【同步练习】高中数学北师大版必修5第2章1《正弦定理与余弦定理》(第2课时余弦定理)word同步练习

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高中数学北师大版必修5同步练习：1.1 第2课时《正弦定理与余弦定理》

1.1 第2课时《正弦定理与余弦定理》一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A ．14B ．34C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34. 2．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则∠C 的大小为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．23π [答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )且p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. ∴C ＝π3. 3．在△ABC 中，已知2a 2＝c 2＋(2b ＋c )2，则∠A 的值为( )A ．30°B ．45°C ．120°D ．135°[答案] D[解析] 由已知得2a 2＝c 2＋2b 2＋c 2＋22bc ，∴a 2＝b 2＋c 2＋2bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝－2bc ，又b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，∴2bc cos A ＝－2bc ，∴cos A ＝－22，∴A ＝135°. 4．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A ．43 B ．8－4 3C ．1D ．23[答案] A[解析] 本题主要考查余弦定理的应用．在△ABC 中，C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ＝4，∴ab ＝43，选A ． 5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A ．(0，π6] B ．[π6，π) C ．(0，π3] D ．[π3，π) [答案] C[解析] 本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，∴0<A ≤π3，故选C ． 6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形[答案] D[解析] 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 和B ＝60°，得ac ＝a 2＋c 2－ac ，(a －c )2＝0.所以a ＝C ．又B ＝60°，所以三角形是等边三角形．二、填空题7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦等于32，则三边长为__________． [答案] 3,5,7[解析] ∵a －b ＝2，b －c ＝2，∴a >b >c ，∴最大角为A ．sin A ＝32，若A 为锐角，则A ＝60°，又C <B <A ，∴A ＋B ＋C <180°，这显然不可能，∴A 为钝角．∴cos A ＝－12，设c ＝x ，则b ＝x ＋2，a ＝x ＋4.∴x 2＋(x ＋2)2－(x ＋4)22x (x ＋2)＝－12， ∴x ＝3，故三边长为3,5,7.8．(2014·天津理，12)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．[答案] －14[解析] 本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理．∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c又∵b －c ＝14a ∴b ＝34a c ＝12a ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝916a 2＋14a 2－a 22×34a ×12a ＝－14. 三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求B ．[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.由a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19. ∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2. (1)求sin C 的值；(2)若 a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．[解析] (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得sin C ＝34. (2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2，即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，得(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，∴c ＝7＋1.一、选择题1．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( )A ．19B ．－14C ．－18D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935. 又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B )＝－|AB →|·|BC →|cos B＝－7×5×1935＝－19. 2．在△ABC 中，若△ABC 的面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则∠C 为( ) A ．π4B ．π6C ．π3D ．π2 [答案] A[解析] 由S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，得12ab sin C ＝14×2ab cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝π4. 3．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A ．1010 B ．105C ．31010D ．55[答案] C [解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC ＝ 5. 由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A， ∴sin A ＝BC sin B AC ＝3×225＝31010. 4．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32B ．－23C ．23D ．32[答案] D[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos<AB →，AC →>，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos<AB →，AC →>＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝14. 故AB →·AC →＝3×2×14＝32. 二、填空题5．在△ABC 中，已知(b ＋c ) (c ＋a ) (a ＋b )＝4 5 6，求△ABC 的最大内角为________．[答案] 120°[解析] 设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)．则a ＋b ＋c ＝7.5k ，解得a ＝3.5k ，b ＝2.5k ，c ＝1.5k .∴a 是最大边，即角A 是△ABC 的最大角．由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，即最大角为120°.6．已知钝角△ABC 的三边，a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的范围是________．[答案] (2,6)[解析] ∵c >b >a ，∴角C 为钝角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.而k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2，故k 的范围是(2,6)．三、解答题7．(2014·安徽理，16)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c 且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ．(1)求a 的值；(2)求sin(A ＋π4)的值． [解析] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13，由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223，故sin(A ＋π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋(－13)×22＝4－26. 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ．(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，C ．[分析] 利用三角形正弦定理，将已知条件a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B 中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B 角，然后再利用正弦定理求得a ，c 的值．[解析] (1)∵a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B∴a 2＋c 2－2ac ＝b 2∴a 2＋c 2－b 2＝2ac∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22∴B ＝45°(2)由(1)得B ＝45°∴C ＝180°－A －B ＝180°－75°－45°＝60°由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C∴a ＝b ·sin A sin B ＝2×sin75°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1 c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝2×3222＝6. [方法总结] 本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力．解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边、角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边、角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．。

高中数学北师大版必修5同步课件：2.1 第2课时《正弦定理与余弦定理》

(3)变形： b2＋c2－a2 cosA＝________________ ； 2bc a2＋c2－b2 cosB＝________________ ； 2ac a2＋b2－c2 cosC＝________________. 2ab
2．余弦定理及其变形的应用应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类夹角解三角形，另一类是已知________ 三边解是已知两边及其________ 三角形．
3．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C ＝ 90°，则 cosC ＝ 0 ，于是 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2a·b·0 ＝ a2 ＋ b2 ，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
规律：设 c 是△ ABC 中最大的边 ( 或 C 是△ ABC 中最大的
已知在△ABC 中， abc＝2 6( 3＋1)，求∠A 的度数．
[解析] ∵abc＝2 6( 3＋1) 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0) b2＋c2－a2 2 由余弦定理 cosA＝ 2bc ＝ 2 ， ∵A∈(0，π)，∴∠A＝45° .
已知两边及一角解三角形
△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，∠B＝30° ，解三角形．
[分析] 由题目可知以下信息： ①已知两边和其中一边的对角．
②求另外的两角和另一边．
解答本题可先由正弦定理求出角 C，然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a，再由正
弦定理求角A，角C．
[解析] 解法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos30° ， ∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，∠A＝30° ，∠C＝120° . 1 6×2 asinB 当 a＝6 时，由正弦定理 sinA＝ b ＝ 3 ＝1. ∴∠A＝90° ，∴∠C＝60° .

【步步高】高中数学北师大版必修5练习：2.1.2余弦定理(二)(含答案解析)

