7.4多元复合函数微分法
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多元复合函数与隐函数微分法知识分享
du z dv,
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
7.4多元复合函数与隐函数微分法解析
z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为 而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的 混淆. x
y
2019年1月7日星期一
8
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z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数； 每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
2019年1月7日星期一 19
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上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自 变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
2019年1月7日星期一 15
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7.5多元复合函数的求导法则和微分法则
z z u z v x u x v x
z
u v
x y
z z u z v y u y v y
（2 2型）
求导公式
函数结构（路线图）
例 z u2v uv2,u x cos y, v x sin y, 求 z , z .
wy
求和的项数等于路径条数(加法原理）
每一项的因子数等于每条路线上的步骤数 （乘法原理）
推广(2) 设w = f (u, v) , u (x, y, z), v (x, y, z) 其复
合函数为 w f [(x, y, z), (x, y, z)] u
x
w w u w v x u x v x
用7.3的方法直接求偏导数
推广(1) 设z= f (u,v,w), u u(x, y),v v(x, y), w w(x, y) 其复合函数为 z f [u(x, y),v(x, y), w(x, y)]
z z u z v z w. z
u v
x
dy dy du dx du dx
y
u
x
1.全导数
A.典型结构
定理1（全导数） 设函数 u = (x) 与v = (x) 在x 处均可导, 二元函数 z = f (u , v)在 x 对 应点(u , v)处有一阶连续偏导数，则对于复合函数
z f [(x), (x)] 最终的自变量只有一个时求全导
z f f v z f v . z x
x x v x y v y
v
x y
注意2：一般地对于函数z f (x, y)
即 z v
不至于引起混淆时，不必区分
多元复合函数与隐函数微分法
解 在 z f ( x x2 y2 )中, 令 u x x2 y2 ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
z f u f v x u x v x
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
x 0 时, u 0, v 0, 从而 0.
由 7 11 可得
z z u z v ( ) x u x v x x
(7 12)
在 (7 12)中
lim u u , lim v v x0 x x x0 x x
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
证明 我们只证 (7 10) 中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任意固定的 y , 给 x 一个改变量 x , 则得到u 和 v 的改变量 u 和 v , u u( x x, y) u( x, y), v v( x x, y) v( x, y), 从而得到 z f (u,v) 的改变量
z z u z v . x u x v x
同理可证
u
x
z
z z u z v .
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
z f u f v x u x v x
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
x 0 时, u 0, v 0, 从而 0.
由 7 11 可得
z z u z v ( ) x u x v x x
(7 12)
在 (7 12)中
lim u u , lim v v x0 x x x0 x x
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
证明 我们只证 (7 10) 中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任意固定的 y , 给 x 一个改变量 x , 则得到u 和 v 的改变量 u 和 v , u u( x x, y) u( x, y), v v( x x, y) v( x, y), 从而得到 z f (u,v) 的改变量
z z u z v . x u x v x
同理可证
u
x
z
z z u z v .
多元复合函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
证明
当t取得增量Δt时,u，v及z相应地也取得增量Δu,Δv及 Δz.由于z=f(u,v)在点u,v具有连续偏导数，于是函数z=f(u,v) 在点u,v可微分，即
其中
因此，有
一、多元复合函数的求导法则
定理1可以推广到更多中间变量的情况.设z=f(u,v,w)，其 中u=φt,v=ψt,w=ωt，即构成复合函数z=fφt,ψt,ωt，其变量 相互依赖关系如图8-12所示，有
实际上该情形是第2种情形的特例.
一、多元复合函数的求导法则
图 8-15
一、多元复合函数的求导法则
【例4】
设z=uarctan(uБайду номын сангаас)，u=xey，v=y2，求z关于x，y的偏导数． 解
一、多元复合函数的求导法则
设u=φ(x,y)在点x,y具有偏导数，z=f(u,x)在相应点u,x 处有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),x］在点x,y处有 偏导数，且
多元复合函数 的微分法
一、多元复合函数的求导法则
1. 复合函数的中间变量均为同一自变量的一元函数的情形
设函数z=f(u,v)，其中u=[φ（t）,v=ψ （t）] ，即构成复合 函数z=f[φ （t）,ψ （t） ] ，其变量相互依赖关系如图8-11所示.
