直线、平面垂直的判定及性质资料

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直线、平面垂直的判定及其性质

答案：B
5．如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是 AC的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．
①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面 ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．
解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以 BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.故选C.
答案：C
2．(必修2P69练习题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体SEFG中必有( )
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的
角叫做二面角的平面角．
2．平面与平面垂直的判定定理
4．(2017· 浙江卷)如图，已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB， BQ CR ＝＝2.分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角 QC RA 为α，β，γ，则( A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α )
A．SG⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF
B．SD⊥平面EFG D．GD⊥平面SEF
解析：解法1：在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥ G3F，在四面体SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，所以SG⊥平面EFG. 解法2：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除 C；在△GSD 中，GS＝a(正方形边长)，GD＝ 2 4 a，SD＝ 3 2 4 a，所以

直线、平面垂直的判定及性质

第3讲直线、平面垂直的判定及性质1．直线与平面垂直：(1)方法1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(2)方法2：如果两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于该平面．(3)方法3：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．2．面面垂直：(1)方法1：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2) 方法2：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．考向一直线与平面垂直的判定与性质【1】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【2】(2012·南通调研)如图，平面P AC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段P A、PB、AC的中点，点G 是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，P A＝PC＝2 2.求证：(1)P A⊥平面EBO；(2)FG∥平面EBO.【3】(2012·福建卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE；若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．【4】(2012·镇江调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点．(1)证明：EB∥平面P AD；(2)若P A＝AD，证明：BE⊥平面PDC.【5】(2011·扬州调研)如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD 垂直，点H是BE的中点，点G是AE、DF的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE.【6】(2012·扬州调研)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1.考向二平面与平面垂直的判定与性质【7】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.【8】(2011·江苏卷)如图在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .考向三线面、面面垂直的综合应用【9】(2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高． (1)证明：PH ⊥平面ABCD ； (2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .【10】(2012·南通市第一学期期末考试)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ； (2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．考向四求线段的长度问题【11】(2011·浙江卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【12】(2011·江西卷)如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .【训练达标】【1】如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .【2】(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .【3】如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．【4】如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点，(1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)设M 为线段C 1C 的中点，当D 1D AD的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．【5】如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小；(2)证明AE ⊥平面PCD ；(3)求二面角A —PD —C 的正弦值．【6】如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.【7】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.【8】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．【9】如图所示，在三棱锥P—ABC中，△P AB是等边三角形，∠P AC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面P AC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积．【10】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.。

直线、平面垂直的判定及其性质

2.如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 3AD＝DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC＝ 3AC，PD⊥平面 ABC，PD＝DB. 求证：PA⊥CD. 证明：因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥BC. 在 Rt△ABC 中，由 BC＝ 3AC，得∠ABC＝30°. 设 AD＝1，由 3AD＝DB 得，DB＝3，BC＝2 3. 由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，所以 CD2＋DB2＝BC2，即 CD⊥AB. 因为 PD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC，所以 PD⊥CD. 因为 PD∩AB＝D，所以 CD⊥平面 PAB，又 PA⊂平面 PAB，所以 PA⊥CD.
找共性
[过关训练] 1．如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.又 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，∴AE⊥平面 PCD. 又 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一线面垂直的判定与性质 [全析考法过关]

直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影90]，叫做这条直线和这个平面所成的角.所成的锐角[00至0知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是180]直角的二面角叫做直二面角二面角范围是[00至0知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作.2.平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号语言：图形语言：知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.2.性质定理1垂直于同一个平面的两条直线平行.2垂直于同一条直线的两个平面平行知识点六、平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.如果两个平面互相垂直那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内例1 在三棱锥P A B C -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===．求证：A B B C ⊥；设23AB BC ==，求A C 与平面PBC 所成角的大小．例2 如图，直角A B C △所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，点D 为斜边A C 的中点．求证：SD ⊥平面ABC ；若A B B C =，求证：B D ⊥面S A C ．例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B 和平面ABCD 所成的角；（2）求直线A1B 和平面A1B1CD 所成的角.例4如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为450 ，沿这条直道从堤脚C 向上行走10m 到达E 处，此时人升高了多少m ？例5 在四面体ABCD 中，已知AC ⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC ⊥平面ACD.例6四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD.证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角A B C DE一、选择题1．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线 B．平行直线 C．一条直线—个点 D．以上三种情况均有可能2．在下列四个命题中，假命题为（）A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面3．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A．圆内接四边形 B．矩形 C．圆外切四边形 D．平行四边形4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离等于（）A．5 B．52 C．35 D．455．A、B两点相距4cm，且A、B与平面a的距离分别为3cm和1cm，则AB与平面a所成角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．30°或90°6. 直线a不垂直于平面α，则α内与a垂直的直线有（）Ａ．0条Ｂ．1条Ｃ．无数条Ｄ．α内所有直线7. 已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ．下面四个命题中，正确的是（）Ａ．αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//Ｂ．mll mββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭//Ｃ．mm nnγγ⎫⇒⎬⎭//////Ｄ．mm nnγγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//8. 设a，b是异面直线，下列命题正确的是（）Ａ．过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a，b都相交Ｂ．过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b垂直Ｃ．过a一定可以作一个平面与b垂直Ｄ．过a一定可以作一个平面与b平行二、填空题1．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．2．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，mα和m⊥γ，现给出以下四个结论：α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”3．给出以下四个命题（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．其中假命题的共有_________个．4. αβ，是两个不同的平面，m n ，是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断： m n ⊥①；αβ⊥②；n β⊥③；m α⊥④．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．5 设O 为平行四边形A B C D 对角线的交点，P 为平面A C 外一点且有P A P C =，PB PD =，则P O 与平面A B C D 的关系是_____________．6.设三棱锥P A B C -的顶点P 在底面ABC 内射影O （在A B C △内部，即过P 作P O ⊥底面ABC ，交于O ），且到三个侧面的距离相等，则O 是A B C △的______心.三、解答题1如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB=CF ∶FD.求证：EF ∥β;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC=4，BD=6且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长2在正三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是3.三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

