2021学年高二下学期质量检测(期中)数学试题含答案
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题(解析版)
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）A. 散点图和残差图B. 残差图和列联表C. 散点图和等高堆积条形图D. 等高堆积条形图和列联表【答案】D【解析】【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D2. 若，则（ ）A. 2B. 4C. 2或4D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质求解．【详解】因为，所以或，即或．故选：C．3. 从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）A. 10B. 20C. 25D. 32【答案】B【解析】【分析】用分步计数原理计算．【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，总方法为．故选：B．4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B. 用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误C. 独立性检验的方法适用普查数据D. 对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的思想判断．【详解】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用独立性检验，依据小概率值推断两个分类变量的关联性，所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．故选：B．5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；故选：A6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情况的种数加和即可.【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为：,故选：A.7. 以下说法错误的是（ ）A. 用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强B. 经验回归方程一定经过点C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.故选：D8. 已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据期望与方差的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量X的期望，方差，又，所以，；故选：C9. 除以8的余数为（ ）A. B. 1 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7．故选：D．10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）（附：，，）A. 11B. 79C. 91D. 159【答案】B【解析】【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．【详解】由题意，，人数为．故选：B．11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则（ ）A. 4.5B. 2.5C. 1.5D. 0.45【答案】D【解析】【分析】由题意可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】解：由题意可能取得数值为：1，2，3，所以，，所以．所以故选：D．12. 某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）A. 18B. 48C. 50D. 54【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有种排法；当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有种；当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有种；所以不同的排法共有：种，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13. 已知随机变量，则______．【答案】3【解析】【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np．【详解】∵，∴E(X)＝10×0.3＝3．故答案为：3．14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．【答案】0.81 cm【解析】【分析】根据线性回归方程的意义作答．【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．故答案为：0.81 cm．15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算．【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以，，．故答案为：．16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．【答案】【解析】【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时；故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求的展开式的常数项；（2）求的展开式中的x的系数．【答案】（1）60；（2）－15.【解析】【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解；（2）的展开式中的x的系数为.【详解】（1）的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；（2）的展开式的通项公式为则的展开式中的的系数为18.已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；（2）求从乙袋取出白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．【小问1详解】在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；【小问2详解】从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，所求概率为．19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；疗法疗效合计未治愈服用新药服用安慰剂合计（2）依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．附：；0.100.010.0012.706 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）可以认为新药对治疗该种疾病有效【解析】【分析】（1）依题意完成列联表；（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；【小问1详解】解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：疗法疗效合计未治愈服用新药451055服用安慰剂252045合计7030100【小问2详解】解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）选择方案一【解析】【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为，然后由独立重复试验的概率公式计算概率；（2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得．【小问1详解】有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是，摸5次球，至少有4次是红球，含有恰好4次红球与5次都是红球，概率为；【小问2详解】无放回地一次摸出5个球，则得奖概率为,显然，所以选择方案一中奖概率大．21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）方案二【解析】【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：，则连续摸5次中奖的情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率加和即可；（2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择.【小问1详解】根据题意，每一次摸出红球的概率为：，所以连续摸5次中奖的概率为：；【小问2详解】若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：,因为，所以小明应该选择方案二.说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x1234500.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345.518.9的近似值 3.2 5.810参考公式：，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345 y0.51 1.53 5.5.10.9 2.3 3.5 4.7－0按（2）可得：x12345.53 5.5y0.5110.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x12345.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345的近似值 3.2 5.810.518.9参考公式：，，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345y0.51 1.53 5.5－0.1 1.1 2.3 3.5 4.7按（2）可得：x12345y0.51 1.53 5.50.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．。
2021-2022学年山东省滨州市邹平市高二年级下册学期期中考试数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省滨州市邹平市第一中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．命题：“，”的否定为（ ）(),0x ∀∈-∞π4x x≥A ．，B ．，[)00,x ∃∈+∞00π4x x <[)00,x ∃∈+∞00π4x x ≤C ．，D ．，()0,0x ∃∈-∞00π4x x <()0,0x ∃∈-∞00π4x x ≤【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定方法即可作出判断.【详解】含有一个量词的命题的否定，即先否定量词，后否定结论；命题：“，”的否定为“，”，(),0x ∀∈-∞π4x x ≥()0,0x ∃∈-∞00π4x x <故选：C.2．袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）A ．至少取到1个白球B ．取到白球的个数C ．至多取到1个白球D ．取到的球的个数【答案】B【分析】由离散型随机变量的定义即可得出结论.【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B 选项，其中A 、C 选项是事件，D 选项取到球的个数是个，ACD 错误；2故选：B.3．已知集合，，则中元素的个数是{}2,3,4M ={}28120N x Z x x =∈-+<M N ⋃（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】首先求出集合中的元素，再利用集合并集进行运算{}28120N x Z x x =∈-+<即可求得元素个数.【详解】对于集合，{}28120N x Z x x =∈-+<，解得：28120x x -+<26x <<又，， x Z ∈ 3,4,5x ∴={}3,4,5N ∴=，共个元素，{}2,3,4,5M N = 4故选：C.4．在的展开式中，含的项的系数为（ ）()()()()45671111x x x x -+-+-+-4x A ．56B ．52C ．﹣56D ．﹣52【答案】A【分析】根据二项展开式通项，分别求出各个因式的含的项的系数，再进行运算即4x 可.【详解】二项式展开式的通项为：()1nx -()1C 1rr rr n T x +=-含的项的系数为：∴4x 44444567C C C C 15153556+++=+++=故选：A.5．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）A ．X 表示取出的最小号码B ．若有放回的取球时，X 表示取出的最大号码C ． X 表示取出的红球个数D ．若有放回的取球时，X 表示取出的黄球个数【答案】C【分析】利用超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此判断四个选项，即可得到答案.【详解】对于A ，B ，D 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A ，B ，D 错误；对于C ，将红球个数视作正品数，黄球个数视作次品数，则可以用超几何分布的数学模型计算概率.故选：C.6．某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2道数学文化题和3道作图题中不放回的依次抽取2道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．31012625925【答案】B【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】记“第一次抽到作图题”为事件，记“第二次抽到作图题”为事件，A B ，()113425A A 123A 205P A ===()2325A 63A 2010P AB ===所以.()()()3110325P AB P B A P A ===故选：B.7．已如两个离散型随机变量，，满足，的分布列如下：ξη31ηξ=+ξξ012Pab16当时，（ ）A ．B ．C ．D ．5()23E ξ=()D η=1253209【答案】D【分析】运用分布列的性质以及期望公式求出与的值，再根据方差公式求方差，进a b 而求出.()D η【详解】由题意，，116a b ++= ()1201263E a b ξ=⨯+⨯+⨯=11,23a b ∴==则()22221212150123233369D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由31ηξ=+()()253959D D ηξ=⨯∴==故选：D.8．用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（ ）（用数字填写答案）A ．24B ．48C ．72D ．120【答案】D【分析】根据图形的位置关系，由分类加法原理计算即可得答案.【详解】对图形进行编号如图所示：第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有方法，涂区域①有种方法，43涂区域④有种方法，涂区域③有种方法，涂区域②有种方法，221则不同的涂色方案的种数为：种；4322148⨯⨯⨯⨯=第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有方法，4涂区域①有种方法，涂区域④有种方法，涂区域⑥有种方法，321再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有种方法；2若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有种方法，1则不同的涂色方案的种数为：种；()43212172⨯⨯⨯⨯+=根据分类加法计数原理，共有种；4872120+=故选：D.二、多选题9．在二项式的展开式中，系数为有理数的项有( )5(2x A ．第一项B ．第三项C ．第四项D ．第五项【答案】ABD【分析】求出二项式的展开式通项，判断系数为有理数时r 的取值即可5(2x 1r T +判断有理项．【详解】二项式的展开式的通项为，5(2x 515C ((2)r r r r T x -+=⋅⋅则当r =0，2，4时，系数为有理数，故系数为有理数的项有第一项、第三项、第五项．故选：ABD ．10．若正实数，满足，则（ ）a b 4a b +=A ．B111a b +≤≤C ．D ．228a b+≥22log log 2a b +≥【答案】BC【分析】对于A ：根据题意得，再利用基本不1111244a b a b b a a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等式求解即可；对于B：根据题意得，再求解即可；22a b +=+≥对于C ：根据题意得D ：由22a b+≥=，再根据题意得，代入求解即可.a b +≥4ab ≤222log log log a b ab +=【详解】对于A ：，11111221444a b a b b a a b a b a b ⎛++⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当时等号成立，故A 不正确；2ab ==对于B ：，22a b +=+≥4≤，当且仅当时等号成立，故B 正确；≤2a b ==对于C ：，当且仅当时等号成立，故C228a b +≥===2a b ==正确；对于D ：因为，即，即，当且仅当4a b +=a b +≥4≤4ab ≤时等号成立，2a b ==，当且仅当时等号成立，故D 不正确.2222log log log log 42a b ab +=≤=2a b ==故选：BC.11．下列说法正确的是（ ）A ．个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有35种35A B ．个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，不同的放法有种3553C ．个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有35种35C D ．个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有种53132C 【答案】ACD【分析】根据排列与分步计数原理可判断AB 选项；利用组合计数原理可判断C 选项；利用隔板法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个35球，即5个不同盒子中有三个盒子各放一个球，不同的放法有种，A 对；35A 对于B 选项，个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，即每个球35有5种不同放法，不同的放法有种，B 错；35对于C 选项，个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，即只需35确定5个盒子中哪三个盒子有球，有不同的放法有种，C 对；35C 对于D 选项，个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，有两种放法，一53是有个盒子放三个其余各放一个，二是有个盒子放一个其余各放两个，共有种，D 对.111333C +C 2C 故选：ACD.12．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗打子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去．直到滚到底版的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则（ ）A ．小球从起点到第③个格子一共跳6次B ．小球从起点到第③个格子一共跳7次C ．小球落在第③个格子的概率为21128D ．小球落在第③个格子的概率为37128【答案】BC【分析】落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右，由752此能求出其落在第③个格子的概率.【详解】从入口放进一个白球，则落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右752而向左或向右的概率均为，12则向右的次数服从二项分布，小球落在第③个格子的概率∴P =25271121C 22128⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC.三、填空题13．设，“”成立的一个充分不必要条件是______．（写出一个即可）R x ∈1122x -<【答案】112x <<【分析】求出绝对值不等式解，再利用充分条件的定义求解作答.【详解】，，1122x -<01x ∴<<所以一个充分不必要条件的范围只需要比求出的范围小，可以是：.112x <<故答案为：112x <<14．一天有6节课，安排6门学科，其中数学课必须在第二或三节，则一天的课程表有______种排法.【答案】240【分析】利用特殊元素优先排的原则进行讨论，再利用分类加法计数原理求解即可.【详解】当数学课在第二节时，一天的课程表有种排法；55A 当数学课在第三节时，一天的课程表有种排法；55A 所以，一共有种排法.552A 240=故答案为：.24015．已知某批零件的长度误差X 服从正态分布，其密度函数()2,Nμσ的曲线如图所示，从中随机取一件，其长度误差落在内()()222,x x e μσμσϕ-=()6,3--的概率为______．（附：若随机变量服从正态分布，则，ξ()2,N μσ()0.6826P μσξμσ-<≤+=，）()220.9544P μσξμσ-<≤+=()330.9974P μσξμσ-<≤+=【答案】0.1359【分析】根据正态分布图特点，可以得到和的值，进而利用“”原则求解即可.μσ3σ【详解】由正态分布图特点，观察得：，，0μ=3σ=()()66220.9544P P ∴-<≤=-<≤+=ξμσξμσ()()330.6826P P -<≤=-<≤+=ξμσξμσ()0.95440.6826630.13592P -∴-<<-==ξ故答案为：.0.135916．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，1A 和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，2A 3A 以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是______．①事件，相互独立；②；③；④；⑤1A 2A ()315P A =()922P B =()2911P B A =．()159P A B =【答案】③⑤【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是1A 2A 3A ()12P A A ()()12P A P A ⋅否相等，可确定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断()3P A ④⑤.【详解】依题意，，和是两两互斥事件，1A 2A 3A ，，()1515232P A ==++()2215235P A ==++()33352310P A ==++又，①②错误；()()()12120P A A P A P A =≠⋅ ∴又，，()()()11115525331112P BA P B A P A ⨯++=== ()()()22214454431115P BA P B A P A ⨯++===()()()3333441043431110P BA P B A P A ⨯++===()()()()()()()112233P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅，③正确，④错误；5141439112115111022=⨯+⨯+⨯=，⑤正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===故答案为：③⑤.四、解答题17．已知集合．{}123A x m x m =-≤≤+(1)当时，求，；2m =A B ()R A B⋂ (2)若，求实数的取值范围．A B A = m 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答.①函数．②不等式的解集为．y =B 811x <-B 注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，{}|79A B x x x 或=≤> (){}R |19A B x x x ⋂=或 (2)()(),110,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据题意分别求出集合和的解集，求解计算即可；（2）根据题意得A B ，再分和两种情况讨论求解即可.A B ⊆A =∅A ≠∅【详解】(1)选条件①：根据题意，当时，，，2m ={}17A x x =≤≤{}R|17A x x x =或 因为函数的定义城为集合，题即，解得或，y =B 21090x x -+>1x <9x >所以，{}|19B x x x =<>或所以，；{}|79A B x x x 或=≤> (){}R |19A B x x x ⋂=或选条件②：根据题意，当时，，，2m ={}17A x x =≤≤{}R |17A x x x =或 因为不等式的解集为，所以，即，解得或811x <-B 901x x -<-()()190x x --<1x <，所以，9x >{}|19B x x x =<>或所以，{}|79A B x x x 或=≤> (){}R |19A B x x x ⋂=或 (2)根据题意，不论选条件①和②，，若，则，分{}|19B x x x =<>或A B A = A B ⊆两种情况讨论：当时，有，解可得；A =∅123m m ->+4m <-当时，若有，则或，A ≠∅AB ⊆123231m m m -≤+⎧⎨+<⎩12319m m m -≤+⎧⎨->⎩解得或，41m -≤<-10m >综上可得，的取值范围是．m ()(),110,-∞-⋃+∞18．甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过35测试的概率是．45(1)甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；(2)在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．【答案】(1)54125(2)710【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）利用条件概率以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．【详解】(1)解：设“甲恰有两轮通过测试”为事件，则；A ()2233354C 155125P A ⋅⎛⎫⎛⎫⎪=⋅-=⎪⎝⎭⎝⎭(2)解：设“选中甲”为事件，“选中乙”为事件，“通过测试”为事件，B C D 根据题意得，，，，()()12P B P C ==()35|P D B =()45|P D C =则，()()()()()|1314725|2510P D P B P D B P C P D C =+=⨯⨯=⋅⋅+所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．71019．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性y x r y x相关；（2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置22⨯90%新能源乘用车与性别有关；参考公式：，，其中r =22()()()()()n ad bc k a b c da cb d -=++++，若，则可判断与线性相关.n a b c d =+++25≈0.9r >y x 附表：20()P K k ≥0．100.050.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】（1），与线性相关（2）填表见解析，有90%的把握认为购车车0.94r ≈y x 主是否购置新能源乘用车与性别有关【解析】（1）计算出，，，，再代入相关x y 51()()iii x x y y =--∑521()ii x x =-∑521()ii y y =-∑系数公式计算可得；（2）依题意，完善表格计算出与参数数据比较可得.2K 【详解】解：（1）依题意，，2014201520162017201820165x ++++==810132524165y ++++==故51()((2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，，521(411410ii x x =-=+++=∑521()643698164254ii y y =-=++++=∑则0.940.9r ===≈>故与线性相关.y x （2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主18624女性车主246总计2010302230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.【点睛】本题考查利用相关系数判断两个变量的相关程度，以及独立性检验，考查计算能力，属于基础题.20．（1）若展开式中的系数是30，求m 的值；()1021⎛⎫++ ⎪⎝⎭x m x x 6x （2）求展开式中的有理项．61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）2m =-33660164,240,,x x x【分析】（1）求出的展开式的通项，再令和，结合题意可101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1024r -=1026r -=得出答案；（2）求出的展开式的通项，再令的指数为整数，从而可得出答案.61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 【详解】解：（1）的展开式的通项为，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，[]0,10,Zr r ∈∈令，则，1024r -=3r =令，则，1026r -=2r =故展开式中的系数是，()1021⎛⎫++ ⎪⎝⎭x m x x 6x 321010C C 30m +=即，1204530m +=所以；2m =-（2）的展开式的通项为，61x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(()636621661C 12C kkkk kk kk T x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，[]0,6,Zk k ∈∈当时，为整数，0,2,4,6k =632k-所以展开式中的有理项为.61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭33660164,240,,x x x 21．某超市“五一”劳动节举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于400元，均可抽奖一次，她奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折，若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．(1)若甲、乙两顾客均消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．(2)若顾客丙消费恰好满800元，试比较说明该顾客选择哪种方案更划算．【答案】(1)；825(2)丙选择方案一更划算.【分析】（1）先求出每人享受折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解；6（2）若丙选择方案一，设其所需付的钱为，求出相应的概率，分布列以及数学期望X ，若丙选择方案二，设其所需付的钱为，求出数学期望，比较和()E X Z ()E Z ()E X 的大小即可做出选择.()E Z 【详解】(1)由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A ，则()2326C 1C 5P A ==∴甲、乙两人其中有一人享受6折优惠的概率为．()()12118C 1215525P P A P A ⎛⎫=⋅⋅-=⨯⨯-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(2)若丙选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为480，640，800．则，，．()2326C 1480C 5P X ===()113326C C 3640C 5P X ===()2326C 1800C 5P X ===故X 的分布列为X 480640800P153515∴（元）．()131480640800640555E X =⨯+⨯+⨯=若丙选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则．800100Z Y =-由已知，可得，故，12,2Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1212E Y =⨯=∴（元）．()()()800100800100800100700E Z E Y E Y =-=-=-=由上知：，()()E X E Z <故丙选择方案一更划算．22．垃圾分类，是指按一定标准将垃级分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个()01p p <<时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.(1)当时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率；13p =(2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由.【答案】(1)；4181(2)不会超过预算，理由见解析.【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和次独立重复试验的概率计算公式n 进行求解即可；（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的所有可能取值为60，100，利用次独立重复试验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求n 出数学期望表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可.【详解】(1)设某个时间段在开启3套系统时就被确定需要检查污染源处理系统的事件为A ，则，()()2322332333331217C 1C C C 33327P A p p p ⎛⎫⎛⎫=-+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设某个时间段需要开启另外2套环境监测系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为B ，则．()()()12222113312120C 111C 1133381P B p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=---=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为．72041278181+=(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的所有可能取值为60，100．且，．()()213100C 1P X p p ==-()()213601C 1P X p p ==--．()()()()2221133601C 1100C 1601201E X p p p p p p ⎡⎤=--+-=+-⎣⎦令，，()()21g p p p =-()0,1p ∈则，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--当时，，单调递增，10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g p '>()g p 当时，，单调递减，1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g p '<()g p 所以的最大值为．()g p 14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案的最高费用为（万元）．446900060120107627-⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎝⎭因为，所以不会超过预算．7680<【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件的概率加法公式、次独立重复试验的概率n 计算公式、离散型随机变量的数学期望公式和利用导数判断函数的单调性求最值；通过构造函数，利用导数求最值是求解本题的关键.。
辽宁省辽南协作校2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷及答案
2021—2022学年度下学期期中考试高二试题数 学考试时间：120分钟 第 I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求) 1．已知数列{}n a 的前n 项和公式为222n S n n =+，则数列{}n a ( )A ．是公差为4的等差数列B ．是公比为2的等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列2．用数学归纳法证明22312222()n n n N +++++++<∈ 时，第一步需要验证的不等式是( )A ．412<B ．4122+<C ．241222++< D ．23412222+++<3．函数ln(cos )y x =-的导数是( )A ．1cos x-B ．1cos xC ．tan x -D ．tan x4.以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程21z x =+，则c =() A ．2 B C ．e D ．2e 5．做一个容积为8π立方米的圆柱形无盖(有底)水箱，为使用材料最省，它的底面半径r 为( ) A ．1米B 米C ．2米D ．6.已知数列{}n a 满足2()(2)2ln(()n n n n a n n n ⎧⎪+⎪=⎨+⎪⎪⎩为正奇数为正偶数，则数列{}n a 的前10项和为 ( )A ．8ln 69+B ．10ln 611+C ．10ln 211-D ．8ln 29-7.已知数列{}n a 满足：21(1)()nn n a a n n N ++-=-⋅∈, 12a = ，若存在n N +∈使得不等式22n n a λ⋅≥ 成立，则实数λ的取值范围是() A ．138λ≥-B ．1λ≥-C ．4332λ≥-D ．0λ≥8.若不等式2245(4)ln 0x x a x x x++-+-<对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.1a > B.1a ≥ C.0a > D.0a ≥二、多选题(本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分)9.下列选项错误．．的有( ) A.两个变量线性相关性越强，则相关系数||r 就越接近1. B.若1,,,,4x y z 成等比数列，则实数2y =±.C.线性回归方程对应的直线 y bxa =+ 至少经过其样本数据点中的一个点. D.函数321()13f x x x x =-++没有极值点. 10. 已知函数2()(1)xf x e x x =--，则下列选项正确的有( ) A.函数()f x 极小值为e -，极大值为25e. B.函数()f x 存在3个不同的零点.C.当[2,2]x ∈-时，函数()f x 的最大值为2e .D.当25e k e-<<时，方程()f x k =恰有3个不等实根. 11.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，141()n n S a n N ++=+∈，则下列选项正确的有( ) A.312a =. B.数列1{2}n n a a +-是等比数列. C.数列{}n a 的通项公式为2593()22n a n n n N +=-+∈. D.数列1{}n n a n+⋅的前10项和为1024. 12. 已知函数()ln(1),()(1)xf x x xg x e x a =+=-+，则下列选项正确的有( ) A.函数()f x 在原点(0,0)处的切线方程为0y =.B.存在实数(1,)x ∈-+∞，使得不等式()()g x f x ≥成立，则实数a 的取值范围是1a ≤-.C.当(0,)x ∈+∞时，不等式21ln(1)102x x x +--<恒成立. D.设12,x x R ∈且12x x ≠，若12()()g x g x =，则120x x +>.第 II 卷（非选择题，共90分）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.设偶函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，且()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为3y x =，则(2)f '-=__________.14.小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为025.，则小李每年所要还款的钱数是 __________元. 15.已知定义在R上的函数3202373()(38982022f x x =-+，则1232022(()(()1949194919491949f f f f ++++= __________. 16. 已知函数2()|1|x x f x ee x +-=+++，则不等式(3)(21)f x f x +≥+的解集．．为__________. 四、解答题 (本题共6小题，共70分) 17.(本题10分)已知函数21()2ln ()2f x x ax x a R =--∈. (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.18．(本题12分) 2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占1120，统计后得到如下22⨯列联表：销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计 线上销售时间不少于8小时 75 100 线上销售时间不足8小时 合计200(1)完成上面的22⨯列联表；(2)根据22⨯列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 2()P k χ≥ 0.10.05 0.01 0.005 k2.7063.8416.6357.87919．(本题12分)已知数列{}n a 满足：1(1)()n n a n a n N ++=+∈且11a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足：()1nn na b n N n +=∈+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20．(本题12分) 在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度x (单位：℃)与反应结果y 之间的关系如下表所示：(1)求化学反应结果y 与温度x 之间的相关系数r (精确到0.01)； (2)求y 关于x 的线性回归方程；(3)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10℃时反应结果大约为多少.附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线 y bxa =+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1221,()ni i i nii x y nx ybay bx xn x ==-==--∑∑．相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑.2.646≈.21．(本题12分) 已知数列{}n a 满足115a =，且()*1131n n n n a a a a n ++--=∈N . (1)求2a ，3a ，并猜想{}n a 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)的猜想结果；(3)设数列{}n b 满足(23)3()nn n b n a n N +=+⋅⋅∈，求数列{}n b ()n N +∈的前n 项和n S . 22. (本题12分)已知函数21()(1)ln ()2f x x a x a x a R =-++∈. (1)试比较ln(2022)e 与2022的大小关系，并给出证明；(2)设函数()ln 1()g x ax a x a R =-+∈，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 的图像上方，求实数a 的取值范围；(3)函数()f x 在[1,]x e ∈上的最小值记为()m a ，求函数()m a 的值域.x2 4 6 8 y304050702021—2022学年度下学期期中考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题(每题5分，共40分)1—5 ADDCC 6—8 BAD二、多选题(每题5分，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分)9.BC ； 10.AC ； 11.AB ； 12.AC.三、填空题 (每题5分，共20分) 13、3-；14、6250；15、73；16、[2,2]-.四、解答题(共70分) 17.(本题10分)解(1)函数()f x 定义域为(0,)+∞，当1a =时，21()2ln 2f x x x x =-- 求导得2()1f x x x '=--，整理得：(2)(1)()x x f x x-+'=. -------------------2分由()0f x '>得2x >； 由()0f x '<得02x << 从而，函数()f x 减区间为：(0,2]，增区间为：[2,)+∞ -------------------4分 极小值为：(2)2ln 2f =-， -------------------5分 无极大值.