图 8-11
一、多元复合函数的求导法则
定 理1
二、多元复合函数的高阶偏导数
计算多元复合函数的高阶偏导数，只要重复运用前面 的求导法则即可.
为表达简便起见，引入记号f′1,f′2,f″12等，这里下标 “1”表示对第一个变量u求偏导数，下标“2”表示对第二 个变量v求偏导数，即
同理可规定f″11，f″22等.
复合函数的微分法
ux z
vy
求偏导数
z z u z v x u x v x
两条路径： zz
u v
x x
z z u z v y u y v y
两条路径： zz
u v
y y
口诀: 并联相加，串联相乘；一元全导，多元偏导.
一、复合函数的微分法
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数
类比：二元复合函数求偏导
z f x, y, x, y
复合关系
z f u,v,u x, y,v x, y
结构图
ux
z vy
微分法
? ? z
z
x
y
一、复合函数的微分法
情形1：复合函数的中间变量为一元函数
z f x, x
复合关系 z f u,v,u x,v x
结构图 求全导数
z
复合函数微分法的步骤：
第一步：根据复合函数拆解复合关系；
第二步：结合结构图分析路径；
第三步：根据路径求全导数或者偏导数.
口 诀:
并联相加，串联相乘； 一元全导，多元偏导.
二、典型例题
例1
设 z uv,u et , v cos t ，求 dz .
dt
解： dz z du z dv
dt u dt v dt
z z u z dv y u y v dy
2ueu2v2 x2 cos y 2veu2v2 sin y
ex4 sin2 ycos2 y x4 1 sin 2 y
小结
复合函数 的微分法
复合关系 结构图 求偏(全)导
y
二、典型例题
例3
设 z eu2v2 ,u x2 sin y,v cos y , 求 z , z .
7.4(1)_多元复合函数的求导法则
f 2 xyf 22 xf12 .
17
多元复合函数的求导法则
设z f (2 x y) g( x, xy),其中f (t )二阶可导 , 2z g( u, v )有连续二阶导数 , 求 . xy 解 设t 2 x y, u x , v xy z y f t 2 g u 1 gv x 2z 2 f t ( 1) [ g uu 0 g uv x ] gv xy x gvu 0] y[ gvv
解
令 u x y z, 记
f ( u , v ) f1 , u
v xyz;
2 f ( u, v ) f12 , uv
. f 22
同理有 f 2,
, f11
w f u f v f1 yzf 2; x u x v x
多元复合函数的求导法则
第 7章
多元函数微分法 及其应用
z
M
z f ( x, y )
y
O
y
P D
x
x
多元复合函数的求导法则
7.4 多元复合函数的求导法则
复合函数的求导法则
一阶全微分形式不变性
小结 思考题
多元函数微分法及其应用
2
多元复合函数的求导法则
一、复合函数求导法(链导法)
复合函数求导法的思路
u u( x x ) u( x ), v v ( x x ) v ( x )
由于已知u(x, y), v(x, y)对x, y的偏导数存在, 因此
当x 0时, 有u 0, v 0, 从而 0, 且
z f u f v lim lim lim , x 0 x u x 0 x v x 0 x
17
多元复合函数的求导法则
设z f (2 x y) g( x, xy),其中f (t )二阶可导 , 2z g( u, v )有连续二阶导数 , 求 . xy 解 设t 2 x y, u x , v xy z y f t 2 g u 1 gv x 2z 2 f t ( 1) [ g uu 0 g uv x ] gv xy x gvu 0] y[ gvv
解
令 u x y z, 记
f ( u , v ) f1 , u
v xyz;
2 f ( u, v ) f12 , uv
. f 22
同理有 f 2,
, f11
w f u f v f1 yzf 2; x u x v x
多元复合函数的求导法则
第 7章
多元函数微分法 及其应用
z
M
z f ( x, y )
y
O
y
P D
x
x
多元复合函数的求导法则
7.4 多元复合函数的求导法则
复合函数的求导法则
一阶全微分形式不变性
小结 思考题
多元函数微分法及其应用
2
多元复合函数的求导法则
一、复合函数求导法(链导法)
复合函数求导法的思路
u u( x x ) u( x ), v v ( x x ) v ( x )
由于已知u(x, y), v(x, y)对x, y的偏导数存在, 因此
当x 0时, 有u 0, v 0, 从而 0, 且
z f u f v lim lim lim , x 0 x u x 0 x v x 0 x