直线、平面垂直的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ，在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。

直线平面垂直的判定及其性质精

直线、平面垂直的判定及其性质【知识要点梳理】知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1•直线和平面垂直定义如果直线F和平面比内的任意一条直线都垂直，我们就说直线2与平面比互相垂直，记作J丄◎.直线E叫平面H的垂线；平面陆叫直线£的垂面；垂线和平面的交点叫垂足2•直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.烧U a;卫U工朋仃M = £”/丄盘符号语言:'丄朋J丄冲-特征：线线垂直 n线面垂直知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角知识点三、二面角1•二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面•从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角•这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面表示方法：棱为、面分别为分、0的二面角记作二面角◎■朋-Q •有时为了方便,也可在圧勺0内（棱以外的半平面部分）分别取点只°，将这个二面角记作二面角尸-卫占-（3 •如果棱记作‘，那么这个二面角记作二面角0或F 7-Q•过斜•平面2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足,面角的平面角是多少度，就说这个二面角是知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直表示方法：平面凸与Q 垂直，记作d 丄3. 2.平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直符号语言：/丄uJa 丄0 图形语言:特征：线面垂直 h 面面垂直知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线符号语言：/丄sug?S 图形语言:在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则二面角的大小可以用它的平面角来度量, 多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角2.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言：'丄a 「用丄住二討｛加图形语言:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直图形语言:2.如图所示，中点.⑴求证：SD 丄平面ABC ;(2)若AB=BC ，求证：BD 丄平面SAC.知识点六、平面与平面垂直的性质性质定理：符号语言: U 丄0「0；仃0=豹」U 0)丄梯nf 丄e已知 Rt △ ABC 所在平面外一点 S ,且SA=SB=SC ,点D 为斜边AC 的BOC在平面内，OA是平面①的斜线，且/ AOB= /AOC=60 ° , OA=OB=OC=肚,BC=d，求OA和平面①所成的角.44在四面体ABCD 中，△ ABD、△ ACD、△ BCD、△ ABC 都全等，且BC= 2求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.5.在四面体ABCD 中，求证：平面ABD丄平面BCD.月0=施,AB=AD=CB=CD=AC=住，如图所示D基础达标1.平面配外的一条直线£与凸内的两条平行直线垂直，那么（）.4.若P 是平面◎'外一点，则下列命题正确的是（）.A. 过P 只能作一条直线与平面 G 相交B. 过P 可作无数条直线与平面住垂直C. 过P 只能作一条直线与平面出平行D. 过P 可作无数条直线与平面 &平行5. 设是直二面角，直线広匚①，直线bU 3，且a 不垂直于』，b 不垂直于/ 那么（）.A. a 与b 可能垂直，但不能平行B. a 与b 可能垂直，也可能平行C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能平行，也不能垂直6. 设出、Q 为两个不同的平面，!、m 为两条不同的直线，且1匸盘，muQ 有如下两A.i 丄B.l f/ 口;C.F 与氏相交D 7与曰的位置关系不确定2.已知直线a 、b 和平面6',下列推论错误的是（）. 如1丄 aB.“丄时麗丄口: A .G盘丄占MeD.a3.若直线a 丄直线b ，且a 丄平面①，则有（）.A. MeB .B CQc 0丄a D.bg 或be a其中正确的个数是（） A.0B.1C.2D.3个命题：①若◎甘3川尿;②若/丄胡，则①丄戸届那么（）.A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题C. ①②都是真命题D. ①②都是假命题7. 关于直线m 、n 与平面◎与0,有下列四个命题:①若刖盘,MR 且也〃戸，则m // n ;②若欄丄化《丄戸且S 丄Q ,则撷丄； ③若聊丄化加沖且就"0，则欣丄；④若桝"氓幷丄Q 且抚丄0,则m / n.8.已知直线m 丄平面◎，直线冷匚Q ,给出下列四个命题，其中正确的命题是（）.①若◎"戸，则^丄农；②若d 丄0，则m / n ;③若m // n ,则丄© :④若粧丄'^^9. 下面四个命题：① 两两相交的三条直线只可能确定一个平面； ② 经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面; ③平面比内不共线的三点到平面戸的距离相等，则0 ;10. 设有不同的直线a 、b 和不同的平面比、0、尸，给出下列三个命题: ①若僅H 住 bff G ：贝廿说"^. ②若川.说"，则创0；③若^^“儿刖卩其中真命题的序号是（）. A.①②B.③④C.①④D.②③A. ③④B. ①③C. ②④D. ①②④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是（）.A.0个B.1个C.2个D.3个11. 已知直线E 丄平面，直线加U 平面Q ，有四个命题：① 也"0今'丄朋.②③朋=0；■丄0.④/丄战12.长方体血中，MN 在平面ECU I E 内，MN 丄BC 于M ，贝U MN 与AB 的位置关系是ABC 所在平面外一点 S ,且SA=SB=SC ，点D 为斜边AC 的中点.ABC ;BD 丄面SAC.其中正确的命题是.（把所有正确命题的序号都填上）C13.如图所示，直角△ ⑴求证：SD 丄平面 ⑵若AB=BC.求证：。

