2014级高等代数一试卷A
高等代数习题及答案
⾼等代数习题及答案⾼等代数试卷⼀、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每⼩题1分，共10分）1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。
（）2、若线性⽅程组的系数⾏列式为零，由克莱姆法则知，这个线性⽅程组⼀定是⽆解的。
（）3、实⼆次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。
（）4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的⼀个⼦空间。
（） 5、数域F 上的每⼀个线性空间都有基和维数。
（）6、两个n 元实⼆次型能够⽤满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
（）7、零变换和单位变换都是数乘变换。
（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。
（）9、欧⽒空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（）10、若n ,,,21 是欧⽒空间V 的标准正交基，且 ni i i x 1，那么 ni ix12。
（）⼆、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其号码写在题⼲后⾯的括号内。
答案选错或未作选择者，该题⽆分。
每⼩题1分，共10分）1、关于多项式的最⼤公因式的下列命题中，错误的是（）① n n nx g x f x g x f,, ；② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ；③ x g x g x f x g x f ,, ；④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。
2、设D 是⼀个n 阶⾏列式，那么（）①⾏列式与它的转置⾏列式相等；②D 中两⾏互换，则⾏列式不变符号；③若0 D ，则D 中必有⼀⾏全是零；④若0 D ，则D 中必有两⾏成⽐例。
3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（）①A 中每个s s (<)r 阶⼦式都为零；②A 中每个r 阶⼦式都不为零；③A 中可能存在不为零的1 r 阶⼦式；④A 中肯定有不为零的r 阶⼦式。
2014年10月04184自学考试线性代数精彩试题(卷)与问题详解
将其单位化，得 ......7分
令 ,则 为正交矩阵，
经正交变换 ，化二次型为标准形 ......9分
4、证明题（本题7分）
23.证 由于向量组 线性相关，故存在不全为零的常数 ，使得
......2分
其中必有 。否则，如果 ，则上式化为
其中 不全为零，由此推出 线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分
类似地，可证明 ........7分
19.设向量
,试确定当 取何值时 能由 线性表出，并写出表示式。
20.求线性方程组 的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。
21.设矩阵 与对角矩阵 相似，求数 与可逆矩阵 ，使得 。
22.用正交变换将二次型 化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。
四、证明题（本题7分）
23.设向量组 线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数 使得 。
3.设向量组 的秩为2，则 中 【 】
A.必有一个零向量
B.B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4.设3阶矩阵 ,则下列向量中是 的属于特征值 的特征向量为 【 】
A. B. C. D.
5.二次型 的正惯性指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式 =2，若元素 的代数余子公式为 （i,j=1,2,3)，则 【 】
A. B.0 C.1 D.2
2.设 为3阶矩阵，将 的第3行乘以 得到单位矩阵 ，
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2
，
即 tan an
3n 2 ． 3
…………………10 分
因此
sin
a1
sin
a2
sin
am
tan sec
a1 a1
tan sec
a2 a2
tan sec
am am
tan a1 tan a2 tan am （利用①） tan a2 tan a3 tan am1
by 2(x a) ．
③
故③就是直线 AB 的方程．
直线 PO 与 AB 的斜率分别为 b 与 2 ，由 PO AB 知， b 2 1，故 a 2 ．
ab
ab
………………4 分
从而③即为 y 2 (x 2) ，故 AB 与 x 轴的交点 R 是定点 (2, 0) ． b
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．
11
1. 若正数 a, b 满足 2 log2 a 3 log3 b log6 (a b) ，则 a b 的值为
．
答案：108 ．
解：设 2 log2 a 3 log3 b log6 (a b) k ，则 a 2k2 , b 3k3, a b 6k ，从而
演算步骤． 9.（本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：
过 P 可作抛物线 y2 4x 的两条切线，两切点连线 lP 与 PO 垂直． 设直线 lP 与直线 PO， x 轴的交点分别为 Q， R ． (1) 证明 R 是一个定点；
PQ (2) 求 的最小值．
2
设 BAP ．在圆 K 上取一点 P0 ，使得 取到最大值 0 ，此时 P0 应落在 IAC 内，
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
AC CH ，所以 CH 与平面 POC 垂直，故 CH PC ．
因此 CH 是直线 MN 与 PC 的公垂线段，又 CH 2 CN 2 ，故异面直线 MN 与
2
4
PC 之间的距离是 2 ． 4
6. 设椭圆Г的两个焦点是 F1, F2 ，过点 F1 的直线与Г交于点 P, Q ．若 PF2 F1F2 ，
且 3 PF1 4 QF1 ，则椭圆Г的短轴与长轴的比值为
2014 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次．
．
答案： 2 6 ． 7
解：不妨设 PF1 4, QF1 3 ．记椭圆Г的长轴，短轴的长度分别为 2a ， 2b ，焦距
为 2c ，则 PF2 F1F2 2c ，且由椭圆的定义知，
2a QF1 QF2 PF1 PF2 2c 4 ．
于是
QF2 PF1 PF2 QF1 2c 1．
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1 an2
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标Ⅰ,含解析)
2014年高招全国课标1（理科数学解析版）第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i +=---，选D..3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d =A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18 B .38 C .58 D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x xOM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 【答案】：C【解析】：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQPF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3Q F Q M== 选C11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。