-------------------6分(注：单调区间如果写成全开区间，不扣分)(2)由已知[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥恒成立，即20x a x--≥恒成立， 即2a x x ≤-恒成立，则min 2()a x x≤-.-------------------8分 令函数2()(1)g x x x x =-≥，由22()10g x x'=+>知()g x 在[1,)+∞单调递增，-------------------9分从而min ()(1)1a g x g ≤==-.经检验知，当1a =-时，函数()f x 不是常函数，所以a 的取值范围是1a ≤-.-------------------10分 (注：第(2)问结果为1a <-的，扣1分；未检验1a =-不扣分)18．(本题12分)解(1)由题意分析可得：签约企业共200家，线上销售时间不少于8小时的企业有100家，那么线上销售时间不足8小时的企业有100家，每天的销售额不足30万元的企业占1120，共有111005520⨯=家.完成22⨯列联表如下：销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计 线上销售时间不少于8小时 75 25 100 线上销售时间不足8小时 45 55 100 合计12080200-------------------6分(2)由题意，得()222007555254512080100100χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯， -------------------7 分计算得218.75χ= (结果写成假分数754、近似为19、近似为18.8，以上情况只扣1分； 其它情况按错误处理，本档3分不给) -------------------10 分 由于18.757.879> -------------------11 分故有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关. -------------------12 分 (注：如果卡方结果错误，最后的2分不给； 如果临界值选错，最后的2分不给) 19．(本题12分)解(1)由已知1(1)()n n a n a n N ++=+∈以及11a =可知0n a ≠， 从而有11()1n n a n N a n ++=∈+， 根据累乘法得：32412311111(2)234n n a a a a a a a a n n-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯≥ -------------------3分整理得：11(2)234!n a n n n ==≥⨯⨯⨯⨯ -------------------5分由于该式对于1n =也成立，于是数列{}n a 的通项公式为：1()!n a n N n +=∈ -------------------6分 (注：通项公式结果写成：1()123n a n N n+=∈⨯⨯⨯⨯ 的形式，不扣分)(2) ()1n n na b n N n +=∈+，1()!n a n N n +=∈∴(1)!n nb n =+-------------------7分即11!(1)!n b n n =-+-------------------9分 所以：123111111112!2!3!3!4!!(1)!11(1)!n nS b b b b n n n =++++=-+-+-++-+=-+ -------------------12分20．(本题12分) 解(1)由题意可得246854x +++==，3040507047.54y +++==，-------------------1分 144=601603005604547.5=130i ii x yxy =-+++-⨯⨯∑-------------------2分422222212246845=204()=ii xx =+++-⨯-∑-------------------3分4222222214()=30+40+50+70447.5875ii yy =--⨯=∑-------------------4分所以相关系数35r ===.-------------------5分2.646≈可得：0.98r ≈-------------------6分 (2)根据(1)数据得412222242214601603005604547.51306.5246845204i i i i i x y x yb x x==-+++-⨯⨯====+++-⨯-∑∑ ， -------------------8分 47.5 6.5515a y bx =-=-⨯= ， -------------------9分因此，回归直线方程为 6.515y x =+； -------------------10分(3) ∵ˆ 6.50b=>，∴x 与y 之间是正相关， -------------------11分 当10x =时，ˆ 6.5101580y=⨯+=，∴当温度达到10℃时反应结果大约为80. -------------------12分21．(本题12分) (1)237a =，359a = ，猜得：2123n n a n -=+ -------------------3 分 (2)证明：(i)1n =时，猜想成立， (ii)假设(1)n k k =≥时猜想成立，即2123k k a k -=+，-------------------4 分 则1n k =+时，由112121232331k k a a k k k k ++---+-=+， -------------------5 分 解得1212(1)1252(1)3k k k a k k +++-==+++，即1n k =+时猜想成立， -------------------6 分 综上，*n N ∈时，猜想成立，即2123n n a n -=+．-------------------7分 (3)由已知得(21)3nn b n =-⋅，-------------------8分 则23133353(21)3nn S n =⨯+⨯+⨯++-⨯ 记为①式23413133353(21)3n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯ 记为②式①式与②式相减得：2341232(3333)(21)3n n n S n +-=+++++-- -------------------9分整理得126(22)3n n S n +-=-+- -------------------11分所以1(1)33n n S n +=-+ -------------------12分(注：由于第(3)问依赖于第(2)问，如果第(2)问没有证明、证明错误、证明不完整，第(3)问结果即使正确，也要扣1分) 22. (本题12分) (1) ln(2022)2022e <.证明：令函数()ln 1(0)h x x x x =--> 求导得1()xh x x-'=， 由()0h x '>得(0,1)x ∈，即函数()h x 在(0,1]上单调递增； 由()0h x '<得(1,)x ∈+∞，即函数()h x 在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时等号成立，-------------------1 分 从而ln 202220221<-，即1ln 20222022+<，即ln(2022)2022e <. -------------------2 分 (注：如果结果正确，但未证明，给1分； 如果结果写成“ln(2022)2022e ≤”按错误处理) (2) 由已知(0,)x ∀∈+∞，()f x >()g x 恒成立， 即：21(1)ln ln 12x a x a x ax a x -++>-+恒成立， 整理得：2122ln 102x ax x a x --+->. 法1：令函数21()22ln 1(0)2F x x ax x a x x =--+->， 求导得：22(21)2(1)(2)()21a x a x a x x a F x x a x x x-++--'=--+== -------------------3 分①0a >时，由于3(1)202F a =--<，即()F x 无法恒大于0. 所以0a >不合题意. -------------------4 分 ②0a ≤时，易知()F x 在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 为使函数()0F x >恒成立，只需min ()(1)0F x F =>，由此解得：34a <-； 综上：34a <--------------------6分法2：212(ln )12a x x x x -<--， 由(1)证明过程得知ln 1x x x ≤-<，即ln 0x x ->，所以21122ln x x a x x --<-恒成立， -------------------3 分 令函数2112()(0)ln x x x x x xϕ--=>-， 则22221111(1)(ln )(1)(1)(1)(ln )(1)()22()(ln )(ln )x x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------'==-- 整理得22111(1)(ln 1)(1)(ln 1)22()(ln )(ln )x x x x x x x x x x x x x x ϕ---++--++'==--， -------------------4分 令函数1()ln 1(0)2x u x x x x=-++>， 则22211122()22x x u x x x x--'=--=， 由()0u x '<得(0,1x ∈，即函数()u x在区间(0,1上单调递减； 由()0u x '>得(1)x ∈+∞，即函数()u x在区间[1)++∞上单调递增， 所以函数()u x最小值为1(1ln(112u +=-++整理得(11ln(1u +=+-+，由已证不等式ln 1x x x ≤-<知：(10u >，即函数()u x 恒大于0. -------------------5 分 此时由()0x ϕ'<得(0,1)x ∈，即函数()x ϕ在区间(0,1]上单调递减； 由()0x ϕ'>得(1,)x ∈+∞，即函数()x ϕ在区间[1,)+∞上单调递增， 所以函数()x ϕ最小值为3(1)2ϕ=-，故322a <-，34a <-. -------------------6 分 (3) 由21()(1)ln ()2f x x a x a x a R =-++∈求导得2(1)(1)()()x a x a x x a f x x x-++--'==. ① 当1a ≤时，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为1(1)2f a =--； -------------------7 分 ② 当1a e <<时，由()0f x '>得(0,1)(,)x a ∈⋃+∞，即函数()f x 在区间(0,1]和[,)a +∞上分别单调递增； 由()0f x '<得(1,)x a ∈，即函数()f x 在区间[1,]a 单调递减，所以函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为21()ln 2f a a a a a =--+； -------------------8 分 ③ 当a e ≥时，函数()f x 在区间[1,]e 上单调递减， 所以函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2()(1)2e f e e a e =-+-. -------------------9 分 即：221(1)21()ln (1)2(1)()2a a m a a a a a a e e e a e a e ⎧--≤⎪⎪⎪=--+<<⎨⎪⎪-+-≥⎪⎩.易知当1a ≤时3()[,)2m a ∈-+∞； a e ≥时2()(,]2e m a ∈-∞-； -------------------10 分 当1a e <<时，21()ln 2m a a a a a =--+， 则()ln m a a a '=-，由(1)证明过程得知ln 1x x x ≤-<，即()0m a '<，所以函数()m a 在(1,)a e ∈上单调递减，此时23()(,22e m a ∈--，-------------------11 分 综上2233()(,(,[,)2222e e m a R ∈-∞-⋃--⋃-+∞=， 函数()m a 的值域为R . -------------------12 分第１１页，共１１页。
2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，若()2i i 2i a b +=+，则i a b +=（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】A【分析】结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案. 【详解】依题意()2i i 2i 2i a a b +=-+=+，所以2222b a a b -==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以i a b +==故选：A2．下列函数的求导不．正确的是（ ） A ．()232x x --'=-B ．()cos cos sin x x x x x '=-C ．()1ln1010'=D ．()22x x e e '=【答案】C【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断. 【详解】对于A ：由幂函数的导数公式得：()232x x --'=-.故A 正确； 对于B ：由导数的四则运算得：()cos cos sin x x x x x '=-.故B 正确； 对于C ：因为常值函数的导数为0，所以()ln100'=.故C 错误； 对于D ：由导数的四则运算得：()22x x e e '=.故D 正确. 故选：C.3．利用反证法证明“已知12345100a a a a a ++++≥，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（ ） A ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 均不大于20 B ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20 C ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不都大于20 D ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 至多有一个小于20 【答案】B【分析】根据量词的否定即可求解.【详解】1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20的否定是: 1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20.故选:B4．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞ C ．(],0-∞ D ．[]1,0-【答案】C【分析】设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，求出导数，即可求出切线方程，从而得到0ln 1a x =+，0b x =-，即可得到a b +的表达式，构造函数，利用导数求出函数的单调性与最大值，从而得解；【详解】解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点， 由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-， 即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-， 所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞， 所以()111x g x x x-'=-=， 所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞； 故选：C5．在“2022年北京冬奥会知识竞赛”活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测．甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最低的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】分别假设甲、乙、丙、丁说的是真的，从而推理出正确答案.【详解】甲说：丁>乙；乙说：甲>丙；丙说：丙>丁；丁说：丙>乙.若甲的成绩最低，甲说的是真，乙丙丁说的是假，则丁>乙>丙>甲，符合题意. 若乙的成绩最低，乙说的是真，丁说的是假，即丙<乙，与乙的成绩最低矛盾，不符合题意.若丙的成绩最低，丙说的是真，即丙>丁，与丙的成绩最低矛盾，不符合题意. 若丁的成绩最低，丁说的是真，丙说的是假，即丙<丁，与丁的成绩最低矛盾，不符合题意. 故选：A6．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x 万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y （单位：万元）与贷款x 满足关系式12ln 9y x x x=--+，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ） A ．3万元 B ．4万元 C ．5万元 D ．6万元【答案】B【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意12ln 9y x x x=--+，且010x <≤， ()()2'22243112121x x x x y x x x x -++-++=-+==， 所以函数12ln 9y x x x=--+在()'0,4,0y >，函数递增；在()'4,10,0y <，函数递减.所以当4x =万元时，函数取得最大值. 故选：B7．在二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；在三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W 为 A ．44r π B ．43r πC ．42r πD ．4r π【答案】B【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W V '=，求出所求．【详解】由题知，,S l V S ''==，所以类比推理，猜想，W V '=，因为312V r π=， 所以43W r π=，故选B ．【点睛】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力．8．函数()sin sin cos f x x x x =+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可排除错误答案，从而得解； 【详解】解：因为()sin sin cos f x x x x =+，[],x ππ∈-，所以()()()()()sin sin cos sin sin cos f x x x x x x x f x -=-+--=--=-， 所以()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D ；又sin sin cos 102222f ππππ⎛⎫=+⋅=> ⎪⎝⎭，故排除A ，又3313316sin sin cos 133332f ππππ⎛⎫=+⋅=>= ⎪⎝⎭，故排除C ； 故选：B9．利用数学归纳法证明不等式()211112321nf n +++⋅⋅⋅+<-（*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．k 项 B ．22k 项 C ．12k -项 D ．232k ⋅项【答案】D【分析】由数学归纳法，可知增加的项，由分母的改变量即可求解. 【详解】n k =时,左边为()211112321kf k +++⋅⋅⋅+<-， 当1n k =+时，左边为()2222211111111123212212221kk k k k ++++⋅⋅⋅+++++-++-左边增加了()2222111112212221k k k k +++++++- ，共有()()2122212132k k k +⎡⎤---=⋅⎣⎦. 故选：D10．已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,18B ．()2,18C ．(][)218-∞⋃∞,,+ D ．[]2,18 【答案】B【分析】求出导函数，得到函数在()0,+∞上的单调性，列不等式，即可得到答案.【详解】()2,0.af x x x x '=->当a ≤0时, ()0.f x '>恒成立,故函数在(1,3)内单调递增,不符合题意;当a >0时,令()0.f x '>可得：22a x >；令()0f x '<，可得：202a x <<， 所以要使函数()f x 在()1,3内有极值点，只需2132<<a,解可得,2<a <18. 故选：B11．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】C【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的各项为1，6，15，28，45，... 所以1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ， 452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，所以111121231a =⨯=. 故选：C12．若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]12ln2e 3--, B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎥⎝⎦, C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,【答案】D【分析】由方程12ln 0x x x mx -+-=分离常数m ，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】依题意关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，12ln 1m x x =+-，构造函数()112ln 1e e x x x x f ⎛⎫+-<< ⎝=⎪⎭，()'221221x f x x x x-=-+=， 所以()f x 在区间()()'11,,0,e 2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.122ln 2112ln 22f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 1e 21e 3e f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11e e 21e e f +=+-=，所以()12ln 2e 3m -∈-,. 故选：D 二、填空题13．(12x dx =⎰________【答案】14π+【详解】因11(2(2)x dx x dx =+⎰⎰，而122(2)101x dx =-=⎰，2222000111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t πππππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+．14．已知复数12z =-，则z z =______．【答案】12-【分析】先求出z ，再利用复数的四则运算直接求解. 【详解】因为复数12z =-，所以复数12z =-，所以21212z z ⎛⎫- ⎪==-⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-15．已知函数()()21e e e e 2x x f x a a x =+--（其中R,e a ∈为自然对数的底数）在x ＝1处取得极小值，则a 的取值范围是______． 【答案】()e,∞-+【分析】先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，结合()f x 在1x =处取得极小值来求得a 的取值范围.【详解】()()()()'2e e e e e e e x x x xf x a a a =+--=+-，当0a ≥时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意. 当0a <时，由e 0x a +=解得()ln x a =-，①当()ln 1,e 0a a -<-<<时，()f x 在区间()()()()'ln ,1,0,a f x f x -<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.②当()ln 1,e a a -≥≤-时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞>递增，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是()e,∞-+. 故答案为：()e,∞-+16．已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立．则11b a ++的最大值为______． 【答案】12e【分析】由不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤进行转化，先利用特殊值求得11b a ++的取值范围，再利用导数求得11b a ++的最大值. 【详解】依题意：不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即()()ln 2e 1121x x a x b +-≤+-+①对任意的()0,x ∈+∞恒成立， ln 2e 1y x x =+-在()0,∞+上递增，则10a +>，由①，令1e x =得()()111ln 2e 1121e e e a b +⋅-≤+⋅-+，整理得1112eb a +≤+.当13e 1,2a b =-=时，1112eb a +=+，此时，①即ln 2e 13e 3x x x +-≤-，只需ln e 20x x -+≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()()'e 1ln e 20,x f x x x x f x x-+=-+>=， 所以()f x 在区间()()'10,,0,e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'1,,0,e f x f x ⎛⎫+∞< ⎪⎝⎭递减，所以()111ln e 20e e e f x f ⎛⎫≤=-⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：12e【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，主要步骤是先化简不等式，然后通过构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等来进行求解. 三、解答题17．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值. 【答案】(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=. （2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（1）设0a b ≥>，用综合法证明：3322a b a b ab +≥+．（2）设0a >，求证：2211a a a a+≥+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作差可得33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-，由0a b >，可得2()0a b -，可得2()()0a b a b +-，即可得证；（2）运用分析法，考虑去分母和因式分解，由条件和不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）证明如下：33223232()()()()a b a b ab a a b b ab +-+=-+- 22()()a a b b b a =-+-222()()()()a b a b a b a b =--=+-又0a >，0b >，∴0a b +>，而()20a b -≥， ∴()()20a b a b +-≥， 故3322()()0a b a b ab +-+≥， 即3322a b a b ab +≥+．（2）证明：要证2211a a a a+≥+， 只要证431a a a +≥+， 只要证43(1)0a a a ---≥， 只要证3(1)(1)0a a a ---≥，只要证()31(1)0a a --≥， 只要证()22(1)10a a a -++≥，因为2(1)0a -≥，22131024a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以()22(1)10a a a -++≥成立，所以0a >时，2211a a a a+≥+成立． 19．已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线所在的直线方程；(3)若抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，求点M 的坐标和最短距离．【答案】(1)1a =，2b =，1c =- (2)420x y --=(3)()1,2M 【分析】（1）对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把P 点坐标代入两个函数式，可解得,,a b c ；（2）由（2）得切线斜率，从而得公切线方程；（3）由抛物线的导数值等于4可得M 点坐标，再由点到直线距离公式可得结论． 【详解】(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是()()()332100lim lim 3x x x x a x x x ax y y x a x x∆→∆→+∆++∆-+∆'===+∆∆． ()()()22200lim lim 2x x x x b x x c x bx c y y x b x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+∆∆．将()1,2P 分别代入两曲线方程得到21a =+，21b c =++．又213y x a '=+，22y x b '=+，则32a b +=+，解得1a =，2b =，1c =-． (2)由（1）知3y x x =+，2131y x '=+；当1x =时，14y '=，故切线方程 为()412y x =-+，即420x y --=．由（1）知221y x x =+-，222y x '=+，当1x =时，24y '=，故切线方程为()412y x =-+，即420x y --=．综上所述，公切线所在的直线方程为420x y --=．(3)要使抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，则抛物线在点M 处 的切线斜率应该与直线45y x =-相同， 则()()()2200lim lim 224x x x x b x x c x bx c y y x x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+=∆∆，解得1x =．又因为点M 在抛物线上，解得()1,2M ， 所以最短距离即d 为点M 到直线45y x =-的距离，代入点到直线的距离公式得d =20．新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e 7.39≈，3e 20.09≈） (1)当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？ (2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？ 【答案】(1)6.67万元 (2)20.09万件【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.【详解】(1)当5x =时,()212055455 6.6733p =-⨯+⨯-=≈,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元(2)因为利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩故当()221107,()456373x p x x x x <<=-+=--+-,此时当max 6,()7x p x ==.当7x ≥时,()3e 12ln ,p x x x =-- ()3322e e ,1x xx p x x -'=-+=当37e ,()0,x p x '≤≤> 此时()p x 单调递增,当3e ,()0,x p x '><此时()p x 单调递减，故当3e 20.09x =≈时，33max3e ()12ln e 12318ep x =--=--=综上，当20.09x =时，所获月利润最大.21．已知函数()e xf x =，()cosg x x =-．(1)讨论函数()()()g x F x f x =的单调性；(2)设函数()()()G x f x g x ax =+-（R a ∈），若()G x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)增区间π3π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，减区间3π7π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭(2)π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()F x 的单调区间.（2）由()'0G x ≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，分离常数a ，通过构造函数法，结合导数求得a的取值范围. 【详解】(1)()()()cos e xg x xF x f x -==，()F x 的定义域为R .()'sin cos πsin e 4x x x F x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 设Z k ∈， ππ3π2π2ππ,2π2π444k x k k x k <+<+-<<+， π3π7π2ππ2π2π,2π2π444k x k k x k +<+<++<<+， 所以()F x 在区间()()'π3π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'3π7π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭递减.(2)()()()e cos xG x f x g x ax x ax =+-=--，π2x ≥-，()'e sin 0x G x x a =+-≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，e sin x a x ≤+在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，令()πe sin 2xh x x x ⎛⎫=+≥- ⎪⎝⎭，当ππ22x -≤≤时，()'cos 0,e cos 0x x h x x ≥=+>； 当π2x >时，e 1cos 1x x >≥≥-，()'e cos 0xh x x =+>， 所以()h x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，()ππ22ππe cos e 22h x h --⎛⎫⎛⎫≥-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2e a -≤，即a 的取值范围是π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】由函数()f x 在区间上的递增（或递减）来求参数的取值范围，可利用()'f x ≥（或()'0f x ≤）恒成立来建立不等关系式，然后通过分离常数法，再次结合导数来求得参数的取值范围.22．如图，()111,P x y 、()222,P x y 、⋅⋅⋅、(),n n n Px y （120n y y y <<<⋅⋅⋅<）是曲线C ：y =上的n 个点，点(),0i i A a （i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是等腰直角三角形，其中i P 为直角顶点，0A 是坐标原点．(1)写出1a 、2a 、3a ；(2)猜想点(),0n n A a （*n ∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)12a =，26a =，312a = (2)证明见解析【分析】（1）推导出()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，结合0a 的值，可求得1a 、2a 、3a 的值；（2）结合1a 、2a 、3a 的值可猜想得出()()*1n a n n n =+∈N ，然后利用数学归纳法结合()()()2*112n n n n a a a a n ---=+∈N 和{}n a 为单调递增数列，可证得猜想成立.【详解】(1)设00a =，则依题意，可得12n nn a a x -+=，11122nn n n n n a a a a y a ---+-=-=， 代入y x =1122n n n n a a a a ---+= 即()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，由图可知{}n a 为单调递增数列，所以，1n n a a +>，所以12a =，26a =，312a =．(2)由（1）可猜想：()()*1n a n n n =+∈N ． 下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当n k =时猜想成立，即有()1k a k k =+，则当1n k =+时，由()()2112k k k k a a a a ++-=+得()()211121k k a k k k k a ++-+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()()2211211120k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()112k a k k +=++（()11k k a k k a +=-<不符合题意，舍去）， 即当1n k =+时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即()()*1n a n n n =+∈N ．。
2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3712a a +=，89a =，则12S =（ ） A ．60 B ．90 C ．120 D ．180【答案】B【分析】结合等差数列的性质求得5815a a +=，再根据等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为3712a a +=，由等差数列的性质得35762a a a +==，则5815a a +=， 所以()()1121258126902a a S a a ⨯+==⨯+=．故选：B.2．等比数列{an }中，若a 5＝9，则log 3a 4+log 3a 6＝（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9【答案】C【分析】利用等比中项得到4681a a ＝，直接求得.【详解】等比数列{an }中，若a 5＝9，所以54681a a a 2＝＝， 所以()23436353log log log log 814a a a +==＝. 故选：C3．下列导数计算正确的是（ ） A ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2311x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()ln e e '+=+x x x xD ．()cos cos sin x x x x x '=-【答案】D【分析】利用求导公式计算. 【详解】对于A ：()222ln 1111ln 1ln ln ln ln '''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⋅=⋅+⋅=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x x x x x x x xx x 故A 错误； 对于B ：()2323122--'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭x x x x 故B 错误﹔ 对于C ：()()()1ln ln e e e '''+=+=+xxxx x x故C 错误； 对于D ：()()cos cos cos cos sin x x x x x x x x x '''=+=-故D 正确. 故选：D4．已知函数()2e x f x ax =-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,2]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，根据导数在给定区间上恒大于等于0即可求解.【详解】'()2e x f x a =- ，因为函数()2e x f x ax =-在[0,)+∞上单调递增， 所以'()2e 0x f x a =- 在[0,)+∞上恒成立，解得2a ； 故选：B.5．若数列{}n a 满足：11a =，且13,21,n n n a n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.则7a =（ ）A ．19B ．22C ．43D ．46【答案】C【分析】直接由递推关系式求解即可.【详解】由11a =得2134a a =+=，32217a a =-=，43310a a =+=， 542119a a =-=，56322a a =+=，672143a a =-=.故选：C.6．设2tan 92,,a b c e ππ===，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【答案】B【分析】根据正切函数，指数函数，幂函数的单调性比较a b c ，，的大小，由此确定它们的大小关系.【详解】解：∵92︒是第二象限角，∴tan920a =︒<， 又∵34π<<，函数2yx 在()0+∞，上单调递增，函数x y e =在R 上单调递增，所以2234e e ππ<<<，所以c b a >>， 故选：B.7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）A ．66B ．91C ．107D ．120【答案】D【分析】根据数列的规律得到第n 个叠放图形中共有n 层，构成等差数列求解. 【详解】因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体，归纳可得：第n 个叠放图形中共有n 层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列， 所以第n 个叠放的图形中小正方体木块的总数是()21422n n n S n n n -=+=-，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是28288120S =⨯-=， 故选：D8．已知函数f (x )＝x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中错误的是（ ） A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】C【分析】由已知结合函数的值域，对称性，极值即可求解． 【详解】由三次函数值域为R 知f (x )=0有解，故A 正确；∵23a f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭f （x ）32222()()333a a a x a x b x c ⎛⎫=--+--+--++ ⎪⎝⎭x 3+ax 2+bx +c 342273ab a =-+2c ，3232()()3333273a a a a ab f a b c a c ⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵23a f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭f （x ）23a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴点P 33a a f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为对称中心，故B 正确； 若f (x )有极小值点，则f ′(x )=0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)，f ′(x )=3x 2+2ax +b =3(x －x 1)(x －x 2)，则f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增，即x 0=x 2，故C 错误；若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)=0正确，故D 正确. 故选：C. 二、多选题9．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（ ） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >= ，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项 【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确 又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC10．下列不等式正确的是（ ） A ．当x ∈R 时，1x e x ≥+ B ．当0x >时，ln 1≤-x x C ．当x ∈R 时，x e ex ≥ D ．