数学建模总结

Ｐｎ 0 + Ｐｎ 1 Ｐ Ｚ < 1 + Ｐｎ 2 Ｐ Ｚ < 1
2
+ Ｐｎ 3 Ｐ Ｚ < 1
3
+Ｐ Ｘ =0 Ｐｎ 1 Ｐ Ｚ > 1 + 2Ｐｎ 2 Ｐ Ｚ < 1 Ｐ Ｚ > 1
2
+ 3Ｐｎ 3 Ｐ Ｚ < 1
Ｐ Ｚ>1
Ｐｎ+1 2 = Ｐ Ｘ = 2
Ｐｎ 0 + Ｐｎ 1 Ｐ Ｚ < 1 + Ｐｎ 2 Ｐ Ｚ < 1
对上式取 20 次迭代，得散点图如下：
20 次迭代散点图
m=0 0.3 0.28 0.26 0.24 0.22 0.3 0.34
m=1
0.32
0
5
10 m=2
15
20
0
5
10 m=3
15
20
0.3 0.28 0.26 0.24 0.22
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0
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关于排队论的建模练习报告
杜雷鸣（2010093006） 董家新（2010054113） 孙 甜 （2010122005）
关于排队论的建模练习报告
摘要
修理站修理机器关注修理的效率问题。本文中分析修理站的系统效率指标， 采用了排队论中的多通道损失制模型。并在求解出排队规则的迭代公式之后，通 过修改多源自文库迭代次数求解出平均每天修理机器数目为Ｅ ｍ = 1.3707，置空率 为 54.31%。进而得出若该修理站要长期运营则需改变生产结构以减低置空率的 结论。 关键字：置空率 排队规则
一问题重述：
1.1 问题背景 ： 某修理站只有一个修理组， 在修理站内最多只能停放 3 座机器，若需要修理 机器超过 3 座，则要请到别的修理站去。 1.2 目标任务： 求出系统的效率指标。
二、模型的假设：
1）假设修理机器的到达强度 1 座/天，并服从泊松流。
2）假设修理时间服从指数分布，平均修理时间为 1.25
Ｐｎ+1 0 = 0.3679 Ｐｎ 0 + 0.7135Ｐｎ 1 + 0.5091Ｐｎ 2 + 0.3632Ｐｎ 3 Ｐｎ+1 1 = 0.3679 Ｐｎ 0 + 0.7135Ｐｎ 1 + 0.5091Ｐｎ 2 + 0.3632Ｐｎ 3 + 0.3679 0.2865Ｐｎ 1 + 0.4088Ｐｎ 2 + 0.4376Ｐｎ 3 Ｐｎ+1 2 = 0.3679 Ｐｎ 0 + 0.7135Ｐｎ 1 + 0.5091Ｐｎ 2 + 0.3632Ｐｎ 3 + 0.3679 0.2865Ｐｎ 1 + 0.4088Ｐｎ 2 + 0.4376Ｐｎ 3 + 0.3679 0.2865Ｐｎ 2 + 0.1757Ｐｎ 3 Ｐｎ+1 3 = 1 − Ｐｎ+1 0 − Ｐｎ+1 1 − Ｐｎ+1 2
2
+ Ｐｎ 3 Ｐ Ｚ < 1
3
+Ｐ Ｘ =1 Ｐｎ 1 Ｐ Ｚ > 1 + 2Ｐｎ 2 Ｐ Ｚ < 1 Ｐ Ｚ > 1
2
+ 3Ｐｎ 3 Ｐ Ｚ < 1 +Ｐ Ｘ=0
Ｐ Ｚ>1
2
Ｐｎ 2 Ｐ Ｚ > 1 + 3Ｐｎ 3 Ｐ Ｚ > 1
Ｐ Ｚ<1
Ｐｎ+1 3 = 1 − Ｐｎ+1 0 − Ｐｎ+1 1 − Ｐｎ+1 2
排队规则Ρ Ｚ < ｔ = 1 − ｅ 系统的状态关系
ｔ≥0
表 1 第 n 天的状态：
m
0
1
2
3 Ｐｎ 3
Ｐｎ ｍ
Ｐｎ 0
Ｐｎ 1
Ｐｎ 2
Ｐｎ+1 0 = Ｐ Ｘ = 0
Ｐｎ 0 + Ｐｎ 1 Ｐ Ｚ < 1 + Ｐｎ 2 Ｐ Ｚ < 1
2
+ Ｐｎ 3 Ｐ Ｚ < 1
3
Ｐｎ+1 1 = Ｐ Ｘ = 1
4.2 求解方法 在本题中因为已假设λ ＝1 座/天，������ = 1.25，所以带入得：
Ρ Χ=ｋ =
ｅ
−1
ｋ!
