辽宁省五校协作体2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2013年辽宁高考数学(理科)真题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）22 （C ）2 （D ）2（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7（8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．3172 B ．210 C ．132D ．310 （11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16（11）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年辽宁高考理科数学卷(含答案解析)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .22.已知集合4=0log {1|}A x x ＜＜,{|=}2B x x ≤,则=A B I( )A .(0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .(1,2] 3.已知点(1,3)A ,1(4,)B -,则与向量AB u u u r同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： 1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列； 3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为：[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是 ( )A .45B .50C .55D .606.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin cos sin cos =12a cb B C B A +,且a b >,则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.使(3()n n x ∈＋N 的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A .4B .5C .6D .78.执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出S = ( )A .511 B .1011 C .3655 D .72559.已知点(0,0)O ,()0,A b ,3(),B a a .若OAB △为直角三角形,则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C －的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ,=4AC ,AB AC ⊥,112=AA ,则球O 的半径为( )AB.C .132D.11.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+,22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,,2mi (){)(n (,)}H x f x g x =（{},max p q 表示p ,q 中的较大值,min{},p q 表示p ,q 中的较小值）.记1()H x 的最小值为A ,2()H x 的最大值为B ,则A B -=( )A .16B .16-C .2216a a --D .2216a a +-12.设函数()f x 满足2()2()e xx f x xf x x'+=,2(2)e 8f =,则0x >时,()f x( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值第Ⅱ卷--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ,3a 是方程2540x x +=-的两个根,则6S = . 15.已知椭圆22221=()0x ya Cb a b :>>+的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若||=10AB ,||=6AF ,4os 5c ABF ∠=,则C的离心率=e .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量a (3sin )=,sin x x ,b (,=cos s )in x x ,2[]π0,x ∈. （Ⅰ）若|a |=|b |,求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a ·b ,求()f x 的最大值.18.（本小题满分12分）如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若=2AB ,=1AC ,=1PA ,求二面角C PB A ——的余弦值.19.（本小题满分12分）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图,抛物线214C x y :=,222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为A ,B （M 为原点O 时,A ,B 重合于O ）.当0=12x -时,切线MA 的斜率为12-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ,B 重合于O 时,中点为O ）.21.（本小题满分12分）已知函数2()1e ()xf x x -=+,312cos 2()x g x ax x x +++=.当[0,1]x ∈时,（Ⅰ）求证：)1(11x f x x≤≤-+；（Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 为O e 直径,直线CD 与O e 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C ,EF 垂直AB 于F ,连接AE ,BE .证明：（Ⅰ）=FEB CEB ∠∠； （Ⅱ）2=EF AD BC g .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ,πcos()=224ρθ-. （Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数）,求a ,b 的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|(|)f x x a =-,其中1a ＞.（Ⅰ）当2a =时,求不等式()4||4f x x ≥--的解集； （Ⅱ）已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤,求a 的值.2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）454422cos 2xx ⎫++⎪⎭x ⎫⎪⎭（2）设()(2)2()h x f x a f x =+-，则20()4202a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，，由|()|2h x ≤解得，它与12x ≤≤等价，然后求出a 的值【考点】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法。
