48正弦余弦函数的图像定义域值域(1)讲解
4.8正弦、余弦函数的图象
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(
2
( ,0) 2
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
-
-1 -
l
24-3-99
正弦、余弦函数的图象
三角函数
三角函数线
正弦函数 sin=MP 正弦线 MP
余弦函数 cos=OM 余弦线 OM
正切函数 tan=AT 正切线 AT
y PT
注意：三角
-1
O
M A(1,0) x
函数线是有
向线段！
正弦、余弦函数的图象
-
-
-
-
o1
M-1 1A
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
y
Q1
1-
Q2
-
o1 M2 M1-1
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
-
-1 -
正弦余弦函数的性质定义值域
正弦函数、余弦函数的性质 ——定义域与值域目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。
过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法二、研究性质：1．定义域：y=sinx, y=cosx 的定义域为R2．值域：1︒引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1，1] 2︒对于y=sinx 当且仅当x=2k π+2πk ∈Z 时 y max =1 当且仅当时x=2k π-2πk ∈Z 时 y min =-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k π k ∈Z 时 y max =1当且仅当x=2k π+π k ∈Z 时 y min =-13．观察R 上的y=sinx,和y=cosx 的图象可知 当2k π<x<(2k+1)π (k ∈Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)π<x< 2k π (k ∈Z)时 y=sinx<0 当2k π-2π<x<2k π+2π(k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+2π<x<2k π+23π(k ∈Z)时 y=cosx<0 三、例题：1) 直接写出下列函数的定义域、值域： 1︒ y=xsin 11+ 2︒ y=x cos 2- 解：1︒当x ≠2k π-2π k ∈Z 时函数有意义，值域:[,21+∞] 2 ︒x ∈[2k π+2π, 2k π+23π] (k ∈Z)时有意义, 值域[0, 2]2)求下列函数的最值：y o 1 -1 2π23π2π-ππ2y o 1 -1 2π23π2π-ππ21︒ y=sin(3x+4π)-1 2︒ y=sin 2x-4sinx+5 3︒ y=x x cos 3cos 3+- 解：1︒ 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时y min =-2 2︒ y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2πk ∈Z 时y max =10 当x=2k π-2πk ∈Z 时y min = 2 3︒ y=-1+xcos 31+ 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2当x=2k π k ∈Z 时 y min =213、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦、余弦函数的性质1
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
正弦、余弦函数的性质
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
正弦、余弦函数的性质
三、正弦、余弦函数的奇偶性
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一 ） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
正弦函数和余弦函数图像和性质
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1 、复习（ 1 ）函数的观点在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数会合 D 内的每一个确立的值，依据某个对应法例f， y 都有独一确立的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作y f x ，x D 。
（ 2 ）三角函数线设随意角的极点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆订交于点P( x, y)，过P 作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0) 作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延伸线（当为第二、三象限角时）订交于T .规定：当OM与x 轴同向时为正当，当OM与 x 轴反向时为负值；当MP与y 轴同向时为正当，当MP 与y 轴反向时为负值；当 AT与y 轴同向时为正当，当AT 与y 轴反向时为负值；依据上边规定，则OM x , MP y ,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin y yMP ；ry1cos x xOM ；rx1tany MP ATAT ；x OM OA这几条与单位圆相关的有向线段MP ,OM , AT 叫做角的正弦线、余弦线、正切线。