1.2余弦定理(二)课时目标 1.娴熟掌握正弦定理、余弦定理； 2.会用正、余弦定理解三角形的相关问题．1．正弦定理及其变形a b c(1)sin A＝sin B＝sin C＝ ________.(2)a＝ __________， b＝__________ ， c＝ _____________.(3)sin A ＝ __________ ， sin B ＝ __________ ， sin C＝ ____________.(4)sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ __________.2．余弦定理及其推论2(1)a ＝ ____________________.(2)cos A ＝ ______________.(3)在△ ABC 中， c2＝ a2＋ b2? C 为 ________； c2>a2＋ b2? C 为 ________； c2<a2＋ b2? C 为 ________．3．在△ ABC 中，边 a、b、 c 所对的角分别为 A 、B 、 C，则有：(1)A ＋B ＋ C＝ ______，A＋B＝________________. 2(2)sin(A ＋ B) ＝ ________，cos(A ＋ B) ＝________， tan(A ＋ B) ＝________.(3)sin A＋B＝ __________， cosA＋B＝ ____________________________________.22一、选择题1．已知 a、b、 c 为△ ABC 的三边长，若知足(a＋ b－ c)(a＋ b＋ c)＝ ab，则∠ C 的大小为()A． 60°B．90°C． 120 °D．150°2．在△ ABC 中，若 2cos Bsin A ＝ sin C，则△ ABC 的形状必定是 ()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3.在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ 3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最小外角为() A． 30°B．60°C． 90°D．120°4．△ABC 的三边分别为 a， b，c 且知足 b2＝ ac,2b＝ a＋ c，则此三角形是 ()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 C＝ 120 °，c＝2a，则 () A． a>bB． a<bC． a＝ bD． a 与 b 的大小关系不可以确立6．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增添的长度确立二、填空题7．在△ ABC 中，边 a，b 的长是方程x2－ 5x＋2＝ 0 的两个根， C＝ 60°，则边 c＝________. 8．设 2a＋ 1， a,2a－ 1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是 ________．9．已知△ ABC 的面积为23， BC ＝ 5，A ＝60°，则△ ABC 的周长是 ________．10．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b＝ 1， S△ABC＝3，则△ ABC 外接圆的面积是________．三、解答题11．在△ABC 中，求证：a2－ b2sin(A － B).2＝sin Cc12．在△ ABC 中， a， b， c 分别是角3→ →A ， B ，C 的对边的长， cos B＝，且 AB ·BC＝－521.(1)求△ ABC 的面积；(2)若 a＝ 7，求角 C.能力提高13．已知△ ABC 中， AB ＝ 1， BC＝ 2，则角 C 的取值范围是 ()πB ．0<C<πA． 0<C≤2 6π ππ πC.6<C< 2D. 6<C≤314．△ABC 中，内角 A 、 B、 C 的对边分别为23a、 b、 c，已知 b ＝ ac 且 cos B＝ .41 ＋1 的值；(1)求tan A tan C→ →3(2)设 BA ·BC＝，求 a＋ c 的值．21．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(起码有一边 )才能求解，常有种类及其解法见下表：已知条件应用一般解法定理一边和两角(如 a， B， C)两边和夹角(如 a， b， C)三边(a， b， c)两边和此中一边的对角如 (a， b，A)正弦由 A ＋B ＋C＝ 180°，求角 A ；由正弦定理求出 b 与 c.在定理有解时只有一解 .余弦c；由正弦定理求出小边所对的角；定理由余弦定理求第三边再由 A ＋B ＋ C＝ 180°求出另一角．在有解时只有一解.正弦定理余弦由余弦定理求出角A、 B；再利用 A ＋ B ＋C＝ 180°，求定理出角 C.在有解时只有一解 .正弦定理由正弦定理求出角B；由 A ＋ B＋ C＝ 180°，求出角 C；余弦再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解 .定理2.依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实行边、角变换．1． 2 余弦定理 (二 )答案知识梳理1． (1)2R(2)2Rsin A 2Rsin B2Rsin C (3) ab c (4)a ∶ b ∶ c 2.(1)b 2＋ c 2－ 2R 2R2R2bccos A(2) b 2＋ c 2－a 2(3) 直角钝角锐角 3.(1) ππ (2)sin C － cos C2bc－ C22－ tan C(3)cosCsin C2 2作业设计22 21． C [ ∵ (a ＋ b －c)(a ＋ b ＋c)＝ab ，∴ a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，即 a ＋ b －c＝－ 1，∴ cos C2ab21＝－，∴∠ C ＝ 120°.]2． C [ ∵ 2cos Bsin A ＝ sin C ＝sin(A ＋ B) ，∴ sin Acos B －cos Asin B ＝0，即 sin(A －B)＝ 0，∴ A ＝ B.]3.B [ ∵ a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ＝ 3∶ 5∶ 7，不如设 a ＝3，b ＝ 5，c ＝ 7，C 为最大内角，则 cos C ＝32＋ 52－ 72 1 ＝－.∴ C ＝ 120 °.∴最小外角为 60°.]2×3×524．D[ ∵ 2b ＝a ＋ c ，∴ 4b 2＝ (a ＋ c)2 ，即 (a － c)2＝0.∴ a ＝ c.∴ 2b ＝ a ＋c ＝ 2a.∴ b ＝a ，即 a ＝ b ＝ c.]5．A[ 在 △ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2 ＋ b 2－2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab.∵ c ＝ 2a ，∴ 2a 2＝ a 2＋ b 2＋ ab.∴ a 2－ b 2 ＝ ab>0，∴ a 2>b 2，∴a>b.] 6．A [ 设直角三角形三边长为 a ， b ， c ，且 a 2 ＋b 2＝ c 2，则 (a ＋ x)2＋ (b ＋ x)2－ (c ＋ x)2＝ a 2＋ b 2＋ 2x 2＋ 2(a ＋ b)x － c 2－2cx － x 2＝ 2(a ＋ b － c)x ＋2x >0，∴ c ＋x 所对的最大角变成锐角．]7. 19分析由题意： a ＋ b ＝ 5， ab ＝ 2.由余弦定理得： c 2＝ a 2 ＋b 2－ 2abcos C ＝ a 2＋ b 2－ ab ＝ (a ＋ b)2－ 3ab ＝ 52－ 3×2＝19，∴ c ＝ 19. 8． 2<a<8分析∵ 2a － 1>0，∴ a>12，最大边为2a ＋ 1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋ (2a － 1)2<(2a ＋ 1)2 化简得： 0<a<8.又∵ a ＋2a － 1>2a ＋ 1，∴ a>2，∴ 2<a<8.9． 12分析S △ABC ＝ 1 A B ·AC ·sin A ＝ 1 A B ·AC ·sin 60 ＝°2 3，2 2∴ AB ·AC ＝8，BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB ·AC ·cos A＝ AB 2＋ AC 2 －AB ·AC ＝(AB ＋ AC) 2－3AB ·AC ， ∴ (AB ＋ AC) 2＝ BC 2＋ 3AB ·AC ＝49，∴ AB ＋AC ＝ 7，∴△ ABC 的周长为 12.13π10. 3分析S △ABC ＝ 1 b csin A ＝ 3 c ＝ 3，∴ c ＝ 4，2 4由余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2 －2bccos A ＝12＋ 42－ 2×1×4cos 60 °＝ 13，∴ a ＝ 13.∴ 2R ＝ a ＝13＝2 39，sin A3 32∴R ＝39外接圆2＝ 13π3 .∴ S＝ πR 3 .sin Acos B － cos Asin B ＝sin Asin B11．证明右侧＝ sin C sin C ·cos B － sin C ·cos Aa a 2＋ c 2－b 2 b b 2＋c 2－ a 2 a 2＋ c 2－ b 2 b 2＋ c 2－ a 2 a 2－ b 2＝ ·－ ·2bc ＝2c 2－2c 2＝ c 2 ＝左侧．因此c 2ac csin(A － B)sin C .→ →→ → 12．解 (1)∵ AB ·BC ＝－ 21，∴ BA ·BC ＝ 21.→ → → → ∴ BA ·BC ＝ |BA | |BC ·| cos · B ＝ accos B ＝ 21.∴ ac ＝35，∵ cos B ＝ 3，∴ sin B ＝ 4.5 51 1 ×35 4∴ S △ABC ＝ acsin B ＝2 ×＝14.25(2)ac ＝ 35， a ＝7，∴ c ＝ 5.由余弦定理得， b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ＝ 32，22a － b∴ b ＝4 2.由正弦定理：c ＝bsin C sin B.c sin B ＝ 5 4 ＝ 2 ∴ sin C ＝ × 2.b 4 2 5∵ c<b 且 B 为锐角，∴ C 必定是锐角． ∴ C ＝ 45°.13．A[方法一 (应用正弦定理 )∵ sin AB C ＝ sin BC A ，∴ sin 1 C ＝ sin 2 A1∴ sin C ＝ 2sin A ，∵ 0<sin A ≤1，1∴ 0<sin C ≤2.∵ AB<BC ，∴ C<A ，∴ C 为锐角，π∴ 0<C ≤6.方法二(应用数形联合 )如下图，以B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线 BC 上的点外，都可作为 A 点．从点 C 向圆 B 作切线，设切点为A 1和 A 2，当 A 与 A 1、A 2 重合时，角 C 最大，易知此时： BC ＝ 2，AB ＝ 1，AC ⊥ AB ，∴ Cπ π＝，∴ 0<C ≤ .]6633 2 ＝714．解，得 sin B ＝1－(1)由 cos B ＝444.由 b 2＝ ac 及正弦定理得 sin 2 B ＝ sin Asin C.11cos A cos C sin Ccos A ＋ cos Csin Asin(A ＋ C) sin B 1于是tan A ＋tan C ＝ sin A ＋ sin C ＝ sin Asin C＝sin 2B ＝ sin 2B ＝ sin B ＝4 7 7 .→→＝ 3得 ca ·cos B ＝ 3，(2)由 BA ·BC22由 cos B ＝ 34，可得 ca ＝ 2，即 b 2＝ 2.由余弦定理： b 2＝ a 2＋ c 2 －2ac ·cos B ，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac ·cos B ＝ 5，∴ (a ＋ c)2＝a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 5＋ 4＝9，∴ a ＋ c ＝ 3.。