多元函数微分学--多元复合函数求导
x zu
y
z f u f x u x x
x y
z f u f y u y y
z f [(x, y), x, y] z f (u, x, y) 对x的偏导数 对x的偏导数
注意符号的区别
例1. z eu sin v,u xy, v x y, 解法一: 将 u,v 带入解出偏导数;
u x v x
u y v y
z (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x y
z du z dv u v
全微分形式不变性
注:(1).利用全微分形式不变性可得出与一元函数类似的微分 法则;
(2).可以利用全微分形式不变性及微分法则求微分和偏导数. 例如前面例1:
f11
y
f12
] y
f2
y[
f 21
y
f 22
] y
f2 4xyf11 2(x2 y2 ) f12 xyf22
f
具有二阶连续偏导数,求
2w xz
w x
f1
yzf 2
2w xz f11 xyf12 yf2 yz( f21 xyf22 )
z z u z v y u y v y
类似的: z f (u,v, w),u (x, y),v (x, y),w h(x, y)
z
u v
x y
w
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
类似的: z f (u, x, y),u (x, y) z f [(x, y), x, y]
ex cos yf1'e2x sin y cos yf11'' 2ex ( y sin y x cos y) f12 ''4xyf22 ''.
复合函数的微分法
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
二、多元复合函数的全微分
11
设函数
都可微,
则复合函数 z f ( (x, y), (x, y))的全微分为
dz z dx z dy x y
( z u z v ) dy u y v y
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
数学与生物信息学教研室 机动Math目em录atic上s页& Bi下o页info返rm回atic结s 束Group
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
数学与生物信息学教研室 机动Math目em录atic上s页& Bi下o页info返rm回atic结s 束Group
高等数学(第三版)课件：多元复合函数与隐函数的微分法
x
x
z
y
y
2x
1
u
y cos x
x2 y2 u x2 y2 u
2x y cos x x 2 y 2 y sin x
z f z u y y u y
x2
2y y2
u
x2
1 y2
u
sin
x
2 y sin x x 2 y 2 y sin x
例4 设 解令
z
f (xy, y 2 ) ,求
Fx, yx 0
链式图
F
x
x
y
两边对x求导，得： F F dy 0
x y dx
F dy x Fx dx F Fy
y
2.二元隐函数求导公式 方程 Fx, y, z 0 z zx, y 得 Fx, y, zx, y 0
两边对x求导：F F z 0
x z x
两边对y求导：F z F 0
yexy sin(x y) e xy cos(x y)
e xy[ y sin(x y) cos(x y)]
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cosv 1 xexy sin(x y) e xy cos(x y)
e xy[x sin(x y) cos(x y)]
注意 设z f (u, x, y), u (x, y) z f [(x, y), x, y]
x
x
链式图 z
y
y
u
链式法则 z z u f
x u x x z z u f y u y y
例2
设函数
z x 2 y 2,其中 x sin t, y cost
,求 d z
dt
高数7-4多元函数的微分法(4)
例 1 设z eu sin v ，而u xy，v x y，
求 z 和z . x y
解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
u
z
v
x u x v x
z uv x yx y
e u sinv y e u cos v 1 e u ( y sinv cos v)
思考与练习
1
z z v x
z y 1
y x2
x y2
u
2
u
v2
……
(1)
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2
u x
