特殊三角形常见题型
初二等腰三角形解题技巧
初二等腰三角形解题技巧
等腰三角形是三角形的一种特殊形式，其中两边长度相等。
在初二数学中，等腰三角形是一个重要的知识点，需要掌握其性质和判定方法。
首先，要明确等腰三角形的性质。
等腰三角形两腰相等，两个底角相等，并且有一个顶角。
此外，等腰三角形的高、中线和角平分线三线合一。
这些性质是解决等腰三角形问题的关键。
其次，要掌握等腰三角形的判定方法。
有以下几种方法：
1. 两边相等：如果一个三角形的两边长度相等，则它是等腰三角形。
2. 两个角相等：如果一个三角形的两个角相等，则它是等腰三角形。
3. 三线合一：如果一个三角形的高、中线和角平分线三线合一，则它是等腰三角形。
最后，要学会运用这些性质和判定方法来解决等腰三角形的问题。
以下是一些常见的题型和解题技巧：
1. 求角度：利用等腰三角形的性质，可以通过已知的角度或边长来求其他角度。
2. 作辅助线：在解题过程中，可以通过作辅助线来将问题转化为更容易解决的问题。
例如，作等腰三角形的高、中线或角平分线。
3. 利用三线合一：在解题过程中，可以利用三线合一的性质来证明或求解问题。
4. 分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论，分别考虑不同的情况。
总之，掌握等腰三角形的性质和判定方法是解决等腰三角形问题的关键。
在解题过程中，要灵活运用这些性质和判定方法，通过作辅助线、分类讨论等方法来解决问题。
同时，要注意细节和计算准确性，避免因为粗心而出现错误。
中考三角形经典题型
中考三角形经典题型
中考数学中，三角形的经典题型主要包括以下几种：
1. 求三角形的面积：
-已知底边和高：用面积公式S = 1/2 * 底边* 高计算；
-已知两边和夹角：用海伦公式S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p -c))计算，其中p为半周长，a、b、c为三角形的三边；
-根据三角形的高度划分为两个直角三角形：用面积公式S = 1/2 * 底边* 高计算。
2. 判断三角形的形状：
-根据边长关系判断：如果三边相等，则为等边三角形；如果有两边相等，则为等腰三角形；否则为一般三角形；
-根据角度关系判断：如果有一个角为直角，则为直角三角形；如果有一个角大于90度，则为钝角三角形；如果都小于90度，则为锐角三角形。
3. 利用三角形的性质求解问题：
-利用正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，可以利用已知的两个边与它们对应的角来求解第三个边或角度；
-利用余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，可以利用已知的三个边来求解其中一个角；
-利用三角形内角和定理：三角形的三个内角之和为180度（或π弧度），可以利用这一性质来求解未知的角度。
4. 直角三角形的应用：
-利用勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，可以通过已知两边的长度求解第三边；
-利用特殊直角三角形的边长关系：如30-60-90三角形和45-45-90三角形的边长比例关系。
以上是中考数学中与三角形相关的经典题型，掌握这些题型和相应的解题方法能帮助学生更好地应对相关题目。
中考数学各类计算题型专练 二次函数特殊三角形(等腰_直角)存在性问题
中考数学各类计算题型专练二次函数特殊三角形存在性问题（等腰三角形、直角三角形）【一】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A（－1,0）、B（3, 0）、C（0 ,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【二】如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（-3，0），B（1.0 ），C（0，-3 ）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y 轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【三】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2）,点C （1,0）,如图所示,抛物线y=ax2−ax−2经过点B.（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【四】如图，抛物线y=ax 2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．【五】如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C。
（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值【六】如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y= -1/2x ﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【七】如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B （3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）。
全等三角形特殊题型
在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。
现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。
如图2。
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
AB＝CE。
∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。
求证：AB＋BD＝AC。
证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。
如图4。
∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。
而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。
所以EC＝ED＝BD。
∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
求证：EF＝FD。
证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。
则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
∴∠B＝∠EMB。
故EM＝BE。
∵BE＝CD，∴EM＝CD。
又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。
EF＝FD。
四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。
M是AC边的中点。
AD⊥BM交BC于D，交BM于E。
求证：∠AMB＝∠DMC。
证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。
如图8。
∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。
∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。
三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。
特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。
直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
特殊三角形单元检测 (困难)培优提升 答案
第二章、特殊三角形单元测试（难度：困难）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图标中轴对称图形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：图①是轴对称图形，图②是轴对称图形；图③是轴对称图形；图④不是轴对称图形，轴对称图形共3个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（）A．β＝90°﹣αB．β＝180°﹣αC．β＝D．β＝120°﹣α【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．【解答】解：当点D在线段BC上，∵∠ABC＝α，CA＝AB，∴∠C＝∠ABC＝α，∵CD＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝＝90°﹣α，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴90°﹣α＝α+β，即β＝90°﹣α；当点D在线段BC的延长线上，同理可得：β＝180°﹣α；当点D在线段CB的延长线上，同理可得：β＝α﹣90°．故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．注意分类思想的应用是解此题的关键．3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角D．每一个角都是钝角或直角【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：C．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．三角形C．等腰梯形D．正五边形【分析】针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误；B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确；C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误；D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握常见多边形的对称轴是解题的关键．5．如图将长方形ABCD沿EF折叠，B、C分别落在点H、G的位置，延长EH交边CD于点M．下列说法不正确的是（）A．∠1＜∠2B．∠2＝∠3C．∠MEB＝2∠2D．∠2与∠4互补【分析】过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，根据矩形的性质可得AB ∥CD，∠B＝90°，再根据折叠可得：∠B＝∠GHE＝90°，从而可得GH∥FN，进而可得∠1＝∠MFN，即可判断A；根据角平分线和平行线的性质即可判断B和C；根据平角定义即可判断D．【解答】解：过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，∴∠FNE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，由折叠得：∠B＝∠GHE＝90°，∴∠GHE＝∠FNE＝90°，∴GH∥FN，∴∠1＝∠MFN，∵∠2＝∠MFN+∠EFN，∴∠1＜∠2，故A不符合题意；∵AB∥CD，∴∠2＝∠FEB，由折叠得：∠FEB＝∠3，∴∠2＝∠3，故B不符合题意；∵∠FEB＝∠3，∴∠MEB＝2∠3，∵∠3＝∠2，∴∠MEB＝2∠2，故C不符合题意；∵ME≠EF，∴∠2≠∠EMF，∵∠4+∠EMF＝180°，∴∠4与∠2不一定互补，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）A．15°或20°B．20°或30°C．15°或30°D．15°或25°【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵∠B﹣∠A＝10°，∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴140﹣x＝100+40+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时，∴140﹣x＝40+40+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝，∴140﹣x＝70+40+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC＝∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．7．