北师大版2019高中数学必修5：第二章_解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.1习题精选_含答案

1.1正弦定理课后篇巩固探究A组1.在△ABC中,若,则B的值为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:因为,所以,所以cos B=sin B,从而tan B=1,又0°<B<180°,所以B=45°.答案:B2.在△ABC中,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是()A. B. C. D.解析:由已知得A=75°,所以B最小,故最短边是b.由,得b=.答案:A3.在△ABC中,若b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°解析:由三角形面积公式得×8×8·sin A=16,于是sin A=,所以A=30°或A=150°.答案:C4.下列条件判断三角形解的情况,正确的是()A.a=8,b=16,A=30°有两解B.b=9,c=20,B=60°有一解C.a=15,b=2,A=90°无解D.a=30,b=25,A=150°有一解解析:对于A,sin B=sin A=1,所以B=90°,有一解;对于B,sin C=sin B=>1,所以无解;对于C,sin B=sin A=<1,又A=90°,所以有一解;对于D,sin B=sin A=<1,又A=150°,所以有一解.答案:D5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A∶B=1∶2,且a∶b=1∶,则cos 2B的值是()A.-B.C.-D.解析:由已知得,所以cos A=,解得A=30°,B=60°,所以cos 2B=cos 120°=-.答案:A6.在△ABC中,若a=,A=45°,则△ABC的外接圆半径为.解析:因为2R==2,所以R=1.答案:17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.解析:由正弦定理得,即,解得sin B=,又因为b>a,所以B=或B=.答案:8.导学号33194034在△ABC中,若sin A=2sin B cos C,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC的形状是.解析:由sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理,得a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形,且A=90°,所以B+C=90°,B=90°-C,所以sin B=cos C.由sin A=2sin B cos C,可得1=2sin2B,所以sin2B=,sin B=,所以B=45°,C=45°.所以△ABC为等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形9.在△ABC中,sin(C-A)=1,sin B=.(1)求sin A的值;(2)设AC=,求△ABC的面积.解(1)由sin(C-A)=1,-π<C-A<π,知C=A+.又A+B+C=π,所以2A+B=,即2A=-B,0<A<.故cos 2A=sin B,即1-2sin2A=,sin A=.(2)由(1)得cos A=,sin C=sin=cos A.又由正弦定理,得,BC==3,所以S△ABC=AC·BC·sin C=AC·BC·cos A=3.10.导学号33194035在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列.(1)求cos B的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin A sin C的值.解(1)因为角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.又A+B+C=π,所以B=,所以cos B=.(2)因为边a,b,c成等比数列,所以b2=ac,根据正弦定理得sin2B=sin A sin C,所以sin A sin C=sin2B=.B组1.已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.2<x<2D.2<x<2解析:由题设条件可知解得2<x<2.答案:C2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为()A. B. C.1 D.解析:因为3a=2b,所以b=a.由正弦定理可知.答案:D3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+,则C=()A. B. C.π D.解析:由1+,从而cos A=,所以A=,由正弦定理得,解得sin C=,又C∈(0,π),所以C=或C=(舍去),选B.答案:B4.设a,b,c三边分别是△ABC中三个内角A,B,C所对应的边,则直线x sin(π-A)+ay+c=0与bx-y cos+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直解析:由已知得k1=-,k2=,因为,所以k1·k2=-=-=-1,所以两直线垂直,故选C.答案:C5.导学号33194036已知在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,则的取值范围是.解析:在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于90°,所以所以30°<B<45°.由正弦定理得=2cos B∈(),故的取值范围是().答案:()6.在△ABC中,已知sin B·sin C=cos2,A=120°,a=12,则△ABC的面积为.解析:因为sin B·sin C=cos2,所以sin B·sin C=,所以2sin B sin C=cos A+1.又因为A+B+C=π,所以cos A=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-cos B·cos C+sin B·sin C, 所以2sin B sin C=-cos B·cos C+sin B·sin C+1,所以cos B·cos C+sin B·sin C=cos(B-C)=1.因为B,C为△ABC的内角,所以B=C.因为A=120°,所以B=C=30°.由正弦定理得,b==4,所以S△ABC=ab sin C=×12×4=12.答案:127.导学号33194037△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b(b+c),求证:A=2B.证明由已知及正弦定理得,sin2A=sin2B+sin B·sin C,因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B),所以sin2A=sin2B+sin B·sin(A+B),所以sin2A-sin2B=sin B·sin(A+B).因为sin2A-sin2B=sin2A(sin2B+cos2B)-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2A cos2B-cos2A sin2B=(sin A cos B+cos A sin B)(sin A cos B-cos A sin B)=sin(A+B)·sin(A-B),所以sin(A+B)·sin(A-B)=sin B·sin(A+B).因为A,B,C为△ABC的三个内角,所以sin(A+B)≠0,所以sin(A-B)=sin B,所以只能有A-B=B,即A=2B.8.导学号33194038在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知cos B=,(1)判断△ABC的形状;(2)若sin B=,b=3,求△ABC的面积.解(1)因为cos B=,所以cos B=,所以sin A=2cos B sin C.又sin A=sin [π-(B+C)]=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,所以sin B cos C+cos B sin C=2cos B sin C.所以sin B cos C-cos B sin C=sin(B-C)=0.所以在△ABC中,B=C,所以△ABC为等腰三角形.(2)因为C=B,所以0<B<,c=b=3.因为sin B=,所以cos B=.所以sin A=sin [π-(B+C)]=sin(B+C)=sin 2B=2sin B cos B=,所以S△ABC=bc sin A=×3×3×=3.。

高中数学北师大版必修五课件：第2章 §1-1.3 正弦定理和余弦定理习题课

cos 2A＝cos2A－sin2A＝19－89＝－79.
所以 cos2A－π6＝cos 2Acos
π6＋sin 2Asin
π 6
＝－79× 23＋－492×12
＝－7183－4182＝－7
3＋4 18
2 .
对于条件是边角关系混合在一起的等式，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形、代数恒等变形等方法进行转化、化简，从而得出结论．
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
面积为( )
A．32 3
B．16
C．32 3或 16
D．32 3或 16 3
解析：选 D.根据sinb B＝sina A，解得 sin B＝ 23，则 B＝60°或 120°.当 B＝60°时，C＝90°，所以 S△ABC＝12absin C＝32 3；当 B＝120°时，C＝30°，所以 S△ABC＝12absin C＝16 3.
第二章解三角形
1．3 正弦定理和余弦定理习题课
利用正、余弦定理解三角形在△ABC 中，若 c·cos B＝b·cos C，且 cos A＝23，求 sin B 的值．【解】由 c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理得，sin Ccos B＝ sin Bcos C，故 sin(B－C)＝0，易知 B＝C，故 b＝c.
因为 cos B＝35，所以 sin B＝45.

