2；③若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）=0，则；④函数f（x ）的图象关于直线对称；其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12.00分）已知函数，g（x）=（1）化简f（x）；（2）利用“五点法”，按照列表﹣描点﹣连线三步，画出函数g（x）一个周期的图象；（3）函数g（x）的图象可以由函数f（x）的图象经过怎样的变换得到？17．（12.00分）已知，，（1）若，的夹角为，求；（2）求及的取值范围；（3）若，求与的夹角θ．18．（11.00分）已知，．（1）化简，并求值．（2）若β∈（），且cos（α+β）=﹣，求sin（α+β）及cosβ的值．19．（12.00分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f（t）=Asin（ωt+ϕ）+b来描述．（1）根据以上数据，求出函数f（t）=Asin（ωt+ϕ）+b的表达式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0：00～24：00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？20．（14.00分）已知向量，函数，x∈R．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，当θ∈时，g（θ）﹣k=0有解，求实数k的取值范围；（3）设，求函数h（x）的值域．21．（14.00分）已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中k为常数．（1）若k=﹣1，函数f（x）是否具有周期性？若是，求出其周期；（2）在（1）的条件下，又知f（x）为定义在R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x，则方程f（x）=﹣在区间[0，2016]上有多少个解？（写出结论，不需过程）（3）若k为负常数，且当0≤x≤2时，f（x）=x（x﹣2），求f（x）在[﹣3，3]上的解析式，并求f（x）的最小值与最大值．2015-2016学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A．2πcm2B．2 cm2C．4πcm2D．4 cm2【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：=2，所以扇形的面积为：×4×2=4cm2；故选：D．2．（5.00分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．P、A、C三点共线B．P、A、B三点共线C．P、B、C三点共线D．以上均不正确【解答】解：如图，取AC中点D，则：；∴；∴D和P重合；∴P，A，C三点共线．故选：A．3．（5.00分）角α的终边上有一点P（m，5），且，则sinα=（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵角α的终边上有一点P（m，5），且，∴x=m，y=5，m2+52=132，∴m2=12，∴r=|OP|=13．由以上可得sinα==，故选：A．4．（5.00分）函数的奇偶性为（）A．既奇又偶函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．奇函数【解答】解：由1+tanx≠0，得tanx≠﹣1，即x≠kπ﹣，则函数的定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，故选：C．5．（5.00分）已知θ为第一象限角，设，，且，则θ一定为（）A．B． C． D．【解答】解：∵，，，∴•=cosθ﹣3sinθ=0，即tanθ=，而θ为第一象限角，∴θ=2kπ+（k∈Z），故选：B．6．（5.00分）下列结论中，一定正确的有（）个．①②③④若是平面内的一组基底，对于平面内任一向量，使的实数λ1，λ2有无数对．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：①=+，故①错误；②（•）•=λ1，•（•）=λ2，故②错误；③•=•，则和不一定相等，故③错误；④若是平面内的一组基底，对于平面内任一向量，使的实数λ1，λ2有且只有一对，故④错误；故选：D．7．（5.00分）若cosθ＜0，且，那么θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二或第三象限角，∵≥0，∴cosθ≥sinθ．∴sinθ＜0∴θ是第三象限角．故选：C．8．（5.00分）已知，，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴＜＜，可得：sin＞0，cos＜0，∵，可得：2sin cos=﹣，①，又∵sin2+cos2=1，②∴①+②解得：sin+cos=，②﹣①解得：sin﹣cos=，∴两式相减可得cos=﹣．