大学物理 动能定理 功能原理
功能原理与动能定理
功能原理与动能定理
功能原理是指某一物体或系统实现特定功能的原理或方法。
它描述了该物体或系统是如何运作的，通过什么方式实现特定功能的。
动能定理是一个物理学定理，描述了一个物体的动能如何随时间变化。
根据动能定理，物体的动能的变化率等于物体所受外力的功率。
换句话说，当一个物体受到外力作用时，物体的动能将发生变化，这个变化的速率等于外力对物体做功的速率。
这意味着如果一个物体受到的外力做正功，那么物体的动能将增加；如果外力做负功，物体的动能将减少。
动能定理在分析物体运动和力学系统中非常有用，可以帮助我们理解物体的动能如何受力和能量转移的影响而变化。
它也是能量守恒定律的重要推论之一。
大学物理-动能定理
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
力学总结 大学物理
转动定律 角动量定理
考虑产生力矩的力
3.建立坐标系或规定正向，或选择零势点。 重力零势点一般选最低位置，弹性零势点 一般选弹簧平衡位置处。 4.确定始末两态的状态量。 ①.动能定理----确定Ek0，Ek ②.功能原理----确定E0，E ③.动量定理----确定P0，P ④.角动量定理----确定L0，L
(B)动量守恒，动能不守恒。
(C)角动量守恒，动能不守恒。
(D)角动量不守恒，动能守恒。
[C]
8.一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r 的均匀
圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为 2m 和
m 的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,滑
轮轴光滑, 将此系统从静止释放,求重物的加速
度和两滑轮之间绳内的张力。
机械能守恒定律
除保守力外其它力不作功
E mv2 / 2 mgh kx 2 / 2 J 2 / 2
物体系机械能守恒 除保守力外其它力不作功
E0 E
E0 E
平动 冲量 动量
转动
t t0
P mv
t t0
I
Fdt
冲量矩 角动量
质点 L r P
o
F
d
r
Fn
ds
F
0
m
r0 F
o
F
由动能定理： W Ek Ek 0 1 1 2 2 W J J 0 0 2 2 1 r0 2 1 2 2 2 m( ) (4 0 ) mr0 0 2 2 2
3 2 2 mr0 0 0 2
17.如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮的转 动惯量为J，求A、B两物体的加速度及滑轮 的角加速度．
大学物理教案_动能定理
课时：2课时教学目标：1. 理解动能定理的概念，掌握其表达式和物理意义。
2. 能够运用动能定理解决实际问题，分析物体运动状态。
3. 培养学生逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：1. 动能定理的概念和表达式。
2. 动能定理的应用。
教学难点：1. 动能定理的理解和应用。
2. 复杂问题中动能定理的应用。
教学过程：一、导入1. 回顾牛顿第二定律和功的定义，引出动能定理。
2. 提问：动能定理与牛顿第二定律和功有何关系？二、新课讲授1. 动能定理的概念：物体动能的变化等于物体所受合外力所做的功。
2. 动能定理的表达式：ΔE_k = W3. 动能定理的物理意义：动能定理揭示了物体运动状态与外力做功之间的关系。
4. 动能定理的应用：a. 计算物体在一段时间内的动能变化。
b. 确定物体运动状态。
c. 分析物体受力情况。
三、例题分析1. 例题1：一个质量为m的物体，从高度h自由落下，求落地时的速度。
2. 例题2：一辆质量为m的汽车，从静止开始加速，在时间t内通过距离s，求汽车所受合外力。
3. 例题3：一个物体在水平面上做匀速直线运动，求物体所受合外力。
四、课堂练习1. 练习1：一个质量为m的物体，从高度h自由落下，求落地时的动能。
2. 练习2：一辆质量为m的汽车，从静止开始加速，在时间t内通过距离s，求汽车所受合外力。
3. 练习3：一个物体在水平面上做匀速直线运动，求物体所受合外力。
五、总结1. 总结动能定理的概念、表达式和物理意义。
2. 强调动能定理的应用。
教学反思：1. 本节课通过引入牛顿第二定律和功的概念，引出动能定理，使学生更容易理解动能定理的物理意义。
2. 通过例题分析和课堂练习，使学生掌握动能定理的应用，提高学生的实际操作能力。
3. 在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，使学生能够灵活运用动能定理解决实际问题。
大学物理第二章动能定理
例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
大学物理2-3功 动能 动能定理
