高二数学选修2-2《变化率与导数》单元练习题

高二数学选修2-2《变化率与导数》单元练习题

一．选择题

1. 某地某天上午9：20的气温为23.40℃，下午1：30的气温为15.90℃，则在

这段时间内气温变化率为（℃/min ） （ ）

A. 03.0

B. 03.0-

C. 003.0

D. 003.0- 2. =∆∆--∆+→∆x x x f x x f 2)()(lim 000

x （ ） A. )(2

10x f ' B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(-0x f ' 3. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

4. 曲线322+=x y 在点1-=x 处的切线方程为（ ）

A.14+=x y

B. 54--=x y

C. 14+-=x y

D. 54-=x y

5. 曲线x

x y πsin 2=过点)0,(πP 的切线方程是（ ） A. 0=-+πy x B. 022=-+πy x

C. 0222=--ππy x

D. 0222=-+ππy x

6. 已知)1)(2)(1(-++=x x x y ，则='y ( )

A. 2223--+x x x

B. 1432-+x x

C. 2432-+x x

D. 3432-+x x

7. 设210,,k k k 分别表示正弦函数x y sin =在2,4,0ππ==

=x x x 附近的平均变化

率，则（ ）

A. 210k k k <<

B. 120k k k <<

C. 012k k k <<

D. 201k k k <<

8. 函数4)1cos(2++=x y 的导数是（ ）

A.)1sin(22x x +

B. )1sin(2x +-

C. )1cos(22x +

D. )1sin(22x x +-

9. 过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( )

A. 220x y ++=

B. 330x y -+=

C. 10x y ++=

D. 10x y -+=

10. 函数x x x y sin cos -=的导数为（ ）

A. x x x sin cos 2+

B. x x x sin cos 2-

C. x x sin -

D. x x sin

二．填空题

11. 曲线1

22+=

x x y 过点)1,1(P 的切线方程是_____________。 12. 曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________． 13. 求导：（1）2)3(-=x y ，则_________='y ；

（2）x x x y cos sin -=，则_________='y 。

（3）函数1

21)(3++=x x x f 的导数是__________。 14. 若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．

15. 曲线2212)(x x f -

=与24

1)(3-=x x g 在交点处切线的夹角的正切值是_____________。

三．解答题。

16.（1）.设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )

＝x cos x .

（2） 设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且

22)(+='x x f ，求)(x f y =的表达式。

17. （1）已知函数c bx x g ax x x f +=+=23)(,2)(的图像都过点)0,2(P ，且在点P 处有公共切线，求)(),(x g x f 的表达式。

（2）设曲线d cx bx ax y S +++=23:在)1,0(A 点的切线为1:1+=x y l ，在)4,3(B 点的切线为102:1+-=x y l ，求d c b a ,,,。

18. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数，求b 、c 的值。

19. 已知曲线66:23+--=x x x y S ，求S 上斜率最小的切线方程。

20．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14

x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

21．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．

参考答案

1. B

2. B

3. A

4. C

5. D

6. B

7. C

8. D

9. D 10. C 11. 1=y ；12. y ＝3x ＋1

13.（1）x

31-

；（2）x 2cos 1- 。（3）232)12(23++--x x x 。 14. (－∞，0)

15.3。

16. a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.

17.（1） 164)(,82)(23-=-=x x g x x x f 。

解析：由题意知22)2(826)2(,04,82⨯='=-⨯='=+-=b g f c b a ，得16,4,8-==-=c b a 。 （2） 1,1,1,3

1===-=d c b a 解析：由2)3(,4)3(,1)1(,1)0(-='=='=f f f f 列式求得。

18. ∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++。从而

322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =。

19. 1313)2(31123)(22-≥--=--='x x x x f ，所以最小切线斜率为13-，当2=x 时取到。

进而可得切点)12,2(-，得切线方程为：01413=-+y x 。

20．(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．

∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，

∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.

∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，