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．有以下结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由三角形的内角和与角平分线的定义求∠AFB，由DG∥AB和BE平分∠ABC判断②，结合DG⊥DG求∠GBC与∠ABC的关系判断③，由三角形的内角和与平行线的性质判断④．【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC，∠FBA＝∠CBE＝∠ABC，∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠F AB+∠FBA＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠AFB＝180°﹣（∠F AB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°，故①正确，符合题意；∵DG∥AB，∴∠BDG＝∠ABC，∵∠CBE＝∠ABC，∴∠BDG＝2∠CBE，故②正确，符合题意；∵BG⊥DG，∴∠G＝90°，∴∠GDB+∠GBD＝90°，又∵∠GDB＝∠ABC，∴∠ABC+∠GBD＝90°，无法判定∠GBD＝∠ABC，故③错误，不符合题意；又∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠GBD，∵∠ABF＝∠EBC，∴∠ABF+∠BAC＝∠EBC+∠GBD，∴∠BEC＝∠EBG，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思想的应用是判断①的关键，解题的时候要多次应用等量代换．8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．【分析】先证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，再由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，即可得出答案．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，在△BPG和△BCG中，，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，∴＝＝＝2+．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5B．3C．4.5D．9【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．10．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N 分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）A．20B．26C．32D．36【分析】如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG＝90°，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH 交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：BD＝BG＝2，BE＝BH＝4，DM＝GM，EN＝NH，∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°，∴∠HBG＝90°，∴GH2＝BG2+BH2＝20，∴当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为20，故选：A．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题）11．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为16．【分析】由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，＝（2）2＝8，则AB2+AC2+BC2＝2BC2，即可得出结论【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝2，∴AB2+AC2＝BC2＝（2）2＝8，∴AB2+AC2+BC2＝2BC2＝2×8＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为4+2．【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系求单线段的最值是解题的关键．13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则DE＝．【分析】连接BD交AC于点O，证明AC垂直平分BD，利用勾股定理可求解BD＝2，OC＝2，再利用面积法可求解DE的长．【解答】解：连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，∵AB＝AD＝，CB＝CD＝，∴A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，∵∠DAB＝90°，∴BD＝，S△ABD＝AB•AD＝，∴AO＝DO＝BO＝1，∴CO＝，∴S△BCD＝＝，∴四边形ABCD的面积＝1+2＝3，∵S△BCD＝BC•DM＝2，∴DM＝＝，∴BM＝，∵线段DE平分四边形ABCD的面积，∴S△CDE＝，S△BDE＝，∴BE：CE＝1：3，∴BE＝，∴EM＝BM﹣BE＝，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线段垂直平分线，勾股定理，三角形的面积，证明AC垂直平分BD是解题的关键．14．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC＝2，若点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为．【分析】如图，作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN 交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，推出△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，推出当点E固定时，此时△DEF的周长最小，再证明△MNA是等腰直角三角形，推出MN＝AE，推出当AE的值最小时，MN的值最小，求出AE的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，作E关于AB的对称点M，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，∴△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，∴当点E固定时，此时△DEF的周长最小，∵∠BAC＝45°，∠BAE＝∠BAM，∠CAE＝∠CAN，∴∠MAN＝90°，∴△MNA是等腰直角三角形，∴MN＝AE，∴当AE的值最小时，MN的值最小，∵AC＝2，∴AK＝KC＝2，∵AB＝3，∴BK＝AB﹣AK＝1，在Rt△BKC中，∠BKC＝90°，BK＝1，CK＝2，∴BC＝＝，∵•BC•AH＝•AB•CK，∴AH＝，根据垂线段最短可知：当AE与AH重合时，AE的值最小，最小值为，∴MN的最小值为，∴△DEF的周长的最小值为．【点评】本题考查了轴对称问题，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．15．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是88°，90°，99°，108°，116°．【分析】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．【解答】解：如图①所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90°当∠ACB＝48°时，有以下4种情况，故答案为：88°，90°，99°，108°，116°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，AB＝8，点D在△ABC内，连接DA、DB、DC，则DC+DB+AD的最小值是4．【分析】如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F 作FH⊥CA交CA的延长线于H．则DE＝AD，则DC+DB+DA＝DC+DE+EF≥CF，求出CF即可得出结论．【解答】解：如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F作FH⊥CA交CA的延长线于H．∵AD＝AE，∠DAE＝120°，BD＝EF，∴DE＝AD，∴DC+DB+DA＝DC+DE+EF，∵CD+DE+EF≥CF，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AB•cos30°＝4，在Rt△AFH中，∠H＝90°，AF＝AB＝8，∠F AH＝30°，∴FH＝AF＝4，AH＝FH＝4，∴CH＝AC+AH＝8，∴CF＝＝＝4，∴CD+DB+AD≥4，∴CF的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转变换，把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共7小题）17．图①、图②、图③均是9×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．（1）在图①中，画△ABC关于AC的轴对称图形，得到四边形ABCD．（2）在图②中，画EF∥BC，点E在AC上，点F在AB上，且AE＝2EC．（3）在图③中，画△ABC关于BC的轴对称图形，得到四边形ACMB．【分析】（1）依据要求，根据轴对称的性质作图即可．（2）利用平行线分线段成比例定理作图即可．（3）取格点P，Q，连接PQ，过点A作BC的垂线，与PQ交于点M，连接CM，BM 即可．【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求．（2）如图②，EF即为所求．（3）如图③，四边形ACMB即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点B、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．19．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．【分析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，∴△BCE≌△CBF，∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用．20．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB 的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO ＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【分析】先根据点P与点Q关于直线OA对称可知OM是线段PQ的垂直平分线，故PM ＝MQ，∠PMQ＝2∠PMO，根据三角形内角和定理求出∠PQM的度数，同理可得出PN ＝RN，故可得出∠PNR＝2∠PNO，再由平角的定义得出∠PNQ的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵点Q和点P关于OA的对称，点R和点P关于OB的对称∴直线OA、OB分别是PQ、PR的中垂线，∴MP＝MQ，NP＝NR，∴∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO，∵∠PMO＝3 3°，∠PNO＝70°∴∠PMO＝∠QMO＝33°，∠PNO＝∠RNO＝70°∴∠PMQ＝66°，∠PNR＝140°∴∠MQP＝57°，∴∠PQN＝123°，∠PNQ＝40°，∴∠QPN＝17°．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC ﹣AB＝AC﹣AM＝CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证．【解答】证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．22．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．