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。 F
F
A Fr cos F r
明确几点
r
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
2.变力的功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
a
怎样计算这个力 的功呢？ 采用微元分割法
当物体前端在s处停止时，摩擦力做的功为 L m s A F d x f r d x gx d x mg d x 0 L L L L mg ( s L) mg ( s )
2 2
再由动能定理得
即得
L 1 2 mg ( s ) 0 mv0 2 2 L v0 2 g ( s ) 2
2
l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B
例题2-11 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软 匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台 面上滑动 S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨 擦可不计，物与台面间的摩擦系数为 μ ，而且 S>L ， 试计算物体的初速度v0。
动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动 能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a. 合力做正功时，质点动能增大；反之，质 点动能减小。 b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。
d. 功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
例题2-9 装有货物的木箱，重G＝980N，要把它运 上汽车。现将长 l ＝ 3m 的木板搁在汽车后部，构成一斜 面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o角， 木 箱 与 斜 面 间 的 滑 动 摩 擦 系 数 =0.20 ， 绳 的 拉 力 与斜面成10o角，大小为700N，如图所示。
大学物理能量及能量守恒定律
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到 零势点过程中保守力做的功。
3）保守力为其相关势能梯度的负值:
F
d A F d l Fldl d E p
m
θ
dl
l
Fl
dE p Fl dl
保守力在 l 方向投影
F 保 grad E p E p
v0 m
mv
2 0
4 J
x (m)
1
4
7 9
E 守恒,当 Ek=0时
E
p
max
E 0 4J
E p 4J
作曲线
2）要
F
知运动范围
dE p dx 0
x 1
dE p dx
0
势能曲线斜率为负:
1 x 4,
x 9
3） x = 4m 处,势能最小
ml
2
2
所以棒撞击地板时的角速度是
；
3g l
练习3.
如图所示， 已知: M , l , m , , v0 ;击中
求:击中时 ; max ? o
3 4
3 4
l处
(只列方程)
分两个阶段求解,各遵循什么规律? 1）相撞: 质点
l
M
v0
定轴刚体
c
对 O 轴角动量守恒
1 4
i
A
i
i内
0
2.变力的功
dr
微元分析法：
ds
P
b
F r
取微元过程
P
r
以直代曲
大学物理,力学中的守恒定律 1
保守力在 l 方向投影
v F保 = − gradEp = −∇Ep
=−
(
∂Ep ∂x
v ∂Ep v ∂Ep v i + ∂y j + ∂z k
)
第19页 共32页 页 页
大学物理
的质点在外力F的作用下沿 轴运动。 练习3 练习3 质量为 m的质点在外力 的作用下沿 轴运动。 的质点在外力 的作用下沿x轴运动 已知t 时质点位于原点， 已知 = 0时质点位于原点，初速度为零。力F随距离线 时质点位于原点 初速度为零。 随距离线 性减小， 性减小，x = 0处，F=F0; x=L处，F = 0。试求质点在 处 处 。 x=L处的速率。 处的速率。 处的速率
v s
s
b
(1) 变力的功 v v d 元功： 元功： A = F ⋅ d r v = F ⋅ d r ⋅ cos θ 直角坐标系： 直角坐标系：
= F d s cos θ
ds v r θd
b
v v v v v r F = Fx i + Fy j + Fz k r a r r r dr = dxi + dyj + dzk v v dA = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
P
C
y
R
r F
m
解： v
.