北师大版高中数学必修5同步测试题第2章第1节正弦定理同步测试

《正弦定理》同步测试一、正弦定理的简单应用：求解斜三角形中的基本元素1、在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、C和边c.2、在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.3、已知△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求b4、已知△ABC中，a＝52，c＝10，A＝30°，求B5、已知△ABC中，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，求sin A.6、在△ABC中，已知b＝2a，B＝A＋60°，求A7、在△ABC中，a＝5，b＝7，∠B＝60°，求c8、在△ABC中，若b＝2a sin B，求A9、△ABC中，a＋b＝6＋63，A＝30°，B＝60°，求边长c；10、已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，边c.二、正弦定理的简单应用：判断解的个数问题1、在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝72，b＝50，A＝135° D．a＝30，b＝40，A＝26°2、不解三角形，确定下列判断中正确的是( )A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解 B．a＝30，b＝25，A＝150°有一解C．c＝6，b＝9，A＝45°有两解 D．b＝9，c＝10，B＝60°无解3、已知△ABC 中，b ＝43，c ＝2，C ＝30°，那么解此三角形可得( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．解的个数不确定三、判断三角形的形状1、在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 2、在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形3、在△ABC 中，若b 2sin2C ＋c 2sin2B ＝2bc cos B ·co s C ，试判断三角形的形状．4、在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断三角形的形状．四、求三角形的面积1、在△ABC 中，c ＝2，A ＝30°，B ＝120°，求△ABC 的面积。

北师大版高中数学必修五练习第2章1.2余弦定理第2课时

第2课时正弦定理与余弦定理的综合应用课时过关·能力提升1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,则C等于()A.π3 B.2π3C.3π4D.5π63sin A=5sin B,化为3a=5b,∴a=53b,代入b+c=2a,得c=73b.∴由余弦定理,得cos C=a 2+b2-c22ab=−12.∵C∈(0,π),∴C=2π3.故选B.2.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于()A.10B.9C.8D.523cos2A+cos 2A=0,得25cos2A-1=0,∴cos2A=125.∵△ABC为锐角三角形,∴cos A=15.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,即49=b2+36-2×6×15·b,∴b2−125b−13=0,解得b=−135(舍去)或b=5.故选D.3.在非等边三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a为最大边.若sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则A的取值范围为()A.(0,π2) B.(π4,π2)C.(π6,π3) D.(π3,π2)B+C=π-A,∴sin 2(B+C )=sin 2A<sin 2B+sin 2C.由正弦定理得a 20.又0<A<π,∴0<A <π2.∵a 为最大边,∴A >π3.∴π3<A <π2.4.在△ABC 中,若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C 等于( )A.60°B.45°C.135°D.45°或135°cos C =a 2+b 2-c 22ab , ∴cos 2C =a 4+b 4+c 4-2a 2c 2-2b 2c 2+2a 2b24a 2b 2.∵a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),∴a 4+b 4+c 4-2c 2a 2-2c 2b 2=0,∴cos 2C =2a 2b24a 2b 2=12,∴cos C=±√22. ∴C=45°或135°.5.若将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定a ,b ,c ,且a 2+b 2=c 2.三边都增加x ,则(a+x )2+(b+x )2-(c+x )2=a 2+b 2+2x 2+2(a+b )x-c 2-2cx-x 2=2(a+b-c )x+x 2>0,所以新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形.6.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,如果2b=a+c ,B=30°,△ABC 的面积为32,那么b 等于( )A .1+√32 B.1+√3C .2+√32 D.2+√32b=a+c ,∴a 2+c 2=4b 2-2ac.∵S △ABC =32,B =30°,∴12acsin B =32,即14ac =32.∴ac=6,∴a 2+c 2=4b 2-12.∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =4b 2-12-b22×6=√32.∴b 2=4+2√3,∴b =1+√3.7.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.若c 2=(a-b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是() A .√3 B.9√32 C.3√32 D.3√3,c 2=a 2+b 2-2ab+6.由余弦定理可得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C=a 2+b 2-ab ,∴-2ab+6=-ab ,即ab=6.∴S △ABC =12absin C =3√32.8.在△ABC 中,BC=3,AB=2,且sinC sinB =25(√6+1),则A =_____________.△ABC 中,设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.由题意,得a=3,c=2,且sinC sinB =25(√6+1)=cb ,∴b =225(√6+1)=√6−1,∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =−12,∴A=120°.°9.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC =_____________.a=4,b=5,c=6,∴cos C =16+25-36=1,cos A =25+36-16=3, ∴sin C =3√78,sin A =√74. ∴sin 2A=2sin A ·cos A =3√78. 故sin2A sinC =1.10.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且S △ABC =a 2+b 2-c 24,则C =_____________.,可知cos C =a 2+b 2-c 22ab , ∴a 2+b 2-c 24=12abcos C.∵S △ABC =12absin C =12abcos C ,∴sin C=cos C ,∴C =π4.11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且2a sin A=(2b+c )sin B+(2c+b )sin C.(1)求A 的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.∵2a sin A=(2b+c )sin B+(2c+b )sin C , ∴由正弦定理可得2a 2=(2b+c )b+(2c+b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc.∵cos A =b 2+c 2-a 22bc =-bc2bc =−12, 且0<A<π,∴A =2π3. (2)由(1)得,sin 2A=sin 2B+sin 2C+sin B ·sin C.∵sin B+sin C=1,∴(√32)2=si n 2B +sin C (sin C+sin B )=sin 2B+1-sin B ,∴sin 2B-sin B +14=(sinB -12)2=0,∴sin B=12,sin C=12.∵0<B<π2,0<C<π2,∴B=C.故△ABC为等腰钝角三角形.★12.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.由已知得,∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理,得PA2=3+14−2×√3×12cos 30°=74,故PA=√72.(2)设∠PBA=α,则∠PCB=α, ∴PB=BC·sin∠PCB=sin α.在△PBA中,由正弦定理,得ABsin∠APB =PBsin∠PAB,即√3sin150°=sinαsin(30°-α),∴√3cos α=4sin α,∴tan α=√34,即tan∠PBA=√34.。

新高中数学(北师大版)必修五同步练习：2-1习题课_正弦定理与余弦定理(含答案解析)

