利用半正定二次型证明条件不等式
二次型的正定性与半正定性判定
二次型的正定性与半正定性判定在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
正定性与半正定性是二次型的两个重要性质，对于理解和解决实际问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨二次型的正定性与半正定性的判定方法，以及它们在实际问题中的应用。
一、二次型的定义与基本性质二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为:$$Q(x_1,x_2,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$a_{ij}$为二次型的系数，$x_1,x_2,...,x_n$为变量。
二次型的基本性质有：1. 对称性：$a_{ij} = a_{ji}$2. 齐次性：$Q(kx_1,kx_2,...,kx_n) = k^2Q(x_1,x_2,...,x_n)$，其中k 为常数。
3. 定义正定性与半正定性的前提：二次型必须是实二次型，即系数$a_{ij}$为实数。
二、正定性的判定正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于零。
正定性的判定方法有以下几种常用方式：1. 惯性定理: 二次型的惯性定理指出，通过变换二次型的系数矩阵，可以得到一个对角阵，该对角阵的主对角线上元素个数为二次型的正惯性指数。
- 若正惯性指数为n，则二次型正定；- 若正惯性指数为0，则二次型半正定；- 若正惯性指数非0非n，则二次型不定。
2. Sylvester定理: Sylvester定理是另一种判定二次型正定性的方法，通过判断二次型的所有顺序主子式是否大于零来确定。
- 若所有顺序主子式大于零，则二次型正定；- 若所有顺序主子式非负但存在某个顺序主子式为零，则二次型半正定；- 若存在某个顺序主子式小于零，则二次型不定。
三、半正定性的判定半正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于等于零。
例谈应用高等数学方法证明不等式的思路与技巧
而ｘ） ＋ ＝§ ｉ 妄 ＝２， 当 ｆ，＝ Ｏ 一 １…即 （ｙ。 ｙ ａ ， ＝ ，
且仅当时百 ａ＝ 等号 ａ ２ … ｎ 成立。 Ｉ ａ
２ 利 用 无 穷 小 的性 质 证 明 不 等 式
所 Ｊ（ｄ≥ ｆ ） 。 以 ｘｘ Ｊ（ｄ ｆ） ｘｘ
若 ＋时 筹 无 小即ｍ 。ｇ）（ ∞ 为 穷 ，ｌ（ 且（ 。＞ ） ｘ ｘ ｉｘ ｇ ｆ＝ ＞
￣Ｉ ａｆ ）１ ｉ （ ＝ ￣ｍａ （） ｎ ｘ ｌ 所以，≥ ｐ － Ｔ≥ １。 Ｉ ｘｆｘ ， ｎ ）． 所 以 ， ＋Ｉｘ ≥ ｍ ｘ（ ＝１ ｍｉｆ ＝ ｍｆ １ ＋ ≥
而ｈ ＜ａｔ ＾ ＾ ｒａ 乏 ｃｎ 所以， 而１ ＜ ｒ ｈ １即， ａｔ —ｃ ｎ ＜ ａ
，
（ （ ２∑６ 成立。 ∑ｎ ） ∑ｎ） ｌ ２ （ ） 当且仅当 ｔ ｕ＝ 时取等号 １ ２ … ｔ
ｉ ＝１ ｉ ＝ｌ ｉ ＝１ ｌ ２
。
５ 利用积分 中值定理证 明不等式
利 用 概 率 论 证 明不 等 式 ， 基 本 的 思 路 是 将 不 等 式 中的 数 转 最 换 成 若 干 个 相 互 独 立 事 件 的概 率 ， 而 将 实 数 之 间的 运 算 转 化 成 从
—≥ ）求ｊｓｄ［）ｘ１ ｏ ｄ 证 （２ （２≤ ， ｘ ：ｘｘ Ｉ ｃｄ． ｆ ＝ ＿） ｘｊｏｘ １ｌ ｉ ｔｆｓｔ 』 ｎ ＋ｘ ｆ 』
２ １ ＮＯ ． ５ ０ ０ ２
； — 。 ｔ ｅ ｌ Ｉ Ｉ Ｈｒ 。。 ａ ｄ
理 论 前 沿
例 谈 应 用 高等 数 学 方法 证 明 不等 式 的思 路 与技 巧 ①
杜 卓 勋 （ 湖南环境 生物职 业技 术学 院公 共基础 部 湖 南衡 阳 摘
半正定二次型及半正定矩阵性质的推广
令 Ｕ ＝Ａ －１Ａ
所以 Ｕ ＴＰＵ ＝Ｂ Ｔ（Ａ －１）ＴＡ ＴＡ Ａ －１Ｂ ＝Ｉ，Ｕ ＴＱ Ｕ ＝Ｄ
定理 6 若 Ａ ，Ｂ 是半正定矩阵， 则 Ａ ＋Ｂ 也是半正定矩
阵，且 ｜Ａ ＋Ｂ ｜≥｜Ａ ｜＋｜Ｂ ｜
证明 ∵Ａ ，Ｂ 是半正定矩阵
∴ Ｘ ＇Ａ Ｘ ，Ｘ ＇Ｂ Ｘ 均为半定的二次型，即对任意的不全
Σ
ＳＴＢ Ｓ＝
Σ Σ
Σ
ｓ２ …
Σ
， Σ
Σ Σ
ΣΣ Σ
ｓ ΣΣ ｎΣ
同时成立，其中 λｉ≥０，ｓｉ≥０，ｉ＝１，２，…ｎ，则一定有
Σ Σ
λ１＋ｓ１
Σ
ＳＴ（Ａ
＋Ｂ
）Ｓ＝
Σ Σ
Σ
ΣΣ
Σ
λ２＋ｓ２
Σ
Σ
Σ
…
ΣΣ，λｉ＋ｓｉ≥０，ｉ＝１，２，Σຫໍສະໝຸດ λｎ＋ｓｎΣΣ Σ
…ｎ．
将上述 ３ 个等式两边同时取行列式，有
｜ＳＴ｜｜Ａ ｜｜Ｓ｜＝λ１λ２…λｎ ｜ＳＴ｜｜Ｂ ｜｜Ｓ｜＝ｓ１ｓ２…ｓｎ ｜ＳＴ｜｜Ａ ＋Ｂ ｜｜Ｓ｜＝（λ１＋ｓ１）（λ２＋ｓ２）…（λｎ＋ｓｎ） 又 ｜ＳＴ｜（｜Ａ ｜＋｜Ｂ ｜）｜Ｓ｜＝λ１λ２…λｎ＋ｓ１ｓ２…ｓｎ 由不等式的性质有
引 理 1 若 ｆ（ｘ１，ｘ２…ｘｎ）是半正定的，则其对应的系数矩 阵 Ａ 是半正定的．
引 理 2 若 ｆ（ｘ１，ｘ２…ｘｎ）是半正定的，则它的正惯性指数 与秩相等．
引 理 3 若 ｆ（ｘ１，ｘ２…ｘｎ）是半正定的，则其对应的系数矩
坌 坌 阵 Ａ 合同与
Ｅｒ ｏ
ｏ ｏ
．
引理 3' 存在实矩阵 Ｐ，使得 Ａ ＝ＰＴＰ
－３－
为对角阵．
二次型与不等式
二次型与不等式二次型是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的概念、性质以及与不等式的关系。
一、二次型的定义二次型是指具有形式为 $Q(x)=x^{T}Ax$ 的函数，其中$xinmathbb{R}^{n}$，$A$ 是一个 $ntimes n$ 的实对称矩阵。
其中，$x^{T}$ 表示 $x$ 的转置，$Q(x)$ 称为二次型的值。
二次型的定义可以进一步解释为：对于一个 $n$ 元实数向量$x=(x_{1},x_{2},dots,x_{n})^{T}$，其对应的二次型值为$Q(x)=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j }$，其中 $a_{ij}$ 是实数。
二、二次型的性质1. 对称性：若 $A$ 是一个实对称矩阵，则 $Q(x)=x^{T}Ax$ 是一个对称函数，即 $Q(x)=Q(x^{T})$。
2. 非负性：对于任意 $xinmathbb{R}^{n}$，有$Q(x)geqslant0$。
当 $xeq0$ 时，$Q(x)>0$。
3. 正定性：若对于任意非零向量 $xinmathbb{R}^{n}$，有$Q(x)>0$，则称 $Q(x)$ 是正定的。
4. 半正定性：若对于任意非零向量 $xinmathbb{R}^{n}$，有$Q(x)geqslant0$，则称 $Q(x)$ 是半正定的。
5. 负定性：若对于任意非零向量 $xinmathbb{R}^{n}$，有$Q(x)<0$，则称 $Q(x)$ 是负定的。
6. 半负定性：若对于任意非零向量 $xinmathbb{R}^{n}$，有$Q(x)leqslant0$，则称 $Q(x)$ 是半负定的。
7. 不定性：若存在非零向量 $x_{1},x_{2}inmathbb{R}^{n}$，使得 $Q(x_{1})>0$，$Q(x_{2})<0$，则称 $Q(x)$ 是不定的。
几个常用不等式证明不等式方法辛
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
函数极值的理论及其应用
2014 届本科毕业论文（设计）论文题目：函数极值的理论及其应用所在院系：数学科学学院所学专业：数学与应用数学完成时间：2014-05-20函数极值的理论及其应用摘要函数的极值不仅是反映函数性态的一个重要特征，而且在解决实际问题中也占有极其重要的地位。
很多经济和生活中的问题都可以转化为数学中的函数极值问题进行讨论，从而得到该问题的最优方案。
本文主要探讨函数极值的理论及求解方法，并附以相应的例子阐明函数极值在实际问题中的应用，重点探讨一元函数和多元函数的极值理论及应用等问题。
关键词：函数极值，多元函数，极值应用The Extreme Value Theory of Function and its ApplicationsAbstractThe extreme value is not only a significant characteristic of a function, but also play an important role in solving practical problems. A lot of problems in the economy and life can be transformed into the function extremum problems, thus the optimal solution of these problems can be obtained. This thesis mainly discusses the theory and its corresponding solving methods of the function extreme value, together with the corresponding extreme value theory to practical problems in the application. The main contents focus on the theory and applications of the single variable functions and multivariate functions.Keywords: Function extreme value, Multivariate functions, Application of extreme value theory目录一、引言 (1)二、一元函数极值理论及其判别方法 (2)2.1 一元函数极值的概念 (2)2.2 一元函数极值的判定 (2)2.3 一元函数极值的求解 (3)三、多元函数的极值理论及其判别方法 (3)3.1 二元函数极值的概念 (3)3.2 二元函数极值的判定 (3)3.3 二元函数两类极值的求解 (4)3.4 n元函数极值的概念 (6)3.5 n元函数极值的判定 (6)3.6 n元函数两类极值的求解 (7)四、函数极值理论的应用 (9)4.1 一元函数极值的应用 (9)4.2 二元函数极值的应用 (10)4.3 n元函数极值的应用 (11)4.4 函数极值在经济生活中的应用 (12)五、结论 (13)参考文献........................................... 错误!未定义书签。