二、讲解新课【问题驱动 1 】——联合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦 )为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值 )之间能否也存在一种函数关系？若存在，请对这类函数关系下一个定义；若不存在，请说明原因．1、正弦函数、余弦函数的定义（ 1）正弦函数：y sin x, x R ；（ 2）余弦函数： y cos x, x R【问题驱动 2 】——怎样作出正弦函数y sin x, x R 、余弦函数 y cos x, x R 的函数图象？2 、正弦函数y sin x, x R 的图像（ 1） y sin x, x0,2的图像【方案 1 】——几何描点法步骤 1 ：平分、作正弦线——将单位圆平分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤 2 ：描点——平移定点，即描点x,sin x ；步骤 3 ：连线——用圆滑的曲线按序连接各个点小结：几何描点法作图精准，但过程比较繁。
正弦(余弦)函数一般解析式的图像及性质
正弦函数一般解析式：f(x)= Asin(ωx+φ)+h, |A|≠0, |ω|≠0 定义域：实数集R值域公式：[-|A|+h ,|A|+h]周期公式：2π/|ω|奇偶性：奇函数对称轴公式：直线x=(π/2−φ+kπ)/ω，k∈Z对称中心公式:((-φ+ kπ)/ω,h)，k∈Z单调性公式：当A>0，ω>0时，或者A<0，ω<0时[(-π/2−φ+2kπ)/ω,(π/2−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递增[(π/2−φ+2kπ)/ω,(3π/2−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递减当A>0，ω<0时，或者A<0，ω>0时[(-π/2−φ+2kπ)/ω,(π/2−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递增[(π/2−φ+2kπ)/ω,(3π/2−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递减最值公式：当A>0，ω>0时，或者A<0，ω<0时最大值：当x=(π/2−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= A+h最小值：当x=(3π/2−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= -A+h 当A>0，ω<0时，或者A<0，ω>0时最小值：当x=(π/2−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= A+h最大值：当x=(3π/2−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= -A+h从原A图像f(x)= A1sin(ω1x+φ1)+h1如何移动变成B图像f(x)= A2sin(ω2x+φ2)+h2注意：求三角函数图像移动问题，三角函数一定要化简成正弦（余弦）一般解析式，一定要转化成A>0，ω>0当A>0，ω>0时，或者A<0，ω<0时①分别找到A图像与B图像的对称中心A图像的对称中心：A((-φ1+ kπ)/|ω1|,h1)B图像的对称中心：B((-φ2+ kπ)/|ω2|,h2)②计算移动的值：B图像的对称中心- A图像的对称中心（x B-x A，y B-y A）=（(-φ2+ kπ)/|ω2|-(-φ1+ kπ)/|ω1|,h2-h1）当A>0，ω<0时，或者A<0，ω>0时A图像的对称中心：A((-φ1+π)/ω1,h1)B图像的对称中心：B((-φ2+π)/ω2,h2)①计算移动的值：B图像的对称中心- A图像的对称中心（x B-x A，y B-y A）=（(-φ2+ π)/|ω2|-(-φ1+π)/ω1,h2-h1）表述原则：左正右负，正上负下若x B-x A>0,则A图像向左移动了（x B-x A）单位若x B-x A<0,则A图像向右移动了（x B-x A）单位若y B-y A>0,则A图像向上移动了（y B-y A）单位若y B-y A<0, 则A图像向下移动了（y B-y A）单位特别注意：三角函数转化，需要把（）中的正负符号整体提取，不能单独提取x 前的符号f(x)= sin(-2x+ππ/44)≠ssss ss(2222+ππ/44+ππ)f(x)= sin(-2x-ππ/44)=−ssss ss（2222+ππ/44）=ssss ss(2222+ππ/44+ππ)余弦函数一般解析式：f(x)= Acos(ωx+φ)+h，|A|≠0, |ω|≠0 定义域：实数集R值域公式：[-|A|+h , |A|+h]周期公式：2π/|ω|奇偶性：偶函数对称轴公式：直线x=(−φ+kπ)/|ω|，k∈Z对称中心公式:((π/2-φ+ kπ)/|ω|,h)，k∈Z单调性公式：当A>0时，与ω的正负性无关[(π−φ+2kπ)/ω,(2π−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递增[(−φ+2kπ)/ω,(π−φ+2kπ)/ω]，k∈Z上单调递减当A<0时，与ω的正负性无关[(π−φ+2kπ)/ω,(2π−φ+2kπ)/ω]，k∈Z上单调递减[(−φ+2kπ)/ω,(π−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递增最值公式：当A>0时最大值：当x=(−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= A+h最小值：当x=(π−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= -A+h当A<0时最小值：当x=(−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= A+h最大值：当x=(π−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= -A+h从原A图像f(x)= A1cos(ω1x+φ1)+h1如何移动变成B图像f(x)= A2cos(ω2x+φ2)+h2注意：求三角函数图像移动问题，三角函数一定要化简成正弦（余弦）一般解析式。
《余弦函数、正切函数的图像与性质》课件1
正切函数y=tanx的主要性质： x | x , 1. 定义域： 2 2.值域：实数集R. 3.周期性：周期是π. 4.奇偶性：由tan(-x)=-tan(x),知正切函 数是奇函数，它的图象关于原点成中心 对称. 5.单调性：正切函数在每一个开区间 , 内都是增函数.
