函数的周期及对称问题

函数的周期及对称问题（内同看周期.内反看对称.）

新泰一中闫辉

（1） f(x+a)=f(x+b),可知函数f(x)的周期为T=b-a，※括号中的数的差

分析：把x替换成x-a可知f（x）=f（x+b-a），所以T=b-a

（二）f(x+a) =-f（x+b）,可知函数f(x)的周期为T=2（b-a）※相反数类型，括号中的数的差的二倍

分析：把x替换成x-a可知f（x）=-f（x+b-a）⑴，而 f(x+b-a)=-f(x+2(b-a))⑵，将⑵式代入⑴式由此得到f(x)=f(x+2（b-a）) 所以 f(x)的周期为

T=2（b-a）

（三）f(x+a)= ，可知函数f(x)的周期为T=2（b-a）※倒数类型，括号中的数的差的二倍

分析：把x替换成x-a可知f（x）= ⑴，而f（x+b-a）=⑵，将⑵式代入⑴式由此得到f(x)=f(x+2（b-a）) 所以 f(x)的周期为T=2（b-a）

（四）f(x+a)= -，可知函数f(x)的周期为T=2（b-a）※相反数倒数结合类型，括号中的数的差的二倍

分析：把x替换成x-a可知f（x）= -⑴，而f（x+b-a）=-⑵，将⑵式代入⑴式由此得到f(x)=f(x+2（b-a）) 所以 f(x)的周期为T=2（b-a）

(五)f(x)的对称轴分别为x=a,x=b.可知函数f(x)的周期为T=2（b-a）※可想象为三角函数两个相邻的对称轴(实际上不一定相邻)间隔半个周期b-a=,可知函数f(x)的周期为T=2（b-a）

分析：f(x)的对称轴为x=a，得到f(-x)=f(2a+x)⑴, f(x)的对称轴为x=b，得到f(-x)=f(2b+x) ⑵,结合⑴⑵知f(2a+x) =f(2b+x)，所以f(x)的周期为T=2（b-a）

（六）f(x)的对称中心分别为（a,0）,(b,0). 可知函数f(x)的周期为T=2（b-a）※可想象为三角函数两个相邻的对称中心(实际上不一定相邻)间隔半个周期b-a=,可知函数f(x)的周期为T=2（b-a）

分析：f(x)的对称中心为（a,0）得到f(-x)+f(2a+x)=0⑴,f(x)的对称中心为（b,0）得到f(-x)+f(2b+x)=0（2)， 结合⑴⑵知f(2a+x) =f(2b+x)，所以 f(x)的周期为T=2（b-a）

（七）)f(x)的对称轴为x=a, 对称中心为(b,0) ，可知函数f(x)的周期为T=4（b-a）

※可想象为三角函数两个相邻的对称轴和对称中心(实际上不一定相邻)间隔个周期b-a= ,可知函数f(x)的周期为T=4（b-a）

分析：f(x)的对称轴为x=a，得到f(-x)=f(2a+x)⑴, f(x)的对称中心为（b,0）得到f(-x)+f(2b+x)=0（2)， 结合⑴⑵知f(2a+x)=-f(2b+x)，所以 f(x)的周期为T=4（b-a）

（八）f（x+a）= ,可知函数f(x)的周期为T=2a

分析：f(x+2a)=== =f(x), 所以函数f(x)的周期为T=2a.

（九）f（x+a）=,可知函数f(x)的周期为T=4a

分析：f(x+2a)== = = ,所以函数f(x)的周期为T=4a.

函数的对称性(内反看对称)

新泰一中闫辉

（一）的对称轴是直线（括号中的数相加除2得对称轴）。特殊的比如f(a+x)=f（a-x）的对称轴是直线x=af（x）=f（2a-x）

（二） 关于点（a，）中心对称。

特殊的比如f(a+x)+f(a-x)=0 关于点（a，0）中心对称f（x）+f（2a-x）=0.＆有的时候会换另外一种写法比如f(x+a)=-f(b-x)，实际上是一个意思。

（三）几个结论：

①若函数是偶函数f(x)关于直线x＝0对称；

②若函数是偶函数f(x)关于直线x＝a对称 函数关于直线x＝0对称。

＆换种推导方法函数是偶函数的对称轴是x=0,而由到需右移a个单位（a＞0）, f(x)关于直线x＝a对称

③若函数是奇函数--f(x)关于（0,0）对称；

④若函数是奇函数-f(x)关于（a,0）对称 函数关于（0,0）对称。

＆换种推导方法函数是奇函数的对称中心是（0,0）,而由到需右移a个单位（a＞0），的对称轴是(a,0).

（四）函数y=f（x+a）和y=f(b-x)关于直线对称※分别令括号中的数等于零找各自的零点，然后求两个零点和的一半即可。

方法一可用平移去研究

方法二可借助具体函数比如可设f(x)=x.则y=f（x+a）=x+a,y=f(b-x)= b-x 故只需研究 y=x+a和y=b-x的关系即可，二者关于直线对称。

1.设是R上的奇函数，，当时，，则等于（）

A. 0.5

B. －0.5

C. 1.5

D. －1.5

⒈若的图象关于直线和对称，则的一个周期为

⒉设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函

数，则时， .

⒊在上定义的函数是偶函数，且，若在

区间上是减函数，则

A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数

B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数

C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数

D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数

⒋设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线

对称，则 .

⒌已知定义在R上的奇函数满足，则的值为 A. B. C. D.

⒍已知偶函数满足，且当时，，

则的值等于 A. B. C. D.

⒎设为R上的奇函数，且，若，，则的取值范围是

⒏函数对于任意实数满足条件，若，则等于

⒐已知定义在R上的函数满足下列三个条件：

① 对于任意的，都有； ② 对于任意的，都有；

③ 函数的图象关于轴对称。则下列结论正确的是 A.

B. C. D.

⒑定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：

① 是周期函数；② 的图象关于直线对称；③ 在上是增函数； ④其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）。

⒒设函数在上满足，