（1）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你的猜想．（2）当点D在直线BC上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，求∠CDE的度数（直接写出结果）．【分析】（1）设∠B＝x，∠ADE＝y，根据已知等量求得∠C与∠AED，再通过三角形的外角性质求得∠CDE，通过三角形的内角和定理求得∠BAD，便可得出结论；（2）分四种情形画出图形分别求解可得结论．【解答】解：（1）结论：∠BAD＝2∠CDE．理由如下：设∠B＝x，∠ADE＝y，∵∠B＝∠C，∴∠C＝x，∵∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝y，∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），∴∠BAD＝2∠CDE；（2）当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，分两种情况：当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝AE′，∴∠ADE＝∠AE′D，由①知，∠CDE′＝12.5°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D＝90°，∴∠CDE＝90°+12.5°＝102.5°．如图3中，当点D在CB的延长线上时，同法可得∠CDE′＝12.5°，∠CDE＝77.5°综上所述：∠CDE的度数为12.5°或102.5°或77.5°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形性质的外角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．。
特殊角的三角函数试题汇编
2016年12月14日特殊角的三角函数一．填空题（共30小题）1．计算cos60°=．2．tan60°=．3．求值：sin60°﹣tan30°=．4．2cos30°=．5．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A=度．6．计算：sin60°﹣cot30°=7．若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为．8．在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB=．9．计算：sin45°+cos45°﹣tan30°sin60°=．10．计算：sin245°+cot30°•tan60°=．11．计算cos245°+tan60°cos30°的值为．12．计算：|sin60°•tan30°﹣1|=．13．计算：1﹣2sin30°=．14．计算sin30°+cos245°=．15．∠A是锐角，若cosA=，则∠A的余角度数为．16．若2cosα=1，则锐角α=度．17．计算：sin230°+cos60°•sin30°=．18．计算sin230°﹣cos45°tan60°+﹣tan45°．19．已知锐角A满足关系式4sin2A﹣1=0，则sinA的值为．20．若θ为三角形的一个锐角，且2sinθ﹣=0，则tanθ=．21．计算：sin245°+cot60°•cos30°=．22．计算：cot30°+cot45°=．23．计算：2sin60°+tan45°=．24．已知α是锐角，且tan（90°﹣α）=，则α=．25．已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为．26．°=．27．如果锐角α满足2cosα=，那么α=．28．sin60°的值为．29．计算：cos30°﹣sin60°=．30．∠A的余角为60°，则∠A的补角为°，tanA=．2016年12月14日特殊角的三角函数参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2016•湘潭）计算cos60°=．【分析】根据记忆的内容，cos60°=即可得出答案．【解答】解：cos60°=．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这是需要我们熟练记忆的内容．2．（2016•黔东南州）tan60°=．【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．【解答】解：tan60°的值为．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．3．（2016•闸北区一模）求值：sin60°﹣tan30°=．【分析】根据sin60°=，tan30°=得到原式=﹣，然后通分合并即可．【解答】解：原式=﹣=﹣=．故答案为．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°=，tan30°=．也考查了二次根式的运算．4．（2016•淮阴区校级二模）2cos30°=．【分析】根据cos30°=，继而代入可得出答案．【解答】解：原式=．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．5．（2016•厦门校级一模）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A=30度．【分析】根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数．【解答】解：∵∠C=90°，AC=5，AB=10，∴cosA===，∴∠A=30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA．6．（2016•杨浦区一模）计算：sin60°﹣cot30°=【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：原式=﹣=﹣．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．7．（2016•富顺县校级一模）若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为20°．【分析】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．【解答】解：∵tan（x+10°）=1，∴tan（x+10°）==，∴x+10°=30°，∴x=20°．故答案为：20°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角对应的函数值是解题关键．8．（2016•洪泽县一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB=1．【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得∠B，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由等腰Rt△ABC中，AB=AC，得∠B=45°．tanB=tan45°=1，故答案为：1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．9．（2016•抚顺县一模）计算：sin45°+cos45°﹣tan30°sin60°=﹣．【分析】把特殊角是三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式=+﹣×=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是特殊角是三角函数值的计算，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．10．（2016•普陀区一模）计算：sin245°+cot30°•tan60°=．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=sin245°+cot30°•tan60°=（）2+×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．11．（2016•河西区模拟）计算cos245°+tan60°cos30°的值为2．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：cos245°+tan60°cos30°=（）2+×=+=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12．（2016•江西模拟）计算：|sin60°•tan30°﹣1|=0.5．【分析】结合特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：原式=|•﹣1|=|﹣1|=|﹣0.5|=0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．13．（2016•封开县二模）计算：1﹣2sin30°=0．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式=1﹣2×=1﹣1=0，故答案为0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．14．（2016春•沂源县期中）计算sin30°+cos245°=1．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式=+（）2=+=1，故答案为：1．【点评】本题考查的是特殊角是三角函数值的计算，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．15．（2016春•淮安校级期中）∠A是锐角，若cosA=，则∠A的余角度数为60°．【分析】结合特殊角的三角函数值进行求解即可．【解答】解：∵∠A是锐角，且cosA=，∴∠A=30°，∴∠A的余角的度数为：90°﹣30°=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．16．（2016春•会宁县校级月考）若2cosα=1，则锐角α=60度．【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵2cosα=1，∴cosα=，∴α=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．17．（2016秋•道外区校级月考）计算：sin230°+cos60°•sin30°=．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入数据得出答案．【解答】解：sin230°+cos60°•sin30°=+×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（2016秋•安丘市校级月考）计算sin230°﹣cos45°tan60°+﹣tan45°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可．【解答】解：原式=（）2﹣×+﹣1=﹣+﹣1=【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确进行二次根式的运算是关键．19．（2016秋•江阴市校级月考）已知锐角A满足关系式4sin2A﹣1=0，则sinA的值为．【分析】利用直接开平方法求得sinA=±，结合A是锐角可以推知sinA=．【解答】解：4sin2A﹣1=0，sin2A=，∴sinA=±，∴A是锐角，∴sinA＞0，∴sinA=．故答案是：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时，注意∠A的取值范围，以防误解为sinA=±．20．（2016春•丰台区校级月考）若θ为三角形的一个锐角，且2sinθ﹣=0，则tanθ=．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由θ为三角形的一个锐角，且2sinθ﹣=0，得θ=60°．tanθ=tan60°=，故答案为：．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．21．（2016春•丰台区校级月考）计算：sin245°+cot60°•cos30°=1．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：sin245°+cot60°•cos30°=（）2+×=+=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．22．（2016春•上海校级月考）计算：cot30°+cot45°=+1．