Mathmatics HL Grade 10 (数学高等级高一习题)

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2021年高一上学期10月数学训练卷(2)

2021年高一上学期10月数学训练卷（2）2011.10.19一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数与有相同图象的一个函数是（）．A．B． C． D．2．已知是非负整数，记集合，则的元素的个数为（）．A．个B．个C．个D．个3．若，且，则（）．A．B．C．D．4．某商品月份降价，此后受市场因素影响，价格连续上涨三次，使目前售价与月份降价前相同，则三个价格平均回升率为（）．A． B．C． D．5.设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝ ( )A.(0,1)，(0,2)B.{(0,1)，(0,2)}C.{y|y＝1或y＝2}D.{y|y≥1}6.已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3＜x＜5}，则使AB成立的实数a的取值范围是 ( )A.{a|3＜a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3＜a＜4}D.7．设是上的偶函数，则（）．A．B．C．D．8．函数，若实数满足，则（）．A．B．C．D．不确定9．是偶函数，且在是减函数，则整数组成的集合为（）．A． B． C．D．10．设函数，则的值组成的集合为（）．A．B．C．D． .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．11．若集合，则实数的值组成的集合为．12.已知集合M＝{12，a}，P＝{x|－1≤x＜2，x∈Z}，M∩P＝{0}，若M∪P＝S，则集合S的真子集个数是.13．已知一次函数的图象过点，一次函数的图象过点，若，则．14．已知函数，并且函数的最小值为，则的取值范围是________________．15．定义在上的函数是奇函数，且当时，，则x<0时，__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）设集合2{|}{},{(,)}A x x ax b x a M a b =++===，求集合．17．（本小题满分12分）（1）求证：（2）利用（1）的结论求值：18．（本小题满分12分）设函数是奇函数，（）且，，求函数的解析式．19．（本小题满分12分）设函数在区间有最小值，求方程=0的实数根．20．（本小题满分13分）已知函数，且函数与的图象在轴上的交点相同，（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间．21．（本小题满分14分）已知定义在上的函数满足：①对任意的都有；②当时，．求证：（1）对任意的，都有;（2）在上是增函数．2011—xx学年高一上学期数学训练参考答案1-5 DCBAD 6-10 BBCDC11． 12、15 13． 14． 15．16．【思路导引】紧抓住集合是单元素集合，揭示了一元二次方程有两个相等的实数根且都是a．【解析】由得的两个根，即的两个根，∴，，∴．【点评】本题的解决有赖于深刻把握集合中就一个元素，即转化为相应的一元二次方程有两个相等的实数根；【易错分析】容易得出，但是这结论对解题帮助并不大，而本题此时应该使用一元二次方程的根与系数的关系．17．（1）证明：只要证，即，而此式显然成立，所以；（2）解：，，．评注：本题在解答过程中使用了上述的结论，体会多多掌握公式的变形与推广，并把它们作为解题工具，体会解题思路的简洁优化．18．【思路导引】根据题目的已知条件，从奇函数的定义出发，再结合，解不等式．【解析】由函数是奇函数，得，即，而，得，而，当时，，即，得，而，，即，，当时，，即，得，与矛盾，所以，，，即函数的解析式为．【点评】对于，再分类讨论，得出，，，【易错分析】对于不等式，再结合，不能顺利得出，，．19．方程的根为【思路导引】对称轴为，区间是运动的，定轴动区间，分情况讨论，再求出的解析式．【解析】二次函数的对称轴为，当，即时，为函数的递减区间，得；当时，为函数的递增区间，得；当，即时，；所以，令，得，即函数的零点为．【点评】抓住区间端点与对称轴的关系是解题关键，可谓生死一线.【易错分析】分类讨论思想不能自觉运用20．，当时，，它在上单调递增；当时，，它在上单调递增．【思路导引】本题考察截距的概念，通过分类讨论思想去绝对值，再研究函数的单调性【解析】（1）令，则得截距分别为，所以，而，得；（2），当时，，它在上单调递增；当时，，它在上单调递增．【点评】本题把初中数学的一个普通概念截距作为问题解决的突破口，再进一步探究函数的单调性【易错分析】在教学实践中，同学们往往容易忽视基本概念，基础知识，从而导致解题失败21、【思路导引】首先想到赋值法的使用，然后构造单调性的运用。

Cayley滑铁卢数学竞赛(Grade 10)-数学Mathematics-1998-试题 exam

Chartered Accountants SybaseInc. (Waterloo) IBMCanada Ltd.Canadian Institute of ActuariesDo not open the contest booklet until you are told to do so.You may use rulers, compasses and paper for rough work.Calculators are permitted, providing they are non-programmable and without graphic displays.Part A: Each question is worth 5 credits.1.The value of 03012..()+ is(A ) 0.7(B ) 1(C ) 0.1(D ) 0.19(E ) 0.1092.The pie chart shows a percentage breakdown of 1000 votesin a student election. How many votes did Sue receive?(A ) 550(B ) 350(C ) 330(D ) 450(E ) 9353.The expression a a a 9153× is equal to(A ) a 45(B ) a 8(C ) a 18(D ) a 14(E ) a 214.The product of two positive integers p and q is 100. What is the largest possible value of p q +?(A ) 52(B ) 101(C ) 20(D ) 29(E ) 255.In the diagram, ABCD is a rectangle with DC =12. If the area of triangle BDC is 30, what is the perimeter ofrectangle ABCD ?(A ) 34(B ) 44(C ) 30(D ) 29(E ) 606.If x =2 is a solution of the equation qx –311=, the value of q is (A ) 4(B ) 7(C ) 14(D ) –7(E ) –47.In the diagram, AB is parallel to CD . What is the value ofy ?(A ) 75(B ) 40(C ) 35(D ) 55(E ) 508.The vertices of a triangle have coordinates 11,(), 71,() and 53,(). What is the area of this triangle?(A ) 12(B ) 8(C ) 6(D ) 7(E ) 99.The number in an unshaded square is obtained by adding thenumbers connected to it from the row above. (The ‘11’ is one such number.) The value of x must be (A ) 4(B ) 6(C ) 9(D ) 15(E) 10Scoring:There is no penalty for an incorrect answer.Each unanswered question is worth 2 credits, to a maximum of 20 credits.A BCD DAC B10.The sum of the digits of a five-digit positive integer is 2. (A five-digit integer cannot start with zero.)The number of such integers is(A ) 1(B ) 2(C ) 3(D ) 4(E ) 5Part B: Each question is worth 6 credits.11.If x y z ++=25, x y +=19 and y z +=18, then y equals(A ) 13(B ) 17(C ) 12(D ) 6(E ) –612. A regular pentagon with centre C is shown. The value of xis(A ) 144(B ) 150(C ) 120(D ) 108(E ) 7213.If the surface area of a cube is 54, what is its volume?(A ) 36(B ) 9(C ) 8138(D ) 27(E ) 162614.The number of solutions x y ,() of the equation 3100x y +=, where x and y are positive integers, is(A ) 33(B ) 35(C ) 100(D ) 101(E ) 9715.If y –55= and 28x =, then x y + equals(A ) 13(B ) 28(C ) 3316.Rectangle ABCDhas length 9 and width 5. Diagonal is divided into 5 equal parts at W , X , Y , and Z area of the shaded region.(A ) 36(B ) 365(C ) 18(D ) 41065(E ) 2106517.If N p q =()()()+75243 is a perfect cube, where p and q are positive integers, the smallest possible valueof p q + is(A ) 5(B ) 2(C ) 8(D ) 6(E ) 1218.Q is the point of intersection of the diagonals of one face ofa cube whose edges have length 2 units. The length of QRis(A ) 2(B ) 8(C ) 5(D ) 12(E ) 619.Mr. Anderson has more than 25 students in his class. He has more than 2 but fewer than 10 boys andmore than 14 but fewer than 23 girls in his class. How many different class sizes would satisfy these conditions?(A ) 5(B ) 6(C ) 7(D ) 3(E ) 420.Each side of square ABCD is 8. A circle is drawn through A and D so that it is tangent to BC . What is the radius of thiscircle?(A ) 4(B ) 5(C ) 6(D ) 42(E ) 5.25Part C: Each question is worth 8 credits.21.When Betty substitutes x =1 into the expression ax x c 32–+ its value is –5. When she substitutesx =4 the expression has value 52. One value of x that makes the expression equal to zero is(A ) 2(B ) 52(C ) 3(D ) 72(E ) 422. A wheel of radius 8 rolls along the diameter of a semicircleof radius 25 until it bumps into this semicircle. What is thelength of the portion of the diameter that cannot be touchedby the wheel?(A ) 8(B ) 12(C ) 15(D ) 17(E ) 2023.There are four unequal, positive integers a , b , c , and N such that N a b c =++535. It is also true thatN a b c =++454 and N is between 131 and 150. What is the value of a b c ++?(A ) 13(B ) 17(C ) 22(D ) 33(E ) 3624.Three rugs have a combined area of 2002m . By overlapping the rugs to cover a floor area of 1402m ,the area which is covered by exactly two layers of rug is 242m . What area of floor is covered by three layers of rug?(A ) 122m (B ) 182m (C ) 242m (D) 362m (E ) 422m 25.One way to pack a 100 by 100 square with 10000 circles, each of diameter 1, is to put them in 100rows with 100 circles in each row. If the circles are repacked so that the centres of any three tangent circles form an equilateral triangle, what is the maximum number of additional circles that can be packed?(A ) 647(B ) 1442(C ) 1343(D) 1443(E ) 1344。

高级中学高一数学上学期10月月考试题含解析

高级中学(gāojízhōngxué)2021-2021学年高一数学上学期10月月考试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小(yī xiǎo)题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.A=，B=，那么(nà me)A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案(dá àn)】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或者韦恩图处理．2.以下函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为A项是奇函数，故错，C，D两项项是偶函数，但在上是减函数，故上是增函数，应选B．错，只有B项既满足是偶函数，又满足在区间(0,)考点：函数的奇偶性，单调性．3.，且，那么等于( )A. B. C. D.【答案(dá àn)】A 【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】令，即可求出，由即可求出a【详解(xiánɡ jiě)】令256x -=，得，所以，应选A 。

【点睛】此题主要考察赋值法的应用。

4.为奇函数，，，那么等于〔〕A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用()23g -=可算出,再根据即可算得()2f .【详解】由()()9g x f x =+得,故,所以应选：A.【点睛】此题主要考察奇函数的性质.5. 50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的人数是〔〕A. 35B. 25C. 28D. 15 【答案】B【解析(jiě xī)】试题(shìtí)分析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格(jí gé)的人数为x人；由跳远(tiàoyuǎn)及格40人，可得仅跳远及格的人数为40-x人；由铅球及格31人，可得仅铅球及格的人数为31-x人；2项测验成绩均不及格的有4人∴40-x+31-x+x+4=50，∴x=25考点：集合中元素个数的最值6.，，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先将转换为同为2为底的指数，，可以转换为指数一样。