正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用.关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值ABSTRACTThis paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given.Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value第1章 正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质1.1. 相关概念定义1[1] 设a ij (i =1，2，⋯，n ，i ≤j)都是实常数，则关于n 个实变量x 1，x 2，⋯，x n 的二次齐次多项式函数f(x 1，x 2，⋯，x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋯+a nn x n 2+2a 12x 1x 2+2a 12x 1x 3+⋯+2a n−1，n x n−1x n ，称为n 元实二次型.[9]定义2[1] 实二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )为正定的，如果对于一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c n 都有f(c 1，c 2，⋯，c n )>0，如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )<0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为负定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≥0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半正定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≤0,那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半负定的.如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么称为不定的.[1]定义3[1] 若实数域上的n 元二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij nj=1ni=1x i x j =X T AX是正定（半正定）二次型，则A 被称为正定（半正定）矩阵，其中A =(a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn )，X =(x 1x 2⋮x n) 定义4[1] 子式|a 11a 12⋯a 1i a 21a 22⋯a 2i ⋮⋮⋱⋮a i1a i2⋯a ii|，，，，，，，，，0)00()(11121>==∑∑==ki kj k j i ij k k c c f c c a c c c f 称为矩阵A =(a ij )的i 阶顺序主子式i =1，2，⋯，n.1.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题1.2.1.正定矩阵的等价命题定理1[9] A 是n 阶实对称矩阵，则下列叙述等价： (1) A 是正定矩阵.(2) A 的所有顺序主子式全大于零. (3) A 的特征值全大于零. (4) 存在正定矩阵B ，使得A =B 2. (5) A 合同于E .(6) A 的一切主子式全大于零. (7) A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.(8) 对任意的实列满秩矩阵C n×m ,都有C T AC 为正定矩阵.(9) 任意实可逆矩阵T ,都有T T AT 为正定矩阵. (10) 存在秩为n 的m ×n 实矩阵C 使A =C T C . (11) A =P T P ，P 是n 阶可逆矩阵.(12) A =R T R ，R 是n 阶主对角元素全大于零的上三角形矩阵.A =U T U ，U 是n 阶主对角元素全大于零的下三角形矩阵.[9]证明(1)⇒(2)设二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i nj=1n i=1x j 是正定的.对于每个k ，1≤k ≤n ，设f k =(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i n j=1n i=1x j以下证明f k 是一个正定二次型，对于任意一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c k ，有)13(因此f k(x1，x2，⋯，x n)是正定的.由性质1可得，f k所对应的矩阵行列式|a11⋯a1n ⋮⋱⋮a k1⋯a kk|>0，k=1，2，⋯，n.从而A的各阶顺序主子式都大于零.(1)⇒(3)用反证法，若A的特征根λ1，λ2，⋯，λn不都大于零.不妨设λ1≤0，取A的属于λi的单位特征向量β≠0，就有βT Aβ=λ1≤0，这与A为正定矩阵相矛盾，所以A的特征值全大于零。
半正定二次型 的解法
半正定二次型的解法半正定二次型是数学中的一个重要概念，它在优化问题、机器学习、凸优化等领域都扮演着至关重要的角色。
本文将介绍半正定二次型的定义、性质、解法以及相关的参考内容。
首先，我们来看半正定二次型的定义。
给定一个实对称矩阵A，它的半正定二次型定义为：Q(x) = x^TAX其中，x是一个列向量，x^T表示x的转置。
若对于任意的非零向量x，都有Q(x) >= 0，则这个二次型就是半正定的。
接下来，我们来讨论一些半正定二次型的性质。
首先，半正定二次型的矩阵A必然是半正定的。
这是因为对于任意非零向量x，有Q(x) = x^TAX = (Ax)^Tx = ||Ax||^2 >= 0，其中||v||表示向量v的模长。
其次，半正定二次型的最大特征值必然是非负的。
这是由于对于任意非零向量x，有Q(x) = x^TAX = (Ax)^Tx = ||Ax||^2 =λ_max(x^Tx) >= 0，其中λ_max表示A的最大特征值。
半正定二次型还有一个很重要的性质——可以通过半正定矩阵的特征值来判断。
具体来说，若一个矩阵A的所有特征值都非负，则A是半正定的。
这一性质在实际应用中具有很大的帮助，因为通过求解特征值，我们可以判断一个矩阵是否是半正定的。
接下来，我们来介绍一些解半正定二次型的方法。
求解半正定二次型的一个常用方法是通过特征值分解来获取半正定矩阵的特征值和特征向量。
通过特征值分解，我们可以将一个半正定二次型表示成一系列特征值和特征向量的线性组合。
另外一个常用的方法是通过SVD（奇异值分解）来实现半正定二次型的求解。
SVD是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，其中一个是对角矩阵，对角线上的元素即为奇异值。
通过SVD，我们可以得到半正定矩阵的奇异值和奇异向量，从而求解半正定二次型。
最后，我们来介绍一些相关的参考内容。
《Convex Optimization》是一本经典的凸优化教材，其中详细介绍了半正定二次型的性质和求解方法。
二次型半正定性在不等式证明中的应用
＋ ） 一（ Ｉ ＋２∑ｎ； ∑ｎ）１ 【 】 ６
１ 一 ｌ Ｊ １
＋（ ∑ ）
１ １
因 为 对 于 任 意 ｘ ， ， 有 ｆ（ ） ０ 故 关 于 ， 的二 次 型 ｆ（ ） 半 正 定 的．因 ｚ都 ｘ． ≥ ， ｚ ｘ， 是 而 由定 理 Ａ 知 ， 二 次 型 矩 阵 的 行 列 式 大 于 或 等 于 Ｏ ， 该 即
Ｘ ＡＸ ， 中 其
将 矩 阵 Ａ 的 第 ２ ３ … ， 列 分 别 加 到 第 １列 ， 将 第 ２ ３ … ， 行 减 去 第 １行 ， ，， 再 ，， ｎ 得
０ Ａ～ ０ ０ ｎ …
● ● ●
０
・
于 是 Ａ 的 特 征 值 为 Ｏ ！！‘！ 由定 理 Ａ 可 知 ， 为 半 正 定 矩 阵 ， 二 ， ： ！， ： Ａ 即
０
次 型 是 半 正 定 的 ． 而 得 ｆ（ － 一， ） ０ 即 从 ｘ ， ｒ ≥ ，
∑ ｚ ≥ （ ｔ ， ∑ ）
例 ３ 设 ， ７是 一 个 三 角 形 的 三 个 内 角 ， 明 对 任 意 实 数 ｚ， ， 有 ， 证 Ｙ， 都
一 ＋ ， ＋ ２ ≥ ２ ２ ｏ ａ＋ ２ ｚ ｏ Ｂ ＋ ２ ｚ ｏ ￣ 。 ｘ￣ ｓ ｅ ｘ ｅｓ ｙ ｃ ｓ＂
ｌ ｏ ｆ －ｃ ｓ —ｃ ｓ ｌ ｏｙ １ Ｊ ｆ －ＣＳ －Ｃ Ｓ １ １ Ｏ￣ Ｏ ￣ 作初 等行 变换得 ： Ａ～ ｌ ０ ｓ ａ －ｓ ｆｌ于是 Ａ 的特征值 为 ０ １ ｓ ａ 从 而得 二次 型 ｉ ｎ ｉｌ ， ｎ ， ，］ ， ｎ
ｌ ０ 。
证明
…
０ Ｊ
维普资讯
Ｖｏ ．１ Ｎｏ． １ ８ ３
Ｍ ａ ｙ ２０ ０２
正定、半正定二次型的性质及应用的开题报告
研究方法：查阅资料，列出提纲，撰写论文、修改、定稿。
三、对本课题将要解决的Байду номын сангаас要问题及解决问题的思路与方法、拟采用的研究方法（技术路线）或设计（实验）方案进行说明，论文要写出相应的写作提纲
解决的主要问题：讨论正定、半正定二次型的性质；利用正定、半正定二次型的性质来研究它们的一些简单应用。
[4]曹璞.《正定矩阵的判定与性质》[J].南都学坛，1994(3)：117-129
[5]史荣昌、魏丰.《矩阵分析》[M].北京：北京理工大学出版社，2010:134-139.