当x ∈R 时，sin x x ≥【答案】ABC【解析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A ：设()1x f x e x =--，则()1x f x e =-'，令()0f x '=，解得0x =， 当(,0)x ∈-∞时函数单调递减，当(0,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数在0x =时，函数取得最小值()(0)0min f x f ==，故当x ∈R 时，1x e x +，故A 正确；对于B ：设()ln 1f x x x =-+，所以1(1)()1'--=-=x f x x x， 令()0f x '=，解得1x =，当(0,1)x ∈时，函数单调递增，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递减， 所以在1x =时，max ()f x f =（1）0=，故当0x >时，1lnx x -恒成立，故B 正确； 对于C ：设()x f x e ex =-，所以()x f x e e '=-，令()0f x '=，解得1x =，当(,1)x ∈-∞时，函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以当1x =时，min ()f x f =（1）0=，所以当x ∈R 时，x e ex ，故C 正确；对于D ：设函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-，所以()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，所以0x >时，sin x x 成立，0x <时，()0f x <，故D 错误． 故选：ABC11．已知数列{}n a 中的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有1n n a S +≤，则称{}n a 为“和谐数列”，下列结论，正确的有（ ） A ．常数数列为“和谐数列” B ．12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“和谐数列”C ．{}21n +为“和谐数列”D ．若公差为d 的等差数列{}n a 满足：{}n a n +为“和谐数列”，则1a d +的最小值为-2 【答案】BD【分析】根据给定“和谐数列”的定义，对各选项中的数列逐一分析计算即可判断作答. 【详解】对于A ，数列{}n a 中，令n a c =(c 为常数)，n S nc =，当c <0时，322a c c S =>=，此时的常数数列不为“和谐数列”，A 不正确； 对于B ，数列{}n a 中，令12n n a =，则112n n S ，111113110222n n n n n S a +++-=--=->，即1n n a S +≤成立，B 正确；对于C ，数列{}n a 中，令21n a n =+，3(21)(2)2n n n S n n ++=⋅=+，2153a S =>=，{}21n +不是“和谐数列”，C 不正确；对于D ，令n n b a n =+，则11(1)()1n n n n b b a n a n d ++-=++-+=+，数列{}n b 是首项为11a +，公差为1d +的等差数列，其前n 项和为n T ，则1(1)(1)(1)n b a n d =++-+，因{}n b 是“和谐数列”，于是有n *∈N ，1n n b T +≤，即有21b T ≤，1121a d a ++≤+，从而得1d ≤-，又111(1)1(1)(1)(1)2n n n n b a n d T n a d +-=+++≤=+++，即211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥对n *∈N 恒成立，若1d =-，则有1(1)(1)0a n +-≥对n *∈N 恒成立，必有110a +≥，即11a ≥-，12a d +≥-，因此，1min ()2a d +=-，若1d <-，则211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+对应的是开口向下的抛物线211(1)(213)(22)y d x a d x a =++---+在x 取正整数时的函数值，由二次函数性质知，当正整数n 足够大时，211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+的值是负数，211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥不成立，从而只有1d =-，且11a ≥-，1a d +的最小值为-2，D 正确. 故选：BD12．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（ ）A ．()()22315f f ->B ．若()12f =，1x >，则()21122f x x x >++C ．()()3217f f -<D ．若()12f =，01x <<，则()21122f x x x >++【答案】CD【解析】构造函数()()21f x xg x x -=+，然后求导，可得到函数()g x 的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误.【详解】构造函数()()21f x xg x x -=+，则()()()()()()()()()2222211211f x x x f x x x f x f x x x g x x x '⎡⎤⎡⎤-+--'+---⎣⎦⎣⎦'==++ 因为()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立，所以()()()()()221201x f x f x x x g x x '+---'=<+在()0,x ∈+∞上恒成立，即()g x 在()0,∞+上递减，所以()()21g g <，即()()241132f f --<，整理得：()()22315f f -<，故A 错； 所以()()31g g <，即()()391142f f --<，整理得：()()3217f f -<，故C 正确； 对于B 选项，若()12f =，1x >，则()()1g x g <在()1,+∞恒成立，所以()()2111122f x x f x --<=+整理得：()21122f x x x <++，所以B 错；对于D 选项，当01x <<时，()()1g x g >，则可得()21122f x x x >++，故D 正确.故选：CD.【点睛】本题考查利用构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否成立的问题，难度一般. 三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则数列{}n a 的第6项是________．【答案】9【分析】依据数列的前n 项和与通项的关系即可求得第6项的值.【详解】22665(6261)(5251)25169a S S =-=-⨯+--⨯+=-=．故答案为：914．若数列{}n a 的通项公式为n a n =-__________．【答案】12-【详解】t =，则27y t t =-，对称轴72t =，由复合函数的单调性性质可知，n a 在490,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，49,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，又n 为整数，则当12n =时，12n a =-13n =时，13n a =-因为1213-<-12-点睛：数列是特殊的函数，本题将数列通项式看做函数，观察函数的性质，得到数列的相关性质．本题中利用复合函数的单调性性质，得到数列n a 在490,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，49,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，再根据n 为整数，计算1213,a a ，比较大小即可． 15．已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线e x b y -=相切，则14a b+的最小值是________．【答案】9【分析】根据题意设直线y x a =+与曲线e x b y -=的切点为()00,x y ，进而根据导数的几何意义得00,1,1x b y a b ==+=，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：根据题意，设直线y x a =+与曲线e x b y -=的切点为()00,x y ， 因为()'e e x b x b y --'==，直线y x a =+的斜率为1k =，所以0e 1x b k -==，00y x a =+，00e x by -=所以00,1,1x b y a b ==+=， 因为0,0a b >>所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当223b a ==时等号成立.所以14a b+的最小值是9.故答案为：916．设函数222e 1e (),()e +==x x x xf xg x ，对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k 恒成立，则正数k 的取值范围是_____． 【答案】1k > 【分析】将不等式12()()1>+f x g x k k恒成立转化为min max ()()1f x g x k k >+，接下来求(),()f x g x的最小值与最大值，列出关于k 的不等式，解k 即可 【详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k恒成立 min max()()1f x g x k k ⇒>+由2e (1)()0e xx g x -'== ，得1x = ，(0,1)x ∴∈ 时，()0g x '> ，()g x 在(0,1) 上递增(1,)x ∈+∞ 时，()0g x '< ，()g x 在(1,)+∞ 上递减 max ()(1)eg x g k k k== 由222e 1()0x f x x -'== ，得1e x = 1(0,)e x ∴∈ 时，()0f x '<，()f x 在1(0,)e上递减1(,)ex ∈+∞ 时，()0f x '>，()f x 在1(,)e +∞ 上递增min1()()2e e 111f f x k k k ==+++ 由min max ()()1f x g x k k >+即2e e1k k>+ ，又因为k 为正实数 解得1k > 故答案为：1k > 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，111a =-，29a =-，且 11222n n n S S S n +-+-=≥（）(1)求数列{an }的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，数列{bn }的前n 项和为Tn ，求使得Tn ＞0的n 的最大值． 【答案】(1)an ＝2n ﹣13 (2)5【分析】（1）消去Sn 得到an +1﹣an ＝2，即可判断出{an }是公差为2的等差数列，求出通项公式；（2）利用裂项相消法求出111211211n T n ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，列不等式即可求解.【详解】(1)由题意知（Sn +1﹣Sn ）﹣（Sn ﹣Sn ﹣1）＝2， 解得an +1﹣an ＝2（n ≥2）， 又a 2﹣a 1＝2，所以{an }是公差为2的等差数列， 则an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣13； (2)由题知1111()(213)(211)2213211n b n n n n ==-----，则121111111211997213211111211211111211211n nT b b b n n n n =+++⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭⎛⎫=- ⎪--⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭由0n T >得11201121111(211)n n n +=<--， 解得1102n <<， 所以n 的最大值为5．18．设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)212n n a -=(2)21(31)229n n n S +-⨯+=【分析】（1）由递推公式结合累加法可得答案；． （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】(1)因为数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()23252132222n n ---=⋅++++()()112124132242,241n n n n ----=⨯+=⨯=≥-；经验证，12a =满足上式， 所以212n n a -=；(2)212n n n n b na -=⨯=，所以352112222322n n n S b b b n -=+++=+⨯+⨯++⨯，()5212142422122-+=⨯+⨯++-⨯+⨯n n n S n n ，所以()35212121241322222241-++--=++++-⨯=-⨯-n n n n n S n n ，可得21(31)229n n n S +-⨯+=．19．已知函数e ()(ln )=--+xf x a x x a x（a 为实数）．(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞ (2)(e,)+∞【分析】（1）求导2(1)(e )()--'=x x ax f x x ，易知1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，然后由()0f x '<和()0f x '>求解；（2）由（1）知，0a 时，不符合题意， 0a >时，根据函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，得到()0f x '=在（0，1）内存在唯一变号零点，转化为ex a x=在（0，1）内存在唯一根求解.【详解】(1)解：函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，22e (1)1(1)(e )()1---⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭x x x x ax f x a x x x ．当1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞． (2)由（1）知，当0a 时，()f x 在（0，1）内单调递减， 所以()f x 在（0，1）内不存在极值点；当0a >时，要使函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，则2(1)(e )()0--'==x x ax f x x 在（0，1）内存在唯一变号零点，即方程e 0x ax -=在（0，1）内存在唯一根， 所以e xa x=在（0，1）内存在唯一根，即y a =与()e xg x x =的图象在（0，1）内存在唯一交点，因为2(1)e ()0-'=<xx g x x ， 所以()g x 在（0，1）内单调递减．又(1)e g =， 当0x →时，()g x ∞→+，所以e a >，即a 的取值范围为(e,)+∞．20．在数列{}n a 中，a 1＝1，an ＝2an ﹣1+n ﹣2（n ≥2）．(1)证明：数列{}n a n +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{an }的前n 项和Sn ．【答案】(1)证明见解析，2nn a n =-(2)21*42()2+++=-∈n n n n S n N【分析】（1）根据定义法证明{}n a n +是等比数列，然后求出数列{}n a n +的通项公式即可得到{}n a 的通项公式（2）根据{}n a 数列通项的特点先分组，再采用公式法求和即可【详解】(1)明：因为111(22)(1)1---++-+=+-+-n n n n a n a n n a n a n ＝1122221--+-=+-n n a n a n ， 数列 {an +n } 是首项为 a 1+1＝2，公比为2的等比数列， 那么1222n n n a n -+=⋅=，即 2n n a n =-．(2)由（1）知2nn a n =-，123(2222)(123)=+++-++++n n S n＝2(12)(1)122⨯-⨯+--n n n ＝21*42()2+++-∈n n n n N21．已知点()0-2A ，，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 23O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点()0-2A ，的动直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点.当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程.【答案】(1) 2214x y +=.（2）72y - 或72y =-. 【详解】试题分析：（1）由条件知a=2b ， c 3=又3c a =可得a,b ，故得到E 的方程； （2）设出直线l 的方程和点P 的坐标，联立直线l 与椭圆方程，当判别式大于0时，根据韦达定理得根与系数的关系得到PQ 的长．根据点到直线距离公式代入OPQ ∆面积中，得到其关于k 的表达式，根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k 的值，即求得l 的方程.试题解析：(1) 设F(c,0)，由条件知a=2b ，得c 3又3c a =所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=.（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：y=kx-2，设()()1122,,,P x y Q x y将y=kx-2代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，即234k >时，1,2x =,从而12PQ x =-=, 又点O 到直线PQ 的距离d =∆OPQ 的面积12OPQS d PQ ∆==，t ，则t>0，244144OPQ t S t t t∆==≤++，当且仅当2t =，k =等号成立，且满足0∆>， 所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：2y =- 或2y =-. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22．已知函数()ln 2()f x x x a =+∈R ． (1)当2a =-时，求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 有两个不同零点1x ，212()x x x <， ①求实数a 的取值范围； ②求证：22124a x x ⋅>．【答案】(1)单调递增区间是1(0,)4，单调递减区间是1(,)4+∞(2)①2a >；②证明见解析【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）①函数()f x 有两个不同零点1212,()x x x x <，等价于方程a =有两个不同的实根1212,()x x x x <．设t =ln 2a t t t=-有两个不同的实根()1212,t t t t <． 设ln ()(0)tg t t t t=->，由导数确定()g t 的单调性、极值、函数值的变化趋势后可得；②由①1t =，2t 22124a x x ⋅>，只需证2122a t t ⋅>．由①知，1201t t <<<，故有2222ln 2t a t t t =-<，即22a t >．下面证明：121t t ⋅>即可．引入函数()()2221()h t g t g t =-，由导数证明()221()0g t g t ->，利用单调性即可得结论．【详解】(1)对函数()f x求导，得1'()22a f x x =+=当2a =-时，'()f x ==因为函数()f x 的定义域(0,)+∞， 由'()0f x >，得104x <<， 由'()0f x <，得14x >， 所以函数()f x 的单调递增区间是1(0,)4，单调递减区间是1(,)4+∞．(2)由()0f x =，得ln 20x x +=， ①函数()f x 有两个不同零点1212,()x x x x <，等价于方程a =1212,()x x x x <．设t =ln 2a t t t=-有两个不同的实根()1212,t t t t <． 设ln ()(0)tg t t t t=->， 2221ln ln 1'()1t t t g t t t -+-=-=，再设2()ln 1u t t t =+-，1'()20u t t t =+>所以函数()u t 在(0,)t ∈+∞上单调递增， 注意到2(1)1ln110u =+-=，所以当01t <<时，()0u t <，当1t >时，()0u t >． 所以()g t 在（0，1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 当0t +→时，()g t →+∞， 当t →+∞时，()g t →+∞， 当1t =时，()1g t =， 只需12a>， 即所求2a >．②注意到1t =2t 22124a x x ⋅>，只需证2122a t t ⋅>． 由①知，1201t t <<<，故有2222ln 2t at t t =-<，即22a t >． 下面证明：121t t ⋅>．设()()222222222222221lnln 1111()()()()ln 1t t h t g t g t t t t t t t t t t =-=---=--+， 有()22222222222211111'1(1)ln ()(1)ln 0h t t t t t t t t t =+---+⋅=--<， 所以函数()2h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()2(1)0h t h >=，所以()221()0g t g t ->，故有()()2121()g g t g t t <=．又2101t <<，101t <<，且()g t 在(0,1)t ∈上单调递减，所以121t t >，即得121t t ⋅>．因此2122at t ⋅>，结论得证． 【点睛】本题考查用导数求函数的单调性，研究函数的零点问题，解题关键是对两个变量的处理，换元t =121t t >，双变量的处理，先分离，121t t >，利用函数()g x 的单调性，表面上复杂化，证明121()()g t g t >，实质上利用两个变量的关系，此时可以进行消元：12()()g t g t =，因此只要证221()()g t g t >，为此引入新函数，利用导数加以证明．本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，转化与化归能力，属于困难题．。
山东省聊城市2021--2022学年高二数学下学期期中教学质量检测试题(解析版)
再将，
再由分步计数原理可得男生和女生相间的站法有 种；
【小问3详解】
解：当男生甲在排尾时，有 种排法，
当男生甲既不在排头又不在排尾时，
男生甲有 种排法，女生乙有 种排法，其余3人有 种排法，
此时共有 种排法，
所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法有 种.
18. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是 ，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是 ．
（1）甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；
（2）在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．
1. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字 三位数，其中奇数的个数为（）
A.6B.12C.16D.18
【答案】B
【解析】
【分析】先排个位，再排百位和十位，即得结果.
【详解】先排个位，有2种选法，再排百位和十位，有 种排法，
因此共有 种排法，
故选：B
2. 设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （）
A. 1B. C. D.
先涂区域 ，有4种方法，再涂区域 ，有3种方法，然后涂区域 ，有2种方法，再涂区域 ，有1种方法，再涂区域 ，有1种方法，最后涂区域 ，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域 涂不同颜色的涂色方法有 种，即48种方法，
由分类加法计数原理可得涂色方法总数是48+24+48种方法，即120种方法.
故答案为：120.
∴ .
故选：A.
4. 冬奥会越野滑雪项目比赛共分 组，现安排 名志愿者负责这 组的服务工作，每人至少负责 组，每组的服务工作由 人完成，则不同的安排方式共有（）
2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数()01f x '=-，则()()000lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．2-【答案】A【分析】根据题意，由导数的定义可得0lim x ∆→000()()()f x x f x f x x+∆-'=∆，即可得答案． 【详解】根据题意，函数()y f x =在0x x =处的导数为0()1f x '=-，而0000()()lim ()1x f x x f x f x x∆→+∆-'==-∆，故选：A2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（ ） A ．53种B ．35种C ．35A 种D ．35C 种【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理进行计算，即每人有5种选法，分三步完成，可求得答案.【详解】窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 即每人都有5种选法，分3步完成，故不同的选法有35555⨯⨯= 种， 故选：B3．记()02012101101x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12310a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1024B ．1023C ．1-D ．0【答案】B【分析】利用赋值法求二次项系数和，令0x =求出0a ，再令1x =即可求解. 【详解】由题意可知，令0x =，得()100101a =+=， 令1x =，得()1010100121024112a a a a +++⋅⋅⋅++===， 所以1231001024102411023a a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-=. 故选：B.4．已知函数()sin f x x mx =-在(),-∞+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-D ．()1,1-【答案】C【分析】求得导数()cos f x x m '=-，根据题意转化为不等式cos x x ≤在R 上恒成立，结合余弦函数的值域，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x mx =-，可得()cos f x x m '=-， 因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，可得()0f x '≥在R 上恒成立， 即不等式cos 0x m -≥在R 上恒成立，即不等式cos m x ≤在R 上恒成立， 因为1cos 1x -≤≤，所以1m ≤-， 所以实数m 的取值范围是(],1-∞-. 故选：C.5．将5名临床医学检验专家（3男2女）分配到2家医院进行核酸检测指导，要求每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有（ ） A ．6种 B ．9种 C ．12种 D ．16种【答案】C【分析】根据题意，先从3名男专家取2名，再分别安排男专家和女专家，即可求解. 【详解】由题意，每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有22223222C C A A 312212=⨯⨯⨯=种.故选：C.6．()712x +的展开式的第4项的系数为（ ） A ．335x B ．35 C ．3280x D ．280【答案】D【分析】根据二项式的展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意二项式()712x +的展开式的第4项为33347C (2)280T x x ==，所以展开式中4项的系数为280. 故选：D.7．某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走法有（ ）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种【答案】C【分析】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法；从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法，由分步计数原理，可得共有339⨯=种不同的走法. 故选：C.8．过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（ ）A ．a b =B ．1a b -=C ．1b a =+D ．2a b =【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a ，b 的关系.【详解】()23f x x a '=-，过点1,0A 作曲线C 的切线， 设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--， 将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b =--=-+即3200230x x a b -+-=（） 由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u = 当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =， 故选：A. 二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x'⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()22ln 2x x '=⋅C ．222e e x xx x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．()22cos 2cos sin x x x x x x '⋅=⋅+⋅【答案】BC【分析】根据导数的运算公式及运算法则进行计算即可. 【详解】A 选项，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误； B 选项，()22ln 2x x '=⋅，故B 选项正确；C 选项，22222?·2()x x x x xx x e x e x x e e e '⎛⎫--== ⎪⎝⎭，故C 选项正确； D 选项，()222cos 2cos (sin )2cos sin x x x x x x x x x x '⋅=⋅+⋅-=⋅-⋅，故D 选项错误； 故选：BC.10．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行. 甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ）A ．若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案B ．安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法C ．若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案D ．已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法 【答案】ACD【分析】根据分组分配法即可判断AC ，根据捆绑法可以判断B ，根据特殊位置优先安排可判断D ．【详解】解：对于A ：若每个比赛区至少安排1人，则有2454C A 240=种不同的方案，故A 正确；对于B ：把甲乙捆绑在一起，看作一个复合元素，再和另外的三人全排，则有2424A A 48=种，故B 错误；对于C ：短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有2353C A 60=种不同的方案，故C 正确；对于D ：先排前排，由25A 20=种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有22A 2=种，则有20240⨯=种，故D 正确． 故选：ACD11．若()()()()22*012121212nn n x x x a a x a x a x n ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+∈N ，06a =，则下列结论中正确的是（ ） A ．12n = B ．142a = C ．064ni i a ==∑D ．()116nii i ia =-=∑【答案】BD【分析】对于A ，根据已知条件及赋值法令0x =即可求解； 对于B ，利用二项式展开式的通项公式求指定项系数即可； 对于C ，利用赋值法求二项式系数令1x =即可求解；对于D ，根据已知等式两边同时求导数再利用赋值法令1x =-即可求解.【详解】对于A ，由题意可知，令0x =时 ()()()201201201206na +⨯++⨯+⋅⋅⋅++⨯==，解得6n =，故A 不正确；对于B ，由()12n x +展开式的通项公式为()1C 122C rr n r r r rr n n T x x -+=⋅⋅=⋅⋅，由6n =，得()()()26121212x x x ++++⋅⋅⋅++展开式中含x 的项的系数和为111111111123461522C 2C 2C 2C 2C 2468101242a =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=，故B 正确； 对于C ，令1x =，得660122603309231i i a a a a a ==+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+==++∑，故C 不正确；对于D ，对()()()22012121212nn n x x x a a x a x a x ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+，两边同时求导，得()()()6255122121231261226x x x a a x a x ⎡⎤+++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+⎣⎦， 令1x =-，得12345623456a a a a a a -+-+-()()()()()2345212123124125126126⎡⎤=+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-⎣⎦. 所以()1234561234566a a a a a a -+-+-+=()()612345611234566iii ia a aa a a a =-=-+-+-+=∑，故D 正确.故选：BD.12．已知函数()ln x f x x=，e是自然对数的底数，则（ ） A ．()f x 的最大值为1eB ．π2π2ln 33ln π3ln 2>>C ．若1221ln ln =x x x x ，则212e x x +=D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则212e x x > 【答案】ABD【分析】对于A ，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B ，根据函数()ln xf x x=的单调性，即可判断；对于C ，构造函数()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈，判断其单调性，结合1221ln ln =x x x x 即()()12f x f x =即可判断；对于D ，将()()12f x f x =展开整理得12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，然后采用分析法的思想，推出1121222(1)ln1x x x x x x ->+，构造函数2(1)(1)ln u t t t t --=+，求其最小值即可判断. 【详解】由题意得()ln x f x x =，则21ln ()xf x x -'=， 当0e x << 时，()0f x '>，()f x 递增 ，当e x > 时，()0f x '<，()f x 递减， 故max 1()(e)ef x f ==，故A 正确；由于3π<，由于当e x > 时，()f x 递减，故(3)(π)f f > ， 即ln 3ln π,2πln3>23ln π3π>⨯ ，即π22ln33ln π>， 因为ln 2ln 4(2)(4)(π)24f f f ===< ， 故ln 2ln π,3πln2<32ln π2π<⨯，即2π3ln π3ln 2>， 故π2π2ln 33ln π3ln 2>>，故B 正确； 因为1221ln ln =x x x x ，即121122ln ln ,()()x x f x f x x x ==， 设()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈ ，由于当0e x << 时，()f x 递增 ，当e x > 时， ()f x 递减，故()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈单调减函数，故()(0)0g t g <=，即(e+)<(e )f t f t -，由于12()()f x f x =，不妨设20e x <<， 则122e x x <- ， 即212e x x +<，故C 错误；对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，不妨设210x x << ， 即1212ln ln x x x x =，设1212ln ln x x m x x ==，则1122ln ,ln x mx x mx ==， 则12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，1212ln ln x x m x x -=-，而212121212121222()ln ln e ln ln 2x x x x x x x x x x x m x -+>⇔+>⇔>-+>⇔112112112222l 2(1n )2()ln 1ln x x x xx x x x x x x x --->⇔>++⇔ ， 设211,x x t => 令2(1)(1)ln u t t t t --=+ ，则2222(1)2(1)(1)0(1)(11)()t t t t t u t t t '+----=>++=， 即2((1)ln ,(11))t u t t t t -->+=为单调增函数，故()(1)0u t u >=， 即1121222(1)ln1x x x x x x ->+成立，故212e x x >，故D 正确， 故选：ABD 三、填空题13．若()1nx +的展开式中，2x 的系数为15，则n =___________. 【答案】6【分析】先求得()1nx +的展开式的通项公式，再根据2x 的系数为15求解. 【详解】因为()1nx +的展开式的通项公式为1rn r r n T x C -+=，且2x 的系数为15，所以2215n nn C C -==，即()1152n n -=， 解得5n =-(舍)或6n =. 故答案为：614．若()()3log 0f x x x =>，则()1f '=________. 【答案】1ln 3【分析】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，所以()11ln 3f '=. 故答案为：1ln 3. 15．在如图所示的杨辉三角中，按图中箭头所示的前n 个数字之和为________.【答案】32n C +【分析】根据组合数的运算性质，即可容易求得. 【详解】由表格可知，所求数列的前n 项和为：2222322223413341n n C C C C C C C C ++++++=++++322323441512n n n C C C C C C ++++++=++=.故答案为：32n C +.【点睛】本题考查组合数的运算性质，属中档题. 四、双空题16．若函数()()()()()()32112f x x x x x x x =---++，则()1f '=________；曲线()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-在点()1,8ln 2处的切线方程为________.【答案】 12 338ln 20x y +--=【分析】根据题意求得()f x '，得出()1f '的值，再结合导数的几何意义，求得切线的方程，得到答案. 【详解】由题意，函数()()()()()()()()()()32112(1)[3212]f x x x x x x x x x x x x x =---++=---++，可得()()()()()()()()()()1[(3)212]1[3212]f x x x x x x x x x x x x x '''=---+++---++()()()()()()()()[(3)212]1[3212]x x x x x x x x x x x '=--+++---++ 所以()12(1)12312f '=-⨯-⨯⨯⨯=； 又由()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-，可得1|4ln 48ln 21030x y ==+=+-，且()()()()()2222ln 3ln 34331ln 3x x x x y x xx f x f x +-+-'=+⨯++--'' ()()()()2221ln 324331ln 3x x x f x f x x x x x ⎛⎫'- ⎪⎝+-+⎭=+⨯++-， 所以()()12103034|333110132x y -+-⨯'=++-⨯=-+-，即切线的斜率为3k =-， 所以曲线在点()1,8ln 2处的切线方程为8ln 23(1)y x -=--，即338ln 20x y +--=. 故答案为：12；338ln 20x y +--=. 五、解答题17．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.(1)一共能组成多少个不同的三位数？(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？ 【答案】(1)120 (2)40【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数． （2）大于500的三位数，则百位应该从5或6中选一个，其他的从剩下的五个里面选2个进行排列，再根据分步计算原理即可得到结果．【详解】(1)解：（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为36A 654120=⨯⨯=.(2)解：百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，则有1225C A 40⨯=个大于500的三位数.18．已知函数()2ln x f x x x-=-． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,e 上的最值．【答案】(1)单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞ (2)()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1【分析】（1）对函数()f x 求导，通过导函数的正负判断()f x 的增加区间； （2）根据（1）中的单调性可得()f x 的极值，与区间端点值比较可得最值. 【详解】(1)由题意知：()()220x f x x x -'=>． 令()0f x '=，解得2x =．2x =把()f x 定义域划分成两个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示.所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞． (2)结合（1）的结论，列表如下：所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1．19．在二项式12nx ⎛+ ⎝的展开式中.(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若n 为满足812n <<的整数，且展开式中有常数项，试求n 的值和常数项.【答案】(1)展开式中二项式系数最大的项为3563T x -=，362252x T -=(2)9n =，常数项为7672T =【分析】（1）根据已知条件可得出关于n 的等式，结合N n *∈可求得n 的值，利用二项式系数的单调性可结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项；（2）设第1r +项为常数项，则r 为整数，写出二项展开式通项，令x 的指数为零，可得出32rn =，根据812n <<可求得整数r 的值，进而可求得n 的值，再利用二项式定理可求得展开式中的常数项.【详解】(1)解：由已知()212101C C C C C C 1462n n n n n n n n n n n n ---++=++=++=，整理得2900n n +-=，即()()9100n n -+=，N n *∈，解得9n =. 则展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，即(5443591C 632T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，(43552691C 2522T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)解：设第1r +项为常数项，则r 为整数，(322211C C 22n rr n rr r r nr nnT xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，即32rn =，所以81322r <<，可得1683r <<，解得6r =或7r =. 当6r =时，9n =；当7r =时，212n =（不合题意舍去），所以9n =. 常数项为6379C 2672T =⋅=.20．已知函数()()()2f x x x c c =-∈R . (1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，求c 的取值范围．【答案】(1)6c = (2)2(,)3+∞【分析】（1）求导因式分解后可得当3c x =时，()f x 有极大值，故此时23c=，所以6c =.