控制系统微分方程的建立

5
(2-17) (2-18)
(2-19） (2-20) (2-21)
K m ——电动机传递系数(rad／s·V)。
由式(2-21)可见，电枢控制他励直流电动机的动态方程是一个二阶线性常微分方程。如 果以转速ω(rad·s-1)为输出，则为一阶线性常微分方程，即
Tm
dω dt
+ω
=
Kmua
(2-22)
式中： ω = dθm dt .
综上所述，列写元件的微分方程的步骤可归纳如下： （1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量； （2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律等，列写相应的微分方程； （3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即得元件时域的数学模 型。 一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的一端，与输 出量有关的项写在方程的另一端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。 二、控制系统微分方程的建立 了解了典型元件的微分方程，就可以求整个控制系统的微分方程了。首先，找到控制系统 的总输入量和最终的输出量，明确系统中各元件的联结方式和各自的工作原理，分别列写出 各典型元件的微分方程，组成方程组，消去所有中间变量，得到系统最终输入量和输出量的 关系式即为控制系统的微分方程。 例 2-6 已知直流电动机，定子与转子的电磁关系如图 2-6 所示，机电系统原理如图 2-7 所示。试写出其运动方程。
4．齿轮系统 例 2-4 试列写图 2-4 所示齿轮系统的运动方程。图中齿轮 1 和齿轮 2 的转速、齿轮数和
半径分别用 ω1 ，Z1 ，r1 和 ω2,Z2,r2 表示，其粘性摩擦系数及转动惯量分别是 f1,J1 和 f2，,J2 ； 齿轮 1 和齿轮 2 的原动转矩及负载转矩分别是 Mm，,M1 和 M2，Mc。
=
⎜⎜⎝⎛
Z Z
1 2
⎟⎟⎠⎞2 M c
则齿轮系的微分方程为：
J
dω1 dt
+
fω1
+
M c'
=
Mm
（2-15）
式中 J , f 及 M c' 分别是折合到齿轮 1 上的等效转动惯量、等效粘性摩擦系数及等效负载转
矩。显然，折算的等效值与齿轮系的速度比有关，速度比 ω1/ω2 越大，Z1/Z2 越小，折算的 等效值越小。如果齿轮系的速度比足够大，则后级齿轮及负载的影响便可以不予考虑。 5．电枢控制的他励直流电动机
电枢电路方程
⎪⎪⎧ua (t) ⎨
⎪ ⎪⎩
Eb
=
= Raia (t) +
Kb
dθm (t) dt
La
dia (t) dt
+
Eb
式中：
ua (t )——输入电压信号(V)；
ia (t ) ——电枢电流(A)；
(2-16)
Ra ——电枢电阻(Ω)；
La ——电枢电感(H)；
4
Eb ——电动机的反电势(V)；
⎪⎧La ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪
dI a dt
+ Ra I a
+
ห้องสมุดไป่ตู้Ea
Ea = keω
Ja
dω dt
=
Ma
=Ua
⎪⎩
M a = kcIa
(2-27)
消去中间变量 I a 、 Ea 、 M a ，得到输入为电枢电压U a ，输出为转轴角速度 ω 的二阶微
分方程
J a La kc
d 2ω dt 2
+
J a Ra kc
整理
J
dω dt
+
fω
=
M
f
(2-5)
方程的输入变量是作用力矩 M f ，输出变量是旋转角速度 ω ，则方程是变量关系为 M f − ω
2
的一阶微分方程。如果以转角θ 为输出变量，因为 ω = dθ dt
代入方程得
J
d 2θ dt 2
+
f
dθ dt
=
Mf
(2-6)
式（2-6）即为以转角θ 为输出变量的二阶微分方程。
dω dt
+ keω
=Ua
(2-28)
这是一个二阶线性微分方程。因为电枢绕组的电感一般都很小，如果略去电枢绕组的电
感 I a ，则可以得到一阶线性微分方程
J a Ra kc
dω dt
+ keω
=Ua
(2-29)
7
由上可见，线性系统微分方程的一般形式是高阶微分方程：
an
d (n)c(t) dt n
+
1
解: 由加速度定律
和力为
∑ ma = F = m d 2 x
dt 2
其中弹性阻力
∑ F = Fk + Ff + F (t)
粘滞阻力 带入方程有
Fk = −kx
Ff
= −f
dx dt
m
d2 dt
x
2
=
−kx −
f
dx dt
+
F (t)
整理