上海市高级中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．集合且，且，则____．{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z A B = 【答案】{0,1,2}【分析】根据题意先求出集合的具体取值，然后利用交集的定义即可求解.,A B 【详解】因为集合且，且，{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z 则，且且，{0,1,2}A =2{|9B x x =≤}{|33x x x ∈=-≤≤Z }x ∈Z 所以，{3,2,1,0,1,2,3}B =---则有，{0,1,2}A B ⋂=故答案为：.{0,1,2}2．已知集合，且，则实数的取值范围为____．{|2},{|}A x x B x x a =≤=≥A B = R a 【答案】2a ≤【分析】数形结合，即可得到答案. 【详解】根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.A B = R a 22a ≤故答案为：.2a ≤3．已知方程的两根为，，则______.230x x +-=1x 2x 12x x -=【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由0∆>12x x +12x x 12x x -=即可求值.【详解】由题设知：，2Δ141(3)130=-⨯⨯-=>∴，，121x x +=-123x x =-∴12x x -===4．已知正实数满足及，则中至少有一128，，， a a a 12820a a a +++= 12812⋅⋅⋅= a a a 128，，， a a a 个小于1，用反证法证明该命题时，第一步是假设结论不成立，则____． 128，，， a a a 【答案】都不小于1【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，写出答案即可.【详解】至少有一个小于1的否定是都不小于1.故答案为：都不小于15．已知条件，，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为:211p k x k -≤≤-:33q x -≤<_________．【答案】(,2]-∞-【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．k 【详解】∴，[)[]3,321,1k k -⊆--∴，解得， 32131k k -≥-⎧⎨≤-⎩2k ≤-故答案为：．(],2-∞-【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q q p （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q p q （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q （4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．p q q p 6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+,,a b c a b c -+=【答案】1-【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；方法二：令可得答案.0x =【详解】法一：，222231(1)(1)(2)x x a x b x c ax b a x a b c --=-+-+=+-+-+所以；1a b c -+=-法二：在中，令得.22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+0x =1a b c -+=-故答案为：1-7．已知集合，，则____． |0,R 1x A x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭{}21,R B y y x x ==+∈A B = 【答案】(1,)+∞【分析】解分式不等式得到，得到，进而求出交集.A {|1}B y y =≥【详解】等价与，解得：或， 01x x ≥-()1010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩1x >0x ≤故或，{|0A x x =≤1}x >又，故，211y x =+≥{|1}B y y =≥所以．(1,)A B ⋂=+∞故答案为：.(1,)+∞8．已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________． ,a ∈R x 2104x x a a ++-+=a 【答案】 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实x 根，那么即，而，从而，解得114()04a a ∆=--+≥1144a a -+≤11244a a a -+≤-11244a -≤． 104a ≤≤ 9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____|3|4x b -<b 【答案】(5,7)【详解】由得 |3|4x b -<4433b b x -+<<由整数有且仅有1，2，3知，解得 40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩57b <<10．定义集合运算，集合，则集合所(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ {}{}0,1,2,3A B ==A B 有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得，进而可得结果.0,6,12=z 【详解】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18故答案为：1811．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若2{|360M m x mx =∈+-=Z }A A M ⊆，则，则所有这样的集合的个数为____．a A ∈a A -∈A 【答案】31【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目2{|360M m x mx =∈+-=Z }M 信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集A M A 合，即可求解.A 【详解】因为的整数解只能是36的约数，2360x mx +-=当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；1-35m =-2-16m =-当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；3-9m =-4-5m =-当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；6-0m =36-35m =当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；18-16m =312-9m =当方程的解为，时，；49-5m =故集合{35,16,9,5,0,5,9,16,35}M =----由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，A A M ⊆a A ∈a A -∈即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，M A A 得这样的集合共有个，52131-=故答案为：.3112．已知集合，其中，，且{}230123|777A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯{}0,1,,6(0,1,2,3)i a i ∈⋅⋅⋅=30a ≠．若正整数m 、n ∈A ，且m+n=2 010(m>n)，则符合条件的正整数m 有_______个．【答案】662【详解】依题意，知m 、n 是七进制中的四位数，而七进制四位数中最大的一个数为，最小的一个数为.3267676762400⨯+⨯+⨯+=317343⨯=因为m+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.故符合条件的正整数m 有1667-1006+1=662(个).二、单选题13．若集合中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）{},,M a b c =A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，{},,M a b c =ABC 则，所以一定不是等腰三角形．a b c ≠≠ABC 故选：D ．14．设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中0123,,},{S A A A A =S :i j k A A A ⊕⊕=k i j +，则满足关系式的的个数为（）,0,1,2,3i j =20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可.S 【详解】当时，0x A =20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，1x A =2112220()()x x A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=当时，2x A =22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，3x A =23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式的的个数为2个，20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈故选：C ．15．已知，则满足关于的方程的充要条件是A ．B ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≤-C ． D ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≤-【答案】C【详解】试题分析：满足关于的方程，则， 0ax b =220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-则处取得函数最小值，函数为二次函数，，所以满足关于0x ()212f x ax bx =-0122b b x a a -∴=-=⨯的方程的充要条件是 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-【解析】充分条件与必要条件点评：若则是的充分条件，是的必要条件p q ⇒p q q p16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 x 2664ax x ax ++--≥a A ．B ．C ．D ．(],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞ 【答案】B 【分析】分类讨论去绝对值求解.【详解】（1）当或时，，x≥x ≤260x ax --≥不等式为，2664ax x ax ++--≥24x ≥若不等式恒成立，必需2664ax x ax ++--≥2112a a ≥≥-⎧⇒⎨≤⎩≤-所以；11a -≤≤（2， x <<260x ax --<不等式为即，26(6)4ax x ax +---≥2280x ax --≤（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，0x =2280x ax--≤a （ⅱ）当时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≥-所以，解得， a ≥1a ≥-（ⅲ时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≤-所以 a ≤1a ≤综上，实数的取值范围是a []1,1-【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.17．已知不等式：①，②，③． |3|2||x x +>22132x x x +≥-+2210x mx +-<(1)分别求出不等式①与②的解集；(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．x m 【答案】(1)，或{|13}A x x =-<<{|01B x x =≤<24}x <≤(2) 173m ≤-【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根据不等式的解集包2210x mx +-<含，结合二次函数的性质即可求解.[0,1)(2,3) 【详解】（1）由①得，即，故解集为， 22|3|4||x x +>23690x x --<{|13}A x x =-<<由②得，即， 224032x x x x -≤-+(4)(1)(2)0(1)(2)0x x x x x x ---≤⎧⎨--≠⎩解得解集或，{|01B x x =≤<24}x <≤（2）或，{|01A B x x =≤< 23}x <<由题意得不等式的解集包含，2210x mx +-<[0,1)(2,3) 令，只需， 2()21f x x mx =+-(0)10(3)18310f f m =-<⎧⎨=+-≤⎩解得． 173m ≤-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下1|1A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{|1}A x x =>{}11A x x =-<列横线中，求解下列问题．设集合__________，集合． {}22|210B x x x a =++-=（1）若集合B 的子集有2个，求实数a 的取值范围；（2）若，求实数a 的取值范围．A B A ⋃=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】（1）依题意集合B 元素个数为1，则，计算可得；0∆=（2）分别求出集合，再由，则，即可得到不等式组，解得即可；A AB A ⋃=B A ⊆【详解】解：（1）∵集合B 的子集有2个，∴集合B 元素个数为1∴2441()0a ∆=--=（2）选①集合 1|1(,0)(1,)A x x ⎧⎫=<=-∞⋃∞⎨⎬⎩⎭集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆显然有1a ≠±要满足条件，必有：，解，即，所以解得或111111a a⎧<⎪⎪--⎨⎪<⎪-+⎩111a <--1101a +>+201a a +>+1a >-2a <-；解，即，所以解得或； 111a <-+1101a +>-01a a >-1a >a<0综上可得()()(),21,01,a ∈-∞-⋃-⋃+∞选②，{|1}A x x =>集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 1111a a ->⎧⎨-->⎩a ∈∅选③解得{}11A x x =-<{}02A x x =<<集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 012012a a <-<⎧⎨<--<⎩a∈∅19．选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：a b c d ,,,a b c d +=+（Ⅰ）若；ab cd>>（Ⅱ是的充要条件．>+a b c d -<-【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【详解】（Ⅰ）因为，，得2a b +=++2c d =++a b c d +=+ab cd >22>（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所a b c d -<-22()()a b c d -<-22()4()4a b ab c d cd +-<+-a b c d +=+以，由（Ⅰ．ab cd >+>（ⅱ，则，即>22>a b ++>c d ++，所以，于是．因此，a b c d +=+ab cd >22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-a b c d -<-是的充要条件．>a b c d -<-【解析】推理证明．20．已知关于的不等式的解集为；x 22(23)(1)10(R)k k x k x k --+++>∈M (1)若,求的取值范围；R M =k (2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞k (3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若k *N n ∈n M ∈Z m -∈m M ∉存在，求出的值，若不存在，说明理由．k 【答案】(1)； 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞(2)；13(3,3k ∈(3)存在，3【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R 时k 的取值范2230k k --=围；（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞x a =x b =的两根，由判别式及韦达定理求解即可；22(23)(1)10k k x k x --+++=（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即M 223k k --可．【详解】（1）解：当时，解得或，2230k k --=3k =1k =-当时，不等式化为1＞0，1k =-∴时，解集为R ，1k =-当时，不等式化为，对任意实数x 不等式不成立，3k =410x +>当时，， R M =()()22223014230k k k k k ⎧-->⎪⎨+---<⎪⎩解得：, 13(,1)(,)3k ∈-∞-⋃+∞综上，的取值范围是； k 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞（2）解：若存在两个不相等负实数，使得， ,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞所以方程的两根分别为和,22(23)(1)10k k x k x --+++=x a =x b =所以，()()222222301423010231023k k k k k k k k k k ⎧-->⎪+--->⎪⎪⎪+⎨-<⎪--⎪⎪>⎪--⎩解得：；13(3,)3k ∈（3）解：根据题意，得出解集，；(,)M t =+∞[1,1)t ∈-当时，解得或， 2230k k --=3k =1k =-时，不等式的解集为，满足条件； 3k =1(,)4-+∞时，1＞0恒成立，不满足条件；1k =-当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k -->(,)t ∞+当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k --<(,)t ∞+综上，满足条件的值为3.k 21．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集{}12,,,(2)k A a a a k =≥ (1,2,,)i a i k ∈=Z A 合：，． {}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． (,)a b S T m n 若对于任意的，总有，则称集合具有性质．a A ∈a A -∉A P （Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合{}0,1,2,3{}1,2,3-P P 和．S T （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明． P A (1)2k k n -≤（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．m n第 11 页共 11 页【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，{}0,1,2,3P {}1,2,3-P (1,3)S =-(3,1)-，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）(2,1)T =-(2,3)m n =【详解】解：集合不具有性质． {}0123，，，P 集合具有性质，其相应的集合和是， {}123-，，P S T {}(13)(31)S =--，，，．{}(21)(23)T =-，，，（II ）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．A ()i j a a ，2k 因为，所以； 0A ∉()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，又因为当时，时，，所以当时，． a A ∈a A -∉a A -∉()i j a a T ∈，()(12)j i a a T i j k ∉= ，，，，，从而，集合中元素的个数最多为， T 21(1)()22k k k k --=即． (1)2k k n -≤（III ）解：，证明如下：m n =（1）对于，根据定义，，，且，从而．()a b S ∈，a A ∈b A ∈a b A +∈()a b b T +∈，如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与()a b ，()c d ，S a c =b d =a b c d +=+b d =中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．()a b b +，()c d d +，T 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，S T m n ≤（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与()a b T ∈，a A ∈b A ∈a b A -∈()a b b S -∈，()a b ，是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不()c d ，T a c =b d =a b c d -=-b d =至少有一个不成立，故与也是的不同元素．()a b b -，()c d d -，S 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，T S n m ≤由（1）（2）可知，．m n =。