（2）即()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，所以23c >.【详解】(1)因为()()23222f x x x c x cx c x =-=-+，所以()()()22343f x x cx c x c x c '=-+=--.当0fx，即3cx =，或x c =时，函数()f x 可能有极值.由题意，当2x =时，函数()f x 有极大值，所以0c >.当x 变化时，f x ，()f x 的变化情况如下表所示：x,3c ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 3c,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭c(),c +∞f x+-+()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当3c x =时，()f x 有极大值，此时23c=，所以6c =.(2)由（1）可知：()()()3f x x c x c '=--，当0fx时，3cx =，或x c =.由题意，()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，所以()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，由（1）知，()f x 在[,]3c c 上单调递减，所以23c >，解得23c >，或2c ≥，即23c >.综上所述，c 的取值范围是2(,)3+∞.21．如图，实线部分的公园是由圆P 和圆Q 围成，圆P 和圆Q 的半径都是2千米，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地ABCD ．若要建的活动场地ABCD 为等腰梯形，且AD 必须切圆Q 于P ，APB θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)记活动场地ABCD 的面积为()S θ，求()S θ的表达式；(2)当θ为何值时，活动场地ABCD 的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1)()π()4sin sin cos 02S θθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米） 【分析】（1）通过对等腰梯形进行分割，结合三角形面积公式即可得结果； （2）通过导数判断函数的单调性，进而可得最值.【详解】(1)由题意：()()1122sin 222sin π222S θθθ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-()π4sin sin cos 02θθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭.(2)令()sin sin cos f θθθθ=+，则()()2cos cos cos sin sin 2cos cos 1f θθθθθθθθ'=++-=+-． 令()0f θ'=，得1cos 23πθθ==，.又03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>；,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'<，所以()sin sin cos f θθθθ=+在3πθ=处取到极大值也是最大值，故3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米）． 22．已知函数()22ln e x xf x a x=-+． (1)当1ea =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)0x y -= (2)20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据函数零点的存在性定理及利用导数法求函数的单调性及函数的最值，再结合分类讨论即可求解. 【详解】(1)因为()()221ln e x x f x a x-'=-， 所以当1ea =时，()11f '=.又因为()11f =，所以()f x 在1x =处的切线方程11y x -=-， 所以()f x 在1x =处的切线方程为0x y -=.(2)因为()()2ln e xx x ax f x x+-=，其中0x >，设()()2ln e xg x x x ax =+-，则()()()12e x x ax g x x+-'=，当0a ≤时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞单调递增，()g x 在()0,+∞上至多有一个零点，即()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，设()2e x h x ax =-，()()1e xh x a x '=-+，所以()0h x '<， ()h x 在()0,+∞上单调递减. 又()020h =>，2222e 0a h a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以020,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h x =，即00e 2xax =，当()00,x x ∈时，()0h x >，此时0g x ，所以()g x 在()00,x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，此时()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞单调递减. 所以()g x 在()0,+∞有极大值()0g x ，即()()()()00000000max 2ln e 2ln 22ln 1x g x x x ax x x x x =+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦若00ln 10x x +-≤，则()0g x ≤，所以()0≤f x ，()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意.… 若00ln 10x x +->，设()ln p x x x =+，()110p x x'=+>， 所以()p x 在()0,+∞单调递增. 又()11p =，所以01x >.因为()()e 1e 0x x x x '=+>，所以e x y x =在()0,+∞单调递增， 所以002e e x x a=>，即20e a <<，此时()00g x >，()00f x >因为111e e11122(1)e 2e 0e e e e g a a -⎛⎫=-+-=-+-< ⎪⎝⎭， ()g x 在()00,x 单调递增，()00g x >，所以101,e x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =.又因为e 11ln x x x x ≥+>-≥，e 1x x x ≥+>，所以444444442ln 4e 2ln e e 0aa a g a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 因为()g x 在()0,x +∞单调递减，()00g x >，且因为020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以04x a >，所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =.所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =．综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】解决此类题型的关键第一问直接利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问利用零点的存在性定理及导数法求函数的单调性和最值但要注意对参数进行分类讨论.。
2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案
数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，复数21iz =-，则复数z 的模为 A B ．1 C ．2 D ．122．一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21s at =+，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝ A ．12B ．13C ．2D ．33．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为 A ．2 B 1C 1D ．34．3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有 A ．34B ．43C ．34C D ．34A5．函数()sin cos 1f x x x =⋅+在点(0，(0)f )处的切线方程为 A ．10x y +-=B ．10x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-= 6．若函数32()f x x ax bx =++在2x =-和4x =处取得极值，则常数a ﹣b 的值为A ．21B ．﹣21C ．27D ．﹣277．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为A ．349B ．198C ．197D ．3508．设随机变量Y 满足Y~B(4，12)，则函数2()44Y f x x x =-+无零点的概率是 A ．1116B ．516C ．3132D ．12 9．从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有 A ．140种B ．84种C ．35种D ．70种10．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是A B C D 第10题11．设5540145(1)(1)(1)x a x a x a x a =+++++++，则024a a a ++＝A ．﹣32B ．0C ．16D ．﹣1612．对于定义在(1，+∞)上的可导函数()f x ，当x ∈(1，+∞)时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，已知(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．61)3x的展开式中常数项是． 14．若随机变量X~N(μ，2σ)，且P(X ＞6)＝P(X ＜﹣2)＝0.3，则P(2＜X ≤6)＝．15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法．16．函数1, 0()ln , 0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知复数22(43)()i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位． （1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()ln=-(a∈R)．f x x ax（1）当a＝2时，求函数()f x的极值；（2）讨论函数()f x的单调性；（3）若对x∀∈(0，+∞)，()0f x<恒成立，求a的取值范围．19．（本小题满分10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．20．（本小题满分12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．附公式及表如下：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，记01122123(, )(1)(1)(1n n n n n F x n a C x a C x x a C x -=-+-+-21111)(1)n n n n nn n n n x a C x x a C x ---+++-+．（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求(1, 2020)F -的值； （2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(, 2020)F x 是关于x 的一次多项式．22．（本小题满分14分）已知函数2()2x a f x e x ax =--，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式2()4f x e >-在(0，+∞)上的解； （2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线x ＝lna 对称的函数为()y h x =，求证：当x ＜lna 时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<．参考答案1．A2．D3．B4．B5．B 6．A7．A8．A9．D10．D11．C12．D13．5314．0.2 15．150 16．(1e，1){0} 17．解：（1）∵复数z 是纯虚数，∴224300m m m m ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解得130, 1m m m =⎧⎨≠≠⎩或，故m ＝3， （2）∵复数z 在复平面内对应的点在第一象限∴224300m m m m ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得1301m m m m <>⎧⎨<>⎩或或，故m ＞3或m ＜0，∴实数m 的取值范围为(-∞，0)(3，+∞)．18．解：（1）。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二下学期期中考试数学试题一、单选题 1．函数21ln 2y x x =-的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(0,1)(,1)⋃-∞- C ．(,1)-∞ D ．(,)-∞+∞【答案】A【分析】求出导函数，令导函数小于零可得答案. 【详解】设()21ln 2f x x x =-，定义域为()0,∞+，则()1f x x x '=-令()1001f x x x x'=-<⇒<<， 故选：A.2．在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，则2022a 的值为（ ） A ．2- B ．13C ．12D ．32【答案】B【分析】根据递推公式，计算数列的前4项，得出数列的周期，进而求得结果. 【详解】在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，211131122a a =-=-=-，321211133a a =-=-=，4311132a a =-=-=-，所以数列{}n a 的周期为3，20223674=⨯，所以2022313a a ==，故选：B. 3．函数()ln xf x x=的最大值为（ ） A ．1 B ．eC ．1eD ．2e【答案】C【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值； 【详解】解：因为()ln x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=， 令()0f x '>可得0e x <<，令()0f x '<可得e x >， 所以()f x 在(0,e)上单调递增，在()e,+∞上单调递减， ∴函数ln ()xf x x=在e x =处取得极大值，即最大值，所以()()max 1e e f x f ==．故选：C ．4．已知曲线()e xf x =在点()()0,0P f 处的切线也是曲线()()lng x ax =的一条切线，则实数a 的值为（ ） A ．e 3B ．e 2C ．eD ． 2e【答案】D【分析】求出函数的导函数，即可求出()f x 在点P 处的切线方程，再设1y x =+与()y g x =的切点为(,)m n ，即可得到方程，解得m 、n ，再代入计算可得；【详解】解：因为()e x f x =，所以()01f =，()e xf x '=，所以()01f '=，所以切线的方程为1y x =+， 又()ln()g x ax =，所以1()g x x'=， 设切线1y x =+与()y g x =的切点为(,)m n ， 可得切线的斜率为11m=，即1m =， 1112n m =+=+=，可得切点为(1,2)，所以2ln a =，解得2e a =． 故选：D ．5．某人用本金5万元买了某银行的理财产品，该产品按复利计息(把前一期的利息和本金加在一起作为下一期的本金)约定每期利率为5%，已知若存期为m ，本息和为5.5万元，若存期为n ，本息和为5.8万元，则存期为m n +时，本息和为（ ）(单位：万元) A ．11.3 B ．6.52 C ．6.38 D ．6.3【答案】C【解析】按照复利计算公式，以及指数运算公式，求解. 【详解】由已知得：5 1.05 5.5⨯=m ，5 1.05 5.8⨯=n ，故 5.5 5.85 1.05 6.385+⨯⨯==m n. 故选：C .6．数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈，则12310a a a a 等于（ ） A ．5513⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10113⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9113⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6613⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据题意得到22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到13n n a =，（2n ≥），再验证113a =满足13n n a =，得到13n n a =()*n N ∈，进而可求出结果.【详解】因为数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈， 22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1113333n n n n a --=-=，则13n n a =，（2n ≥）， 又113a =满足13n n a =，所以13n n a =()*n N ∈，因此5510(110)123 (110)231201323a a a a +------⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：A7．若2x =-是函数21()(1)x-f x x ax e =+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ） A ．1- B ．35e -C ．32e --D ．1【答案】B【分析】求出导函数，由极值点2-求得参数a ，再确定函数的极大值点，得极大值． 【详解】由题意21()[(2)1]x f x x a x a e -'=+++-，∴3(2)(4241)0f a a e -'-=--+-=，解得1a =-，即21()(2)x f x x x e -'=+-1(1)(2)x x x e -=-+，2x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 在(,2)-∞-和(1,)+∞上递增， 21x -<<时，()0f x '<，()f x 递减，∴2x =-时，()f x 取得极大值3(2)5f e --=． 故选：B ．【点睛】本题考查用导数求函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键． 8．已知()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数.若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，且()13f =，则不等式()12e x f x -->的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞【答案】B【分析】依题意原等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()1g x g >，从而得解； 【详解】解：不等式1()2e x f x -->，等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，则1()(()2)()e x f x f x g x -'--'=， 若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-， 则()0g x '>，()g x 在R 上单调递增， 又()0(1)211e f g -==， 故1()21e x f x -->即()()1g x g >， 故不等式的解集是(1,)+∞， 故选：B ． 二、多选题9．已知函数()e e cos2-=--x xf x x ，若()()12f x f x >，则（ ）A ．12e 1x x ->B ．3312x x >C ．12ln ln x x >D ．1122x x x x >【答案】ABD【分析】先求导，利用基本不等式求出()22sin 20f x x ≥+>'，从而得到()f x 单调递增，得到12x x >，根据函数单调性得到ABD 选项，C 选项可以举出反例. 【详解】()f x 定义域为R ，()e +e 2sin 22sin 222sin 2x x f x x x x -=+'≥=+， 当且仅当e e =x x -即0x =时，等号成立，此时()22sin02f x ='+=， 所以()22sin 20f x x ≥+>'恒成立，所以()f x 单调递增， 因为()()12f x f x >， 所以12x x >，因为e x y =单调递增，所以120e e 1x x ->=，A 正确；因为3y x =单调递增，所以3312x x >，B 正确；12x x >，但1x 与2x 大小不确定，例如121,1x x ==-， 此时满足12x x >，但1x =2x ，此时12ln ln x x =，C 错误；因为22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，画出函数图像，如下图：可知22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩单调递增，所以1122x x x x >，D 正确.故选：ABD10．已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220231a a a ⋅⋅⋅<，1220241a a a ⋅⋅⋅>，则（ ）A ．20241a >B ．当2022n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1012n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1012n <，使得12n n n a a a ++=【答案】AC【分析】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断，即可解出.【详解】对A ，∵10a >，1q >，∴0n a >，又12202301a a a <⋅⋅⋅<，1220241a a a ⋅⋅⋅>， ∴202412202311a a a a >>⋅⋅⋅，故A 正确；对B ，C ，由等比数列的性质，21202322022101210121012a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，故202312202310121a a a a ⋅⋅⋅=<，10121a <，22202432023101310131013a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，∴20232342024101311a a a a a a ⋅⋅⋅=>，∵1220231a a a ⋅⋅⋅<，10a >，1q >，∴11a <，111a >， ∴10131a >，故当1012n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小，B 错误，C 正确； 对D ，当1012n <时，10121n a a <<，故112n n n n a a a a +++<<，故D 错误. 故选：AC ．11．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，*0(N )n a n ≠∈，*13()1N n n n a a S n +=-∈，则下列结论正确的是（ ）A ．22a =B ．数列{}n a 为等差数列C ．422n n n a a a +++=D ．20300S =【答案】ACD【分析】根据给定条件探求出数列{}n a 的特性，再逐项分析、计算判断作答. 【详解】*N n ∈，131n n n a a S +=-，当2n ≥时，1131n n n a a S --=-，两式相减得：11()3n n n n a a a a +--=，而0n a ≠，则113n n a a +--=，当1n =时，111231312a a S a =-=-=，则22a =，A 正确；因3134a a =+=，211a a -=，322a a -=，即3221a a a a -≠-，数列{}n a 不是等差数列，B 不正确；因*N n ∈，23n n a a +-=，则423n n a a ++-=，即有422n n n n a a a a +++-=-，422n n n a a a +++=成立，C 正确；由C 选项的判断信息知，数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，3为公差的等差数列， 数列{}n a 的偶数项是以22a =为首项，3为公差的等差数列， 131924200122()()(1045303)(10453)0a a a a a a a S a =+++++++=+⨯+⨯=+，D 正确.故选：ACD【点睛】易错点睛：等差数列定义是判断数列是等差数列的重要依据，但易漏掉定义中的“从第2项起”与“同一个常数”的条件.12．已知函数()322f x x ax x =--，下列命题正确的是（ ）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则12a =B ．若1x =是函数()f x 的极值点，则()f x 在[]0,2x ∈上的最小值为32-C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则52a ≥D ．若()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，则1a ≥-【答案】ABC【分析】对于A ，由()01f '=可求出a 的值，对于B ，由选项A ，可求得()f x ，然后利用导数可求出()f x 在[]0,2x ∈上的最小值，对于C ，由题意可得()0f x '≤，可求出a 的范围，对于D ，将问题转化为2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，构造函数2()ln h x x x x=--，再利用导数求出其最大值即可 【详解】对于A ，由()322f x x ax x =--，得()2322f x x ax '=--，因为1x =是函数()f x 的极值点，所以(1)3220f a '=--=，得12a =，经检验1x =是函数()f x 的极小值点，所以A 正确，对于B ，由选项A ，可知()32122f x x x x =--，则()232f x x x '=--，由()0f x '>，得23x <-或1x >，由()0f x '<，得213x -<<，所以()f x 在2(,)3-∞-和(1,)+∞递增，在2(,1)3-上递减，所以当[]0,2x ∈时，1x =时，()f x 取得最小值()1311222f =--=-，所以B 正确，对于C ，因为()f x 在()1,2上单调递减，所以()0f x '≤，即()23220f x x ax '=--≤，得312a x x ≥-在()1,2上恒成立，令31()((1,2))2g x x x x=-∈，则231()02g x x '=+>，所以()g x 在()1,2单调递增，所以(1)()(2)g g x g <<，即15()22g x <<，所以52a ≥，所以C 正确，对于D ，由()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，得232ln 2x x x ax x ≥-- 在[]1,2x ∈上恒成立，即2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，令2()ln h x x x x=--，[]1,2x ∈，则222122()10x x h x x x x -+'=-+=>，所以()h x []1,2x ∈上单调递增，所以max ()(2)2ln 211ln 2h x h ==--=-，所以1ln 2a ≥-，所以D 错误，故选：ABC 三、填空题13．已知函数()()()0ln 212cos f x f x x x '=+-+，则()0f '=______________. 【答案】2【分析】求出()f x '，令0x =，即可解出．【详解】因为()()()0ln 212cos f x f x x x '=+-+，所以()()202sin 21f x f x x ''=⨯--+，令0x =，()()0022f f ''=⨯-，解得：()02f '=． 故答案为：2．14．在数列{}n a 中，若111,12nn naa a a +==+，则n a =________.【答案】121n - 【分析】通过取倒数的方法，证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求得1na ，进而求得n a .【详解】取倒数得:1112n na a +=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，所以112(1)21n n n a =+-=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 15．若函数()()2*sin2n f n n n N π=∈，且()()1n a f n f n =++，则1232022a a a a +++⋅⋅⋅+=______________. 【答案】4048-【分析】由()()2*sin2n f n n n N π=∈，可得(2)f k 与(21)f k -表达式，又()()1n a f n f n =++，得到212,k k a a -，可得：212(1)8-+=-⋅k k k a a k ，即可解出原式.【详解】2*2()sin(),(1)1,(2)0,(3)3,(4)0,,2π=∈∴===-=⋯n n n n f f f f f N 可得2*(2)4sin 0,,π==∈f k k k k N2(21)(21)(21)sin2π--=-k f k k 21(21)(1)-=--k k . 又()(1),=++n a f n f n ∴2121(21)(2)(21)(1)--=-+=--k k a f k f k k ，22(2)(21)(21)(1)=++=+-k k a f k f k k .∴212212(21)(1)(21)(1)(1)8--+=--++-=-⋅k k kk k a a k k k .则[]123202281234100910101011a a a a ++++=⨯-+-++⋯-+-=4048-故答案为：4048-16．已知函数()||e =-xf x ax x ，()0,x ∈+∞，当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题可知，当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即可解出.【详解】因为当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，所以()()2e x g x xf x ax ==-在()0,x ∈+∞上是增函数，所以()e 20xg x ax =-≥'在()0,x ∈+∞上恒成立，即e2x a x≤在()0,x ∈+∞上恒成立，令e ()2xh x x =，所以()2e 1()2x x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，所以当1x =时，()h x 取得最小值，最小值为e 2，所以实数a 的取值范围为e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.四、解答题 17．已知函数32113f xx ax 在2x =-处有极值. (1)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值.【答案】(1)1a =-，函数()f x 的增区间为(),2-∞-、()0,∞+，减区间为()2,0- (2)最小值1，最大值73【分析】（1）由已知可得出()20f '-=，求出a 的值，然后利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分析函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，可求得函数()f x 的最大值和最小值. 【详解】(1)解：因为32113f xx ax ，该函数的定义域为R ，且()22f x x ax '=-， 由已知可得()2440f a '-=+=，解得1a =-，则()3211f x x x =++，()22f x x x '=+，由()0f x '=可得2x =-或0x =，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为(),2-∞-、()0,∞+，减区间为()2,0-.(2)解：当[]1,1x ∈-时，函数()f x 在[]1,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增， 因为()513f -=，()713f =，则()()max 713f x f ==，()()min 01f x f ==. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-. (1)证明：数列{}1n a +为等比数列；(2)令()()2211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析 (2)1614499n n n T ++=⋅- 【分析】（1）由题意得()1121n n S a n ++=-+ ，2n n S a n =-，两式相减化简可得()1121n n a a ++=+，即{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，从而可证得结论，（2）由（1）得()214nn b n =+⋅，然后利用错位相减法可求出n T【详解】(1)证明：当1n =时，1121S a =-，得11a =， 由题意得()1121n n S a n ++=-+ ，2n n S a n =- 相减得：121n n a a +=+，()1121n n a a ++=+， 由11a =，得112a +=所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列所以12nn a +=(2)由（1）得，21n n a =-，所以222141n nn a =-=-所以()214nn b n =+⋅所以()23345474214nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅()()23143454214214n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅相减()()2313122444214n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-+⋅()()211141446112221441433n n n n n -++-+=+⋅-+⋅=--∴1614499n n n T ++=⋅- 19．已知数列{}n a 满足13a =，112n n n a a ---=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n n a b a a +-=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：21153n S ≤<. 【答案】(1)21nn a =+；(2)证明见解析.【分析】（1）利用累加法求数列的通项公式；（2）裂项相消法求和，再由不等式性质及数列的单调性可得结论.【详解】(1)112n n n a a ---=，212a a ∴-=2322a a -=⋯112n n n a a ---=∴12221n n n n a a a -=-⇒=+.(2)()()1121121212121n n n n n n b ++==-++++ 12231111111111212121212121321n n n n S ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵11021n +>+，∴13n S <， ∵{}n S 单调递增，1215n S S ∴≥=, 即21153n S ≤<. 20．已知函数()()()221ln f x ax a x a x=-+-∈R . (1)讨论函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()()222ln 10f x a x x+++-=在区间2e,2e ⎡⎤⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)2211l e,2e n 2a --⎛⎤∈- ⎥⎝⎦【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，通分、化简为()()()212ax x f x x --'=，再对a分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解； （2）依题意参变分离可得1ln xa x-=在2e,2e ⎡⎤⎣⎦上有两个不等实根，即直线y a =与1ln x y x-=有两个交点，令()1ln xh x x -=，2e e ,2x ⎡⎤∈⎣⎦，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，即可得解.【详解】(1)解：()()221ln f x ax a x x=-+-定义域为()0+∞，， 所以()()()()222221212212ax a x ax x a f x a x x x x -++--+'=-+== 当0a =时，()22x f x x -+'=，当02x <<时()0f x '>，当2x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减； 当0a ≠时，()0f x '=有两根分别为12x =，21x a= 当0a >时：令12a >，解得102a <<，当02x <<或1x a>时()0f x '>，当12x a <<时()0f x '<，所以()f x 在()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.令12a <，解得12a >，当10x a<<或2x >时()0f x '>，当12x a <<时()0f x '<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，当02x <<时()0f x '>，当2x >时()0f x '<， 所以()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；当12a =时()()211220x x f x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 综上所述：当0a ≤时：()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减的区间是()2,+∞当102a <<，()f x 的单调递增区间是()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，单调递减的区间是12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当12a >，()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，单调递减的区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭当12a =时：()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无减区间(2)解：()()222ln 1ln 10f x a x ax x x+++-=+-=. 则1ln x a x -=在2e,2e ⎡⎤⎣⎦上有两个不等实根，即直线y a =与1ln xy x -=有两个交点. 令()1ln x h x x -=，2e e ,2x ⎡⎤∈⎣⎦，()2ln 2x h x x -'=， 令()0h x '=，解得2e x =，当2e e x <<时()0h x '<，22e 2e x <<时()0h x '>，所以()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在22e 2,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增. 所以()h x 在2e x =处取得极小值即最小值，即()()22min e e 1h x h ==-， 又()221ln 2e 2e2h --=，()e 0h =，所以()2,0e1h x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以2211l e,2e n 2a --⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 21．已知函数()ln af x x x=+，()R a ∈.(1)若函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为3，求实数a 的值； (2)若不等式()2xf x <在()1,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)2e a = (2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据函数()f x 的导数()2x af x x -'=，分别讨论1,13,3a a a ≤<<≥时，函数()f x 的单调性，即可确定函数()f x 在区间[]1,e 上的最值点，列式即可解出； （2）根据分离参数可知，不等式()2xf x <在()1,x ∈+∞上恒成立，等价于21ln 2a x x x<-在()1,+∞上恒成立，利用导数求出函数()21ln 2g x x x x =-在()1,x ∈+∞上的最小值，即可得到实数a 的取值范围. 【详解】(1)因为()ln a f x x x =+，()0,x ∈+∞，()2x a f x x-'=， 所以当1a ≤时，则()f x 在[]1,e 上单调递增，()f x 的最小值为()13f a ==不符合，舍去；当1e a <<时，则()f x 在[]1,a 上单调递减，在[],e a 上单调递增，在()f x 的最小值为()1ln 3f a a =+=，则2e a =不符合，舍去；当e a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递减，()f x 的最小值为()e 13eaf =+=，则2e a =． (2)ln 2a x x x +<在()1,+∞上恒成立，即21ln 2a x x x <-在()1,+∞上恒成立， 设()21ln 2g x x x x =-，()1,x ∈+∞，()ln 1g x x x =--'，设()()ln 1g x x x h x =-'=-，()11h x x'=-在()1,+∞上恒为正，则()g x '在()1,+∞上单调递增，()()10g x g ''>=，则()g x 在()1,+∞上单调递增，()()112g x g >=.所以12a ≤，即实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22．已知数列{}n a 满足12a =，122n n a a n ++=+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1312n n na a nb λ+=+-⋅⋅，若数列{}n b 对*n N ∈是单调递增数列，求实数λ的取值范围.【答案】(1)()()1,,n n n a n n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 (2)90λ-<<【分析】（1）由题意可得22n n a a +-=，则{}n a 奇数项是首项为2，公差为2的等差数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列，从而可求出其通项公式，（2）由于{}n b 是递增数列，所以1n n b b +>，然后分n 为奇数和n 为偶数，分别代入计算即可【详解】(1)由题意得，122124222n n n n n n a a n a a a a n +++++=+⎧⇒-=⎨+=+⎩， ∵12a =，∴22a ={}n a 奇数项是首项为2，公差为2的等差数列偶数项是首项为2，公差为2的等差数列 n 为奇数时，121212n n a n +⎛⎫=+-⋅=+⎪⎝⎭ n 为偶数时，2122n n a n ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭∴()()1,,n n n a n n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 (2)∵{}n b 是递增数列，∴1n n b b +>n 为奇数时，1132n n n b λ++=-⋅，31132n n n b λ+++=+⋅∴31113232n n n n λλ+++++⋅>-⋅，∴1342n λ+⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∵1342n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递减， ∴1n =时，有最大值9- ∴9λ>-n 为偶数时，232n n n b λ+=+⋅，22132n n n b λ+++=-⋅∴2223232n n n n λλ+++-⋅>+⋅，∴520n λ⋅<，0λ< 综上90λ-<<。
2021-2022学年高二下学期期中学业质量监测数学试题 (解析版)