o
v v F = F0 x i + F0 y j
v r
x
0
v v v d r = dx i + dyj
2R
v v v r = xi + yj
v v 2 A= ∫ F ⋅ dr = ∫ F xd x + ∫ F yd y = 2F R 0 0 0
大学物理-功能原理 机械能守恒定律
1
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守力 的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex
W in nc
(
Ek
Ep
) ( Ek0
Ep0
பைடு நூலகம்
)
2
W ex
W in nc
(Ek
Ep ) (Ek0
1 R
） h
GMmh R（R h）
17
（2）取陨石为研究对象，由动能定理
R（GMRm hh）
1 2
mv2
得
v
2GM
h R（R
h）
18
例：求质量 M长 的l均匀细棒与质点
（1）质点 在细棒延m长线上； （2）质点 在m细棒中垂线上；
间的引m力势能。
解（1）质点 m在细棒延长线上，如图在细棒上任取一微
y
Oy 轴。
设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态
b0 g 0(l b0 )g 0
b0
0 1 0
l
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链
条将开始滑动。 10
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中 各部分之间相互作用的内力的功之和为零，
重力的功
W
l
b
ygdy
1 g(l2
2
b2 )
摩擦力的功
W
'
l
b
(l
y)gdy
1
2
g(l
b)2
11
根据动能定理有
1 g(l 2 b2 ) 1 g(l b)2 1 lv 2 0
大学物理3_4 刚体绕定轴转动的动能定理
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速度 作匀速转动.放上唱片后,唱片将在摩擦力作用下随转盘一 起转动.设唱片的半径为 R 、质量为 m ,它与转盘间的摩 擦系数为 .求(1)唱片与转盘间的摩擦力矩;(2)唱片达到 角速度 需要多长时间;(3)在这段时间内,转盘的驱动力 矩作了多少功? 解 (1)如图所示,在唱片上取长为 dl 宽为 dr 的面积元 dS dldr ,该面 积元所受的摩擦力为:
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 W J J0 mR 0 mR 2 2 2 2 4
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 例3-11 一长为 l , 质量为 m0 的均质细竿可绕支点O自 由转动 . 一质量为 m、速率为 v0 的子弹射入竿内一端， 使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为多少 ? .
加速度
力 质量
dr v dt dv a dt
F
d 角速度 dt d 角加速度 dt
力矩
M
m
转动惯量 J
动量
P mv
角动量
L J
r
dm
2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照 质点的平动 刚体的定轴转动
EPB EkB EPA EkA
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 4 2 2 J J1 J 2 ml ml ml 3 3
取A点的重力势能为零,即 则有 而
EPA 0
大学物理教案动能定理
课程名称：大学物理授课对象：大学一年级授课时间：2课时教学目标：1. 理解动能定理的基本概念和物理意义。
2. 掌握动能定理的表达式及其推导过程。
3. 学会运用动能定理解决实际问题，包括变力做功和复杂运动过程的分析。
教学重点：1. 动能定理的基本概念和物理意义。
2. 动能定理的表达式及其推导过程。
3. 动能定理在解决实际问题中的应用。
教学难点：1. 动能定理的理解和应用。
2. 复杂运动过程中动能定理的运用。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习动能和功的概念，引导学生思考动能与功之间的关系。
2. 提出问题：如何描述外力对物体做功与物体动能变化之间的关系？二、新课讲授1. 介绍动能定理的概念：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
2. 推导动能定理的表达式：W = ΔEk = Ek2 - Ek1（其中W为外力做的总功，Ek 为物体的动能，ΔEk为动能的变化量）。
3. 分析动能定理的物理意义：动能定理揭示了功与动能之间的定量关系，是解决力学问题的重要工具。
三、例题讲解1. 讲解动能定理在匀速圆周运动中的应用。
2. 讲解动能定理在匀变速直线运动中的应用。
3. 讲解动能定理在变力做功中的应用。
四、课堂练习1. 让学生根据动能定理解决实际问题，如求解物体在斜面上滑动的加速度、求解物体在空气阻力作用下的运动等。
