直线与椭圆教案s

直线与椭圆

一、直线和椭圆的交点问题

1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围。

解法一：由可得，

∴即∴且

解法二：直线恒过一定点（0,1）

当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，

要使直线与椭圆恒有交点，则即

当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即

综述：且

解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部

，即∴且

二、直线截椭圆所得弦长问题

2．已知椭圆，直线交椭圆于AB，求AB的长.

解：设A、B两点坐标分别为和

将直线方程代入椭圆方程

得关于的方程

∴

又。

∴AB长为。

三、直线截椭圆所得弦中点有关问题

3．已知椭圆方程为，求：

（1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；

（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；

（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。

解析：设直线与椭圆交点为，，则

①

②

①－②得③

（1）∵弦中点坐标为（4，1），∴，，

则由③式得直线斜率为

∴直线方程为，即。

（2）设弦中点坐标为，则由③式可得④

又∵∴，即轨迹方程为。（3）同（2），可知轨迹上的点是方程④的解

而，∴⑤

将⑤代入④可得

当时，直线与椭圆相交于和,中点为（4，0），

经验证，也在上述椭圆上∴轨迹方程为。