直线、平面垂直的判定与性质

2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β。

直线、平面垂直的判定及其性质

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言一条直线与一个平
图形语言
符号语言
两条相交直判定面内的__________
定理线 __都垂直，则该直线与此平面垂直性质垂直于同一个平面定理的两条直线平行 ____
a，b⊂α a∩b＝O l⊥ α ⇒_____ l⊥ a l⊥ b
两个平面垂直
两个平面垂直，则
α⊥β l⊂ β ⇒ l⊥ α α∩β＝a l⊥ a
性质一个平面内垂直于定理交线 ____的直线与另一个平面垂直
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直线、平面垂直的判定及其性质
结束
[小题体验] 1．已知平面 α⊥平面 β，直线 l⊥平面 β，则直线 l 与平面 α
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直线、平面垂直的判定及其性质
结束
角度二：利用线面垂直的性质证明线线垂直 2． (2015· 江苏高考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AC⊥BC， BC＝CC1．设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1＝E．求证：(1)DE∥平面 AA1C1C； (2)BC1⊥AB1．
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直线、平面垂直的判定及其性质
结束
1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视． 3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．

其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)．

直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”.这与“无数条直线”不同.注意区别。

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

(3)若.则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。

符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语.不可忽视。

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。

(2)直线与平面垂直射影是点。

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

(4)一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内.它们所成的角是0°的角。

知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点.将这个二面角记作二面角.如果棱记作.那么这个二面角记作二面角或。

直线与平面垂直的判定和性质

直线与平面垂直的判定和性质
性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另
一个平面（面面垂直线面垂直）。

判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么
这两个平面互相垂直（线面垂直面面垂直）。

判定定理：1.如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相
互垂直；2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；3.如果
一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

定理1
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

定理2
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在
第一个平面内。

定理3
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

推断
三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

定理4
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

（判定定理推论1
的逆定理）。

推断
如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。

（判定
定理推论2的逆定理）。

8.5直线、平面垂直的判定及其性质

B C
D
例9 四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PA⊥ 底面ABCD，PA＝AD，M为AB的中点，求证：平面PCM⊥平面PCD.
P D
C
A
M
B
考点4 线、面垂直的综合应用例10 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2. （1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝ 13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
8.5
直线、平面垂直
的判定及其性质
知识梳理
1 5730 p 2
t
1.直线、平面垂直的概念：（1）直线与直线垂直：两直线的夹角为90°.
（2）直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直.
（3）平面与平面垂直：两个相交平面所成的二面角是直二面角.
2.直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 3.平面和平面垂直的判定定理：
若直线a，b分别在二面角的两个面内，且都与棱垂直，则直线a与b的夹角等于二面角的平面角或其补角.
考点分析
考点1 两直线垂直的判定与证明例1 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝ 6 , 点M为CC1的中点，求证：AB1⊥A1M.
B A
B1
例4 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.