习题课正弦定理与余弦定理双基达标限时 20 分钟1．在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B∶ sin C ＝3∶ 4∶ 30，则△ ABC 是()．A ．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不可以确立分析依据题意，由正弦定理可得，a∶ b∶ c＝3∶ 4∶ 30，设 a＝ 3t， b＝ 4t，c＝3t2＋ 16t2－ 30t230t，t>0 ，由余弦定理可得 cos C＝83t2<0 ，因此三角形 ABC 是钝角三角形．故选 C.答案C2 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边长分别为a， b， c.若∠ C ＝ 120 °， c＝2a，则()．A ． a>b B． a<bC．a＝ b D． a 与 b 的大小关系不可以确立分析由余弦定理得2a 2＝ a2＋ b2－ 2abcos 120 °，即 b2＋ ab－ a2＝ 0，∴ b＝a2a＋b.由 a＋b>a知 b<a.应选 A.答案A3．在△ ABC 中，已知 sin2B－ sin2 C－ sin2A ＝ 3sin Asin C ，则角 B 的大小为()．A．150°B．30°C． 120 °D． 60°2223222 a ＋ c － b 分析由正弦定理可得b－c－a ＝ 3ac，由余弦定理可得cos B＝2ac＝－2.故角 B 为 150°.答案A4．在△ ABC 中， A ＝ 120 °， c＝ 5， a＝ 7，则 b＝ ________.分析依据余弦定理，a2＝ b2＋ c2－2bccos A，∴ 72＝ b2＋ 52－ 2·b·5cos 120 °，∴ b2＋ 5b－24＝ 0，∴ b＝ 3 或 b＝－ 8(舍去 )．答案35．在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ 2∶ 3∶ 19.则该三角形的最大内角为________．分析在△ ABC 中，依据正弦定理及已知得a∶ b∶c＝ 2∶ 3∶ 19.设 a＝ 2x(x>0) ，则 b ＝3x，c＝ 19x.明显 c>b>a，∴ C 是最大角．2 2 2 2 2 2∴ cos C ＝ a＋ b － c ＝＋－19＝－ 1，2ab2×2x ×3x2∴ C ＝2π3答案2π 36．在△ ABC 中， sin 2A ＋ 3sin Asin B ＝ sin 2C － sin 2B ，求 C.解由正弦定理，设sin A ＝sin B＝sin C＝k(k ≠0)，abc则 sin A ＝ ka ， sin B ＝ kb ， sin C ＝ kc.由已知得 (ka)2 ＋ 3ka ·kb ＝ (kc) 2－ (kb)2.因此 a 2＋ 3ab ＝ c 2－b 2.得 cos C ＝a 2＋b 2－c 23ab 32ab＝－ 2ba ＝－ 2 .故 C ＝150 °.综合提升（限时 25 分钟）π7．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 A ＝，a ＝ 3，b ＝1，则 c 于 ()．3A ． 1B ．2 C. 3－1 D. 3abbsin A分析如下图，由正弦定理知sin A ＝sin B ， sin B ＝a＝3 1×2 13 ＝ .∵a>b ，∴ B ＝ 30°， C ＝ 90°， c ＝ 2.2 答案B8．在△ABC中， a 2 － c 2＋b 2 ＝ ab ，则角C 大小为()．A ．60°B ．45 °或 135 °C ．120 °D ．30 °分析由余弦定理，得cos C ＝ a 2＋ b 2－ c2＝ ab ＝ 1，2ab 2ab 2∴ C ＝ 60°.答案A9．已知△ ABC 的三边 a ，b ，c 知足 b 2＝ ac ，p ＝ sin B ＋cos B ，则 p 的取值范围为 ________．2a 2＋ c 2－b 2 2ac － b 21 分析∵ b ＝ ac ，∴ cos B ＝ 2ac≥2ac ＝ 2 ，π π∴ 0b>c ，∴ A 最大．∴ sin A ＝3 1 2， cos A ＝ ± ，2∴ b 2＋ c 2－ a 21 b 2＋－2－＋21＝± ，即－＝ ± ，2bc22b － 8＝ ±1， (只有取－ 1)，解之 b ＝ 5.∴三边长为 3,5,7.b － 2答案3,5,711．已知 A ， B ， C 是△ ABC 的三个内角，且知足 (sin A ＋sin B) 2－ sin 2C ＝ 3sin A sin · B ，求证： A ＋ B ＝ 120°.证明22，∵ (sin A ＋ sin B) － sin C ＝ 3sin A sin · B∴由正弦定理得 (a ＋b) 2－ c 2＝ 3ab? a 2＋ b 2－ c 2＝ ab? a 2＋ b 2－ c 2a 2＋b 2－c 2 1ab ＝ 1.由 cos C ＝ 2ab ＝2，∵ 0°<C<180°，∴ C ＝ 60°，∴ A ＋ B ＝ 180°－ C ＝ 180°－ 60°＝ 120°.12． (创新拓展 )在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ＝2∶1， c 2＝ b 2＋2bc ，则三内角 A ， B ，C 的度数分别是多少？解 ∵sin A ∶ sin B ＝ 2∶1，∴由正弦定理得 a ∶ b ＝ 2∶ 1，∴ a ＝ 2b.依据余弦定理， cos A ＝b 2 ＋c 2 －a 22bcb 2＋ 2＋2－222＝2bc＝ 2.∴ A ＝ 45°，∴ sin A ＝ 2 .∴ sin B ＝ sin A ＝ 1 .2 2 2 ∵ sin A>sin B ，∴ A>B ，∴ B ＝ 30°，∴ C ＝ 180°－ (A ＋ B) ＝ 180°－ (45 °＋ 30°)＝ 105°.即角 A ， B ， C 的度数分别为 45°， 30°，105°.。

2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第2章 1.1 正弦定理

1.1　正弦定理课时过关·能力提升1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a=8,B=60°,C=75°,则b 等于( )A.42B.43C.46D.323A=180°-(B+C )=45°.由正弦定理,得b =asinB sinA =8sin60°sin45°=4 6.2.在锐角三角形ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b.若2a sin B =3b ,则A 等于( )A .π3 B.π4 C.π6 D.π122a sin B A sin B B.=3b ,∴2sin =3sin ∵sin B ≠0,∴sin A =32.∵A ∈ A.(0,π2),∴A =π3.故选3.在△ABC 中,下列关系一定成立的是( )A.a>b sin AB.a=b sin AC.a ≤b sin AD.a ≥b sin Asin B ≤1,∴sin B ·sin A ≤sin A.由正弦定理,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,即sin A B =a 2R ,sin =b2R .·sin A ≤≥b sin A.∴b 2R a2R ,∴a4.在△ABC 中,满足a cos B=b cos A ,则△ABC 的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形,得sin A cos B=sin B cos A ,∴sin A cos B-cos A sin B=0,即sin(A-B )=0.∴A=B.故△ABC 为等腰三角形.5.在△ABC 中,已知(b+c )∶(c+a )∶(a+b )=4∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6(b+c )∶(c+a )∶(a+b )=4∶5∶6,∴b +c4=c +a5=a +b6.令b +c 4=c +a 5=a +b6=k (k >0),则{b +c =4k ,c+a =5k ,a +b =6k ,解得{a =72k ,b =52k ,c =32k ,∴sin A∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=7∶5∶3.6.若满足条件C=60°,AB △ABC 有两个,则a 的取值范围是( )=3,BC =a 的A.(1,2) B.(2,3) C.(3,2) D.(1,2),知a sin 60°C .<3<a ,解得3<a <2,故选7.在△ABC 中,若a=2,A=30°,C=45°,则△ABC 的面积S △ABC 等于 .B=180°-A-C=105°,∴b =asinB sinA =2×sin105°sin30°=6+ 2.∴S △ABC C==12absin (6+2)×22=3+1.+18.在△ABC 中,BC=x ,AC=2,B=45°,若这个三角形有两解,则x 的取值范围是 .,AB 边上的高CD ,必须满足CD<2<x ,=22x ,要使三角形有两解2<x<2<x ,解得2 2.22)9.在△ABC 中,已知tan A△ABC 最长边长=12,cos B =31010,若10,则最短边长是__________.tan A B =12,cos =31010,∴sin BB C=-tan(A+B )=-1.=1010,tan =13,tan ∴C c ,最短的边为b.=3π4,最长的边为利用正弦定理,b 得10sin 3π4=b sinB ,解得= 2.10.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知向量mn =(2cos A 2,sin A 2),m ·n =-1.=(cos A 2,-2sin A 2),(1)求cos A 的值;(2)若a=23,b =2,求c 的值.∵m n =(2cos A 2,sin A 2),=(cos A 2,-2sin A 2),∴m ·n =2cos A=-1,2A 2‒2sin 2A2=2cos∴cos A=‒12.(2)由(1)知cos A=0<A<π,‒12,且∴A =2π3.∵a=23,b =2,∴由正弦定理,得a sinA =b sinB,∴sin B =b ·sinA a =2×323=12.∵0<B<π,且B<A ,∴B=π6.∴C=π‒2π3‒π6=π6,∴c =b =2.11.在△ABC 中,a △ABC .=3,b =1,B =30°,求边c 及S由正弦定sin A 理a sinA =b sinB ,得=3×121=32,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=90°,c=2b=2,S △ABC B=12acsin =32;当A=120°时,C=30°,c=b=1,S △ABC B=12acsin =34.故c=2,S △ABC c=1,S △ABC =3或=3.★12.在△ABC 中,A ,B 为锐角,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cos 2A=35,sin B =1010.(1)求A+B 的值;(2)若a-b =2‒1,求a ,b ,c 的值.∵A ,B 为锐角,sin B =10,∴cos B =1-sin 2B =31010.∵cos 2A=1-2sin 2A =35,∴sin A A =55,cos =1-sin 2A =255.∴cos(A+B )=cos A cos B-sin A sin B =255×31010‒55×1010=22.∵0<A+B<π,∴A+B =π4.(2)由(1)知C C =3π4,∴sin =22.由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC,a 5a =10b =2c ,即=2b ,c =5b .∵a-b =2‒1,∴2b ‒b =2‒1,∴b =1.∴a =2,c = 5.。

