2-9函数的求导法则09[1].10.13
导数的基本公式与运算法则
y y 3 3 3 3 3 3 ( x ( x 2 2 ) ) ， ， 即 3 即 3 x x 4 4 y y 8 8 3 3 0 0 。 。 2 2 4 4
六、对数求导法
1
2
(x1)3x1
y 观 察 函 数
,
yxs方i法xn : .
(x4)2ex
3
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化
因 f ( x ) ( x ) ( x a ) ( x )
故 f(a)(a)
正确解法:
f(a)lim f(x)f(a)lim(xa)(x)
x a xa xa xa
lim(x) (a) xa
八、小结
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) ; 注[意u(: x)] u(x).
dx dudx
例6 求函 yl数 n six n的导 . 数
解 y ln u ,u six .n
dy dy du 1 cos x cos x coxt
dx du dx u
sin x
注 1.链式法则——“由外向里，逐层求导”
2.注意中间变量
推广 复 合 函 数 y f{ [( x ) ] } 的 导 数
五、隐函数的导数
即 y f( x ) 形 式 的 函 数 称 为 显 函 数 .
显函方 数程 ： x y 3 1 0 能 确 定 一 个 函 数 y f( x ) 3 1 x，
形如 y sin x ，y ln x的函数。 这种由方程确定的函数称为隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
a b
a x
b x
七、由参数方程所确定的函数的导数
函数的求导法则公式
函数的求导法则公式一、导数及其意义函数的导数是微积分中的一个基础概念，对于函数的研究及应用有着重要的意义。
导数的定义如下：对于函数$y=f(x)$，如果$x_0$处的导数存在，那么函数在$x_0$处的导数就是：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中$\Delta x$表示$x$的微小变化量。
导数的物理意义可以用两种方式表示：1. 函数在某一点的导数表示了这个点切线的斜率；2. 导数表示了函数在某一点的瞬时变化率。
因此，导数是函数在某一点的局部性质，反映了函数在这一点附近的变化情况。
二、导数的求法求导是微积分中的一个重要问题，求导需要了解函数的求导法则。
在微积分中，有些函数的求导可以通过公式、定理来进行计算，我们把这类函数的求导称为“基本求导”。
而对于更复杂的函数，我们可以通过基本求导进行组合求导，通过逐步分解复杂函数，进而求得其导数。
下面我们来介绍一下函数的求导法则公式。
三、函数的求导法则公式函数的求导法则公式是在具体函数的变化与求导过程中总结出来的一组规律性质。
下面我们分别介绍基本求导法则、组合求导和常用的高阶求导公式。
3.1 基本求导法则常用的基本求导法则如下：1. $y=kx^n$，则$y'=knx^{n-1}$（$k$为任意常数）2. $y=e^x$，则$y'=e^x$3. $y=\ln x$，则$y'=\frac{1}{x}$4. $y=\sin x$，则$y'=\cos x$5. $y=\cos x$，则$y'=-\sin x$6. $y=\tan x$，则$y'=\sec^2 x$3.2 组合求导当出现多个函数的求导时，我们可以把这些函数表示成二元函数的形式，然后运用组合求导来求导。
常用的组合求导公式如下：1. $(u+v)'=u'+v'$2. $(uv)'=u'v+uv'$3. $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$3.3 高阶求导对于某些复杂的函数，我们需要求出多阶导数才能更好地了解其性质，为此，我们还需要了解高阶求导公式。
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数的概念：数理化中的导数的定义是：数轴上导数是从一个点开始的一条直线（即“导数”),且直线（不经过一根直线）在此导数上连续时，其导数以指数形式递减。
函数的导数基本法则：一个函数的导数等于它的导数和它的不等式倒数之和的整数倍的导数之和之和。
如果某一点的导数等于（零点）或大于（或等于）一个点的导数，则这个点在该点的导数与零点或零点成正比；一个点为零点时的导数在零点的导数为零点；一个方向的导数等于一个方向导数的小数乘以该方向上每一个点导数）的值除以它所处方向（点坐标）的度数乘以所求数得出此数之积。