10.5直线、平面垂直的判定及其性质

3.二面角二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，该直线叫二面角的棱；以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角 . 其范围是 [0° ，180° ] . 求法：一般是根据三垂线定理作平面角转化为直角三角形求或用向量方法求.
10.5 直线、平面垂直的判定及其性质
知识要点
1.直线与平面垂直 (1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么就说这条直线和这个平面垂直； (2)判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，符号语言为 a⊂α， b⊂α， a∩b＝P， e⊥a， e⊥b⇒l⊥α； (3)性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行，符号语言为 a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
【解析】(1)折叠前，在四边形 ABCD 中， AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90° ，所以△ABD 为等腰直角三角形. 又因为∠BCD＝45° ，所以∠BDC＝90° . 折叠后，因为面 PBD⊥面 BCD，CD⊥BD，所以 CD⊥面 PBD，又因为 PB⊂面 PBD，所以 CD⊥PB. 又因为 PB⊥PD，PD∩CD＝D，所以 PB⊥面 PDC，又 PB⊂面 PBC，故平面 PBC⊥平面 PDC.
9.【配套练习】（2012湖南）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥ 平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD的中点. （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
a
H
【证明】要证明平面 O1DC 与平面 ABCD 垂直，考虑到图中已知平面 ABCD 的垂线 A1O，因而设法在平面 O1DC 找出 A1O 的平行线.就可证得结论.