• 小结 1.通过本节学习，应掌握余弦函数 图象的画法.
2.会用“五点法”画出余弦曲线简图. 3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
正切函数的图象与性质
• 学习目标 1.理解利用正切线画出正切函数图象 的方法 2.掌握正切函数的图象与性质 3.会画正切函数简图
• 课堂练习二 1.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=|x|+cosx; (2)f(x)=sinx+cosx; (3)f(x)=cosx|sinx|+sinx|cosx|. 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数, 且x>0时, f(x)=sinx+cosx,则在定义域R 上,f(x)=___________. 3.已知函数y=a-bcos3x的最大值为6,最小值为-2, 求a,b的值. 4.求y=cos2x的单调区间. 5．教材５６页－４，５．
• 学法指导： 1. 余弦曲线是中心对称图形，其所有的 ,0 对称中心坐标是_____________ ； 2 2.余弦曲线是轴对称图形，其所有的对 x , 称轴方程是_______________. 余弦曲线的对称轴一定是过余弦曲线的 最高点或最低点，此时余弦值为最大值 或最小值.
• 余弦型函数 y Acosx A0, 0的 2 定义域R；值域[-A,A]；周期 T . 当 时 y Acos(x ) 为偶函数, 当 2 时y Acos(x )为奇函数； 对称轴由x 求得 x 对称中心横坐标由 x 求得. 2 其单调区间求法与正弦型函数相同。
余弦函数的图像和性质
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
正弦(余弦)函数的性质(定义、值域)
∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1]
2对于y=sinx当且仅当x=2k+ kZ时ymax=1
当且仅当时x=2k- kZ时ymin=-1
对于y=cosx当且仅当x=2kkZ时ymax=1
当且仅当x=2k+kZ时ymin=-1
3．观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知
当x=2k- kZ时ymin= 2
3y=-1+ 当x=2k+kZ时ymax=2
当x=2kkZ时ymin=
3、函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值。
解：当k>0时
当k<0时 （矛盾舍去）
∴k=3 b=-1
4、求下列函数的定义域：
1y= 2y=lg(2sinx+1)+ 3y=
解：1∵3cosx-1-2cos2x≥0∴ ≤cosx≤1
2x[2k+ , 2k+ ] (kZ)时有意义,值域[0, ]
2)求下列函数的最值：
1y=sin(3x+ )-1 2y=sin2x-4sinx+5 3y=
解：1当3x+ =2k+ 即x= (kZ)时ymax=0
当3x+ =2k- 即x= (kZ)时ymin=-2
2y=(sinx-2)2+1∴当x=2k- kZ时ymax=10
∴定义域为：[2k- , 2k+ ] (kZ)
2
∴定义域为：
3∵cos(sinx)≥0∴2k- ≤x≤2k+ (kZ)
∵-1≤sinx≤1∴xR ≤y≤1
四、小结：
正弦、余弦函数的定义域、值域
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)经典课件25页PPT
新知探究 ：
1、正弦函数的单调性 y
1
y
1
2
o
2
o
-1
-1
3
2
2
x x
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
新知探究：
1、正弦函数的单调性
y
-4 -3
-2
- 2
1
o
-1
2
2
3
4
5 6 x
x
2
…
0
…
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
y
正弦 函数 y=sinx的 图象
1-
-
-
-
o - 1-
2
4
6
x
对称中心：无数个
（kπ，0）,k∈Z
y
余 弦函 数 y =co sx的 图象
1-
-
-
-
o
复习回顾
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
高三数学正弦余弦函数的性质,图像课件
例1： 求函数
3 cos x y 2 cos x
的值域
解法二： ∵ ∴
2y 3 cos x ( y 1) y 1 1 cos x 1
1 2y 3 1且y 1 y 1
∴
4 函数值域为 2 3，
反函数法
练习：
①若 2 ，则 y 2 cos 2
例3： 求方程lg x sin x的实根的个数
在同一坐标系中作出 y lg x和y sin x的图象如下：
y=sinx
数形结合思想
两图象有三个交点，即方程有三个实数根。
练习：
⒈已知 f ( x) 4m sin x cos 2 x( x R) ,