故选：B．9．（ 5.00分）已知O是△ABC所在平面内一点，且||2+||2=||2+||2=||2+||2，则O是△ABC的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心【解答】解：设=，=，=，则=﹣，=，=．由||2+||2=||2+||2=||2+||2，∴||2+|﹣|2=||2+||2，化简可得•=•，即（﹣）•=0，∴•=0∴⊥，即OA⊥BC．同理可得OB⊥AC，OC⊥AB．∴O是△ABC的垂心．故选：B．10．（5.00分）函数y=sin（2x+）的单调递减区间为（）A．（﹣+kπ，kπ]，k∈Z B．（﹣+kπ，+kπ]，k∈ZC．（﹣+kπ，+kπ]，k∈Z D．（+kπ，+kπ]，k∈Z【解答】解：由sin（2x+）＞0，即2kπ＜2x+＜2kπ+π，解得（﹣+kπ，+kπ），k∈Z，即函数的定义域为（﹣+kπ，+kπ），k∈Z，设t=sin（2x+），则函数y=t为减函数，要求函数y=sin（2x+）的单调递减区间，根据复合函数单调性之间的关系，即求函数t=sin（2x+）的增区间，由2kπ＜2x+＜2kπ+，解得﹣+kπ＜x＜+kπ，k∈Z，函数y=sin（2x+）的单调递减区间（﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5.00分）的值为．【解答】解：==tan（+）=tan=，故答案为：．12．（5.00分）如图，若=，=，=，则向量可用，表示为．【解答】解：∵=，=，=，∴向量==﹣=+==．∴，故答案为：．13．（5.00分）若，则=5．【解答】解：因为，即两式相加得两式相除得到故答案为5．14．（5.00分）课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积．运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路．例如：边长为1的正六边形ABCDEF中，点P是正六边形内的一点（含边界），则的取值范围是．【解答】解：如图，当P点与C点重合时，在方向上的投影最大，取得最大值为1+1×cos60°=；当P点与F点重合时，在方向上的投影最小，取得的最小值为1×cos120°=．∴的取值范围是．故答案为：．15．（5.00分）已知函数，在下列四个命题中：①函数的表达式可以改写为；②当（k∈Z）时，函数取得最大值为2；③若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）=0，则；④函数f（x）的图象关于直线对称；其中正确命题的序号是①②③④（把你认为正确命题的序号都填上）．【解答】解：∵函数=2（cos2x+sin2x）=2cos（2x﹣），故①正确；∵当（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值为2，故②正确；若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）=0，则x1和x2为函数f（x）的零点，x1和x2相差半个周期的整数倍，即，故③正确；当x=时，f（x）=2cosπ=﹣2，为函数的最小值，故函数f（x）的图象关于直线对称，故④正确，故答案为：①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12.00分）已知函数，g（x）=（1）化简f（x）；（2）利用“五点法”，按照列表﹣描点﹣连线三步，画出函数g（x）一个周期的图象；（3）函数g（x）的图象可以由函数f（x）的图象经过怎样的变换得到？【解答】解：（1）．（2）列表：画图：（3）把f（x）=sinx的图象向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）的图象；再把横坐标变为原来的倍，可得y=sin（2x﹣）的图象；最后把纵坐标变为原来的倍，可得y=sin（2x﹣）的图象．17．（12.00分）已知，，（1）若，的夹角为，求；（2）求及的取值范围；（3）若，求与的夹角θ．【解答】解：（1）∵，的夹角为，∴=||•||•cos=，∴|﹣|2=（﹣）2=2+2﹣2=1+3﹣3=1，∴；（2）由，得，由，得；（3），∴，又||=1，||=，∴，∴cosθ==﹣，∵θ∈[0，π]， ∴．18．（11.00分）已知，．（1）化简，并求值． （2）若β∈（），且cos （α+β）=﹣，求sin （α+β）及cosβ的值．【解答】解：（1）==tanα﹣=﹣（2）∵α∈（，π），β∈（，π）∴α+β∈（π，2π），又cos （α+β）=﹣，∴α+β∈（π，π）， ∴sin （α+β）=﹣=﹣由，α∈（，π），得sinα=，cosα=﹣cosβ=cos [（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin （α+β）sinα=19．