直线、平面垂直的判定及其性质解析

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别。

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

(3)若，则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视。

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直，直线在平面的射影是一条直线。

(2)直线与平面垂直射影是点。

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。

知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

互动课堂疏导引导一、直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直.疑难疏引 (1)定义中的“任意一条直线”这一词组，它与“所有直线”是同义语，但与无数条直线不同，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.但不能说一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，它就和这个平面垂直.(2)和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若a ⊥α,b ⊂α,则a ⊥b ，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种重要方法.画直线和水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如果直线l 和平面α垂直，则记作l ⊥α.(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节，也有类似的命题.命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.2.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面.用符号表示为ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l B n m n m ,,.疑难疏引关于定理的理解必须注意以下几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要抓牢.(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面. 命题2：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一簇平行线，并不一定具备有两条相交直线和已知直线垂直，因此，也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论.(3)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.(4)直线与平面垂直的判定与证明方法：①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直. ③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面. ⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面. 这六条线面垂直的判定方法其实质仍是转化思想，它们是线线、线面、面面垂直的转化. 案例1 如图，正方体有8个顶点和12条棱，每条棱上均有一个中点，于是有棱的中点12个，顶点与中点合起来共有20个〔图(1)〕.过其中的两点可作一条直线；过其中不在同一直线上的三点可作一个平面.现在考虑这些直线与平面的垂直关系.(1)试举出一直线与一平面相互垂直的例子(不少于4例)；(2)若一直线与一平面相互垂直，我们就说这条直线与这个平面构成了一个“垂直关系组”，两个“垂直关系组”当且仅当其中两条直线和两个平面不全同一时称为相异的(或不同的).试求与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数.【探究】在正方体中，所有的棱都和与它相交的面垂直，利用中点也可产生与棱垂直的面.(1)例如AB⊥平面BCKJ〔如图(1)〕；例如EF⊥平面MPON〔如图(1)〕；例如NF⊥平面ADKJ〔如图(2)〕；例如IC⊥平面AJL〔如图(3)〕.(2)正方体的棱有12条，而每一条棱都与3个平面垂直，如图(1)中棱IJ与平面ID、平面NP 与平面JC都垂直，所以与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数是12×3=36.【规律总结】挖掘正方体本身潜藏的特征，将每一条棱的情况分析清楚，做到不重不漏.案例2 如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC.【探究】根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H 是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC.①∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC 平面PBC，PA⊥BC，②由①②知，BC⊥PH，同理，AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC.【规律总结】根据所求证的结论，寻求所需的已知条件，看题目是否已经直接给出，或者从题目所给条件，经过推理能够得出，这是分析问题的重要方法，称为执果索因；也可从条件出发，将这一条件可能得出的结论一一列出，从中选出我们证题所需要的结论，这种分析问题的方法称为由因导果，发散性较强.二、平面与平面垂直的判定1.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.疑难疏引 (1)二面角的平面角，则是用来刻画二面角大小的一个概念.它和两条异面直线所成的角以与直线和平面所成的角一样，都化归为用平面内两条相交直线所成的角来表示.但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内.而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a 上的位置无关.(2)二面角的计算方法①用定义作二面角的平面角——在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角.利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱与棱上的特殊点.学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用.②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.③面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则cosθ=原多边形面积射影多边形面积S S .案例3 已知四边形PABC 为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC 是边长为32的正三角形，PC=2，D 、E 分别是PA 、AC 的中点，BD=10.试判断直线AC 与平面BDE 的位置关系，并且求出二面角P-AC-B 的大小.解：∵D 、E 分别是PA 、AC 的中点，∴DE ∥PC 且DE=21PC=1. ∵∠PCA=90°,∴AC ⊥DE.∵△ABC 是边长为32的正三角形，并且E 是AC 的中点，∴AC ⊥BE ，并且BE=3.∵DE∩BE=E ，∴直线AC 与平面DEB 垂直.∴∠DEB 为二面角P-AC-B 的平面角.在△BDE 中，由DE=1，BE=3，BD=10得DE 2+BE 2=BD 2，∴∠DEB=90°.综上所述，直线AC 与平面BDE 垂直，二面角P-AC-B 的大小为90°.【规律总结】与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”.案例4 已知△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB=a ，求二面角A-PC-B 的正切值.【探究】要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值.解：取AC 的中点M ，连结BM ，作MN ⊥PC 于N ，连结BN.∵PA ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC.易证BM ⊥AC ，AC=平面PAC∩平面ABC.∴BM ⊥平面PAC(面面垂直的性质).∵MN ⊥PC ，∴NB ⊥PC.∴∠MNB 是二面角A-PC-B 的平面角.易知MN=a 42，BM=a 23. ∴tan ∠MNB=64223==a a MN BM . ∴二面角的正切值为6【规律总结】度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.2.两个平面互相垂直的判定常用的判定方法有：(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.疑难疏引两平面垂直的判定定理的特征：线面垂直面面垂直.它说明了线面垂直与面面垂直的密切关系，用符号表示为：若l ⊥α,l β,则α⊥β.利用判定定理证明两个平面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找另一平面的垂线.案例5 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC.【探究】本题可以用两种方法来证明，一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内(证法一)；二是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直(证法二).证法一：作AD ⊥平面BSC ，D 为垂足.∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC ，则AS=AB=AC ，∴D 为△BSC 的外心.又∠BSC=90°，∴D 为BC 的中点，即AD 在平面ABC 内.∴平面ABC ⊥平面BSC.证法二：取BC 的中点D ，连结AD 、SD ，易证AD ⊥BC.