f1
u y
f1
u z
f 2
1 y
f1
f2
x y2
f1
1 z
f 2
y z2
f 2
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y x ayrctan
y x
两 边 对x求 导,
1 2x 2y y
2 x2 y2
x2 y2
1
,
y x y . y x
x2
(2). F( x, y, z) 0
定理 2（隐函数存在定理 2） 设函数F ( x, y, z)
在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，
2w xz
z
(
f
1
yzf 2)
f1 z
yf 2
yz f 2 ; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
7.4多元复合函数与隐函数微分法
§7.4
多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 1、链式法则：
设z = f (u , v)在(u , v)处可微, u = u ( x, y ), v = v( x, y )在( x, y )处
存在偏导数, 则z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y )处存在偏导数,
【微积分7-4-2】
∆z ∂z ∆u ∂z ∆v o( ρ ) ∴ = • + • + ∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x
∆u ∂u ∆v ∂v 而 lim = , lim = ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x →0 ∆x ∂x
o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) = • , lim =0 又由于 ∆x ρ ∆x ρ →0 ρ
【微积分7-4-18】
（2）应用举例：
∂z ∂z 例6 设z = f ( x, y )是由方程 sin z = xyz所确定的隐函数, 求 及 ∂x ∂y 解法一：按上述结论求解
令F ( x, y, z ) = sin z − xyz , 则有
∂u 2 ∂u 而 = 1 + 2 xy , = 2x2 y ∂x ∂y
∂z ∂u 2 ′(u ) ′( x + x 2 y 2 ) ∴ = f = (1 + 2 xy ) f ∂x ∂x
∂z ∂u 2 2 2 = f ′(u ) = 2 x yf ′( x + x y ) ∂y ∂y
【微积分7-4-8】
且有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 1、链式法则：
设z = f (u , v)在(u , v)处可微, u = u ( x, y ), v = v( x, y )在( x, y )处
存在偏导数, 则z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y )处存在偏导数,
【微积分7-4-2】
∆z ∂z ∆u ∂z ∆v o( ρ ) ∴ = • + • + ∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x
∆u ∂u ∆v ∂v 而 lim = , lim = ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x →0 ∆x ∂x
o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) = • , lim =0 又由于 ∆x ρ ∆x ρ →0 ρ
【微积分7-4-18】
（2）应用举例：
∂z ∂z 例6 设z = f ( x, y )是由方程 sin z = xyz所确定的隐函数, 求 及 ∂x ∂y 解法一：按上述结论求解
令F ( x, y, z ) = sin z − xyz , 则有
∂u 2 ∂u 而 = 1 + 2 xy , = 2x2 y ∂x ∂y
∂z ∂u 2 ′(u ) ′( x + x 2 y 2 ) ∴ = f = (1 + 2 xy ) f ∂x ∂x
∂z ∂u 2 2 2 = f ′(u ) = 2 x yf ′( x + x y ) ∂y ∂y
【微积分7-4-8】
且有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
7.4多元复合函数微分法
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样,
这性质叫做一阶全微分形式不变性.