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=+1，故答案为：+1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．23．（2015•闸北区一模）计算：2sin60°+tan45°=+1．【分析】根据特殊三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×+1=+1，故答案为：+1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．24．（2015•锦江区一模）已知α是锐角，且tan（90°﹣α）=，则α=30°．【分析】先求出90°﹣α的度数，然后求出α的度数．【解答】解：∵tan（90°﹣α）=，∴90°﹣α=60°，∴α=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．25．（2015•青岛模拟）已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为30°．【分析】先根据α为锐角及tan60°=解答即可．【解答】解：∵α为锐角，tan（90°﹣α）=，∴90°﹣α=60°，∴α=30°．故答案为：30°．【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．26．（2015•冷水江市校级模拟）°=．【分析】分别根据绝对值、0指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣+1﹣+2×=2﹣+1﹣+=．故答案为：．【点评】本题考查的是绝对值、0指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知以上运算法则是解答此题的关键．27．（2015•石河子校级模拟）如果锐角α满足2cosα=，那么α=45°．【分析】先求出cosα的值，然后根据特殊角的三角函数值求出α的度数．【解答】解：∵2cosα=，∴cosα=，则α=45°．故答案为：45°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．28．（2015•武侯区模拟）sin60°的值为．【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．29．（2015•徐汇区一模）计算：cos30°﹣sin60°=0．【分析】根据特殊三角函数值，可得实数，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=﹣=0，故答案为：0．【点评】本题考查了特殊三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．30．（2015•武进区一模）∠A的余角为60°，则∠A的补角为150°，tanA=．【分析】根据余角的定义，可得∠A，根据补缴的定义，可得∠A的补角，根据正切函数的定义，可得正切函数值．【解答】解：由∠A的余角为60°，得∠A=30°．∠A的补角为150°，tanA=，故答案为：150，．【点评】本题考查了余角、补角，利用了余角的定义、补角的定义，熟记特殊角三角函数值是解题关键．。
等边三角形九大题型
等边三角形九大题型等边三角形九大题型1. 简介等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，且每个内角都为60度。
在几何学和数学中，等边三角形常常出现在各种问题和题目中。
本文将会深入探讨等边三角形的九大题型，并提供详细的解题思路和方法。
2. 根据边长求面积第一个题型是根据等边三角形的边长求面积。
由于等边三角形的边长已知，我们可以利用海伦公式（Heron's formula）来计算其面积。
海伦公式为：面积 = 平方根（s × (s - a) × (s - b) × (s - c)），其中s 是半周长，a、b、c为边长。
3. 根据面积求边长第二个题型是根据等边三角形的面积求边长。
在这种情况下，我们需要根据面积和已知的边长关系，利用面积公式（面积 = （边长的平方× 平方根3）/ 4）来求解未知的边长。
4. 查找周长第三个题型是根据等边三角形的面积和周长的关系求解周长。
我们可以使用周长公式（周长= 3 × 边长）来计算等边三角形的周长。
5. 判断是否是等边三角形第四个题型是判断给定的三角形是否是等边三角形。
我们只需检查三角形的三条边是否相等，如果相等，则可以确定这是一个等边三角形。
6. 计算内角度数第五个题型是根据等边三角形的性质计算其内角度数。
由于等边三角形的每个内角都是60度，因此我们可以直接得出结论，无论该等边三角形的大小如何。
7. 利用等边三角形的性质进行推理第六个题型是利用等边三角形的性质进行推理。
等边三角形的性质可以帮助我们推导出其他几何问题的结论。
我们可以利用等边三角形的性质证明其他三角形的相等或者相似关系。
8. 应用等边三角形解决实际问题第七个题型是应用等边三角形的概念解决实际问题。
等边三角形在建筑、工程和设计等领域中具有广泛的应用。
在设计正六边形的花坛或者计算天桥的构造时，等边三角形的概念都是十分重要的。
9. 理解等边三角形的美学价值最后一个题型是理解等边三角形的美学价值。
专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)
专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)在数学中，等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。
在考试中，等腰三角形常常出现在各类题目中，而三种压轴题型更是考察学生对等腰三角形的理解和运用能力。
本文将为大家介绍三种常见的等腰三角形压轴题型，并给出详细的解析，帮助大家更好地掌握解题技巧。
一、等腰三角形的性质首先，我们回顾一下等腰三角形的性质。
等腰三角形有两条边相等，可以分为底边和两条等腰边。
其性质如下：1. 等腰三角形的底边上的两个底角相等。
2. 等腰三角形的两条等腰边上的两个顶角相等。
利用这些性质，我们可以解决以下三种常见的等腰三角形压轴题型。
二、题型一：等腰三角形边长第一种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其边长。
这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度或两条等腰边的长度，并要求计算等腰三角形的其他边长。
解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边或两条等腰边的长度表示出来。
Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他边长的表达式。
Step 3：根据所得到的表达式，计算出未知边长的具体数值。
三、题型二：等腰三角形的面积第二种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其面积。
这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度和高，并要求计算面积。
解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边长度和高表示出来。
Step 2：根据面积公式 S = (1/2) ×底边 ×高，计算出面积。
Step 3：得到等腰三角形的面积。
四、题型三：等腰三角形的角度第三种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其顶角的度数。
这种题型通常会给出等腰三角形的顶角的度数，并要求计算其他角的度数。
解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的某个顶角的度数表示出来。
Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他角度的表达式。
解三角形取值范围常见题型
解三角形取值范围常见题型三角形是几何学中常见的形状，它由三条边和三个角组成。
在解三角形问题中，我们经常遇到需要确定三角形角度和边长取值范围的题型。
本文将介绍一些常见的解三角形取值范围问题，并提供相应的解决方法。
1. 直角三角形取值范围直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度）。
在直角三角形中，两条边的长度关系遵循勾股定理，即较短的两条边的平方和等于最长边的平方。
因此，直角三角形的两个锐角的取值范围都是0到90度。
2. 锐角三角形取值范围锐角三角形是指三个角都是锐角（小于90度），没有直角和钝角。
在锐角三角形中，我们可以使用三角函数（正弦、余弦和正切）来确定角的取值范围。
假设三角形的三个角分别为A、B和C，对应的边长分别为a、b和c。
2.1. 三角形角度和为180度根据三角形的性质，三个角的和总是等于180度。
因此，锐角三角形的三个角度满足A + B + C = 180度。
2.2. 正弦函数的取值范围正弦函数（sin）表示三角形的某个角的对边与斜边的比值。
在锐角三角形中，正弦函数的取值范围为0到1之间（不包括0和1），即0 < sinA, sinB, sinC < 1。
2.3. 余弦函数的取值范围余弦函数（cos）表示三角形的某个角的邻边与斜边的比值。
在锐角三角形中，余弦函数的取值范围也是0到1之间（不包括0和1），即0 < cosA, cosB, cosC < 1。
2.4. 正切函数的取值范围正切函数（tan）表示三角形的某个角的对边与邻边的比值。
在锐角三角形中，正切函数的取值范围为0到无穷大（不包括0），即0 < tanA, tanB, tanC。
3. 钝角三角形取值范围钝角三角形是指三个角中有一个角是钝角（大于90度），没有直角和锐角。
在钝角三角形中，我们同样可以利用三角函数来确定角的取值范围。
3.1. 三角形角度和为180度与锐角三角形相同，钝角三角形的三个角度之和也等于180度。
特殊三角形
特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
(完整版)解等边三角形专题题型归纳
(完整版)解等边三角形专题题型归纳
等边三角形是一种特殊的三角形，其中所有的边都具有相等的长度，而且所有的内角也相等。
解决等边三角形题型时，我们可以采用以下几种简单的策略：
1. 利用等边三角形的性质
- 等边三角形的内角均为 $60^\circ$。
- 等边三角形的高线也是边中线和角平分线。
- 等边三角形的面积可以通过边长计算公式 $A =
\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ 求得，其中 $a$ 是边长。
利用等边三角形的这些性质，我们可以解决许多与等边三角形相关的题目。
2. 计算等边三角形的边长
当给定等边三角形的面积或者高度时，我们可以通过相应的公式计算等边三角形的边长。
- 当已知等边三角形的面积 $A$ 时，可以使用公式 $a =
\sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}}$ 计算边长。
- 当已知等边三角形的高度 $h$ 时，可以使用公式 $a =
\frac{2h}{\sqrt{3}}$ 计算边长。
3. 利用等边三角形的角平分线性质
等边三角形的角平分线也是三角形的边中线和高线，因此我们可以利用角平分线的性质解决一些题型。
例如，当已知等边三角形中一个角的度数时，我们可以利用等边三角形的角平分线性质，得到两个相邻角的度数。
4. 利用三角形的边中线性质
等边三角形的边中线也是三角形的高线和角平分线，同样可以利用边中线的性质解决一些题目。
例如，当已知等边三角形的某两边的中线长度时，我们可以利用边中线的性质计算出等边三角形的边长。
以上是解决等边三角形专题题型常用的一些策略和思路，希望对您有所帮助！。
初二数学三角形重点题型
初二数学三角形重点题型重点题型：
1. 直角三角形的性质和应用
- 勾股定理的运用
- 特殊角的正弦、余弦、正切值的计算
- 三角函数的定义和应用
2. 等腰三角形的性质和应用
- 定义和判定
- 顶角、底角及对顶边的关系
- 等腰三角形的性质定理证明
3. 等边三角形的性质和应用
- 定义和判定
- 三角形内角和定理
- 等边三角形与圆的关系
4. 相似三角形的性质和应用
- 定义和判定
- 相似三角形的性质
- 相似三角形的应用：比例、面积、图形间的相似性
5. 三角形面积的计算
- 海伦公式的应用
- 其他计算方法：局部分割、矩形法、向量法等- 三角形面积的性质及相关定理证明
6. 三角形的周长和高的计算
- 周长的计算
- 高的计算
- 周长和高的关系及其应用
7. 解三角形的基本方法
- 对于已知条件求解未知量
- 计算中的注意事项
- 解题技巧与方法
8. 数学竞赛中的三角形题型
- 常见数学竞赛题型及思路
- 数学竞赛中的三角形实例分析和解答
- 知识点的综合应用题。