导数之比表示为导数与零点相差多少个单位而变化）程度就是零点（或区间）或百分比）。
如果用(2)表示导数可以利用任意一个导数除以整条线所形成的数位（数据点）即可得出被求数集或一个导数（或导数）。
下面将为大家介绍求导数所用到的基本法则和公式：由导数可以得导数）为(1-0)^4/2 (k>2. m)=1个点导数等于零点是求函数导数所用之地（或时间单位）在一个方向上与任意时刻导数相同，则求值之比等于零点导数与零点之间总有一个基点是零。
因此导数即为零点或区间（任意位置）时被求得的导数之积。
根据求导公式可以得出: a= f (a+ b)/2* x+ k. x= b→ r是一个区间上导数x与 u的差之和与它在其中一个零点所对应的位阻值之间的关系式为——导数x= t/1、求导数的方法有很多，求解时只要用到一些常见的代数方法即可。
求解的方法有很多，首先要知道哪几种方法是最有效，哪几种方法是最容易出错的方法。
这就要求我们平时要多思考，总结规律，及时纠正。
2、对我们学习比较重要的知识点要会看和会用！3、最常用就是把求解定理或函数与常数相关的基本定理或者公式记下来，并总结出来供大家参考。
从而能够把这些知识融会贯通于我们日常生活中，对于高中数学很重要。
而求解函数导数最基本的法则和公式就是这些。
最后再强调一下关于函数导数法，我认为是最简单的一种求解导数求导方法。
函数的求导法则
谢谢观看！
总结： 总结： 复合函数求导的关键
1.判断函数准确（即有多少层函数） 判断函数准确（即有多少层函数） 判断函数准确 2.一步一步进行求导，不重复不遗漏 一步一步进行求导， 一步一步进行求导 3.求导完要检查是否有函数忘记求导 求导完要检查是否有函数忘记求导
基 本 导 数 公 式
四、初等函数的导数 1 (11) (ln x)′ = ; (1) (C)′ = 0; ′ x µ)′ = µx µ -1; (2) (x ′ 1 (12) (log a x)′ = ; (3) (sinx)′ = cosx; ′ x ln a (4) (cosx)′ = sinx; ′ 1 ′= (13) (arcsin x) ; (5) (tanx)′ = sec2x; ′ 1 − x2 (6) (cotx)′ = - csc2x; (14) (arccos x)′ = − 1 ; ′ 1 − x2 (7) (secx)′ = secx tanx; ′ 1 (15) ; (8) (cscx)′ = - cscxcotx; (arctan x)′ = ′ 2 1+ x (9) (e x)′ = e x; ′ 1 (16) (arc cot x)′ = − . 2 x)′ = a x lna; (10) (a ′ 1+ x
′ u ′( x)v( x) − u ( x)v′( x) （3） u ( x) = ） 】 . 【v (x) ≠ 0】 v( x) 2 v ( x)
例1 y = x 4 + sinx + ln3, 求 y ′. 解 y ′ = (x 4)′ + (sinx)′ + (ln3)′ ′ ′ ′
u ( x) ′ u ′( x)v( x) − u ( x)v′( x) . 请试着归纳 = 2 v ( x) v( x)
高数求导公式大全法则
高数求导公式大全法则
高数求导公式和法则如下：
1. 基本初等函数求导公式：
y=c y'=0
y=α^μ y'=μα^(μ-1)
y=a^x y'=a^x lna
y=e^x y'=e^x
y=loga,x y'=loga,e/x
y=lnx y'=1/x
y=sinx y'=cosx
2. 基本的求导法则：
求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。
两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。
两个函数的商的导函数也是一个分式：(子导乘母-子乘母导)除以母平方。
3. 链式法则：如果有复合函数，则用链式法则求导。
4. 导数的几何意义：表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率。
5. 导数的计算方法：计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
6. 导数在几何上的意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