例 求函数 z x ln( x 2 y) 的全微分。
解: 由微分运算法则: d(uv) udv vdu
dz ln(x 2 y)dx xdln(x 2 y)
ln( x 2 y)dx x d( x 2 y) x 2y
z yz z xz
(2)
x
ez
xy
; y
ez
xy
一.偏导数与全微分的定义
z
x ( x0 , y0 )
x0 Δx Δx
x0 d z z d x z d y
z
y
(
x0 ,
y0
)
lim
Δ y0
f ( x0 , y0 Δy ) f ( x0 , y0 ) Δy
x
y
定义的重要性:(1)体现了偏导数的实质是求导数
e xy ( y sin( x y) cos( x y))
z y
z u u y
z v v y
eu sin v x eu cosv 1
eu( xsinv cosv).
e xy ( x sin( x y) cos( x y))
其它形式复合函数偏导数的链式法则：
1.
z
f (u,v)
u (x) v ( x)
u
z
x
v
z f [( x), ( x)] dz f du f dv ( 全导数公式 )
dx u dx v dx
2.z f (u) , u u( x, y), z f [u(x, y)]
x
z x
dz du
u x
z y
多元复合函数的微分法
TITLE
多元复合函数的微分 法
演讲人姓名
目 录
Ⅰ
点
击
引
添
言
加
正
文
Ⅱ
点
念多
元
击
函
数
添
的
基
加
本 概
正
文
Ⅲ
点
复
合
击
函
数
添
的
微
加
分 法
正
文
Ⅳ
点
数高
阶
击
导
数
添
与
泰
加
勒 级
正
文
Ⅴ
点
用多
元
击
复
合
添
函
数
加
的 应
正
文
Ⅵ
点
总
击
结
添
与
展
加
望
正
文
单击此处添加标题
引言
主题简介
由多个变量构成的函数，其值依赖于 多个自变量的值。
泰勒级数在数学和物理中有广泛的应用。例如，在求解微分方程时，泰勒级数可以用来近似解的表达式；在分析 函数的性质时，泰勒级数可以用来逼近函数的值。
多重泰勒级数
多重泰勒级数的定义：多重泰勒级数是泰勒级数的扩展，它可以用来逼近多元函数的性质。具 体来说，如果多元函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$在点$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$处的多 重泰勒级数为$f(x_1, x_2, \ldots, xn) = \sum{n1=0}^{\infty} \sum{n2=0}^{\infty} \ldots \sum{nn=0}^{\infty} a{n_1, n_2, \ldots, n_n} (x_1-a_1)^{n_1} (x_2a_2)^{n_2} \ldots (x_n-a_n)^{nn}$，其中$a{n_1, n_2, \ldots, n_n}$是常数，则这 个级数可以用来逼近函数$f(x)$在点$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$附近的性质。 多重泰勒级数的应用：多重泰勒级数在数学和物理中有广泛的应用。例如，在求解偏微分方程 时，多重泰勒级数可以用来近似解的表达式；在分析多元函数的性质时，多重泰勒级数可以用 来逼近函数的值。
多元复合函数的微分 法
演讲人姓名
目 录
Ⅰ
点
击
引
添
言
加
正
文
Ⅱ
点
念多
元
击
函
数
添
的
基
加
本 概
正
文
Ⅲ
点
复
合
击
函
数
添
的
微
加
分 法
正
文
Ⅳ
点
数高
阶
击
导
数
添
与
泰
加
勒 级
正
文
Ⅴ
点
用多
元
击
复
合
添
函
数
加
的 应
正
文
Ⅵ
点
总
击
结
添
与
展
加
望
正
文
单击此处添加标题
引言
主题简介
由多个变量构成的函数，其值依赖于 多个自变量的值。
泰勒级数在数学和物理中有广泛的应用。例如，在求解微分方程时，泰勒级数可以用来近似解的表达式；在分析 函数的性质时，泰勒级数可以用来逼近函数的值。
多重泰勒级数
多重泰勒级数的定义：多重泰勒级数是泰勒级数的扩展，它可以用来逼近多元函数的性质。具 体来说，如果多元函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$在点$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$处的多 重泰勒级数为$f(x_1, x_2, \ldots, xn) = \sum{n1=0}^{\infty} \sum{n2=0}^{\infty} \ldots \sum{nn=0}^{\infty} a{n_1, n_2, \ldots, n_n} (x_1-a_1)^{n_1} (x_2a_2)^{n_2} \ldots (x_n-a_n)^{nn}$，其中$a{n_1, n_2, \ldots, n_n}$是常数，则这 个级数可以用来逼近函数$f(x)$在点$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$附近的性质。 多重泰勒级数的应用：多重泰勒级数在数学和物理中有广泛的应用。例如，在求解偏微分方程 时，多重泰勒级数可以用来近似解的表达式；在分析多元函数的性质时，多重泰勒级数可以用 来逼近函数的值。
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(2)分段函数分段点处用定义求偏导 二.求偏导方法 1.简单函数--与一元函数求导法相同
2.复合函数—画出函数关系图按路径求导 3.隐函数—利用隐函数求导公式
步骤： )写出F ( x , y, z );( 2)求出Fx, Fy, Fz;( 3)代入公式 (1
法二
对方程两边关于x求导数 , 得
1 y e
解得
x2 y
(2 xy x 2 y) 0
x2 y
2
1 2 xye y 1 x 2e x
y
.