第二课时一、复习回顾1. 回顾动能定理的基本概念、表达式和物理意义。
2. 回顾动能定理在解决实际问题中的应用。
二、新课讲授1. 讲解动能定理在变力做功中的应用，如变力作用下物体运动的分析。
2. 讲解动能定理在复杂运动过程分析中的应用，如多阶段运动、碰撞等。
三、例题讲解1. 讲解动能定理在变力做功中的应用实例。
2. 讲解动能定理在复杂运动过程分析中的应用实例。
四、课堂练习1. 让学生根据动能定理解决实际问题，如求解物体在变力作用下的运动、求解碰撞过程中的能量变化等。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，检查学生对动能定理的理解和掌握程度。
3-4 动能定理
ODC；（2）沿OBC。
B 2
C 2
Fy 0
（1）OD段：y=0,dy=0, DC段：x=2, dx=0，Fy=0
WODC
F dr
OD
2 F dr (4 2 0)dx 0 8J
DC 0
O
D
（2）OB段：Fy=0, BC段：y=2
WOBC
dW F d s FT d s P d s P d s mgld cos mglsin d
0
d
W mgl sin d
0
mgl(cos cos 0 )
FT v ds P
l
3－5 保守力与非保守力 势能
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点
1、万有引力作功的特点
m' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
m 移动dr 时，F作元功为
A
rA e
m'
r
r
rB
m
dr
dr r dr
B
m' m dW F dr G 2 er dr r
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
3－6 功能原理 机械能守恒定律
一、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为： W1, W2, …, Wn,使各个质点由初动能Ek10, Ek20, …, Ekn0,变成 末动能，Ek1, Ek2, …, Ekn
W1 E k 1 E k 10 W2 E k 2 E k 20 Wn E n1 E n10
大学物理动量定理
子弹穿过两木块所用的时间分别为t1和t2，木块对子 弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度大小
为
，木块B的速度大小为
.
解：
F t1 m1vA m2vA
vA
F m1
t1 m2
F t2 m2vB m2vA
vB
F t2 m2
vA
F t2 m2
F m1
t1 m2
2-8. 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量
机械能守恒：
1 2
m2 v02
1 2
(m1
m2 )v2
1 2
kxm2 ax
1 xmax 2 x0
下次课内容：
§3-1 刚体运动的描述 §3-2-1 力矩 §3-2-2 刚体绕定轴转动定律
j
t
i
v bs
a in t
sin j]
t
i
b cost Fx m 2 x
j
dt
m2[x i y j ]
Fy m2 y
A(a,0) B(0, b)
Wx
0
a Fxdx m2
0 xdx 1 ma22
a
2
Wy
b
0 Fydy m 2
bydy 1 mb2 2
0
2
质点动能定理
W
为
r
a
cos
t
i b sin t j
(SI).
式中a，b， 是正值常
数, 且a > b.
(1)求质点在A点(a，0)和B 点(0，b)的动能; (2)求质点所 受的作用力 F 以及质点从A点运动到B点 的过程中 F 的分力Fx和Fy分别做的功.
解：
大学物理2.3 动能 动能定理
考虑过程中间的某一状态时， 考虑过程中间的某一状态时，物块和小 车的速度不同， 车的速度不同，此时也有动量守恒的关系 mv0 = Mv车 + mv块 （2）在上述所描述的过程中，对于物块 ）在上述所描述的过程中， 和小车构成的质点组，虽然没有外力做功， 和小车构成的质点组，虽然没有外力做功， 但有一对摩擦内力存在， 但有一对摩擦内力存在，这一对内力所做的 功分别为: 功分别为: 物块受与运动方向相反的摩擦力，大小 物块受与运动方向相反的摩擦力， 为µ mg ，位移为l + d ，因为力与位移方向相 位移为 反，所以此摩擦力做的功为 − µ mg ( l + d )
而 v A = 0， v B = v ，所以
v = 2gl sin θ
ϕ dr
2. 力沿曲线所做的功
B
dr
A
B
F
WAB = ∫ dW = ∫ F ⋅ dr
L A
3. 功的单位 功的单位为牛·米 功的单位为牛 米（ N ⋅ m）, 1N ⋅ m = 1J.
2.3.2 功率
1. 平均功率 ∆W N= ∆t 2. 瞬时功率 简称功率 瞬时功率(简称功率 简称功率) ∆W dW F ⋅ dr = F ⋅v N = lim = = ∆t → 0 ∆ t dt dt 3. 功率的单位 功率的单位为瓦[ 功率的单位为瓦[特](W)
若W < 0, 则质点的动能减小 .