2014年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>，则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++，则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ，E ，F 分别为ABC △的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos(2)6y x =+，④πtan(2)4y x =-中，最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ，则山高MN = m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20.（本小题满分12分）已知点(2,2)P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.21.（本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >，0b >，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{|11}MN x x =-<<，即选B ．【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。
2014年普通高等学校招生全国数学统一考试(课标I卷)及详细答案
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A ．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A ．B．3 C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A ．B ．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tan α=，则（ ） A． 3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D ，有下列四个命题：p 1：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≥﹣2 p 2：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≥2p 3：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≤3 p 4：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≤﹣1 其中真命题是（ ） A ． p 2，p 3 B ． p 1，p 4 C ． p 1，p 2 D ． p 1，p 310．（5分）已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（ ） A ． B ． 3 C ． D ． 211．（5分）已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ． （2，+∞） B ． （1，+∞） C ． （﹣∞，﹣2） D ． （﹣∞，﹣1） 12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）二、填空题（共4小题，每小题5分） 13．（5分）（x ﹣y ）（x+y ）8的展开式中x 2y 7的系数为 _________ ．（用数字填写答案） 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；A ．6B ．6C ．4D ．4由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A ．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A ．B．3 C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A ．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A ．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A ．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专不等式的解法及应用．题：分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A ．B．3 C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A ．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x（﹣∞，）0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A ．6B．6 C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．评：20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF 的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；析：（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，答：∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考与圆有关的比例线段．点：选作题；几何证明．专题：分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cosθ、y=3sin θ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P （2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．21。
高等代数(A卷答案)2014
9 1 4
8 5 7
7 6 . 求 A21 A22 A23 A24 ，其中 Aij 是元素 7 3 0 3
aij 的代数余子式。
第2页共7页
2 5 3 4
解：考虑行列式 C
1 1 4
1 5 7
1 1 ，按它的第二行展开。 7 3 0 3
（3分）
由于 C 和 D 除了第二行外均相同，故 C A21 A22 A23 A24 ， （7分） 而计算可得 2 5 3 4
0 3B* 0 （A） * （B） * 0 2A 3A
0 3A* 0 2B* （ C ） * （D） * 0 0 2B 3B
2A* 0
二、填空（共6小题，每小题5分，共30分） x1 x2 x3 1 1．方程组 ax1 bx2 cx3 d ，当满足 a 2 x b 2 x c 2 x d 2 2 3 1 1. a, b, c 互不相同
1 1 1 1 72 . 所以 A21 A22 A23 A24 72 . 1 5 7 3 4 7 0 3 （10分） 2 2 四．（15分）设实二次型 f ( X ) x12 x2 2 x3 2 x1 x3 2tx2 x3 ，求当t 是何整数时二次 C
型 f ( X ) 是正定的，并求一个线性替换 Y TX 将二次型 f ( X ) 化为标准形。
1 解：此二次型的矩阵为： A 0 1 式都大于零， （3分） 即 1 0 1 0α1 α 2 , α 2 , α 3 则 Q 1 AQ
1 0 0 (A) 0 2 0 0 0 1
(
B )
2 0 0 (C) 0 1 0 0 0 2 2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1
北京大学2014年高等代数与解析几何试题及解答
都乘以 −1 得到. 又 2014 = 2 × 19 × 53, 因此将 2014 表示为两个正整数的乘积只有 8 种不同的表示方法.