d2x m
+
f
dx
+ kx
=
F (t)
dt 2 dt
这是一种机械平移运动的运动方程，它是一个二阶微分方程。
解：控制系统的执行元件与负载之间往往通过齿轮系进行运动传递，以便实现减速和增
大力矩的目的。在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同，因此有关系
式：
M 1ω1 = M 2ω2
（2-7）
ω1r1 = ω2 r2
（2-8）
图 2-4 齿轮系统
又因为齿数与半径成正比，即： r1 = Z1 r2 Z 2
图 2-6 电动机定、转子电磁关系示意图
图 2-7 直流电动机系统
解：直流电动机的运动是一复合系统的运动。它由两个子系统构成，一个是电网络系统，
由电网络得到电能，产生电磁转矩。另一个是机械运动系统，输出机械能带动负载转动。在
图 2-6 的电机结构示意图中，设主磁通 Φ 为恒定磁通，也就是说在励磁电压 u f 为常数时，
Mm
=
⎡
⎢ ⎢⎣
J
1
+ ⎜⎜⎝⎛
Z1 Z2
⎟⎟⎠⎞
2
J
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
dω1 dt
+
⎡
⎢ ⎢⎣
f1
+
⎜⎜⎝⎛
Z Z
1 2
⎟⎟⎠⎞ 2
⎤ f 2 ⎥⎥⎦ω1
+
M
c
⎜⎜⎝⎛
Z Z
1 2
⎟⎟⎠⎞
(2-14)
令
3
J
=
J1
+ ⎜⎜⎝⎛
Z1 Z2
⎟⎟⎠⎞ 2
J2
f
=
f1
+
⎜⎜⎝⎛
Z Z
1 2
⎟⎟⎠⎞ 2
f2
Mc'
Ra J m Cm
d 2θ m dt 2
+ ⎜⎜⎝⎛ Kb
+
Ra fm Cm
⎟⎟⎠⎞
dθ m dt
+ Ra Cm
ML
= ua
令
Tm
=
Ra J m KbCm + Ra
fm
Km
=
Cm KbCm + Ra
fm
并设 M L = 0 , 则
Tm
d 2θ m dt 2
+ dθm dt
= Kmua
式中：
Tm ——电动机时间常数(s)；
fm
dθm (t) +
dt
ML
式中：
J m ——电枢转动惯量( N ⋅ m ⋅ s 2 / rad );
( ) f m ——电动机轴上的粘性摩擦系数 N ⋅ m / rad ⋅ s −1 ；
M L ——负载力矩 (N ⋅ m)
将式(2-17)和(2-18)代入式(2-16)中，消除中间变量 ia (t )、Eb和M m ，可得
一、典型元件系统微分方程的建立
1． 电学系统 电学系统中，所需遵循的是元件约束和网络约束，元件约束指电阻、电容、电感等器件
的电压——电流关系遵循广义欧姆定律，网络约束指基尔霍夫电压定律和电流定律。
例 2-1 RLC 无源网络如图 2-1 所示，图中 R、L、C 分别为电阻(Ω)、电感(H)、电容(F)；
3．机械旋转系统
例 2-3 已知机械旋转系统如图 2-3 所示，试列出系统运动方程。
解：由角加速度方程
J
dω dt
=
∑M
其中，
J——转动惯量， ω ——旋转角速度，
∑M——和力矩，
得
图 2-3 机械旋转系统
J
dω dt
=
−
fω
+
M
f
其中， M f ——作用力矩；
(2-4)
fω ——阻尼力矩，其大小与转速成正比，负号表示方向与作用力矩方向相反。
dt2
)
+
RC
duc (t)
dt
+
uc
(t
)
(2-2)
令 LC = T 2 , RC = 2ζT 则上式又可以写成如下形式
T
2
d
2u dt
c (t
2
)
+
2ζ T
du c (t ) +
dt
u c (t ) =
u r (t )
(2-3)
式中 T 称为时间常数，单位为秒， ζ 称为阻尼系数，无量纲。
式（2-3）就是所求得 RLC 网络的微分方程。 2． 机械平移运动
(2-9)
于是有：
ω2
=
Z1 Z2
ω1
(2-10)
M1
=
Z1 Z2
M2
(2-11)
根据力学中定轴转动的转动定律，可分别写出齿轮 1 和齿轮 2 的运动方程：
J1
dω1 dt
+
f1ω1
+ M1
=
Mm
J2
dω 2 dt
+
f 2ω2
+ Mc
=
M2
由上述方程消去 ω2 ，M1 ，M2，得
（2-12） （2-13）
方程中， J a ——电动机转子的转动惯量(N·m·s2/rad)；
M a ——电动机的电磁转矩(N·m)；
M L ——折合阻力矩(N·m)。
4．转矩平衡方程
M a = kcIa
(2-26)
方程中， kc ——电磁转矩常数，由电动机的结构参数确定(N·m／A)。
将上述四项方程联立，因为空载下的阻力力矩很小，略去 M L ，得方程组如下
古典力学系统的运动规律是由牛顿定律来制约的。在求取力学系统的运动方程时，要分 析是哪一种运动的平衡，如平移运动、旋转运动、动量平衡等。在分析当中，特别要注意物 理单位之间的关系和换算，找到平衡关系，列出平衡方程式。
