ppt-控制系统的数学模型(拉氏) 03

& & & K1 xm = K1 xi − K2 xo & & xm = xi − K2 K & & xo = 2 xo + xo K1 f
K1 + K2 K & & xo + 2 xo = xi K1 f
& xo +
K1K2 K1 & xo = xi f (K1 + K2 ) K1 + K2
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程 例3 电枢控制式直流电动机
f (τ ) ⋅ e −τ s dτ = 右
0
0 t < 0 f (t ) = 1 0 < t < a , 求F(s) 0 t > a
解.
1 1 − e − as − as 1 L [ f ( t ) ] = L [1( t ) − 1( t − a ) ] = − e ⋅ = s s s
进一步有： 进一步有： 1 1 1 1 L ∫∫ L∫ f (t )dt n = n F (s ) + n f (−1 ) (0) + n−1 f (− 2 ) (0) + L + f (− n ) (0) { s s s s n个
[
]
[
]
[
]
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
L[cos(ω t )] = ?
1
cos ω t =
s ω = 2 L[cos ω t ] = L[sin′ ω t ] = ⋅ s ⋅ 2 2 s +ω2 ω s +ω ω 1 1
ω
[sin′ ω t ]
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
[∫ f (t )dt ] = 1 ⋅ F (s ) + 1 f ( ) (0) （3）积分定理 L s s 1 零初始条件下有： 零初始条件下有： L[∫ f (t )dt ] = ⋅ F (s ) s
− ts 0 ∞
F ( s) 像 f ( t ) 原像
3 常见函数的拉氏变换
1 t ≥ 0 （1）阶跃函数 f ( t ) = 0 t < 0 ∞ − 1 − st ∞ − 1 (0 − 1) = 1 L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e − st dt = e 0 = s s s 0
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数、 复数
s = σ + jω
复函数 F ( s ) = Fx ( s ) + F y ( s ) 例1 F ( s ) = s + 2 = σ + 2 + j ω （2）模、相角
F (s ) = Fx2 + F y2 Fy 相角 ∠F (s ) = arctan Fx
反馈口： 反馈口： ∆u = ur − up 放大器： 放大器： u = K1∆u 电动机： &m & 电动机： Tmθ& +θm = Kmu 减速器： 减速器： θ2 = K3θm 绳 轮： L = K3θ2 电 桥： up = K4 L
消去中间变量可得： 消去中间变量可得：
&& 1 L+ K1K2 K3 K4 Km L = K1K2 K3 K4 Km u & L+ r Tm Tm Tm
自动控制原理
（第 3 讲）
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 §2.2 引言 控制系统的时域数学模型
复习： 复习： 拉普拉斯变换有关知识
自动控制原理课程的任务与体系结构
自动控制原理
§2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
§2 控制系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、 数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
f ( t ) = 1( t ) − 1( t − a )
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理 证明： 证明：左 =
L e A⋅t f ( t ) = F ( s − A)
[
]
∫
∞
) s− A= s 令
∞ ) − s ⋅t 0
0
e f (t ) ⋅ e
At
−t⋅s
− ( s − A )⋅ t dt dt = ∫0 f ( t ) ⋅ e
-1
例4 求 L[t]=? =?
t = ∫ 1(t )dt 1 1 1 1 解. L [t ] = L ∫ 1 (t )dt = ⋅ + t t = 0 = 2 s s s s t2 t2 = ∫ t dt 例5 求 L = ? 2 2 1 1 1 t2 1 = 3 解. L t 2 2 = L t dt = ⋅ 2 + ⋅ ∫ s s s 2 t=0 s
& Tmωm + ωm = Kmur
& & Tmθ& +θm = Kmur m
Tm = JmR/( R⋅ fm + ce ⋅ cm ) 电机时间常数 Km = cm /( R⋅ fm + ce ⋅ cm ) 电机传递系数
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程（3） 例4 X-Y 记录仪
d nc(t ) d n−1c(t ) dc(t ) an + an−1 + ... + a1 + a0c(t ) n n−1 dt dt dt d mr(t ) d m−1r(t ) dr(t ) = bm + bm−1 + ... + b1 + b0r(t ) m m−1 dt dt dt
控制系统的数学模型—微分方程 §2.2 控制系统的数学模型 微分方程
∞
L[a f1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
L[ f ′(t )] = s ⋅ F (s ) − f (0 )
∞
-st − st − st − st 左 证明： 证明： = ∫ f ′(t ) ⋅ e dt = ∫ e df (t ) = e f (t ) 0 − ∫ f (t ) de ∞
dt + S h= S Qr
为液位容器的横截面积。 式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量 变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。 的线性化方程。 变化，
d h 1 |h0 ⋅∆h = h0 + ⋅ ∆h dt 2 h0
解. 在 h 处泰勒展开，取一次近似 处泰勒展开， 0
机理分析法） 解析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程 系统辨识法） 实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 给系统施加某种测试信号，记录输出响应， 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