北师大版高中数学必修一高一年级10月月考数学试卷.doc

乐平中学高一年级10月月考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合},55|{},52|{<<-=≤<-=x x N x x M 则=N M I （）A. }55|{<<-x xB. }52|{<<-x xC.}55|{≤<-x xD. }52|{≤<-x x2.函数2x x y -=的单调递增区间为（） A.]1,1[- B. ]21,(-∞ C. ]1,21[ D.]21,0[3.已知集合}9,3,2{⊆A 且A 中至少有一个奇数，则这样的集合有（）A. 2个B. 4个C. 5个D.6个4.定义在R 上的函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，当2>x 时，)(x f 单调递增，如果421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值（）A. 恒小于0B. 恒大于0C. 可能为0D.可正可负5.如图，I 为全集，S P M ,,是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A.S P M I I )(B. S P M Y I )(C. S C P M I I I )(D. S C P M I Y I )(6.设函数⎩⎨⎧-=11)(x x f 11<≥x x ，则=)]}2([{f f f （） A. 0 B. 1 C.2 D.27.若函数)(x f 的定义域为]2,0[，则函数)1()1()(--+=x f x f x g 的定义域为（）A.]3,1[-B.]2,0[C. }1{D.]1,1[-8.函数432--=x x y 的定义域为],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（） A. ]4,0( B.]4,23[ C. ]3,23[ D. ),23[+∞ 9.下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

高一数学英文考试卷

高一数学英文考试卷High School Mathematics Exam for Grade 10 - English VersionInstructions:- Answer all questions in English.- Show all your working out in your answer sheet.- Use the back of the page if necessary.Section A: Multiple Choice Questions (20 marks)1. What is the value of $ x $ in the equation $ 3x + 5 =20 $?A) 3B) 4C) 5D) 62. The sum of two numbers is 10. If one number is 4, what is the other number?A) 6B) 5C) 4D) 33. Which of the following is not a quadratic equation?A) $ x^2 + 3x + 2 = 0 $B) $ 2y^2 - 3y + 1 = 0 $C) $ 5z + 7 = 0 $D) $ 4w^2 + 6w + 2 = 0 $4. The graph of the function $ f(x) = x^2 $ is:A) A straight lineB) A parabola opening upwardsC) A parabola opening downwardsD) A hyperbola5. What is the slope of the line represented by the equation $ y = 2x + 3 $?A) 2B) 3C) -2D) -3... (Continue with 15 more multiple choice questions) ...Section B: Short Answer Questions (30 marks)1. Simplify the expression $ \frac{3x^2 - 7x + 2}{x - 1} $ by factoring.2. Solve the system of equations:\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]3. Find the vertex of the parabola given by the equation $ y= -3(x - 2)^2 + 5 $.4. Convert the decimal 0.75 to a fraction in simplest form.5. Determine the equation of the line that passes through the points (2, 3) and (-1, -2).... (Continue with 5 more short answer questions) ...Section C: Long Answer Questions (50 marks)1. A rectangular garden is to be enclosed with a fence. If the length of the garden is 10 meters more than twice its width, and the perimeter is 56 meters, find the dimensions of the garden.2. A company produces two types of widgets. The cost to produce one widget of type A is $3, and the cost to produce one widget of type B is $5. If the company has a budget of $250 to spend on production and they want to produce at least 20 widgets of type A, how many of each type should they produce to minimize costs?3. A ball is thrown vertically upwards with an initial velocity of 20 meters per second. The height $ h $ of the ball after $ t $ seconds can be modeled by the equation$ h(t) = -5t^2 + 20t $. Find the time it takes for the ball to reach its maximum height and what that height is.4. A sequence is defined by the recursive formula $ a_n =4a_{n-1} - 3 $ with the first term $ a_1 = 1 $. Find thefirst 5 terms of the sequence.5. Prove that the square of any odd integer can be expressed as the sum of two consecutive even numbers.... (Continue with 5 more long answer questions) ...Section D: Essay Questions (Bonus - 10 marks)1. Discuss the importance of mathematical literacy in everyday life and how it can be beneficial in various professions.2. Explain how mathematical models are used in predicting natural phenomena, such as weather patterns or population growth.End of ExamPlease ensure you have answered all questions and handed in your completed answer sheet. Good luck!。