例2 设y f（x）是由方程 y x 所确定的隐 dy 函数, 求 dx 解 设F ( x , y ) y x x y ,
法1 利用方程F ( x, y ) 0构造二元函数 F ( x, y ), 利用多元函数 ： 偏导数求导数，即利用 下面的公式求导 dy F' dx F'
x y
法2：对等式F ( x , y ) 0两边关于x利用复合函数求导
2. 二元隐函数
设z f (Biblioteka x , y )是由方程 F ( x , y , z ) 0 确定的隐函数， 具有连续的偏导数 Fx, F y, Fz 且有 Fz 0 Fx ' z , x Fz ' Fy ' z y Fz ' 则z f ( x , y )的偏导数存在且为
类似于一元隐函数的求 导公式可得上面的公式
步骤：1) 写出F ; 2) 求Fx ' , Fy ' , Fz '; 3) 代入公式.
例3 设z f(x, y)是由方程x y z 4 z 0 确定的隐函数 , 求z ' , z '，
2 2 2 x y
解 法1： 设F ( x, y, z ) x y z 4z
解
设F ( x , y, z ) 2 xz 2 xyz ln x ln y ln z
1 1 1 Fx ' 2z 2 yz , Fy ' 2 xz ，Fz ' 2 x 2 xy y z x 1 1 2 xz 2 z 2 yz Fy ' Fx ' y x dx dz dx dy dy 1 1 Fz ' Fz ' 2 x 2 xy 2 x 2 xy z z
例1 已知由方程x y e dy y f ( x ), 求 . dx
解 法一
因此
x2 y
0可确定隐函数
令 F ( x, y) x y e
x2 y
x2 y
, 则
Fx 1 2 xye
,
Fy 1 x e
2 x2 y
,
x2 y dy Fx 1 2 xye 2 . dx Fy 1 x 2e x y
u u , z x sin y, 求 , . x y
2
dz 例4 设z arctan( xy ), y e , 求 . z dx dz z 解 ex dx x 例5 设u f ( x y z , xyz ), 求f x ' , f y '.
x
x y
解 令s x y z , t xyz, 则u f ( s, t ), s u f u t x s f 2 y z f1 yzf 2; u f f1 ' xz f1 xzf 2; y s
其它形式复合函数偏导 数的链式法则：
2.z f (u) , u u ( x, y ) , z f [u( x, y)]
u ( x ) z x 1. z f ( u, v ) v v ( x ) dz f du f dv z f [ ( x ), ( x )] ( 全导数公式 ) dx u dx v dx
CH7.4 多元复合函数、隐函数微分法
一、多元复合函数求导的链式法则 二、方程所确定的隐函数及其导数
第七章
一、多元复合函数的微 分法 一元复合函数
求导法则
z ＋ 二元复合函数 y v z f [ ( x , y ), ( x , y )] z f u f v z f u f v －－链式法则 x u x v x y u y v y z z u 例1 设z e sin v , u xy, v x y , 求 , . x y 解 z z u z v e u sin v y e u cos v 1
u
z d z u z d z u x du x y du y
z
u
x y
例2 y x , 求
x
dy dx
一元函数求导可用上学 期方法 如对数求导法 , ,
或换底化为指数型 略. 视 新法： y u v , 而u x , v x , 可作出“路线图”辅助, 见黑板 dy y du y dv vu v 1 1 u v ln u 1 xxx1 x x ln x dx u dx v dx x x 1 ln x
解得 z x z x x 2 z
对等式两边关于y求偏导数，得 2 y 2 z .z y 4 z y 0 ,
解得 z y z y y 2 z
例4 求 2 xz 2 xyz ln xyz 0确定的隐函数 z f ( x , y )的全微分.