由抽屉原理知,
在
g(k)
的
8
个可能取值中至少有一个出现的次数大于等于
2013 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
>
251,
设这个数为
l,
则
有 (x − a1)(x − a2) . . . (x − a252) | g(x) − l, 其中 a1, a2, . . . , a252 为 {1, 2, . . . , 2013} 中互不相同的数. 因为
(1) 若线性变换 A 是正的，则 A 可逆;
(2) 若线性变换 B 是正的, A − B 是正的，则 B−1 − A−1 是正的;
(3) 对于正的线性变换 A, 总存在正的线性变换 B , 使得 A = B2.
7.
求单叶双曲面
x2 a2
+
y2 b2
−
z2 c2
=
1
的相互垂直的直母线的交点的轨迹.
4. (1) 线性变换的最小多项式整除它的零化多项式, 故 xn−1 不是 A 的零化多项式, 从而 An−1 ̸= O =⇒ ∃α ∈ V, 使得 An−1α ̸= 0. 此时将有 α, Aα, . . ., An−1α 线性无关, 结合 V 的维数为 n, 故得到 V 的一 组基.
(2) 设 AB = BA, Bα = k0α + k1Aα + · · · + kn−1An−1α. 令 f (x) = k0 + k1x + · · · + kn−1xn−1, 则
2014考研数学(一)真题
2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题一、选择题（1—8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．下列曲线有渐近线的是（ ）。
（A）（B）sin y x x =+2sin y x x =+ （C）1siny x x =+（D）21siny x x =+2．设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0上（ ）。
,1]（A）当时，()0f x '≥()()f x g x ≥ （B）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C）当时，()0f x ''≥()()f x g x ≥（D）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤3．设是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰（ ）。
（A）110010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰（B）11001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰⎰（C）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθdrθ（D）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθrdrθ4．若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）。
（A）2sin x（B）2cos x（C）2sin x π（D）2cos x π5．行列式0000000aba bc d c d =（ ）。
（A）（B）（C）（D）2(ad bc -))2(ad bc --2222a dbc -2222b c a d -6．设123,,ααα均为三维向量，则对任意常数，向量组l k ,132,k 3l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）。
高等代数14级数学系《高等代数 1》(A)
井冈山大学数理学院2014 ~2015学年度第一学期《高等代数 1》期末试卷（A 卷） 2015 年1 月一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）1. 设多项式 2()22g x x ax =-+ 整除多项式 42()3f x x x ax b =+++，其中,a b ∈，则 ,a b 的值为 .2. 多项式 5432()71681616f x x x x x x =+++-- 的全部有理根为 .（重根计算重数）3. 6 级行列式ij a 的展开式中，项 233142561465a a a a a a 前面带的正负号是 .4. 已知向量组 1234(0,2,1,1),(1,1,1,1),(1,5,3,1),(1,1,0,2)αααα==-==-，5α=(7,1,3,1)-，试写出它的一个极大线性无关组 .5. 设α为3维列向量，α' 为α的转置，若111111111αα-⎛⎫ ⎪'=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则 αα'= .二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设 ()f x 为实数域上的多项式，下列命题中正确的是 .A. 若 ()f x 无实根，则 ()f x 在 上不可约；B. 若 ()f x 在上不可约，则 ()f x 无实根；C. 若 α 是 ()f x ' 的 k 重根，则 α 是 ()f x 的 1k + 重根；D. 若 ()f x 在上不可约，则 ()f x 无重根.2. 设 A 为 n 级方阵，B 为 m 级方阵，则AB = . A. A B ； B. A B -； C. (1)mnA B -； D. 0. 3. 齐次线性方程组 0AX = 与 0BX = 同解的充分必要条件是 . A. 秩(A )=秩(B )； B. A 与 B 等价； C. A 与 B 的行向量组等价； D. A 与 B 的列向量组等价.4. 设 n 级矩阵 A 的秩为 r 且 r n <，则 A 的 n 个行向量中 .A. 必有 r 个行向量线性无关；B. 任意 r 个行向量构成极大线性无关组； B. 