高中数学北师大版必修5同步精练：2.1.1正弦定理含答案

基础巩固1在△ABC中，下列式子与asinA相等的是( )A.bcB.bcosBC.sinBsinCD.bsinB2在△ABC中，A＝178°，B＝1°，则有( )A.asinA＞bsinBB.asinA＜bsinBC.asinA＝bsinBD．以上结论都不对3在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．锐角三角形4在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )A．1∶5∶6 B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定5在△ABC中，A＝45°，AB＝2，则AC边上的高等于 ( )A．2 B. 2C．2 2 D．不确定6在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝2＋1，sinA＋sinB＝2sinC，则c＝______.7在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数：(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝60°；(3)a＝3，b＝2，B＝120°；(4)a＝3，b＝6，A＝60°.8(1)△ABC中，a＋b＝6＋63，A＝30°，B＝60°，求边c；(2)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求角 B，边b，c；(3)已知△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、角C及边c.9如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000m至点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，求山高BC.综合过关11已知△ABC中，BC＝x，AC＝2，B＝45°，若这个三角形有两解，则x的取值范围是________．12如图，已知△ABC，BD为角B的平分线，利用正弦定理证明AB∶BC＝AD∶DC.13三角形的两边长为3 cm、5 cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，求此三角形的面积．14已知△ABC的面积S＝14(b2＋c2)，其中b＝AC，c＝AB.求△ABC的三个内角的大小．能力提升15在△ABC中，若a＝23，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)三角形有一解；有两解；无解？参考答案1答案：D2解析：由正弦定理，知asinA＝bsinB.答案：C3解析：ab＝sinAsinB＝1，则a＝b.答案：B4解析：由正弦定理，知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.答案：A5解析：AC 边上的高等于ABsinA ＝2sin45°＝ 2.答案：B6解析：由sinA ＋sinB ＝2sinC ，得sinA sinC ＋sinB sinC ＝2，由正弦定理得a c ＋b c ＝2，所以a ＋b ＝2c.所以2c ＋c ＝2＋1.所以c ＝1.答案：17解：(1)∵角A 为锐角，a ＜b ，bsinA ＝52＜4，∴有两解． (2)∵a ＞b ，角A 为锐角，∴B ＜A.∴有一解．(3)∵角B 为钝角，a ＞b.∴无解．(4)∵角A 为锐角，a ＜b ，bsinA ＝6×32＝322， ∴a ＜bsinA ＜b.∴无解．8分析：(1)可用正弦定理的合比形式求解；(2)由A ＋B ＋C ＝180°，可求角B ，再应用正弦定理求边b ，c ；(3)先应用正弦定理求得sinA ，这样角A 可能为锐角，也可能为钝角，应注意讨论．解：(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC 及C ＝180°－30°－60°＝90°，得a ＋b sinA ＋sinB ＝c sinC ，即6＋6312＋32＝c 1， ∴c ＝12.(2)∵A ＝30°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C)＝105°，又由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝20sin45°sin30°＝202，b ＝asinB sinA ＝20sin105°sin30°＝10(6＋2)． ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.(3)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，。

高中数学北师大版必修5 第二章1.2 余弦定理作业2 Word版含解析

,[学生用书单独成册])[.基础达标]．在△中，已知＝，＝，＝°，则边的值是( )．．．．解析：选.由余弦定理得：＝＋－＝＋－××°＝，所以＝，故选.．在△中，若＝，＝，＝，则最大角的余弦值是( )．－．－．－．－解析：选.由余弦定理，得＝＋－＝＋－×××＝，所以＝，故最大，所以最大角的余弦值为＝＝＝－.．在△中，，，为角、、的对边，且＝，则的取值范围是( )．(，]．[，π)．[，π)．(，]解析：选＝＝＝＋≥，因为<<π，所以∈(，]．．在△中，若＝，则△是( )．等腰三角形．等边三角形．锐角三角形．直角三角形解析：选.因为＝，所以·＝·.所以＋－＝＋－.所以＝.所以＝.故此三角形是等腰三角形．．已知，，分别为△的三个内角，，的对边，向量＝(，)，＝(，)，若∥，且＋＝，则角等于( )解析：选.因为∥，则有·－·＝，即＝，＝.又因为＋＝，所以·＋·＝.整理，得＝，即＝.又＋＋＝π，＝，＝，故＝.．已知△中，三边，，满足＋＝，则＝．解析：由＋＝得(＋＋)(＋＋)＝(＋)(＋)，整理得＋－＝，＝＝＝，故＝°.答案：°．在△中，＝°，＝，则△的形状为．解析：由余弦定理得，＝＋－＝＋－又因为＝，所以＝＋－.即(－)＝.所以＝.又因为＝°，所以△为等边三角形．答案：等边三角形．在△中，＝，＝，＝，则·＝．解析：在△中，由余弦定理得＝＋－··，即＝＋－×.所以－－＝.所以＝.所以·＝(°－)＝－＝－××＝－.答案：－．在△中，，，分别为，，所对的三边，－(－)＝，()求；()若＝＝，求的值．解：()由－(－)＝，得＋－＝，则＝＝，又<<π，所以＝.()因为＝＝，则＝，得＝，所以＝，因为＝＝，则＝＝＝.．在△中，若已知(＋＋)(＋－)＝，并且＝，试判断△的形状．解：由正弦定理，可得＝，＝.由余弦定理，得＝.代入＝，得＝·.整理得＝.又因为(＋＋)(＋－)＝，所以＋－＝，即＝＝，故＝.又＝，所以△为等边三角形．[.能力提升]．△的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量＝(＋，)，＝(－，－)，若∥，则的大小为()解析：选.因为＝(＋，)，＝(－，－)，∥，所以(＋)(－)－(－)＝，则＋－＝.由余弦定理，可得＝＝＝，因为<<π，所以＝.．在△中，＝°，最大边与最小边之比为(＋)∶，则最大角为( )．°．°．°．°解析：选.由题意可知<<，或<<，不妨设＝，则＝(＋)，所以＝，即＝，所以＝.所以＝＝＝，所以＝°，所以＝°－°－°＝°.．在△中，内角，，的对边边长分别为＝，＝，＝，则＋＋的值为．解析：由余弦定理得＋＋＝＋＋＝＝＝.答案：.。