[6]费伟劲.《线性代数》[M].上海:复旦大学出版社，2007:169—192.
.
五、毕业论文（设计）进程安排
2009年3月1日～2009年3月8日,查阅相关资料,学习理论知识；完成开题答辩并填写开题报告。
正定半正定二次型的性质及应用学生姓名学号所在院系数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业班指导教师2012正定半正定二次型的性质及应用一选题的目的及研究意义在高等代数中在二次型中正定二次型占有特殊的地位本文主要探讨常见的正定二次型以及半正定二次型的判定
毕 业 论 文﹙设 计﹚开 题 报 告
题 目正定、半正定二次型的性质及应用
六、指导教师意见
1．对开题报告的评语
2．对开题报告的意见及建议
指导教师（签名）：
年 月 日
所在院（系）审查意见：
负责人签字(盖公章)
年 月 日
2009年3月10日～2009年3月30日,按提纲要点，完成论文的框架；整理论文框架并完成论文雏稿。
2009年4月2日～2007年4月20日，完成整篇论文的撰写。
半正定二次型的性质及应用
半正定二次型的性质及应用
半正定二次型是微积分和矩阵代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程学等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍半正定二次型的定义、性质和应用。
半正定二次型是指对于任意非零向量x，都有x'Ax≥0成立的二次型。
其中，A是一个m×m的实对称矩阵，x是一个m维实列向量。
1. 方阵A是半正定矩阵的充分必要条件是所有的主子式都非负。
这是半正定矩阵的常见定义。
2. 若A是实对称阵，则所有的特征值都是实数。
当A是半正定矩阵时，所有的特征值都非负。
4. 半正定矩阵A可以唯一分解为A=BB'的形式，其中B是一个列满秩矩阵。
1. 最小二乘法
最小二乘法是一种用于处理数据拟合问题的常见方法。
在最小二乘法中，将问题转化为求解一个半正定二次型，通过将该二次型的导数设置为零来求解最小二乘估计值。
2. 信号处理
半正定二次型在信号处理中广泛应用。
例如，自相关函数和功率谱密度是通过求解半正定二次型来定义的。
3. 最优化问题
半正定二次型也可用于解决最优化问题。
例如，在凸优化中，半正定二次型通常被用作特殊的凸函数类别，用于定义凸和半正定的集合。
总之，半正定二次型是一种重要的数学工具，具有广泛的应用。
对于如何利用半正定二次型解决实际问题，需要具体问题具体分析。
二次型的几个应用实例
二次型的几个应用实例二次型是线性代数中的一个重要知识点，其在数学、物理和力学中都有着广泛应用。
二次型的应用在高中数学知识中就有体现，如用坐标变换把圆锥曲线、双曲线、抛物线化为标准曲线的实质是将二次型进行标准化。
事实上，二次型在证明不等式、分解多项式的因式、求解二次函数最值以及计算定积分中都有重要应用。
1、用二次型证明不等式一个实二次型是正定的，若其对任意的实数，都有。
可以通过构造正定二次型，利用其正定性来证明不等式[1]。
例1：证明不等式恒成立。
其中不全为0。
证明：将不等式移项得。
令，则我们只需证明f(x)恒大于0即可。
可知f(x)是一个实二次型，其二次型矩阵的三个顺序主子式均大于零。
因此，f(x)是正定二次型。
因此，对于任意一组不全为0的数，都有f(x)>0，即证。
2、二次型在二次曲线中的应用二次型起源于将二次曲线或二次曲面方程变型为标准型，所以二次型在二次曲线中的有最基本的应用。
因为二次曲线方程经可逆线性变换后的方程所对应的二次曲线图形与原图形是全等的即既不改变曲线的形状，又不改变大小。
因此，我们在判断二次曲线的形状时，可利用正交线性变换先把二次曲线化为标准型，然后再来判定原二次曲线的形状。
例2：判断二次曲线方程的形状并求其面积。
解：为了使方程所有项全部都是二次项，我们再设一个变量z。
令z，此时有。
将此二次型的矩阵做正交变换使其化为对角矩阵diag(4,1,-2)。
对角矩阵所对应二次型为。
由于正交变换不改变二次曲线的形状和大小，则有，进一步将其整理得。
很显然，这是一个椭圆方程。
长短轴分别为面积为，即原二次曲线方程的形状为椭圆，面积为π。
3、二次型用于因式分解因式分解是初等数学中很常见的一类问题，它在解方程，求多项式的根等问题上能一定程度上简便运算过程。
由于二次型都是二次齐次多项式，我们在这里只讨论二次多项式的因式分解。
应用下面的定理，我们能直接判断给出的二次多项式是否可以分解成几个一次多项式的乘积。
半正定二次型的判定方法(一)
半正定二次型的判定方法(一)半正定二次型的判定什么是半正定二次型？半正定二次型是一类重要的二次型，具有很多应用。
在数学中，二次型是一个包含x的二次多项式，形式为Q(x)=x T Ax，其中A是一个n*n的矩阵。
在半正定二次型中，该矩阵A满足一定的性质。
判定方法以下列出了几种常用的判定半正定二次型的方法：•利用特征值判定：矩阵A的所有特征值都大于等于零时，二次型Q(x)是半正定二次型。
•利用主子矩阵判定：对于矩阵A的每个k (1<= k <= n)，满足det(A k)>=0时，二次型Q(x)是半正定二次型。
其中A k为矩阵A的以(1,1)为起点，(k,k)为终点的主子矩阵。
•利用Sylvester判据：首先构造矩阵序列B0,B1,...,B n，其中B0=A，B1为矩阵A去掉第一行第一列后所得，如此类推。
若|B i|>=0对所有i成立，则二次型Q(x)是半正定二次型。
•利用Hessian矩阵判定：对于多元函数f(x)的Hessian矩阵H，若H是正定矩阵，则f(x)是严格凸函数，也就是二次型Q(x)是半正定二次型。
实际应用半正定二次型在各个领域都有广泛的应用，包括：•在优化问题中，半正定二次型可以用来描述目标函数和约束条件，从而找到最优解。
•在信号处理中，半正定二次型被用来描述信号的能量、功率和相关性等性质。
•在机器学习中，半正定二次型可以作为一种核函数，用于支持向量机、主成分分析等算法。
•在统计学中，半正定二次型可以用来估计协方差矩阵和相关性矩阵。
以上只是一些应用的例子，实际上半正定二次型的应用非常广泛。
小结半正定二次型是一类重要的二次型，有许多判定方法可以用来判断其性质。
这些方法包括特征值判定、主子矩阵判定、Sylvester判据和Hessian矩阵判定等。
半正定二次型在各个领域都有广泛的应用。
通过研究半正定二次型，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
特征值判定特征值判定是判断半正定二次型的最常用方法之一。
正定二次型不等式利普希茨-概述说明以及解释
正定二次型不等式利普希茨-概述说明以及解释1.引言1.1 概述部分：正定二次型不等式在数学和应用领域中具有重要的意义，它涉及到正定二次型和利普希茨条件的概念。
正定二次型是一类常见的二次函数形式，具有独特的性质和应用价值。
利普希茨条件则是一种用来控制函数增长速度的条件，对于分析函数的性质和求解问题具有重要作用。
本文将深入探讨正定二次型不等式的利普希茨性质，通过对正定二次型的定义、利普希茨条件的介绍以及正定二次型不等式的利普希茨性质进行详细讨论和分析，旨在揭示正定二次型不等式的特性和应用价值。
通过本文的阐述，读者将能更深入地了解正定二次型不等式的利普希茨特性，以及该性质在数学和应用领域中的重要性和潜在应用价值。
希望本文能够为相关领域的研究和应用提供一定的参考和启发。
1.2 文章结构本文将分为三个部分来讨论正定二次型不等式的利普希茨性质。
首先，我们将在第二部分介绍正定二次型的定义，为后续内容打下基础。
其次，将在第三部分中介绍利普希茨条件的概念及其在正定二次型不等式中的应用。
最后，我们将在第四部分探讨正定二次型不等式的利普希茨特性，总结其性质并展望其在实际应用中的潜在价值。
通过对这三个部分的全面讨论，我们将深入探究正定二次型不等式的利普希茨特性，为相关领域的研究和应用提供理论支持。
1.3 目的本文旨在探讨正定二次型不等式的利普希茨性质，通过对正定二次型的定义、利普希茨条件的介绍以及正定二次型不等式的利普希茨性质进行详细分析，展示其在数学理论和实际应用中的重要性和价值。
同时，希望通过本文的研究，能够为相关领域的学者和研究人员提供一定的参考和启发，促进相关领域的研究和发展。
在探讨完正定二次型不等式的利普希茨特性后，我们也将展望其在不同应用领域的潜在价值和未来发展方向，为读者提供更广阔的思考空间和研究方向。
希望通过本文的撰写，能够深入理解正定二次型不等式的利普希茨特性，激发更多对相关领域的兴趣和研究热情。
2.正文2.1 正定二次型的定义：在数学中，二次型是指由n个变量的二次多项式构成的函数。
正定二次型不等式利普希茨
正定二次型不等式利普希茨全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正定二次型不等式利普希茨正定二次型是数学中的一种重要概念，它在优化问题、控制理论等领域中有着广泛的应用。
在研究正定二次型的性质时，利普希茨连续性是一个重要的概念。
本文将简要介绍正定二次型以及利普希茨连续性，并讨论正定二次型不等式的利普希茨性质。
正定二次型是一个关于变量向量的二次型函数，具有很多重要的性质。
在数学中，一个二次型函数是指一个关于自变量的二次齐次多项式函数。
在正定二次型中，二次项的系数矩阵是一个对称正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0。
正定二次型在优化问题、控制理论等领域中有着广泛的应用，因为它具有很好的性质和结构。
利普希茨连续性是一个函数在某个区间上的连续性概念。
一个函数f(x)在区间[a, b]上是利普希茨连续的，如果存在一个正数L，使得对于所有的x, y∈[a, b]，都有|f(x) - f(y)| ≤ L |x - y|。
利普希茨连续性是比一致连续性更强的一种连续性概念，它可以更好地描述函数在区间上的变化情况。
正定二次型不等式的利普希茨性质是指一个正定二次型函数在某个区间上的利普希茨连续性。
正定二次型函数一般是一个关于变量向量的二次型函数，因此它的性质和一般函数有所不同。
正定二次型不等式的利普希茨性质可以用来描述正定二次型函数在某个区间上的变化情况，从而更好地理解和分析这类函数。
正定二次型不等式的利普希茨性质具有很多重要的应用。
在优化问题中，正定二次型函数的利普希茨性质可以帮助我们更好地理解优化问题，设计更有效的优化算法。
在控制理论中，正定二次型函数的利普希茨性质可以帮助我们设计更稳定的控制系统，提高系统的性能和鲁棒性。
第二篇示例：正定二次型不等式利普希茨，是数学中一个非常重要的概念。
在数学分析、优化理论和控制理论中，正定二次型函数是一类非常常见的函数形式，它们在描述物理现象、解决实际问题以及优化算法中都有广泛的应用。
证明二次型正定的充要条件
证明二次型正定的充要条件咱们来聊聊二次型正定的充要条件这事儿。
二次型正定就像是一个班级里每个学生都特别优秀，没有拖后腿的。
那怎么判断它正定呢？这里面可大有讲究。
正定的一个重要充要条件就是它的矩阵的所有顺序主子式都大于零。
这顺序主子式就好比是一个家族里的各个小家庭，每个小家庭都得过得红红火火才行。
比如说一个3×3的矩阵，它有三个顺序主子式，就像一个大家庭里有三代人，第一代人得过得好，第二代人在第一代的基础上也得过得好，第三代人在前面两代的基础上也得顺风顺水。
要是有一个顺序主子式不大于零，那就像这个家族里有一代出了问题，整个家族就不能说是那种完全兴旺的状态了，对应的二次型也就不正定了。
还有一个充要条件是二次型的标准形的系数全为正。
这标准形就像是给二次型换了一身新衣服，把它最本质的样子展现出来。
如果标准形的系数全是正的，那就好比新衣服上的每一个装饰都是好的，都是积极向上的。
要是有一个系数是负的或者是零，那就像新衣服上有个破洞或者有个暗淡无光的地方，这个二次型就不是正定的了。
这就好像你去参加一个很重要的聚会，你希望自己全身都是亮点，要是有一点瑕疵就会影响整体的感觉。
另外呢，二次型正定还和它的特征值有关系。
如果二次型矩阵的所有特征值都大于零，那这个二次型就是正定的。
这特征值啊，就像是二次型的灵魂特点。
你可以把二次型想象成一个有很多特性的生物，特征值就是它最核心的那些特性。
要是所有的核心特性都是积极的，大于零的，那就说明这个生物整体是充满活力的，也就是二次型是正定的。
要是有一个特征值小于零，那就像是这个生物有一个致命的弱点，那这个二次型就不正定了。
再从另一个角度看，正定二次型还有这样的性质，对于任意的非零向量x，二次型f(x)=x^TAx>0。
这就好像是一个筛选器，不管什么样的非零输入，出来的结果都是积极的、大于零的。
如果有一个非零向量x使得f(x)≤0了，那就像这个筛选器出了故障，这个二次型就不是正定的了。
本科毕业论文_正定二次型与不等式