2013年高考理科数学辽宁卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013辽宁，理1)复数1i 1z =-的模为( )． A ．12BCD ．22．(2013辽宁，理2)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )．A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2] 3．(2013辽宁，理3)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )．A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4．(2013辽宁，理4)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )．A ．p1，p2B ．p3，p4C ．p2，p3D ．p1，p45．(2013辽宁，理5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )．A ．45B ．50C ．55D ．606．(2013辽宁，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )．A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．(2013辽宁，理7)使3nx ⎛+ ⎝(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )．A ．4B ．5C ．6D ．78．(2013辽宁，理8)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )．A ．511B ．1011C ．3655D ．72559．(2013辽宁，理9)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )．A ．b ＝a3B ．31b a a =+C ．331()0b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=10．(2013辽宁，理10)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )．A．2 B．．132 D．11．(2013辽宁，理11)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )．A ．16B ．－16C ．a2－2a －16D ．a2＋2a －1612．(2013辽宁，理12)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝2e 8，则x ＞0时，f (x )( )．A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013辽宁，理13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．14．(2013辽宁，理14)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝__________.15．(2013辽宁，理15)已知椭圆C ：2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝__________.16．(2013辽宁，理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013辽宁，理17)(本小题满分12分)设向量a＝x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．18．(2013辽宁，理18)(本小题满分12分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值．19．(2013辽宁，理19)(本小题满分12分)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．20．(2013辽宁，理20)(本小题满分12分)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1时，切线MA 的斜率为12. (1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．21．(2013辽宁，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋32x＋1＋2x cos x．当x∈[0,1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤11x；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
辽宁省五校协作体高三上学期期初联考数学(理)试题.pdf
学案 一、字音字形 1．识记生难字 轮廓（kuò） 远瀛观（yíng） 甲胄（zhòu） 嗫嚅（niè rú） 迤逦（yǐ lǐ） （xī sū） 绮辉（qǐ） 黛青色（dài） 2．读准多音字 （1）远瀛观：guàn 其他读音：guān 组词：观赏 （2）悄立：qiǎo 其他读音：qiāo 组词：静悄悄 二、重要词语 1．莽莽苍苍：郊野苍茫广大的景色。
2．奇耻大辱：极大的耻辱。
3．若无其事：就像没有那么回事一样。
形容遇事镇定，不动声色；也形容不把事情放在心上。
4．怅然：形容闷闷不乐或失望的样子。
5．如泣如诉：像在哭泣，又像在诉说。
形容声音凄切哀怨。
6．慷慨激昂：形容说话时满怀正气，情绪、语调激动昂扬。
7．嗫嚅：形容想说话而又吞吞吐吐不敢说出来的样子。
8．瞬息万变：形容极短时间内就发生很多变化。
9．迤逦：曲折连绵。
10．：拟声词，形容细小的摩擦声音。
11．凭吊：对着遗迹怀念旧事。
三、背景知识 有关火烧圆明园的资料：1860年10月6日，英、法联军侵入北京，闯进圆明园。
他们把园内凡是能拿走的东西，统统掠走；拿不动的，就用大车或牲口搬运；实在运不走的，就任意破坏、毁掉。
为了销毁罪证，10月18日和19日，三千多名侵略军奉命在园内放火。
大火连烧三天，烟云笼罩整个北京城。
四、作家作品 宗璞，原名冯钟璞。
著名哲学家冯友兰先生之女，1928年生于北平，毕业于清华大学外文系，退休于中国社会科学院外国文学研究所。
既继承中国传统文化的深厚渊源，又得外国文化长期耳濡目染，她的作品蕴涵东方传统哲学文化和西方人文主义思想相结合的精神内涵，具有独特的艺术气质和高雅格调。
主要作品有小说《红豆》《后门》《三生石》，童话《花的话》《总鳍鱼的故事》，散文《西湖漫笔》《奔落的雪原》《花朝节的纪念》《三松堂断忆》等，出版了多种小说散文童话选集。
2013-2014学年辽宁省五校协作体联考高三(上)期中数学试卷(理科)
2013-2014学年辽宁省五校协作体联考高三（上）期中数学试卷（理科）2013-2014学年辽宁省五校协作体联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知一元二次不等式f（x）≤0的解集为，则f（e x）＞0的解集为（）2．（5分）（2012•重庆）=（）D．3．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．C D．4．（5分）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解5．（5分）棱长均为3三棱锥S﹣ABC，若空间一点P满足（x+y+z=1）则的最小值为（）．C D6．（5分）（2014•泰安一模）如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x∈（0，π））及直线x=a（a∈（0，π））与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是（）．C D．7．（5分）已知=ad﹣bc，则++…+=（）8．（5分）（2014•市中区二模）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）．C D．9．（5分）已知点A、B、C三点不共线，且有，则有（）||||||||| ||||| ||||10．（5分）规定[x]表示不超过x的最大整数，f（x）=，若方程f（x）=ax+1有且），﹣），﹣）﹣，﹣x．12．（5分）（2011•江西模拟）已知可导函数f（x）的导函数为g（x），且满足：①；②f（2﹣x）﹣f二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，主视图和左视图是长为3，宽为2的矩形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为_________．14．（5分）数列{a n}中，a2=2，a n，a n+1是方程的两个根，则数列{b n}的前n项和S n=_________．15．（5分）（2011•宁波模拟）点（a，b）为第一象限内的点，且在圆（x+1）+（y+1）=8上，ab的最大值为_________．16．（5分）（2012•鹰潭模拟）已知三棱锥A﹣BOC，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为_________、三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E、G分别是BC、PE的中点．（1）求证：AD⊥PE；（2）求二面角E﹣AD﹣G的正切值．19．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（1）求tanAcotB的值；（2）求tan（A﹣B）的最大值．21．（12分）定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．