2021-2022年高中数学第二章2.1.1正弦定理课时训练北师大版必修5

2021-2022年高中数学第二章2.1.1正弦定理课时训练北师大版必修5一、选择题1. 不解三角形，下列判断正确的是（）A. a=7，b=14，A=30o ，有两解.B. a=30，b=25，A=150o ，有一解.C. a=6，b=9，A=45o ，有两解.D. a=9，b=10，A=60o ，无解.2．在中acosA=bcosB,则是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形3．在中，已知a=5，c=10，∠A ＝30o ，则∠B 等于（）A.105oB. 60oC. 15oD.105o 或15o4．在中，a(sinB －sinC)+b(sinC －sinA)+c(sinA －sinB)的值是（）A. B.0 C.1 D.5. 在中下列等式总成立的是（）A. a cosC=c cosAB. bsinC=c sinAC. absinC=bc sinBD. asinC=c sinA6. 在ΔABC 中，∠A=450,∠B=600,a=2,则b=( )A ．B ．2C ．D ．7．在ΔABC 中，∠A=450, a=2，b=，则∠B=（）A ．300B ．300或1500C ．600D ．600或1200二、填空题8．在ΔABC 中，a=8, ∠B=1050, ∠C=150,则此三角形的最大边的长为。

9．在ΔABC 中，acosB=bcosA, 则该三角形是三角形。

10．北京在，AB=,75C 45A 3︒=∠︒=∠，，则BC 的长度是。

11．（江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，∠A ＝60°，∠B ＝45°，则AC ＝。

三、解答题:12．在ΔABC 中，已知 ==；求证：这个三角形为等边三角形。

13．在中，S 是它的面积，a ，b 是它的两条边的长度，S ＝（a 2+b 2），求这个三角形的各内角。

14．在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积。

新高中数学(北师大版)必修五同步练习：2-1-1正弦定理(含答案解析)

1.1正弦定理双基达标限时20 分钟1．以下对三角形解的状况的判断中，正确的选项是()．A ． a＝ 4， b＝ 5， A ＝ 30°，有一解B．a＝ 5， b＝4， A ＝ 60°，有两解C．a＝3， b＝2， B＝ 120 °，有一解D． a＝3， b＝6， A ＝ 60°，无解分析关于 A ， bsin A<ab，故无解；关于D， a<bsin A ，故无解．答案D2．相关正弦定理的表达：①正弦定理只合用于锐角三角形；②正弦定理不合用于直角三角形；③在某一确立的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是必定值；④在△ABC中，sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ a∶b∶ c.此中正确的个数是()．A ． 1B． 2C． 3D． 4分析正弦定理合用于随意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确立了，故③正确；由比率性质和正弦定理可推知④正确．答案B3．已知锐角△ABC的面积为 33，BC＝4，CA＝3，则角 C的大小为()．A．75°B．60°C． 45°D． 30°分析由 S△ABC＝ 33＝1BC·CA·sin C ＝1×3×4sin C 得 sin C＝3，又 C 为锐角．故 C＝22260°.答案B4．在△ ABC 中，由“ a>b ”推出“ sin A>sin B ；由”“ sin A>sin B ”推出“ a>b．”(填“能够”或“不能够”)分析在△ ABC 中，必有 sin B>0 ，由正弦定理得a＝sin A，于是，若 a>b，则a>1，则sin A>1.b sin B b sin B由 sin B>0 ，可得 sin A>sin B ；反之，若sin A>sin B ，由 sin B>0 ，可得sin Aasin B >1，则 b >1， a>b.答案能够能够5．已知 a ，b ，c 分别是△ ABC 的三个内角所对的边，若 a ＝ 1，b ＝ 3，A ＋ C ＝2B ，则 sin A＝ ________.分析π∵ A ＋ C ＝2B ，A ＋ B ＋ C ＝π，∴ B ＝，3∴由正弦定理，a ＝b ， 1 ＝3.∴ sin A ＝1.sin Asin Bsin A π2sin 3答案126．在△ ABC 中，已知 a ＝10， B ＝75°， C ＝ 60°，试求 c 及△ ABC 的外接圆半径 R.解∵A ＋B ＋ C ＝ 180°，∴ A ＝ 180°－ 75°－ 60°＝ 45°.3由正弦定理，得a ＝ c ＝ 2R ，∴ c ＝ a ·sin C＝10×2 ＝ 5 6，∴ 2R ＝ a＝ 10＝sin A sin Csin A2sin A 222 102，∴ R ＝ 5 2.综合提升（限时 25 分钟）7．在△ ABC 中，AB ＝ 3，A ＝ 45°，C ＝ 75°，则 BC ＝()．A ．3－ 3B. 2C ． 2D ．3＋ 3分析 ∵AB ＝ 3， A ＝ 45°， C ＝ 75°，由正弦定理得：BC ＝ AB BC ＝ AB ＝3 ，sin A sin C ?sin 45°sin 75 °6＋ 24∴ BC ＝3－ 3.答案 A8．已知△ ABC 中， A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c.若 a ＝c ＝ 6＋ 2且 A ＝ 75°，则 b 等于() ．A ． 2B ． 4＋2 3C ．4－ 2 3D.6－ 2分析 sin A ＝ sin 75 ＝°sin(30 °＋45°)＝ sin 30 cos ° 45 °＋ sin 45 cos ° 30 °＝2＋6，4由 a ＝ c ＝ 6＋2可知， C ＝ 75°，因此1B ＝30°， sin B ＝ .2由正弦定理得 b ＝a ·sin B ＝ 2＋ 6 1sin A × ＝2，应选 A.2＋ 6 24答案 A9．在△ ABC 中， a ＝ 3 2， cos C ＝ 1， S △ABC ＝ 4 3，则 b ＝ ______. 3分析1 sin C ＝ 221 12 2 ＝ 4 3? b ＝ 2 3.cos C ＝ ?； S ABC ＝ absin C? ·32·b ·33△223答案2 310．已知△ ABC 中， a ＝x ，b ＝2，∠B ＝ 45°，若三角形有两解，则 x 的取值范围是 ________．分析由正弦定理，得 x ＝bsin A＝ 2 2sin A ，sin B∵ 45°<A<90°或 90°<A<135°，∴ 2<x<2 2.答案2<x<2 2111．在△ ABC 中，已知 tan B ＝ 3， cos C ＝ 3，AC ＝ 3 6，求△ ABC 的面积．解设 AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b.由 tan B ＝ 3，得 B ＝ 60°，∴ sin B ＝3 1 2， cos B ＝ .2又 sin C ＝ 1－ cos2C ＝ 2 3 2，2 2由正弦定理，得c ＝ bsin C ＝3 6× 3 ＝ 8.sin B32 又∵ A ＋ B ＋ C ＝ 180°，∴ sin A ＝sin(B ＋C)＝ sin Bcos C ＋ cos Bsin C＝ 3 1 1 2 2 ＝ 322 × ＋ ×3 6＋.3 2 3∴所求面积 S △ABC ＝1bcsin A ＝6 2＋ 8 3.212．( 创新拓展 )在△ ABC 中，已知b ＋ a sin B，且 2sin A ·sin B ＝ 2sin2＝C ，试判断其形asin B － sin A状．解由正弦定理可得 b ＋ a ＝ sin B ＝ b ，a sin B － sin Ab － a∴ b 2－ a 2＝ ab ，① 又∵ 2sin Asin B ＝ 2sin 2C ，∴由正弦定理，得 2ab ＝ 2c 2.②由①、②得b2－ a2＝ c2，即 b2＝ a2＋ c2.∴该三角形为以 B 为直角极点的直角三角形．。