又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD=SD.∴AD 2+SD 2=AD 2+BD 2=AB 2=AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD ，∴AD ⊥平面BSC.又AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC.【规律总结】本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题.三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质有：(1)一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行；(3)两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)垂直于同一直线的两个平面平行.对于性质定理，它提供了一种证明线线平行的方法，揭示了“平行”与“垂直”的内在联系. 案例6 如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，若点M 为棱B 1B 上的一点，当MBM B 1的值为多少时，能使D 1M ⊥平面EFB 1？并给出证明. 【探究】本题属开放型问题，一般先猜后证.由于E 、F 为中点，所以猜想M 也是中点. 解：当11=MBM B 时，能使D 1M ⊥平面EFB 1，证明如下：当M 为B 1B 中点时，在平面AA 1B 1B 内有△A 1MB 1≌△B 1EB ，∴∠B 1A 1M=∠BB 1E.而∠B 1MA 1+∠B 1A 1M=90°,∴∠B 1MA 1+∠BB 1E=90°.∴A 1M ⊥B 1E.∵D 1A 1⊥平面AA 1B 1B ，B 1E ⊂平面AA 1B 1B,∴D 1A 1⊥B 1E.由于A 1M∩D 1A 1=A 1,∴B 1E ⊥平面A 1MD 1.∵D 1M ⊂平面A 1MD 1,∴B 1E ⊥D 1M.同理，连结C 1M ，可证明B 1F ⊥D 1M.∵B 1E∩B 1F=B 1,∴D 1M ⊥平面EFB 1.【规律总结】 (1)猜想要和题目中的点的性质相联系.(2)平面内证两线垂直的方法可通过三角形中某两个角的和为直角来判断.四、两个平面垂直的性质两个平面垂直的性质有：(1)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；(2)两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 疑难疏引性质定理(1)成立要有两个条件：一是线在面内，二是线垂直于交线，才能线面垂直，这一定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”，它反映了面面垂直与线面垂直的密切关系；对于第二条性质，只要在其中一个平面内通过一点作另一平面垂线，那么这条垂线必在这个平面内，对点的位置，它既可以在交线上，也可以不在交线上.(2)运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.案例7 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. 已知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证：l ⊥γ.【探究一】在γ内取一点P ，作PA 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则PA ⊥α,PB ⊥β.∵l=α∩β,∴l ⊥PA,l ⊥PB.∵α与β相交，∴PA 与PB 相交.又PA ⊂γ,PB ⊂γ,∴l ⊥γ.【探究二】在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ,β⊥γ,∴m ⊥γ,n ⊥γ.∴m ∥n.又n ⊂β,∴m ∥β.∴m ∥l,∴l ⊥γ.【探究三】在l 上取一点P ，过点P 作γ的垂线l′,l l l l l P P P l l P '=⋂⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧⊂'⊂'⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=''∈⊥⊥⎩⎨⎧∈∈⇒⎭⎬⎫=⋂∈βαβαγγβγαβαβα. 但α∩β=l,∴l 与l′重合.∴l ⊥γ.【规律总结】探究一、探究二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是两种证法的关键.探究三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是关键.通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法.五、几种转化关系1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.线线垂直、线面垂直、面面垂直是立体几何中的核心内容之一.首先由线面垂直的定义可知，若线面垂直则线和面内任何直线都垂直；根据线面垂直判定定理，若线垂直于面内的两条相交直线，则线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，我们可以简证为，线面垂直则面面垂直；同样根据面面垂直的性质定理，我们还可证得，若面面垂直则线面垂直.由上可得，利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直的证明.因此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直.2.空间直线、平面的平行与垂直的相互转化(1)线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定与证明是考查空间想象能力、逻辑推理能力的重点，这是我们作进一步的比较、串联、综合、力求达到巩固、提高的目的.(2)理解线线、线面、面面关系的转化.①不同层次的平行关系的转化.②不同层次的垂直关系的转化③平行与垂直的转化案例8 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD.【探究】(1)要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可，证明如下：证明：取PD的中点E，连结AE 、EN.则EN 21CD 21AB AM ，故AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE.∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.(2)要证MN ⊥CD ，可证MN ⊥AB.由问(1)知，需证AE ⊥AB.∵PA ⊥平面ABCD.∴PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN.又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD.(3)由问(2)知，MN ⊥CD ，即AE ⊥CD ，再证AE ⊥PD 即可.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD.又∠PDA=45°,E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD,即MN ⊥PD.又MN ⊥CD.∴MN ⊥平面PCD.【规律总结】本题是涉与线面垂直、线面平行、线线垂直诸知识点的一道综合题.题(1)的关键是选取PD 的中点E ，所作的辅助线使问题处理方向明朗化.线线垂直←线面垂直←线线垂直是转化规律.活学巧用1.判断题：正确的在括号内打“√”,不正确的打“×”.(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行.()(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.()(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.()(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内.()(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.()解析：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面，因此应打“×”.(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”,正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这无数条直线的位置关系，则该命题应打“×”.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必须垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”.(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”.(5)三条共点直线两两垂直，设为a,b,c 有a,b,c 共点于O.∵a ⊥b,a ⊥c,b∩c=o,且b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α.同理可知b 垂直于由a 、c 确定的平面，c 垂直于a 、b 确定的平面，∴该命题应打“√”.答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则有()A.l 和m 异面B.l 和m 相交C.l ∥mD.l 不平行于m解析：直线l ⊥平面α,则l 和平面α有且只有一个交点即垂足P ，平面α内任一直线m 经过P 时，l 和m 相交，直线m 不经过P 时，由异面直线的判定定理知,l 和m 异面，故l 和m 不会平行.答案：D3.如图(1)，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 与EF 把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A.SG ⊥平面EFGB.SD ⊥平面EFGC.GF ⊥平面SEFD.GD ⊥平面SEF解析:(1)(直接法)在图(1)中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，右图(2)中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，∴SG ⊥平面EFG.