秋九级数学上册..二次函数y=ax+k的图象和性质(第课时)教案讲解

二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象

和性质

第1课时 二次函数y ＝ax 2

＋k 的图象和性质

1．会用描点法画出y ＝ax 2

＋k 的图象．

2．掌握形如y ＝ax 2

＋k 的二次函数图象的性质，并会应用．

3．理解二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2

之间的联系．

一、情境导入

在边长为15cm 的正方形铁片中间剪去一个边长为x (cm)的小正方形铁片，剩下的四方

框铁片的面积y (cm 2

)与x (cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？ 二、合作探究

探究点一：二次函数y ＝ax 2

＋k 的图象与性质

【类型一】

y ＝ax 2

＋k 的图象与性质的识别

若二次函数y ＝ax ＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝2

B ．当x ＜0，y 随x 的增大而减小

C ．顶点坐标为(2，0)

D ．图象有最低点

解析：把x ＝－2，y ＝10代入y ＝ax 2

＋2可

得10＝4a ＋2，所以a ＝2，∴y ＝2x 2

＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x ＜0，y 随x 的增大而减小，所以A 、B 、D 均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.

方法总结：抛物线y ＝ax 2

＋k (a ≠0)的顶点为(0，k )，对称轴是y 轴．

【类型二】二次函数

y ＝ax 2

＋k 增减性判断

(2014·广西河池)已知点(x 1，y 1)，(x 2，

y 2)均在抛物线y ＝x 2

－1上，下列说法中正

确的是( )

A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2

B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2

C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2

D ．若x 1＜x

2＜0，则y 1＞y 2

解析：如图所示，选项A ：若y 1＝y 2，则x 1＝－x 2，所以选项A 是错误的；选项B ：若x 1＝－x 2，则y 1＝y 2，所以选项B 是错误的；选项C ：若0＜x 1＜x 2，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，则y 1＜y 2，所以选项C 是错误的；选项D ：若x 1＜x 2＜0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则y 1＞y 2，所以选项D 是正确的．

方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．

【类型三】识别y ＝ax

2

＋k 的图象与一次函数图象

在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax

＋c 与二次函数

y ＝ax 2

＋c 的图象大致为( )

解析：当a ＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a ＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A ，C ，D ，故选B.

【类型四】

确定y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2

的关系

抛物线y ＝ax ＋c 与y ＝－5x 的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y ＝

－5x 2

怎样得到的？

解：抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－5x 2

的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－5.又

∵其顶点坐标为(0，3)．∴c ＝3.∴y ＝－5x

2

＋3.它是由抛物线y ＝－5x 2

向上平移3个单位得到的．

方法总结：抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2

开口

大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．

探究点二：二次函数y ＝ax 2

＋k 的应用

【类型一】y ＝ax

2

＋

k 的图象与几何图形的综合应用

如图，在平面直角坐标系中，二次函

数y ＝ax 2

＋c (a ＜0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是________．

解析：二次函数y ＝ax 2

＋c 与y 轴的交点为(0，c )，因此OA ＝c ，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B (－c 2，c

2

)、

C (c 2，c 2

)，因为C (c 2，c

2

)在函数y ＝ax 2＋c 的

图象上，将点C 坐标代入关系式即可求出ac 的值．

解：∵y ＝ax 2

＋c 与y 轴的交点为(0，c )，四边形ABOC 为正方形，∴C 点坐标为(c 2

，

c

2)．∵二次函数y ＝ax 2

＋c 经过点C ，∴c

2

＝a (c

2

)2

＋c ，即ac ＝－2.

方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．

【类型二】二次函数y

＝

ax 2

＋k 的实际应用

如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y ＝－15x 2＋7

2运行，然后准确落入

篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为

3.05m.

(1)球在空中运行的最大高度为多少？ (2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m ，要想投入篮筐，则他距离篮

筐中心的水平距离是多少？

解：(1)∵y ＝－15x 2＋7

2的顶点坐标为(0，

3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m. (2)在y ＝－15x 2＋7

2中，当y ＝3.05时，3.05

＝－15x 2＋7

2

，解得x ＝±1.5.∵篮筐在第一

象限内，∴篮筐中心的横坐标x ＝1.5.又当y ＝2.25时，2.25

＝－15x 2＋7

2，解得x ＝±2.5.∵运动员在第

二象限内，∴运动员的横坐标x ＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－

(－

2.5)＝4(m)． 三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交

流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2

＋k 的图

象与性质，体会抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2

＋k 之间联系与区别.