成都七中高2026届高一数学十月阶段性测试与答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是成都七中高2026届高一数学十月阶段性测试符合题目要求的．1. 下列集合符号运用不正确的是( )A. ∈Z 2B. ⊆1,2,31,2{}{}C. ，⋂∅=∅12}{D. ⋃=N R R2. 已知全集R =U ，集合∣==∈≥A B x R x {1,2,3,4,5},{2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. {1}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}3. 命题“∀≤x 1，−+≥x x 2102”的否定是（）A. ∀>x 1，−+<x x 2102B. ∃>x 1，−+<x x 2102C. ∀≤x 1，−+<x x 2102D. ∃≤x 1，−+<x x 2102 4. 设集合==−−A a B a {2,},1,22}{，若⋂≠∅A B ，则实数a =（） A. −2 B. −1 C. −1或−2 D. −1或±25. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a b ,，设物体的真实质量为G ，则（） A. =+G a b 2 B. <+G a b 2 C. >+G a b 2D. <G6. 已知a ，∈b R 且¹a b ，命题p ：>a b ，命题q ：+>+a b a b ab 3322，则命题p 是命题q 成立的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要7. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有（）A. 98人B. 106人C. 104人D. 1108. 对∀∈x R ，x ][表示不超过x 的最大整数，如=3.143][，=0.6180][，−=−2.718283][，我们把=y x ][，R ∈x 叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian ）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl FriedriCh Gaussian ）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian ）函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL 电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中．则不等式−+≤x x 412502][][成立的充分不必要条件是（） A. ≤≤x 2215 B. ≤≤x 12C. ≤<x 13D. ≤≤x 13 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 关于命题“N ∃∈+≤a a a ,02”，下列判断正确是（）A. 该命题是全称量词命题B. 该命题是存在量词命题C. 该命题是真命题D. 该命题是假命题10. 若>a 0，>b 0，+=a b 2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（）A ≤ab 1B. ≤C. +≥a b 222D.+≥a b 211 11. 已知不等式++>ax bx c 02的解集为<<x m x n }{，其中>>n m 0，则以下选项正确的有（）A. 0a<B. >b 0C. ++>cx bx a 02的解集为⎩⎭⎨⎬<<⎧⎫nm x x 11 D. ++>cx bx a 02的解集为⎩⎨<⎧nx x 1或⎭⎬>⎫m x 1 12. 定义集合运算−=∈M N x x M {且∉x N }，称为集合M 与集合N 的差集；定义集合运算(M N M N N M ∆=−−))(称为集合M 与集合N 的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是真命题的是（）A. ∆=∆M N N MB. ∆∆=∆∆M N P M N P )()(C. ()()()MN P M N M P ∆=∆ D. ()()()M N P M N M P ∆=∆.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13. 已知集合=+−=−−+M a a P a a a ,1,3,3,21,122}{}{，⋂=−M P 3}{，则a =_________. 14. 已知对一切≤≤x 23，≤≤y 36，不等式−+≥mx xy y 022恒成立，则实数m 的最小值为______．15. 已知+=a b 23（>a 0，>b 0，∈b N ），则+a b 212最小值为______．16. 已知关于x 的不等式组R ⎩+++<∈⎪⎨−⎪<⎧+x a x a a x x 227704022)()(仅有一个整数解，则a 的取值范围为______．四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17 已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＞1}.（1）求集合∁R B ∩A ；（2）设集合M ＝{x |a ＜x ＜a +6}，且A ∪M ＝M ，求实数a 取值范围.18. 已知命题p ：关于x 的方程−+−−=x ax a a 226022有实数根，命题−≤≤+q m a m :13．（1）若命题⌝p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．.19. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm ．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm ，设cm EF x =．（1）当100cm x =时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？20. 已知一元二次不等式2320x x −+>的解集为A ，关于x 的不等式()2220mx m x −++<的解集为B （其中R m ∈）．（1）求集合B ；（2）在①B ⊆∁R A ，②，③A B A ⋃=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的______中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围：若不存在，说明理由．问题：是否存在实数m ，使得______？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．21. 已知,,a b c 均为正实数，且2222a b c ++=.（1）求a b c ++的最大值；（2）求111a b b c c a +++++的最小值.22. 关于的方程2x a x +=（R a ∈）的解集为A （A ≠∅），关于的方程()22x a a x ++=（R a ∈）的解集为B（1）对于集合，，若x M ∀∈，x N ∈，则M N ⊆．求证：A B ⊆（2）若A B =，求实数的取值范围．成都七中高2026届高一数学十月阶段性测试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列集合符号运用不正确的是( )A. ∈Z 2B. ⊆1,2,31,2{}{}C. ，⋂∅=∅12}{D. ⋃=N R R【详解】对于A,【答案】B 【分析】根据集合知识,逐项分析,即可求得答案.由∈Z 2,故A 正确;对于B,因为⊆1,21,2,3{}{},故B 错误;对于C,因为，⋂∅=∅12}{,故C 正确;对于D,因为⋃=N R R ,故D 正确.故选:B.【点睛】解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.2. 已知全集R =U ，集合∣==∈≥A B x R x {1,2,3,4,5},{2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. {1}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}【答案】A 根据图像判断出阴影部分表示()U B ðA ，由此求得正确选项.【详解】根据图像可知，阴影部分表示()U B ðA ，ð=<B x x |2U }{，所以()U B ðA =1}{.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.3. 命题“∀≤x 1，−+≥x x 2102”的否定是（）A. ∀>x 1，−+<x x 2102B. ∃>x 1，−+<x x 2102C. ∀≤x 1，−+<x x 2102D. ∃≤x 1，−+<x x 2102【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题【答案】D 【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解.“∀≤x 1，−+≥x x 2102”的否定是“∃≤x 1，−+<x x 2102”.故选：D.4. 设集合==−−A a B a {2,},1,22}{，若⋂≠∅A B ，则实数a =（） A. −2B. −1C. −1或−2D. −1或±2【详解】【答案】A 【分析】根据给定条件，利用交集的结果结合集合元素的性质求解作答.集合==−−A a B a {2,},1,22}{，则≠a 2，且−≠−a 212，解得≠a 2，且≠±a 1，由⋂≠∅A B ，得−=a 222，或−=a a 22，解−=a 222，得=−a 2或=a 2（舍去）；解−=a a 22，得=−a 1（舍去）或=a 2（舍去），所以=−a 2故选：A5. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a b ,，设物体的真实质量为G ，则（） A. =+G a b 2 B. <+G a b 2 C. >+G a b 2D. <G【答案】C【解析】【分析】根据物理知识可求真实重量为G ，利用基本不等式可得两者之间的大小关系.【详解】解：设天平的左右臂分别为l l 1,2，物体放在左右托盘称得的重量分别为a b ,, 真实重量为G ,所以，由杠杆平衡原理知：⋅=⋅l G l a 12，⋅=⋅l G l b 21,所以，由上式得=G ab 2，即=G ，因为≠l l 12,¹a b ，.所以，由均值不等式>=+G a b 2，故选：C. 6. 已知a ，∈b R 且¹a b ，命题p ：>a b ，命题q ：+>+a b a b ab 3322，则命题p 是命题q 成立的（）条B. 必要不充分D. 既不充分也不必要件A. 充分不必要C. 充分必要【答案】A 【分析】对命题q 进行等价转化为>−a b ，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案.【详解】+>+a b a b ab 3322，即++−+>a b b b b ab a a a 22)()()(，即++−+>a b b b b ab a a a 22)()()(，则命题+>+q a b a b ab :3322等价于−+>a b a b ()()02，因为¹a b ，则−>a b ()02，则+>a b 0，即>−a b ，而>a b ||可以推出>−a b ，反之，举例=−=−a b 2,3，但<a b ||，则反推无法推出，故>a b ||是>−a b 成立的充分不必要条件，故选：A.7. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有（）B. 106人C. 104人D. 110【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数A. 98人【答案】B .【详解】由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：++−−−+=11625748142106，故选：B.8. 对∀∈x R ，x ][表示不超过x 的最大整数，如=3.143][，=0.6180][，−=−2.718283][，我们把=y x ][，R ∈x 叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian ）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl FriedriCh Gaussian ）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian ）函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL 电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中．则不等式−+≤x x 412502][][成立的充分不必要条件是（） A. ≤≤x 2215 B. ≤≤x 12C. ≤<x 13D. ≤≤x 13【答案】B 【分析】解不等式得到≤≤x 2215][，确定≤<x 13，对比选项得到答案. 【详解】−+≤x x 412502][][，则≤≤x 2215][，故=x 1][或=x 2][，≤<x 13，对比选项知：≤<x 13成立的一个充分必要条件是≤≤x 12，其他选项不满足.故选：B.二、多项选择题：本题共45分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 关于命题“N ∃∈+≤a a a ,02”，下列判断正确的是（）B. 该命题是存在量词命题D. 该命题是假命题【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB ，再由命题真假判断A. 该命题是全称量词命题C. 该命题是真命题【答案】BC CD.【详解】,0a a a ∃∈+≤N 2是存在量词命题，∴A 选项错误B 选项正确；0a =时，+≤a a 02成立，∴命题为真命题，即C 正确D 错误.故选：BC10. 若>a 0，>b 0，+=a b 2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（）A. ≤ab 1B. ≤C. +≥a b 222D. +≥a b 211【答案】ACD 【分析】分别根据基本不等式即可求出．【详解】≤=+ab a b 2()12，当且仅当==a b 1时取等号，故A 成立；≤，则++≤a b 2≤0，与已知矛盾，故B 不成立；+=+−≥−⨯=−=+a b a b ab a b 2()242()4222222，当且仅当==a b 1时取等号，故C 成立； +==+a b ab aba b 112，由A 可得+=≥a b ab 2112，当且仅当==a b 1时取等号，故D 成立. 故选：ACD ．11. 已知不等式++>ax bx c 02的解集为<<x m x n }{，其中>>n m 0，则以下选项正确的有（）A. 0a<B. >b 0C. ++>cx bx a 02的解集为⎩⎭⎨⎬<<⎧⎫nm x x 11 D. ++>cx bx a 02的解集为⎩⎨<⎧nx x 1或⎭⎬>⎫m x 1【答案】ABC 【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案.【详解】不等式++>ax bx c 02的解集为<<x m x n }{，∴a <0，故A 正确；n m >>0，令=++f x ax bx c 2)(，∴−>ab 20，即>b 0，故B 正确；由上所述，易知<f 00)(，<c 0，由题意可得m n ,为一元二次方程++=ax bx c 02，则+=−am n b ，=a mn c ，则⋅=n m c a 11，+==−+n m mn c m n b 11，即n m,11为方程++=cx bx a 02的解，则可知不等式++>cx bx a 02的解集为⎩⎭⎨⎬<<⎧⎫n m x x 11，故C 正确，D 错误. 故选：ABC.12. 定义集合运算−=∈M N x x M {且∉x N }，称为集合M 与集合N 的差集；定义集合运算(M N M N N M ∆=−−))(称为集合M 与集合N 的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是真命题的是（）A. ∆=∆M N N MB. ∆∆=∆∆M N P M N P )()(C. ()()()M N P M N M P ∆=∆D. ()()()MN P MN MP ∆=∆∆=∆M N N M ；BCD 选项，通过韦恩图进行推理求解【答案】ABC 【分析】A 选项，通过题意得到. 【详解】A 选项，由题意得)M N M N ð−=M (，)N M MN ð−=N (，故)()M NM N MN MN 痧∆=(，)()N MN M M N MN 痧∆=(，A 正确；B 选项，由题意，∆M N 表示的运算为集合M 与N 的并集中去掉M 与N 的交集部分，不妨设M N P ,,均有交集，如图所示，故∆M N 表示①②⑥⑦部分的并集，∆∆M N P )(表示①②⑥⑦与③④⑥⑦的并集去掉两者的交集，即∆∆M N P )(表示①②③④部分的并集，∆N P 表示②③⑤⑥部分的并集，∆∆M N P )(表示②③⑤⑥与①④⑤⑥的并集去掉两者的交集，即∆∆M N P )(表示①②③④部分的并集，故∆∆=∆∆M N P M N P )()(，B 正确； C 选项，通过推理()()(),MN P M N M P ∆∆均表示⑤⑥部分的并集，C 正确；D 选项，通过推理得到()MN P ∆表示①②③④⑤⑥部分的并集，⋃M N 表示①②④⑤⑥⑦部分的并集，⋃M P 表示①③④⑤⑥⑦部分的并集，)()M N M P ∆(表示①②④⑤⑥⑦与①③④⑤⑥⑦的并集去掉两者的交集，即②③部分的并集，D 错误. 故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13. 已知集合=+−=−−+M a a P a a a ,1,3,3,21,122}{}{，⋂=−M P 3}{，则a =_________.【答案】−1=−a 【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出1符合题意. 【详解】因为⋂=−M P 3}{，所以−∈P 3，易知+≠−a 132，当−=−a 33时，=a 0，此时=−M 0,1,3}{，=−−P 3,1,1}{，不合题意舍去；当−=−a 213时，=−a 1，此时=−M 1,0,3}{，=−−P 4,3,2}{，满足题意，所以=−a 1. 故答案为：−114. 已知对一切≤≤x 23，≤≤y 36，不等式−+≥mx xy y 022恒成立，则实数m 的最小值为______．【答案】0【分析】令=∈x t y 1,3][，则原题意等价于对一切∈t [1,3]，≥−m t t 2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【详解】因为≤≤x 23，≤≤y 36，则⎣⎦⎢⎥∈⎡⎤x 32,111，所以，∈xy1,3][，又不等式−+≥mx xy y 022恒成立，且≤≤x 23，可得⎝⎭⎪≥−⎛⎫x x m y y 2，令=∈xt y1,3][，则原题意等价于对一切∈t [1,3]，≥−m t t 2恒成立，因为=−y t t 2，当=t 1时，=−=y 110max 2，故实数m 的取值范围是≥m 0.15. 已知+=a b 23（>a 0，>b 0，∈b N ），则+a b212的最小值为______．【答案】2>a 【分析】0，>b 0，∈b N ，所以=b 1或=b 2，分类讨论.【详解】因为>a 0，>b 0，∈b N ，所以=b 1或=b 2，当=b 1，=a 1，故+=+=a b 22221215，当=b 2，=a 21，故+=+=a b 2112121， +a b212的最小值为2. 故答案为：216. 已知关于x 的不等式组R ⎩+++<∈⎪⎨−⎪<⎧+x a x a a x x 227704022)()(仅有一个整数解，则a 的取值范围为______．【答案】−⋃5,34,5]()[【分析】求出第一个不等式的解，讨论a 的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组织含有一个整数得出第二个不等式的端点的范围，从而求得a 的范围.【详解】由不等式xx −<+402，即+−>x x 240)()(，解得−x <2或>x 4，解方程x a x a x x a +++=++=22772702)()()(，解得=-x 271或=−x a 2，1.若a −=−27，即=a 27时，不等式x a x a +++<227702)(解集为∅，不合题意；2.若a −<−27，即>a 27时，不等式x a x a +++<227702)(的解集为a ⎝⎭ ⎪−−⎛⎫2,7，若不等式组只有1个整数解，则a −≤−<−54，解得<≤a 45； 3.若a −>−27，即<a 27时，不等式x a x a +++<227702)(的解集为a ⎝⎭⎪−−⎛⎫2,7，若不等式组只有1个整数解，则−≤<−a 35，解得<−≤a 53；综上可得，实数a 的取值范围是[5,3)(4,5]−.故答案为：−⋃5,34,5]()[四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＞1}. （1）求集合ð⋂B A R ；（2）设集合M ＝{x |a ＜x ＜a +6}，且A ∪M ＝M ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{x |﹣2≤x ≤1} （2）−<<−a a 42}{（2【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；）根据＝⋃A M M 可得出⊆A M ，然后即可得出＞⎩+⎨⎧<−a a 622，然后解出的范围即可．【小问1详解】＞＝B x x 1{|}，则ð＝≤B x x |1R }{，又＝≤−≤A x x |2{2}，则ð＝≤−⋂≤x B A x 21{|}R ；【小问2详解】∵＝⋃A M M ，∴⊆A M ，且＜＜＝+M x a x a {|6}， ∴＞⎩+⎨⎧<−a a 622，解得-＜＜−a 42，∴实数的取值范围为:−<<−a a 42}{18. 已知命题p ：关于的方程−+−−=x ax a a 226022有实数根，命题−≤≤+q m a m :13．（1）若命题⌝p 是真命题，求实数的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）−∞−⋃+∞(,2)(3,) （2）−≤≤m 10【分析】（1）依题意命题p 是假命题，即可得到<0Δ，从而求出参数的取值范围；（2）记≤≤=−a A a |23}{，=−≤≤+B a m a m |13}{，依题意可得B A ，即可得到不等式组，解得即可.【小问1详解】解：因为命题⌝p 是真命题，所以命题p 是假命题．所以方程−+−−=x ax a a 226022无实根，所以=−−−−=−++<a a a a a (2)4(26)44240Δ222．即−−>a a 602，即−+>a a 320)()(，解得>a 3或<−a 2，所以实数a 的取值范围是−∞−⋃+∞(,2)(3,)．【小问2详解】解：由（1）可知p ：−≤≤a 23，记≤≤=−a A a |23}{，=−≤≤+B a m a m |13}{，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以⎩+≤⎨⎧−≥−m m 3312（等号不同时取得），解得−≤≤m 10，所以实数的取值范围是−≤≤m 10．19. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且=GH EF 2），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为36000cm 2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm ，设=EF x cm ．（1）当=x 100cm 时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？【答案】（1）cm 49000;2（2）选择长宽分别为cm cm 350,140的海报纸.=x 【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入100cm ，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案. 【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为ycm ,所以阴影部分的面积：=⨯==S xy xy 263360001，所以=xy 12000,即：==x cm y cm 100,120，由图像知：=+==+=AD y cm AB x cm 20140,350350，∴=⨯=S cm ABCD 14035049000.2)(【小问2详解】由（1）知：=>>xy x y 12000,0,0,=++=+++≥++S x y xy x y xy ABCD 3502036050100031000)()(=49000，当且仅当=x y 65,即==x cm y cm 100,120，即==AB cm AD cm 350,140等号成立. 综上，选择长宽分别为cm cm 350,140的海报纸.20. 已知一元二次不等式−+>x x 3202的解集为A ，关于x 的不等式−++<mx m x 2202)(的解集为B （其中∈m R ）．（1）求集合B ；（2）在①ð⊆A B R ，②，③⋃=A B A ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的______中，若【分析】（1问题中的实数m 存在，求m 的取值范围：若不存在，说明理由．问题：是否存在实数m ，使得______？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析）由−++<mx m x 2202)(，得−−<mx x 210)()(，从而根据m 的范围，分类讨论，解一元二次不等式即可；（2）由（1）或=A x x x 12}{，若选择①ð⊆A B R ，则ð|=≤≤A x x 12R }{，从而列式求得m 的取值范围；若选择②，，根据m ⋃=A B A ，则⊆B A ，由此可求出m 的取值范围．【小问1详解】解：由−++<mx m x 2202)(，即−−<mx x 210)()(．①=m 0时，>x 1； ②<m 0时，>x 1或<mx 2； ③<<m 02时，<<mx 12； ④=m 2时，不等式无解； ⑤>m 2时，<<mx 12．综上所述：当=m 0时，=>B x x 1}{；当<m 0时，或⎩⎭⎨⎬=><⎧⎫m B x x x |12；当<<m 02时，⎩⎭⎨⎬=<<⎧⎫m B x x |12；当=m 2时，=∅B ；当m>2时，⎩⎭⎨⎬=<<⎧⎫m B x x |12．【小问2详解】由（1）或=A x x x 12}{，若选择①ð⊆A B R ，则ð|=≤≤A x x 12R }{，由（1）可知：只有当<<m 02，⎩⎭⎨⎬=<<⎧⎫m B x x |12，则有≤m 22，所以≤<m 12；另外，当=m 2时，=∅B 也成立，所以选择①，则实数m 的取值范围是≤≤m 12；若选择②，，由（1）可知：当=m 0，<m 0，>m 2时，都能符合条件；当<<m 02，⎩⎭⎨⎬=<<⎧⎫m B x x |12，则有>m22，所以<<m 01 所以选择②，则实数m 的取值范围是<m 1或>m 2；若选择③，⋃=A B A ，则⊆B A ，由（1）可知：只有当m>2时，⎩⎭⎨⎬=<<⊆⎧⎫m B x x A |12成立；另外，当=m 2时，=∅B 也成立所以选择③，则实数m 的取值范围是≥m 2． 21. 已知a b c ,,均为正实数，且++=a b c 2222. （1）求++a b c 的最大值；（2）求+++++a b b c c a111的最小值.【答案】（1（2）4【解析】【分析】（1）由++=+++++a b c a b c ab bc ca ()2222222，结合基本不等式即可求解；（2）令=+m a b ，=+n b c ，=+p c a ，由⎝⎭⎪++++⎛⎫m n p m n p ( ) 111展开，利用基本不等式得⎝⎭⎪++++≥⎛⎫m n p m n p ()9111，又由（1）知≤++=++m n p a b c 2()，代入求解即可【小问1详解】∵++=+++++a b c a b c ab bc ca ()2222222，又≤+ab a b 222，≤+bc b c 222，≤+ca c a 222， ∴++≤++=a b c a b c()362222)(，∴++≤a b c ===a b c 时，等号成立，即++a b c . 【小问2详解】令=+m a b ，=+n b c ，=+p c a ，则⎝⎭⎪++++=++++++⎛⎫m n p m m n n p p m n p n p m p m n( ) 3111，∵+≥m nn m2，+m p m p ≥2，+n p n p ≥2，∴⎝⎭⎪++++≥⎛⎫m n p m n p ()9111，当且仅当==m n p ，即==a b c 时，等号成立，由（1）知≤++=++m n p a b c 2()，∴⎝⎭⎭⎪⎪++++≤++⎛⎫⎫m n p m n p m n p ()111111，∴⎭⎪++≥⎫m n p 9111，∴++≥m n p 4111，即+++++a b b c c a 111，当且仅当===a b c 3时，等号成立，故+++++a b b c c a111最小值为4. 22. 关于的方程+=x a x 2（∈a R ）的解集为A （≠∅A ），关于的方程++=x a a x 22)(（∈a R ）的解集为B（1）对于集合，，若∀∈x M ，∈N x ，则⊆M N ．求证：⊆A B（2）若=A B ，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）−≤≤a 4431【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可；（2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 小问1详解】设∈x A 0，∴+=x a x 002，将x 0带入方程++=x a a x 22)(等式成立．∴x 0是方程++=x aa x 22)(的解，∴∈x B 0，∴⊆A B ；【小问2详解】 ∵≠∅A ，∴−+=x x a 02有实根，∴∆=−≥a 140，∴≤a 41， ∵集合B 为方程++=x a a x 22)(即+−++=x ax x a a 20422的根的集合，由（1）的结论⊆A B且集合A 为方程−+=x x a 02根的集合，∴因式+−++x ax x a a 2422分解后必定含有因式−+x x a 2，由多项式的除法：+−++=−++++x ax x a a x x a xx a 2142222)()(，∵=A B ，∴+++=x x a 102无实根或其根为方程−+=x x a 02的根，当+++=x x a 102无实根时，=−+<a 1410Δ)(，解得>−a 43，当+++=x x a 102的根为方程−+=x x a 02的根时，①当+++=x x a 102有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与−+=x x a 02的根相同； ②当+++=x x a 102有两相等实根时，即∆=−+=a 1410)(即=−a 43时，方程的根为=−x 21，此根刚好是−+=x x a 02的根，满足条件．综上：故a 的取值范围是−≤≤a 4431. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据集合相等的定义判断出+++=x x a 102无实根或其根为方程−+=x x a 02的根.。