22．（12分）（2014•郑州模拟）已知函数f（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）﹣2x．（Ⅰ）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减；（Ⅱ）若不等式≤e2对任意的n∈N*都成立，（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．2013-2014学年辽宁省五校协作体联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知一元二次不等式f（x）≤0的解集为，则f（e x）＞0的解集为（）{x|＜，然后由的解集为{x|要保证2．（5分）（2012•重庆）=（）D．．3．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．C D．c=cosC==C=，4．（5分）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解5．（5分）棱长均为3三棱锥S﹣ABC，若空间一点P满足（x+y+z=1）则的最小值为（）．C D满足满足为垂足时，∴∴．中，=6．（5分）（2014•泰安一模）如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x∈（0，π））及直线x=a（a∈（0，π））与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是（）．C D．×7．（5分）已知=ad﹣bc，则++…+=（）解：∵∴8．（5分）（2014•市中区二模）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）．C D．表示的平面区域，9．（5分）已知点A、B、C三点不共线，且有，则有（）||||||||| ||||| ||||，是最大边．由，利用正弦定理可化为三点不共线，且有∴，化为∵∴10．（5分）规定[x]表示不超过x的最大整数，f（x）=，若方程f（x）=ax+1有且），﹣），﹣）﹣，﹣由图象可知，当直线介于两红色线之间时，符合题意，而它们的斜率分别为，[，x．12．（5分）（2011•江西模拟）已知可导函数f（x）的导函数为g（x），且满足：①；②f（2﹣x）﹣f和利用积商符号法则判断函数∵二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，主视图和左视图是长为3，宽为2的矩形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为8．××14．（5分）数列{a n}中，a2=2，a n，a n+1是方程的两个根，则数列{b n}的前n项和S n=．的两个根，∵=）（（故答案为：15．（5分）（2011•宁波模拟）点（a，b）为第一象限内的点，且在圆（x+1）2+（y+1）2=8上，ab的最大值为1．2ab+416．（5分）（2012•鹰潭模拟）已知三棱锥A﹣BOC，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为或36﹣、或该三棱锥减去此球体的故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E、G分别是BC、PE的中点．（1）求证：AD⊥PE；（2）求二面角E﹣AD﹣G的正切值．OP=，，∴∴，∴∴的一个法向量为=，的正切值为19．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．+，即+++ +++，且，++，+++++=1++++++++﹣=2﹣，．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（1）求tanAcotB的值；（2）求tan（A﹣B）的最大值．）求出中，由正弦定理及当且仅当时，）的最大值为21．（12分）定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．，即22．（12分）（2014•郑州模拟）已知函数f（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）﹣2x．（Ⅰ）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减；（Ⅱ）若不等式≤e2对任意的n∈N*都成立，（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．≤转化为最小值即可．（）不等式等价于不等式，∴的最大值为参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；sllwyn；wyz123；孙佑中；吕静；刘长柏；ywg2058；lincy；wfy814；394782；zlzhan；zwx097；翔宇老师；minqi5；wodeqing（排名不分先后）菁优网2014年10月29日。
辽宁省五校协作体2013届高三上学期联合竞赛数学(理)试题
辽宁省五校协作体2013届高三上学期联合竞赛数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一·选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合211{|log (1)1},{|()1}42xM x x N x =-<=<<，则M N =（ ） A ．{|12}x x <<B ．{|13}x x << {|03}x x << D ．{|02}x x <<2．已知i 为虚数单位，复数121iz i+=-，则复数z 的虚部是（ ） A ．i 23 B ．23 C ．i 21- D ．21-3. 已知原命题：“若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是 （ ）A ．原命题为真，否命题为假B ．原命题为假，否命题为真C ．原命题与否命题均为真命题D ．原命题与否命题均为假命题4. 已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为 （ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-5．定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()1(x f x f -=+且在]4,5[--上是减函数， βα、是锐角三角形的两个内角，则（ ）A.)(cos )(sin βαf f >B.)(sin )(sin βαf f >C.)(cos )(sin βαf f <D.)(cos )(cos βαf f >6.现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺 序不变，则不同调整方法的种数是 （ ） A ．420 B ．560 C ．840 D ．201607.如右框图，当x 1=6,x 2=9,p=8.5时，x 3等于（ ）A ．11B ．10C ．8D ．78.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体,其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ）A.87B. 85C. 43D. 65 9.已知函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线 y = b (0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8， 则)(x f 的单调递增区间是（ ） A. []Z k k k ∈+,36,6ππ B. []Z k k k ∈-,6,36 C. []Z k k k ∈+,36,6D. 无法确定10.已知双曲线1-:2222=b y a x M 和双曲线1-:2222=bx a y N ，其中0>>a b ，且双曲线M 与N的交点在两坐标轴上的射影恰是两双曲线的焦点，则双曲线M 离心率 （ ） A ．215+ B. 21-5 C. 235+ D. 25-311．在ABC ∆中，AC=6，BC=7，51cos =A ，O 是ABC ∆的内心，若OB y OA x OP +=，其中10,10≤≤≤≤y x ，动点P 的轨迹所覆盖的面积为（ ）A.6310 B. 635 C.310 D.32012.已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝( )A ．1210-B ．129-C ．45D ．