中考数学复习专题练习题四 等腰三角形和直角三角形2

中考数学复习专题练习题四

§4.4等腰三角形和直角三角形

一、选择题

1．(2015·浙江衢州一模，7，3)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在

AC边上的B′处，则∠ADB′等于()

A．25°B．30°

C．35°D．40°

解析在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°－

25°＝65°.∵△CDB′由△CDB翻折而成，∴∠CB′D＝∠B＝65°.∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′＝∠CB′D－∠A＝65°－25°＝40°.

答案 D

2. (2014·浙江杭州拱墅二模，1，3分)如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足

为E，下列结论不一定成立的是()

A．AB＝AD

B．AC平分∠BCD

C．AB＝BD

D．△BEC≌△DEC

解析由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，故A正确；

由线段垂直平分线的性质可得BC＝CD，再由等腰三角形的性质可得AC平分∠BCD，故B正确；∵BE＝DE，BC＝CD，故Rt△BEC≌Rt△DEC，故D正确；而AB＝BD 无法得出，故C不一定成立，故选C.

答案 C

3．(2015·浙江湖州模拟(19)，3，3分)如图，△ABC中，BC＝8，AD

是中线，将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹

角是60°，则点B到C′的距离是

( )

A ．4

B ．4 2

C ．4 3

D ．3

解析 ∵△ABC 中，BC ＝8，AD 是中线，∴BD ＝DC ＝4.∵将△ADC

沿AD 折叠至△ADC ′，发现CD 与折痕的夹角是60°，∴∠C ′DA

＝∠ADC ＝60°，DC ＝DC ′，∴∠C ′DB ＝60°，∴△BDC ′是等

边三角形，∴BC ′＝BD ＝DC ′＝4.

答案 A

4．(2013·湖北武汉洪山3月月考，4，3分)下列各数为边不能组成直角三角形的一组是

( )

A ．15，12，9 B.32，2，52

C ．8，15，17 D.3，2， 5

解析 A 中，∵92＋122＝152，∴能组成直角三角形；B 中，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

522

，∴能

组成直角三角形；C 中，∵82＋152＝172，∴能组成直角三角形；D 中，(3)2＋22≠(5)2，∴不能组成直角三角形．故选D.

答案 D

5．(2015·浙江嘉兴例卷，8，4分)如图，已知△ABC (AC ＜BC )，用

尺规在BC 上确定一点P ，使P A ＋PC ＝BC .则下列四种不同方

法的作图中准确的是( )

解析 A ．此时BA ＝BP ，则无法得出AP ＝BP ，故不能得出P A ＋PC ＝BC ，故此选项错误；

B ．此时P A ＝P

C ，则无法得出AP ＝BP ，故不能得出P A ＋PC ＝BC ，故此选项错误；

C ．此时CA ＝CP ，则无法得出AP ＝BP ，故不能得出P A ＋PC ＝BC ，故此选项错误；

D ．此时BP ＝AP ，故能得出P A ＋PC ＝BC ，故此选项正确．

答案 D

二、填空题

6．(2015·浙江杭州模拟(四)，12，4分)如图，在等腰△ABC 的两腰

AB ，BC 上分别取点D 和E ，使DB ＝DE ，此时恰有∠ADE ＝12∠

ACB ，则∠B 的度数是________．

解析 设∠B ＝x .先由DB ＝DE ，根据等边对等角得出∠DEB ＝

∠B ＝x ，根据三角形外角的性质得出∠ADE ＝∠DEB ＋∠B ＝2x ，

由∠ADE ＝12∠ACB 得出∠ACB ＝4x .再由AB ＝BC ，得出∠A ＝

∠ACB ＝4x ，然后在△ABC 中，根据三角形内角和定理列出方程

4x ＋x ＋4x ＝180°，解方程即可求出∠B 的度数．

答案 20°

7．(2015·浙江温州模拟，12，5分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，

AD 是△ABC 的角平分线，若BC ＝10，AD ＝12，则AC ＝________．

解析 ∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝

DC ，在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝122＋52＝13.

答案 13

8．(2013·浙江湖州中考模拟十，16)有两个等腰三角形甲和乙，甲的

底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的

底长，则甲的底角是________度．

解析 假设等腰三角形甲为△ABC ，等腰三角形乙为

△DEF (如图所示)．

①顶角为∠D ，根据题中的条件，甲的底长等于乙的

腰长，甲的底角等于乙的顶角，

我们可以将D 挪到B 点，使BC 与DE 重合，DF 与AB 共线，

如果∠BAC 为锐角，则F 点在AB 边上，由于CF ＝AC ，由图知是不可能的．

如果∠BAC 为钝角，则F 点在BA 延长线上，由于CF ＝AC ，得知乙的底角＝2倍的顶角＝2倍甲的底角，

故可以解得甲的底角是36度；

②当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，甲的底角是60°.

答案 36或60

9．(2015·浙江湖州模拟(19)，11，4分)如图，有一个正三角形图片高为1米，A 是三角

形的一个顶点，现在A 与数轴的原点O 重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A ′重合，则点A ′对应的实数是________．

解析 设此正三角形的边长为a ，则32a ＝1，∴a ＝233，∴此正三角形的周长为2 3.

∴点A ′对应的实数是2 3.

答案 2 3

三、解答题

10．(2013·吉林长春朝阳期中，21，10分)如图所示，在△ABC 中，点D

为BC 边上的一点，AD ＝12，BD ＝16，AB ＝20，CD ＝9.

(1)试说明AD ⊥BC ；

(2)求AC 的长及△ABC 的面积；

(3)判断△ABC 是否是直角三角形，并说明理由．

(1)证明 ∵AD 2＋BD 2＝122＋162＝144＋256＝400，AB 2＝202＝400，

∴AD 2＋BD 2＝AB 2，

∴△ABD 是直角三角形，

即AD ⊥BC .

(2)解 在Rt △ADC 中，

∵AD ＝12，CD ＝9，

∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋92＝15. S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×(16＋9)×12＝150.

(3)解 △ABC 是直角三角形．理由如下：

∵AB 2＋AC 2＝202＋152＝400＋225＝625，BC 2＝252＝625，

∴AB 2＋AC 2＝BC 2.

∴△ABC 是直角三角形．