2.3.4 质点组的动能定理
1. 内力的功
B1
B2
dW = f21 ⋅ dr21
W = ∫ f21 ⋅ dr21
A B
dr1 r 1
m1
f12
f21
r21 r2 A1 A2
dr2 m2
大学物理-动能定理
xA yA zA zB
W = Wx + Wy + Wz
功的量纲和单位(焦耳 功的量纲和单位 焦耳) 焦耳
dim W = ML T ,1J = 1N × m
2 -2
第三章 动量守恒和能量守恒
5/12
物理学
第五版
3-4
动能定理
∆r
力对物体作做的功等于力在位移方向上的分量与该 位移大小的乘积作用下的功 The work on object by a force is equal to the product of the component of the force along the direction of the displacement & the magnitude of the displacement.
θi
F
*
dr θ
dr1 θ1 F 1 *
A
Fi
第三章 动量守恒和能量守恒
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物理学
第五版
3-4
动能定理
讨论
1,功的正、负 功的正、 功的正
0 o < θ < 90 o ， d W > 0 o o 90 < θ < 180 ， d W < 0 θ = 90 o , F ⊥ d r , d W = 0
v1
dr
θ B
1 p 2 Ek = mv = 2 2m
第三章 动量守恒和能量守恒
2
F
v2
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物理学
第五版
3-4
动能定理
质点的动能定理
(The theorem of kinetic energy of a mass point)
大学物理第四章 功和能
dA F d r
P F dr F v dt
单位：W或Js-1 量纲：ML2T－3
例1：某质点在力 F 4 5xiˆ 的作用下沿
x轴做直线运动 ， 求在从x=0移到x=10m的 过程中，力 F 所做的功。
解：
b
10
A Fxdx (4 5x)dx 290 (J)
拉力对小环所做的功为 -0.207 J B
提示：
A (E P2 - EP1)
R
(
1 2
k x22
1 2
k x12
)
A
O
c
x2 2R l0 R x1 2R l0 2 1 R
§4 功能原理 机械能守恒定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理：A外+A内=EkB - EkA
2、机械能守恒定律
如果 A外＝0 A非保内＝0 则EB ＝ EA＝常量
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机 械能保持不变。
3、能量守恒定律
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能 量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。
4、守恒定律的特点及其应用
特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下
1）沿圆弧（a—b）；2）沿直径（a—b）
解： Aab
b
fs
drLeabharlann bfs
dr
圆弧 a
a
m fs dr
a
Rb
(b)
fs ds mg R
(a)
Aab fs r mg2R 直径
摩擦力的功与路径有关 一定是负的吗？
大学物理 动能定理、功能原理、机械能宁恒
习题（五）动能定理、功能原理、机械能宁恒专业 班级 学号 姓名一、选择题1、质量为m 的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为该飞船只在地球的引力场中运动．已知地球质量为M ，万有引力恒量为G ，则当它从距地球中心R 1处下降到R 2处时，飞船增加的动能应等于 (A) 2R GMm (B) 22R GMm (C) 2121R R R R GMm - (D) 2121R R R GMm - (E) 222121R R R R GMm - [ C ]2、今有一劲度系数为k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m 的小球，开始时使弹簧为原长而小球恰好与地接触，今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程中外力作功为 (A) k g m 422 (B) kg m 322 (C) k g m 222 (D) kg m 222 (E) kg m 224 ［ C ］ 3、已知两个物体A 和B 的质量以及它们的速率都不相同，若物体A 的动量在数值上比物体B 的大，则A 的动能E KA 与B 的动能E KB 之间(A) E KB 一定大于E KA ． (B) E KB 一定小于E KA ．(C) E KB ＝E KA ． (D) 不能判定谁大谁小． ［ D ］4、如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块而不穿出．以地面为参考系，下列说法中正确的说法是(A) 子弹的动能转变为木块的动能．(B) 子弹─木块系统的机械能守恒．