第十一知识块 推理与证明、数系的扩充与复数的引入 (3)

第3课时 数学归纳

一、填空题

1． 平面内有n (n ≥2)个圆心在同一直线l 上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l 的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．

解析：设最多分成的圆弧的段数为f (n )，则由题图容易发现，f (2)＝4＝22，f (3)＝9＝32，f (4)＝16＝42.

答案：n 2

2．(2010·江西吉水一中)设n ∈N *，则4×6n ＋5n

＋1除以20的余数为________． 解析：取n ＝1，则4×6n ＋5n ＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.

答案：9

3．用f (n )表示凸n 边形的内角和，则f (k ＋1)＝f (k )＋________.

解析：因为由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，其内角增加了一个三角形的内角和，所以f (k ＋1)＝f (k )＋π.

答案：π

4．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝n 2(n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________．

解析：∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，

∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.

答案：2k ＋1

5. (江苏南京模拟)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324

的过程，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．

解析：不等式的左边增加的式子是

12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 答案：

1(2k ＋1)(2k ＋2) 6．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n 0应当是______．

解析：n ＝1时，21>13，n ＝2,3，…，9时2n 103，∴n 0＝10. 答案：10

7．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝

a n 3a n ＋1

(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，归纳、猜测得出a n 的表达式为________．

解析：a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5

. 答案：a n ＝

26n －5 二、解答题

8．用数学归纳法证明：11×5＋15×9＋…＋1(4n －3)(4n ＋1)＝n 4n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×5＝15，右边＝14×1＋1＝15

，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即11×5＋15×9＋…＋1(4k －3)(4k ＋1)＝k 4k ＋1

， 则11×5＋15×9＋…＋1(4k －3)(4k ＋1)＋1(4k ＋1)(4k ＋5)

＝k 4k ＋1＋1(4k ＋1)(4k ＋5)＝4k 2＋5k ＋1(4k ＋1)(4k ＋5)＝(4k ＋1)(k ＋1)(4k ＋1)(4k ＋5)＝k ＋14(k ＋1)＋1

， 即当n ＝k ＋1时等式成立．∴由(1)(2)知，等式成立．

9． (2010·江西莲塘一中测试)用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋ (12)

. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12

，命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k

F ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2

. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．

10．(2010·通州市高三素质检测)用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋1n 2＞1(n ∈N *

且n ＞1)．

证明：(1)当n ＝2时，不等式的左边为12＋13＋14＝1312

＞1，故n ＝2时表达式成立； (2)假设当n ＝k (k ＞1，k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋1k 2＞1 那么，当n ＝k ＋1时，由k ≥2得

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1(k ＋1)2＞1－1k ＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1

＞1－1k ＋⎣⎡⎦⎤1(k ＋1)2＋1(k ＋1)2＋…＋1(k ＋1)2＝1－1k ＋2k ＋1

(k ＋1)2＝1＋k 2

－(k ＋

1)(k ＋1)2 当k ≥2时，k 2－k －1＞0成立，故当n ＝k ＋1时不等式也成立

根据(1)和(2)可知，当n ＞1，n ∈N *时不等式都成立．

1．试证：当n 为正整数时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除． 证明：证法一：(1)当n ＝1时，f (1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．

(2)假设当n ＝k 时，f (k )＝32k ＋

2－8k －9能被64整除． 由于32(k ＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋

2－8k －9)＋64(k ＋1)．即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对任意的n ∈N *，命题都成立．

证法二：(1)当n ＝1时，f (1)＝32－8－9＝64，命题显然成立．

(2)假设当n ＝k 时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除，由归纳假设，设32k ＋

2－8k －9＝64m (m

为大于1的自然数)，将32k ＋2＝64m ＋8k ＋9代入到f (k ＋1)中得f (k ＋1)＝9(64m ＋8k ＋9)－8(k

＋1)－9＝64(9m ＋k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题成立．根据(1)(2)可知，对任意的n ∈N *命题都成立．

2．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，求证： >1＋n 2

(n ≥2，k ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时， ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22

，即n ＝2时命题成立． (2)设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2， 当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12

k ＋1>1＋k 2＋