高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.1 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的进一步认识教师

第1课时相似三角形的进一步认识1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．2．平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．1．(2016·南京模拟)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A，B，C，D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，因此∠DBA ＝∠CDB ，所以AB ∥CD .2．如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，求EC 的长度．解 在Rt△ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ， ∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD＝27. 3．(2016·镇江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BF FC的值．解 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.题型一 平行截割定理的应用例1 如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于点E ，F ，与CD 的延长线交于点K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明 延长CK ，BA ，设它们交于点H ，因为KO ∥HB ， 所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DKDH .因此KO HB ＝KE HA，即KO KE ＝HB HA. 因为KF ∥HB ，同理可得KF KO ＝HBHA .故KO KE ＝KF KO， 即KO 2＝KE ·KF .思维升华 当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．(1)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的长度．(2)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，求AB 的长． 解 (1)∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53，∴OB BD ＝58. ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.(2)∵DE ∥BC ， ∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23，EC AC ＝13.又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝EC AC ＝13.∴AD ＝3.∴AB ＝32AD ＝92.题型二 相似三角形的判定与性质例2 (2016·江苏)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .证明 由BD ⊥AC ，可得∠BDC ＝90°， 由E 为BC 中点，可得DE ＝CE ＝12BC ，则∠EDC ＝∠C ，由∠BDC ＝90°，得∠C ＋∠DBC ＝90°， 又∠ABC ＝90°，则∠ABD ＋∠DBC ＝90°， ∴∠ABD ＝∠C ，又∵∠EDC ＝∠C ，∴∠EDC ＝∠ABD .思维升华 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．(1)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，求PE 的长．(2)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延 长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)∵BC ∥PE ， ∴∠PED ＝∠C ＝∠A ， ∴△PDE ∽△PEA ，∴PE PA ＝PD PE，则PE 2＝PA ·PD ， 又∵PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝PA ·PD ＝ 6.(2)如图，过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt△DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt△DFB ∽Rt△ENB ， 知EN DF ＝BEBD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 题型三 射影定理的应用例3 (2016·苏州调研)如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC 的长．解 在△ABC 中，设AC 为x ，∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC . 又FC ＝1，根据射影定理， 得AC 2＝FC ·BC ， 即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ， 即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DC AC， ∴DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt△DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即(x 2－1x )2＋(12x 2)2＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.思维升华 (1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，求AC ∶BC .(2)已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD >BD )，若CD ＝6，求AD 的长．解 (1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2∶BC 2＝AD ∶BD ＝9∶4，∴AC ∶BC ＝3∶2.(2)如图，连结AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ， 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9.1．(2016·苏州一模)如图，△OAB 是等腰三角形，P 是底边AB 延长线上一点，且PO ＝3，PA ·PB ＝4，求腰长OA 的长度．解 如图，作OD ⊥AP ，垂足为D ，则PO 2－PD 2＝OB 2－BD 2， 所以PO 2－OB 2＝PD 2－BD 2，因为AD ＝BD ，所以PD 2－BD 2＝PD 2－AD 2＝(PD ＋AD )(PD －AD )＝PA ·PB ＝4， 所以PO 2－OB 2＝4，所以OB 2＝9－4＝5， 所以OB ＝5，所以OA ＝ 5.2．(2016·徐州模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，求AE 的长．解 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°， ∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝AE AC.又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6， ∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2. 3.如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，求AD ∶BC .解 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ，∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2，∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，求△ACD 与△CBD 的相似比． 解 如图所示，在Rt△ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵AD ∶BD ＝2∶3， 令AD ＝2x .则BD ＝3x (x >0)， ∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD . 易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD＝2x 6x＝63. 即相似比为6∶3.5．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC.证明 ∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AF ＝BD AB，① AE EC ＝AB BC.②在Rt△ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC.③ 由①③得DF AF ＝AB BC ，④由②④得DF AF ＝AE EC.6.如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB ·BM ＝AM ·BN .证明 ∵CM 2＝MN ·AM ， 又∵M 是BC 的中点， ∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AM BM，∴AB ·BM ＝AM ·BN .7.如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． (1)证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD .∴∠ABF ＝∠CEB . ∴△ABF ∽△CEB .(2)解 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16.∴S 四边形ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.8.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD .(2)若∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长． (1)证明 ∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED . 又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BFA ＝∠C ＋∠ADE ， ∴∠BFA ＝∠ADE .∴△ABF ∽△EAD . (2)解 ∵∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°， ∴AB AE ＝sin 60°＝32， 又△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE，∴BF ＝AB AE ·AD ＝332.9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .(1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .(1)证明 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB . 又∵AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形． ∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM .(2)解 ∵△EDM ∽△FBM ，∴DM BM ＝DEBF. ∵F 是BC 的中点， ∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ， ∴BM ＝13DB ＝3.10．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ； (2)若AE EB ＝23，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由； (3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝m n，那么你可以得到什么结论？ (1)证明 过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H .因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13， 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH . 又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ， 所以EF ＝13BC ＋23AD ， 即3EF ＝BC ＋2AD .(2)解 EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似．(3)解 因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m . 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝m m ＋nBH . 所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD＝mm ＋n (BC －AD )＋AD ，所以EF ＝m m ＋n BC ＋n m ＋n AD ， 即(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。