安徽省芜湖市2018年高考模拟数学试题(文)-含答案

安徽省芜湖市2018年高考模拟数学试题（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z 满足()11i z -=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2.已知全集{}
{}2,20,1,0,1,2U Z A x Z x x B ==∈--≥=-，则()U C A B ⋂=（ ） A ．{}1,2- B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,2 3.若1sin cos 0αα-<+<，则（ ）
A ．sin 0α<
B ．os 0α<c
C ．tan 0α<
D ．cos 20α<
4.已知点(在双曲线()22104x y a a
-=>的一条浙近线上，则=a （ ）
A ．3 C. 2 D ． 5.“21a =”是“函数()2lg 1f x a x ⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6.执行所级的程序框输送，则输出A 的值是（ ）
A ．
155 B ．158 C.161 D ．1
64
7.边长为4的正三角形ABC 中，点D 在边AB 上，12
AD DB =
，M 是BC 的中点，则
AM CD ⋅=
（ ）
A ．16
B ．-．8-
8.等比数列{}n a 共有12+n 项，其中11a =，偶数项和为170，奇数项和为341，则=n （ ） A ．3 B ．44 C.7 D ．9
9.函数()2cos f x x x =⋅在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C. D ．
10.抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则AHF ∆的面积是（ ）
A ．4
B ． C. D ．8 11.将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向左平移
4π
ω
个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于直线x ω=对称且在区间(),ωω-内单调递增，则ω的值为（ ）
A B ．4π．32
π
12.若函数()()1,21,x
x e x a
f x x x a
⎧-+⋅≤⎪=⎨-->⎪⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．211,22e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭
B ．21,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.[)2-+∞ D ．2112,22e ⎛
⎤--- ⎥⎝
⎦
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.以下茎叶图记录了某学习小组六名同学在一次数学测试中的成绩（单位：分），已知该组数据的中位数为85，则x 的值为 ．
14.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为 ．
15.已知点(),P x y 在不等式组20
330
x y a x y -+≥⎧⎨+-≤⎩（a 为常数）表示的平面区域上运动，若
43z x =+的最大值为8，则=a ．
16.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且()cos 3cos b C a c B =-．D 为
AC 边的中点，且1=BD ，则ABD ∆面积的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若93581,a 14S a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=
，若{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1
2
n T <． 18.2017年3月14日，“ofo 共享单车”终于来到芜湖，ofo 共享单车又被亲切称作“小黄车”是全球第一个无桩共享单车平台，开创了首个“单车共享”模式．相关部门准备对该项目进行考核，考核的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于8.0，否则该项目需进行整改，该部门为了了解市民对该项目的满意程度，随机访问了使用共享单车的100名市民，并根据这100名市民对该项目满意程度的评分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图：
（I ）为了了解部分市民对“共享单车”评分较低的原因，该部门从评分低于60分的市民中
随机抽取2人进行座谈，求这2人评分恰好都在[)50,60的概率；
（II ）根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过考核，并说明理由． （注：满意指数=
100
意程度的平均得分
满）
19.如图所示，在直角梯形ABCD 中，,,22AD BC AD DC BC AD DC ⊥== ，四边形ABEF 是正方形，且平面ABEF ⊥平面ABCD ，M 为AF 的中点，
（I ）求证：BM AC ⊥；
（2）求异面直线CE 与BM 所成角的余弦值．
20.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，M 为C 上除长轴顶点外的一动点，
以M 为半径作圆，过原点O 作圆M 的两条切线，B A ，为切点，当M 为短
轴顶点时2
AOB π
∠=.
（I ）求椭圆的方程；
（II ）设椭圆的右焦点为F ，过点F 作MF 的垂线交直线x 于N 点，判断直线MN 与椭圆的位置关系．
21.已知函数()()2
1ln 2
x f x ax x =-+．
（I ）若2=a ，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 的方程；
（II ）设函数()()'g x f x =有两个极值点12,x x ，其中()10,x e ∈，求()()12g x g x -的最小值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
x m y ⎧=⎪⎨
⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22
4
1sin ρθ
=+，且直线l 经过曲线C 的左焦点F ．
（I ）求直线l 的普通方程；
（II ）设曲线C 的内接矩形的周长为L ，求L 的最大值． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()225f x x a x a R =-++-∈． （I ）试比较()1f -与()f a 的大小；
（II ）当1a ≥-时，若函数()f x 的图象和x 轴围成一个三角形，则实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题
1-5: DCCBB 6-10:CDBBC 11、12：CA
二、填空题
13.8
14. 15.2
三、解答题
17.解：（I ）{}n a 等差数列， 由95981S a ==，得59a =． 又由3514a a +=，得35a =． 由上可得等差数列{}n a 的公差2=d .
()3321n a a n d n ∴=+-=-.