浙教版八上第2章特殊三角形专题2.6 勾股定理及其逆定理【九大题型】(含解析)
勾股定理及其逆定理【九大题型】边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=．【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（ ）A．5B．4C．3D．2【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）A．B．C．2D．【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝ ．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是 ．【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（ ）A．24或84B．84C．48或84D．48【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（ ）A．42B．32C．42或32D．42或37【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（ ）A．30B．17C．17或30D．36【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为 ．【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）A．4B．6C．8D．12【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（ ）A．184B．86C．119D．81【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）A．225B．250C．275D．300【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t 的值为（ ）A．或B．或24或12C．或24或12D．或或24【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝ s时，△BPC为直角三角形．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）BC的长是 ．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为 ．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC b2ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB c2a（b﹣a）∴b2ab c2a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即（a+b）2＝c2+4ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．满足+=，那么这个三角形就是直角三角形．【题型6 直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个B．4个C．5个D．6个【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A．在△ABC中，若a c，b c．则△ABC为直角三角形B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（ ）A．∠A为直角B．∠B为直角C．∠C为直角D．△ABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（ ）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1B．2C．3D．4【题型7 勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（ ）A．162B．200C．242D．288【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 （用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【题型8 格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F 均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 ．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝ °．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB﹣∠PCD＝ ．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝ ．【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC 于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．勾股定理及其逆定理【九大题型】边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=．【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，∴DE＝CD＝1.5，在Rt△DEB中，由勾股定理得：BE2，∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，即（x+2）2＝x2+42，解得x＝3，∴AC＝3．故选：C．【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）A．B．C．2D．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD＝x，则BD ＝8﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，∴BC＝6，∵DE是AC的垂直平分线，∴CD＝AD，∴AB＝BD+AD＝BD+CD＝8，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝6.25．∴BD＝8﹣6.25＝1.75．故选：B．【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝ ．【分析】先作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分∠EAC，从而可以得到DE＝DF，再根据等面积法即可求得CD的长．【解答】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示，∵AB＝AC＝10，BC＝16，∴CE＝8，∴AD6，设∠CAD＝x，则∠CAD＝3x，∵AE⊥BC，AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝2x，∴∠EAD＝∠DAC，∴DE＝DF，设CD＝a，则DE＝8﹣a，∵，∴，解得a＝5，即CD＝5，故答案为：5．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是 ．【分析】如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k，在Rt△DCB中，BC 24k，在Rt△ACB中，由AC2+BC2＝AB2，可得（32k）2+（24k）2＝302，推出k ，BC＝18，由△ADH≌△BDC，推出AH＝BC＝18，由S△ABD•BD•AH•AD•PF•BD •PF，推出PE+PF＝AH＝18，【解答】解：如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k，在Rt△DCB中，BC24k，在Rt△ACB中，∵AC2+BC2＝AB2，∴（32k）2+（24k）2＝302，∴k，∴BC＝18，在△ADH和△BDC中，，∴△ADH≌△BDC，∴AH＝BC＝18，∵S△ABD•BD•AH•AD•PF•BD•PF，∴PE+PF＝AH＝18，故答案为18．【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（ ）A．24或84B．84C．48或84D．48【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算，求出BD和CD，再根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，在Rt△ABD中，BD5，在Rt△ACD中，DC9，∴BC＝BD+DC＝14，BC＝DC﹣BD＝4，∴△ABC的面积14×12＝84，或；故选：A．【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（ ）A．42B．32C．42或32D．42或37【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD9，在Rt△ACD中，CD5∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝9，在Rt△ACD中，CD＝5，∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．综上所述，△ABC的周长是42或32．故选：C．【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（ ）A．30B．17C．17或30D．36【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于12是直角边还是斜边不能确定，故应分12是斜边或x为斜边两种情况讨论．【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x13，此时这个三角形的周长＝5+12+13＝30；②当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x，此时这个三角形的周长＝5+1217，综上所述，该三角形的周长为30或17．故选：C．【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为 ．【分析】当点P在CA延长线上时，当点P在AC延长线上时，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC3，当点P在CA延长线上时，∵BP＝6，BC＝6，∴CP3，∴AP＝CP﹣AC＝34；当点P在AC延长线上时，∵BP′＝6，BC＝3，∴CP′＝3，∴AC+CP′＝4+3，综上所述，线段AP的长为34或34；故答案为：34或34．【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）A．4B．6C．8D．12【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E 解得即可．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24﹣S正方形C＝6+10，∴S正方形C＝8．故选：C．【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（ ）A．184B．86C．119D．81【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S2＝135﹣49＝86，故选：B．【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023．故选：D．【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）A．225B．250C．275D．300【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC＝4，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可．【解答】解：设AC＝4x，则BC＝3x，由勾股定理得：AB5x，∵△ABC的周长为12，∴3x+4x+5x＝12，解得：x＝1，∴AC＝4，BC＝3，AB＝5，第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50，第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50，第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50，……第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300，故选：D．