dy 3 y 2 ye xy 答案：（） 1 dx xe xy 6 xy z yz z xz ( 2) z ; z x e xy y e xy ( 3)dz dx dy
作业
P232 1 (1) (4); 2(1); 3(1) ;4(2)
一.偏导数与全微分的定义 z x0 Δx x0 z z x ( x 0 , y0 ) Δx dz dx dy x y z f ( x0 , y0 Δy ) f ( x0 , y0 ) lim y ( x 0 , y0 ) Δ y 0 Δy 定义的重要性: (1)体现了偏导数的实质是求导数
x
y z
dz 例6 设z uv sin t , u e , v cos t , 求 . dt z 解 d z z du z d t u d t t t ve cos t e t (cos t sin t ) cos t
t
u
v
t
二、隐函数微分法
z F' , x F'
x z
F' z y F'
y z
z z 对等式F ( x , y, z ) 0两边关于x ( y )求偏导数，解出 ( ) 法2： x y
求下列方程所确定隐函 数的导数或全微分 dy xy 2 (1)e 3 xy ，求 ; dx z z z ( 2) xyz e 所确定函数z z ( x , y )的偏导数 , x y ( x y z ) ( 3) x y z e 所确定函数z z ( x , y )的全 微分dz
例3 设u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z2
u f x 解 x x z u x2 y2 z2 x2 y2 z2 2 x sin y 2z e 2 xe y 2 2 4 2 2 x ( 1 2 x 2 sin2 y ) e x y x sin y u f f z x2 y2 z2 x2 y2 z2 x 2 cos y 2 ye 2ze y y z y 4 x 2 y 2 x 4 sin 2 y 2 ( y x sin y cos y ) e
2 xyz 2 2 xz 2 z 2 x z 2 x yz x
2 2
dx
2 xyz 2 z 2 xyz 2 xy z y
2
dy
小结：
由方程F(x, y, z) 0所确定的隐函数 z f ( x, y)的导数主要有 两种求法：
利用方程F ( x, y, z ) 0构造三元函数 F ( x, y, z ), 利用 法1： 多元函数偏导数求导数 ，即利用下面的公式求 导
1. 一元隐函数的导数
设y f ( x )是由方程 F ( x , y ) 0 确定的隐函数， F ( x , y )具有连续的偏导数 x F , F F 且有 F 0 y 则y f ( x )的导数存在且为 dy F dx F
x y y x y
步骤：1) 写出F ; 2) 求Fx ' , F y '; 3) 代入公式.
2 2 2
F ' 2 x , F ' 2 y， F ' 2z 4
x
y
z
z F' F' x y z x ， . x F' 2z y F ' 2z z2
x
y
z
z
法 2： 对等式两边关于x求偏导数，得 2 x 2 z .z x 4 z x 0 ,
x
u ( x, y ) v ( x , y )
u
x
u x
v x
e ( y sinv cos v ),
u
z z u z v z e u sin v , y u y v y u xy, v x y , u u e u ( x sinv cos v ). e sin v x e cos v 1
x y
Fx ' y ln y y x , F ' x y