摘要以正定二次型与半正定二次型理论为基础, 证明了若干二次齐次代数不等式或加权不等式、矩阵或行列式不等式, 以与几何不等式, 包括国外的一些数学奥林匹克试题.关键词: 矩阵; 二次型; 正定; 半正定; 不等式AbstractBased on the theory of positive definite quadratic and semi-positive quadratic, we prove some second homogeneous algebra inequality or weighted inequality, matrix or determinant inequality, and geometric inequality, which includes two domestic and international mathemat-ical Olympiad questions.Key words: matrix ; quadratic ; positive definite;semi-positive definite quadratic;inequ-ality目录摘要 (I)Abstract (II)0 引言 (1)1 正定二次型与半正定二次型的定义和性质 (1)2 若干代数不等式 (2)3 几个矩阵(或行列式)不等式64 两个几何不等式 (10)参考文献 (13)0 引言二次型理论作为线性代数中的基础知识[1~3], 其应用非常广泛. 而且二次型的理论在数学的其他分支与物理、力学、工程技术中也常常用到. 另一方面, 不等式作为一个极具魅力的领域, 对其研究也是一直长盛不衰, 除了一些不等式研究成果大量涌现外, 一些新的证明不等式的方法不时面世. 文[4~6]是这方面的一个真实写照. 本文主要讨论如何利用二次型的正定性或半正定性证明有关代数的、或几何的不等式, 也是对如何利用高等数学中的观点和方法来研究初等数学问题作一个尝试.1 正定二次型与半正定二次型的定义和性质为方便起见, 首先给出二次型的相关概念与性质, 这些性质的证明均可见[7]. 定义数域P 上的n 元二次齐次多项式1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑(,,1,2,,)ij ji a a i j n ==称为数域P 上的一个n 元二次型. 在不致引起混淆时简称二次型.当P 是实数域时, 二次型12(,,,)n f x x x 称为实二次型. 对于一个n 元实二次型12(,,,)n f x x x , 如果对任意不全为零的实数12,,,n c c c 都有12(,,,)0n f c c c >, 则称12(,,,)n f x x x 为正定二次型. 如果对任意实数12,,,n c c c 都有12(,,,)0n f c c c ≥, 则称12(,,,)n f x x x 为半正定二次型.如果记()ij n n A a ⨯=, 12(,,,)n X x x x '=. 则二次型12(,,,)n f x x x 可简单地表示为12(,,,)n f x x x X AX '=,其中, 对称矩阵A 称为二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵, 当实二次型12(,,,)n f x x x 正定(或半正定)时, 也称实对称矩阵A 正定(或半正定).定理1n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是: 矩阵A 的顺序主子式全大于零 ．定理2n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是: 矩阵A 的特征值全大于零． 定理3 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是: 存在n 级实可逆矩阵P , 使得P P A '=．以上三个定理在任何一本高等代数教材中都可以见到. 关于实二次型半正定性的判定有如下等价条件[2]. 定理4 设A 是n 阶实对称矩阵, 则下列条件等价: (ⅰ)A 是半正定的; (ⅱ)A 合同于000r E ⎛⎫⎪⎝⎭; (ⅲ) 存在实可逆矩阵C , 使{}12diag ,,,n C AC d d d '=,其中,0(1,2,,)i d i n =≥;(ⅳ)A 的所有主子式非负, 且至少有一个主子式为零; (ⅴ)A 的所有特征值非负, 且至少有一个特征值为零.2 若干代数不等式由于二次型的正定性半正定性都是以不等式形式出现的, 因而二次型在不等式的证明中应该有其用武之地. 这里将用二次型的半正定性证明若干代数不等式.例2.1 设,,a b c ∈, 证明222a b c ab bc ca ++++≥. (1)证明 设222(,,)f a b c a b c ab bc ca =++---, 则(,,)f a b c 是一个实二次型, 其矩阵111221112211122A ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 因为矩阵A 的一阶主子式10>, 二阶主子式113201412-=>-, 且0A =, 所以A 是半正定的, 从而由定理4(ⅳ)可得二次型(,,)f a b c 半正定, 故不等式(1)成立.诚然, 这种证法并不比通常所用的初等数学证法简单, 但它却提供了证明二次齐式不等式的一种全新思路. 使用这种方法一般是先从结论出发构造一个相应的二次型, 写出二次型的矩阵, 然后用有关定理判断该二次型的矩阵正定或半正定, 从而得到不等式.例2.2 证明: 对任意n 个实数12,,,n x x x , 有不等式2211()nnii i i n xx ==∑∑≥. (2)证明 设221211(,,,)()nnn ii i i f x x x n x x ===-∑∑,则12(,,,)n f x x x 是一个实二次型, 易知二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为111111111n n A n ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪⎪---⎝⎭. 将矩阵A 的第2,3,,n 列分别加到第1列,再将第23,n ，，行减去第 1行, 得A ～01100000n n --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 于是矩阵A 的特征值为 10,,,n n n -, 因而A 为半正定矩阵,由定理4(ⅴ)可知，二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的,从而12(,,,)0n f x x x ≥. 这就证明了不等式(2).例2.3 设1p ,2p ,3p ,1q ,2q ,3q 皆为实数. 求证: 不等式222123123p x p y p z q yz q zx q xy ++++≥ (3)对任意实数,,x y z 成立的充要条件是10p ≥,20p ≥,30p ≥,22314p p q ≥,23124p p q ≥,21234p p q ≥. 且2221122331231234p q p q p q q q q p p p +++≤.证明 设二次型222123123(,,)f x y z p x p y p z q yz q zx q xy =++---,则其矩阵为132321213112211221122p q q A q p q q q p ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 因为对任意实数,,x y z , (,,)0f x y z ≥等价于A 半正定; 又A 半正定等价于A 的所有主子式皆非负. 而A 的三个一阶主子式分别为1p 、2p 、3p , 三个二阶主子式分别为13212332112142p q p p q q p -=--,21223113112142p q p p q q p -=--,12231223112142p q p p q q p -=--,其三阶主子式即2221231122331234A p p p p q p q p q q q q =----.故不等式(3)对任意实数,,x y z 成立的充要条件是10p ≥,20p ≥,30p ≥,22314p p q ≥,23124p p q ≥,21234p p q ≥. 且2221122331231234p q p q p q q q q p p p +++≤.例2.3是文[8]证明的一个主要不等式, 但其证明过程十分冗繁. 而这里用半正定二次型理论给出的证明则十分简捷.例2.4 证明不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥ (4)对任意的,,x y z ∈成立的充要条件是0A ≥, 0B ≥, 0C ≥, 2222()AB BC CA A B C ++++≥.证明 设二次型(,,)()()()()()()f x y z A x y x z B y z y x C z x z y =--+--+--,展开,整理, 得222(,,)()()()f x y z Ax By Cz A B C yz B A C zx C A B xy =+++--+--+--. 记1p A =,2p B =,3p C =,1q B C A =+-,2q A C B =+-,3q A B C =+-,则不难知道2222221232313124442()()p p q p p q p p q AB BC CA A B C -=-=-=++-++.又容易验证22212311223312340p p p p q p q p q q q q ----=.故由例2.3的结论即知不等式(4)对任意的,,x y z ∈成立的充要条件是0A ≥, 0B ≥, 0C ≥, 2222()AB BC CA A B C ++++≥.例2.4是准备参加第29届国际中学生数学竞赛(IMO)中国国家队选拔考试题. 例2.5 证明: 对任意,,a b c ∈, 有不等式222332222()2()3()()a b c ab bc ca a b c ab bc ca +++++++++≥. (5)证明 设二次型222222(,,)()()2()()f x y z a b c x y z ab bc ca xy yz zx =+++++++++,则有222(,,)()()()f x y z ax by cz bx cy az cx ay bz =++++++++.显然二次型(,,)f x y z 是半正定的, 而(,,)f x y z 的矩阵为222222222a b c ab bc ca ab bc ca A ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ⎛⎫++++++ ⎪=++++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭,因此, 0A ≥. 但222332222()2()3()()A a b c ab bc ca a b c ab bc ca =+++++-++++,故不等式(5)成立.3 几个矩阵(或行列式)不等式因为二次型可用对称矩阵表示, 所以与对称矩阵(或行列式)有关的不等式当然可以考虑用二次型理论处理. 请看下面几个例子.例3.1 设(1,2,,;1,2,,)ij a i n j m ==皆为实数, 证明21121111221221112121110mmmk k k k knk k k mm mk k k k knk k k mmmkn k kn k knk k k aaaaaaaa aaaaaaa=========∑∑∑∑∑∑∑∑∑≥. (6)证明 考虑二次型22121111(,,,)()2()n mmn kiiki kji j i k i j nk f x x x a x aa x x ==<==+∑∑∑∑≤≤.不难知道21211221(,,,)()0mn i i in n i f x x x a x a x a x ==+++∑≥,因此二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的. 由定理4(ⅳ), 二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵A 的所有主子式非负.而二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为2112111122122111212111m mmk k k k kn k k k mmmk k k k kn k k k mmmkn k kn k kn k k k a a a a a a a aa a A a a aaa =========⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑,则0A ≥, 故不等式(6)成立.特别地, 当2n =时2112112212110mmk k k k k mm k k k k k aaaA aaa=====∑∑∑∑≥,所以2221212111()mmmk k k k k k k a a a a ===⋅∑∑∑≤. (7)再记12,(1,2,,)k i k i a a a b i n ===, 则(7)式即著名的Cauchy 不等式222111()nnni i ii i i i a b a b ===⋅∑∑∑≤.从这里可以看出,不等式(6)是Cauchy 不等式的一个推广.例3.2 设()2f x x Ax x C β''=++, 其中, A 为n 阶实对称矩阵, C 为实常数,12(,,,)nn x x x x '=∈, 12(,,,)n b b b β'=为n中的固定向量, 证明:(1) 任给nx ∈, 恒有0()f x ≥的充要条件是:10C A ββ-'-≥, 且任给nx ∈恒有()0f x >的充要条件是: 10C A ββ-'->;(2) 存在0nx ∈使0()0f x ≤得充要条件是: 10C A ββ-'-≤, 且存在0nx ∈, 使0()0f x <的充要条件是: 10C A ββ-'-<.证明 首先注意到正定矩阵的行列式大于零, 因而正定矩阵一定是可逆的, 所以1A -有意义, 又由x x ββ''=, 11()A A --'=不难得到111()()()f x x A A x A C A ββββ---''=+++-, (8)且由A 的正定性知11()()0x A A x A ββ--'++≥(∀nx ∈), 于是若任给nx ∈, 恒有0()f x ≥, 则由(8)式即得11()0C A f A βββ--'-=-≥; 反之,如果10C A ββ-'-≥, 则由(8)式与A 的正定性即知, 任给nx ∈恒有0()f x ≥, 故(1)的前一结论得证. 