(2)(排除法)GF 即G 3F 不垂直于SF ，∴可以否定C ；在△GSD 中，GS=a(正方形边长)，GD=a 42,SD=a 423, ∴SG 2≠SD 2+GD 2,∠SDG≠90°,从而否定B 和D.答案：A4.已知m 、n 为异面直线，m ∥平面α,n ∥α,直线l ⊥m,l ⊥n,则( )A.l ⊥αB.l 和α不垂直C.l 可能与α垂直D.以上都不对解析：在α内取一点P ，则m 和P 确定一个平面β，设β∩α=m′.∵m ∥α,∴m ∥m′.∵l ⊥m,∴l ⊥m′.n 和P 确定一个平面γ，设γ∩α=n′,∵n ∥α,∴n ∥n′. ∵l ⊥n,∴l ⊥n′.∵m 和n 是异面直线，∴m′和n′相交于P.∴l ⊥α.答案：A5.如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，AP ⊥平面ABC ，连结PB 、PC ，作PD ⊥BC 于点D ，连结AD ，则图中共有直角三角形__________个.解析：Rt △PAB 、Rt △PAC 、Rt △ABC 、Rt △ADP.可证BC ⊥平面APD ，由BC ⊥AD ，BC ⊥PD可证Rt △PBD 、Rt △PDC 、Rt △ADB 、Rt △ADC 共8个.答案：86.如图，α∩β=CD,EA ⊥α,垂足A ，EB ⊥β，垂足B.求证：CD ⊥AB.解析：∵EA ⊥α,CD ⊆α,根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA.同样∵EB ⊥β，CD ⊆β,则有EB ⊥CD.又EA∩EB=E ，根据直线和平面垂直判定定理，则有CD ⊥平面AEB.又∵AB ⊆平面AEB ， ∴CD ⊥AB.7.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC.解析：使B 1O 垂直于平面PAC 中的两条相交直线.证明：连结AB 1、CB 1，设AB=1.因为AB 1=CB 1=2，AO=CO ，所以B 1O ⊥AC.连结PB 1.因为OB 12=OB 2+BB 12=23，PB 12=PD 12+B 1D 12=49，OP 2=PD 2+DO 2=43，所以OB 12+OP 2=PB 12.所以B 1O ⊥PO.所以B 1O ⊥平面PAC.8.(1)二面角指的是( )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角(2)下列说法错误的是( )A.过二面角的棱上某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角即为二面角的平面角B.和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角C.在二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一面内的射影所成的角是二面角的平面角D.二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角解析：(1)根据二面角的定义讨论，故选C.(2)一一判断，可以发现应该选C.因为按C 中所给的方法，当二面角是一个锐角时，得到的确实是二面角的平面角；但当二面角是一个直二面角时，得到的是一个零度角；当二面角是一个钝角时，得到的是二面角平面角的一个补角.即C 中方法不具有普遍适用性.答案：(1)C (2)C9.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定解析：如下图答案：C10.已知D 、E 分别是正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1.求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面A 1B 1C 1所成的二面角的大小.解析：如图，在平面AA 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于点F ，则F 是面DEC 1与面A 1B 1C 1的公共点，C 1F 为这两个平面的交线，∴所求二面角就是D C 1F A 1的平面角.∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ，∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点.∵A 1B 1=B 1C 1=A 1C 1，∴FC 1⊥A 1C 1.又面AA 1C 1C ⊥A 1B 1C 1，FC 1⊂面A 1B 1C 1,∴FC 1⊥面AA 1C 1C ，而DC 1⊂面AA 1C 1C ，∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D-FC 1-A 1的平面角，由已知A 1D=B 1C 1=A 1C 1，∴∠DC 1A 1=4π. 故所求二面角的大小为4π. 11.河堤斜面与水平面所成的二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤脚的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走1033 m 时人升高了_________米( ) B.5.5 C解析：取CD 上一点E ，设CE=103 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.作EF ⊥AB 于F ，则EG=EFsin60°=CE·sin30°sin60° =5.72152321310==⨯⨯ (m).答案：D12.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：在平面PAB中，∵AD⊥AB,AD⊥PA且AB，PA⊂面PAB∴AD⊥面PAB∴面PAD⊥面PAB∵BC∥AD∴BC⊥面PAB∴面PBC⊥面PAB答案：A13.已知m、l是直线，a、β是平面，给出下列命题：(1)若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α;(2)若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；(3)若m⊂α，l⊂β,且l⊥m,则α⊥β；(4)若l⊂β，且l⊥α,则α⊥β；(5)若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是( )解析：本题考查线与线、线与面、面与面的位置关系.命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确；命题(2)，l∥α,但l不能平行于α内所有直线；命题(3)，l⊥m,不能保证l⊥α，即分别包含l与m的平面α、β可能平行也可能相交而不垂直；命题(4)，为面面垂直的判定定理，所以正确；命题(5)，α∥β,但分别在α、β内的直线l与m可能平行，也可能异面.答案：(1)、(4)14.在空间，下列哪些命题是正确的( )①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于同一个平面的两条直线互相平行A.仅②不正确B.仅①④正确C.仅①正确D.四个命题都正确解析：①该命题就是平行公理，因此该命题是正确的.②如图(1)，直线a⊥平面α,b⊆α,c⊆α,且b∩c=A,则a⊥b,a⊥c,即平面α内两条相交直线b,c都垂直于同一条直线a,但b,c的位置关系并不是平行，另外，b,c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面α外，此时，与a的位置关系仍是垂直，但此时b,c的位置关系是异面.③如图(2)，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易知A1B1平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，但A1B1∩A1D1=A1，因此该命题是错误的，④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上可知①、④正确.(1) (2)答案：B15.课本在证明直线与平面垂直的性质定理时采用的方法是反证法.请思考在什么情况下我们要使用反证法，它的步骤是什么?答：反证法一般用于从正面入手很难考虑的时候，如题目中有“不可能”、“没有”、“至少”、“至多”等词语时，很难直接应用定理或公式，这时它们的反面往往只有一种情况，只要将这一种情况否定了，命题便得到证明.反证法的证题步骤是：(1)假设命题结论的反面成立;(2)从这个假设出发，一步步推导出与某个定理、公式或已知条件相矛盾的结论；(3)肯定原命题结论正确.16.判断下列命题的真假①两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；②两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；③两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.解析：①若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图(1)，正方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1=AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内.可以看出：线在面内这一条件的重要性.②该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图(2)，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1⊆平面ADD1A1,AB⊆平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；③如图(2)，正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1⊆平面ADD1A1，AC⊂平面ABCD，AD1与AC所成的角为60°，即AD1与AC不垂直.答案：①假②假③假17.在下列命题中，假命题是( )A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC.若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α,则必有l⊥βD.若平面α∥平面β,任取直线l⊂α,则必有l∥β解析：A中，直线l⊥β,l⊂α,所以α⊥β，A为真命题；B中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B为真命题；D为两平面平行的性质，为真命题；C为假命题，l。