（12.00分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f （t ）=Asin （ωt +ϕ）+b来描述．（1）根据以上数据，求出函数f（t）=Asin（ωt+ϕ）+b的表达式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0：00～24：00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？【解答】（本题满分12分）解：（1）由表格知f max=7.5，f min=2.5，…（1分），…（2分）T=12，∴，…（4分）即当t=2时，，解得，又，∴…（6分）∴．（2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，∴当f（t）≥6.25时就可以进港．…（7分）令，得…（8分）∴，…（9分）解得12k≤t≤4+12k，…（10分）又t∈[0，24），故k=0时，t∈[0，4]；k=1时，t∈[12，16]…（11分）即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．…（12分）20．（14.00分）已知向量，函数，x∈R．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，当θ∈时，g（θ）﹣k=0有解，求实数k的取值范围；（3）设，求函数h（x）的值域．【解答】（本题满分14分）解：（1），…（2分）（2），…（3分）∵，∴，∴，…（4分）∴，∴，…（6分）由于g（θ）﹣k=0有解，即k=g（θ）有解，故．…（7分）（3）=，x∈R设t=4sinx﹣2，则，t∈[﹣6，2]…（8分）可得：，…（9分）当t=0时，k（t）=0；当t≠0时，，…（10分）其中在递增，在递减，在（0，2]递减，∴，…（12分）从而．…（14分）21．（14.00分）已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中k为常数．（1）若k=﹣1，函数f（x）是否具有周期性？若是，求出其周期；（2）在（1）的条件下，又知f（x）为定义在R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x，则方程f（x）=﹣在区间[0，2016]上有多少个解？（写出结论，不需过程）（3）若k为负常数，且当0≤x≤2时，f（x）=x（x﹣2），求f（x）在[﹣3，3]上的解析式，并求f（x）的最小值与最大值．【解答】解：（1）若k=﹣1，则f（x）=﹣f（x+2），即f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数．（2）当0≤x≤1时，f（x）=x，设﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，∴f（﹣x）=（﹣x）=﹣x．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=﹣x，即f（x）=x．故f（x）=x（﹣1≤x≤1）又设1＜x＜3，则﹣1＜x﹣2＜1，∴f（x﹣2）=（x﹣2），又∵f（x﹣2）=﹣f（2﹣x）=﹣f[（﹣x）+2]=﹣[﹣f（﹣x）]=﹣f（x），∴﹣f（x）=（x﹣2），∴f（x）=﹣（x﹣2）（1＜x＜3）．∴f（x）=由f（x）=﹣，解得x=﹣1．∵f（x）是以4为周期的周期函数．故f（x）=﹣的所有x=4n﹣1（n∈Z）．令0≤4n﹣1≤2016，则≤n≤504，又∵n∈Z，∴1≤n≤504（n∈Z），∴在[0，2016]上共有504个x使f（x）=﹣．（3）对任意实数x，f（x）=kf（x+2），∴f（x﹣2）=kf（x），∴f（x）=f（x﹣2）．当﹣2≤x＜0时，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；当﹣3≤x＜﹣2时，﹣1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k2（x+2）（x+4）．当2≤x≤3 时，0≤x﹣2≤1，f（x﹣2）=kf（x）=（x﹣2）（x﹣4），故f（x）=（x﹣2）（x﹣4）．综上可得，f（x）=∵k＜0，∴f（x）在[﹣3，﹣1]与[1，3]上为增函数，在[﹣1，1]上为减函数．则函数f（x）在[﹣3，3]上的单调性可知，f（x）在x=﹣3或x=1处取最小值f（﹣3）=﹣k2或f（1）=﹣1，而在x=﹣1或x=3处取最大值f（﹣1）=﹣k或f（3）=﹣，故有：①k＜﹣1时，f（x）在x=﹣3处取最小值f（﹣3）=﹣k2，在x=﹣1处取最大值f（﹣1）=﹣k；②k=﹣1时，f（x）在x=﹣3与x=1处取最小值f（﹣3）=f（1）=﹣1，在x=﹣1与x=3处取最大值f（﹣1）=f（3）=1；③﹣1＜k＜0时，f（x）在x=1处取最小值f（1）=﹣1，在x=3处取最大值f（3）=﹣．。