2021年高一上学期数学周练10 Word版含答案

2021年高一上学期数学周练10 Word 版含答案班级姓名学号得分一、填空题：（每小题5分）1、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，则＝________． 2、已知函数的图像过点，则．3、设a ，b ，c 都是不等于1的正数，且ab ≠1，则．（填＞、＝、＜）4、若函数的图像经过第一、二、三象限，则实数m 的取值范围是．5、已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 6、函数的递增区间是．7、函数的定义域是_____________．8、若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数m 的取值范围为．9、函数的单调增区间是__________________．10、某车站有快、慢两种车，始发站距终点站km ，慢车到终点站需，快车比慢车晚发车，且行驶后到达终点站．则两车相遇时距始发站 km ．11、函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为___________________．12、函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为 .13、设，且，从A 到Z 的两个函数和．若对于A 中的任意一个x ，都有，则满足条件的集合A 有个．14、已知函数，函数．若函数恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为．二、解答题：15、函数的部分图象如图所示．(1)写出的最小正周期及图中的值；(2)在在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16、若的最小值为，（1）求的表达式；（2）求使的的值，并求当取此值时的最大值．17、小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾xx 条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元／天（只要围巾没有售完，均须支付200元／天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润＝总毛利润－总管理、仓储等费用）？18、已知函数．（1）若的定义域和值域均为，求实数a的值；（2）若函数在区间上是减函数，且对任意的，，总有成立，求实数a的取值范围；（3）若函数在区间上有零点，求实数a的取值范围．19、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知函数（n＞1）的图像上的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，垂足分别为，（b＞a＞1），线段BN，AM分别与函数（m＞n＞1）的图像交于点C，D，且AC与x轴平行．（1）当a＝2，b＝4，n＝3时，求四边形ABCD的面积；（2）当时，直线BD经过点，求实数a的值；（3）已知，，若，为区间内任意两个变量，且；求证：．20、已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．（1）若a、且a≠0，证明：函数必有局部对称点；（2）若函数在定义域内有局部对称点，求实数c的取值范围；（3）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．江苏省泰兴中学高一数学周末作业（10）答案一、填空题：1、tan α＝342、－53、＝4、5、π66、7、⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3 8、－4＜m ＜－2 9、 10、3.6 11、 12、 13、314、二、解答题：15、解析：(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝7π6，y0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f(x)取得最小值－3.16、解：（1）（2），最大值为5.17、设t ＝kx ＋b ，∴，解得k ＝－2，b ＝70，∴t ＝70－2x ．（1） ()()()21010702290700y x t x x x x =-⋅=--=-+-当时，即围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．（2）设售价x （元）时总利润为z （元），∴()()100200025352000251000035x x ⎡⎡⎤=⋅--+⋅-=⎢⎢⎥-⎣⎦⎣≤元．当时，即x ＝25时，取得等号．故小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高．18、（1）对称轴为x ＝a ，所以时，为减函数；∴∴a ＝2（2）因为在上为减函数，所以对称轴x ＝a ≥2，所以a ≥2；而，所以，；；则对任意，()()()()()221212114f x f x f a f a a a --=-+=-≤≤ ∴－1≤a ≤3又a ≥2∴2≤a ≤3（3）∵在上有零点∴在上有实数解∴在上有实数解∴19、（1）由题意得，，；因为AC 与x 轴平行所以所以m ＝9∴；则999log 2log 42log 822ABCD AD BC S MN ++=⨯=⨯= （2）由题意得，，；∵AC 与x 轴平行∴∵，∴∵直线BD 经过点∴即∴a ＝3（3）证明：因为，且所以又因为，所以，又因为所以所以所以即20、（1）由得代入得，，得到关于x 的方程（），其中，由于且，所以恒成立所以函数（）必有局部对称点（2）方程在区间上有解，于是设（），，其中所以（3），由于，所以()1212423423x x x x m m m m --++-⋅+-=--⋅+-于是（*）在R 上有解令（），则，所以方程（*）变为在区间内有解，需满足条件：即，化简得31032 7938 礸LJMb25758 649E 撞25843 64F3 擳28522 6F6A 潪31116 798C 禌37814 93B6 鎶20038 4E46 乆32818 8032 耲36474 8E7A 蹺€。

2024-2025学年上海市徐汇区高一上学期10月阶段练习数学检测试卷(含解析)