一、单项选择题（共8小题）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+53．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．6005．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.05046．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．167．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．1810．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex 11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四【分析】由复数z得到z的坐标得答案．解：∵z＝﹣1+2i，∴在复平面内，复数z＝﹣1+2i对应的点的坐标为（﹣1，2），所在象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+5【分析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．解：设回归直线方程为 1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5＝1.23×4+a∴a＝0.08∴回归直线方程为 1.23x+0.08故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．3．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可．解：∵∴P（X＝2）P（X＝3），∴P（1＜X≤3）故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是正确利用分布列的性质，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，本题是一个基础题．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．600【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有A44＝24种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有A52＝20种情况，则有24×20＝480个符合题意的六位数；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.0504【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．解：甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为：p0.2016．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．16【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得1+a能被17整除，从而得出结论．解：设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a＝161010+a＝（17﹣1）1010+a＝171010﹣171009+171008﹣171007+…+（﹣17）+1+a 能被17整除，则1+a能被17整除，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98，100）．∵μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝1﹣P（ξ＜108）＝1﹣Φ（）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A．【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，利用导函数在（﹣3，0）以及（0，3）上的符号，判断函数的单调性情况，进而结合选项得出答案．解：，当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＞0，此时f（x）应单调递增，图象呈上升趋势，可排除选项B，C；当x∈（0，3）时，f′（x）可正可负，此时f（x）有增有减，可排除选项D．故选：A．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．一、选择题9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．18【分析】由，利用组合数的性质即可得出x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解出即可得出．解：∵，∴x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解得：x＝4，或9．故选：AC．【点评】本题考查了组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．解：直线的斜率为k，由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A 不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3，解得x，故B可以选；由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx有解，故C 可以选；由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本性质以及复数的模的几何意义，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．12．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；∵（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；根据（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x ﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，故选：ACD．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算35 ．【分析】先把化为C33，再根据组合数的性质，∁nm+∁nm﹣1＝Cn+1m，逐个化简，即可求出的值．解：∵∁mn+Cm﹣1n＝∁mn+1，∴原式35．故答案为：35．【点评】本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．【分析】直接由排列数公式展开求得；展开排列数公式，得到f（x）的解析式，求出导函数，再由导数小于0求得函数的单调减区间．解：由，得；函数x（x﹣1）（x﹣3+1）＝x3﹣3x2+2x，∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．由f′（x）＜0，得3x2﹣6x+2＜0，解得x．∴函数的单调减区间为（，）．故答案为：；（，）．【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 3 ．【分析】由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，算出取到白球的概率，由于每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，得到变量符合超几何分布，写出期望公式，得到结果．解：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，∵每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，∴符合二项分布，∴2，∴n＝3故答案为：3【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为43 ．【分析】先求出m的值，令x＝0，可得a0＝﹣2，在所给等式中，两边对x求导数，再令x＝1，可得要求式子的值．解：∵已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，而a1＝﹣1+m1+14m＝27，∴m＝2．∴（x+2）•（2x﹣1）7 ＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8．令x＝0，可得a0＝﹣2．等式两边对x求导数可得，（2x﹣1）7+（x+2）•14（2x﹣1）6 ＝a1+2a2x+3a3x2…+8a8x7，∴再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+8a8＝43，则ai）＝a1+2a2+…+8a8）＝43，故答案为：43．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．（2）化简，由可得（a﹣3）2+4＜a2+4，即可求a的范围．解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得．又因为为纯虚数，所以，所以，．（2），又因为，所以，即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，．【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．【分析】（1）由题意可得2，由此求得n的值．（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．解：（1）∵在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，即2，求得n＝7，或n＝2（舍去）．（2）展开式的通项公式为Tr+1••，令2，求得r＝2，可得展开式中含x2的项为T3••x2•x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）先计算出抽取的6人中甲组的人数和乙组的人数，再利用对立事件间的概率关系即可求出结果．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：甲组乙组合计男生27 3 30女生13 17 30合计40 20 60根据列联表中的数据，可以求得：K214.7；由于14.7＞2.706，所以有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关；（2）因为甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为P＝1，答：至少有1人在甲组的概率为．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及对立事件间的概率关系，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．【分析】（1）将a＝1代入，求导，求出函数在[﹣2，1]上的单调性，进而求得最大值；（2）求导，分a＝0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+1，则f′（x）＝3x2+2x ﹣1＝（x+1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜﹣1或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，由于f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为2；（2）f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a或，当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣a或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递增，在单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣a）＝a2+1，极小值为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨思想及运算求解能力，属于基础题．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，利用组合数求出事件A的基本事件数，再利用乘法计数原理求出总事件的基本空间数，最后根据古典概型即可求得概率；（2）随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，然后利用组合数与古典概型逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，种，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有27＝128种等可能的基本事件，∴P（A）．故7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为．（2）每家医院至少1人共有27﹣2＝126种等可能的基本事件，随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，P（ξ＝1）；P（ξ＝3）；P（ξ＝5）．∴ξ的分布列为ξ 1 3 5P数学期望E（ξ）．【点评】本题考查古典概型、计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．【分析】（1）利用导数求函数的在x＝1处切线的斜率，进而求出切线方程；（2）利用导数的正负求g（x）的单调区间，当g′（x）＞0时解得为函数的增区间，g′（x）＜0解得为函数的减区间，关键是由于f（x）为分段函数，所以g（x）也要进行分段讨论；（3）利用导数研究函数的单调性，从而证明函数的零点问题，关键是求函数的单调性时，导数的零点不可求，要用到零点存在性定理，放缩法卡范围．解：（1）由f（x）＝（x﹣1）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，所以f′（1）＝e，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝e（x﹣1）；（2）当x≥1时，g′（x）＝2x+xex ＝x（2+ex）＞0，所以函数g（x）的单调增区间为[1，+∞），当x＜1时g（x）＝x2﹣（x﹣1）ex，所以g′（x）＝2x﹣xex＝x（2﹣ex），令g′（x）＞0得0＜x＜ln2；令g′（x）＜0，得x＜0或ln2＜x ＜1，所以函数的单调增区间为（0，ln2）；单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．综上所述，函数的单调增区间为（0，ln2）和[1，+∞）；函数的单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．（3）证明：由题意知，F（x）＝m（x﹣1）ex﹣lnx得，令h（x）＝mx2ex﹣1（x＞0），当时，h′（x）＝（2mx+mx2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为h（1）＝me﹣1＜0，h（ln）1＞0，所以存在唯一的，使得，当x∈（0，x0）时，h′（x0）＜0，所以在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，所以在（x0，+∞）上单调递增，故x0是h（x）＝mx2ex﹣1（x ＞0）的唯一极值点．令t（x）＝lnx﹣x﹣1，当x∈（1，+∞），，所以在（1，+∞）上单调递减，即当x∈（1，+∞）时，t（x）＜t（1）＝0，即lnx＜x﹣1，所以，又因为F（x0）＜F（1）＝0，所以F（x）在（x0，+∞）上有唯一的零点，所以函数F（x）恰有两个零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值及函数零点的问题，属于难题．。
2021-2022学年天津市第四中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市第四中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．函数()3222f x x cx c x =-+在2x =处取极小值，则c =（ ）A ．6或2B ．6或2-C ．6D ．2【答案】D【分析】先求导数，根据()20f '=求得c ，再代入验证是否满足题意.【详解】()()222342128=02f x x cx c f c c c ''=-+∴=-+∴=或6c =当6c =时，()2324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当2x <时()0f x '>，当26x <<时()0f x '<，函数()f x 在2x =处取极大值，不符题意，舍去；当2c =时，()2384(2)(32)f x x x x x '=-+=--，当2x >时()0f x '>，当223x <<时()0f x '<，函数()f x 在2x =处取极小值， 故选：D【点睛】本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，()2,X B p ，若()519P X ≥=，则()D Y =（ ）A ．3B ．13C ．4D ．43【答案】C【分析】由~(2,)X B p ，5(1)9P X =，求出p 值，利用二项分布的方差公式求出()D X ，再利用方差的线性性质，即可得到答案．【详解】由于随机变量X 满足： ~(2,)X B p ，5(1)9P X =， ∴022(0)1(1)C (1)94P x P X p ==-=-=， 解得：13p =，即1~(2,)3X B124()(1)2339D X np p ∴=-=⨯⨯=，又随机变量X ，Y 满足：31Y X =-， ∴2(4)=3)(D X D Y =，故选：C.3．若2501552(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则3a =（ ）A ．8B ．8-C ．10D ．10-【答案】C【分析】根据已知条件需要对二项展开式进行转化，然后利用二项展开式通项再求3a 即可.【详解】令1t x =-，则1x t =+，原式转化为：()25012551t a a t a t a t +=++++则二项展开式通项为：15C r r r T t +=∴则33345C 10T t t ==310a ∴=故选：C.4．某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ） A ．0.2 B ．0.25 C ．0.4 D ．0.8【答案】B【分析】根据正态分布的对称性得到对称轴为4ξ=，得到摄像头在4年内能正常工作的概率为12，再计算概率得到答案.【详解】()20.8P ξ≥=，()60.2P ξ≥=，所以()()260.2P P ξξ=>=<. 所以正态分布曲线的对称轴为4ξ=，即()412P ξ≤=， 即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为12.所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为111224⨯=.故选：B.5．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A ．0.6 B ．0.85C ．0.868D ．0.88【答案】C【分析】记事件B 表示从仓库中随机提出的一台是合格品，i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，1i =，2，分别求出()1P A ，()2P A ，()1P B A ，()2P B A ，再由全概率公式即可求解.【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B ， 事件i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，1i =，2， 由题意可得()120.45P A ==，()230.65P A ==，()10.85P B A =，()20.88P B A =，由全概率公式得()()()()()11220.40.850.60.880.868P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=．所以该产品合格的概率为0.868， 故选：C.6．设n ∈+N ,则12233555......5n nn n n n C C C C ++++除以7的余数为A ．0或5B ．1或3C ．4或6D ．0或2【答案】A【分析】用二项式定理化简整理得到7(1)1,n M M z +--∈，分n 为奇数或偶数，得到余数. 【详解】12233555......5n n n n n n C C C C ++++=0122330555......5n n nn n n n n C C C C C C +++++-(15)1n =+-(71)1n =--7(1)1,n M M z =+--∈，当n 为奇数时，余数为5，当n 为偶数时，余数为0,故选：A.7．给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种【答案】D【分析】先对A ，B ，C 三个区域染色，再讨论B ，E 是否同色．【详解】当B ，E 同色时，共有432248⨯⨯⨯=种不同的染色方案， 当B ，E 不同色时，共有4321124⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方案， 所以共有72种不同的染色方案． 故选：D ．8．若函数()1ln f x x a x =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，则常数a 的取值范围（ ） A ．11ln 222a <<+ B ．11ln 22a <<+ C ．12ln 2a <<-D ．11ea <<【答案】B【分析】将问题转化为函数()1ln g x x x=+与函数()h x a =的图像有2个交点，利用导数研究()g x 的极值或最值即可得到答案.【详解】令1ln 0x a x+-=，则1ln x a x +=，因为函数()1ln f x x a x =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，则函数()1ln g x x x=+与函数()h x a =的图像有2个交点，又()22111x g x x x x -'=-=， 1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()1ln g x x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，()()1111,2ln 2,ln 2222g g g ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，且()122g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭函数()1ln g x x x =+与函数()h x a =的图像有2个交点，所以11ln 22a <<+.故选：B.9．已知随机变量X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（ ）A ．16-B ．13C ．23D ．23-【答案】C【分析】根据分布列的性质可求出a ，再根据期望公式即可求出随机变量X 的数学期望，最后根据()()21E Y E X =+，即可求出随机变量Y 的数学期望.【详解】根据分布列的性质，得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的数学期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-．又21Y X =+，所以随机变量Y 的数学期望为()()12212163E Y E X ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭．故选：C. 二、填空题10．1921C C n nn n --+=______.【答案】21【分析】由题意可得1921n nn n -≤⎧⎨≤-⎩，且n *∈N ，从而可求出n ，进而可求得答案【详解】∵1921n nn n -≤⎧⎨≤-⎩，∴9.510.5n ≤≤.∵n *∈N ，∴10n =.∴19910112110111011C C C C C C 21n n n n --+=+=+=.故答案为：2111．若函数33,,()2,x x x a f x x x a ⎧-+≥=⎨<⎩有最大值，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[]2,1-【分析】在同一个坐标系内作出3()3f x x x =-+和()2f x x =的图像，求出交点的坐标，计算出332x x -+=，得到2x =-或1x =，由函数()f x 有最大值，列不等式组求出实数a 的取值范围.【详解】对于33y x x =-+，求导得：233y x '=-+. 令0y '=，解得：1x =-或1x =.列表得：在同一个坐标系内作出3()3f x x x =-+和()2f x x =的图像如图所示：令332x x x -+=，解得：1x =±或0x =，即()1,2--A ,()()0,0,1,2O B . 由图像可知33y x x =-+的极大值为2，令332x x -+=，解得：2x =-或1x =.因为函数33,,()2,x x x a f x x x a ⎧-+≥=⎨<⎩有最大值，且所以函数()f x 的最大值必在[),a +∞上取的.只需满足21a a ≥-⎧⎨≤⎩，故实数a 的取值范围是[]2,1-. 故答案为：[]2,1- 12．已知()202122021012202112x a a x a x a x -=++++，则0122021a a a a ++++=______.【答案】20213【分析】由展开式的通项可知132021,,,a a a 均为负值，所以赋值令1x =-即可求出答案.【详解】易得()202112x -的展开式的通项为()()12021C 20,1,2,,2021rrr T x r +=-=，结合()202122021012202112x a a x a x a x -=++++⋅，知132021,,,a a a 均为负值，∴012202101232021a a a a a a a a a ++++=-+-+-.令1x =-，代入原式可得2021012320213a a a a a =-+-+-.故202101220213a a a a ++++=，故答案为：20213.13．函数()ln f x x x =-的最小值___________ 【答案】1【分析】本题首先可根据导函数的相关性质求出函数()ln f x x x =-的单调性，然后根据函数()f x 的单调性即可得出函数()f x 的最小值． 【详解】因为()ln f x x x =-，所以1110x f x x x x， 当()0f x '>，10x x->，解得1x >，函数()f x 是增函数； 当()0f x '<，10x x-<，解得01x <<，函数()f x 是减函数； 故当1x =时，函数()f x 取最小值，()11ln11f =-=．【点睛】本题考查如何求函数的最值，主要考查根据导函数求函数单调性以及最值，考查计算能力，是简单题．14．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________. 【答案】10113【分析】记事件A =“猎人第一次击中野兔”，B =“猎人第二次击中野兔”，C =“猎人第三次击 中野兔”，D“野兔被击中”，注意B 的发生是A 不发生的情况才可能发生，由概率公式计算出概率，求出(),()P D P B 后，再由条件概率公式计算．【详解】记事件A =“猎人第一次击中野兔”，B =“猎人第二次击中野兔”，C =“猎人第三次击中野兔”，D“野兔被击中”，则()()()()()0.80.2P D P A B C P A P B P C =++=++=+⨯0.40.20.60.20.904+⨯⨯=， ()0.20.40.08P B =⨯=，()()()()0.0810()0.904113P BD P B P B D P D P D ====∣，故答案为：10113． 15．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）． 【答案】180【分析】分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可. 【详解】分配的方案有两类，第一类：一组3人，另一组5人，有()3282C 1A 110-⋅=种；第二类：两组均为4人，有44284252C C A 70A ⋅=种，所以共有11070180N =+=种不同的分配方案． 故填：180【点睛】本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏. 三、解答题16．某兴趣小组有9名学生，若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是1528. (1)该小组中男女学生各多少人？(2)9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？ 【答案】(1)男生6人，女生3人 (2)60479【分析】（1）设9名学生中有女生n 人，由选取的3人中恰好有一个女生的概率是1528可构造方程求得n 的值，由此可得男女生人数； （2）利用排列数知识，采用缩倍法可计算得到结果. 【详解】(1)设9名学生中有女生n 人，则男生有9n -人， ∴从9名学生中选取3人，恰好有一个女生的概率()()1293998C C 152C8428nn n n n p ---===，解得：3n =，∴该小组中有男生936-=人，女生3人.(2)9名学生站队共有99A 种站队方法；3名女生站队共有33A 种站队方法；∴重新站队的方法有9933A 160479A -=种.17．高二某班级举办知识竞赛，从A ，B 两种题库中抽取3道题目（从A 题库中抽取2道，从B 题库中抽取1道）回答.小明同学对抽取的A 题库中的每道题目回答正确的概率均为12，对抽取的B 题库中的题目回答正确的概率为23.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X . (1)求X =2时的概率；(2)求X 的分布列及数学期望E （X ）. 【答案】(1)512(2)分布列见解析，53【分析】（1）由题意分析：X =2表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，直接求概率；（2）X 的可能取值为0,1,2,3.分别求概率，计算数学期望.【详解】(1)X =2不表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，所以()11211152222322312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.所以()1111022312P X ==⨯⨯=；()1111121122232233P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；()112132236P X ==⨯⨯=.X 的分布列为：所以数学期望为：()1151501231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 18．已知函数321()13f x x x ax =+++.(1)当3a =-时，求函数()f x 的单调区间与极值；(2)若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的单调递增区间为(),3-∞-和()1,+∞ ,减区间为()3,1；()f x 的极大值为10 ,极小值为23-； (2)[)1,+∞【分析】（1）根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系，再利用函数的极值的定义，结合导数法求函数单调性极值的步骤即可求解；（2）根据已知条件将所求问题转化()0f x '≥在[2,]a -上恒成立，利将恒成立问题转为为最值问题，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】(1)当3a =-时,321()313f x x x x =+-+则()()2()2331f x x x x x '=+-=+-令()0f x '>,即()()310x x +->，解得1x >或3x <-； 令()0f x '<,即()()310x x +-<，解得31x -<<；所以函数()f x 的单调递增区间为(),3-∞-和()1,+∞ ,减区间为()3,1-.当1x =时，()f x 取的极小值为3212(1)1131133f =⨯+-⨯+=-，当3x =-时，()f x 取的极大值为()()()321(3)33331103f -=⨯-+--⨯-+=.所以()f x 的极大值为10 ,极小值为23-.(2)由321()13f x x x ax =+++，得2()2f x x x a '=++，因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，所以()0f x '≥在[2,]a -上恒成立，即min ()0f x '≥，[2,]x a ∈-即可 ()22()211f x x x a x a '=++=++-，对称轴为1x =，开口向上，当1a >-时，()()2min ()(1)1211f x f a a ''=-=-+-+=- ， 即10a -≥，解得1a ≥，所以1a ≥.当21a -<≤-时，由22min ()()23f x f a a a a a a ''==++=+即230a a +≥，解得0a ≥或3a ≤-，所以a ∈∅. 综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞.。
2021-2022学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列求导运算正确的是（ ） A ．(cos )sin 33'=-ππB ．1(ln )(ln )x x x x x'=+e eC ．1(ln 2)2x x'= D ．(3)3x x '=【答案】B【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的四则运算和复合函数 求导数的法则即可求解. 【详解】对于A ，11cos ,cos 03232''⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，故A 不正确；对于B ，()()1(ln )l l n l n n x x x x x x x x x ⎛⎫'''==+ ⎪⎭+⎝e e e e ，故B 正确；对于C ，()11(ln 2)22x x x x''==，故C 不正确； 对于D ，(3)3ln 3x x '=，故D 不正确. 故选：B.2．函数()f x 的图象如图所示，则不等式(2)()0x f x '+<的解集（ ）A ．(,2)(1,1)-∞--B ．()(,2)1,2-∞-⋃C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．()2,1(1,)--⋃+∞【答案】A【分析】先通过原函数的单调性判断导函数的正负，在判断(2)()x f x '+的正负即可 【详解】由函数()f x 的单调性可得，在()(),1,1,∞∞--+上()0f x '>，在()1,1-上()0f x '<又因为2x +在()2-∞，-为负，在()2-+∞，为正 故(2)()0x f x '+<的区间为(,2)(1,1)-∞-- 故选：A3．()25y x x y x ⎛⎫ ⎪⎭+⎝-的展开式中42x y 的系数为（ ）A ．3B ．5C ．9D ．10【答案】C【分析】根据二项式定理分析出42x y 在第几项即可. 【详解】()()()22555y y x x y x x y x y x x ⎛⎫ +⎪⎝⎭-=+-+ ，在()5x x y +中出现42x y 的项是23242510xC x y x y = ，在()25y x y x-+ 中出现42x y 的项是205425y C x x y x -=- ，所以其系数为10-1=9； 故选：C.4．用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（ ） A ．50 B ．52 C ．54 D ．56【答案】B【解析】特殊元素优先考虑，即优先考虑个位数是0的情况，再考虑不是0的情况，最后将所有结果加起来即可.【详解】能被2整除的三位数是偶数，当个位数是0时，有25A 种情形；当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有111244C C C ⋅⋅种情形，因此，能被2整除的三位数的个数是2111524452A C C C +⋅⋅=种.故选：B【点睛】本题考查排列组合中的排数问题，属于基础题.5．安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（ ） A ．13 B ．18 C ．22 D ．28【答案】D【解析】根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据分类计数原理可得.【详解】第一类，乙安排在周二，则有33212A =种，第二类，乙不安排在周二，则从甲乙丙以外的2人中选1人，安排在周二，把甲乙安排在周三周四或周四周五，其余人任意排，故有1122222216A C A A =种，根据分类计数原理可得，共有121628+=种， 故选：D【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，属于基础题.6．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是112,,323，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．718【答案】D【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M 分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A ，B ，C ，则112(),(),()323P A P B P C ===，汽车在三处遇两次绿灯的事件M ，则M ABC ABC ABC =++，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，而事件A ，B ，C 相互独立， 则112112112()()()()(1)(1)(1)323323323P M P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯718=，所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为718. 故选：D7．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A 、B 、C 三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（ ） A ．12B ．625C ．716 D ．49【答案】B【分析】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，有“311++”和“221++”两种人数分配方法，分别计算两种分配方法的数目以及满足甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配数目，然后加在一起，利用古典概型的公式即可完成求解. 【详解】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法有“311++”和“221++”两种，分别是：①，若采用“311++”时，共有31152122C C C 10A =种分堆方法，再分配到三所医院，共有3113521322C C C A 60A =种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到3人组，并从其他3位医生中再选一位凑够3人，剩下的全排，共有1333C A 18=种分配方法；②，若采用“221++”时，共有22153122C C C 15A =种分堆方法，再分配到三所医院，共有2213531322C C C A 90A =种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到2人组，分配剩下的3人，为2131C C 3=种，然后再全排，共有213313C C A 18=种分配方法；所以，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法共有 6090150+=种分配方法，甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配方法有181836+=种，所以甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为36615025P ==. 故选：B.8．有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球．现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．12D ．35【答案】B【分析】根据独立事件与古典概型计算分从甲袋子取出2个白球放入乙袋子、从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子和从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子三种情况讨论，从而可得出答案．【详解】解：若从甲袋子取出2个白球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为213621510950C C C C ⋅=；若从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为212421510125C C C C ⋅=；若从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为11132521510310C C C C C ⋅⋅=． ∴从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为9131350251025++=． 故选：B.9．已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【答案】D【分析】求导，由单调性得到23690x mx m -+≥在()1,+∞上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m 的取值范围.【详解】()2369f x x mx m '=-+，因为()f x 在()1,+∞上为单调递增函数， 所以23690x mx m -+≥在()1,+∞上恒成立，令()2369g x x mx m =-+，要满足()61610m x f -⎧=-≤⎪⎨⎪≥⎩①，或()6160m x f m -⎧=->⎪⎨⎪≥⎩②， 由①得：[]1,1m ∈-，由②得：(]1,3m ∈， 综上：实数m 的取值范围是[]1,3-. 故选：D10．若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．()2,-+∞ C ．()2,+∞ D ．()2,2-【答案】A【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x > 若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<； 则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<- 所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<< 所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 此时()f x 无极值. 综上所述：2a <-满足条件 故选：A 二、填空题11．在82x⎛⎝的展开式中，1x 的系数是___________. 【答案】112【分析】由二项式定理求解【详解】由二项式定理知82x⎛ ⎝的展开式的通项为()()38882188221rr rr rr r r T C x C x---+⎛==- ⎝ 令3812r -=-得6r =故7112T x=故答案为：11212．已知函数()ln f x x ax =+的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，则=a ________． 【答案】0【分析】根据导数的几何意义可求出函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程，把点(2,1)代入切线方程即可求出a 的值.【详解】因为()ln f x x ax =+，所以1()f x a x'=+，设函数()f x 在点(1,(1))f 处切线的斜率为k ，则(1)1k f a '==+，又因为(1)f a =，所以函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程为(1)(1)y a a x -=+-， 因为切线过点(2,1)，所以1(1)(21)a a -=+-，解得0a =. 故答案为：0.13．抛郑红、蓝两颗质地均匀的骰子， 记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”， 事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”， 则在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率为___________． 【答案】120.5【分析】分别求出事件A ,事件B 和事件AB 同时发生的概率，由条件概率的公式计算即可.【详解】解：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6636⨯=，事件A 的基本事件数为6212⨯=，∴121()363==P A ， 由于366345548,4664558,56658,668+=+=+=+>+=+=+>+=+>+>， 所以事件B 的基本事件数为432110+++=， ∴105()3618==P B ， 事件AB 同时发生的概率为，61()366P AB ==， 由条件概率公式，得()()()12P AB P B A P A ==， 故答案为：1214．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从箱子中随机有放回摸出一个球，共摸2次，记“X ”表示摸到红球个数，则()E X =__________.【答案】43【分析】由题可得22,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，即得. 