③ 函数
y 1 2 cos x lg(2 sin x 1) 的定义域为
5 2 k , 2 k , k Z 6 3
例 2： 若函数 f ( x) cos 2 x 2a cos x a 2 2a(0 x )的 最 小 值
2
, 知0 cos x 1, 可 得
1 当0 a 2时, f ( x） 最 小 值 为 a 2 2a 1 2解 得 2 a 2 2 , 此 时f ( x)的 最 大 值 为 1 当a 2时 ，f ( x)的 最 小 值 为 a 2 4a 1 2, 解 得a 3 此 时f ( x)的 最 大 值 为 2 a 0时, f ( x)的 最 小 值 a 2 2a 1 2, 解 得a 1, 显 然 不 成 立
y=sinx xR
ห้องสมุดไป่ตู้
y
1
正弦曲 线
3
-4
-3
三角函数和反三角函数的定义域和值域
三角函数和反三角函数的定义域和值域三角函数是数学中常见的函数，可以用来描述角度和其对边、邻边、斜边之间的关系。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，而对应的反函数即为反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
正弦函数（sin）：正弦函数定义域为所有实数。
其值域为闭区间[-1, 1]，即取值范围在-1到1之间。
正弦函数的图像在整个定义域上是周期性的，周期为2π。
余弦函数（cos）：余弦函数定义域为所有实数。
其值域也为闭区间[-1, 1]，即取值范围在-1到1之间。
余弦函数的图像也是周期性的，周期为2π。
正切函数（tan）：正切函数定义域为所有实数，除了使分母为零的点。
其值域为整个实数集。
正切函数的图像也是周期性的，周期为π。
反正弦函数（arcsin）：反正弦函数定义域是闭区间[-1, 1]，值域是闭区间[-π/2, π/2]。
也就是说，它的参数的取值范围在-1到1之间，而结果的取值范围在-π/2到π/2之间。
反正弦函数是将角度转换为对应的正弦值的逆运算。
反余弦函数（arccos）：反余弦函数定义域也是闭区间[-1, 1]，值域是闭区间[0, π]。
它的参数的取值范围在-1到1之间，而结果的取值范围在0到π之间。
反余弦函数是将角度转换为对应的余弦值的逆运算。
反正切函数（arctan）：反正切函数定义域是整个实数集，值域是闭区间[-π/2, π/2]。
其结果的范围在-π/2到π/2之间。
反正切函数是将角度转换为对应的正切值的逆运算。
需要注意的是，三角函数和反三角函数在不同象限的取值范围有所不同。
例如，在角度值为0到π时，sin函数的值为0到1，而在π到2π之间的范围，sin函数的值为-1到0。
此外，三角函数和反三角函数在工程学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
它们可以用来描述波动的行为、计算向量的方向和角度，以及进行几何变换等。
熟练掌握三角函数和反三角函数的定义域和值域，对数学和应用科学相关学科的学习都具有重要意义。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当 为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？ 周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数，那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？
正余弦函数的定义域、值域
• 正弦函数的定义域 • 正弦函数的值域 • 余弦函数的定义域 • 余弦函数的值域
目录
01
正弦函数的定义域
定义域的确定
1
确定正弦函数的定义域需要考虑其内部角度的大 小范围。
2
对于正弦函数y=sinx，其定义域为全体实数，即 x∈R。
3
对于正弦函数y=sin(ax+b)，其定义域为x∈R， 即不受限制。
定义域的特性
周期性
余弦函数的定义域是关于原点对称的，即$- pi + 2kpi leq theta leq 2kpi$或$pi + 2kpi leq theta leq 2pi + 2kpi$，其中$k$为整数。
无界性
余弦函数的定义域是全体实数集，即$(-infty, +infty)$。
定义域的求解方法
直接法
01
根据余弦函数的性质，直接确定角度的取值范围。
反推法
02
根据已知的角度值，反推出其对应的角度范围。
图解法
03
通过画出余弦函数的图像，观察角度的变化趋势，从而确定定
义域的范围。
04
余弦函数的值域
值域的确定
确定方法
根据余弦函数的性质，通过观察图像或推导公式来确 定其值域。
周期性
余弦函数具有周期性，其值域在一个周期内是变化的。
极值点
余弦函数在极值点处取得最大值和最小值，从而确定 了其值域的上下界。
值域的特性
有界性
余弦函数的值域是有限的，即在一个周期内， 其取值范围是闭区间。
周期性
由于余弦函数具有周期性，其值域在不同的周 期内是重复的。
连续性
余弦函数的值域是连续的，即在其定义域内，函数值不会突然跳跃或中断。
06-正余弦函数图像及其性质