将刚才推理过程中的“≥”改为“>”, 即证得(1)的后一结论. 而(2)的两个结论分别是(1)的两个结论的逆否命题, 既然(1)的两个结论成立, 当然(2)的两个结论也成立.例3.3 设12,,,n A A A 皆为p m ⨯矩阵, 且其中至少有一个是列满秩的, 则对任意n 个m 维列向量12,,,mn βββ∈有11111()()()nnnni i i i i i i i i i i i A A A A ββββ-====''''⋅⋅∑∑∑∑≤. (9)等式成立当且仅当存在0mx ∈使0(1,2,,)i i A x i n β==.证明 考虑m 元实二次函数1()()()ni i i i i f x A x A x ββ='=--∑. (10)由(),()(1,2,,)i i i i i i i i i i A x x A x A x A A x i n βββββ''''''''''-=-===(注意:i i x A β''是一个实数). 不难得到111()()2()n n ni i i i i i i i i f x x A A x A x βββ===''''=-+∑∑∑. (11)显然, 由(10)式知, 任给mx ∈, 有()0f x ≥, 又由定理3知, 1ni i i A A ='∑是m 阶正定矩阵, 故由(11)式与例7即得不等式(9), 且结合例3.2即知, 不等式(9)中等式成立当且仅当存在0mx ∈, 使0()0f x =,但由(10)式知0()0f x =当且仅当00(1,2,,)i i A x i n β-==.故不等式(9)中等号成立当且仅当存在0mx ∈, 使得0(1,2,,)i i A x i n β==.特别地, 当1p m ==时, 由不等式(9)也得到著名的Cauchy 不等式. 因此, 不等式(9)是Cauchy 不等式的另一个推广.例3.4 设()ij n n T t ⨯=是一个n 阶实矩阵. 求证:2222121()ni i ni i T t t t =+++∏≤. (12)证明 首先证明命题:若A 是正定矩阵, 则1122nn A a a a ⋅⋅⋅≤, 其中1122,,,nn a a a 是A 的主对角线上的元素.事实上, 将A 分块为1n nn AA a αα-⎛⎫= ⎪'⎝⎭, 其中1n A -是A 的1n -阶子矩阵, 因为A 正定, 所以1n A -也正定, 于是11111110101n n n n nn n A I I A A A a A αααα--------==⋅⋅=''- 1111110()0n n nn n nn n A A a A a A αααα------'=-'-, 因为10n A ->, 11n A --正定, 则对0α≠, 有110n A αα--'>; 当0α=时, 110n A αα--'=. 于是110n A αα--'≥. 这样便有1nn n A a A -≤. 等式成立当且仅当0α=. 由于1n A -正定, 重复上面的证明即得1,111nn n n A a a a --⋅⋅⋅≤, 即1122nn A a a a ⋅⋅⋅≤.现在证明不等式(12). 若0T =, 则不等式(12)显然成立. 若0T ≠, 则T T '是正定的, 由刚才所证命题即知不等式(12)也成立.特别地，设,,a b c ∈, 取 a b c T c a b b c a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则有3333T a b c abc =++-, 于是由不等式(12)即得以下一个有趣的不等式33322223(3)()a b c abc a b c ++-++≤. (13)可以证明, 不等式(13)中等式成立的充要条件是: 0ab bc ca ++=.4两个几何不等式几何不等式中也不乏可用实二次型处理的例子. 这里仅举两例以说明.例4.1 设γβα，，是一个三角形的三个角,证明: 对任意实数z y x ，，,都有2222cos 2cos 2cos x y z xy xz yz αβγ++++≥. (14)证法1 设二次型222(,,)2cos 2cos 2cos f x y z x y z xy xz yz αβγ=++---,则其矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1cos cos cos 1cos cos cos 1γβγαβαA , 因παβγ++=, 所以cos cos()γαβ=-+, 代入矩阵A 并对A 进行初等行变换, 得221cos cos 1cos cos cos 1cos()0sin sin sin cos cos()10sin sin sin A αβαβααβααββαβαββ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭ 1cos cos 0sin sin 000αβαβ--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭. 于是矩阵A 的特征值为0,1,αsin , 它们均不小于等于0, 从而由定理4(ⅴ)可知二次型(,,)f x y z 是半正定的, 因此对于任意实数,,x y z , 都有(,,)0f x y z ≥. 不等式(14)得证.证法2 因为矩阵A 的一阶主子式10>, 三个二阶主子式分别为21cos 1cos cos 1ααα-=--, 21cos 1cos cos 1βββ-=--,21cos 1cos cos 1γγγ-=--. 显然其二阶主子式皆大于零. 又其三阶主子式A =2221cos cos cos 2cos cos cos αβγαβγ----⋅⋅.而παβγ++=, )cos(cos βαγ+-=, 所以2221cos cos cos ()2cos cos cos()A αβαβαβαβ=---++⋅⋅+= 2222221cos cos cos cos sin sin αβαβαβ--+⋅-=2222221cos cos cos cos (1cos )(1cos )0αβαβαβ--+⋅--⋅-=.这就是说, 矩阵A 的所有主子式都非负, 且其三阶主子式等于零, 因而由定理4(ⅳ), 二次型(,,)f x y z 是半正定的. 故对任意实数,,x y z , 不等式(14)成立.不等式(14)即著名的三角形角的嵌入不等式[10].例4.2 设,,a b c 分别为三角形的三边长. 证明:对任意实数,,x y z 有不等式222()()()()()()0a x y x z b y z y x c z x z y --+--+--≥. (15)证明 在例 2.4中, 令222,,A a B b C c ===, 显然2220,0,0a b c >>>. 又由海伦(Heron)公式, 不难得到22222244422()()160a b b c c a a b c S ++-++=>,其中S 为三角形的面积, 故由例2.4结论可知不等式(15)成立.由不等式(15)我们可以得到一系列涉与三角形三边长的不等式. 例如, 取x a =, y b =, z c =, 代入不等式(15)即得222()()()()()()0a a b a c b b c b a c c a c b --+--+--≥,展开整理, 则有不等式444333()()()()a b c abc a b c a b c b c a c a b ++++++++++≥.又如, 当,,a b c 是一个三角形的三边长时, 因为2b c b c a =++>+>,>同理>>个三角形的三边长, 于是由不等式(15)知, 不等式()()()()()()0a x y x z b y z y x c z x z y --+--+--≥ (16)对任意实数,,x y z 都成立.在不等式(16)中, 取x a =, y b =, z c =, 则有()()()()()()0a a b a c b b c b a c c a c b --+--+--≥,展开整理即得222()()()3a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤. (17)不等式(17)正是第6届国际中学生数学奥林匹克(IMO)试题.参考文献[1] 王萼芳, 石明生．高等代数[M]. : 高等教育, 1999: 210~237.[2] 大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. : 高等教育, 2003.[3] 禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M], : 高等教育, 1999: 383.[4] 哈代, 特伍德, 波利亚. 不等式[M]. 越民义, 译. :科学, 1965.[5] D.S.Mitrionvic. 解析不等式[M], 小萍, 王龙, 译. : 科学出版杜, 1987: 75.[6] 匡继昌. 常用不等式[M]. 第4版, : 科学技术. 2004.[7] 文杰. 实二次型的半正定性与其应用[J], 渤海大学学报, 2004, 25(02).[8] 建. 三元二次型的两个定理与其应用[J]. 中学数学. 1996, 20(05).[9] 卢小宁, 萧振纲. 多元二次函数的一个性质与其应用[J]. 数学理论与应用, 2001, 21(04).[10] 冷岗松. 用二次型理论研究一个初等不等式[A]. 见: 世明. 中国初等数学研究文集. : 教育,1992: 191.。
矩阵的有定性及其应用
矩阵的有定性及其应用摘要：矩阵的有定性是矩阵论中的一个重要概念, 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性，而在本文中，主要讨论阐述的是实矩阵的正定性，半正定性以及它们的实际应用.本文在介绍实矩阵的正定性，半正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性及半正定性的应用.全文分三章,第一章,矩阵的正定性及半正定性的定义．在第二章,正定性矩阵和半正定性矩阵的判别方法,第三章，在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．关键字：矩阵实矩阵正定性半正定性应用一、二次型有定性的概念设P 是一个数域, ij a P ∈, n 个文字12,,,n x x x 的二次齐次多项式2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++222223232222n n a x a x x a x x +++++ 2nn na x + 11nnij iji j a x x ===∑∑ (,,1,2,,)ijji aa i j n ==称为数域P 上的一个n 元二次型, 简称二次型. 当ij a 为实数时, 称f 为实二次型. 当ij a 为复数时, 称f 为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即222121122(,,,)n n nf x x x d x d x d x =++++ 称f 为标准型.定义1二次型12(,,,)n f x x x = 可唯一的表示成12(,,,)n f x x x x Ax '=其中, 12(,,,)n x x x x '= , ()ij n n A a ⨯=为对称矩阵, 称上式二次型的矩阵形式, 称A 为二次型的矩阵(都是对称矩阵), 称A 的秩为二次型f 的秩. 定义2 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称AXX f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、矩阵正定性及半正定性的一些判定方法1）矩阵正定性的一些判别方法定理 1设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =定理5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。
积分不等式的证明方法