（考试时间100分钟，总分100分）一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 用列举法写出所有小于13的素数组成的集合2024-2025学年上海市徐汇区高一上学期10月阶段练习数学检测试卷__________.【答案】{}2,3,5,7,11【解析】【分析】找出所有小于13的素数，即可用列举法表示集合.【详解】小于13的素数有2,3,5,7,11，所以所有小于13的素数组成的集合为{}2,3,5,7,11.故答案为：{}2,3,5,7,112. 已知{}240,2,a a∈，则实数a =___________.【答案】2-【解析】【分析】讨论24a =、24a =，结合集合的性质求参数a 即可.【详解】由题设，当24a =时2a =，则24a =，此时22a a =，不符合互异性；当24a =时2a =±，由上2a =不符合，而2a =-时24a =-，此时集合为{0,4,4}-.综上，2a =-.故答案为：2-3.集合{{}2,A x y B y y x ====，则A B = ____________.【答案】{0x x ≥或}1x ≤-【解析】【分析】先分别求出集合,A B ，再根据并集定义即可得解.【详解】{{}{2101A x y x x x x ===-≥=≥或}1x ≤-，{}{}20B y y x y y ===≥，所以{0A B x x ⋃=≥或}1x ≤-.的故答案为：{0x x ≥或}1x ≤-.4. 不等式2111x x -≥-+的解集为______．【答案】()[),10,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由分式不等式的解法求解即可.【详解】由2111x x -≥-+可得：21101x x -+≥+，即211011x x x x x -++=≥++，所以()1010x x x ⎧+≥⎨+≠⎩，解得：0x ≥或1x <-.故答案为：()[),10,-∞-⋃+∞.5. 已知集合A 中元素x 满足2x ＋a>0，a ∈R.若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________．【答案】42a -<≤-【解析】【分析】根据已知条件列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】因为1∉A ，2∈A ，所以210220a a ⨯+≤⎧⎨⨯+>⎩，即42a -<≤-.故答案为：42a -<≤-6. 用反证法证明命题“若2x y +>，则1x >或1y >”的过程中，应当作出的假设是______________．【答案】1x ≤且1y ≤【解析】【分析】根据反证法的基本思想求解即可.【详解】用反证法证明命题“若2x y +>，则1x >或1y >”，应假设1x ≤且1y ≤.故答案为：1x ≤且1y ≤.7. 若11x y -<<<，则x y -的取值范围是__________．【答案】()20-，【解析】【分析】根据已知条件利用不等式乘法和加法性质计算得结论．【详解】因为11x y -<<<，所以1<<11<<1<x y x y --⎧⎪⎨⎪⎩，则1<<11<<1<0x y x y ----⎧⎪⎨⎪⎩，得20x y -<-<，因此x y -的取值范围是()20-，，故答案为：()20-，．8. 若不等式22230kx kx +-<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是____________.【答案】60k -<≤【解析】【分析】分情况讨论，当0k =时，满足题意；当0k ≠时，只需要满足()20Δ4830k k k <⎧⎨=-⨯-<⎩解不等式组即可.【详解】不等式22230kx kx +-<对一切实数x 都成立，当0k =时，30-<对一切实数x 都成立，满足题意；当0k ≠时，只需要满足()20Δ4830k k k <⎧⎨=-⨯-<⎩解得60k -<<综上结果为：60k -<≤.故答案为： 60k -<≤9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{1x x <-或2}x >，则不等式20bx ax c +-≤的解集是________．【答案】{}1|2x x -≤≤【解析】【分析】依题意可得1-、2为关于x 的方程20ax bx c ++=的两根且0a <，利用韦达定理，即可得到=-b a ，2c a =-，再代入目标不等式，解得即可.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{1x x <-或2}x >，所以1-、2为关于x 的方程20ax bx c ++=的两根且0a <，所以12120b a c a a ⎧-+=-⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，则=-b a ，2c a =-，所以不等式20bx ax c +-≤，即220ax ax a -++≤，即220x x --≤，解得12x -≤≤，所以不等式20bx ax c +-≤的解集是{}1|2x x -≤≤.故答案为：{}1|2x x -≤≤10. 已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是___________.【答案】14m >【解析】【分析】α是β的必要条件，即B A ⊆，分31m m ->-，31m m -≤-两种情况讨论分析，即得解【详解】设{|31A x x m =<-或}x m >-，{|2B x x =<或4}x ≥若α是β的必要条件，则B A⊆（1）当31m m ->-时，即14m >，此时A R =，B A ⊆成立；（2）当31m m -≤-时，即14m ≤，若B A ⊆，此时3124m m -≥⎧⎨-<⎩，无解.综上：14m >故答案为：14m >11. 已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________【答案】2或32【解析】【分析】先求得方程的解为123,1,1x a x x a ===-，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解.【详解】由方程2()(1)0x a x ax a --+-=，可得化为()(1)[(1)]0x a x x a ----=，解得123,1,1x a x x a ===-，当1a =时，此时{1,0}M =，可得103+≠，不符合题意，舍去；当11a -=时，即2a =时，可得{2,1}M =，此时213+=，符合题意；当1a ≠且2a ≠时，可得113a a ++-=，解得32a =，符合题意，所以实数a 的值为2或32.故答案为：2或32.12. 若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．【答案】2549,916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【详解】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax 2等价于2(4)410a x x -+-+<，其中40a ∆=>且有40a ->，故有04a <<x <<，所以1142<<解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374≥≤，解得2549916a ≤≤.考点：含参数的一元二次方程的解法.二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13. 如图表示图形阴影部分的是（）A. ()()A CBC B. ()()A B A C C. ()()A B B C D. ()A B C⋃⋂【答案】B【解析】【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B 的元素且C 的元素，或是A 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案．【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A 中的元素，或者是B 与C 的公共元素故可以表示为()A B C ，也可以表示为：()()A B A C .故选：B ．14. 已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（）A. 若,a b c d >>，则a d b c+>+ B. 若,a b c d >>，则ac bd >C. 若,0a b c d >>>，则a b d c > D. 若0,0ab bc ad >->，则c d a b >【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质结合反例说明选项A 、B 、C 错误，利用作差法说明选项D 正确.【详解】A.令4,3,2,1a b c d ====，则a d b c +=+，选项A 错误.B.令7,3,1,2a b c d ===-=-，则7,6ac bd =-=-，ac bd <，选项B 错误.C. a b ac bd d c cd--=.由0c d >>得0cd >.令1,2,7,3a b c d =-=-==，则7(6)10ac bd -=---=-<，此时0ac bd cd -<，即0a b d c -<，a b d c<，选项C 错误.D. c d bc ad a b ab --=.由0,0ab bc ad >->得，0bc ad ab ->，即0c d a b ->，c d a b>，选项D 正确.故选：D.15. 对于x ∀∈R ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，例如：[]π3=，[]2.13-=-，则“[][]x y >”是“x y >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解.【详解】当x y >时，如 3.2x =， 3.1y =，不能得到[][]x y >，由[][]x y >，则[][]x y y >≥，又[]x x ≥，所以一定能得到x y >，所以“[][]x y >”是“x y >”成立的充分不必要条件.故选：A .16. 对于集合{}()12,,,Z,3n A a a a n n =∈≥ ，A 中每个元素均为正整数，如果去掉A 中任意一个元素()11,2,,a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合()1,2,,i A i n = ，并且i A 都能分成两个集合B 和C ，满足,i B C B C A =∅= ，且B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.以下命题中，①{}1,2,3不是“可分集合”；②三元集{}123,,a a a 可能是“可分集合”；③{}1,2,3,4是“可分集合”；④四元集{}1234,,,a a a a 可能是“可分集合”；⑤五元集{}12345,,,,a a a a a 一定不是“可分集合”.真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用集合“可分集合”的定义，结合,i B C B C A =∅= ，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，集合{}1,2,3，当去掉元素1时，剩余元素组成的集合为{}2,3，此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{}1,2,3不是“可分集合”，所以①正确；对于②，对于三元集{}123,,a a a ，若去掉元素3a ，剩余的元素组成的集合为{}12,a a ，把集合{}12,a a 分成两个非空集合，可得集合{}1a ，{}2a ，根据集合元素的互异性，可得12a a ≠，所以分成两个的集合的元素之和不相等，所以三元集{}123,,a a a 可能“可分集合”，所以②不正确；对于③中，集合{}1,2,3,4，若去掉元素3，剩余元素组成集合{}1,2,4，此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{}1,2,3,4不是“可分集合”，所以③不正确；对于④中，若四元集{}1234,,,a a a a 是“可分集合”，不妨设1234a a a a <<<，若去掉1a ，则234a a a +=；若去掉2a ，则134a a a +=，所以12a a =，显然与12a a <矛盾，所以集合{}1234,,,a a a a 不可能是“可分集合”；对于⑤中，假设五元集{}12345,,,,a a a a a 是“可分集合”，不妨设123450a a a a a <<<<<，则必能将集合{}1245,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等，所以1534a a a a +=+或1345a a a a ++=，也必能将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等，所以有2534a a a a +=+或2345a a a a ++=，由1534a a a a +=+和2534a a a a +=+，可得12a a =，矛盾；由1534a a a a +=+和2345a a a a ++=，可得12a a =-，矛盾；由1345a a a a ++=和2534a a a a +=+，可得12a a =-，矛盾；由1345a a a a ++=和2345a a a a ++=，可得12a a =，矛盾，是所以假设不成立，所以五元集{}12345,,,,a a a a a 一定不是“可分集合”，所以⑤正确.综上可得，只有①⑤正确.故选：B.【点睛】方法点拨：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 求关于x 的不等式的解集：()21210m x mx m +-+-≥.【答案】答案见解析【解析】【分析】将不等式变形为()()(1)110x m x m -+--≥⎡⎤⎣⎦，然后根据12111m m m -=-++与1的关系进行分类讨论，求解即可．【详解】不等式()21210m x mx m +-+-≥，即()()(1)110x m x m -+--≥⎡⎤⎣⎦，当1m =-时，不等式为220x -≥，解得1x ≥，则不等式的解集[)1,+∞；当1m >-时，不等式变形为1(1)01m x x m -⎛⎫--≥ ⎪+⎝⎭，由于121111m m m -=-<++，解得1x ≥或11x m m ≤-+，故此时不等式的解集为[)1,1,1m m ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎦-+⎝；当1m <-时，不等式变形为1(1)01m x x m -⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭，由于121111m m m -=->++，解得111x m m ≤≤-+，故此时不等式的解集为11,1m m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．综上所述，当1m =-时，不等式的解集为[)1,+∞；当1m >-时，不等式的解集为[)1,1,1m m ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎦-+⎝；当1m <-时，不等式的解集为11,1m m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．18. 某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A 的年产销量减少10p 万件，同时将商品A 的销售金额的%p 作为新产品开发费（即每销售100元提出p 元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数p 的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发）【答案】26p ≤≤【解析】【分析】由题可得关于p 的不等式，解一元二次不等式即可得答案.【详解】由题，商品的年销量为()800000100000p -件，又每件售价80元，则()80000010000080%9600000p p -⋅⋅≥，即()80108096100p p -≥，所以()8896p p -≥，所以28120p p -+≤，解得26p ≤≤.19. 已知集合{}{}280,,10,A x x x m m B x ax a =-+=∈=-=∈R R ，且A B A = ．（1）若12m =，求实数a 组成的集合．（2）若全集为A ，{3}B =，求m ，a 的值．【答案】（1）110,,62⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）115,5m a ==【解析】【分析】（1）12m =，可得{}2,6A =，由A B A = 得B A ⊆，对B 分类讨论即可求；（2）由全集为A ，{3}B =，即{3}A B =ð得3,3A B ∈∉，代入280x x m -+=可得m ，{}3,5A =，即5∈B ，代入10ax -=可得a【小问1详解】12m =，{}{}281202,6A x x x =-+==，由A B A = 得B A ⊆，当B =∅，则0a =；当{}2B =，则12a =；当{}6B =，则16a =.综上可得实数a 组成的集合为110,,62⎧⎫⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】由全集为A ，{3}B =，即{3}A B =ð得3,3A B ∈∉，∴2383015m m -⨯+=⇒=，∴{}{}281503,5A x x x =-+==，∴155105B a a ∈⇒-=⇒=.综上，115,5m a ==20. （1）已知关于x 和y 的方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）.当1k =时，求该方程组的解集；（2）记关于x 和y 方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）的两组不同的解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，判断()121232y y y y +-是否为定值.若为定值，求出该值；若不是定值，说明理由；（3）已知12x x 、是关于x 的一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根.若满足12212Z x x x x +-∈，求整数k 的值.【答案】（1）10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）是定值，定值为4；（3）2-或3-或5-.【解析】【分析】（1）消去y 求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解；（2）消去y 整理得()222210k x kx ++-=，利用韦达定理得到12x x +，21x x ，即可求出12y y +、12y y ，从而得解；（3）首先可根据已知条件得出0k <，然后根据韦达定理得出1214k x x k +=、12414k x x k-+=-=，可将12212Z x x x x +-∈转化为4Z 1k -∈+，再根据k 为整数以及0k <即可得出结果.的【详解】（1）当1k =时22221x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得23210x x +-=，解得1x =-或13x =，当1x =-时，0y =，当13x =时，43y =，因此，方程组的解为10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（2）关于x 和y 的方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）的两组不同的解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，消去y 整理得()222210k x kx ++-=，显然220k +≠，且2880k ∆=+>，其两根为12x x 、，由韦达定理得12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，所以()12122422y y k x x k +=++=+，()2212121222212k y y k x x k x x k -+=+++=+，所以()2121222124432422k y y y y k k -++-=-=++，因此，()121232y y y y +-是定值，且定值为4.（3）因为1x 、2x 是关于x 的一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根，所以()()2044410k k k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯+≥⎪⎩，解得0k <，1214k x x k +=，12414k x x k-+=-=，则()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，因为12212Z x x x x +-∈，所以4Z 1k -∈+，因为k 为整数，所以11k +=±、2±、4±，因为0k <，所以整数k 的值为2-或3-或5-.21. 已知集合{}()12,,2,k A a a a k k N =≥∈ ，其中()Z 1,2,i a i k ∈= ，且满足：对任意的x A ∈，有x A -∉，则称集合A 具有性质G .由A 中元素可构成两个点集P 和Q ：和集(){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈，差集(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈，其中P 中有m 个元素，Q 中有n 个元素.（1）已知集合{}0,1,2,3J =，集合{}1,2,3K =-和集合{}222L y y x x ==-+，判断它们是否具有性质G .若是，则直接写出其对应的集合P 和集合Q ；若否，请说明理由；（2）试判断“集合A 具有性质G ”是“m n =”的什么条件，并证明.【答案】（1）集合,J L 不具有性质G ；集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；（2）充分不必要条件.【解析】【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合P ，Q .（2）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合P 与Q 集合个数的大小关系，推理得证.【小问1详解】①集合0J ∈，不符合定义故J 不具有性质G ；②集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；③集合L 不是整数集所以不具有性质G .【小问2详解】当集合A 具有性质G 时，①对于(),a b P ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈+∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a Q +∈，如果(),a b ，(),c d 是P 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d +=+中至少有一个不成立，故(),a b b +和(),c d d +也是Q 中不同元素，可见P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，②对于(),a b Q ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈-∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b b Q -∈，如果(),a b ，(),c d 是Q 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d -=-中至少有一个不成立，故(),a b b -和(),c d d -也是P 中不同元素，可见Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，由①②可知m n=集合{1,1,2,3}A =-，则{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,1),(1,2),(2,1)}P =----，{(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(3,1),(2,1)}Q =--，满足m n =，而集合A 不具有性质G ，所以集合A 具有性质G 是m n =的充分不必要条件.的的。