【详解】由题可知从箱子中随机有放回摸出一个球为红球的概率为4263=， 所以22,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故()24233E X =⨯=.故答案为：43.15．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）． 【答案】420【分析】从后排7人中任取2人，插入前排（按2人相邻和不相邻分类计数）【详解】可从后排7人中任取2人，插入前排，调整方法数为22217424()420C A A C +=．故答案为：420． 三、解答题16．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】(1)67；(2)分布列见解析，175. 【分析】（1）运用古典概型运算公式，结合和事件的概率公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则()1322252547C C C C 6C 7P A +==． 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67；(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．()3347C 11C 35P X ===，()3447C 42C 35P X ===，()3547C 23C 7P X ===，()3647C 44C 7P X ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()14241712343535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．已知函数3211()2()32f x x ax x a =--∈R 在2x =处取得极值.(1)求()f x 在[2,1]-上的最小值；(2)若函数()()()g x f x b b =+∈R 有且只有一个零点，求b 的取值范围.【答案】(1)136-(2)710,,63⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得(2)0f '=，即可求出参数a 的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；（2）依题意32112()32b x x x b -=--∈R 有唯一解，即函数y b =-与()y f x =只有1个交点，由（1）可得函数()f x 的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；【详解】(1)解：因为3211()2()32f x x ax x a =--∈R ，所以2()2f x x ax '=--，()f x 在2x =处取得极值，(2)0f '∴=，即22220a --=解得1a =，3211()232f x x x x ∴=--，所以2()2(1)(2)f x x x x x ==+'---，所以当1x <-或2x >时()0f x '>，当12x -<<时()0f x '<，()f x ∴在[2,1)--上单调递增，在(]1,1-上单调递减，又32321121113(2)(2)(2)2(2),(1)1121323326f f -=⨯--⨯--⨯-=-=⨯-⨯-⨯=-，()f x ∴在[2,1]-上的最小值为136-. (2)解：由（1）知，3211()232f x x x x =--，若函数()()()g x f x b b =+∈R 有且只有一个零点，则方程()()b f x b -=∈R 有唯一解，即32112()32b x x x b -=--∈R 有唯一解，由（1）知，()f x 在(,1),(2,)-∞-+∞上单调递增，在(1,2)-上单调递减， 又710(1),(2)63f f -==-，函数图象如下所示：103b ∴-<-或76b ->，得103b >或76b <-， 即b 的取值范围为710,,63⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．已知函数 ()()()211ln 12x f x a x a x a =--+->，．(1)讨论函数 ()f x 的单调区间；(2)若 ()()1f m f = 且 1m >， 证明： ()()11ln 1x m a x x ∀∈->-，，．【答案】(1)当12a <<时，()f x 的单调增区间为(0,1)a -和(1,)+∞，单调减区间为(1,1)a -， 当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间，当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和(1,)a -+∞，单调减区间为(1,1)a -. (2)证明见解析【分析】（1）求导[](1)(1)1()x x a a f x x a x x----=-+='，令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，含参分类讨论即可得到()f x 的单调性.（2）由ln 1≤-x x ，转化为证：1(1,),1ln -∀∈->x x m a x ，令1()ln x g x x-=，利用导数法得到1()()ln -<=m g x g m m，转化为证11ln m a m -->，由()(1)f m f =，转化为证1ln 21m m m ->+，令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，用导数证明． 【详解】(1)解：()f x 的定义域为(0,)+∞，[](1)(1)1()x x a a f x x a xx----=-+='，因为1a >，所以10a ->，令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，当11a -=时，即2a =，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞为增函数，当11a ->时，即2a >，若(0,1)x ∈和(1,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，若(1,1)x a ∈-时，第 11 页 共 11 页 ()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(1,)a -+∞为增函数，在(1,1)a -为减函数， 当011a <-<时，即12a <<，若(0,1)x a ∈-和(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，若(1,1)x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)a -和(1,)+∞为增函数，在(1,1)a -为减函数，综上所述：当12a <<时，()f x 的单调增区间为(0,1)a -和(1,)+∞，单调减区间为(1,1)a -，当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间，当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和(1,)a -+∞，单调减区间为(1,1)a -.(2)令()ln 1h x x x =-+，定义域为(0,)+∞，则1()x h x x-'=，若(0,1)x ∈，()0h x '>，若(1,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h ≤=，即ln 1≤-x x ，欲证：(1,),(1)ln 1∀∈->-x m a x x ，即证：1(1,),1ln -∀∈->x x m a x， 令1()ln x g x x -=，1x m <<．则21ln 1()(ln )x x g x x +='-， 因为ln 1≤-x x ，故1ln 10x x-+≥， 所以()0g x '>，()g x 在(1,)m 上单调递增， 所以1()()ln -<=m g x g m m， 故欲证1(1,),1ln -∀∈->x x m a x ，只需证11ln m a m -->， 因为()(1)f m f =，所以21(1)(1)ln 22--+-=m a m a m ， 即2(1)(1)(1ln )2m a m m -=---， 因为ln 1m m <-，故1ln 0m m -->，故等价于证明：1ln 21m m m ->+， 令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+， 则22(1)()0,()(1)-=>'+x H x H x x x 在(1,)+∞上单调递增， 故()(1)0H x H >=，即2(1)ln 1x x x ->+，从而结论得证． 【点睛】本题第二问关键是利用ln 1,()(1)≤-=x x f m f ，转化为证明1ln 21m m m ->+而得证．。
2021-2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =-，则直线l 与平面α的位置关系是. A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行【答案】D【详解】∵直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =- ∴6(1)23300d n ⋅=⨯-+⨯+⨯= ∴直线l 在平面α内或平行 故选D.2．已知X 的分布列为：设Y =2X +1，则Y 的数学期望E (Y )的值是( )A ．16-B ．16C ．23D ．23-【答案】C【分析】根据分布列的性质及数学期望的运算公式及性质求解.【详解】由已知得()()()1111111,,,21263236a a E X E Y E X ++=∴=∴=-+=-=+，()23E Y ∴=. 故选：C.3．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ）A ．1021B ．1121C ．1142D ．521【答案】B【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为25271021C P C ==，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为101112121-=. 故选：B.4．将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为x 、y ，记事件A 为 “x y +为偶数”，事件B 为“7x y +<”，则(|)P B A 的值为（ ） A ．13B ．12C ．59D ．79【答案】B【分析】利用条件概率的公式求解即可. 【详解】根据题意可知，若事件A 为“x y +为偶数”发生，则x 、y 两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为()1,1，()1,3，()1,5，()2,2，()2,4，()2,6，()3,1，()3,3，()3,5，()4,2，()4,4，()4,6，()5,1，()5,3，()5,5，()6,2，()6,4，()6,6，一共18个基本事件，∴()181362P A ==, 而A 、B 同时发生，基本事件有当一共有9个基本事件，∴91()364P AB ==， 则在事件A 发生的情况下，B 发生的概率为()()()114122P AB P B A P A ===, 故选:B .5．五行是中国古代的一种物质观.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行指代：金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，且“木、土”不相邻排法的种数（ ） A ．72 B ．48C ．36D ．24【答案】A【分析】根据不相邻问题用插空法可以得到符合题意的共有323472A A =种排法．【详解】由题意先将“金、水、火”三种不同属性的物质任意排成一列，共有336A =种排法，此时共有四个位置可以插放“木、土”所以“木、土”不能相邻的排法共有323472A A =种排法，故选：A ．6．曲线()y f x =在1x =处的切线如图所示，则(1)(1)'-=f f （ ）A ．0B ．1-C ．1D ．12-【答案】C【解析】由图示求出直线方程，然后求出1(1)=2f -，1(1)=2f '，即可求解.【详解】由直线经过()0-1，，()2,0，可求出直线方程为：220x y --= ∵()y f x =在1x =处的切线 ∴21(1)=22x f -=-，1(1)=2f ' ∴11(1)(1)122f f ⎛⎫'-=--= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-； (2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,x y ，再写出切线方程：111()()y yf x x x '-=-.7．在()2391(1)(1)(1)x x x x ++++++⋯++的展开式中，2x 的系数等于A ．280B ．300C ．210D ．120【答案】D【分析】根据二项式定理，把每一项里2x 的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质11m m m n nnCCC-+=+，化简求值．【详解】解：在239(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++的展开式中，2x 项的系数为22222349C C C C ++++32223349CCCC =++++322449CCC =+++3239910120C CC==+==．故选D ．【点睛】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值． 8．已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e x f x <的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D【分析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可. 【详解】令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D. 二、多选题9．关于二项式5x⎛⎝的展开式，下列选项正确的有（ ）A ．总共有6项B ．存在常数项C ．2x 项的系数是40D ．各项的系数之和为243 【答案】ACD【分析】由题意利用二项式定理，二项式展开式的通项公式，得出结论． 【详解】解：关于二项式5(x+，它的展开式共计有6项，故A 正确；由于它的通项公式为53521552rrrr r r r T xC x C -+-=⋅⋅=，令3502r -=，求得310r =，无非负整数解，故不存在常数项，故B 错误；令3522r-=，即36r =，解得2r =，可得2x 项的系数是225240C ⋅=，故C 正确； 令1x =，可得各项的系数之和为53243=，故D 正确， 故选：ACD ．10．已知函数()31423f x x x =-+，下列说法中正确的有（ ）A ．函数()f x 的极大值为223，极小值为103- B ．若函数()f x 在[]2,a -上单调递减，则22a -<≤ C ．当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为103- D ．若方程()0f x c -=有3个不同的解，则102233c -<< 【答案】ABD【分析】可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论. 【详解】()f x 的定义域为2()4,,f x x R '=- 令()=0f x '，得2x =-或2，所以()f x 在(,2),(2,)-∞-+∞单调递增，在(2,2)-上单调递减，故B 正确，()f x 极大值3122(2)(2)4(2)2=33f =-=⨯--⨯-+，()f x 极小值3110(2)2422=33f ==⨯-⨯+-，故A 正确，方程()0f x c -=有3个不同的解，则102233c -<<，D 正确， 331122(3)34321,(4)4442333f f =⨯-⨯+=-=⨯-⨯+=，当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为1-，故C 不正确， 故选：ABD11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则下列正确的是（ ）A ．1122BM a b c =-+B ．1AC a b c =++ C ．1AC 5D ．16cos ,3AB AC =【答案】BD【分析】AB 选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C 选项，在B 选项的基础上，平方后计算出216AC =，从而求出16AC D 选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A 选项，()111111222BM BB B M AA BA BC b a c =+=++=-+，A 错误， 对于B 选项，11AC AB AD CC a b c =++=++，B 正确： 对于C 选项，1AC a b c =++，则222221()2226AC a b c a b c a b a c b c =++=+++⋅+⋅+⋅=，则16AC =C 错误：对于()212AB AC a a b c a a b a c ⋅=⋅++=+⋅+⋅=，则1116cos ,3AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅D 正确. 故选：BD.12．将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中.下列说法正确的是（ ）A ．共有44A 24=种放法B ．每个盒子都有球，有44A 24=种放法C ．恰好有一个空盒，有213443C C A 144=种放法D ．每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有1343C A 24=种放法【答案】BC【分析】根据每个选项的要求不同，分步讨论，结合排列组合的计算方法，即可得出答案.【详解】解：对于A ，将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1,2,3，4的盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有44256=种放法，故A 错误；对于B ，每个盒子都有球，有44A 24=种放法，故B 正确；对于C ，恰好有一个空盒，分2步进行分析：在4个球中任选2个，放入1个盒子中，有2144C C 24=种放法，在剩下的3个盒子中，任选2个，放入剩下2个两个小球，有23A 6=种放法，则有624144⨯=种放法，故C 正确；对于D ，每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，分2步进行分析：在4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有14C 4=种放法，剩下3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，则有428⨯=种不同的放法，故D 错误. 故选：BC. 三、填空题 13．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________． 【答案】1()y x ππ=--【分析】由题意可得2cos sin 'x x xy x ⋅-=，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：2cos sin 'x x xy x ⋅-=，所求切线的斜率为：2cos sin 1'x k y ππππππ=-===-， 由于切点坐标为(),0π，故切线方程为：()1y x ππ=--.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14．中国传统文化博大精深，民间高人更是不计其数，为推动湘西体育武术事业发展，加强全名搏击健身热度，让搏击这项运动融入人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月23-日在花垣县体育馆举行，某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人通过考核的概率分别为23、34、45，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为___________. 【答案】1330【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设小郑、小汤、小王三人通过考核分别为事件A 、B 、C ， 设这三人中仅有两人通过考核为事件Q ， 依题意()23P A =，()34P B =，()45P C =， 所以()13P A =，()14P B =，()15P C =，所以，()()()()2312141341334534534530P Q P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故答案为：1330. 15．设a Z ∈，且013a ≤<，若200251a +能被13整除，则a =___________. 【答案】12【分析】直接利用二项式定理求解即可. 【详解】由已知得202251a +1202202022020211020222022202220222022(521)C 52(1)C 52(1)C 52(1)a a =-=⋅-+⋅-++-++020*********202020212022202220222022C 52C 52(1)52C 521C a =⋅⋅⋅-+⋅+⋅⋅⋅-⋅++-即202251a +被13整除的余数为1a +，而a Z ∈，且013a <， 若202251a +能被13整除，则113a +=，即12a =， 故答案为：12. 四、双空题16．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”． （1）设()sin f x x =，则()f x 在()0,π上的“新驻点”为_________（2）如果函数()()ln 1g x x =+与()xh x x e =+的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是_________．【答案】4παβ< 【解析】（1）求得方程()()f x f x '=在()0,x π∈上的根即可得解；（2）利用零点存在定理可求得α所在区间，并求出β的值，进而可得出α与β的大小关系.【详解】（1）()sin f x x =，()cos f x x '∴=，令()()f x f x '=，即sin cos x x =，得tan 1x =，()0,x π∈，解得4x π=，所以，函数()y f x =在()0,π上的“新驻点”为4π； （2）()()ln 1g x x =+，()xh x x e =+，则()11g x x '=+，()1xh x e '=+， 令()()1ln 11x x x ϕ=+-+，则()()211011x x x ϕ'=+>++对任意的()1,x ∈-+∞恒成立， 所以，函数()()1ln 11x x x ϕ=+-+在定义域()1,-+∞上为增函数， ()010ϕ=-<，()11ln 2ln 202ϕ=-=->，由零点存在可得()0,1α∈，令()()h x h x '=，可得1x =，即1β=，所以，αβ<. 故答案为：（1）4π；（2）αβ<. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查了零点存在定理的应用，属于中等题. 五、解答题17．已知()1nn N x *⎛+∈ ⎝的展开式的二项式系数和为64.(1)求n 的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)6 (2)32160x -【分析】（1）利用二项式系数的性质求解即可；（2）由（1）求出6n =，根据展开式中间项的二项式系数最大，即可知道二项式系数最大的项为4T ，即可求解.【详解】(1)由题意()*1nn N x ⎛+∈ ⎝的展开式的二项式系数和为64，即264n =，解得6n =；(2)因为6n =，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为4T ，即33332461C 160T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭.18．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动．(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ (2)如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ (3)如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】(1)100 (2)140 (3)200【分析】（1）由组合知识结合分步乘法计数原理求解即可；（2）先计算10人中选取4人的选法，从中除去男生甲与女生乙都不参加的选法即可； （3）先计算10人中选取4人的选法，从中除去4人全是男生和4人全是女生的选法即可.【详解】(1)第一步，从5名男生中选2人，有25C 种选法；第二步，从5名女生中选2人，有25C 种选法．根据分步乘法计数原理，共有2255C C 100=种选法．(2)从10人中选取4人，有410C 种选法；男生甲与女生乙都不参加，有48C 种选法．所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有44108C C 140-=种选法．(3)从10人中选取4人，有410C 种选法；4人全是男生，有45C 种选法；4人全是女生，有45C 种选法．所以4人中既有男生又有女生，共有4441055C C C 200--=种选法．19．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，∠BAD =∠ABC =90°，E 是PD 的中点.(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析 10【分析】（1）取P A 的中点为F ，连接EF ，BF ，证得CE //BF ，进而线面平行得判定定理即可得出结论；（2）法一：取AD 的中点O 连接PO ，CO ，证得PCO ∠为直线PC 与平面ABCD 所成角，解三角形求出3PCO π∠=，作NQ AB ⊥于Q ，连接MQ 证得MQN ∠为二面角M AB D --的平面角，求出 MQN ∠的余弦值即可.法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-，()0,0,1n =，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --10【详解】(1)证明：取PA 的中点F ，连结,,EF BF E 是PD 的中点，//EF AD ∴，11,,90,//,//,,22EF AD AB BC AD BAD ABC BC AD EF BC EF BC ∠∠=====∴=∴四边形BCEF 是平行四边形，//,CE BF BF ∴⊂平面,PAB CE ⊄平面PAB ，∴直线CE //平面PAB .(2)法一：四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，1,90,2AB BC AD BAD ABC E ∠∠====是PD 的中点.取AD 的中点,O M 在底面ABCD 上的射影N 在OC 上，设2AD =，则1,3,60AB BC OP PCO ∠===∴=，直线BM 与底面ABCD 所成角为45，可得：3,,1BN MN CN BC ===， 可得：22113BN BN +=，66BN MN ==NQ AB ⊥于Q ，连接,MQ AB MN ⊥，所以MQN ∠就是二面角M AB D --的平面角，22610122MQ ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，二面角M AB D --的余弦值为：110.5102=法二：由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，(013P ，，， (103PC =，,()100AB =，，则()(1,13BM x y z PM x y z =-=-，，，，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，是底面ABCD 的法向量，所以 cos ,sin45BM n =()222z21x y z =-++即()22210x y z -+-=又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则x ,1,y z λ===由①，②得=1x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩（舍去）或=1=1x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩所以12M ⎛- ⎝⎭，从而1AM ⎛= ⎝⎭设()000,,=m x y z 是平面ABM 的法向量，则(0000220·0·00x y m AM m AB x ⎧+=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即所以可取(0,2)m =.于是·10cos ,5m n m n m n==因此二面角M-AB-D 20．已知23n n C C =，且230123(12)n n x a a x a x a x a -=+++++.(1)求()()()()0102030n a a a a a a a a ++++++++；(2)求122222nn a a a +++的值； (3)求12323n a a a na ++++的值.【答案】(1)3 (2)1- (3)10-【分析】（1）由23n n C C =，可得5n =，得到52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，再分别令0x =，1x =，即可求出答案. （2）令12x =，即可得出答案. （3）两边对52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++中关于x 的函数求导可得()4234123455(12)22345x a a x a x a x a x --=++++，再令1x =，即可求出答案.【详解】(1)因为235n n C C n =⇒=，则52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++令001x a =⇒=，令01234511x a a a a a a =⇒+++++=-则()()()()01020303n a a a a a a a a ++++++++=.(2)令12x =，则5512120252501222222a a a a a a a =+++⋯+⇒++⋯+=-.(3)两边对52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++中关于x 的函数求导()4234123455(12)22345x a a x a x a x a x ⇒--=++++再令1x =可得1232310n a a a na ++++=-.21．“学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为14，参与“双人对战”获胜的概率为23，且每次答题相互独立.(1)求该人在一天的“四人赛”中积4分的概率；(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为ξ，求ξ的分布列和()E ξ. 【答案】(1)516(2)分布列见解析，5912【分析】（1）根据已知条件，将原事件分为第一局拿3分，第二局拿1分和第一局拿2分，第二局拿2分，分别求出两个事件的概率，并对两个概率相加，即可求解． （2）由题意可得ξ取值可能为3，4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可得分布列，再结合期望公式，即可求解．【详解】(1)解：依题意可知，若该人积分为4分，则在“四人赛”中首局积3分，第二局积1分，或者首局积2分，第二局积2分，所以131********P =⨯+⨯=.(2)解：由题意知，ξ的可能取值为3，4，5，6，7，()1311344316P ξ==⨯⨯=，()132131111344432444348P ξ⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1311113112195442432444348P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111131121164434424348P ξ⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1121744324P ξ==⨯⨯=. 故ξ的分布列为：所以()113191115934567164848482412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．设函数()1,xf x ae x a R =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当()0,x ∈+∞时， ()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：当()0,x ∈+∞时， 1ln 2x e xx ->. 【答案】（1）()f x 的单调递减区间为(),0-∞； ()f x 的单调递增区间为[)0,+∞；（2）[)1,+∞；（3）见解析．【详解】试题分析：（1）直接对函数()1x f x e x =--求导得()'1xf x e =-，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式()0f x >中参数分离分离出来可得：1e x x a +>，再构造函数()1xx g x e +=， ()0,x ∈+∞，求导得()'x xg x e =-，借助0x >，推得()'0xxg x e =-<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减， ()()01g x g <=，进而求得1a ≥；（3）先将不等式1ln 2x e xx ->等价转化为210x x e xe -->，再构造函数()()21,0,xx h x e xe x =--∈+∞，求导可得()22'12x xx h x e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由（2）知()0,x ∈+∞时， 10xe x -->恒成立，所以2102xx e -->，即()22'102x x x h x e e ⎛⎫=-->⎪⎝⎭恒成立，故()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00h x h >=，因此()0,x ∈+∞时，有1ln 2x e xx ->：试题解析：（1））当1a =时，则()1xf x e =-，令()'0f x =得0x =，所以有即1a =时， ()f x 的单调递减区间为(),0-∞； ()f x 的单调递增区间为[)0,+∞. （2）由()0f x >，分离参数可得： 1e xx a +>， 设()1xx g x e +=， ()0,x ∈+∞， ∴()'xxg x e =-，又∵0x >， ∴()'0xxg x e =-<，则()g x 在()0,∞+上单调递减， ∴()()01g x g <=，∴1a ≥ 即a 的取值范围为[)1,+∞.（3）证明： 1ln 2x e xx ->等价于210x x e xe --> 设()()21,0,xx h x e xe x =--∈+∞，∴()22'12xxx h x e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由（2）知()0,x ∈+∞时， 10x e x -->恒成立，所以2102x xe -->，∴()22'102xx x h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭恒成立∴()h x 在()0,∞+上单调递增，∴()()00h x h >=，因此()0,x ∈+∞时，有1ln 2x e xx ->.点睛：解答本题的第一问时，先对函数()1x f x e x =--求导得()'1xf x e =-，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式()0f x >中参数分离出来可得1e x x a +>，再构造函数()1x x g x e+=， ()0,x ∈+∞，求导得()'x x g x e =-，借助0x >，推得()'0x xg x e=-<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减， ()()01g x g <=，进而求得1a ≥；第三问的证明过程中，先将不等式1ln 2x e xx ->等价转化为210xx e xe -->，再构造函数()()21,0,x xh x e xe x =--∈+∞，求导可得()22'12xx x h x e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由（2）知()0,x ∈+∞时， 10x e x -->恒成立，所以2102x x e -->，即()22'102xx x h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭恒成立，故()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00h x h >=，因此证得当()0,x ∈+∞时，不等式1ln 2x e xx ->成立．。
扬州中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题含解析
江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.82.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+C.a b c-++D.a b c+-r r r3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13C.19D.1184.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.85.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.7156.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1- B.1- C.2D.37.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.6B.3C.3D.68.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b <<B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a =C.()56a a b⊥+D.a 与b夹角的余弦值为6-10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ<B.12()()E E ξξ>C.12()()D D ξξ<D.12()()D D ξξ>11.已知)66016xa a x a x -=+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.)251236360a a a++++= 12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值4D.设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P0.2a0.514.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.15.若(2)(0)na x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为___________.16.已知函数()e ln xaf x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n n A A =，求正整数n .18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .19.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．20.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA =，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ 是否为定值？若是定值，求OQ 的值；若不是，请说明理由．22.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34ea ≥，证明：()0f x <.江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.8【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式的种数为236⨯=种.故选：C2.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+ C.a b c-++ D.a b c+-r r r 【2题答案】【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算直接可得解.【详解】由已知得111A B A A AB C C CB CA a b c =+=+-=-+-，故选：A.3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13 C.19 D.118【3题答案】【答案】A 【解析】【分析】因为两个独立事件A 和B ，所以()()()P AB P A P B =⋅,(()(),P AB P A P B =()()(),P AB P A P B =结合1()()()(),()()9P A P B P A P B P A P B ==,()1(),P A P A =-()1(P B P B =-即可求出答案.【详解】由题设条件可得,1()()((),(()9P A P B P A P B P A P B ==,又()1()()1()P A P A P B P B =-=-且,解得1(()3P A P B ==.所以2()1(3P A P A =-=.故选：A.4.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.8【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据二项式系数的性质得到a ，b 的值，列出方程求出m .【详解】2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为2m m C ，故2m ma C =，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为21m m C +或121m m C ++，两者相等，不妨令21m m b C +=，则有221158m mm m C C +=，解得：7m =.故选：C5.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.715【5题答案】【答案】A 【解析】【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是131********⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1B.1C.2D.3【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用2POF V 为等边三角形，构造焦点三角形12F PF ，根据几何关系以及椭圆定义，得到,a c 的等量关系，即可求得离心率.【详解】连接1F P，根据题意，作图如下：因为2POF V 为等边三角形，即可得：12OF OP OF c ===，则122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒则112sin 603PF F F c =︒⨯=，由椭圆定义可知：21223PF a PF a c c =-=-=，故可得：3131c a ==+．故选：A.7.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.336B.33C.33D.36【7题答案】【答案】D 【解析】【分析】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，进而可求直线1AD 与平面BDE 所成角.【详解】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD分别为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()10,0,2D ，所以()2,2,0DB = ，()0,2,1DE = ，()12,0,2AD =-，设平面BDE 的一个法向量(),,m x y z=，则00m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =，所以平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，设直线1AD 与平面BDE 所成角为θ，所以1sin cos ,6AD m θ==．故选：D.8.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b<< B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】构造函数ln ()x f x x =，应用导数研究其单调性，进而比较2(3e af =，()b f e =，(3)c f =的大小，若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，构造2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()xf x x=，则222ln 3(33e e af e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()x f x x -'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133e e <<<，∴b c >，b a >.