控制系统的数学模型—微分方程 §2.2 控制系统的数学模型 微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
∞
= ∫ f (t ) ⋅ e
例7 例8 例9
) dt = F (s ) = F ( s − A) = 右
1 1 =) = Le = L 1(t ) ⋅ e ) s s → s−a s − a ) s+3 s - 3t = L e ⋅ cos 5t = ) 2 2 (s + 3)2 + 52 ) s + 5 s →s+3
− 1 − (s + jω)t ∞ e − 0 s + jω
1 1 1 1 2 jω ω = − = ⋅ 2 = 2 2 j s − jω s + jω 2 j s + ω 2 s + ω 2
复习拉普拉斯变换有关内容（4）
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 （2）微分定理
取一次近似， 取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
举例2 §2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例2） 例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程 dh α 1
模 （3）复数的共轭 （4）解析
F ( s ) = Fx − jF y
若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。 在 点的各阶导数都存在， 在 点解析。
复习拉普拉斯变换有关内容（2）
2 拉氏变换的定义
L[ f ( t )] = F ( s ) = ∫ f ( t ) ⋅ e dt
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
h = h0 +
d(h0 + ∆h) α 1 1 + ( h0 + ⋅ ∆h) = (Qr 0 + ∆Qr ) dt S S 2 h0 dh0 α Q h0 = r0 + dt S S
d∆h 1 α + ∆h = ∆Qr 上两式相减可得线性化方程 dt S 2S h0
n (n ) 0初条件下有： L f (t ) = s F (s ) 初条件下有：
[
( )
]
复习拉普拉斯变换有关内容（5）
例2 求 解.
L[δ (t )] = ?
1 = s ⋅ − δ 0− = 1 − 0 = 1 s
δ (t ) = 1′(t )
L[δ(t )] = L[1′(t )]
( )
例3 求 解.
∞
t<0 0 f(t) = sin ωt t ≥ 0
∞
L[ f(t)] = ∫ sin ω t ⋅ e − st dt = ∫
0 0
1 jω t e − e − jωt ⋅ e − st dt 2j
[
源自文库
]
=∫
0
∞
1 -(s-jω)t e − e − (s + jω)t dt 2j
∞ 0
[
]
1 − 1 − (s − jω)t = s − jω e 2j
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur (t ) = L di(t ) (t + Ri(t ) + uc (t ) dt du (t ) i(t ) = C c dt
d 2uc (t ) du (t ) = LC + RC c + uc (t ) dt 2 dt
d 2uc (t ) R duc (t ) 1 1 uc (t ) = ur (t ) + + 2 dt L dt LC LC
电枢回路： — 克希霍夫 电枢回路： ur = Ri + Eb 电枢反电势： — 楞次定律 电枢反电势：Eb = ce ⋅ ωm 电磁力矩： — 安培定律 电磁力矩： Mm = cmi & 力矩平衡： — 牛顿定律 力矩平衡： Jmωm + fmωm = Mm & ωm = θm 可得： 消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：
[ ]
∞
（2）指数函数
∞
f ( t ) = e at
L[ f ( t )] = ∫ e at ⋅ e − st dt = ∫ e − ( s − a )t dt
− 1 − (s − a)t e = s−a
0
[
]
0
∞ 0
−1 1 (0−1) = = s−a s−a
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
（3）正弦函数
举例1 §2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1）
已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。 例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x) = E0 cos[x(t )]
在工作点( 解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数 1 y( x) = y( x0 ) + y′( x0 )( x − x0 ) + y′′( x0 )( x − x0 )2 + L 2!
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法， 建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、 线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
§2.1 引言 •数学模型 数学模型
描述系统输入、 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法 建模方法
（4）实位移定理 证明： 证明：左 =
L[ f ( t − τ 0 )] = e − τ 0 ⋅ s ⋅ F ( s )
∫
∞
0
∞
f ( t − τ 0 ) ⋅ e − t ⋅ s dt
t −τ 0 = τ
令
=∫
例6
−τ 0
f (τ ) ⋅ e
− s (τ +τ 0 )
dτ = e
−τ 0 s
∫τ
−
∞
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程（1） 弹簧—阻尼器系统 例2 弹簧 阻尼器系统
A : { Fi = K1( xi − xm ) & & Fm = f ( xm − xo ) B : {F = K x
o 2 0
& & K1( xi − xm ) = f ( xm − xo ) = K2 xo
[
]
∞
0
0
0
= [0 -f (0 )] + s ∫ f (t ) e − st dt = sF (s ) − f (0 ) = 右
∞
[ f ( ) (t )] = s F (s ) − s
n n
0
n- 1
f (0 ) − s n- 2 f ′(0 ) − L − sf (n- 2 ) (0 ) − f (n −1) (0 )