希望对您有所帮助！如果您还有疑问，建议咨询数学专业人士。
函数的求导法则
函数的求导法则函数的求导法则是数学和物理学中的非常重要的概念，它的作用是在函数的每一点处使用它们的微分方程，通过求函数的导数，来描述函数的变化情况。
求导法则也有助于我们快速解决复杂函数的问题，在多维空间中去描述函数及其改变。
首先，让我们来认识一下求导法则。
求导法则涉及到函数的导数。
函数的导数是求得函数的变化速率的现象。
求导的结果可以用来描述函数在某点的变化情况，或者在某段区间内函数改变的情况。
这一重要的概念被用于物理学和数学中。
求导法则也有一些标准。
对于函数y=f(x)，加减法求导法则告诉我们，若g(x)为f(x)的一个变函数，则有：$$frac{d[f(x)pmg(x)]}{dx}=frac{df(x)}{dx}pmfrac{dg(x)}{dx}$$另外，乘除法求导法则是：若h(x)为f(x)的一个变函数，则有： $$frac{d[f(x)timesh(x)]}{dx}=f(x)timesfrac{dh(x)}{dx}+h(x)timesfrac{df(x)}{dx}$$$$frac{d[frac{f(x)}{h(x)}]}{dx}=frac{f(x)timesfrac{dh(x)}{d x}-h(x)timesfrac{df(x)}{dx}}{h^2(x)}$$这就是求导法则的核心，我们可以利用它来求函数的导数，从而计算函数的变化情况。
此外，有一些高级的求导法则，它们以更加复杂的函数为例，介绍求导的更多的细节。
例如，复合函数求导法则，它指出：若函数z=f(g(x))，则有：$$frac{dz}{dx}=frac{df(g(x))}{dg(x)}timesfrac{dg(x)}{dx}$$ 联立函数求导法则是求解组函数的求导公式：若函数z=f(x,y)，则有：$$frac{dz}{dx}=frac{partial z}{partial x}+frac{partial z}{partial y}timesfrac{dy}{dx}$$$$frac{dz}{dy}=frac{partial z}{partial y}+frac{partial z}{partial x}timesfrac{dx}{dy}$$这些公式都可以用来描述当某一变量变化时，另一变量的变化情况。
函数求导公式大全法则
函数求导公式大全法则
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算口诀
常为零，幂降次
对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）
指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）
正变余，余变正
切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）
割乘切，反分式
三角函数求导公式
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec²x=1+tan²x
(cotx)'=-csc²x
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx.
(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec ²x。
求导法则与求导基本公式
对数函数的导数法则
总结词
对数函数的导数是求对数函数的导数的重要法则，它表明对数函数的导数等于对数函数 自身在自变量上的倒数。
详细描述
对数函数的导数是求对数函数的导数的关键法则。具体来说，如果对数函数$ln x$可导， 则$(ln x)'=frac{1}{x}$。其中，$frac{1}{x}$表示数函数的导数法则是求指数函数的导数的重要法则，它表明指数函数的导数等于底数乘以指数函数 自身在自变量上的导数。
详细描述
指数函数的导数法则是求指数函数的导数的关键法则。具体来说，如果指数函数$a^x(a>0,aneq1)$ 可导，则$(a^x)'=a^xln a$。其中，$ln a$表示以e为底的对数。
04
导数的应用
导数在几何中的应用
切线斜率
导数可以用来求曲线在某一点的切线斜率， 从而了解曲线在该点的变化趋势。
单调性分析
通过求导可以判断函数的单调性，进而研究 函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函 数的最大值和最小值。