【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t 的值为（ ）A．或B．或24或12C．或24或12D．或或24【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP ＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①当BP＝BA＝25时，∴t．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t．综上，当△ABP为等腰三角形时，t或24或，故选：D．【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝ s时，△BPC为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD，再分两种情况进行讨论：①当∠BCP为直角时，②当∠BPC为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，∴AB50（cm）．如图，作AB边上的高CD．∵S△ABC AB•CD AC•BC，∴CD24（cm）．①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝50cm，∴t＝50÷2＝25（秒）．②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝2tcm，CP＝24cm，BC＝40cm，在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，∴（2t）2+242＝402，解得t＝16．综上，当t＝25或16秒时，△BPC为直角三角形．故答案为：25或16．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）BC的长是 ．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为 ．【分析】（1）由勾股定理可直接求解；（2）过点P作PD⊥AB，结合题意，由角平分线的性质可推得BP，PD，BD的长，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，，故答案为：6；（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图．∵AP平分∠BAC，BC⊥AC，PD⊥AB，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．∴PD＝PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴AD＝AC＝8，∴BD＝2．在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得，故答案为：．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【分析】（1）根据题意可以先求出BQ和BP的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长；（2）根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可．【解答】解：（1）由题意可得，BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），∵∠B＝90°，∴PQ4（cm），即PQ的长为4cm；（2）当BQ⊥AC时，∠BQC＝90°，∵∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，∴AC20（cm），∵，∴，解得BQ cm，∴CQ（cm），∴当△CQB是直角三角形时，经过的时间为：（12）÷2＝9.6（秒）；当∠CBQ＝90°时，点Q运动到点A，此时运动的时间为：（12+20）÷2＝16（秒）；由上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形．【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC b2ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB c2a（b﹣a）∴b2ab c2a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【分析】首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE ab b2ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE ab c2a（b﹣a），∴ab b2ab ab c2a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面积为b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，∵∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠EAF+∠BAE＝90°，∴△BAE为等腰直角三角形，∴四边形ABDF的面积为：c2（b﹣a）（a+b）c2（b2﹣a2），∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，∴b2c2（b2﹣a2），∴b2c2b2a2，∴a2b2c2，∴a2+b2＝c2．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即（a+b）2＝c2+4ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab（a2+b2）＝ab c2，即可证得a2+b2＝c2；【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S（a+b）（b+a）＝ab（a2+b2），利用分割法，梯形的面积为S＝△ABC+S△ABE+S ADE ab c2ab＝ab c2，∴ab（a2+b2）＝ab c2，∴a2+b2＝c2；【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【解答】解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．（2）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，（3+1）×3×44×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y，∴S2＝x+4y．故答案为：．满足+=，那么这个三角形就是直角三角形．【题型6 直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，不是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴是直角三角形；④∵∠A＝∠B∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，是直角三角形；⑤∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，a2+c2＝b2，是直角三角形；⑥∵a：b：c＝5：12：13，∴52+122＝132，∴a2+b2＝c2，是直角三角形；故选：C．【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A．在△ABC中，若a c，b c．则△ABC为直角三角形B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项A、选项B 和选项D；根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C．【解答】解：A．∵a c，b c，∴a2+b2c2c2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵三边长的平方之比为1：2：3（1+2＝3），∴此三角形的两小边的平方和等于最长边的平方，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵三角形的三内角之比为3：4：5，三角形的内角和等于180°，∴最大角的度数是180°＝75°＜90°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D．∵c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n，∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，c2＝（1+n2）2＝1+2n2+n4，∴c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（ ）A．∠A为直角B．∠B为直角C．∠C为直角D．△ABC不是直角三角形【分析】根据已知条件可得a2+c2＝b2，即可判定△ABC的形状．【解答】解：∵（a﹣c）2＝b2﹣2ac，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角，故选：B．【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（ ）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1B．2C．3D．4【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：①∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；②∵△ABC的三内角之比为3：4：7，∴△ABC中最大角的度数为：180°90°，∴△ABC是直角三角形；③∵△ABC的三边平方之比为1：2：3，∴设三边的平方分别为k，2k，3k，∵k+2k＝3k，∴△ABC是直角三角形；④∵三角形三边之比为3：4：5，∴设三边分别为3a，4a，5a，∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，∴△ABC是直角三角形，所以，上列是直角三角形的有4个，故选：D．【题型7 勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（ ）A．162B．200C．242D．288【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．【解答】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即24＝2×（10+2），b依次为8，15，24，35，48，…，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，c依次为10，17，26，37，50，…，即当a＝24时，c＝122+1＝145，所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288．故选：D．【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2+1，综上所述，其弦是m2+1，故答案为：m2+1．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k（k是正整数）是不是一组勾股数；（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck（k是正整数）是不是一组勾股数．【解答】证明：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：∵k是正整数，∴3k，4k，5k都是正整数，∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，∴ak，bk，ck是三个正整数，∵a2+b2＝c2，∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2，∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 （用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得，A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，把n＝1999代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；（2）把A＝n2+1，B＝2n，代入A2﹣B2中，可得（n2+1）2﹣（2n）2，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；（3）先计算B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2，计算可得（n2+1）2，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．。