任意 r 个行向量线性无关； D. 任一个行向量都可由其余行向量线性表出. 5. 齐次线性方程组21231231230,0,0.x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 的系数矩阵记为 A .若存在三级矩阵 0B ≠，使得 0AB =，则 . A. 2λ=-，且 0B =； B. 2λ=-，且 0B ≠； C.1λ=，且 0B =； D. 1λ=，且 0B ≠.三、 计算题：（每题10 分，共40分） 1. 在[]x 中， 5432()32231f x x x x x x =-++-+.(1) 求一个没有重因式的多项式 ()g x ，使它与 ()f x 含有完全相同的不可约因子（不 计重数）； (2) 求 ()f x 在 []x 中的标准分解式.2. 计算下列 1(2)n +≥ 级行列式：11111111111111111111111111n n n D n n n +--=---.3. 求下列齐次线性方程组1234512345123451234520,2230,3220,25220.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪+-+-=⎪⎨--+-=⎪⎪-+-+=⎩ 的通解和基础解系.4. 设有三级方阵423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.又 X 是三级未知方阵，解矩阵方程 2AX A X =+.四、证明题（20 分）1. ( 8 分) 已知向量组 123,,ααα 与向量组 1234,,,αααα 的秩都是 3，向量组1,α2,α35,αα的秩是 4. 证明：向量组 12354,,,ααααα- 的秩是 4.2. (12 分) 设 A 和 B 是 n 级方阵，且 0AB =，用 A r 和 B r 分别表示矩阵 A 和 B 的秩，证明： (1) A B r r n +≤；(2) 对一给定的矩阵 A 可以选择矩阵 B 使得 A B r r k +=，其中 k 是满足条件A r k n ≤≤ 的任何整数.。
2014级高数一期末A解答(多学时)1.6
（1）试求 D1 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积V1 ；D2 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体
积V2 ；
（2）问 t 为何值时，V1 V2 取得最大值？
解：（1）V1
t 2 xydx t4
0
（或V1 t2 2t2
2t2 y dy t 4 ） 02
2014 级本科高等数学（一）期末试题解答与评分标准 A
（理工类多学时）
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
A
B
D
C
1．已知函数
y
x2
x2 1 3x
2
，则
x
1 是该函数的（
C
）.
A. 无穷间断点；
B. 跳跃间断点；
C. 可去间断点；
D. 振荡间断点.
2．当 x 0 时，函数 ln(1 x3 ) 是 tan2 x 的（ B ）.
A. 同阶无穷小，但不是等价无穷小； C. 低阶无穷小；
B. 高阶无穷小； D. 等价无穷小.
3．已知 F(x) 是 sin x2 的一个原函数，则 dF (x2 ) （ A ）.
A． 2x sin x4dx ； B． sin x4dx ； C． 2x sin x2dx ； D． sin x2dx2 .
（3 分）
V2
2 y2dx 128 4 t5
t
55
（3 分）
（2）
d dt
(V1
V2 )
4 t 3
4 t 4
2014年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2014年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2014年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D第2题参考答案：A第3题参考答案：B第4题设函数f(x)在[a,b]连续，在(a，b)可导，f’(x)>0.若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)( )参考答案：C第8题参考答案：A第9题参考答案：A第10题设球面方程为(x一1)2+(y+2)2+(z一3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为( ) A.(一1，2，一3);2B.(一1，2，-3);4C.(1，一2，3);2D.(1，一2，3);4参考答案：C二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：2/3第12题第13题第14题参考答案：3第15题曲线y=x+cosx在点(0，1)处的切线的斜率k=_______．参考答案：1第16题参考答案：1/2第17题参考答案：1第18题设二元函数z=x2+2xy，则dz=_________．参考答案：2(x+y)dx-2xdy第19题过原点(0，0，0)且垂直于向量(1，1，1)的平面方程为________．参考答案：z+y+z=0第20题微分方程y’-2xy=0的通解为y=________．三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第21题第22题设Y=y(x)满足2y+sin(x+y)=0，求y’．第23题求函数f(x)一x3—3x的极大值．第24题第25题第26题第27题第28题求微分方程y”+3y’+2y=ex的通解．。
2014年考研高数一真题及解析
1 ( f1 ( y) f 2 ( y)) ， 随 机 变 量 2
（B）
1 Y2 ( X1 X 2 ) ，则 2 （A） EY1 EY2 , DY1 DY2
（C） EY1 EY2 , DY1 DY2
（B） EY1 EY2 , DY1 DY2 （D） EY1 EY ) y " 2(3y x)( y ')2 4( y x) y ' 2 y 0 .