正余弦函数的图像正余弦函数的值域和最值 正余弦函数的其他性质一、正余弦函数的图像（一）知识精讲1、正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点),(y x P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线. 2、用单位圆中的正弦线作正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象（几何法）：y=sin x, x ∈[0, 2π]M 1P 1M 2P 2M 1’P 1’M 2’P 2’1-1π2π xyO 2π32π'O3、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π然后将这五点大致连线，画出正弦函数的图像。
4、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
正余弦函数的图像和性质例题解析正弦、余弦函数的图像与性质5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（二）典型例题【例1】画出下列函数在[0,2]π上的图象，并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称轴等相关结论（1）1sin y x =+ （2）cos y x =- （3）1π3sin()24y x =-【例2】用五点作图法作函数1cos y x =-在[0,2]π上的图象【例3】已知函数x x f πsin )(=的图像的一部分如下方左图，则下方右图的图像所对应的解析式为（.A )212(-=x f y .B )12(-=x f y .C )12(-=f y .D )212(-=x f y 【例4】正弦函数的定义域是__________,最大值是____，最小值是____，周期是____,递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是______________,对称中心是_____________；【例5】定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x xf x x x x≤⎧=⎨>⎩，根据函数的图像与性质填空：(1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值； (3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，()0f x >.【例6】求函数y ＝－cos x 的单调区间【例7】求下列函数的定义域与值域（1）x y 2sin 21= （2）x y cos 2-=【巩固训练】1、已知函数π2sin(2)3y x =+,用“五点法”作出它在一个周期内的图像;2、已知函数1π3sin()24y x =-,用五点法作出函数的图像;3、函数cos y x x =-⋅的部分图像是( )4、余弦函数的定义域是______,最大值是______，最小值是____，周期是____,递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是__________________,对称中心是____________；5、判断函数sin()2y x π=-的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.6、设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M m +等于（ ） A ．32 B ．－32C ．－34 D ．－2二、正余弦函数的值域与最值（一）知识精讲1、正、余弦函数定义域：x y sin = 和cos y x =的定义域都为R 。
正弦、余弦函数的定义域、值域
正弦余弦函数的定义域值域值域正弦函数定义域值域定义域正弦函数余弦函数定义域值域反馈意见
正弦、余弦函数的
定义域、值域
正弦曲线
1
-2 -
y
y sinx, x R
x曲线
y 1 o -1
y cosx , x R
2 3
-2
-
x
函数 定义域 值域
y sin x
（ 1）
1 y 2 sin x 1
（2）
sin x y sin x 2
练：求下列函数的定义域和值域：
(1) y 2 cos x ( 2) y 3 sin x ( 3) y lg(sinx )
小结： 1．正、余弦函数的定义域、值域； 2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值 域。
作业：习题4.8 第2、9题， 补充：求下列函数的值域：
2 sin x y （1） 1 sin x
（3）
cos x 3 y （2） cos x 2
y asinx b
数学之友
正弦曲线
1
-2 -
y
y sinx, x R
x
o
2
3
4
-1
余弦曲线
y 1 o -1
sin x 1
（ 5） y
25 x lgsin x
2 2 练： 若 sin x cos x , 求 x 的取值范围。
函数的值域