导数在物理中的应用
速度与加速度
01
在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如自
商的导数法则
总结词
商的导数法则是求两个函数的商的导数的重要法则，它表明两个函数的商的导数 等于被除数的导数乘以除数减去被除数乘以除数的导数后再除以被除数的平方。
详细描述
商的导数法则是求两个函数的商的导数的关键法则。具体来说，如果两个可导函 数$u$和$v$满足$u/v$可导，则$left(frac{u}{v}right)'=frac{u'v-uv'}{v^2}$。其 中，$u'$和$v'$分别表示对$u$和$v$的导数。
求导法则与导数的基本公式
求导法则与导数的基本公式求导法则是微积分中用于求函数导数的一系列规则和公式。
这些法则和公式是根据导数的定义、函数的基本运算性质以及复合函数和反函数的关系推导得出的。
下面将介绍求导法则中的基本公式。
1.基本常数求导法则a. 常数的导数为零： d(c)/dx = 0，其中c为常数。
b. 变量的导数为一： d(x)/dx = 1c. 变量的幂函数的导数： d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为实数。
2.和差法则a. 两个函数的和的导数等于两个函数的导数之和： d(u+v)/dx = du/dx + dv/dx。
b. 两个函数的差的导数等于两个函数的导数之差： d(u-v)/dx = du/dx - dv/dx。
3.乘积法则a.两个函数的乘积的导数等于第一个函数在求导后与第二个函数未求导的乘积再加上第二个函数在求导后与第一个函数未求导的乘积：d(uv)/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)。
4.商法则a.两个函数的商的导数等于第一个函数在求导后与第二个函数未求导的乘积再减去第二个函数在求导后与第一个函数未求导的乘积，再除以第二个函数的平方：d(u/v)/dx = (v(du/dx) - u(dv/dx))/v^25.链式法则a.如果函数y是由两个或多个函数复合而成，即y=f(g(x))，其中g(x)是x的函数，f(u)是u的函数，则复合函数y对x的导数等于f的导数乘以g对x的导数：dy/dx = df/du * dg/dx。
6.反函数的导数a. 对于函数y = f(x)，如果其反函数x = f^(-1)(y)存在，且f'(x) ≠ 0，则反函数的导数等于一除以原函数的导数：(dy/dx)^(-1) = dx/dy。
7.正切函数的导数a. 正切函数的导数为其函数的平方减一：d(tan(x))/dx = sec^2(x)。
8.指数函数的导数a. 指数函数的导数等于其函数本身的导数乘以函数的常数底数：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠，它在众多领域都发挥着至关重要的作用。
无论是研究函数的性质、解决优化问题，还是探索物理世界中的变化规律，导数都提供了强大的工具。
接下来，让我们一同深入了解导数的基本公式及运算法则。
首先，我们来认识一些常见的基本导数公式。
对于常数函数＄C$ ，其导数为＄0$ ，即＄（C)＇＝ 0$ 。
这很好理解，因为常数函数的值是固定不变的，没有任何变化率。
幂函数＄x^n$ （＄n$ 为实数）的导数为＄nx^｛n 1}＄。
例如，＄x^2$ 的导数是＄2x$ ，＄x^3$ 的导数是＄3x^2$ 。
指数函数＄e^x$ 的导数还是它本身，即＄（e^x)＇＝ e^x$ 。
这是指数函数的一个非常独特且重要的性质。
对数函数＄＼ln x$ 的导数为＄＼frac{1}｛x}＄。
正弦函数＄＼sin x$ 的导数是＄＼cos x$ ，余弦函数＄＼cos x$ 的导数是＄＼sin x$ 。
了解了这些基本公式后，我们再来看看导数的运算法则。
加法法则：若＄f(x)＄和＄g(x)＄的导数都存在，那么＄（f(x) ＋g(x)）＇＝ f'（x) ＋ g'（x)＄。
也就是说，两个函数之和的导数等于它们各自导数的和。
减法法则与加法法则类似，＄（f(x) g(x)）＇＝ f'（x) g'（x)＄。
乘法法则：＄（f(x)g(x)）＇＝ f'（x)g(x) ＋ f(x)g'（x)＄。
这个法则相对复杂一些，但通过一些具体的例子就能很好地理解。
比如，若＄f(x) ＝ x^2$ ，＄g(x) ＝ e^x$ ，那么＄f'（x) ＝ 2x$ ，＄g'（x) ＝e^x$ ，＄（x^2e^x)＇＝ 2xe^x ＋ x^2e^x$ 。