求得 f (1)
4 0 .所以 x 1 是函数 f ( x) 的极小值点，极小值为 f (1) 2 ． ……10 分 9
(17)（本题满分 10 分）
(16)（本题满分 10 分） 设函数 y f ( x ) 由方程 y3 xy2 x2 y 6 0 确定，求 f ( x) 的极值． 解：在 y3 xy2 x2 y 6 0 两端关于 x 求导，得
3y2 y ' y2 2xyy ' 2xy x2 y ' 0 .
0 2 0
1
2
1
1
a ,bR
a1 cos x b1 sin x
(A) 2sin x (B) 2 cos x (C) 2 sin x (D) 2 cos x
（A）
0 a
(5) 行列式
b 0 d 0
0 b 0 d
2014 年 • 第 1 页
a 0 0 c c 0
＝
（B）
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2014 年数学试题答案及评分参考
设数列 an , bn 满足 0 an
2014 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2014 年数学试题答案及评分参考
广州大学14-15高等代数1试卷及参考答案(精品)
高等代数2014-2015学年第1学期参考答案一、选择题：（满分10分，每小题2分，共5个小题）1、下面的哪个不是复数域上的多项式（ B ）(A)22x (B) 5.1x (C) )2lg(5+x (D) 2128.5x x +2、关于两个整数的最大公因子，下面说法正确的是 ( C )(A) 两个非零整数才存在最大公因子 (B) 0与2的最大公因子是0(C) (a+b,a)=(b,a) (D) (ab,c)=(a,c)(b,c) 3、关于矩阵的行列式，下面说法正确的是 ( D )(A) B A B A +=+ (B) A A 22= (C) A A -=- (D) A A ='4、设F 是某个数域，则下列说法正确的是 ( C )(A) F 中任意两个元素都可做除法； (B) F 中只有0元素 (C) F 中有无穷多元素 (D) F 中不一定有1 5、关于有理数域上不可约多项式的次数，下列说法正确的是（ D ）(A) 一定是1； (B) 一定是2；(C) 只能是1或者2； (D) 可以为任意正整数。
二、填空题：（满分30分，每小题3分，共10个小题）1、全排列1, 10, 3, 8, 5, 6, 7, 4, 9, 2的反序数是 22 。
2、1=x 是多项式253)(234-+--=x x x x x f 的 3 重根。
3、假定多项式)(x f 与的次数为3，)(x g 的次数为4，则多项式)()(23x g x f +的次数为 9 。
4、行列式1234467886427531=D ，则24232221753M M M M -+-= 0 。
5、多项式122++x x 与2223--+x x x 的最大公因式为 x+1 。
6、满足6)1(-=-f ,4)0(-=f ,6)2(=f 的2次数多项式是432-+x x 。
7、设集合A={1,2},B={2,x}, 则A ×B= {(1,2),(1,x),(2,2),(2,x)} ， B ×A= {(2,1),(2,2),(x,1),(x,2)} 。
（完整word）2014全国新课标1数学试题及答案解析,推荐文档
（完整word）2014全国新课标1数学试题及答案解析,推荐文档2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合2{|230}A x x x =--…，{|22}B x x =-2.32(1)(1)i i +=-（）. A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（）.A .()()f x g x 是偶函数B .()()f x g x 是奇函数C .()()g x f x 是奇函数D .()()f x g x 是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（）.A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）.A .18B .38C .58D .786如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（）.7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（）.A .203 B . 72 C . 165 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（）. A .32παβ-=B . 32παβ+=C .22παβ-=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥??-≤?的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-.其中真命题是（）.A .2p ，3PB .1p ，2pC .1p ，4pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =（）.A .72 B . 3 C .52D .211.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（）.A .()2,+∞B .()1,+∞C .(),2-∞-D .(),1-∞-12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）.A .62B .6C .42D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案(20200326113459)
2021年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学第一卷〔选择题共60分〕一．选择题：共12小题，每题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。