55第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二·填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)及答案(word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的11Z i =-模为A.12 B.22 2．已知集合A={x|0<log4x<1}，B={x|x ≤2}，则A ∩B=A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A.45B.50C.55D.606．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >，则B ∠=A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π7．使得()3n x n N n+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．78．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．72559．已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为A ．2B ．C ．132D ．11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=A.2216a a -- B.2216a a +- C.16- D.1612．设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=，则C 的离心率e = . 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (理科) word解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为（A ）12（B （C （D ）21. 【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||Z =（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 2. 【答案】D【解析】由集合A ，14x <<；所以(1,2]A B ⋂=（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3. 【答案】A【解析】(3,4)AB =-u u u r ，所以||5AB =u u u r ，这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-u u u r（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 4.【答案】D【解析】设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60 5.【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则150.3m=，50m =。
2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一测试（辽宁卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.2C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】111112i,i i 122222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题分析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则和向量AB 同方向的单位向量为 （ ）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】()3,4AB =-，则和其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为 （ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题， （步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题分析】根据正弦定理和和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3）7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题分析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是 常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题分析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有 （ ）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角和斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题分析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此 时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为 （ ）A 317B ．10C ．132D ．310 【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题分析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B 内，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴22212513R +=,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( ) A.2216a a -- B.2216a a +- C.16- D.16 【测量目标】二次函数的图象和性质.【考查方式】给出两函数分析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题分析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ， （步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x a g x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+， ∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活使用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题分析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1） 令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3） 故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 和过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等 【参考答案】57【试题分析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2） 解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题分析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π3,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值； （Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和和差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数和向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题分析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,xx x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活使用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题分析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1） 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5）不妨令21x =，则()21,3,0=n .