若ln xtx =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增，∴()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln tt x x >，有212x x e >∴当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=，综上：b c a >>.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a=--，()3,4,5b=，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a = C.()56a a b⊥+ D.a 与b夹角的余弦值为6-【9题答案】【答案】BCD 【解析】【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A 选项：2(1,2,7)ab +=-，不存在λ，使得2a b a λ+=，故A 错误；对于B选项：55a ====，故B 正确；对于C 选项：56(8,19,35)a b += ，6)281191350a b ⋅+=-⨯-⨯+⨯=，则(56)a a b ⊥+，故C 正确；对于D选项：a ==，b == 6455a b ⋅=--+=-所以c 6os ,a b a b a b⋅===-，故D 正确；故选：BCD.10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ< B.12()()E E ξξ> C.12()()D D ξξ< D.12()()D D ξξ>【10题答案】【答案】AC 【解析】【分析】由已知得12102p p <<<，2111112p p <-<-<，由期望公式求出1122(),()E p E p ξξ==，再根据方差公式求出12,()()D D ξξ，作差比较大小，由此能求出结果．【详解】∵随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=，12102p p <<<，∴2111112p p <-<-<，又()()1111101E p p p ξ=⨯+⨯-=，2222101E p p p ξ=⨯+⨯-=（）（），∴12()()E E ξξ<,又()()()()2221111111101D p p p p p p ξ=-+--=-，()()()()2222222222101D p p p p p p ξ=-+--=-，所以()()()()()22121122211210D D p p p p p p p p ξξ-=---=-+-<，所以12()()D D ξξ<．故选：AC.11.已知)66016xa a x a x =+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.25123636a a a ++++= 【11题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据二项式定理对选项逐一判断【详解】由二项式定理知展开式的通项公式为61606r r r r TC x r r N-+=-≤≤∈(),,对于A ，令0x =，得608a ==，则20log 3a =，A 正确．对于B ，016,,a a a ⋯这7个数中，当r 为偶数时，对应0246,,,a a a a 为有理数，B 错误．对于C ，()33336C1a=-=-C 正确．对于D ，对)66016x a a x a x=+++ 两边同时求导，得)55126626x a a x a x --=+++ ，令x =251236360a a a ++++= ，D 正确．故选：ACD12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB+是定值4D.设OMN OABS S λ=△△，则2λ≥【12题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】设直线MN 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用弦长公式可判断C 选项；利用三角形的面积公式结合基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线2C 的焦点为()0,1F ，若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>，则124x x =-，121212121164y y x x k k x x ===-，A 对；对于B 选项，设10k >，则20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得x =，不妨设点A在第三象限，则A ⎛⎫ ⎝，设点B在第四象限，同理可得B ⎛⎫，点B 到直线OA 的距离为d =，OA =，所以，1111122112122OABk k S OA d k k +=⋅==+△，B 对；对于C 选项，()()22221222221212414133241414141k k OA OB k k k k +++=+=++++++()()()()2222121222221212344234422254424141k k k k k k kk ++++=+=+=++++，C 错；对于D 选项，1214OMN OABOM ONx x S S OB OA ⋅===⋅△2≥=，当且仅当112k=±时，等号成立，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P 0.2a 0.5【13题答案】【答案】2.3【解析】【分析】先由概率总和为1求出参数a ，再根据期望公式即可求得结果.【详解】由题，由概率性质，()()()1231P X P X P X =+=+==，可解得0.3a =，故()10.220.330.5 2.3E X =⨯+⨯+⨯=，故答案为：2.314.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.【14题答案】【解析】【分析】由已知可得11AB AD AA === ，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，利用空间向量数量积的运算求出21AC 的值，即可得解.【详解】由已知可得11AB AD AA ===，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，由空间向量数量积的定义可得11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，所以，()22222111112226AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅=，因此，1AC =.15.若(2)(0)n a x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a 的取值范围为___________.【15题答案】【答案】(,104【解析】【分析】根据给定条件，求出幂指数n 的值，再求出第r +1项的系数，列出不等式并求解作答.【详解】因(2)n ax -的展开式中各项的二项式系数之和为256，则2256n =，解得8n =，(2)n a x -的展开式中第r +1项的系数为88(1)(2)C r r r a --⋅，N,8r r ∈≤，而0a >，则当r 为奇数时，第r +1项的系数为负，当r 为偶数时，第r +1项的系数为正，由仅有展开式的第5项的系数最大得：446288442688(2)C (2)C (2)C (2)C a a a a ⎧>⎨>⎩，化简整理得：215108a <<，解得104a <<，所以a的取值范围为,)104.故答案为：,)104【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．16.已知函数()e ln x a f x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．【16题答案】【答案】①.(e 1)1y x =--②.e 【解析】【分析】求导，代入1x =求出(1)e 1f '=-，用点斜式求出切线方程；（2）对函数变形，利用同构及函数单调性得到e a x x ≤，参变分离构造新函数，通过其单调性求出极值，最值，进而求出实数a 的最大值.【详解】由题意当1a=时，()e ln 2x f x x x =+-，1()e 2xf x x'=+-，则(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为(e 1)1y x =--．因为(1,),()0x f x ∈+∞≥，即e ln 0x a a x x x +--≥，则ln ln e e a a x x x x -≥-，令()ln ,1m t t t t =->，故11()10tm t t t-'=-=<，在(1,)+∞上恒成立，故()m t 在(1,)+∞上单调递减，故e a x x ≤，得ln a x x ≤，即ln x a x≤，记()(1)ln xx x x ϕ=>，则2ln 1()(1)ln x x x xϕ-'=>，当(1,e)x ∈时，()0x ϕ'<，当(e,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，故函数()ϕx 在(1,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增，故()ϕx 的最小值是(e)e ϕ=，故e a ≤，即实数a 的最大值是e ．故答案为：(e 1)1y x =--；e .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n nA A =，求正整数n .【17题答案】【答案】（1）1；（2）8.【解析】【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【详解】（1）54888589272876547876518765432198765A A A A +⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯；（2）∵33210n nA A =，∴2(21)(22)10(1)(2)⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-n n n n n n ，又3n ≥，化简得42510n n -=-，解得8n =.18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .【18题答案】【答案】（1）2-（2）1094-（3）2187【解析】【分析】（1）分别令0x =、1x =可求得0a 、01234567+++++++a a a a a a a a 的值，即可求得1237a a a a ++++ 的值；（2）分别令1x =、1x =-，将所得两式作差可求得1357a a a a +++的值；（3）分析可知当k 为偶数时，0k a >，当k 为奇数时，0k a <，然后令1x =-可得出所求代数式的值.【小问1详解】解：令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-，①因此，()12372370102a a a a a a a a a a ++++++++=+-=- .【小问2详解】解：令1x =-可得70123456732187a a a a a a a a ++=-=-+--，②①-②可得13571218710942aa a a --+++==-.【小问3详解】解：()712x -的展开式通项为()()177C 2C 2k kk k kk Tx x+=⋅-=⋅-，则()7C 2kk ka=⋅-，其中07k ≤≤且N k ∈，当k 为偶数时，0k a >；当k 为奇数时，0k a <.所以，7012345601234567732187a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=+++==----.20.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．【20题答案】【答案】（1）91100（2）910【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率去求解四次投球中至少一次命中的概率；（2）先求得概率P 的值，再去列两人得分之和的分布列求数学期望．【小问1详解】记“这四次投球中至少一次命中”为事件C ，则“这四次投球均未命中”是事件C 的对立事件，则()1199112225100P C =-⨯⨯=【小问2详解】依题意，29(1)25P -=，则25P =记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则1213(),(),()()2525P A P B P A P B ====甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2，()()13302510P P AB ξ===⨯=，()()()13121125252P P AB P AB ξ==+=+=，()()1212255P P AB ξ===⨯=，则ξ的分布列为：ξ012P31012153119()012102510E ξ=⨯+⨯+⨯=22.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）点G 为BD 的中点时.【解析】【分析】（1）由面面垂直可得AE⊥平面BCD ，得出CD ⊥AE ，再由CD ⊥EF 可得CD ⊥平面AEF ，即可得出平面ACD ⊥平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当0,cos y =θ最大，θ最小，即可得出此时点G 为BD 的中点.【小问1详解】(1)因为△ABC 是正三角形，点E 是BC 中点，所以AE ⊥BC ，又因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD =BC ，AE ⊂平面ABC ，所以AE⊥平面BCD ，又因为CD ⊂平面BCD ，所以CD⊥AE ，因为点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF //BD ，又因为BD⊥CD ，所以CD ⊥EF ，又因为CD ⊥AE ，AE ∩EF E =，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ，又因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面AEF .【小问2详解】在平面BCD 中，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ,设BC =4，则EA =，DF =FC =l ，E F 以{,,}EH EF EA为正交基底，建立如图空间直角坐标系E -xyz ,则(0,0,0),(0,0,(1,(1,E A C D -,设(1,,0)G y ，则(0,0,(1,EA AD ==- ,(2,0,0),(1,,0)CD EG y ==，设平面AEG 的法向量为1111(,,)n x y z →=,由1100n EA n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1110x yy ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =-，故1(,1,0)n y →=-，设平面ACD 的法向量为2222(,,)nx y z →=，则2200n CD n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即2222200x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，则2(0,2,1)n →=,设平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角为θ,则12cos |cos ,||n n →→=<>==θ，当0,cos y =θ最大，此时锐二面角θ最小，故当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角最小.24.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA = ，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:ly kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ是否为定值？若是定值，求OQ的值；若不是，请说明理由．【24题答案】【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，OQ =【解析】【分析】（1）设出点P 的坐标，进而根据3AB PA →→=求出它的坐标代入椭圆方程，再根据BF BP ⊥，结合斜率公式求得答案；（2）联立22184y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简，根据判别式为0得到k ,m 的关系，再联立()12y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩求出点Q 的坐标，进而求出答案.【小问1详解】设()00,P x y ，易知()0,B b ，因为3AB PA →→=，所以()()002,32,b x y -=--，所以083x =，03b y =-．因为P 在椭圆C 上，所以22264991b a b+=，所以28a =．因为BF BP ⊥，所以12b b c ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以22b c =．因为222a b c =+，所以28a =，224b c ==，故椭圆C 的方程为22184x y +=．【小问2详解】联立方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，则()()222216412280k m k m ∆=-+-=，得2284m k =+．当0k =时，直线l 的方程为2y =±，OQ =当0k ≠时，直线AQ 的方程为()12y x k=--，联立方程组()12y x k y kx m⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，得Q 的坐标为2222,11km m k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()()()()222222222224111km m k m OQk k k -++=+=+++．因为2284m k =+，所以22284481k OQ ++==+，所以OQ =故OQ为定值，且OQ =．【点睛】本题第（2）问运算量较大，但充分体现了“设而不求”的思想，本题可以作为范题进行归纳总结.26.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34e a≥，证明：()0f x <.【26题答案】【答案】（1）1ey x =--（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得e ()ln xf x x x=-，即可得到()1f ，再求出函数的导函数，即可求出()1f '，最后利用点斜式求出切线方程；（2）依题意即证2e ln 0x a x x x ->，令2e ()x a g x x=、ln ()x h x x=，,()0x ∈+∞，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而得证；【小问1详解】21解：当1a =时e ()ln x f x x x=-，所以()1e 1ln1e 1f =-=-，又()21e 1()x x f x x x -'=-，所以()11f '=，即切点为()1,e -，切线的斜率1k =，所以切线方程为()()e 11y x --=-，即1ey x =--【小问2详解】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x <⇔-<⇔->，令2e ()x a g x x =，,()0x ∈+∞，所以3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min3e 4e 1()(2)4e 4e a g x g ==≥⋅=，令ln ()x h x x =，,()0x ∈+∞，所以21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)e h x h ==，因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x->成立，所以()0f x <.。
2021-2022学年云南师范大学附属中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年云南师范大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为35，鼻炎发作且感冒的概率为13，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为（ ）A ．15B ．25C ．59D ．23【答案】C【分析】利用条件概率的计算公式即可求解.【详解】设某人在春季里鼻炎发作为事件A ，感冒为事件B ，则31(),()53P A P AB ==，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为1()53()3()95P AB P BA P A ===∣． 故选：C ． 2．设随机变量()22,X N σ，()040.3P X <<=，则()0P X <=（ ）A ．0.65B ．0.7C ．0.35D ．0.25【答案】C【分析】根据正态分布曲线的对称性计算出()02P X <<的值，然后根据()()()0202P X P X P X <=<-<<求解出结果.【详解】解：∵随机变量()22,XN σ，()040.3P X <<=，∴()020.15P X <<=，()20.5P X <=，∴()()()02020.50.150.35P X P X P X <=<-<<=-=. 故选：C.3．用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ）A．72 B．48 C．36 D．24 【答案】A【分析】可以同色的区域为BD，CE，分类讨论结合排列知识即可求解．【详解】由题意，可以同色的区域为BD，CE；若只有BD同色，则有4424A=种；若只有CE同色，有4424A=种；若BD，CE都同色，则3424A=种，由分类计数原理，共有24372⨯=种，故选：A．4．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（）A．14B．13C．12D．23【答案】C【解析】本题首先可以根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有2个阳数以及任取3个数中有3个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.【详解】由题意可知，10个数中，1、3、5、7、9是阳数，2、4、6、8、10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则2155310105512012C CPC，若任取3个数中有3个阳数，则3531010112012CPC，故这3个数中至少有2个阳数的概率51112122P=+=，故选：C.【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的N个物品（包括M个指定物品）中抽取n个物品，若抽取的n个物品中有k个指定物品，则概率k n kM N MnNC CPC，考查计算能力，是中档题.5．51 (12)1x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数为（ ）A ．40-B ．40C ．80D ．120【答案】A【分析】利用二项式展开式的通项公式求解.【详解】解：因为5(12)x -的展开式中，通项为()()155C 22C rrr r rr T x x +=-=-， 所以含2x 的项的系数为()()2323552C 2C 40-+-=-． 故选：A6．某校为了做好疫情防控工作，组织了6个志愿服务小组，分配到3个校门进行志愿服务，若每个校门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个校门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ） A ．90 B ．540 C ．630 D ．1080【答案】B【分析】6人分成3组有三种方案：“114++”，“123++”、“222++”，先分组再分配即可求解.【详解】6人分成3组有三种方案：“114++”，“123++”、“222++”，共有1142221236546426532323C C C C C C C C C 90A A ++=种方法，3组分配到3个校门有33A 种方法， 根据乘法原理不同的分配方法数为：3390540A =，故选：B ．7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前46项和为（ ）A ．4080B ．2060C ．2048D ．2037【答案】D【分析】根据规律得出杨辉三角中每一行的和，每一行的数的个数，这样可确定题中数列前46项，正好包含杨辉三角中前11行，加上第12行的第2个数11，由此可得结论． 【详解】杨辉三角的第n 行的和为12,(1,2,)n n -=⋯⋯，故前n 行的和为122112nn n S -==--， 每一行的个数为1，2，3，…，可看成以1为首项，以1为公差的等差数列，则(1)2n n n T +=，当11n =时，111112662T ⨯==，去除两端的1可得662145-=， 则此数列的前46项的和为：111121112121112037S -+=--+=．故选：D8．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当00.001p <<时，()()*11np np n -≈-∈N ，据此计算()():E X E Y 的近似值为（ ） A ．12B ．1427C ．611 D ．59【答案】B【分析】由题意可知10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为()101p -和()1011p --，从而可求出()E X ，同样的方法可求出()E Y ，进而可求出比值【详解】由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为()101p -和()1011p --，故这10人组检测次数的期望为()1011101p --，相当于每个个体平均检测()101.11p --次，同理，采用5合1混检，每个个体平均检测()51.21p --次，∴()()()()()()1051.11 1.11100.1100.10.00514: 1.2150.250.20.0025271.21p p p E X E Y p p p ----++=≈===--++--.故选：B 二、多选题9．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(),(1,2,310)i i x y i =⋯，已知10101120,10ii i i xy ====∑∑，下列说法中正确的是（ ）A ．数据i i 23(i 1,2,310)x y +-=⋯的平均数为1B ．若变量x ，y 的经验回归方程为13y x b =+，则实数13b =C ．将数据i (i 1,2,310)x =⋯中的每个数都加上同一个常数，所得新数据方差不变D ．两个变量x ，y 的线性相关性越强，则变量x ，y 的样本相关系数r 越大 【答案】ABC【分析】根据均值的定义判断A ，由数据中心点求出经验回归方程中的系数b 判断B ，利用方差公式判断C ，根据相关系数的意义判断D ． 【详解】因为10101120,10i i i i x y ====∑∑，所以2,1x y ==，所以对于A 选项，23(1,2,310)i i x y i +-=⋯的平均数为2231+-=，故A 正确； 对于B 选项，若数据的线性回归方程是13y x b =+，则1211333b y x =-=-=，故B 正确；对于C 选项，数据(1,2,310)i x i =⋯中的每个数都加上同一个常数c ，平均值也加同这个常数c ，因此i x x -与()()i x c x c +-+相等，故方差不变，故C 正确；对于D 选项，当变量x ，y 的负相关时，相关性越强，相关系数r 越小（越接近于1-），故D 错误． 故选：ABC10．某机构通过抽样调查，利用22⨯列联表和2x 统计量研究秃顶与患心脏病是否有关时，零假设为0H ；秃顶与患心脏病无关，经查对临界值表知()()222.7060.1, 3.8410.05P P χχ≥≈≥≈，下列说法正确的是（ ）A ．若2 3.503χ=，当小概率值0.1α=时，推断0H 不成立，即认为“秃顶与思心脏病有关联”B ．若2 3.503χ=，当小概率值0.05α=时，推断0H 不成立，即认为“秃顶与患心脏病有关联”C ．若当小概率值0.05α=时推断0H 不成立，即认为“秃顶与患心脏病有关联”，是说某人秃顶，那么他有95%的可能性患心脏病D ．若当小概率值0.1α=时推断0H 不成立，是指在犯错误的概率不大于0.1的前提下，认为“秃顶与患心脏病有关联” 【答案】AD【分析】利用独立性检验判断.【详解】当小概率值0.1α=时，2 3.503 2.706χ=>，则推断0H 不成立，即认为“秃顶与患心脏病有关联"，故A 正确；当小概率值0.05α=时，2 3.503 3.841χ=<，则没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为“秃顶与患心脏病无关"，故BC 错误；从独立性检验可知，当小概率值0.1α=时推断0H 不成立，即认为秃项与患心脏病有关联，该推断犯错误的概率不大于0.1，故D 正确． 故选：AD ．11．一袋中有质地、大小完全相同的3个白球和2个红球，下列结论正确的是（ ）A ．从中一次性任取3个球，恰有1个白球的概率是35B ．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为310C ．从中不放回地取球2次，每次取1个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次再取到白球的概率为12D ．从中不放回地取球，取完红球就停止，记停止时取得的白球的数量为X ，则()115P X ==【答案】CD【分析】对于A ，利用古典概型的概率求解判断；对于B ，利用独立重复实验的概率求解判断； 对于C ，利用条件概率求解判断；对于D ，利用超几何分布的概率求解判断.【详解】对于A ，从中任取3个球，恰有1个白球的概率为123235310C C P C ==，故A 不正确；对于B ，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为35，所以恰好有2个白球的概率为2233354155125P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，设第1次取到白球为事件A ，第2次再取到白球为事件B ，所以第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为32()154()3()25P AB P BA P A ⨯===∣，故C 正确； 对于D ，=1X 表示事件“取完红球时，取到1个白球”，共取球3次，前2次1红1白，第3次为红球，概率为112322351(1)5C C A P X A ===，故D 正确． 故选：CD ．12．某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第1次正面朝上的点数为(1,2,3)i a i =，若“123a a a ≤≤”，则算作中奖，现甲、乙、丙三人参加抽奖活动，记中奖人数为X ，下列说法正确的是（ ） A ．若甲第1次投掷正面朝上的点数为4，则甲中奖的可能情况有6种 B ．若甲第3次投掷正面朝上的点数为6，则甲中奖的可能情况有20种 C ．甲中奖的概率为727p = D ．7()9E X =【答案】ACD【分析】对于AB ：直接列举基本数据即可；对于C ：分析甲中奖的可能情况，利用古典概型求概率； 对于D ：利用二项分布求数学期望.【详解】由题意知，当14a =时，中奖情况有1113216C C C ++=种，故A 正确；当36a =时，中奖情况有11111112345621C C C C C C +++++=种，故B 错误；中奖情况如下：当31a =时，211a a ==；共有111C =；当32a =时，22a =，则1a 可能有12C ；21a =，则1a 可能有11C ；共有11123C C +=；当33a =时，23a =，则1a 可能有13C ；22a =，则1a 可能有12C ；21a =，则1a 可能有11C ；共有1111236C C C ++=；……由上可知：当36a =时，共有11111112345621;C C C C C C +++++=∴记“123a a a ≤≤”的事件为A ，则中奖的可能情况共有136********+++++=种，所有可能情况有111666216C C C =种，567()21627P A ∴==，故C 正确； 三人参加抽奖，每人中奖的概率均为727，中奖人数7~3,27X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以77()3279E X =⨯=，故D 正确. 故选：ACD ． 三、填空题13．已知随机变量X 服从二项分布14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()D X =___________． 【答案】89【分析】利用二项分布的方差公式直接计算.【详解】随机变量X 服从二项分布1128~4,,()43339X B D X ⎛⎫∴=⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：89.14．现有8道四选一的单选题，某考生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率均为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．该考生从这8道题中随机选1题，则他答对该题的概率为___________． 【答案】0.66255380【分析】根据全概率公式计算．【详解】设A 表示“考生答对”，B 表示“选到有思路的题”，由全概率公式得 ()()()()()0.750.80.250.250.6625P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣．故答案为：0.6625．15．从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为_____（结果用数字作答） 【答案】28【分析】根据题意，结合计数原理中的分步计算和分类计算，即可求解.【详解】从0，2，4中任取2个数字有233C =种取法，从1，3中任取1个数字有122C =种取法， 故从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，将3个数字排成一排共333236A ⨯⨯=种，当取到的数字有0时，0不能在第一位，故符合题意的共22362228A -⨯⨯=种.故答案为：28.16．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为___________． 【答案】1132【分析】设n 次传球后球在甲手中的概率为n p ，求出10p =，根据题意求出数列{}n p 的递推公式，求出n p 的表达式，即可求得6p 的值.【详解】设n 次传球后球在甲手中的概率为n p ，当1n =时，10p =， 设n A =“n 次传球后球在甲手中”，则111n n n n n A A A A A +++=+，则()()()()()()()11111n n n n n n n n n n n P A P A A P A A P A P A A P A P A A +++++=+=+∣∣．即()()11101122n n n n p p p p +=⨯+-⨯=-， 所以，1111323n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且11133p -=-，所以，数列13n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13-为首项，以12-为公比的等比数列，所以，1111332n n p -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，所以，111132n n p -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以6次传球后球在甲手中的概率为61111133232p ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭．故答案为：1132. 【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现1n n a a m -=+时，构造等差数列； （2）当出现1n n a xa y -=+时，构造等比数列； （3）当出现()1n n a a f n -=+时，用累加法求解； （4）当出现()1nn a f n a -=时，用累乘法求解. 四、解答题17．已知7270127(3)..x a a x a x a x -=+++⋯+(1)求5a ；(2)求017..a a a ++⋯+． 【答案】(1)5189a =-(2)16384【分析】（1）由二项展开式通项公式可求得5a ； （2）令1x =-可得系数的绝对值之和．【详解】(1)因为7270127(3)x a a x a x a x -=+++⋯⋯+，其展开式的通项为717C 3()r r r r T x -+=-，令=5r ，得25557C 3(19)81a ==-⨯⨯-；(2)令1x =-，得7017163844 a a a ==++⋯⋯+．18．有三名男生，三名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（结果用数字作答） (1)两名老师站正中间；(2)三名男生身高都不相等，从左向右看，三名男生按从高到低的顺序站； (3)两名老师分别站两端，且三名女生中恰好有两名女生相邻． 【答案】(1)1440 (2)6720 (3)864【分析】（1）首先安排2位老师，再排6名同学，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）先从8个位置中选出3个位置给3名男生，再将剩下的5人排到5个位置，按照分步乘法计数原理计算可得；（3）先排两名老师，再排3名男生，最后将三名女生分为1、2的两组，将这两组安排在4个空位中的2个，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】(1)解： 2名老师站中间，有22A 种站法，6名学生有66A 种站法，故共有2626A A 1440=种．(2)解：先从8个位置中选出3个位置给3名男生，有38C 种方法，再在剩下的5个位置上排其余5人，有55A 种站法，故三名男生从左到右按照由高到低的顺序的站法有3585C A 6720=（种）．(3)解：根据题意，分3步进行分析：①两名老师分别站两端，有22A 2=种站法；②先安排三名男生，有33A 6=种排法，男生排好后，有4个空位可选；③将三名女生分为1、2的两组，将这两组安排在4个空位中的2个，有222324A A 2C 7=种站法；故共有2672864⨯⨯=种不同的站法．19．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的积极性有影响，为此，随机抽取了本校50名学生，其中男、女生的比例为4:1，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的22⨯列联表：(1)请将22⨯列联表补充完整，并依据0.05α=的独立性检验，判断体育锻炼的积极性与性别是否有关联？(2)为进一步了解影响学生体育锻炼积极性的原因，现对样本中不经常进行体育锻炼的学生逐个进行访谈（随机抽取确定访谈顺序），设2名男生恰好访谈完毕时，已访谈的女生数为X ，求随机变量X 的分布列．参考公式：2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 【答案】(1)填表见解析；认为体育锻炼的积极性与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 (2)答案见解析【分析】（1）先根据已知条件和列联表中的数据补充列联表，然后根据公式22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++求解2χ，再根据临界值表比较可得结论，（2）由题意可得X 的所有可能取值为：0，1，2，然后求出相应的概率，可得随机变量X 的分布列【详解】(1)由题意可得，一共抽样50个，男、女生之比为4:1，故男生有4504041⨯=+人，女生有10人，故男生经常锻炼的人数为40238-=，女生不经常锻炼的人数为1073-=，填表如下：零假设为0H ：体育锻炼的积极性与性别无关，经计算222()50(38327) 5.556 3.841()()()()4010455n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，故推断0H 不成立，即认为体育锻炼的积极性与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．(2)依题意得，访谈顺序的所有可能为男男女女女，男女男女女，男女女男女，男女女女男，女男男女女，女男女男女，女男女女男，女女男男女，女女男女男，女女女男男，共10种可能．X 的所有可能取值为：0，1，2，3．1234(0),(1),(2),(3)10101010P X P X P X P X ========， 则X 的分布列为：20．某高校通过自主招生方式招收优秀的高三毕业生，测试方式分为初试和复试两个阶段，初试阶段每位同学最多有5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止初试，答对3题者进入复试阶段，答错3题者则被淘汰．已知某同学答对任何一个问题的概率均为23，且每个问题是否答对互不干扰，求： (1)该同学可进入复试阶段的概率；(2)设该同学在初试阶段答题的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)6481(2)分布列见解析；期望为10727【分析】（1）根据题意分别求出该同学答对3题，答对4题和答对5题的概率，再根据互斥事件的概率公式可求得结果，（2）由题意得，X 的可能取值为3，4，5，求出相应的概率，从而可求得X 的分布列和数学期望【详解】(1)该同学答3题进入复试的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭；答4题进入复试的概率为2232128C 33327⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；答5题进入复试的概率为222421216C 33381⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该同学可进入复试的概率为88166427278181++= (2)由题意，X 的可能取值为3，4，5，则有33211(3)333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22223321212110(4)C C 33333327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2224218(5)C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为数学期望为1108107()3453272727E X =⨯+⨯+⨯= 21．为普及传染病防治知识，增强市民的疾病防范意识，提高自身保护能力，某市举办传染病防治知识有奖竞赛．现从该市所有参赛者中随机抽取了100名参赛者的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如表所示的频率分布表．(1)求这100名参赛者的竞赛成绩的样本均值x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若该市所有参赛者的成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，用样本估计总体，μ近似为样本均值，2σ近似为样本方差，利用所得正态分布模型解决以下问题：（参考数据：15≈）①如果按照15.87%,34.13%,34.13%,15.87%的比例将参赛者的竞赛成绩划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线（精确到整数）； ②若该市共有10000名市民参加了竞赛，试估计参赛者中获得特等奖的人数（结果四舍五入到整数）．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545,(33)0.9973P X P X μσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈．【答案】(1)65x =；2226s =(2)①分数低于50的为参与奖，分数大于等于50小于65的为二等奖，分数大于等于65小于80的为一等奖，分数大于等于80的为特等奖 ；②1587【分析】（1）根据频率分布表中的数据利用平均数公式和方差公式可求得结果， （2）①设竞赛成绩达到a 及以上为特等奖；成绩达到b 但小于a 为一等奖，成绩达到c 但小于b 为二等奖，成绩未达到c 为参与奖，则根据题意和正态分布的性质可得65b =，50,80c a μσμσ≈-≈≈+≈，从而可得答案，②根据正态分布的性质求解【详解】(1)由频率分布表可得 1(35645105518653375168511956)65100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()22221301220211034226100s =⨯+⨯+⨯= (2)该市所有参赛者的成绩X 近似地服从正态分布(65226)N ，， ①设竞赛成绩达到a 及以上为特等奖；成绩达到b 但小于a 为一等奖，成绩达到c 但小于b 为二等奖，成绩未达到c 为参与奖，则()15.87%,()34.13%,()34.13%,()15.87%P X a P b X a P c X b P X c ≥=≤<=≤<=<=，由于()()()50%P X b P X a P b X a ≥=≥+≤<=，因此65b =； 由于()()()68.26%P c X a P c X b P b X a ≤<=≤<+≤<=， 因此50,80c a μσμσ≈-≈≈+≈，所以分数低于50的为参与奖，分数大于等于50小于65的为二等奖，分数大于等于65小于80的为一等奖，分数大于等于80的为特等奖． ②10.682780,(80)0.158652P X μσ-+≈∴>≈= ∴估计参赛者中超过80分的人数为0.15865100001587⨯≈．22．为了提高智慧城市水平，某市公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：同学甲选择指数型函数模型x y c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）来建立经验回归方程，据此，他对数据进行了一些初步处理，如下表：其中7i i i1lg ,7v y v v ==∑，(1)根据表中相关数据，利用同学甲的模型建立y 关于x 的经验回归方程；(2)若同学甲求得其非线性经验回归方程的残差平方和为()72i i i=1ˆ98.117y y -=∑；同学乙选择线性回归模型ˆˆˆya bx =+，并计算得经验回归方程为ˆ28.451.44y x =-，以及该回归模型的决定系数20.815R =乙；①用决定系数2R 比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？ ②用你认为拟合效果较好的模型预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； (3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表： 为缓解周边居民出行压力，车队以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数年）才能盈利？参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋯，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni i i nii u v nu vv u unu βαβ==-⋅==--∑∑．决定系数：()()2i 2i 12ii=1ˆ1nnv vR v v =-=--∑∑【答案】(1)0.253.4710x y =⨯(2)①甲建立的回归模型拟合效果更好；②3470人次 (3)3年【分析】（1）对x y c d =⋅两边取对数得：lg lg lg y c d x =+⋅，再跟所给数据及公式求出ˆlg d β=、ˆlg c α=，最后根据指数与对数的关系求出d 、c ，即可得解； （2）①计算出相关指数2R 甲，与2R 乙比较即可判断；②将8x =代入回归方程计算可得；（3）设一名乘客一次乘车的费用为ξ元，由题意知：ξ所有可能取值为：1.4，1.6，1.8，2，求出所对应的概率，即可求出ξ的数学期望，再解不等式即可； 【详解】(1)解：对x y c d =⋅两边取对数得：lg lg lg y c d x =+⋅，其中i i lg v y =，7i i=11 1.547v v ==∑，7i i i=150.12x v =∑，()1123456747x =++++++=，72i i=1140x =∑7i i i=1722ii=17lg 0.257ˆx v x vd xx β-⋅∴===-∑∑，ˆˆlg 0.54c v x αβ==-=， 所以0.2510d =，0.5410 3.47c ==， 所以0.253.4710x y =⨯．(2)解：①甲建立的回归模型的2298.11710.9960.81527694R R =-≈>=∴甲乙甲建立的回归模型拟合效果更好．②利用甲建立的模型预测，当8x =时，0.540.258210 3.4710347y +⋅==⨯=，∴活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470人次； (3)解：设一名乘客一次乘车的费用为ξ元， 由题意知：ξ所有可能取值为：1.4，1.6，1.8，2， 1( 1.4)0.30.056P ξ∴==⨯=，1( 1.6)0.60.30.73P ξ==+⨯=，1( 1.8)0.30.152P ξ==⨯=，(2)0.1P ξ==，() 1.40.05 1.60.7 1.80.1520.1 1.66E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=，假设这批车需要()*n n ∈N 年才能开始盈利，则1.66212900.6612n n ⨯⨯⨯≥+⨯⨯，解得： 2.82n ≥，∴需要3年才能盈利．。