Ρ Ｚ<ｔ =1−ｅ 并由 4.1.1 中公式解得： 系统的状态关系为： Ρ Χ = 0 = 0.3679
−1.25 ｔ
ｔ≥0
Ρ Χ = 1 = 0.3679 Ρ Χ = 2 = 0.1839 Ρ Χ = 3 = 0.0613 Ρ Χ = 4 = 0.7135 Ρ Χ = 5 = 0.2865 第ｎ+1 天的状态为：
3
0.17 67
P
0.24 58
0.31 42
0.26 32
Ｅ ｍ = 1.3707 置空率=54.31% 所以通过本次建模， 得出结论若该修理站要长期运营则需改变生产结构以减 低置空率。
五、模型的检验：
通过多次修改迭代次数，来验证模型，所得散点图见 4.1.3 中，发现与所得 结果误差不大，因此可知本模型采用排队论的一种方法较为正确地解决本问题。
参考文献
1 张志勇， 《精通 MATLAB6.5 版》[M].北京：北京航空航天大学出版社， 234-302,2003。
六、模型的评价：
在本文中， 我们在排队论的基础上采用了多通道损失制模型，并且通过多次
取迭代次数的方法进行检验，具有以下优点： 6.1 采用多通道损失制模型，模型的准确性较高。在列出迭代公式后可以借 助 MTLAB 软件方便精确地求出结果。 6.2 采用多次修改迭代次数的方法不仅能够准确得出结果，更能检验模型是 否能正确解决问题，特别是迭代次数增加后，更能代表问题的一般性。 6.3 多通道损失制模型是一种比较切合本题的排队论模型，直接采用该模型 大大简化了问题的求解过程。 本文在提出假设修理机器的到达强度 1 座/天，并服从泊松流，假设修理时 间服从指数分布，平均修理时间为 1.25 的基础上进行求解，但在实际情况下修 理站的修理机器的到达强度和修理时间不一定严格符合假设。 并且在实际情况中 存在诸多不确定因素， 所以将本文中提出的模型应用到实际中的时候应当将模型 细化，再加以应用。总体来说，本文中提出的模型与实际符合度较好，具有较强 的实用价值。
5
10
15
20
对上式取 100 次迭代，得散点图如下：
100 次迭代散点图
m=0 0.29 0.28 0.27 0.26 0.31 0.25 0.24 0.23 0.22 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.3 0.29 0.34 0.33 0.32
m=1
0
10
20
m=2 0.3 0.29 0.28 0.27 0.15 0.26 0.25 0.24 0.23 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.05 0 20 40 60 80 0.1 0.2 0.25
m=3
100
120
140
160
180
200
4.1.3 结果分析
经计算得结果（平均值）为： m 0 1 2
30
40
50
60
70
80
90
100
m=2 0.3 0.29 0.28 0.27 0.15 0.26 0.25 0.24 0.23 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.05 0 10 20 30 40 0.1 0.2 0.25
m=3
50
60
70
80
90
100
对上式取 200 次迭代，得散点图如下：
200 次迭代散点图
m=0 0.29 0.28 0.27 0.26 0.31 0.25 0.24 0.23 0.22 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.3 0.29 0.34 0.33 0.32
m=1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
三、符号说明：
修理机器的到达强度为λ ＝1 座/天， 当天留存的机器数为 m， 当天机器数目为Ｘ， Ｐ表示概率符号， ｋ表示自然数。
四、模型建立与求解：
对本题的求解采用多通道损失制模型。 多通道损失制模型（参考文献[1]） ： 4.1 模型建立： 系统输入Ρ ������ = ｋ =
λ ｋｅ
−λ
ｋ! −μ ｔ