浙江省嘉兴市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案

嘉兴2024学年第一学期10月阶段性测试高一年级数学试卷（答案在最后）命题人：高一数学组审核人：高一数学组本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{13}A x x =-<≤∣，{}24B x x =<，那么集合A B = （）A.{22}xx -<<∣ B.{12}x x -<<∣ C.{23}x x -<≤∣ D.{13}xx -<<∣【答案】C 【解析】【分析】解出集合B ，再利用交集含义即可得到答案.【详解】{}{}2422B x x x x =<=-<<，则{12}A B xx =-<< ∣.故选：C.2.已知命题():1,p x ∀∈+∞，20x x ->，则（）A.命题p 的否定为“()1,x ∃∈+∞，20x x ->”B.命题p 的否定为“(],1x ∃∈-∞，20x x -≤”C.命题p 的否定为“()1,x ∃∈+∞，20x x -≤”D.命题p 的否定为“(],1x ∀∈-∞，20x x ->”【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.【详解】根据全称命题的否定得命题p 的否定为“()1,x ∃∈+∞，20x x -≤”.故选：C .3.设命题“2x >”是命题“240x -≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出不等式，再根据充分不必要条件判断即可．【详解】∵240x -≤，∴2x ≤-或2x ≥，∴命题“2x >”是命题“240x -≤”的充分不必要条件．故选：A ．4.设函数()221,036,0x x x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（）A.()(),41,-∞-+∞U B.()(),21,-∞-+∞ C.()(),42,-∞-+∞ D.()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】根据题意，分段建立方程，可得临界点，作图，可得答案.【详解】由题意()1369f =+=，令2219x x ++=，解得4x =-或2，3691x x +=⇒=,则作图如下：由图可得不等式()()1f x f >的解集是()(),41,∞∞--⋃+.故选：A.5.设a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（）A.若a b >，则a b> B.若0a b c >>>，则a a cb b c+<+C.若a b >，则11a b< D.若0a b c >>>，则b ca b a c>--【答案】D 【解析】【分析】举例说明判断AC ；作差比较大小判断B ；利用不等式性质判断D.【详解】对于AC ，取1,1a b ==-，满足a b >，而11||1||,11a b a b===>-=，AC 错误；对于B ，0a b c >>>，则()()()0()()a a c abc b a c a b cb bc b b c b b c ++-+--==>+++，B 错误；对于D ，由0a b c >>>，得0a c a b ->->，则110a b a c >>--，b ca b a c>--，D 正确.故选：D 6.不等式1122x x x x --->-++的解集为（）A.{2x x <-或>1B.{|2}x x <- C.{}1x x > D.{}21x x -<<【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合绝对值性质可得102x x -<+，再结合分式不等式运算求解.【详解】因为1122x x x x --->-++，即1122x x x x -->++，可得102x x -<+，等价于()()120x x -+<，解得21x -<<，所以不等式的解集为{}21x x -<<．故选：D ．7.设0m >，若2420mx x -+=有两个不相等的根1x ，2x ，则12x x +的取值范围是（）A.()0,2 B.(]0,2 C.()2,+∞ D.[)2,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据判别式得到02m <<，再根据韦达定理即可得到答案.【详解】关于x 的方程2420mx x -+=有两个不相等的实数根，20Δ(4)420m m >⎧∴⎨=--⨯>⎩，解得:02m <<，则()1242,x x m=∈++∞.故选：C.8.对于实数a 和b 定义运算“⋅”：⋅a b =22,,a ab a bb ab a b ⎧-≤⎨->⎩，设()(21)(2)f x x x =-⋅-，如果关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123x x x ，，，则m 的取值范围（）A.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.9(0,4D.φ【答案】C 【解析】【分析】由定义的运算求出()f x 的解析式，然后利用数形结合的方法知当()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123x x x ，，时，y m =与()y f x =图像恰有三个不同的交点，即可得出答案.【详解】解：由已知a •b =22,,a ab a b b ab a b ⎧-≤⎨->⎩得2221,1()(21)(2)2,1x x x f x x x x x x ⎧+-≤-=-⋅-=⎨-++>-⎩，其图象如下：因为()f x m =恰有三个互不相等实根，则y m =与()y f x =图像恰有三个不同的交点，所以904m <<，故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数和函数的表示方法，考查数形结合和运算求解能力，属于基础题型.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列各组函数是同一个函数的是（）A.()221f x x x =--与()221g s s s =--B.()f x =与()g x =-.C.()xf x x=与()g x =D.()f x x =与()g x =【答案】ABC 【解析】【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可.【详解】对于选项A ：()221f x x x =--的定义域为R ，()221g s s s =--的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A 正确；对于选项B ：()f x ==-{}|0≤x x ，()g x =-的定义域为{}|0≤x x ，定义域相同对应关系相同，是同一个函数，故B 正确；对于选项C ：()1xf x x==的定义域{}|0x x ≠，()1g x ==的定义域{}|0x x ≠，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C 正确；对于选项D ：()f x x =的定义域为R ，()g x x ==的定义域为R ，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D 错误.故选：ABC.10.已知集合{}22M y y x ==-，{N x y ==，则（）A.M N M ⋂=B.M N M ⋃=C.()N M ⋂=∅Rð D.()M N ⋂=∅Rð【答案】AC 【解析】【分析】求出集合,M N ，得到两者的包含关系，再根据集合的交并补即可.【详解】{{}5N xy x x ===≤∣∣，222y x =-≤，则{}|2M y y =≤，M N ∴⊆，则M N M ⋂=，M N N ⋃=，选项A 正确，B 错误；∁R =U >5，则()N M ⋂=∅R ð，选项C 正确；∁R =b >2,∁R ∩=b2<≤5，选项D 错误.故选：AC11.已知2()2f x x x a =-+.若方程()0f x =有两个根12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的有（）A.1>0x ，20x >B.1a <C.若120x x ≠，则121211x x x x ++的最小值为D.,R m n ∀∈，都有()()()22f m f n m nf ++≥【答案】BD 【解析】【分析】举例说明判断AC ；利用一元二次方程判别式判断B ；作差变形比较大小判断D.【详解】对于AC ，取3a =-，由2230x x --=，解得1210,3x x =-<=，1212110113x x x x =-+<+，AC 错误；对于B ，方程()0f x =有两个不等实根，则440a ∆=->，解得1a <，B 正确；对于D ，222()()22()()()2222f m f n m n m m a n n a m n f m n a++-++-++-=-++-2222()()0244m n m n m n ++-=-=≥，()()(22f m f n m n f ++≥恒成立，D 正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设集合{}21,,45A t t t =-+，若2A ∈，则实数t 的值为______.【答案】3【解析】【分析】由题意分情况讨论，建立方程，可得答案.【详解】当2t =时，则2454851t t -+=-+=，故不符合题意；当2452t t -+=时，则2430t t -+=，化简可得()()310t t --=，3t =（1不合题意舍去）；故答案为：3.13.已知不等式()()22240a x a x -+--≥解集是∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(2,2]-【解析】【分析】利用命题的否定去判断.分情况讨论当,2a =时不等式即为40-<,对一切恒成立,当2a ≠时利用二次函数的性质列出a 满足的条件并计算,最后两部分的合并即为所求范围.【详解】解：不等式()()22240a x a x -+--≥解集是∅等价于：不等式()()22240a x a x -+--<解集是R ,①当20,2a a -==时,不等式即为40-<,对一切x R ∈恒成立,②当2a ≠时，则须2204(2)16(2)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩,即222a a <⎧⎨-<<⎩,22a -<<,由①②得实数a 的取值范围是(2,2]-.故答案为(2,2]-【点睛】本题考查不等式恒成立的参数取值范围,考查二次函数的性质.注意对二次项系数是否为0进行讨论.14.已知a ，b ，0c >满足4a b c ++=，则11ab bc+的最小值为________.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】正数,,a b c ，4a b c ++=，则1111111121112()()()()444c a a b c ab bc ab bc a c b ab bc a c b +=+++=++++≥+++1141141144()()())161614b a c a b c a b c a c b a b c a b a c c b ++=++++=++++=1(6116≥+=，当且仅当222b a c ===时取等号，所以11ab bc+的最小值为1.故答案为：1【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集为R ，集合{}22A x x x =+<，{124}B xx a =-<+<∣.（1）当1a =时，求R ()A B ⋃ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|1}2x x x <≥或；（2）23a ≤≤.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合,A B ，再利用补集、并集的定义求解即得.（2）根据给定条件，利用交集的结果，结合集合的包含关系求出a 的范围【小问1详解】解不等式22x x +<，即220x x +-<，得2<<1x -，则{|21}A x x =-<<，当1a =时，3{1214}{|1}2B xx x x =-<+<=-<<∣，R 3{|1}2B x x x =≤-≥或ð，所以R 3(){|1}2A B x x x =<≥ ð或.【小问2详解】依题意，14{|}22a aB x x ---=<<，B ≠∅，由A B B = ，得B A ⊆，因此122412aa --⎧≥-⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得23a ≤≤，所以实数a 的取值范围是23a ≤≤.16.设函数2()(1)2(R)f x ax a x a a =+-+-∈（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式：()1f x a <-．【答案】（1）1[,)3+∞（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对a 是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.（2）不等式化简为2(1)10ax a x +--<，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.【小问1详解】()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，等价于2R,(1)0x ax a x a ∀∈+-+≥恒成立.当0a =时，不等式可化为0x ≥，不满足题意.当0a ≠，有0Δ0a >⎧⎨≤⎩，即203210a a a >⎧⎨+-≥⎩，解得13a ≥所以a 的取值范围是1[,)3+∞．【小问2详解】依题意，()1f x a <-等价于2(1)10ax a x +--<，当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{|1}<x x .当0a >时，不等式化为(1)(1)0ax x +-<，此时11a-<，所以不等式的解集为1{|1}x x a -<<.当0a <时，不等式化为(1)(1)0ax x +-<，①当1a =-时，11a -=，不等式的解集为{|1}x x ≠；②当10a -<<时，11a->，不等式的解集为1{|1}x x x a >-<或；③当1a <-时，11a-<，不等式的解集为1{|1}x x x a ><-或；综上，当1a <-时，原不等式的解集为1{|1}x x x a><-或；当1a =-时，原不等式的解集为{|1}x x ≠；当10a -<<时，原不等式的解集为1{|1}x x x a>-<或；当0a =时，原不等式的解集为{|1}<x x ；当0a >时，原不等式的解集为1{|1}x x a-<<.17.设a 为实数，函数()f x =.（1）求函数()f x 的定义域；（2）设t =()f x 表示为t 的函数()h t ，并写出定义域；（3）若0a <，求()f x 的最大值【答案】（1）[]1,1-；（2）()212h t at t a =+-，定义域为2⎤⎦；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数特征得到不等式，求出定义域；（2）0t =两边平方得到[]2110,12t =-∈2t ≤≤，得到函数解析式和定义域；（3）在（2）的基础上结合对称轴，分10a <-<和12a ≤-≤和12a->三种情况，得到函数最大值.【小问1详解】由题意得2101010x x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪-≥⎩，解得11x -≤≤，故定义域为[]1,1-；【小问2详解】0t =两边平方得22t =+，[]2110,12t =-∈2t ≤≤，故()212h t at t a =+-，定义域为2⎤⎦；【小问3详解】由（2）知，()()221111222f x h t at t a a t a a a⎛⎫==+-=+-- ⎪⎝⎭，定义域为2⎤⎦，0a <，若10a <-<，即2a <-时，当t =时，()()f x h t =取得最大值，最大值为h=；12a ≤-≤，即122a -≤≤-时，()()f x h t =在对称轴处取得最大值，最大值为12a a --；若12a ->，即102a -<<时，当2t =时，()()f x h t =取得最大值，最大值为()222h a t a a =+-=+；综上，当22a <-当2122a -≤≤-时，最大值为12a a --，当102a -<<时，最大值为2a +.18.已知x ，0y >满足6x y +=.（1）求22x y +的最小值；（2）求3y x y+的最小值；（3）若()2244x y m x y +≥+恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）18；（2）12+；（3）83m ≤.【解析】【分析】（1）配方变形求出最小值.（2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.（3）对给定不等式分离参数，消元配凑变形，再利用基本不等式求出最小值即可.【小问1详解】由0,0x y >>，6x y +=，得22222()()1()1822x y x y x y x y ++-+=≥+=，当且仅当3x y ==时取等号，所以当3x y ==时，22x y +取得最小值18.【小问2详解】23321121113(1()(1(3)122y y x y x x y x y x y x y x y x y++=+-=+-=++-=++-11(3122≥+-=+2y x x y =，即x =时取等号，由6x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得6(21)x y =-=，所以当6(21)x y ==-时，3y x y +取得最小值12+.【小问3详解】由0,0x y >>，6x y +=，得6,06x y y =-<<，不等式224(4)x y m x y +≥+恒成立，即2244x y m x y +≤+恒成立，2222224(6)4512365(2)32(2)804363(2)3(2)x y y y y y y y x y y y y +-+-++-++===++++516325328[(2)]323333y y =++-≥⋅=+，当且仅当1622y y +=+，即2y =时取等号，因此当4,2x y ==时，2244x y x y++取得最小值83，则83m ≤，所以m 的取值范围83m ≤.19.已知二次函数()()1f x ax x =-，()0,4a ∈，()0,1x ∈.若有()00f x x =，我们就称0x 为函数()f x 的一阶不动点；若有()()00f f x x =，我们就称0x 为函数()f x 的二阶不动点.（1）求证：()01f x <<；（2）若函数()f x 具有一阶不动点，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 具有二阶不动点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）14a <<（3）14a <<【解析】【分析】（1）利用基本不等式以及不等式的性质证明即可；（2）利用不动点的性质求解即可；（3）根据（2）可知当14a <<时，符合题意，再对(]0,1a ∈分析判断即可.【小问1详解】由题可知()0,4a ∈，()0,1x ∈，所以()()()211010101124x x x x x x ax x +-⎛⎫<-≤⇒<-≤⇒<-< ⎪⎝⎭故()01f x <<.【小问2详解】由题可知()0000111ax x x a x -=⇒=-因为()00,1x ∈，()0,4a ∈所以14a <<.【小问3详解】若14a <<，由（2）可知：函数()f x 具有一阶不动点，即存在()00,1x ∈，使得()00f x x =，则()()()000ff x f x x ==，所以函数()f x 具有二阶不动点，若(]0,1a ∈，由（2）可知函数()f x 不具有一阶不动点，可知对任意()0,1x ∈，且()f x 连续不断，可知()f x x >或()f x x <恒成立，若()f x x >，则()()()ff x f x x >>，此时函数()f x 不具有二阶不动点；若()f x x <，则()()()f f x f x x <<，此时函数()f x 不具有二阶不动点；即(]0,1a ∈时，函数()f x 不具有二阶不动点；综上所述：a 的取值范围为14a <<.【点睛】关键点点睛：对于复合函数我们经常令某一个函数()f x t =，然后换元计算.。