例 2-2 设弹簧一质量—阻尼器系统如图 2-2 所示，试列出以 F（t）为输入，以质量单 元 的位移 x(t)为输出的运动方程。
Kb ——反电势系数(V／rad·s-1)；
θm (t ) ——电动机转角(rad)。
电磁转矩方程
M m (t) = Cm ⋅ ia (t) 式中： M m (t ) -—电磁转矩(N·m)；
Cm ——力矩系数[(N·m)／A]。
直流电动机转矩平衡方程
M m (t) =
Jm
d 2θm (t) +
dt 2
例 2-5 电枢控制的直流电动机如图 2-5 所示，建立输入电压 ua (t )(V)和输出转角θm (t )
之间的动态关系式。
图 2-5 电枢控制的他励直流电动机
解： 电枢控制的他励直流电动机，激磁电流 if ，保持不变，仅改变加在电枢两端的电压
ua (t )来控制电机的运动方式。根据电动机的工作原理可列出如下方程:
an−1
d (n−1)c(t) dt (n−1)
+ L + a1
kc
dc(t) dt
+
a0
(t)
=
bm
d (m) r(t) dt m
+ bm−1
d (m−1) r(t) dt (m−1)
+ L + b1
dr(t) dt
+ b0r(t)(n
≥
m)
(2-30)
§2-2 非线性微分方程的线性化
上一节在推导元件或系统的微分方程时，假定它们都是线性的，所得到的微分方程是线 性的微分方程。但是，在工程实际问题中，纯粹的线性系统几乎是不存在的，因为组成系统 的元件都存在程度不同的非线性特性。在控制理论中，按特性的非线性程度不同把它们分成 两类。第一类是非线性特性在工作点附近不存在饱和、继电、死区、间隙等，我们把这种非 线性特性叫做“非本质非线性”特性；第二类是非线性特性在工作点附近存在饱和、继电、 死区、间隙等，这种非线性特性叫做“本质非线性”特性，见图 2-8 所示。如果系统所含非 线性特性是本质非线性特性，这种系统要用非线性系统的理论来研究。如果系统所含的非线 性特性是“非本质”的，把它线性化后，仍可用线性系统理论进行研究。
§2-1 控制系统微分方程的建立
要建立一个控制系统的微分方程，首先必须了解整个系统的组成、工作原理,然后根据支 配各组成元件的物理定律，列写出整个系统输出变量与输入变量之间关系的动态关系式，即 微分方程。列写微分方程的一般步骤如下：
①分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量(变量)之间的关系，确定系统和各元 件的输入、输出变量。
建立输入电压 ur (V)和输出电压 uc (V)之间的微分方程。
解：根据电路理论中的基尔霍夫定律，可得
⎪⎧u ⎨ ⎪ ⎩
r
(t
)
= u
Ri
c (t
(t) + L di(t) +
dt
)
=
1 C
∫
i(t
)dt
uc
(t
)
(2-1)
消去中间变量 i(t)，则
图 2-1 RLC 无源网络
ur
(t
)
=
LC
d
2uc (t
La J m Cm
d 3θ m dt 3
+
⎜⎜⎝⎛
Ra J Cm
m
+
La f m Cm
⎟⎟⎠⎞ ⋅
d 2θ m dt 2
+ ⎜⎜⎝⎛ Kb
+
Ra f m Cm
⎟⎟⎠⎞
dθ m dt
+ Ra Cm
ML
+ La Cm
dM L dt
= ua
若考虑到直流电动机中 La 较小，可以忽略不计，式(2-19)可以写成
Ra ——电枢绕组的电阻(Ω)；
6
La ——电枢绕组的电感(H)；
Ea ——电枢绕组的感应电动势(V)。
2．电动势平衡方程
Ea = keω 方程中， ω ——电枢旋转角速度(rad/s)；
ke ——电动势常数，由电动机的结构参数确定(V·s/rad)。
3．机械平衡方程
Ja
dω dt
=
Ma
−ML
(2-24) (2-25)
产生常数值的励磁电流 I f ，从而主磁通 Φ 也为常数。忽略旋转粘滞系数 fa ，则可以写出各
平衡方程如下。(有关直流电动机的详细内容，可以参阅电力拖动有关书籍。) 1.电网络平衡方程
La
dI a dt
+
Ra I a
+
Ea
=Ua
(2-23)
方程中，U a ——电动机的电枢电压(V)；
I a ——电动机的电枢电流(A)；
②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理(或化学等)定律，列 写动态关系式，一般为一个微分方程组。
③对已建立的原始方程进行数学处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方程进 行线性化等。
④消除中间变量，写出关于输出、输入变量之间关系的数学表达式，即微分方程。 下面举例说明建立微分方程的方法和步骤。