（II ）由()()(
)()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭． 得111111111
11233521212212
n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ ．
18.解：（I ）依题意得：评分在[)40,50、[)50,60的频率分别为02.0和03.0, 所以评分在[)40,50、[)50,60的市民分别有2个和3个，记为12123,,,,A A B B B 从评分低于60分的市民中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
它们是{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B ． 其中2人评分都在[)50,60的有三种，即{}{}{}121323,,,,,B B B B B B ． 故所求的概率为
3
10
． （II ）由样本的频率分布直方图可得满意程度的平均得分为
5.802
6.0953.08524.07515.06503.05502.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯。

可估计市民的满意指数为
80.5
0.8050.8100
=>， 所以该项目能通过验收．
19.解：（I ）证明：因为四边形ABEF 为正方形，所以AB BE ⊥．
因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面 AB ABEF =，
⊂BE 平面ABEF ．
所以BE ⊥平面ABCD ．因为⊂AC 平面ABCD ，所以⊥BE AC ． 设1=AD
，则AC AB ==AC AB ∴⊥且AB BE B ⋂=，
AC ∴⊥平面ABEF ，又⊂BM 平面ABEF ．AC BM ∴⊥．
（II ）取BC 的中点记为Q ，BE 的中点记为N ，连接DQ QN MN ，，， 易得,CE QN AB MN ．
在直角梯形ABCD 中，由DC AD BC 22==可得DQ AB ， 所以四边形DMNQ 为平行四边形，可得DM QN ．
故DM CE ，DMB ∠即为异面直线CE 与BM 所成的角（或其补角） 设a BC 2=,则a DC AD ==，
可得,,DM BD BM =
=．
cos DMB
∠==
得异面直线CE 与BM ． 20.解：
（I ）由题意，)(OMB OMA ∆∆为等腰直角三角形，因为圆M
，所以1=b ，
又因为c a =a 2212
x y +
=；
（II ）（i
）MF 垂直于x 轴，则()1,,2,0,22MN M N k ⎛=±
⎝⎭， 此时直线MN 的方程为)2y x =-，代入椭圆方程得：2210x -+=， 所以直线MN 与椭圆相切；
（ii ）MF 不垂直于x 轴，设()00,M x y ，则00
00
1,1MF NF y x k k x y -==-， 直线NF 的方程()0011x y x y -=-，令2=x ，解得0
01x y y -=，即得0012,x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
()0
02000000
1122MN
x y y x y k x x y ----==
--，由()00,M x y 在椭圆上，得2
2
0012x y =-， 代入()()2
20000000
01121222MN
x x x y x k x y x y y ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭===---．
得直线MN 方程为()0
000
2x y y x x y -=-
-， 与椭圆方程联立得：()000220
002222000222122021
2x y y x x y x x x x y y y x y ⎧
-=--⎪⎛⎫⎪⇒+-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩， 化简得：2
00010x x y y ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，所以此时直线MN 与椭圆相切，
综合（i ）（ii ），直线MN 与椭圆相切． 21.解：（I ）当2=a 时，()()()11
'2ln 2,'12,12
f x x x f f x =+-+==， 得切线l 的方程为()1
212
y x -
=-即4230x y --=． （II ）()1
ln g x a x x a x
=+-
+，定义域为()0,+∞． ()222
11'1a x ax g x x x x ++=++=，令()
'0g x =得2
10x ax ++=，其两根为12,x x ， 且1212,1x x a x x +=-=．所以，211111,x a x x x ⎛⎫
=
=-+ ⎪⎝
⎭． ()()()12111111111111ln ln g x g x g x g x a x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1111111111122ln 22ln x a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()(]1122ln ,0,h x x x x x e x x ⎛⎫⎛
⎫=-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．
则()()()()12min min g x g x h x -=, ()()()2
211ln 'x x x
h x x +-=
,
当(]0,1x ∈时，恒有()(]'0,1,h x x e ≤∈时，恒有()'0h x <，
总之当(]1,x e ∈时，()h x 在(]0,x e ∈上单调递减，所以()()min 4
h x h e e
==-，
()()()12min 4
g x g x e
∴-=-．
22.解（I ）因为曲线C 的极坐标方向为2241sin ρθ
=
+，即222
sin 4ρρθ+=，
将2
2
2
,sin x y y ρρθ=+=代入上述并化简得22
142
x y +=，
所以曲线C 的直角坐标方程为22
142
x y +=
，于是()
2222,c a b F =-=，
直线l 的普通方程为x y m -=
，将()
F
代入直线方程得m =
所以直线的普通方程为0x y -．
（II ）设椭圆C
的内接矩形在第一象限的顶点为()
2cos 02πθθθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，
所以椭圆C 的内接矩形的周长
为(
)
()24cos L θθθϕ=+=+，（其
中
tan ϕ=）
此时椭圆C
的内接矩形的周长取得最大值
23.解：（I ）因为()()()12251510f a f a a a --=+--+-=+≥，于是()()1f a f ≥-． 当且仅当1a =-时时等号成立；
（II ）①1a =-时，()315f x x =+-满足题意，
③当1a ≥-时，()33,,
2253,1,37,1,x a x a f x x a x x a x a x a x --≥⎧⎪
=-++-=+--≤<⎨⎪-+-<-⎩
由（I ）可知()()1f a f >-，此时函数()f x 的图象和x 轴围成一个三角形等价于()()230
140
f a a f a ⎧=-≥⎪⎨
-=-<⎪⎩，解得3,42a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 综上知a 的取值范围是{}3,412a ⎡⎫
∈⋃-⎪⎢⎣⎭
．。