于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3） 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对和否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件和对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题分析】 (1)设事件A =“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “张同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 1 2 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8） 20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点和直线的关系求解；利用椭圆和直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等 【试题分析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14）， （步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （012,)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴011322(22)244y -=--+=-①20(12)322y --==② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8） 由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时， （I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，求实数a 取值范围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题分析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1） 记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2） 当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3） 故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4） 要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5） 记()e 1x K x x =--，则()e 1xK x '=-，（步骤6） 当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7） 故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8）综上，()111x f x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2x x f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋ 3112cos 2x x ax x x ----- 2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10） 设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11） 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14）于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15） 所以，当3a -时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17） 记()2112cos ()121x I x a x a G x x x=+++=++++， 则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18） 当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20） 因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21）此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22） 综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-．（步骤23）解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤10） 记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11） 记()sinG x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12） 当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15） 同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16） 综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17） 当[]0,1x ∈时， ()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭ ()3a x =-+.（步骤18）所以当3a -时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立． ()()()321e 12cos 2x x f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21） 即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 和半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ， EF 垂直AB 和F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠； （II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解.【难易程度】容易【试题分析】(Ⅰ)直线CD 和⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=； （步骤2） 又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4） （Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边，∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6） 又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7） 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系和参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为 π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 和2C 交点的极坐标； （II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 和2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标和参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 和2C 方程求交点；由参数方程的性质求 解.