上海市普陀区高考数学二模试卷 文(含解析)

2016年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B=．2．若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞2的解集为．3．若sinα=且α是第二象限角，则tan（α﹣）= ．4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f在（x3﹣）8的展开式中，其常数项的值为．6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+），则函数g（x）的单调递增区间为．7．设P是曲线2x2﹣y2=1上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为．8．不等式组所表示的区域的面积为．9．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）．10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则方程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x= ．11．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm，高为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为cm2（损耗忽略不计）．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为．13．设函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是．14．已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满足下面两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i=1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b16．过抛物线y2=8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）A．有且只有一条 B．有两条C．有无穷多条D．必不存在17．若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要18．对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）•g（x）∈B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为1，体积为2，E为AB的中点，证明：A1E与C1B 是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20．已知函数f（x）=sinxcosx+x（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．21．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．22．已知椭圆Γ： +=1的中心为O，一个方向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有一个公共点M．（1）若k=1且点M在第二象限，求点M的坐标；（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤﹣2；（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的一个法向量，且=，求|ON|2+|OP|2的值．23．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n•a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满足：b n=，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1=1， =，求c1+c2+…+c m．2016年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B={1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣1≥0，解得：x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：﹣1≤x≤1，即B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B={1}，故答案为：{1}．2．若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞2的解集为．【考点】反函数．【分析】由，可得，因此，解出即可．【解答】解：∵，∴有，则，必有x﹣1＞0，∴2（x﹣1）＜1，解得1＜x．故答案为：．3．若sinα=且α是第二象限角，则tan（α﹣）= ﹣7 ．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由两角差的正切求得tan（α﹣）的值．【解答】解：∵α是第二象限角，sinα=，∴，∴，则=，故答案为﹣7．4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=0，又因为f（x+2）=﹣f（x），所以有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数f（x）的周期为4，根据周期性可得出f=f（0）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为4，∴f=f（0）=0，故答案为0．5．在（x3﹣）8的展开式中，其常数项的值为28 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项【解答】解：由二项式定理得，令（x3）8﹣r•（x﹣1）r=1，即24﹣4r=0，r=6，所以常数项为，故答案为：28．6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+），则函数g（x）的单调递增区间为．．【考点】正弦函数的图象．【分析】先求的g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调增区间求得g（x）的单调递增区间．【解答】解：对于函数，当时，函数g（x）单调递增，求得，故答案为：．7．设P是曲线2x2﹣y2=1上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为8x2﹣4y2=1 ．【考点】轨迹方程．【分析】设P（x，y），M（x0，y0），根据中点坐标公式，利用代入法进行化简即可．【解答】解：设P（x，y），M（x0，y0），因为M是线段OP的中点，则有，所以，即，故答案为8x2﹣4y2=1．8．不等式组所表示的区域的面积为16 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，【解答】解：由不等式组作出平面区域如图所示（阴影部分），则由，，得A（﹣1，1），B（3，5），C（3，﹣3），所以，故答案为：16．9．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，由此能求出取出的球的编号之和为奇数的概率．【解答】解：从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有种情况，若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况，所以取出的球的编号之和为奇数的概率为．故答案为：．10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则方程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x= 4 ．【考点】二次函数的性质；对数函数的图象与性质．【分析】根据对数的运算性质，可得（x+1）（x﹣3）=5，解得答案．【解答】解：因为f（x）=log5x，所以f（x+1）+f（x﹣3）=log5x+1+log5x﹣3=log5（x+1）（x﹣3）=1，即（x+1）（x﹣3）=5，所以x=4或x=﹣2（舍去），故答案为：4．11．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm，高为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为9πcm2（损耗忽略不计）．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】根据糖浆的体积不变性求出每个棒棒糖的半径，从而求出棒棒糖的面积．【解答】解：圆柱形容器的体积为，设棒棒糖的半径为r，则每个棒棒糖的体积为，解得，∴，故答案为：9π．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为180 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的方程，可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B3C3的方程为y=﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，即有m i=•=3x i+y i=（x i+y i）=18，则m1+m2+…+m10=18×10=180．故答案为：180．13．设函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】由函数解析式知，当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，易求x＜1，f（x）=21﹣x+a，依题意，得方程21﹣x=x﹣a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=21﹣x与y=x﹣a图象，数形结合即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0时，f（x）=f（x﹣1）∴当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，设x＜1，则x﹣1＜0，f（x）=f（x﹣1）=21﹣x+a；即x＜1，f（x）=21﹣x﹣a，∵f（x）=x有且仅有两个实数根，∴方程21﹣x=x﹣a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=21﹣x与y=x﹣a图象如右图：∴f（x）=x有且仅有两个实数根，只要直线y=x﹣a介于图中蓝色直线下方即可．