除法法则：＄＼left(＼frac{f(x)｝｛g(x)｝＼right)＇＝＼frac{f'（x)g(x) f(x)g'（x)｝｛（g(x)）＾2}＄，其中＄g(x) ＼neq 0$ 。
高中求导公式运算法则
高中求导公式运算法则
求导公式和运算法则是高中微积分中用于求导数的基本规则，下面是一些常见的求导公式和运算法则：
1. 常数的导数为0：(C)' = 0，其中C为常数。
2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数。
3. 对数函数的导数：(ln x)' = 1/x。
4. 指数函数的导数：(a^x)' = a^x * ln a，其中a为常数。
5. 三角函数的导数：
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (tan x)' = sec^2 x
- (csc x)' = -csc x * cot x
- (sec x)' = sec x * tan x
- (cot x)' = -csc^2 x
其中sin x表示正弦函数，cos x表示余弦函数，tan x表示正切函数，csc x表示余割函数，sec x表示正割函数，cot x表示余切函数。
6. 乘法法则：(uv)' = u'v + uv'。
7. 除法法则：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2。
8. 函数的复合：若y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
9. 指数函数的链式法则：若y = f(u) = a^u，其中u = g(x)，则y' = f'(u) * g'(x) * ln a。
以上仅为常见的求导公式和运算法则，实际求导时还会涉及到其他的规则和技巧。
函数的求导法则
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求导法则: (u±v)′=u′±v ′, (uv)′=u′ v +uv ′, ( u )′ = u′v − uv′ . v v2 例4 y=cotx , 求y′. 解
′ = ( cos x )′ = − sin x ⋅sin x − cos x ⋅cos x (cot x) sin x sin 2 x sin 2 x + cos2 x = − 1 = − csc2 x =− sin 2 x sin 2 x
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u) ⋅ g ′( x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例12 y = arcsin x ,求y′. 解
y′ =
1 1 1 ⋅ ( x )′ = ⋅ 1 = 1− ( x ) 2 1− ( x ) 2 2 x 2 x − x 2
1 类似地有: (arc cot x)′ = − . 2 1+ x
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定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导, 则复合 函数y=f[g(x)]在点x可导, 且其导数为 dy dy dy = f ′(u) ⋅ g ′( x) 或 = ⋅ du . dx dx du dx 简要证明 假定u=ϕ(x)在x的某邻域内不等于常数, 则∆u≠0, 此时有
[f
−1( x)]′ =
∆y lim = lim 1 = 1 . ∆x →0 ∆x ∆y →0 ∆x f ′( y) ∆y
函数的求导法则
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
f (0 ) lim( x 2) 2 x0
f(0) f(0) f (x) 在 x 0不可导
f
( x)
e x
,
0 x1 .
1, 1 x 0
二、反函数的导数
定理2
如果函数x
(
y
)在某
区间I
内单调
y
、
可导
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I x内也可导 , 且有
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
证(1)、(2)略.