【难易程度】容易【试题分析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 和2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2） 注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点和Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3) 由参数方程可得b ab y x 22=-+1. （步骤4） ∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，.（步骤5） 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，其中1a >.（I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx }2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值.【难易程度】中等【试题分析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x 时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ； （步骤2） 当24x <<时，44f x x --（）无解； （步骤3） 当4x 时，由44f x x --（）得264x -，解得5x . （步骤4） ∴44f x x --（） 的解集为{1x x 或}5x . （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，， （步骤6）由2h x （），解得1122a a x -+. （步骤7） 又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。
辽宁省五校协作体高三数学摸底考试试题 理
辽宁省五校协作体2013届高三数学摸底考试试题 理一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知全集=⋃≤=≤==)(},12|{},0lg |{,B A C x B x x A R U U x 则集合 （ ）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2.复数z 满足(1)2z i i +=，则复数z 的实部与虚部之差为 （ ) A.0 B.－1 C.－3 D.33.已知向量(sin(),1),(4,4cos 6παα=+=-a b ，若⊥a b ，则4sin()3πα+等于 ( )A.14- D. 144.若直线032:1:22=--++=x y x C kx y l 被圆截得的弦最短，则直线l 的方程是（ ）A ．0=xB ．1=yC ．01=-+y xD.01=+-y x5.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个 6.数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若平面上的三个不共线的向量,,满足,20061OC a OA a OB +=且A 、B 、C 三点共线，则S 2006=（ ）A ．1003B ．1010C ．2006D ．20107.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )A1，-1 B1，-17 C3，-17 D9，-19 8.不等式log sin 2(0a x x a >>且1)a ≠对任意(0,)4x π∈都成立，则a 的取值范围为 （ ） A ．(0,)4πB ． }1,4[πC ．(,1)(1,)42ππ⋃ D ．(0,1)9.方程lgx+x=3的解所在区间为 ( ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)10.下图a 是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A m [如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155]内的学生人数]。
辽宁省大连市2013届高三高三第一次模拟考试数学(理)试题(扫描版,详解).pdf
2013年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题 1．A；2．DD；7．C；8.A；9．B；10．D；11．A；12．C． 二填空题；14．16；15．；16． . 三.解答题 17．解：（Ⅰ）∵，∴， ∴，3分 ，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．4分 ，．6分 （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知． ．① ．② 9分 由①②得． ∴．12分 法二：令，令， ∴． ∴．9分 ∴ ．12分 18．解：（Ⅰ）列联表如下 甲工艺乙工艺合计一等品5060110非一等品504090合计1001002002分 ，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关．4分 （Ⅱ）由题知运用甲工艺生产单件产品的利润的分布列为 3020150.50.30.2的数学期望为， 的方差为.7分 乙工艺生产单件产品的利润的分布列为 3020150.60.10.3的数学期望为， 的方差为 .10分 答案一：由上述结果可以看出，即乙工艺的平均利润大，所以以后应该选择乙工艺. 答案二：由上述结果可以看出，即甲工艺波动小，虽然，但相差不大，所以以后选择甲工艺.12分 19．解：（）连结A1B与AB1交于E，DE，则E为A1B的中点， ∴BC1∥DE，，平面, ∴∥平面． （）过D作DF⊥A1B1于F， 由正三棱柱的性质，AA1⊥DF，∴DF⊥平面ABB1A1， 连结EF，DE，在正三角形A1B1C1中， ∵D是A1C1的中点，∴＝，又在直角三角形AA1D中， ∵AD＝＝，∴AD＝B1D．∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1， 则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角． 可求得， ∵△B1FE∽△B1AA1，得， ∴∠DEF＝，即为所求．（2）解法（二）（空间向量法） 建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－,0），B1（0，，），C1（－0，），A1（0，－，），D（－，－，）．∴＝（0，，），＝（－a，－,0）． 设n1＝（x，y，z）是平面AB1D的一个法向量， 则可得 ，即．∴n1＝（－，1，－）．10分又平面ABB1A1的一个法向量n2＝＝（－,0,0）， 设n1与n2的夹角是θ，则 cosθ＝＝． 又可知二面角A1－AB1－D是锐角．∴二面角A1－AB1－D的大小是．为椭圆， ∴，∵，∴， ∴， ．2分 ∴是以||为相切， ∴，∴， ∴椭圆的方程．4分 （Ⅱ）设点，，则点， 法一：设直线的方程为，联立方程组 化简整理得， 由得．6分 则． 直线的方程为：， 令，则． ∴点坐标为．8分===．10分 ∵ ∴.12分 法二： 设直线方程为． 由 得， 由得．6分 直线的方程为：， 令，则．∴点坐标为．8分===．10分 ∵ ， ∴． 综上，．12分 21.解：（Ⅰ）时，，． 令，，2分 当时，，时， ∴． ∴．∴在上是单调递减函数．4分 （Ⅱ）若有两个极值点， 则是方程的两不等实根． 解法一：∵显然不是方程的根，∴有两不等实根．6分 令，则 当时，，单调递减， 时，，单调递减，时，，单调递增， 要使有两不等实根，应满足，∴的取值范围是． （注意：直接得在上单调递减，上单调递增扣2分）．8分 ∵，且 ， ∵，在区间上单调递增，，∴ 设，则，在上单调递减 ∴ 即．12分 解法二：，则是方程的两不等实根． ∵， 当时，，在上单调递减，不可能有两不等实根 当时，由得， 当时，，时， ∴当，即时，有两不等实根 ∴的取值范围是．8分 ∵，且 ， ∵，在区间上单调递增，，∴ 设，则，在上单调递减 ∴ 即．12分 解：（Ⅰ）证明． 2分 又为圆的切线，．5分 （Ⅱ）为圆的切线，∴， 由（Ⅰ）可得7分 ∴△∽△，∴，∴=3．10分 23．解：(Ⅰ)曲线的一般方程为， 曲线的一般方程为．2分 两圆的公共弦所在直线为， 到该直线距离为，所以公共弦长为．5分 （Ⅱ）曲线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为．7分 设，则，两点分别代入和解得， 不妨取锐角， 所以．10分 24．解：（Ⅰ） ∴的解为 ．5分 （Ⅱ）由得,．7分 令,,作出它们的图象，可以知道，当时， 这两个函数的图象有两个不同的交点， 所以，函数有两个不同的零点．10分。