积分不等式的证明方法摘要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality,integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem,Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty1.引言不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．2.几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．2.1 Cauchy-Schwarz 不等式无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz 不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间()P F ,,Ω中的以及n 维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．定理2.1[1] 设()f x , ()g x 在[,]a b 上连续,则有[()()b af xg x dx ⎰]2≤{2[()]b af x dx ⎰}⋅ {2[()]bag x dx ⎰}．证明：要证明原不等式成立,我们只需要证()()()()2220bbbaaa fx dx g x dx f x g x dx ⎡⎤⋅-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 成立． 设()()()()()222tttaa a F t f x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,则只要证()()F b F a ≥成立,由()F t 在[,]a b 上连续,在(),a b 内可导,得()()()()()()()()()22222t t taaaF t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx'=+-⎰⎰⎰()()()()()()()()22222ta f t g x f t g t f x g x g t f x dx ⎡⎤=-+⎣⎦⎰()()()()20ta f t g x g t f x dx =-≥⎡⎤⎣⎦⎰．(2.1)由(2.1)式可知()F t 在[,]a b 上递增,由b a >,知()()F b F a >,故原不等式成立． 证毕实际上关于Cauchy-Schwarz 不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz 不等式能够改写成以下行列式的形式()()()()()()()()0b baabbaaf x f x dxg x f x dx f x g x dxg x g x dx≥⎰⎰⎰⎰,由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出Cauchy Schwarz -不等式的推广形式．定理2.2[2] 设()f x ,()g x ,()h x 在[],a b 上可积,则()()()()()()()()()()()()()()()()()()0bbbaaabbbaaabbbaaaf x f x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxg x h x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．证明：对任意的实数1t ,2t ,3t ,有()()()()2123bat f x t g x t h x dx ++⎰()()()222222123bbbaaat f x dx t g x dx t h x dx=++⎰⎰⎰()()()()()()1213232220bbb aaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++≥⎰⎰⎰．注意到关于1t ,2t ,3t 的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为()()()()()()()()()()()()()()()2220bbbaaab bba aabbbaaaf x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dxgx dxh x g x dx f x h x dx g x h x dxh x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 证毕以上的推广是将Cauchy-Schwarz 不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz 不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．除了Cauchy-Schwarz 不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young 不等式,相较于Cauchy-Schwarz 不等式我们对Young 不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young 不等式进行一些研究．2.2 Young 不等式Young 不等式,以及和它相关的Minkowski 不等式,HÖlder 不等式,这些都是在现代分析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young 不等式的证明．定理 2.3[3] 设()f x 在[0,]c （0c >）上连续且严格递增,若(0)0f =,[0,]a c ∈且[0,()]b f c ∈,则100()()abf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰,其中1f -是f 的反函数,当且仅当()b f a =时等号成立．证明：引辅助函数0()()ag a ab f x dx =-⎰, (2.2)把0b >看作参变量,由于()()g a b f a '=-,且f 严格递增,于是当 10()a f b -<<时,()0g a '>；当 1()a f b -=时,()0g a '=；当 1()a f b ->时,()0g a '<． 因此 当1()a f b -=时,()g a 取到g 的最大值,即()()()()b f g x g a g 1m ax -=≤ (2.3)由分部积分得11()()11(())()()()f b f b g f b bf b f x dx xdf x ----=-=⎰⎰,作代换()y f x =,上面积分变为110(())()bg f b f y dy --=⎰, (2.4)将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得110()()()a bbab f x dx f y dy f x dx ---≤=⎰⎰⎰,即10()()a bf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰． 证毕3.定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．3.1 利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．定理3.1 若()t ϕ定义在间隔(),m M 内,且()0t ϕ''>,则()t ϕ必为下凸函数．定理3.2 设()f x 在[,]a b 上为可积分函数,而()m f x M ≤≤．又设()t ϕ在间隔m t M ≤≤内为连续的下凸函数,则有不等式()()()11b b a af x dx f x dx b a b aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰．例3.1[4] 设()f x 在[],a b 上连续,且()0f x >,求证：()()()21bba a f x dx dxb a f x ≥-⎰⎰． 证明: 取()u u 1=ϕ, 因为()210u u ϕ'=-<,()320u uϕ''=>,()0>u 即在0u >时,()y u ϕ=为凸函数,故有()()()11b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭⎰⎰， 即()()1babadxf x b ab a f x dx-≤-⎰⎰，故()()()21b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．3.2 辅助函数法辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz 不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．[5]设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减,证明：对)1,0(∈∀a 时,有： ()10()af x dx a f x dx ≥⎰⎰．证明：令()01()xF x f t dt x =⎰ ()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导 则()()()02xf x x f t dtF x x ⋅-'=⎰ ()()2f x x f x xξ⋅-⋅=()()f x f x ξ-=, (0)x ξ<<． 因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意(0,1)a ∈,有()(1)F a F ≥． 即()1001()af x dx f x dx a≥⎰⎰,两边同乘a ,即得()100()a f x dx a f x dx ≥⎰⎰． 证毕 本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间)1,0(上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减非负,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有: ()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰． 证明：令()01()xF x f t dt x=⎰,()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导, 则 ()()()02x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰ ()()2f x x f xx ξ⋅-⋅=()()f x f xξ-=,(0)x ξ<<．因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意10<≤<b a ,有()()F a F b ≥,即()()0011a bf t dt f t dt a b≥⎰⎰． (3.1)由f 非负,可得()()dx x f dx x f bab ⎰⎰≥0． (3.2)结合(3.1)式和(3.2)式可得()()011a ba f x dx f x dx a b≥⎰⎰．即()()0aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰． 证毕 [6] 函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．证明: 构造辅助函数()()()()2xxa adt x f t dt x a f t φ=--⎰⎰, 则 ()()()()()()12xx aa dt x f x f t dt x a f t f x φ'=+⋅--⎰⎰()()()()2xx x aa a f x f t dt dt dt f t f x =+-⎰⎰⎰()()()()20xaf x f t dt f t f x ⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦⎰, 所以()x φ是单调递增的,即()()0b a φφ≥=,故()()()21bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 [7]设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2． 证明: 原不等式即为()()02≥+-⎰⎰baba dx x fb a dx x xf ,构造辅助函数()()()2t ta a a t F t xf x dx f x dx +=-⎰⎰ ,[],t ab ∈, 则()()()()122t a a t F t tf t f x dx f t +'=--⎰ ()()()12t a t a f t f x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()()12t a f t f ζ=-- , (),a t ζ∈．因为a t ζ≤≤,()f x 单调增加,所以()0F t '≥．故()F t 在[],a b 上单调递增,且()0F a =, 所以对(,]x a b ∀∈,有()()0F x F a ≥=．当x b =时,()0F b ≥．即()()02bbaaa b xf x dx f x dx +-≥⎰⎰,故原不等式成立, 证毕通过以上几道题目的观察我们可以发现：1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．3.3 利用重要积分不等式在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz 不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．[8]函数()f x 在[]0,1上一阶可导,()()100f f ==,试证明：()()112214f x dx f x dx '≤⎰⎰．