第十届高一试题(B卷)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题(高中版)

第十届高一试题（B 卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、单选题1．我们称数集T 为数域T ，当且仅当数集T 中的任意两个元素经过加法、减法、乘法、除法（除数不为0）四则运算后，其运算结果仍在数集T 中，则下列数集能称作数域的是（）. A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集2．给定集合{}3log ,2P a a x x ==≥，集合{}ln ,2Q b b x x ==≥，集合11,25xM c c x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则下列说法正确的是（）. A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．M Q ⊆D ．Q M ⊆3．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ∈R ，都有()()12f x f x -=121222x x x x f f -+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立，则函数()f x 的奇偶性是（）. A ．既奇又偶B ．非奇非偶C ．奇非偶D ．偶非奇4．ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若coscos 22B Aa b =，则ABC V 是（）三角形. A ．等边B ．等腰C ．直角D ．等腰或直角5．平面直角坐标系中，点O 为原点，(1,2),(2,1)OA OB ==-u u u r u u u r ，若OP aOA =+u u u r u u u rbOB u u u r ，且01a b <≤≤，则满足条件的点(,)P x y 表示的阴影区域为（）.A ．B ．C ．D ．6．2013年11月第十八届三中全会于北京召开，会上指出我国社会保障事业全面推进，已基本建成覆盖城乡的社会保障体系.2012年末，全国参加城镇职工基本养老保险人数30426.8万人，比1989年末增加24716.5万人.假定城镇职工基本养老保险人数的年增长率保持不变，再经过5年（不考虑其他因素），该人数最接近（）亿人.（注: 5.3 1.071log 1.07,log 1.4523≈≈） A ．3.5B ．4.5C ．5D ．67．已知函数2()3f x x =-，如果关于x 的方程2()()0af x bf x c ++=恰有6个不同的实数根，则下列说法一定正确的是（）. A ．30a b +>B ．30a b +<C ．0abc …D ．0ab <8．将正整数集*N 中划掉所有与15不互素的数，记剩下的数由小到大排成数列{}n a ，再按照两项，一项，两项，一项，两项的顺序循环分组（5组为一个周期）：()()()()()12345678,,,,,,,,a a a a a a a a L ，那么2014在第（）组. A ．672B ．679C ．680D ．681二、填空题9．在等比数列{}n a 中，已知56479,22a a a a +=⋅=，则47a a +=.10．ABC V 中，角22π0,,cos cos sin()2A B A B A B ⎛⎤∈+=+ ⎥⎝⎦、，则ABC V 一定是三角形. 11．若函数()f x 在其定义域内满足1()2(1)1f x f x x+-=+，则()f x 的函数表达式为.（含自变量的取值范围） 12．在等腰ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知22cos c C ab=，则1tan A +11tan tan B C +=. 13．设x y 、满足不等式组22+510630x y x y x y ->-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则23y z x -=+的取值范围是.14．给定集合{1,2,,2014}M =L ，若集合N M ⊆，且对集合N 中任意两个元素x 、y ，不妨设x y >，都有x y N +∉或x y N -∉，则称集合N 具有性质p .假定集合N 满足形式{},1,,2014m m a a +L ，则具有性质p 的集合N 中的最小元素m a =.15．桌面上两两相切地摆放着四个球，球心依次为点1234,,,O O O O ，且半径相同的球与桌面相切，记它们的半径分别为1234,,,r r r r .已知12343,2r r r r ====，则最上面一个球离桌面的距离d =. 16．定义运算“∧”满足:||||||sin ,a b a b θθ∧=⋅⋅r r r r为从向量a r 按逆时针方向到向量b r的夹角()()0,2π∈θ，向量()a b ∧r r 垂直于 a b u u r r 、所确定的平面，当sin 0θ>时，其垂直平面的方向向上；当sin 0θ<时，其垂直平面的方向向下，下列说法一定正确的有.（填序号）①a b b a ∧=∧r r r r ；②a b b a ∧=-∧r r r r ；③222()a b a b ∧=∧r r r r ；④()2a b∧=r r 22a b ∧r r ；⑤当//a b r r 时，0a b ∧=r r ；⑥2a a a ∧=r r r .三、解答题17．二次函数2 () ,f x ax bx c a b c =++、、为实数，对任意的θ都有(cos )0f θ≤和(sin 2)0f θ-≥恒成立.已知()f x 的函数图象与y x =-的图象有且只有一个公共点，这个公共点在第二象限. (1)求证：14ba≥； (2)若(cos )f θ的最小值为-10，求函数()f x 的解析式.18．某市A 、B 两地之间相距60千米，如图所示，有一条直线铁路经过A 地，测量得B 地距离铁路48千米.现要在A 、B 两地之间运送货物，计划从铁路沿线上的C 处修筑一条直线公路通往B 地，已知公路的运费是铁路运费的2倍，铁路运费为每千米100元，问C 点选在何处时可使总运费最少，最少是多少元?19．如图，在ABC V 中，AB 边上有一点D ，点D 是线段AB 的三等分点，点M 为线段DC 上的一点（不与点D 、C 重合），若分DC u u u r 所成的比为λ，连接AM ，且有AM u u u u rxAB yAC =+u u u r u u u r .(1)用λ来分别表示x y 、;(2)假设函数()y f λ=，存在数列{}n a ，首项11a =，当2n ≥时，对前n 项和n S 有()1n n S f S -=成立，求数列{}n a 的通项公式.20．如图,圆柱的轴截面ABCD 是正方形,点E 在底面圆周上,且DF AE ⊥于点F .设直线AE 与平面ABCD 所-的体积之比不超过3π. 成角为θ,其正弦值sinθ=圆柱与三棱锥A DCE⊥;(1)求证:DF AC(2)判断DCE△的形状,请说明理由;(3)若底面半径r计算点D到平面ACE的距离.。

2024—2025学年湖北省武汉市洪山高级中学高一上学期10月测试数学试卷

2024—2025学年湖北省武汉市洪山高级中学高一上学期10月测试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知点在幂函数的图象上，则（）A． 4B． 5C． 6D． 7(★★) 2. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（）A．与B．与C．与D．与(★★) 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知函数，若函数与的图象恰有4个交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 5. 如图为函数和的图象，则不等式的解集为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 若在函数定义域的某个区间上定义运算，则函数，的值域是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 一水池有2个进水口， 1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（）A．点到点只打开了两个进水口B．点到点三个水口都打开C．点到点只打开了一个出水口D．点到点至少打开了一个进水口(★★★) 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（）A．当时，B．C．函数的值域为D．当时，函数的值域为(★★★★) 11. 已知是定义在上的单调递增且图象连续不断的函数，若，恒有成立，设 0 ，则（）A．B．C．D．三、填空题(★★★) 12. 已知函数满足对任意的实数，都有，则a的取值范围是 ______________ .(★★★) 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________ .(★★★★) 14. 若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为 ______ ．四、解答题(★★) 15. （1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式；(★★★) 16. 已知函数(1)若不等式的解集为，求的取值范围；(2)解关于的不等式(★★★) 17. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足.(1)求;(2)判断的奇偶性;(3)若当时，，且，求不等式的解集.(★★★) 18. 已知函数.(1)请用定义证明函数在上单调递减；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.(★★★★) 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，．(1)求的值；(2)设函数．（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．。

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