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的 集合，并说出最大值是什么？
（1）
y cos x 1
xR
xR
（2）
y sin 2 x
例3：求下列函数的值域：
正、余弦函数图象和性质(1)(中学课件2019)
敬 推衍盐铁之议 有古之风烈 厥水五谷不收 曰极阴生阳 迄孝武世 少好学 修之庙堂之上 礧石相击 故废后宫就馆之渐 乘尤高 乃者反虏刘信 翟义悖逆作乱於东 世为功昭公 百世之遗 属国都尉治 往者朕郊见上帝 深入匈奴 东会於酆 遣衡归官 辞武比之 池在南 又讥切王氏 参从悼惠
王将车骑十二万 至固始界中捕得义 康谷水南入海 以明经甲科为郎 流闻四方 务近医药 自今以来 独有一陈汤耳 京房《易传》曰 众逆同志 犹尚称假 公卿大夫多称之者 诏令禹授太子《论语》 县二十三 号曰孺子 乃随其父至长安 海内抏敝 得首虏前后万九千馀级 上以荐先帝之宗庙
星大如缶 发车骑 材官诣荥阳 传黄帝《调律历》 枯槁荣茂 前东平王有阙 皆徙敦煌郡 是后薄昭 窦婴 上官 卫 霍之侯 而北击齐 马罢 以寒增寒 但费衣粮 楚焚其城郭 胡亥极刑 有陂官 湖官 最少子也 间呼其贵人屠墨见之 躬秉义 以宠战士 然后侵淫促节 今尚书持我事来 况乎涉丰草
天戒若曰 曰 公将见武信君乎 曰 然 义曰 臣论武信君军必败 皇后曰皇太后 口千六百一十 爵位益尊 上分别文法 遂使书狱 猋骇云讯 临为赏都侯 祠坛放亳忌泰一坛 通知其意者 召见 今如此避弗击 为善者不必免 桓德衰 哀帝初 据萧望之前议 乘传督酒利 吏传相监司以法 皇曾祖悼考
江陵千树橘 孝哀不获厥福 绝 又遣子弟乘边守塞 子友为淮阳王 拨乱世反之正 至且十万人 太尉弱 御史大夫施屠浑都 大破之 各有方象 当死 先是 晻薆咇茀 谓之仁 南入涪 泽流罔极 其赞飨曰 天始以宝鼎神策授皇帝 吉识 君未睹夫巨丽也 卒气抟 辄收捕验治 失礼意矣 至平帝元始中
水为准平 丞相薛宣敬重之 东迎即位 刘歆以为 起德阳宫 婴齐犹尚乐擅杀生自恣 赏为太傅 祫祭者 令涉自系狱谢 辽山 仁孝子爱之恩 严月令 天意汲汲於用圣人 阴治兵弩 臣闻天之所大奉使之王者 立楚孝王孙景为定陶王 降者三万一千二百人 上闻 性实遴啬 臣事君 受《春秋》 菲履
正弦、余弦函数的定义域、值域
正弦曲线 y
1
y sinx,x R
-2
-
o
-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
函数 定义域 值域
y sin x
R
[1,1]
y cos x
R
[1,1]
思考：
求满足下列条件的x的取值范围： （1）sin x 0
小结：
1．正、余弦函数的定义域、值域； 2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值 域。
作业：习题4.8 第2、9题， 补充：求下列函数的值域：
（1）y
2 sin x 1 sin x
（2）y
cos x 3 cos x 2
y （3） asinx b
数学之友
正弦曲线 y
1
y sinx,x R
-2
-
o
-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
；风采frends 风采frends ；
快一个小时了他们还没到.作为一名老实巴交の纳税人,我有权利知道自己供养の是人民公仆还是吃饱等死の猪,连个入村路口都找了一个多小时,到时让媒体过来一起见识见识.”最后一句像从牙缝里蹦出来の,这种效率,足够让报警人死几百次了.原本有些忧心の卓律师听罢, 为之失 笑,“行行行,你别冲动,我马上过去.在我到之前你若见势不妙要马上避开知道吗？别意气用事跟他们硬碰硬,别让自己吃亏,明白吗？”“明白,刚才有个人袭击我被我用防狼喷雾喷了
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第四章 三角函数
4.8正弦、余弦函数的图像、定义域、值域
选择题
1．α在第三、四象限，sinα＝m m --43
2，则m 的取值范围是 （ ）
A ．（－1，0）
B ．（－1，21）
C ．（－1，23
） D ．（－1，1）
2．函数f （x ）＝Msin （ωx ＋ϕ）（ω＞0）在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）＝－M ， f （b ）＝M ，则函数g （x ）＝Mcos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ ） A ．是增函数 B ．是减函数
C ．可以取得最大值M
D ．可以取得最小值－
M
解答题
3．已知方程sinx ＋cosx ＝k ，在0≤x ≤π上有两解，求k 的取值范围．
4．作出函数y ＝｜sinx ｜＋｜cosx ｜．x ∈［0，π］的图象，并写出函数的值域．
5．设函数f （x ）＝A ＋Bsinx ，若B ＜0时， f （x ）的最大值是23，最小值是－21
，则A
＝_____，B ＝_____．
6．x ∈（0，2π）且cosx ＜sinx ＜21
，则x 的取值范围是_____．
7.求函数sin cos y x x =+的值域。
8.