(C)子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功．(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热． ［ C ］二、填空题 1、如图所示，质量m ＝2 kg 的物体从静止开始，沿1/4圆弧从A 滑到B ，在B 处速度的大小为v ＝6 m/s ，已知圆的半径R ＝4 m ，则物体从A 到B 的过程中摩擦力对它所作的功W ＝__________________．2、质量m ＝1 kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F ＝3＋2x (SI)，那么，物体在开始运动的3 m 内，合力所作的功W ＝________________；且x ＝3 m 时，其速率v ＝________________________．三、计算题1、某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功．(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m 时，物体的速率．(3)此弹簧的弹力是保守力吗？2、如图所示，质量m为 0.1 kg的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k为20 N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x =0.4 m．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数 k 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少？CCDC－42.4 J18 J6 m/s解：(1) 外力做的功＝31 J(2) 设弹力为F ′= 5.34 m/s(3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关．解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有 222121v m kx x f r -=- 而 mg f k r μ=由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为 mkx gx k 22+=μv = 5.83 m/s[另解]根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，应有 20210v m kxdx mgx x k -=--⎰μ 其中2021kx kxdx x =⎰⎰⎰⋅+==21d )4.388.52(d 2x x x x x xF W ⎰⎰⋅=-==1212d d 21'2x x x x W x F x F m v m W 2=v。
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设子弹受的平均阻力为 fr （即看作常数） , 而子弹相对砂箱的位移即为l ，
所以，
fr
l
1 2
MV 2
1 mv 2 2
1 2
mv
2 0
fr
l
1 2
MV 2
1 2
mv 2
1 2
mv
2 0
将V代入， 可得
V
m M
(v0
v)
fr
NNvv不不垂垂直直于于vrvr12,，AANN
0 0
一对正压力的功恒为零！
一对滑动摩擦力之功恒小于零！
ff vv
讨论 一个物体在地面上滑行， 受摩擦 f 作用，经过距离 s 停了下来。
在地面系看：摩擦力 f 作负功，A = -f s 物体动能减少，动能转化为热能，温度升高。
在物体参考系看：摩擦力 f 不作功，A=0.
第4章 动能定理 功能原理
4. 动能定理 功能原理
• 4.1 动能定理 • 4.2 保守力和非保守力 势能 • 4.3 功能原理和机械能守恒 • 4.4 三种宇宙速度 • 4.5 能量守恒定律
研究力在空间的积累效应。
注意: 1. 提高对 “功、动能、动能定理、势能 、 2. 搞功清能规原律理的、内机容械、能来守源恒、定对律象”、的成理立解条。件。 3. 搞清它们与参考系的关系。
则
fx
d dx
1 2
kx2
kx
例 . 由万有引力势能求万有引力。
E p万
GmM r
f r万
d GmM dr r
GmM r2
例 . 由双原子分子势能曲线 知分子力的大致情况
Ep
斜率 < 0
r > r0 ： 斜率 > 0 ， fr < 0,
O
r0
斜率 > 0 趋向势能小处，是引力。
r
r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0, 趋向势能小处，是斥力。
斜率 = 0 r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。
r
是平衡位置，不受力。
4.3 功能原理与机械能守恒定律
质点系动能定理：A外 A内 Ek 2 EK1
A外 A内保 A内非 Ek 2 Ek1
(B)
v f2
d
rv21
(A)
(B)
(或
v f1
d
rv12
)
(A)
１.一对力的功等于其中一个质点受的力沿着它相对 于另一质点移动的路径所作的功。
２.由于一对力的功只与“相对路径”有关，所以与
参考系的选取无关。
一对力的功,可认为一个质点静止,例如，重力做功
3.
