2018学年数学人教A版选修2-3优化练习：第一章 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

[课时作业]
[A组基础巩固]
1．若x∈{1,2,3}，y∈{5,7,9}，则x·y的不同值个数是()
A．2 B．6
C．9 D．8
解析：求积x·y需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有3×3＝9个不同的值．
答案：C
2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为() A．40 B．16
C．13 D．10
解析：分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．
答案：C
3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()
A．3种B．6种
C．7种D．9种
解析：分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．
答案：C
4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有()
A．30个B．42个
C．36个D．35个
解析：第一步，取b，有6种方法；第二步，取a，也有6种方法，根据分步乘法计数原理得，共有6×6＝36种方法，即虚数有36个．
答案：C
5．如图所示，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()
A．288种B．264种
C．240种D．168种
解析：先涂A，D，E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后按B，C，F的顺序涂色，分为两类；一类是B 与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一种是B与E和D均不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．
答案：B
6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．
解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N
＝5×6×4＝120.
答案：120
7．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2名参加校学生会的竞选，其中至少有1名女生当选的选法种数是________．
解析：至少有1名女生当选有两种可能：
(1)参加竞选的有1名女生，有4×3＝12种选法；
(2)参加竞选的有2名女生，有3种不同选法．
因此至少有1名女生当选的选法为12＋3＝15(种)．
答案：15
8．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有________种．
解析：分两步：第一步，先选垄，共有6种选法．
第二步：种植A、B两种作物，有2种选法．
因此，由分步乘法计数原理，不同的选垄种植方法有6×2＝12(种)．
答案：12
9．设椭圆的方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，a∈{1,2,3,4,5,6,7}，b∈{1,2,3,4,5}，这样的椭圆共有多少个？
解析：依题意按a，b的取值分为6类，第一类：a＝2，b＝1；第二类：a＝3，b＝1, 2；第三类：a＝4，b＝1,2,3；第四类：a＝5，b＝1,2,3,4；第五类：a＝6，b＝1,2,3,4,5；第六类：a＝7，b＝1,2,3,4,5.由分类加法计数原理得：这样的椭圆共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20个．
10．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)若每个年级选1人成为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？
(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？
解析：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选法；第二类，从高二年级选一人，有6种选法；第三类，从高三年级选一人，有4种选法．由分类加法计数原理得，共有5＋6＋4＝15种选法．
(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选法；第二步，从高二年级选一人，有6种选法；第三步，从高三年级选一人，有4种选法．由分步乘法计数原理得，共有5×6×4＝120种选法．
(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法．由分类加法计数原理得，共有30＋20＋24＝74种选法．
[B组能力提升]
1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为() A．14 B．13
C．12 D．10
解析：当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个，选B.
答案：B
2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A、B的值，则形成的不同直线有() A．18条B．20条
C．25条D．10条
解析：第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．
答案：A
3．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案.
解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理得，共有6×5×4×4＝480种着色方案．
答案：480
4．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有________个．
解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.
当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；
当y取10时，x＝2,3，…，10，有9个三角形；
……
当y取6时，x＝6，有1个三角形．
所以，所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.
答案：36
5．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞赛中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的选择？
解析：分两类情况：
(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果；
(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．
因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．
6．7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋，有2名学生会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从中选出会下象棋和会下围棋的各1人参加比赛，共有多少种不同的选法？
解析：第一类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N1＝3×2＝6(种)．
第二类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N2＝3×2＝6(种)．。