初二培优典型难题

1如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

2.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．

3.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，小敏将一块三角板中含45º角的顶点放在点A处，

从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠MAB，则AE也平

分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

(2)当0º＜α≤45º时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量

关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；

小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90º得到△ACG，连接EG(如图3)．

请你从中任选一种方法进行证明；

(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45º＜α≤135º且α≠90º时，等量关

系BD2＋CE2＝DE2仍然成立．现请你继续探究：当135º＜α＜180º时(如图4)，等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．

4. （1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；

②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段B D、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．

甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

5.已知△ABC是等边三角形．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；

（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

6..已知：在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D

不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.

(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ② CF=BC－CD.

(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；

(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.

②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状，并说明理由.

7.如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了.（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E 是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E 是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．