辽宁省实验中学等五校协作体2013届高三模拟考试题理科数学 3
所以二面角 的余弦值为 .…………………………………12分
20.．解析：（1）依题意设切线长
∴当且仅当 取得最小值时 取得最小值，而
， ，从而解得 ，
故离心率 的取值范围是 ；………………………………4分
（2）依题意 点的坐标为 ，则直线的方程为 ，联立方程组
得 ，设 ，则有 ， ，代入直线方程得 ，
因为m＞2 ，判别式 ＝m2－8＞0，解得10x＝ ．
因为m＞2 ，所以 ＞ ＞1．
所以由10x＝ ，解得x＝lg ．
令 ＝1，得m＝3．所以当m＞3时， ＝ ＜ ＝1，
当2 ＜m≤3时， ＝ ＞ ＝1，解得x＝lg ．
综上，当m＞3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg 和x＝lg ；
当2 ＜m≤3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg ．……………………6分
6.已知定义在R上的函数 ，其中函数 的图象是一条连续曲线，则方程 在下面哪个范围内必有实数根
A.（0, 1）B.（1, 2）C.（2, 3）D.（3, 4）
7．已知 的图像与 轴、 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（）
A. B. C. D.
8.若 是奇函数，且周期为T，则 是：
A．198B．156C．145D．142
11．某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示。若130~140分数段的人数为2人。现根据初赛成绩在第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组。若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率。
辽宁省五校协作体2013届高三上学期期初联考数学(理)试题
2012—-2013学年度上学期辽宁省五校协作体高三期初联考数学试题（理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．（1)设非空集合P 、Q 满足PQ P =，则（A ）∀x ∈Q ，有x ∈P （B ）∀x Q ∉，有x P ∉(C ）∃x 0∉Q ，使得x 0∈P（D ）∃x 0∈P ,使得x 0∉Q（2）在等比数列}{na 中，若公比1>q ，且1673=a a ，1064=+a a，则=3a（A)1± （B)2± （C ）2 （D ）1（3)在空间中,下列命题正确的是(A ）平面α内的一条直线a 垂直与平面β内的无数条直线，则βα⊥ (B ）若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//m（C)若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β（D)若直线a 与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有α⊥a 。
（4）约束条件为50100,0x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,目标函数2Z x y =-，则Z 的最大值是(A ）4- （B ）4 （C ）5- （D ）5（5）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（A ）()1ln 2++=x x y （B)()1log 2-=x y（C ）⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=-0,30,3x x y xx（ D ）xy 1-=(6）在等差数列}{n a 中，305=a ，510=a ，则621⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项是该数列的（A)第9项 （B ）第8项 （C ）第7项 （D ）第6项 （7) 函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ,0>ω，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y 2cos =的图象，则只要将)(x f 的图象(A)向左平移6π个单位长度（B ）向右平移6π个单位长度（C)向左平移12π个单位长度 (D ）向右平移12π个单位长度(8） 双曲线14222=-y a x 的左、右焦点分别为21F F 、,P 是双曲线上一点，1PF 的中点在y 轴上，线段2PF 的长为34,则该双曲线的离心率为(A ）23 (B)213 （C)313 （D ）313 （9)由直线1=y 与曲线2x y =所围成的封闭图形的面积是（A ）34 (B ） 32 （C ）31（D ）21（10)在Rt ABC ∆中，90,60C A ==∠∠，从顶点C 出发，在ACB ∠内等可能地引射线CD 交线段AB 于点D ,则12ACDABC SS ∆∆≤的概率是 ()()()()11233234A B C D（11）已知向量(2,1),(1,)a b k ==且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是()()()112,2,,,22,222A B C D ⎛⎫⎛⎫-+∞-+∞-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12）函数x x y ln sin +=的零点个数为（A ）0 （B)1 （C)2 （D ）3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．（13)122= ；（14)阅读如图所示的程序框图,输出的结果S 的值为(15）右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体 外接球的表面积是 ；(16)设函数)(x f y =，满足)(1)1(x f x f -=+，对一切R x ∈都成立,又知当(]3,1时，x x f -=2)(,则()2013f =三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）(本小题满分12分）在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=a ，7=b ，60=B ．（I)求c 及△ABC 的面积S ；(II)求)2sin(CA ．(18）(本小题满分12分）如图(1)在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP,AD＝DC＝PD＝2,E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图2)(1)求二面角G－EF－D的大小；(2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明过程。
辽宁省五校协作体2013届高三摸底考试数学理(附答案)
一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知全集=⋃≤=≤==)(},12|{},0lg |{,B A C x B x x A R U U x 则集合 （ ）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2.复数z 满足(1)2z i i +=，则复数z 的实部与虚部之差为 （ ) A.0 B.－1 C.－3 D.33.已知向量(sin(),1),(4,4cos 6παα=+=a b ，若⊥a b ，则4sin()3πα+等于 ( )A.4-14- C. 4D. 144.若直线032:1:22=--++=x y x C kx y l 被圆截得的弦最短，则直线l 的方程是（ ）A ．0=xB ．1=yC ．01=-+y xD.01=+-y x5.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个6.数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若平面上的三个不共线的向量OC OB OA ,,满足,20061a a +=且A 、B 、C 三点共线，则S 2006= （ ）A ．1003B ．1010C ．2006D ．20107.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) A1，-1 B1，-17 C3，-17 D9，-198.不等式log sin 2(0a x x a >>且1)a ≠对任意(0,)4x π∈都成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,)4πB ． }1,4[πC ．(,1)(1,)42ππ⋃ D ．(0,1)9.方程lgx+x=3的解所在区间为 ( ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞)10.下图a 是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A m [如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155]内的学生人数]。