1 .集合A={x|x22x 30}，B={－≤＜＝，那么A B=x|2x2A.[-2,-1]B.[-1,2〕C.[-1,1]D.[1,2〕(1 i)32.(1 i)2=A.1iB.1iC.1iD.1i3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，那么以下结论正确的选项是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，那么点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C. 3mD.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，那么周六、周日都有同学参加公益活动的概率A.1B.3C. 5D.78 8 8 86.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，那么y=f(x)在[0, ]上的图像大致为7.执行以下图的程序框图，假设输入的a,b,k分别为1,2,3，那么输出的M=A.20B.16C. 7D.153 5 2 8第1页共8页8.设(0, ) ，(0, )，且tan1sin，那么2 2 cosA.32 B.2 C.32D.22 29.不等式组x y1的解集记为D.有下面四个命题：x 2y 4p1：(x,y) D,x2y 2，p2：(x,y)D,x2y2,P3：(x,y)D,x2y3，p4：(x,y)D,x2y 1.其中真命题是A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p310.抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，假设FP 4FQ，那么|QF|=7B.5C.3D.2A.2 211.函数f(x)=ax3 3x21，假设f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，那么a的取值X围为A.〔2，+∞〕B.〔-∞，-2〕C.〔1，+∞〕D.〔-∞，-1〕12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.42C.6D.4第二卷〔非选择题共90分〕本卷包括必考题和选考题两个局部。
贵州民族大学2014年高等代数考研真题及答案
贵州民族大学2014年攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及答案一、设[],n n ij A a R ⨯=∈||0,A =且A 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠.证明：12[,,,]T i i in A A A 是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系。
证明：因为||0,A =所以()1r A n ≤-. 又因为A 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠，即A 存在一个1n -阶子式不等于0，所以() 1.r A n =- 于是齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有()(1)1n r A n n -=--=个解向量。
又因为*||,AA A E O ==将伴随矩阵*A 按列分块为*12[,,,]n A ααα=，其中12[,,,],1,2,,.T i i i in A A A i n α== 则*12[,,,][0,0,,0].n AA A A A ααα==即0,1,2,,.i A i n α== 这说明i α是0Ax =的解向量。
由0ij A ≠知，0i α≠，因此12[,,,]T i i i in A A A α=是0Ax =的一个基础解系。
注：要证明向量组12,,,s εεε是0Ax =的基础解系，只需证明（1）向量组12,,,s εεε都是0Ax =的解； （2）12,,,s εεε线性无关；（3）().s n r A =-二、已知数域P 上的4级矩阵1151112331811397A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，线性空间4P 上的线性变换4:,x Ax x P σ→∈，（1）求线性变换的核和值域的维数；（2）求1(0).σ-解：设1234,,,εεεε是线性空间4P 的一组基，则线性变换σ在这组基下的矩阵为A .（1）值域1234(,,,)V L σσεσεσεσε=. 由1234123411511123(,,,)(,,,)31811397σεσεσεσεεεεε--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦知，向量组1234,,,σεσεσεσε的线性无关性可以由矩阵A 的列向量组的线性无关性给出，故计算矩阵的1151112331811397A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦的秩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 A1 页 共 8 页
考试方式： 闭卷
太原理工大学 高等代数 试卷 A 卷
适用专业：2014数学各专业 考试日期：2015.1.16 时间：120 分钟 共 8 页
.
一、（每小题3分，共36分）
I.单项选择题（将你认为正确答案填在括号内） 1.下列结论正确的是（ ）. A. 初等矩阵的逆矩阵就是本身； B. 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵； C. 初等矩阵乘积仍是初等矩阵；
D. 任何n 级矩阵都可以写成初等矩阵的乘积的形式.
2. A 是n 级对称矩阵，B 是n 级反对称矩阵，则下列矩阵是反对称矩阵的是( ). A. AB BA -； B. AB BA +； C. 2()AB ； D. BAB .
3. 设,A B 为n 级方阵，E 为n 级单位阵，则以下命题中正确的是（ ） A. 222()2A B A AB B +=++； B. 22()()A B A B A B -=+-； C. 222()AB A B =； D. 2()()A E A E A E -=+-.
