全国通用版2018_2019高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象检测新人教A

第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象A 级 基础巩固一、选择题1．当x ∈(－π2，π2)时，函数y ＝tan|x |的图象( B )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．没有对称轴2．函数f (x )＝tan2xtanx的定义域为( A )A ．{x |x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z }B ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }C ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z }[解析]⎩⎪⎨⎪⎧x≠k πx≠k π＋π22x≠k π＋π2(k ∈Z )得⎩⎪⎨⎪⎧x≠k π2，x≠k π2＋π4，∴x ≠2k 4π且x ≠2k ＋14π，x ≠k π4，k ∈Z ，故选A ．3．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是( A )A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12[解析]∵函数的象过点(π12，0)，∴tan(π6＋φ)＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6，故选A ． 4．函数f (x )＝tan(π4－x )的单调递减区间为( B )A ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZB ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈ZC ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZD ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z[解析] 由f (x )＝－tan(x －π4)，可令k π－π2<x －π4<k π＋π2，解得k π－π4<x <k π＋34π，k ∈Z ． 5．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π3所得线段长为2，则a 的值为( A )A ．π2B ．12C ．πD ．1[解析] 由题意可得T ＝2，所以πa ＝2，a ＝π2．6．函数f (x )＝tan(ωx －π4)与函数g (x )＝sin(π4－2x )的最小正周期相同，则ω＝( A )A ．±1B ．1C ．±2D ．2[解析]π|ω|＝2π|－2|，ω＝±1．二、填空题7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为 (k π4－π6，0)(k ∈Z ) ．[解析] 令2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，∴对称中心的坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．8．求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是 (2k π－π2，2k π＋32π)(k ∈Z ) ．[解析]y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z ．三、解答题9．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．[解析]∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5．10．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质． [解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，π－π2，k π]，2tanx ，π，k π＋π2(k ∈Z )．其图象如图所示．函数的主要性质为：①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；⑤单调性：单调增区间为[k π，k π＋π2)，k ∈Z ．B 级 素养提升一、选择题1．函数f (x )＝tanx2－cosx 的奇偶性是( A )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [解析]f (x )的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，又f (－x )＝－2－－＝－tanx 2－cosx＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．若a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则( D )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b[解析]∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70°， ∴log 12sin25°>log 12cos25°>log 12tan70°．即a <c <b ．3．若函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则(B) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1D ．ω≤－1[解析] 若ω使函数在(－π2，π2)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0．4．函数y ＝|tan(x ＋π4)|的单调增区间为( D )A ．(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )B ．(k π－3π4，k π＋π4)(k ∈Z )C ．(k π，k π＋π2)(k ∈Z )D ．[k π－π4＋k π＋π4)(k ∈Z )[解析] 令t ＝x ＋π4，则y ＝|tan t |的单调增区间为[k π，k π＋π2)(k ∈Z )．由k π≤x ＋π4<k π＋π2，得k π－π4≤x <k π＋π4(k ∈Z )．二、填空题 5．给出下列命题：(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数；(2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数； (3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋π3的周期是π2； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是偶函数．其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__．[解析]y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋π3的周期是π2.∴(3)对；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)． 6．若tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是⎝⎛⎥⎤－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z ) ．[解析] 令z ＝2x －π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z ．三、解答题7．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．[解析]y ＝1cos2x ＋2tan x ＋1＝cos2x ＋sin2x cos2x＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1．∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]．∴当tan x ＝－1时，即x ＝－π4时，y 取最小值1；当tan x ＝1时，即x ＝π4时，y 取最大值5．8．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性．[解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z ．∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R ．(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π．f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z ．∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )． C 级 能力拔高函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象大致是( D)[解析]∵π2<x ≤π时，sin x ≥0，tan x ≤0，∴y ＝tan x ＋sin x －(sin x －tan x )＝2tan x ，π<x <3π2时，sin x <0，tan x >0，∴y ＝tan x ＋sin x －(tan x －sin x )＝2sin x ，故选D ．。