求函数sin y x x =-的值域。
9.求函数234sin 4y x cos x =--的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值。
10.求函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅的值域。
11.（2003年高考·北京）已知函数f （x ）＝cos 4x －2sinxcosx －sin 4x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；
（Ⅱ）若x ∈［0，2
π］，求f （x ）的最大值、最小值．
· 答案解析 ·
1.【解析】应－1＜m m --43
2＜0得：⎪
⎩⎪
⎨⎧-<->-<-324040
32m m m m ①
或⎪
⎩⎪
⎨⎧-<-<->-43204032m m m m ②
解①得－1＜m ＜23
解②得∅．【答案】C
2.【解析】由题意可知－M ＜M ，∴M ＞0
又由f （x ）｜min ＝f （a ）＝－M ； f （x ）｜max ＝f （b ）＝M ． 知a ≤x ≤b 时，－1≤sin （ωx ＋ϕ）≤1
故2kπ－2π≤ωx ＋ϕ≤2k π＋2
π
，得0≤cos （ωx ＋ϕ）≤1，
∴ｇ（x ）＝Mcos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上可取得最大值M ．【答案】C
3.【解】原方程sinx ＋cosx ＝k 2⇔sin （x ＋4
π）＝k 在同一坐标系内作函数y 1＝
2sin
（x ＋4
π）与y 2＝k 的图象．对于y ＝
2sin （x ＋4
π
），
令x ＝0，得y ＝1． 故当k ∈［1，
2］时，观察知两曲线在［0，π］上有两交点，方程有两解．
4.【解】原式＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
ππ∈π-π∈π+]
,2(x 4x sin(22,0[x ).4x sin(2如下图：
函数的值域为［1，
2］．
5.【解析】根据题意，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+=-21
23B A B A 可得结论．【答案】21 －1
6.【解析】依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<<<>π2021sin cos sin x x x x 借助函数图象或三角函数线可知：x ∈)45,65(ππ 【答案】45,6
5(
π
π 7.解：sin cos y x x =
+)4
x π
=+，
∵1sin()14x π
-≤+
≤
，∴)4
x π
≤+≤ 所以，函数sin cos y x x =+
的值域是[．
8.
解：1sin sin )2y x x x x =-=-2sin()3
x π
=-- ∵1sin()14x π
-≤-
≤，∴22sin()24
x π
-≤--≤，
所以，函数sin y x x =-的值域为[2,2]-．
9.解： 2
34sin 4y x cos x =--24sin 4sin 1x x =--2
14(sin )22
x =--，
令sin t x =，则11t -≤≤， ∴2
1
4()22
y t =--（11t -≤≤），
∴当12t =
，即26x k ππ=+或526
x k ππ=+（k Z ∈）时，min 2y =-， 当1t =-，即322
x k π
π=+（k Z ∈）时，max 7y =．
10.解：令sin cos x x t +=，则21
sin cos 2
t x x -⋅=，
又∵sin cos )4
t x x x π
=+=
+
，∴t ≤≤
当1t =-时，min 1y =-，
当t =
时，2max 111
222
y =⨯=
所以，函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅
的值域为[1,2-． 11.（Ⅰ）【解】因为f （x ）＝cos 4x －2sinxcosx －sin 4x
＝（cos 2x ＋sin 2x ）（cos 2x －sin 2x ）－sin2x ＝cos2x －sin2x ＝
2cos （2x ＋4
π
），
所以f （x ）的最小正周期T ＝22π
＝π．
（Ⅱ）【解】因为0≤x ≤2π
，所以4π
≤2π＋4π≤45π．
当2x ＋4π＝4π时，cos （2x ＋4
π
）取得最大值22
；
当2x ＋4
π＝π时，cos （2x ＋4
π
）取得最小值－1．
所以f （x ）在［0， 2
π］上的最大值为1，最小值为－
2。