山东省聊城市聊城第一中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)
山东省聊城市聊城第一中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则000()()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．()012f x -'B ．()02f x '-C ．()0f x 'D ．()02f x '2．已知()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（）A ．8-B ．8x-C ．228x -D ．228x 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，则π6⎛⎫' ⎪⎝⎭f 的值为（）A ．π2B ．π12-C ．1-D ．π-4．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（）种．A ．34B ．816C ．216D ．2105．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中一次，则甲命中目标的概率为（）A ．0.6B ．0.625C ．0.5D ．0.36．已知2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是（）A ．4m ≥-B ．4m >-C ．3m >-D ．3m ≥-7．在()()()()2391111x x x x ++++++++ 的展开式中，3x 的系数为（）A ．120B ．84C ．210D ．1268．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,346a f b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a b c>>二、多选题9．随机变量ξ的分布列为：ξ012Pa2b 2b 其中0ab ≠，下列说法正确的是（）A ．1a b +=B ．3()2b E ξ=C ．()D ξ随b 的增大而减小D ．()D ξ有最大值10．已知102(0)ax a⎛> ⎝展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在含6x 的项D ．展开式中含15x 项的系数为4511．某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（）A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为24125B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C ．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为96625D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为4512．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列选项正确的有（）A ．10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,e)上单调递减C ．126x x +>D ．若221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<三、填空题13．全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________．14．同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则4次试验中至少有2次成功的概率是______________．15．若77017(21)x a a x a x +=++⋯+，则7+11(1)i i i ia =-=∑______________．16．若函数()g x 在区间D 上有定义，且,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈均可作为一个三角形的三边长，则称()g x 在区间D 上为“M 函数”．已知函数()1ln x f x x k x-=-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题17．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(2)医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？18．已知2mx⎛+ ⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12．(1)求m 的值；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．19．已知函数()2()e 61x f x x x =-+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值；(2)求函数()f x 在区间[0,6]上的最值．20．将10株某种果树的幼苗分种在5个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需20元，用X 表示补种费用．(1)求一个坑不需要补种的概率；(2)求5个坑中恰有2个坑需要补种的概率；(3)求X 的数学期望．21．为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：容易题中等题难题答对概率0.70.50.3答对得分345(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X ，求随机变量X 的数学期望．22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a +元(58)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x -万件，(1)求该商店一年的利润L (万元)与每件纪念品的售价x 的函数关系式；(2)求出L 的最大值()Q a ．23．已知函数()e 3xf x ax =+-在0x =处的切线为=2y -．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．参考答案：1．A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.【详解】因为()f x 在0x x =处可导,所以，由导数的定义可得：()0000000()()()()11limlim 222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-⎡-∆-⎤⎛⎫⎛⎫'=-⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥∆-∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A 2．D【分析】利用二项式定理求得()1nx -的展开通项公式，从而得到关于n 的方程，解之即可求得展开式中的第3项.【详解】因为()1nx -的展开通项为()()1C 11C kkk n kk k k n n T x x -+=-=-，所以()1nx -的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn ，因为()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以26C C n n =，由性质22C C n n n-=得26n -=，故8n =，所以()1nx -展开式中的第3项为()2222381C 28T x x =-=.故选：D.3．B【分析】先对()f x 求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.【详解】因为()cos sin f x x x x =-，所以()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，所以ππππsin 66612f ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4．B【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果．【详解】从7人中任选3人，不同的选法有37C 种，而不选男教师的选法有33C 种，则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有3373C C 34-=种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有44A 24=种．则这7名教师不同的安排方法有3424816⨯=种．故选：B ．5．B【分析】先由题意求得目标至少被命中1次的概率，目标至少被命中1次且甲命中目标的概率，再由条件概率公式即可求得结果．【详解】记事件A 为“甲命中目标”，事件B 为“目标至少被命中1次”，则()1(10.5)(10.6)0.8P B =--⨯-=，()0.5(10.6)0.50.60.5P AB =⨯-+⨯=，()0.5()0.625()0.8P AB P A B P B ===．故选：B.6．D【分析】求出导函数，推出12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数m 的取值范围．【详解】2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数则1()20f x x m x '=++≥在区间(1,2)上恒成立即12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立设1()2h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1,2)x ∈22221))()2012(1(1x h x x x x '=-+=-=<函数()h x 在(1,2)上是减函数，则()(1)3h x h <=-所以3m ≥-．故选：D ．7．C【分析】先通过求出各项二项式中3x 的系数，再利用组合数的性质即可得解.【详解】因为()1nx +的展开通项为1C 1C k n kk k kk n n T x x -+==，所以()1x +的展开式中没有3x 这一项，()21x +的展开式中没有3x 这一项，()31x +的展开式中3x 的系数为33C ，()41x +的展开式中3x 的系数为34C ，……()91x +的展开式中3x 的系数为39C ，所以所求3x 的系数为333434910C C C C 210+++== .故选：C.8．B【分析】由条件可得cos ()sin ()0x f x x f x '⋅+⋅<，考虑构造函数()()cos f x g x x=，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以()tan ()f x x f x '<-⋅可化为sin ()()0cos xf x f x x'+⋅<，即cos ()sin ()0x f x x f x '⋅+⋅<，设()()cos f x g x x=，则()()()()2cos sin cos cos f x f x x f x xg x x x ''+⎛⎫'== ⎪⎝⎭，所以当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，因为πππ643<<，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以πππ643πππcos cos cos 643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>，即πππ23643f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b a >>，故选：B.9．ABD【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案．【详解】根据分布列的性质得122b ba ++=，即1a b +=，故A 正确；根据期望公式得3()012222b b bE a ξ=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；根据方差公式得222333()(0)(1)(2)22222b b b b bD a ξ=-⨯+-⨯+-⨯222333(0)(1)(1)(2)22222b b b b b b =-⨯-+-⨯+-⨯22959525(424936b b b =-+=--+，因为01b <<，当509b <≤时，()D ξ随b 的增大而增大；当519b <<时，()D ξ随b 的增大而减小，故C 错误；当59b =时，()D ξ取得最大值2536，故D 正确，故选：ABD ．10．BD【分析】由1x =结合展开式的各项系数和得出1a =，再由二项展开式的通项及二项式定理的性质逐一判断即可．【详解】∵展开式的各项系数之和为1024，∴令1x =，得10(1)1024a +=，∵a ＞0，∴a ＝1则二项式为102x⎛ ⎝，其展开式的通项为：()520102211010C C rr rr r r T xx --+==展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024＝512，故A 错误；由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，故B 正确；令52062r -=，可得285r =不是自然数，则展开式中不存在含6x 的项，故C 错误；令520152r -=，解得2r =，所以展开式中含15x 项的系数为210C 45=，故D 正确，故选：BD ．11．ACD【分析】对于ABC ，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；对于D ，根据题意得到第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得X 的期望，由此判断即可.【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有45选择方法，对于A ，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为454A 54322455555125⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，四人去了同一餐厅就餐的概率为154A 5155555125==⨯⨯⨯，故B 错误；对于C ，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为2244C 46449655555625⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ，每个同学选择去第一餐厅的概率为15，所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布14,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以14()455E X =⨯=，故D 正确.故选：ACD.12．AD【分析】根据参变分离构造函数()ln xg x x=，根据()g x 的性质，即可判断A ；求导得()f x '，结合10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可判断B ；构造函数()()()()2e ,e,2e F x f x f x x =--∈，利用导数求解12x x +的范围，即可判断C ，根据()21,f f a ⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小关系结合()f x 的单调性即可判断D ．【详解】对于A ，由()0f x =等价于ln xa x=，令()()2ln 1ln ,x x g x g x x x -'==，令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在()0,e 单调递增；在()e,+∞单调递减，当e x =时，()g x 取极大值()1e =eg ，当()1,0x g x <<；当1x >时，()0g x >，()10g =，则121e,e,x x <<>10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确．对于B ，()11axf x a x x-'=-=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1e a <，所以()f x 在(0,e)单调递增，故B 错误；对于C ，由A 可知120e x x <<<，当22e x ≥时，122e x x +>，当()2e,2e x ∈时，令()()()()()()e ln ln 2e 2e 2e ,e,2F x f x x x ax f x a x x =--=-+-∈--，11112e()222e 2e (2e )F x a a a a x x x x x x =-+-=-=----'，()()22e,2e ,2e 2e e x x x x x ∈∴-=-+< ，()()2e 22202e eF x a a x x =->--'∴>，()F x ∴在()e,2e 上单调递增，()()e 0F x F ∴>=，()()2e f x f x ∴>-，则()()222e f x f x >-，又()()21f x f x = ，()()122e f x f x ∴>-，又()f x 在()0,e 上单调递增，12e 2e 0x x >>->，122e x x ∴>-，122e x x ∴+>，综上122e x x +>，故C 错误；对于D ，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12110,,x x a a ⎛⎫⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()110f a f x =-<= ，11x ∴>，()2222ln 2lne 20f f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，22x a ∴<，21221ax x a a-∴-<-=，故D 正确，故选：AD ．13．625【分析】利用分步乘法有理求不同的报名方法种数即可.【详解】由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步乘法计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是5555⨯⨯⨯种，即625种，故答案为：625.14．67256【分析】由题意可知4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得出答案．【详解】 同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率为111224⨯=，∴在4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4次试验中至少有2次成功的概率是2234234444131315412167C +C C 44444256256256256⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：67256．15．14【分析】由二项式定理可求0127,,,,a a a a ⋅⋅⋅，利用组合数性质化简+1(1)i i ia -，结合二项式定理求值.【详解】因为()()()()0127071625707777772(1C 12C 122))C 21C 12(1x x x x x x +==+++⋅⋅+⋅+，化简可得0122277777777C 2C 22(1C C 2)x x x x =++++⋅⋅⋅+，又77017(21)x a a x a x +=++⋯+，所以72C ,0,1,2,3,4,5,6,7,i ii a i ==当1,2,3,4,5,6,7i =时，()()()1767!6!C 77C !7!1!61!i i i i i i i i -=⋅=⋅=---+，所以()1+1+1+111766(1)(1)2C (1)7C 214C 2i i i i i i i i i i i a i ---⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅=-⋅=⋅-，所以()()77711+11166111(1)14C214C 2i i i i i i i i i ia ----===-=-=-∑∑∑，所以()()()()()7126+10615246066661(1)14C 12C 12C 12C 12i i i ia =-=-+-+-+⋅⋅⋅+-∑，所以()76+11(1)141214i i i ia =⎡⎤-=+-=⎣⎦∑，故答案为：14.16．()2e 4,-+∞【分析】先由题意得到()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，再利用导数求得()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，从而求得k 的取值范围.【详解】根据题意可知()g x 在区间D 上为“M 函数”，则有()()min max 2g x g x >且()min 0g x >，因为()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，所以()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，因为()11ln 1ln e 1e x f x x k x k x x x -⎛⎫=-+=--+≤≤ ⎪⎝⎭，所以()22111x f x x x x -'=-=，令()0f x '<，得1e x <≤；令()0f x ¢>，得11ex ≤<；所以()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(]1,e 上单调递减，则()()max 1f x f k ==，又111e ln 2e e e f k k ⎛⎫=--+=+- ⎪⎝⎭，()11e 1ln e e e f k k =--+=-，则()111e 2e 2e 0e e 2f f ⎛⎫-=-+<-+< ⎪⎝⎭，即()1e e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()min 12e e f x f k ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，所以()22e 2e 0k k k ⎧+->⎨+->⎩，解得2e 4k >-，所以实数k 的取值范围为()2e 4,-+∞.故答案为：()2e 4,-+∞.17．(1)75种；(2)65种【分析】(1)根据题设可知可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，再根据组合问题的求解方法求解即可；(2)先求出除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案的种数，再减去只有医生、护士的情况种数，即可的到答案.【详解】(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，所以共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.答：共有75种不同的建组方案．(2)由已知，除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，其中只有医生的情况数有455C =，不可能存在只有护士的情况．故共有70565-=种不同的建组方案.答：共有65种不同的建组方案.【点睛】本题主要考查组合的实际应用，属于基础题.解组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏，在事件的正面较多的情况下，可以考虑用排除法求解.18．(1)7；(2)114﹒【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12列出关于m 的方程，解方程即可求得m ；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【详解】（1）展开式的通项为()152222122rr m m rrr r r mm T C xx C x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，∴展开式中第4项的系数为332m C ⋅，倒数第4项的系数为332m m mC --⋅，33332122m m m m C C --⋅∴=⋅，即611,722m m -=∴=．（2）展开式共有8项，由(1)可得当522rm -为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 114A A A =．19．(1)单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-，极大值是18e -，极小值是54e -(2)最大值为6e ，最小值为54e -．【分析】（1）对()f x 求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；（2）根据极值和端点值即可确定最值.【详解】（1）()2()e 45e (5)(1)x xf x x x x x =--'=-+．令()0f x '>，得1x <-或5x >；令()0f x '<，得15x -<<，所以()f x 的单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-．所以()f x 的极大值是1(1)8e f --=，()f x 的极小值是5(5)4e f =-．（2）因为6(0)1,(6)e f f ==，由（1）知，在区间[0,6]上，()f x 有极小值5(5)4e f =-，所以函数()f x 在区间[0,6]上的最大值为6e ，最小值为54e -．20．(1)34(2)135512(3)25元【分析】（1）利用间接法及独立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重复独立实验的概率公式即可得解；（3）根据题意得需要补种的坑数Y 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的公式求得()E Y ，再由数学期望的性质求得()E X ，由此得解.【详解】（1）依题意，一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活，所以其概率2212131C 24P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）得每坑要补种的概率1114P -=，所以5个坑中恰有2个坑需要补种的概率2322513135C 44512P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）设5个坑中需要补种的坑数为Y ，则Y 服从二项分布，即15,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以15()544E Y =⨯=而20X Y =，故()20()25E X E Y ==（元），所以X 的数学期望为25元.21．(1)后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析(2)172【分析】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；（2）根据题意得到X 的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将X 的每一个取值的概率求出，从而得到X 的的分布列，从而求得X 的数学期望．【详解】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为4分，要进入决赛，还需要得6分，所以甲后两轮的选择有三种方案：方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为10.70.70.49P =⨯=；方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为20.30.30.09P =⨯=；方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：30.70.30.21P =⨯=；因为132P P P >>，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.（2）依题意，X 的可能取值为3、7、8、11、12、16，则11771177(3),(7)2221040221020P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯=，11331177(8),(11)221040221040P X P X ==⨯⨯===⨯⨯=，11331133(12)2,(16)221020221040P X P X ==⨯⨯⨯===⨯⨯=，所以X 的分布列为：X 378111216P740720340740320340所以77373317()3781112164020404020402E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．(1)2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(2)()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域；（2）对L 求导，令0L '=得3823ax +=或18x =，讨论3823a +与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的单调性，即可求得最大值．【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为x 元(1317)x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交(5)a +元(58)a ≤≤，所以商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．（2）∵2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈，∴(3823)(18)L a x x =+--'，令0L '=，解得：3823ax +=或18x =，而58a ≤≤，则38216183a +≤≤，①当38216173a+≤<，即5 6.5a ≤<时，当38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '>，L 单调递增，当382,173a x +⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0L '<，L 单调递减，∴当3823a x +=时，L 取最大值34(8)27a -；②当38217183a+≤≤，即6.58a ≤≤时，当()13,17x ∈时，0L '>，L 单调递增，∴当17x =时，L 取最大值7a -，综上，()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩23．(1)1a =-；极小值为2-，无极大值(2)2【分析】（1）利用导数的几何意义得到()00f '=，从而求得1a =-，进而利用导数与函数的极值的关系求得()f x 的极值；（2）将问题转化为e 2e 1x x x t +<-恒成立问题，结合（1）中结论得到()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，从而求得()0min 1g x x +=，由此求得[]t 的最大值．【详解】（1）根据题意，易得函数()f x 的定义域为R ，因为()e x f x a '=+，由已知得()00f k '==，即0e 0a +=，则1a =-，所以()e 3x x f x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢>，得0x >；令()0f x '<，得0x <；所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的极小值为()02f =-，无极大值．（2）因为当0x >时，e 10x->，故不等式()e 2xt x t -<+等价于e 2e 1x x x t +<-，令e 2()e 1x x x g x +=-，则()()2e e 3()e 1x x xx g x --=-'，()min t g x <，由（1）得()e 3xx f x =--在(0,)+∞上单调递增，又因为2(1)e 130,(2)e 230f f =--<=-->，所以()f x 在(0,)+∞有唯一零点0x ，且012x <<，所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，又当()00,x x ∈时，()0f x <，则()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x >，则()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()g x 的最小值为()()0min g x g x =，由()00g x '=得00e 3x x =+，所以()()00000000321e 22e 1x x x g x x x x x +=+=+=-++，因为012x <<，所以()023g x <<，因为()min t g x <，所以[]t 的最大值为2．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
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一．选择题（共12小题）
1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（）
A．﹣4B．2C．4D．-2
3．执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S
＝（）
A．6B．3C．7D．5
4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正
方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心
成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色
部分的概率是（）
A．B．C．D．
5．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2， (1000)
从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）
A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生
6．若f（x）＝x2+2f（x）dx，则f（x）dx＝（）
A．﹣1B．C．﹣D．1
7．已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，那么p，q的值分别是（）
A．p＝4，q＝5B．p＝﹣4，q＝3C．p＝-4，q＝5D．p＝4，q＝3 8．为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为（）
A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s2＞s3＞s1D．s3＞s2＞s1
9．定义在R上函数f（x），若（x﹣1）f′（x）＜0，则下列各式正确的是（）
A．f（0）+f（2）＞2f（1）
B．f（0）+f（2）＜2f（1）
C．f（0）+f（2）＝2f（1）
D．f（0）+f（2）与2f（1）大小不定
10．已知函数f（x）＝2ln（3x）+8x+1，则的值为（）A．10B．﹣10C．20D．-20
11．设函数，对∀x1，x2∈（0，+∞），不等式g
（x1）≤kf（x2）恒成立，则正数k的取值范围为（）A．B．[2，+∞）C．[1，+∞）D．
12．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）﹣f'（x）＜1，f（1）＝2，则不等式f（x）﹣1＞ex﹣1的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．（1，+∞）
二．填空题（共4小题）
13．曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程为．
14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中的a＝．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．
15．若函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（x）的最大值为．
16．已知偶函数f（x）（x∈R），其导函数为f'（x），当x＞0时，
，，则不等式的解集为．
三．解答题（共6小题）
17．求函数y＝x3﹣x2-x +1在(]
-23，的最值．
18．孝感市旅游局为了了解双峰山景点在大众中的熟知度，从年龄在15～65岁的人群中随机抽取n人进行问卷调查，把这n人按年龄分成5组：第一组[15，25），第二组[25，35），第三组[35，45），第四组[45，55），第五组[55，65]，得到的样本的频率分布直方图如下：
调查问题是“双峰山国家森林公园是几A级旅游景点？”每组中回答正确的人数及回答正确的人数占本组的频率的统计结果如下表．
组号分组回答正确的人
数回答正确的人数占本组的
频率
第1组[15，25） 5 0.5 第2组[25，35）18 x 第3组[35，45）y 0.9 第4组[45，55）9 a
第5组[55，65] 7 b
（1）分别求出n，x，y的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人；
（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的两人来自不同年龄组的概率．
19．已知函数f（x）＝xlnx+ax+b在（1，f（1））处的切线为2x﹣2y﹣1＝0．
（1）求实数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x+16＝0．
（1）若a是掷一枚骰子所得到的点数，求方程有实根的概率．
（2）若a∈[﹣6，6]，求方程没有实根的概率．
21．已知函数f（x）＝lnx﹣2x，g（x）＝﹣ax2+ax﹣2．
（1）若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（1，﹣2）处有相同的切线，求函数f（x）﹣g（x）的极值；
（2）若h（x）＝f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的单调性．
22．已知函数f（x）＝2lnx+x2+ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）讨论f（x）的极值点的个数；
（3）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且a≤﹣3，求f（x₁）﹣f（x₂）的最小值．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1-5：BBBDC 6-10：CCABD 11-12：AD 二．填空题（共4小题）
13【解答】解：由题意，可知：
y′＝﹣sinx﹣，
∵y′|x＝0＝﹣sin0﹣＝﹣．
曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，
整理，得：x+2y﹣2＝0．
故答案为：x+2y﹣2＝0．
14【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1＝1，解得a＝3
（2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000＝6000
故答案为：（1）3 （2）6000
15【解答】解：∵函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x ＝﹣2对称，
∴f（﹣1）＝f（﹣3）＝0且f（1）＝f（﹣5）＝0，
即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]＝0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]＝0，
解之得，
因此，f（x）＝（1﹣x2）（x2+8x+15）＝﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）＝﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，
令f′（x）＝0，得x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2，x3＝﹣2+，
当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；
当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0
∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．
又∵f（﹣2﹣）＝f（﹣2+）＝16，
∴f（x）的最大值为16．
故答案为：16．
16., 【解答】解：令g（x）＝xf（x）﹣，
当x＞0时，g'（x）＝f（x）+xf'（x）+＞0，
g（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为f（x）是偶函数，
所以g（x）是奇函数．
因为f（5）＝，
所以g（5）＝5f（5）﹣＝0．
∴g（x）＞0⇔x＞5；g（x）＜0⇔x＜﹣5
不等式f（x）＞等价于＞0，所以或，解得x＞5或x＜﹣5．
故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．
三．解答题（共7小题）
17,最大值27分之44，无最小值
18【解答】解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，再结合频率分布直方图可知n＝，
所以x＝＝0.9，
y＝100×0.03×10×0.9＝27，
（2）因为第2，3，4组回答正确的共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：×6＝2；第3组：×6＝3；第4组：×6＝1．
（3）设第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：。