证明：由()()()00xf x f t dt f '=+⎰和()()()11x f x f t dt f '=-+⎰可得()()()()()21222201xx xfx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤⎰⎰⎰⎰, 1(0,)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()()()()()21111222201(1)x x x fx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤-⎰⎰⎰⎰, 1(,1)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因此()()112220018f x dx f x dx '≤⎰⎰,(3.3)()()112210218f x dx f x dx '≤⎰⎰． (3.4) 将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到()()112214f x dx f x dx '≤⎰⎰． 证毕[2]设()f x ,()g x 在[],a b 上可积且满足：()0m f x M <≤≤,()0ba g x dx =⎰,则以下两个积分不等式()()()()()()()22222bb b baaaaf xg x dxf x dxg x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰及()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰成立．证明：取()1h x =,由()0b ag x dx =⎰及定理2.2知()()()()()()()()2200bbbaaab baabaf x dxg x f x dxf x dxf xg x dxg x dx f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()222220bbbbbaa a a ab a fx dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx=-⋅---≥⎰⎰⎰⎰⎰．因此()()()()()()()()222221bbbbbaaaaaf xg x dxfx dx g x dx f x dxg x dx b a≤--⎰⎰⎰⎰⎰． (3.5)由()m f x ≤可知()()()222baf x dxm b a ≥-⎰,因而()()()()()()()22222bbbbaaa a f x g x dxfx dx g x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰．由于()0m f x M <≤≤,因此()2222M m M m f x +-⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得()()()2f x Mm M m f x +≤+,两边同时积分得 ()()()()2bbaaf x dx Mm b a M m f x dx +-≤+⎰⎰,由算数-几何平均值不等式可知 ()()()()222bbaaf x dx Mm b a f x dx Mm b a ⋅-≤+-⎰⎰,于是()()()()()2224babab a f x dxM m Mmf x dx-+≤⎰⎰．则()()()221bbaaf x dxg x dx b a -⎰⎰()()()()()()2222bbbabaa af x dxfx dx g x dxb a f x dx=-⎰⎰⎰⎰()()()2224bbaaMmf x dxg x dx M m ≥+⎰⎰．(3.6)由式(3.5)和式(3.6)可知()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰． 证毕以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz 不等式颇为有用,但要注意选取适当的()x f 与()x g ,有时还需对积分进行适当的变形．3.4 利用积分中值定理积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．定理 3.3（积分第一中值定理） 若()f x 在[,]a b 上可积且()m f x M ≤≤,则存在[,]u m M ∈使()()ba f x dx ub a =-⎰成立.特别地,当()f x 在[,]a b 上连续,则存在[,]c a b ∈,使()()()baf x dx f c b a =-⎰成立．定理 3.4（积分第一中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,()x f 连续,()x g 在[]b a ,上不变号,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立()()()()⎰⎰=babadx x g f dx x g x f ε．定理3.5（积分第二中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,且()x f 为单调函数,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立 ()()()()()()⎰⎰⎰+=εεabbadx x g b f dx x g a f dx x g x f ．设函数()f x 在区间[]0,1上连续单调递减,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰,其中()0≥x f ． 用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．证明：由积分中值定理知 ()()10af x dx f a ξ=⋅⎰, []10,a ξ∈； ()()()2baf x dx f b a ξ=⋅-⎰,[]2,a b ξ∈；因为12ξξ≤,且()f x 递减,所以有()()12f f ξξ≥,即 ()()()0111a b ba a f x dx f x dx f x dx ab a b ≥≥-⎰⎰⎰, 故 ()()0a baa f x dx f x dxb ≥⎰⎰． 证毕设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2． 同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．证法一证明: ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()2222a bb a b a a b a b x f x dx x f x dx ++++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰． 由定理3.4可知,分别存在1,2a b a ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2,2a b b ξ+⎛⎫∈⎪⎝⎭, 使得 ()()22122a ba baa ab a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰,()()22222b b a b a b a b a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰, 因此()()()()()22128ba ab a b x f x dx f f ξξ-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰,由于()x f 在[]1,0单调增加的,且1201ξξ<<<,所以有 ()()210f f ξξ-≥．从而()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 证法二证明:由定理3.5可知：存在(),a b ξ∈,使得 ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()22b a a b a b f a x dx f b x dx ξξ++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()()f a f b a b ξξ=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．由()x f 单调增加及(),a b ξ∈知()()0f a f b -<,0a ξ->,0b ξ-<．可得()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．3.5 利用积分的性质关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．[9]设()f x 在[]0,1上导数连续,试证：[]0,1x ∀∈,有()()()10f x f x f x dx ⎡⎤'≤+⎣⎦⎰． 证明：由条件知()f x 在[]0,1上连续,则必有最小值,即存在[]00,1x ∈,()()0f x f x ≤,由()()()00xx f t dt f x f x '=-⎰⇔()()()00xx f x f x f t dt '=+⎰,()()()00x x f x f x f t dt '=+⎰≤()()00x x f x f t dt '+⎰≤()()100f x f t dt '+⎰()()11000f x dt f t dt '=+⎰⎰≤()()1100f t dt f t dt '+⎰⎰()()10f t f t dt ⎡⎤'=+⎣⎦⎰()()10f x f x dx ⎡⎤'=+⎣⎦⎰.故原不等式成立, 证毕3.6 利用泰勒公式在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．定理 3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor 公式) 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶连续导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+（ξ在x 与0x 之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公式．[10] 设()f x 在[],a b 上有二阶连续导数,()()0f a f b ==,[](),max x a b M f x ∈''=,试证明:()()312bab a f x dx M -≤⎰．证明：对(),x a b ∀∈,由泰勒公式得()()()()()()212f a f x f x a x f a x ξ'''=+-+- , (),a x ξ∈,()()()()()()212f b f x f x b x f b x η'''=+-+-, (),x b η∈, 两式相加得 ()()()()()()22124a b f x f x x f a x f b x ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭, 两边积分得 ()()()()()()22124b bb aaa ab f x dx f x x dx f a x f b x dx ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰, 其中 ()()()22b b b a a a a b a b f x x dx x df x f x dx ++⎛⎫⎛⎫'-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰, 于是有 ()()()()()2218bb a a f x dx f a x f b x dx ξη⎡⎤''''=-+-⎣⎦⎰⎰, 故()()()()223812bb aa M M f x dx a xb x dx b a ⎡⎤≤-+-=-⎣⎦⎰⎰． 证毕 [6]设()f x 在[],a b 上有二阶导数,且()0f x ''>,求证 ()()2b aa b f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证明：将()f x 在02a bx +=处作泰勒展开得到()()2122222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ,2a b x ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为()0f x ''>,所以可以得到 ()222a b a b a b f x f f x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对不等式两边同时积分得到 ()()222b b a a a b a b a b f x dx f b a f x dx +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰． 因为02b a a b x dx +⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰, 所以有()()2b a a b f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证毕通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点o x ,并写出()x f 在这个点o x 处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．3.7 利用重积分在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．