依f（x）=21﹣x可求出A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，2），∵A，B两点均为虚点，∴﹣2＜a．故答案为：（﹣2，+∞）．14．已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满足下面两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i=1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得= 10 ．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【解答】解：由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有个，若选{2，4，6}页满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故=4+1+5=10，故答案为：10．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．16．过抛物线y2=8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）A．有且只有一条 B．有两条C．有无穷多条D．必不存在【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出AB的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），若l无斜率，则l方程为x=2，显然不符合题意．若l有斜率，设直线l的方程为：y=k（x﹣2），联立方程组，消元得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴．故选B．17．若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设z=x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，可得|z|，充分性不成立；反之成立．【解答】解：设z=x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，则|z|=，故充分性不成立；由，则x2+y2≤1，所以|x|≤1，|y|＜1，即必要性成立．故答案为：B．18．对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）•g（x）∈B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由题意知，从而求得．【解答】解：对于﹣α1（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α1（x2﹣x1），即有，令，则﹣α＜k＜α，若，即有﹣α1＜k f＜α1，﹣α2＜k g＜α2，所以﹣α1﹣α2＜k f+k g＜α1+α2，则有，故选C．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为1，体积为2，E为AB的中点，证明：A1E与C1B 是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据直线和平面所成角的定义求出C1C的值，结合二面角的定义进行求解即可．【解答】20．已知函数f（x）=sinxcosx+x（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的图象．【分析】（1）使用二倍角公式化简f（x），根据x的范围和正弦函数的性质求出f（x）的最值；（2）由f（A）计算A，利用余弦定理计算a，根据正弦定理求出sinB，得出cosB，利用两角差的余弦公式计算．【解答】解：（1）f（x）==．∵，∴，∴当2x+=时，f （x ）取得最大值1+，当2x+=时，f （x ）取得最小值0．∴函数f （x ）的值域为．（2）由，∴．∵，∴，∴，即．在△ABC 中，由余弦定理得，a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=，∴．由正弦定理得，∴．由于b ＜a ，∴，∴cos （A ﹣B ）=cosAcosB+sinAsinB=．21．某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a ﹣）万元（a ＞0），A 项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据题意，列出不等式10（1+0.2x%）≥10×1000，求解即可；（2）求出x 的范围，得出不等式10（a ﹣）x ≤10（1+0.2x%），整理可得a ≤++1恒成立，根据x 的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x=400时，函数取得最小值．【解答】解：设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作（1）由题意得：10（1+0.2x%）≥10×1000，即x 2﹣500x ≤0，又x ＞0，所以0＜x ≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题知，0＜x ≤400，从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a ﹣）x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1+x）万元，则10（a﹣）x≤10（1+0.2x%）所以ax﹣≤1000+2x﹣x﹣x2，所以ax≤+1000+x，即a≤++1恒成立，因为 0＜x≤400，∴++1≥++1=5.1，所以a≤5.1，又a＞0，所以0＜a≤5.1，即a的取值范围为（0，5.1]．22．已知椭圆Γ： +=1的中心为O，一个方向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有一个公共点M．（1）若k=1且点M在第二象限，求点M的坐标；（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤﹣2；（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的一个法向量，且=，求|ON|2+|OP|2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得x的方程，运用直线和椭圆只有一个公共点M，可得△=0，化简整理，解方程可得M的坐标；（2）设直线l1：x+ky=0，运用（1）求得M到直线l1的距离公式，再由基本不等式可得最大值，即可得证；（3）直线ON的方程为y=kx，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得交点N，求得|ON|，同样将直线OP：x+ky=0代入椭圆方程求得P的坐标，可得|OP|，化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（4+5k2）x2+10ktx+5t2﹣20=0，直线l与Γ只有一个公共点M，可得△=0，即有100k2t2﹣4（4+5k2）（5t2﹣20）=0，化简可得t2=4+5k2，由k=1可得t=±3，由点M在第二象限，可得M（﹣，），即为（﹣，）；（2）证明：设直线l1：x+ky=0，由（1）可得M（﹣，），t2=4+5k2，则点M到直线l1的距离d===≤==﹣2，当且仅当5k2=时，取得等号；（3）由题意可得直线ON的方程为y=kx，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（20+16k2）x2=100，即有x2=，y2=，即有|ON|2=，将直线OP的方程x+ky=0，代入椭圆方程可得，y2=，x2=，即有|OP|2=，则|ON|2+|OP|2==9．23．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n•a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满足：b n=，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，求正整数k 的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1=1， =，求c1+c2+…+c m．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）通过S n=a n a n+1，利用a n+1=S n+1﹣S n整理得a n+2﹣a n=2，进而可知数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n=，进而可知b n b n+1=•，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过=及a n=n分别计算出、、、的表达式，进而累乘化简即得结论．【解答】（1）证明：∵S n=a n a n+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=a n+1a n+2﹣a n a n+1，整理得：a n+2﹣a n=2，又∵a1=1，a2==2，∴数列{a n}的通项公式a n=n，即数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n==2n﹣2（n+1）=，∴b n b n+1=•=•，∴b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1=（++…+）=••=•（1﹣），又∵（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，即•=，解得：k=2；（3）解：∵c1=1， =，a n=n，∴=，∴=， =， =，…， =，∴当n≥2时，c m=••…••c1=••…•••1=（﹣1）m ﹣1•=（﹣1）m ﹣1•，显然当m=1时满足上式，即c m =（﹣1）m ﹣1•，∴c 1+c 2+…+c m =．。