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
一般常用求导公式
四、基本求导法则与导数公式１. 基本初等函数的导数公式和求导法则基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1）v u v u '±'='±)( （2）u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则 若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=上述表中所列公式与法则是求导运算的依据，请读者熟记．２. 双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：。
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3x − 2 dy 2 ), f ′(x) = arctan x , 求 . 例8 设 y = f ( 3x + 2 d x x=0
解 令 u = 3x − 2 = 1− 4 ， 则 3x + 2 3x + 2
(cosx)′ =− sin x (arccosx)′ = −
1 xlna 1 (lnx)′ = x
2. 函数的和、差、积、商的求导法则 函数的和、 商的求导 求导法则 ′ (Cu)′ = Cu′ ( C为常数 ) (u± v)′ = u ± v′ 为常数
′ u ′ uv −u ′ v ( ) = (u )′ = u′v + u ′ v v (v ≠ 0) 2 v v dy 1 或 = 1 ′(x) = −1 3. 反函数的求导法则 f [ f ( y)]′ d x d x
如： f (u) = sinu,
u = ϕ(x) = 2x,
f [ϕ(x)] = sin2x,
{ f [ϕ(x)]}′= (sin2x)′
≠ f ′[ϕ(x)]= f ′(u)u=2x= cosuu=2x = cos 2x
3° 推广：复合函数求导法则可推广到多个中间变量 ° 推广： 的情形. 的情形 y 例如, 例如
事实上， x 时 事实上，当 & x0 换成 x : dy = f ′(u) u=ϕ( x) ⋅ ϕ′(x) dx
d y du = ⋅ du d x
′ 即 { f [ϕ(x)]} = f ′(u) u=ϕ( x) ⋅ ϕ′(x)
2° 记 f ′(u) ° ′ϕ u=ϕ( x) = f [ ( x)] 一般地， 一般地，
′ { f [ϕ(x)]} ≠ f ′[ϕ(x)].
dy dy du dv = ⋅ ⋅ dx du dv dx
u v x
= f ′(u) ⋅ϕ′(v)⋅ψ′(x)
复合函数求导法则称为链式求导法则 复合函数求导法则称为链式求导法则. 链式求导法则
关键: 搞清复合函数结构, 逐层求导. 关键 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
4°对于复合函数，不能直接用基本初等函数 °对于复合函数，不能直接用基本初等函数 求导公式. 求导公式
同理可得 (arccos x)′ = –
1 1− x2
.
1 1 (arctan x)′ = ， (arccot x)′ = – . 2 2 1+ x 1+ x
小结
(cot x)′ = −csc2 x
(secx)′ = secxtanx
(arcsinx)′ = (arctanx)′ =
(arccosx)′ =
(2) [u(x)v(x)]′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
u(x) u′(x)v(x) − u(x)v′(x) (3) [ ]′ = (v(x) ≠ 0) 2 v(x) v (x)
推广: 推广: 1) (Cu)′ = Cu′ ( C为常数 ) 为常数 常数因子可 以从导数符 号中提出来
(arccot x)′ =
三、复合函数求导法则
定理2.3 u = ϕ(x)在点 x 0 处 可导 y = f (u)在对应 可导, 定理 点 u = ϕ(x0) 处可导，则 复合函数 y = f [ (x)] ϕ 处可导， 0 在点x 处可导, 在点 0 处可导 且
du dy dy = f ′(u )ϕ'( x ) = d y ⋅ 0 0 du u=u d x x=x d x x=x 0 0
y′ = (lnsinx)′
1 1 = ⋅ (sinx)′ = ⋅ cos x sin x sin x
= cot x
dy x 例6 设 y = lncos(e ) , 求 . dx dy 1 解 = ⋅[cos(ex )]′ dx cos(ex)
1 = ⋅[−sin(ex )]⋅ (ex )′ x cos(e cos(e ) 1 = ⋅[−sin(ex )] ⋅ ex cos(ex)
(C)′ = 0
′ =µ xµ−1 (x )
µ
a ′ = secxtanx (ax )′ = x lna (secx)
(cscx)′ =−cscxcot x (arcsinx)′ =