4．设A 为3⨯4矩阵，123,,ηηη是非齐次方程组Ax b =的3个线性无关的解，则下列说法不正确的是（ ）
（A ）123ηηη++是非齐次方程组3Ax b =的解； （B ）122331,,,ηηηηηη---是齐次方程组0Ax =的一个基础解系； （C ）2131,ηηηη--是齐次方程组0Ax =的一个基础解系； （D ）矩阵A 的秩()1r A =.
题 号 一 二 三 四 总 分 得 分
得分
评卷人
学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………
第 A2 页 共 8 页
5. 设,A B 均非零矩阵，满足0AB =，则,A B 必有（ ）
A. ()0r A =或()0r B =；
B. ()r A n =或()r B n =；
C. ()r A n <或()r B n <；
D. ()r A n <且()r B n <. 6.下列行列式中不一定等于12n λλλ 的是（ ）
（A ）
1
12122000n n n λa a λa λ
； （B ）
12
220
00n
n
n nn
λλa λa a
；
（C ）
1
2121
2
000
n n n
λa λa a λ
； （D ）1210000
000
0000
n n
λλλλ----
. II. 填空题
7. 多项式()f x 满足(1)3,(2)4f f ==，则(1)(2)x x --除()f x 的余式为 . 8. 一个无解的非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则增广矩阵的秩为 .
9. 方程
23
111112
20144188x
x x -=-的根为 . 10. ,A B 分别为,n m 级非退化方阵，则
00
A B 与
00
A B
的比值为 .
11.设A 是数域P 上的n 级矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若*A 的秩*()1r A =，则A 的秩
()r A = .
12.设n 级矩阵111111111a a A a ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
(2n >)，若A 退化且它的秩()1r A ≠，则a = .
得分评卷人
二、（共24分）
（13）(本题7分) 设()
f x
g x=，证明
g x是数域P上的多项式, 且((),())1
f x与()
+=.
(()(),()())1
f x
g x f x g x
（14）(本题7分) 设多项式5432
()41024
=+--++
f x x x x x x
（1）求()
f x在有理数域上的标准分解式；
f x全部有理根，并写出()
（2）在复数域上，写出()
f x的标准分解式.
第A3 页共8 页
（15）(本题10分)
求向量组
1
(1,0,2,1)T =
α，
2
(1,2,0,1)T =
α，
3
(2,1,3,0)T =
α，
4
(1,1,3,1)T =--
α的秩及其一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示其余向量.
第A4 页共8 页
得分评卷人
三、（共22分）
（16）（1）(本题6分) 计算n级行列式
1111
1111
1111
1 1111
a
a
D a
a +
+
=+
+
（2）(本题6分) 已知行列式
1012
1103
1110
1254
D
-
=
-
，计算
41424344
A A A A
+++
第A5 页共8 页
第 A6 页 共 8 页
（17）(本题10分) 设1ΛP AP -=，其中1411P --⎛⎫= ⎪⎝⎭，10Λ02-⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，求2015
A .
得分评卷人
四、（共18分）
（18）(本题10分) 线性方程组
12345
12345
2345
12345
1
323
2263
5433
x x x x x
x x x x x a
x x x x
x x x x x b
++++=
⎧
⎪+++-=
⎪
⎨
+++=
⎪
⎪+++-=
⎩
，讨论,a b为何值时方程组
无解、有解，在有解求其通解，用基础解系表示通解.
第A7 页共8 页
（19）(本题共8分)
（1）设,A B是n级方阵且0
AB=. 证明()()
+≤, 其中(),()
r A r B分别表示矩阵
r A r B n
,A B的秩；
（2）设A为n（2
n）级可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，*A、*B分
≥
别为A、B的伴随矩阵，计算交换*A的第1列与第2列所得的结果．
第A8 页共8 页。