二次函数与特殊三角形存在性综合问题(原卷版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)
专题2.6二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）【题型1等腰三角形的存在性问题】【题型2直角三角形的存在性问题】【题型3等腰直角三角形存在性问题】等腰三角形的存在性问题【方法1几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C 1为例，具体求点坐标：过点A 作AH⊥x 轴交x 轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点C 2、C 3、C 4．关于点C 5考虑另一种方法．【方法2代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C 直角三角形的存在性【方法1几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3a b 1N a,31,4333333343C C C C C C C CCC b bM BN AM B A NB M N AM NB AM ==+=======∆≈∆【方法2代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A 【题型1等腰三角形的存在性问题】【典例1】（2023•兴庆区校级模拟）如图，已经抛物线经过点O （0，0），A （5，5），且它的对称轴为x ＝2．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是x 轴上的一点，且△OAB 为等腰三角形，请直接写出B 点坐标．【变式1-1】（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．【变式1-2】（2022秋•亳州期末）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；【变式1-3】（2023春•中山市期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-4】（2022秋•怀远县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；【变式1-5】（2023•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；【变式1-6】（2023•隆昌市校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-7】（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．【变式1-8】（2022秋•朔州期末）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-9】（2022秋•港南区期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BCP的面积最大值；（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2直角三角形的存在性问题】【典例2】（2022秋•云阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线得解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【变式2-1】（2023春•兴宁区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A 作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当点B的坐标为时，直接写出t的值；（2）s关于t的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2023•庄浪县三模）如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x 轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C 构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标；（3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标．【变式2-3】（2023•喀喇沁旗一模）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）判断△BCD的形状并说明理由．（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF ⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．【变式2-4】（2023•铁岭模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝的图象与一次函数y＝﹣的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-5】（2023•怀化二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是抛物线上的动点，当∠OEF＝∠BAE时，求点F的横坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由；【变式2-6】（2023•金湾区一模）如题22图，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，并且经过点A（﹣2，0），交x轴于另一点B，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型3等腰直角三角形存在性问题】【典例3】（2023•增城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-1】（2023•抚远市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-2】（2023•富锦市校级一模）如图，是抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M为该抛物线的对称轴l上一点，点P为该抛物线上的点且在l左侧，当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标．【变式3-4】（2023•西安一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣1的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴于点M，以PM为斜边作等腰直角三角形PMN，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．【变式3-5】（2023•惠民县自主招生）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。
特殊三角形与特殊角三角形在几何题型中的应用
干嘛使？---求值！
求哪些值？ • 求边 • 求角 • 求面积 • 等等等...
例1、(2014年海淀区一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90º， ∠ABC=30º，BC=4，以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接 BD． （1）求四边形ABCD的面积； D C （2）求BD的长．
点评：第1问求两个特殊三角形的面积和 第2问找出BD所在的三角形，然 后过滤特殊三角形与特殊角三角形， 就能发现如△ADB就是一个有120° 角，且有边AD，AB已知的特殊角 三角形，问题迎刃而解！
点评：根据已知条件的三条边的关系 p' 想着去构造直角三角形，此处 运用旋转的思想构造特殊三角形
P
B
C
例9、如图，P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1:2:3，求 ∠APB的度数。
A P D
P' B C
点评：思路跟前面一题思路一样，只是 等边三角形旋转构造特殊三角形 旋转60°，等腰直角三角形或正方 形则旋转90°。
例10、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角 形．∠ADC=30°，AD = 3，BD = 5，求CD的长。 D
点评：此题通过观察特别像手拉手模型 因此想办法补全模型，因为∠ADC=30°， 结果还能发现AD⊥DE，从而构造出了 A 直角三角形，而根据手拉手 模型求BD等价于求AE。
综合练习、如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形， 点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段 CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E. （1）如图1，证明：BQ=AP； （2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，第（1） 问的结论是否任然成立，若不成立请说明理由； （3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。
二年级加减法 黄金三角题
黄金三角形是一个特殊的等腰三角形，它的两个腰相等，且两个底角也相等。
这样的三角形被认为是非常完美的三角形。
为了进行加减法运算，我们可以考虑如何使用黄金三角形来帮助解决简单的算术问题。
1. 基础题型：我们可以设置两个等大的三角形来表示两个相加或相减的数字。
例如：2 + 3 = 5
我们可以用两个等大的三角形来表示2和3，然后合并它们来形成一个大的三角形，表示5。
2. 进阶题型：考虑到黄金三角形的特点，我们还可以引入更多的几何图形进行运算。
例如：3 + 5 - 4 = 4
我们可以用一个大的黄金三角形来表示3，一个小的黄金三角形来表示4，然后从大的黄金三角形中减去小的黄金三角形，得到结果4。
通过这种方式，学生可以在进行加减法运算的同时，了解几何图形的特性和结构，使学习更加有趣和实用。
河北专版八上第17章特殊三角形阶段题型专训利用勾股定理解题的常见题型冀教版
解：如图，连接BD. ∵在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点， ∠ABC＝90°，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC. ∴∠ABD＝∠CBD＝45°.又易知∠C＝45°， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD. ∵DE⊥DF，BD⊥AC， ∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF＝90°. ∴∠FDC＝∠EDB.
2．(2019·河北唐山路北区期中)如图，阴影部分是两个正方形， 其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分 的面积和为____8_1___．
3．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 AC 边的中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F. 若 AE＝4，FC＝3，求 EF 的长．
9．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 1 cm/s 的速度运动，设运动的时 间为 t s.
(1)求 BC 边的长； 解：在Rt△ABC中，BC2＝ AB2－AC2＝52－32＝16， ∴BC＝4 cm.