线面垂直判定与性质

线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解例1题图决问题的关键.【例2】已知：M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ，PO ⊥N 于O ，OR ⊥M 于R ，求证：QR ⊥AB .【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a ∥b ,a ⊥c ⇒b ⊥c ;(2)a ⊥α,b ⊂α⇒a ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例3】已知如图(1)所示，矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB 1⊥BC 1，求证:A 1C ⊥AB 1.【解前点津】题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C，题设，题断有对答性，可在例3题图解(1)ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB 1与A 1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.【例4】空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 .【解前点津】如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为974)36(22222=++=+AH HD例4题图【解后归纳】本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( )A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )A.1B.2C.552D.553 7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；第3题图③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.38.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α，其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是.12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.(1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC所成角的大小.第11题图第12题图第13题图15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证：MN ∥平面P AD .(2)求证：MN ⊥CD .(3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3.(1)求证：BD ⊥平面P AD .(2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小.17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．第15题图第16题图18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P .(1)求证：NP ⊥平面ABCD .(2)求平面PNC 与平面CC ′D ′D 所成的角.(3)求点C 到平面D ′MB 的距离.第4课线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ，PE ⊥PF .4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.5.A ,m ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.6.D P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD ， ∴PD =55354122=+=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然α与β不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m 11.23cm 2 设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB ２=a 2+4，第18题图又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2．S △A ′B ′C ′=23432=⋅a cm 2． 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB .14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心,∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC .(2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC ,∴AB ⊥面DEC .∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD ,∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE ,∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,∴VC 与面ABC 所成角为60°.15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB .又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD .∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN .又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD .又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PCD .16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 第15题图解又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12，∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ，∴BD ⊥平面P AD .(2)由BD ⊥平面P AD ，BD 平面ABCD .∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ，又PE 平面P AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角.∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=⨯. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ，∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角.又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中， tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC ===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°.∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M .由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中，∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2.又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ，∴NP ⊥平面ABCD .(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ，∴∠MCD 为该二面角的平面角.在Rt △MCD 中可知∠MCD ＝arctan 21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高.∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅， ∴.3621a S aS h =⋅=。

直线、平面垂直的判定及其性质

知识点一：直线与平面垂直的定义定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直。

记作α⊥l ，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足符号语言：任意αα⊥⇒⊥⊂l a l a 都有,，其中“任意直线”等同于“所有直线” 规律与方法（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形。

（2）由定义可知，若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线垂直，这是证线线垂直的重要方法（3）重要结论：过一点和已知平面垂直的直线只有一条题型一：直线与平面垂直的判定定义例题1下列命题中，正确的序号是① 若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则α⊥l ； ② 若直线l 与平面α内的一条直线垂直，则α⊥l ③ 若直线l 不垂直于平面α，则α内没有与l 垂直的直线 ④ 若直线l 不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直 ⑤ 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条变式训练1：直线a 与b 垂直，b ⊥平面α，则a 与平面α的位置关系是 ( )A ．a ∥αB ．a ⊥αC ．a α⊂D ．a α⊂或a ∥α 变式训练2：已知m ，n 为两条不同的直线，α，β错误！未找到引用源。

为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒错误！未找到引用源。

B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒错误！未找到引用源。

C．,//m m n n αα⊥⊥⇒错误！未找到引用源。

D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥变式训练3：已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（）①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒1A 1B 1C 1D CDE 1D 1A D A42③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③知识点二：直线与平面垂直的判定定理定理：一条直线与平面垂直内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言: 符号语言:题型二直线与平面垂直的判定定理的运用例题1：如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。

直线、平面垂直的判定与性质

第五节直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[要求一平面只需过另一平面的垂线．] 二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件.[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B ＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A-BCB1的体积．解：(1)证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A -BCB 1＝V B 1-ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16. 2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)如图所示，取AB 的中点E ，连接SE ，DE ，在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点． ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴SE ⊥AB .又SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE . 又SD ⊂平面SDE ，∴AB ⊥SD .在△SAC 中，∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ， ∴SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .考点二面面垂直的判定与性质[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C . (2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B .因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ，所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ，所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF ， ∴EG ⊥平面PCD ，又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P -NBM 的体积．解： (1)证明：连接BD . ∵P A ＝PD ，N 为AD 的中点， ∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB . (2)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ， ∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P -NBM ＝V M -PNB ＝23V C -PNB ＝23×13×32×2＝23. 10.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点．所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1，因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ，因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BE，又BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，P A⊥AD，∴P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.。