AAB对
B A
v f2
重力
f
mg（或恒力）
常见的非保守力（耗散力）：
摩擦力 爆炸力
4.2.2 势能和势能曲线
一对保守力的功只与系统的始末相对位形 有关, 说明系统存在一种只与相对位形有关的能 量。
一对保守力的功（过程量）都可以写成两 个状态量之差,这两个状态量称为系统的势能,
表示 E p A12 Ep1 Ep2 Ep2 Ep1 Δ Ep
系统：砂箱和子弹 水平外力为零， 水平动量守恒，
设子弹射出时砂箱的速度为V，如图，
设V Ml
v0
v
m
x
则有
MV mv mv 0
m
V M ( v0 v ) （＞0）
由动能定理：
A外 + A内 = Ek2 - Ek1 现在外力的功为零； 内力的功 就是一对阻力的功，
我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：
A12对
2 1
GMm
r2
v f
d
rv
rˆ
f m rˆ
2 1
GMm r2
rˆ
d
r
2
r2
M
dr
r1
r
f
m
1
dr
rˆ
A12对
2 1
GMm r2
rˆ
d
rv
r2 GMm
dr
r1
r2
GMm GMm
( ) ( )
r1
r2
一对万有引力的功“与质点的始末位置有关, 与路径无关，这种性质的力称为保守力”。
对弹性势能:通常选弹簧自然长度时的
势能为零, 则
Ep弹
1 2
kx2
说明：
1. 势能属于有相互作用的系统。 因为它是与一对保守力的功联系在一起的。
重力势能为 mgh，好象只与一个物体的质
量有关，其实这是以地球为参考系的缘故。 2. 势能的差值不依赖于参考系的选择。
因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。
Q A内保 EP1 EP2
A外 A内非 （Ek 2 Ep2） (Ek1 Ep1)
E2 E1
A外 A内非 E2 E1
（矛盾？） f 到底作不作功？ 若 f 不作功，热能从何而来?
这个问题从一对摩擦力之功来分析就无矛盾:
v
f
f
A ss
B
地面系： 物体系：
A对
A '对
v f
sv
fs
v f
sv
f
s
fs f s A对 A '对
两者相等,而且都是负值。(动能转化为热能！)
(<0)
注意 功的数值依赖于参考系的选择。
例如，上题中，在桌面参照系 f 作负功; 在小球参照系弹性力对小球 f 并不作功！
保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对
于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间
的保守力做的功必然是零。
2
若 f 是保守力，必有
L1
f dr 0
f
dr
L2
d rv21,
或
d rv21
d rv21
0
v f2
(相对位置不变)，
时，A对 0
例、一对静摩擦力的功是多大？
一对静摩擦力的功恒为零！
v
无论大物体怎么运动，这一对力 的功总是零，没有相对运动。
例、小物体下滑大物体后退，一对正压力的
功是多大？
v2
1 2
N
v12
N
v1
f保l d l d Ep
l m d l f保l
f保 l
d Ep dl
(Ep在 l 方向上变化率的负值 )
一般 E p E p ( x , y , z )
则
f保 x
Ep x
,
f保 y
Ep y
,
f保z
Ep z
f保 x
Ep x
,
f保 y
m 的物体从 a 到 b，求重力的功。
b r rb
r
rr
Ap mg d r (mgj).(d xi d yj) a
yab
a
mg d y mg( ya yb )
o
ya
例2. 一人从10m深的井中提水，起始 时桶和水共重10kg，由于水桶漏水， 每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水
1 l
1
2
m
v02
v2
1 2
m2 M
v0
v
2
讨论：1. 量纲对
2. 特例对（当 M 0时）
4.2 保守力与非保守力 势能
一对万有引力的功：以 M为参考系的原点,
计算起来就非常方便，
M
r1
r
1
r2
2 只要算一个力的功 即可。
dr
dr
rˆ d rf
r2
f2
d r2
m2
A2
y
一对力的元功
x0
d
A对
fvf12ddrv(1r2fvr21)drv2
f2
v f2
d
(d
r21
rv2
d rv1)
初位形（A）: m1----A1，m2----A2 末位形（B）: m1----B1，m2----B2
说明:
AAB对
L
M m1
2 1
f dr f dr f dr
1 L1
2L2
2 2
f dr f dr 0
1 L1
1 L 2
常见的保守力:
万有引力
弹力 f
f f (r )rˆ ( 或有心力）
kx（或位置的单值函数）
例如： • 功的计算是否依赖参考系？ • 如何理解重力势能属于“物体与地球”系统？ • 某一惯性系中机械能守恒，是否在 其它惯性系也守恒？
4.1 动能定理
4.1.1 功和功率
功: 力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。
对微小过程，可当成恒力、直线运动
F