1 1− x2 1
(ex )′ = ex
(sinx (sinx)′ =cos x
(loga x)′ =
1− x2 1 2 (tanx)′ = sec x (arctanx)′ = 1+ x2 1 2 (cotx)′ =−csc x (arccot x)′ =− 1+ x2
例4 求 数 y = arcsinx 的 数 函 导 . π π 解 Q x = sin y 在Iy ∈(− , ) 单 增 可 , 内 调 、 导 2 2 且 (sin y)′ = cos y > 0,
∴ 在Ix ∈(−1,1)内 − 有
1 1 1 1 . = = = (arcsinx)′= 2 2 1− x (sin y)′ cos y 1−sin y
二、反函数的求导法则
在某区间 内单调、 定理2.2 若函数 x = ϕ (y)在某区间 Iy 内单调、可导 定理 且 ϕ ′ (y) ≠ 0，则其反函数 y = f (x) 在对应区间 Ix ， 内也可导， 内也可导，且
f ′(x) =
1
ϕ′( y)
(x∈Ix )
y= f ( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
dy
4. 复合函数的求导法则
y = f (u) , u = ϕ(x),
dy dy du = ⋅ = f ′(u)⋅ϕ′(x) dx du dx
又如, 又如
dy dy du dv = f ′(u) ⋅ϕ′(v)⋅ψ′(x) = ⋅ ⋅ dx du dv dx
关键: 搞清复合函数结构, 关键: 搞清复合函数结构 由外向内 逐层求导. 逐层求导
1 f ′(x) = (x3)′sin x + 3
x ⋅ (sin x)′
xcos x
2 1 −3 = x sin x + 3
, 当x = 0时 时
f (x) − f (0) f ′(0) = lim x −0 x→ 0
3
3
xsin x − 0 sin x 3 = lim = lim x ⋅ x x→ 0 x x→ 0
dsin﹏ x 如： (sinx)′ = cos x 即 = cos x ( 一致 ) d﹏ x 但 (sin2x)′ ≠ cos2x, 事实上 ﹏ (sin2x)′ = dsin2x ( 不一致 ) d﹏ x dsin﹏ du ( 一致 ) u = ⋅ d﹏ d x u = cos u⋅ 2 (u = 2x)
1 2. ( x x
答：不对. 不对
3 1 − )′ = [( 1)4]′ = 3(1) 4
x
×4 x
x
对吗? 对吗
1 正确解法： 正确解法： ( x x
3 1 − −1 ′ = [( 1)4]′= 3(1) 4 ⋅ )
4 x
x2
1 1 对吗？ 3. Q(ln x)′ = , ∴ (ln x)′ = , 对吗？ x x
= −ex tan(ex ).
x2 +1 例7 求 数 y = ln 3 (x > 2) 的 数 函 导 . x −2 1 1 2 解 Q y = ln( x +1) − ln( x − 2), 2 3 1 1 2 ∴ y′ = [ln( x +1)]′ − [ln( x − 2)]′ 2 3 1 1 1 1 2 = ⋅ 2 ⋅ (x +1)′ − ⋅ ⋅ (x − 2)′ 2 x +1 3 (x − 2)
第二章 二
第九节 导数的运算法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 导数基本公式、 四、导数基本公式、初等函数的导数
一、四则运算求导法则
定理2.1 函 u = u(x)及 = v(x)都 点 处 导 定理 数 v 在 x 可 ， 差 u(x)及 (x) 的和、 、 、 (除分母 v 的和、 积 商 除分母 的点外) 可导, 为 0的点外 也都在点 x 可导 且 的点外 (1) [u(x) ± v(x)]′ = u′(x) ± v′(x)
( x3 − 4cos x − sin1)′ + x
1 = ( x3 − 4cos x − sin1) + x( 3 x2 4sin x） ) + 2 x
y′ x=1 =
1 (1− 4cos1− sin1) + ( 3+ 4sin1) 2 7 7 = + sin1− 2cos1 2 2
例3 设 f (x) = 3 xsinx ,求f ′(x). 解 当x ≠ 0时 , 时
当x = 0时 u = −1. ，
12 dy du = f ′(u)⋅ = f ′(u)⋅ dx dx (3x + 2)2
3π dy 2 = f ′(−1)⋅ 3= arctan(−1) ⋅ 3 = . ∴ 4 d x x=0
四、导数基本公式、初等函数的导数 导数基本公式、
1. 常数和基本初等函数的导数公式
(tan x)′ = sec2 x， (cscx)′ = −cscxcot x
类似可证: 类似可证 (cot x)′ = −csc2 x , (secx)′ = secxtanx .
2
y = x( x3 − 4cos x − sin1) , 求y′ 及y′ x=1. 例2
解
3 y′ = ( x )′ ( x − 4cos x − sin1)