2019高中数学北师大版高二必修5_第二章1.1_正弦定理_作业2_word版含解析

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( ) A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1解析：选D.因为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°，所以a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 2．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．a <b sin A B ．a ＝b sin A C ．a ≤b sin AD ．a ≥b sin A解析：选D.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ，在△ABC 中，因为0<sin B ≤1，所以0<ba sin A ≤1，所以a ≥b sin A .3．已知△ABC 中，b ＝43，c ＝2，C ＝30°，那么解此三角形可得( ) A ．一解 B ．两解C ．无解D ．解的个数不确定解析：选C.由c sin C ＝bsin B，得sin B ＝3>1，所以无解．4．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3 C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6解析：选B.设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，所以a ∶b ∶c＝7∶5∶3，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.5．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba的值为( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 所以sinB ＝2sin A ．所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝________．解析：根据三角形内角和定理，得C ＝180°－(A ＋B )＝30°.根据正弦定理得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2. 答案：27．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________．解析：因为a ＝14，b ＝76，B ＝60°，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝14sin 60°76＝22，因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°，所以C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°. 答案：75°8．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C ＝________．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B＝π－π3－π6＝π2.答案：π29．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C . 解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ．所以sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.10．在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．解：由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]，所以a 2·cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．由正弦定理，得sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B .因为0<A <π，00，sin B >0，0<2A <2π，0<2B <2π，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[B.能力提升]1．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120°解析：选D.因为S △ABC ＝12bc sin A ＝32，所以12×2×3sin A ＝32，所以sin A ＝32.所以A ＝60°或120°.故选D.2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是( )A ．[33，6]B ．(2，43)C ．(33，43]D ．(3，6]解析：选D.由正弦定理，得AC ＝BC ·sin B sin A ＝23sin B ，AB ＝BC ·sin Csin A＝23sin C ，所以AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C ) ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝23⎝⎛⎭⎪⎫sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以π6<B ＋π6<5π6，所以12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，所以3<6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤6. 3．在△ABC 中，最大边长是最小边长的2倍，且2AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|，则此三角形的形状是________．解析：因为2AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.所以a 边不是最大边也不是最小边．不妨设b <c ，则2b ＝c ，由正弦定理得2sin B ＝sin C ，所以2sin B ＝sin(2π3－B )．所以2sin B ＝32cos B ＋12sin B . 所以tan B ＝33.所以B ＝π6，C ＝π2. 所以此三角形为直角三角形．答案：直角三角形4．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________．解析：由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin A BC ＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，所以cos C ＝ 1－sin 2C ＝1114.所以sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33145．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解：因为2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°，A ＋C ＝120°，所以0°<A <120°，0°<C <120°且A ＝120°－C . 因为a ＋2b ＝2c ，由正弦定理得sin A ＋2sin B ＝2sin C ，所以sin(120°－C )＋62＝2sin C ，即32cos C ＋12sin C ＋62＝2sin C ，所以32sin C －32cos C ＝62.所以sin(C －30°)＝22. 因为－30°<C －30°<90°，所以C －30°＝45°，所以C ＝75°. sin C ＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24. 6．在△ABC 中，C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，求sin ∠BAC .解：设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，在△ABM 中由正弦定理得12a sin ∠BAM ＝csin ∠BMA ，①因为sin ∠BMA ＝sin ∠CMA ＝AC AM，又AC ＝b ＝ c 2－a 2，AM ＝ b 2＋14a 2＝c 2－34a 2，所以sin ∠BMA ＝c 2－a 2c 2－34a 2.又由①得12a 13＝c c 2－a2c 2－34a 2，两边平方化简得4c 4－12a 2c 2＋9a 4＝0，所以2c 2－3a 2＝0，所以sin ∠BAC ＝a c＝63.。

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【成才之路】2016年春高中数学第2章解三角形 1 正弦定理与余弦定理第2课时余弦定理同步练习北师大版必修5一、选择题1．(2016·烟台高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°[答案] A[解析] ∵a 2＝b 2－c 2＋2ac ， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac ac ＝22，又0°0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形 [答案] C[解析] 由题意知a 2＋b 2－c 22ab<0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则∠C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.23π [答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )且p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∴C ＝π3.5．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形[答案] D[解析] 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 和B ＝60°，得ac ＝a 2＋c 2－ac ， (a －c )2＝0.所以a ＝c .又B ＝60°，所以三角形是等边三角形．6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)[答案] C[解析] 本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，∴0<A ≤π3，故选C.二、填空题7．(2015·福建高考)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． [答案] 7[解析] 由已知得△ABC 的面积为12AB ·AC ·sin A ＝20sin A ＝103，所以sin A ＝32，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＝π3.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝49，∴BC ＝7.8．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦等于32，则三边长为__________． [答案] 3,5,7[解析] ∵a －b ＝2，b －c ＝2，∴a >b >c ， ∴最大角为A .sin A ＝32，若A 为锐角，则A ＝60°，又C <B <A ，∴A ＋B ＋C <180°，这显然不可能， ∴A 为钝角．∴cos A ＝－12，设c ＝x ，则b ＝x ＋2，a ＝x ＋4.∴x 2＋x ＋2－x ＋22x x ＋＝－12，∴x ＝3，故三边长为3,5,7. 三、解答题9．△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cosC ，试判断三角形的形状． [解析] 解法一：将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B ·cos C ，即有b 2＋c 2－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2＝a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2－b 224a2＝4a 44a2＝a 2. 所以A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形．解法二：由a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，则条件可化为4R 2·sin 2C ·sin 2B ＋4R 2·sin 2C ·sin 2B＝8R 2·sin B ·sin C ·cos B ·cos C .又sin B ·sin C ≠0，所以sin B ·sin C ＝cos B ·cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又0°<B ＋C <180°，所以B ＋C ＝90°，所以A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．10．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°. 由a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.一、选择题1．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4.又∵b <c ， ∴b ＝2.2．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.3．在△ABC 中，若△ABC 的面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则∠C 为( )A.π4B.π6C.π3D.π2[答案] A[解析] 由S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，得12ab sin C ＝14×2ab cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝π4.4．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC ＝ 5. 由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A，∴sin A ＝BC sin BAC＝3×225＝31010.二、填空题5．在△ABC 中，已知(b ＋c c ＋a a ＋b )＝，求△ABC 的最大内角为________．[答案] 120°[解析] 设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)．则a ＋b ＋c ＝7.5k ，解得a ＝3.5k ，b ＝2.5k ，c ＝1.5k . ∴a 是最大边，即角A 是△ABC 的最大角．由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，即最大角为120°.6．已知钝角△ABC 的三边，a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的范围是________．[答案] (2,6)[解析] ∵c >b >a ，∴角C 为钝角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k k ＋<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6. 而k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，故k 的范围是(2,6)．三、解答题7．(2014·安徽理，16)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c 且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin(A ＋π4)的值．[解析] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13，由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223，故sin(A ＋π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋(－13)×22＝4－26. 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .[解析] (1)∵a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ∴a 2＋c 2－2ac ＝b 2∴a 2＋c 2－b 2＝2ac∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22∴B ＝45°(2)由(1)得B ＝45°∴C ＝180°－A －B ＝180°－75°－45°＝60° 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C∴a ＝b ·sin A sin B ＝2×sin75°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1c ＝b ·si n C sin B ＝2×sin60°sin45°＝2×3222＝6.[方法总结] 本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力．解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边、角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边、角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．。