(2)当△ABP 为直角三角形时，借助图①求 t 的值；
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC2＝25，所以 AC＝5. 由折叠的性质得 AB′＝AB＝3，B′E＝BE，∠AB′E＝∠B＝90°. 设 B′E＝BE＝x，则 CE＝4－x. 在 Rt△B′CE 中，B′C＝AC－AB′＝5－3＝2，由勾股定理得 B′E2 ＋B′C2＝CE2，即 x2＋22＝(4－x)2，解得 x＝32. 所以 EB′的长为32.
(3)当△ABP 为等腰三角形时，借助图②求 t 的值． 解：当△ABP 为等腰三角形时，有三种情况： Ⅰ.如图①，当 BP＝AB 时，t＝5； Ⅱ.如图②，当 AB＝AP 时，BP＝2BC＝8 cm，即 t＝8； Ⅲ.如图③，当 BP＝AP 时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm. 在 Rt△ACP 中，AP2＝AC2＋CP2，∴t2＝32＋(t－4)2，解得 t＝285. 综上所述，当△ABP 为等腰三角形时，t＝5 或 t＝8 或 t＝285.
题型技巧练：1_1_2 等边三角形(原卷版)
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
解题技巧提炼
根据动点和时间表示出线段长度，进而解决问题。
【变式3-1】如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从点C出发，以每秒2个单位的速度在线段AC上从点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为 秒.(1)运动_____秒时，CD=3AE.(2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；(3)若△ABD≌△DCE，∠BAC= 则∠ADE=_______(用含 的式子表示)．
【变式1-3】如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．
（1）求∠EFB的度数；
（2）求证：DE＝2DF．
【变式1-4】如图，已知∠AOB＝120°，△COD是等边三角形（三条边都相等，三个角都等于60°的三角形），OM平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOM＝；
【变式5-2】如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是（）
A．AB＝AC，∠B＝∠CB．AD⊥BC，BD＝CD
C．BC＝AC，∠B＝∠CD．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
【变式5-3】如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
【变式5-5】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
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八年级上册第二章 特殊三角形一、将军饮马例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ）A 、3√10B 、10√3C 、9D 、9√2 【变式训练】1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2√3 C 、4 D 、8√332、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x 2+4+√(8−x )2+16的最小值二、等腰三角形中的分类讨论例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为（2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 【变式训练】1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数5、已知等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的度数为EBCADP第2题 BOAPCD第1题 BOACN第3题D Ey =−34x +6 7、如图，A 、B 是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置三、两圆一线定等腰例3在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有 个 【变式训练】1、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，√3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则符合条件的点P 的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82、在平面直角坐标系中，若点A （2，0），点B （0，1），在坐标轴上找一点C ，使得△ABC 是等腰三角形，这样的点C 可以找到 个．3、在坐标平面内有一点A （2，−√3），O 为原点，在x 轴上找一点B ，使O ，A ，B 为顶点的三角形为等腰三角形，写出B 点坐标4、平面直角坐标系中，已知点A （4，2），B （4，-3），试在y 轴上找一点P ，使△APB 为等腰三角形，求点P 的坐标5、如图1，已知一次函数 分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，过点B 的直线BC 交x 轴负半轴与点C ，且OC=12OB ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）如图2，若△ABC 中，∠ACB 的平分线CF 与∠BAE 的平分线AF 相交于点F ，求证：∠AFC=12∠ABC ； （3）在x 轴上是否存在点P ，使△ABP 为等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由ABxyO四、折叠问题 例4：如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点D 落在线段BC 的点F 处，则线段DE 的长为【变式训练】1、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点B 落在对角线AC 的点F 处，则线段BE 的长为2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿EF 将矩形折叠，使A 、C 重合，若，则折痕EF 的长为3、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿AC 将矩形折叠，使得点B 落在点E 处，则线段EF 的长为4、如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A 在坐标原点，AB 在x 轴正方向上，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，M 在DC 上，将△ADM 沿折痕AM 折叠，使点D 折叠后恰好落在EF 上的P 点处．（1）求点M 、P 的坐标；（2）求折痕AM 所在直线的解析式；（3）设点H 为直线AM 上的点，是否存在这样的点H ，使得以H 、A 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．例5 如图，在△ABC 中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高线． （1）如果BD=CE ，那么△ABC 是等腰三角形，请说明理由；（2）如果∠A=60°，取BC 中点F ，连结点D 、E 、F 得到△DEF ，请判断该三角形的形状，并说明理由；E D C A B FE F D C A B 第1题 E F G D C A B 第2题 FE D C AB 第3题（3）如果点G是ED的中点，求证：FG⊥DE【变式训练】1、如图，点M是Rt△ABC斜边BC的中点，点P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．（1）如图1，若P、Q分别是AB、AC的中点，求证：PQ2=PB2+QC2；（2）如图2，若P、Q分别是线段AB、AC的动点（不与端点重合）（1）中的结论还成立吗？若成立请给与证明，若不成立请说明理由2、问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）填空：∠AEB的度数为；拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，点M为AB的中点，连接BE、CM、EM，求证：CM=EM．全等之三垂直（K 型图）例1 如图，已知AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AB ⊥BE ，AB=BE 求证：AC=BF,BC=EF1、如图，已知，AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AB ⊥CE ，AC=CF 求证：AB=CE2、已知，AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AG ⊥CE ，AG=CE 求证：AG=CF3、如图： 已知，AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∠ABC=90°，AB=AC ，求证：AE=BD ，BE=CD4、如图，点A 是直线 在第一象限内的一点；连接OA ，以OA 为斜边向上作等腰直角三角形OAB ，若点A 的横坐标为4，则点B 的坐标为5、已知：如图，点B,C,E 在同一条直线上，∠B=∠E=60°，∠ACF=60°，且AB=CE 证明：△ACB ≌△CFE全等之手拉手模型例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFBy =12x +3 EAB D CGFEC ABGFECA60°60°60°A EH F GED（5）△EGB≌△CFB（6）BH平分∠AHC（7）GF∥AC1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC（2）AE=DC（3）AE与DC的夹角为60。
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC（2）AE=DC（3）AE与DC的夹角为60。
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC3、如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H. 问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？5、两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a连接AE与CD.问（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？钢架中的等腰三角形例 1 如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架．若AB=BC=CD=DE…一直作下去，那么图中这样的钢条至多需要根1、如图钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…至多需要8根加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A= ．2、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，量得∠BP5P4=100°，则∠A=（）度．A．10 B．20 C．15 D．253、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5来加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A的取值范围．4、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是H GA DCEHDABCE。