命题一[11]：若在区间[,]a b 上()()f x g x ≥,则()()bba a f x dx g x dx ≥⎰⎰．[11] 设()f x ,()g x 在[,]a b 上连续,且满足：()()xxaaf t dtg t dt ≥⎰⎰,[,]x a b ∈,()()b b a a f t dt g t dt =⎰⎰,证明：()()b ba axf x dx xg x dx ≤⎰⎰．证明：由题得()()x xaaf t dtg t dt ≥⎰⎰,从而可以得到()()b x b x aaaadx f t dt dx g t dt ≥⎰⎰⎰⎰,即[()()]0b xa adx f t g t dt -≥⎰⎰．左式[()()]b xaadx f t g t dt =-⎰⎰ [()()]Df tg t dxdt =-⎰⎰ (其中{(,)|,}D x t a x b a t x =≤≤≤≤)[()()]b b atdt f t g t dx =-⎰⎰ ()[()()]bab t f t g t dt =--⎰[()()][()()]b b b b aaaab f t dt g t dt tf t dt tg t dt =---⎰⎰⎰⎰[()()]0b baatf t dt tg t dt =--≥⎰⎰．则 ()()0b b aatf t dt tg t dt -≤⎰⎰ , 即()()b baaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰． 证毕在本题中我们将一元积分不等式()()x xaaf x dxg x dx ≥⎰⎰的两边同时增加一个积分变量badx ⎰，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法.在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分命题二[11] 若()f x 在[,]a b 上可积,()g y 在[,]c d 上可积,则二元函数()()f x g y 在平面区域{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤上可积,且()()()()()()bd b dacacDf xg y dxdy f x dx g y dy f x dx g x dx ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．其中{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤[11] 设()p x ,()f x ,()g x 是[,]a b 上的连续函数,在[,]a b 上,()0p x >,()f x ,()g x 为单调递增函数,试证：()()()()()()()()bb b baaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰．证明：由()()()()()()()()b bbbaaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰可知：()()()()()()()()0bb b baaaap x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx -≥⎰⎰⎰⎰,令()()()()()()()()b bbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰,下证0I ≥；()()()()()()()()b b b baaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap x dx p y f y g y dy p x f x dx p y g y dy =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()bbbba a aap x p y f y g y dxdy p x f x p y g y dxdy =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]bba ap x p y g y f y f x dxdy =-⎰⎰． (3.7)同理()()()()()()()()bbbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap y dy p x f x g x dx p y f y dy p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]b baap y p x g x f x f y dxdy =-⎰⎰． (3.8)(3.7)+(3.8) 得2()()[()()][()()]bbaaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--⎰⎰,因为()f x ,()g x 同为单调增函数,所以[()()][()()]0g y g x f y f x --≥ 又因为()0p x >,()0p y >,故2()()[()()][()()]0bbaaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--≥⎰⎰,即0I ≥． 证毕2.将常数转换为重积分的形式在例中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数(,)f x y k =,则可得到2()Dkd k b a σ=-⎰⎰,其中{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤．函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()b baaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰．本题与前面的例3.1以及例题目,在这里我们将利用重积分证明此题． 证明：原题即为 1()()bba aDf x dx dy d f y σ≥⎰⎰⎰⎰, 移项可得()(1)0()Df x d f y σ-≥⎰⎰,()()()2(1)(1)(1)0()()()DD Df x f x f y d d d f y f y f x σσσ-=-+-≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 所以即为证()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰,因为()0f x ≥,()0f y ≥,所以()()20()()f x f y f y f x +-≥． 故 ()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰ 恒成立,即21()()()b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰成立, 证毕通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．3.8 利用微分中值定理微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．[12] 设()0f a =,()f x 在区间[],a b 上的导数连续,证明：()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰． 证明：应用Lagrange 中值定理,(),a x ξ∃∈,其中a x b <<,使得 ()()()()f x f a f x a ξ'-=-, 因为()0f a =, 所以()f x M x a ≤-, [](),max x a b M f x ∈'=,从a 到b 积分得 ()bb aaf x dx M x a dx ≤-⎰⎰()()222bab M M x a dx x a =-=-⎰()()()221max 22M b a f x b a '=-=-．即()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰. 证毕 [13] 设函数()f x 在[]0,1上可微,且当()0,1x ∈时,()01f x '<<,()00f =试证：()()()21130f x dxf x dx >⎰⎰．证明：令()()()2xF x f t dt =⎰,()()30xG x f t dt =⎰,()(),F x G x 在[]0,1上满足柯西中值定理,则()()()()()()()()()211301010f x dxF F FG G G f x dxξξ'-=='-⎰⎰()()()()()003222f f t dt f t dt f f ξξξξξ==⎰⎰()01ξ<< ()()()()02220f t dt f t dtf fξξ-=-⎰⎰()()()22f f f ηηη='()11f η=>' , ()01ηξ<<<．所以()()()21120f x dxf x dx >⎰⎰． 证毕通过以上两道题目可以发现：1.在应用Lagrange 中值定理时先要找出符合条件的函数()f x ,并确定()x f 在使用该定理的区间[]b a ,,对()x f 在区间[]b a ,上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange 中值定理．2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy 中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy 中值定理的两个函数()x f ,()x g ,并确定它们应用柯西中值定理的区间[]b a ,,然后在对()x f ,()x g 在区间[]b a ,上运用Cauchy 中值定理．无论是Cauchy 中值定理还是Lagrange 中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．4．总结我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．参考文献[1]王宇,代翠玲,江宜华．一个重要积分不等式的证明、推广及应用[J]．荆州师范学院学报(自然科学版),2000,23(5)：106[2] 张盈．Cauchy-Schwarz不等式的证明、推广及应用[J]．高师理科学刊,2014,34(3):34-37[3] 黄群宾．积分不等式的证明[J]．川北教育学院学报,1996,6(4):22-27[4] 李志飞．积分不等式的证明[J]．高等数学研究,2014,17(6)：50-51[5]郝涌,王娜,王霞,郭淑利．数学分析选讲[M]．北京：国防工业出版社,2014[6]张瑞,蒋珍．定积分不等式证明方法的研究[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2011,20(2)：18[7]林忠．一个积分不等式的几种证明方法[J]．成都教育学院学报,2006,20(12)：66[8]刘法贵．证明积分不等式的几种方法[J]．高等数学研究,2008,11(1):122[9] 苏德矿,李铮,铁军．数学强化复习全书[M]．北京：中国证法大学出版社,2015[10] 李小平,赵旭波．定积分不等式几种典型证法[J]．高等数学研究,2009,12(6):13-17[11] 黄云美．重积分在积分不等式证明中的应用[J]．杨凌职业技术学院学报,2014,13(3):27-33[12] 葛亚平．积分不等式证明的再认识[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2015,24(3):18-20[13] 王丽颖,张芳,吴树良．积分不等式的证法[J]．白城师范学院学报,2007,21(3): 19-22。
二次型的几个应用
a22x22 2a23x2x3 2a2nx2xn ann xn2
nn
aij xi x j
i1 j1
(aij aji ,i, j 1, 2,, n)
称为数域 P 上的一个 n 元二次型, 简称二次型. 当 aij 为实数时, 称 f 为实二次型. 当 aij 为复数时,
称 f 为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即
关于二次型的一般理论, 可参看文献[1-3，5-6], 一些专题研究可参看文献[7-9].
1 二次型及其有关定义
在这一节, 我们首先回顾《高等代数》中关于二次型的一般理论. 设 P 是一个数域, aij P , n 个文
字 x1, x2,, xn 的二次齐次多项式
f (x1, x2,, xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1nx1xn
y3 2
y4 ) ( y3
2 y4 ) 2 y4
2 y1
2 y2
2 y3
.
所含字母 y1 , y2 , y3 均在平方中出现, 属于定理(2.1.1)中的情况, 存在最小值. 对变换后的多项式配方, 得
y12
2 y22
y32 2
2 y1
2 y2
2 y3
3
( y1
1)2
2( y2
1)2 2
( y3
2
2)2
1 2
故当 y1 1, y2
1 2
,
y3
2
时,
上式有最小值 1 . 2
将 y1, y2, y3 代入 X
PY 中,
当
x1
7 2
2 y4 ,
x2
1 2
y4 ,
x3