2017年国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分）

（1）若函数⎪⎩

⎪

⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax

x

x f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=

ab 。 )(B 2

1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。

【答案】)(A

【解】a

ax x f x 21

cos 1lim

)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，

因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而2

1

=ab ，应选)(A 。 （2）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）

)(A )1()1(->f f 。 )(B )1()1(-f f 。 )(D |)1(||)1(|-

【答案】)(C

【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；

若0)(f f ，应选)(C 。 （3）函数22),,(z y x z y x f +=在点)0,2,1(处沿向量}2,2,1{=的方向导数为（ ）

)(A 12。 )(B 6。 )(C 4。 )(D 2。

【答案】)(D

【解】

xy x f 2=∂∂，2x y f

=∂∂，z z

f 2=∂∂， 4|)0,2,1(=∂∂x f ，1|)0,2,1(=∂∂y f

，0|)0,2,1(=∂∂z f ， 3

2

cos ,32cos ,31cos ===γβα，所求的方向导数为

232

1314|)0,2,1(=⨯+⨯=∂n

，应选)(D 。

（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线)(1t v v =（单位：s m /），虚线表示乙的速度曲线)(2t v v =，三块阴影部分面积的数值依次为3,20,10，计时开始后乙追甲的时刻为0t （单位：s ），则（ ）

)(A 100=t 。 )(B 20150<t 。

【答案】

【解】

（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）

)(A T E αα-不可逆。 )(B T E αα+不可逆。 )(C T E αα2+不可逆。 )(D T E αα2-不可逆。

【答案】)(A

【解】令T A αα=，A A =2，

令X AX λ=，由0)()(22=-=-X X A A λλ得02=-λλ，0=λ或1=λ，

因为n T

A tr λλαα++===Λ11)(得A 的特征值为1,011====-n n λλλΛ，

T E αα-的特征值为0,111====-n n λλλΛ，从而0||=-T E αα，

即T E αα-不可逆，应选)(A 。

（6）已知矩阵⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001,100020012,100120002C B A ，则 （ ）

)(A A 与C 相似，B 与C 相似。 )(B A 与C 相似，B 与C 不相似。 )(C A 与C 不相似，B 与C 相似。)(D A 与C 不相似，B 与C 不相似。

【答案】)(B

【解】C B A ,,的特征值为1,2321===λλλ，

由⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=-1001000002A E 得1)2(=-A E r ，则A 可相似对角化，从而C A ~；

由⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=-1000000102B E 得2)2(=-B E r ，则B 不可相似对角化，从而B 与C A ,不相似，

应选)(B 。

（7）设B A ,为随机事件，若1)(0,1)(0<<<的充要条件是（ ）

)(A )|()|(A B P A B P >。 )(B )|()|(A B P A B P >。 )(C )|()|(A B P A B P >。 )(D )|()|(A B P A B P <。

【答案】)(A

【解】由)|()|(B A P B A P >得

)(1)

()()

()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --=

>，等价于 )()()(B P A P AB P >； )|()|(A B P A B P >等价于

)

(1)()()()(A P AB P B P A P AB P -->，即)()()(B P A P AB P >，

应选)(A 。

（8）设n X X X ,,,21Λ（2≥n ）为来自总体)1,(μN 的简单随机样本，记∑==n

i i X n X 1

1，

则下列结论不正确的是（ ）

)(A ∑=-n

i i X 12)(μ服从2χ分布。 )(B 21)(2X X n -服从2χ分布。

)(C ∑=-n

i i X X 1

2)(服从2χ分布。 )(D 2)(μ-X n 服从2χ分布。

【答案】)(B

【解】若总体),(~2

σμN X ，则