2013年辽宁高考数学(理科)真题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试〔辽宁卷〕数 学〔供理科考生使用〕第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 〔1〕复数的11Z i =-模为 〔A 〕12〔B 〕22 〔C 〕2 〔D 〕2〔2〕已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 〔3〕已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为〔A 〕3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-〔B 〕4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-〔C 〕3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， 〔D 〕4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 〔4〕下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为〔A 〕12,p p 〔B 〕34,p p 〔C 〕23,p p 〔D 〕14,p p 〔5〕某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 假设低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是〔A 〕45 〔B 〕50 〔C 〕55 〔D 〕60〔6〕在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π〔7〕使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7〔8〕执行如下图的程序框图，假设输入10,n S ==则输出的A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255〔9〕已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=〔10〕已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．3172 B ．210 C ．132D ．310 〔11〕已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=〔A 〕2216a a -- 〔B 〕2216a a +- 〔C 〕16- 〔D 〕16〔11〕设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， 〔A 〕有极大值，无极小值 〔B 〕有极小值，无极大值 〔C 〕既有极大值又有极小值 〔D 〕既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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第Ⅰ卷（选择题 共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数Z 满足,12i i Z --=则Z 等于（ ） A.i 31+ B.i -3 C.i 2123-D.i 2123+2.命题“04,2<-+∈∃a ax x R x ”为假命题，是“016≤≤-a ”的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3.设函数()ϕω+=x A x f sin )(（)22,0,0πϕπω<<->≠A 的图像关于直线32π=x 对称，它的周期是π，则（ ） A.)(x f 的图象过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B. )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,12ππ上是减函数 C. )(x f 的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,125πD. )(x f 的最大值是4 4.若1>a ，设函数4)(-+=x a x f x 的零点为,m 4log )(-+=x x x g a的零点为n ，则nm 11+的取值范围是（ ）A.()+∞,5.3B.()+∞,1C. ()+∞,4D. ()+∞,5.45.已知幂函数)(x f y =过点()2,4，令)()1(n f n f a n ++=，+∈N n ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，则n S =10时，n 的值是（ ） A.110 B.120 C.130 D.1406.在ABC ∆中，C ab c b a sin 32222=++，则ABC ∆的形状是（ ） A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形7. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是（ ）A ．[]5,1 B.[]6,2 C.[]10,2 D.[]11,38.已知双曲线12222=-by ax （)0,0>>b a 的右焦点,F 直线cax 2=与其渐近线交于B A , 两点，且ABF ∆为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．()+∞,3 B.()3,1 C.()+∞,2 D. ()2,19. ()()533121xx-⋅+ 的展开式中x 的系数是（ ）A ．4- B.2- C.2 D.411.已知抛物线x y M 4:2=，圆222)1(:r y x N =+-（其中r 为常数，r >0）过点)0,1(的直线l 交圆N 于D C ,两点，交抛物线M 于B A ,两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是（ ）A (]1,0∈r B.(]2,1∈r C.∈r ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,23 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23r 12.在正三棱锥ABC P -中，有一半球，其底面与三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于（ ） A.2 B.32 C.6 D.3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13. .经过原点()0,0做函数233)(x x x f +=的切线，则切线方程为 。
14. 在ABC Rt ∆中，两直角边分别为b a ,。
设h 为斜边上的高，则222111bah+=，由此类比：三棱锥ABC S -中的三条侧棱SC SB SA ,,两两垂直，且长度分别为c b a ,,，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 。
16. 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BC AB CB 2sin cos sin cos =+，则m = 。
（用θ表示） 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知函数)(x f mx x +-=3在()1,0上是增函数 (1)求实数m 的取值集合.A（2）当m 取值集合A 中的最小值时，定义数列{}n a ；满足,31=a 且0>n a ，29)('31-+-=+n n a f a ，求数列{}n a 的通项公式。
（3）若n n na b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：n S 21>19. （本小题满分12分）甲乙两人进行乒乓球对抗赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一个比对方多2分或打满6局时停止。
设甲在每局中获胜的概率为P （)21>P ，且各局胜负相互独立。
已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95。
若图为统计这次比赛的局数n 和甲，乙的总得分数T S ,的程序框图。
其中如果甲获胜则输入.0,1==b a 如果乙获胜，则输入1,0==b a 。
(1) 在右图中，第一，第二两个判断框应分别填写什么条件？ (2)求P 的值。
(3)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数， 求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE 。
20. （本小题满分12分）21. （本小题满分12分）已知函数)(x f =x ax -2 （)0,≠∈a R a ，x x g ln )(= （1）当1=a 时，判断函数)()(x g x f -在定义域上的单调性；（2）若函数)(x f y =与)(x g y =的图像有两个不同的交点N M ,，求a 的取值范围。
（3）设点),(11y x A 和),(22y x B （)21x x <是函数)(x g y =图像上的两点，平行于AB 的切线以),(00y x P 为切点，求证201x x x <<.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 是过点)2,1(-P ，方向向量为)3,1(-=n 的直线，圆方程)3cos(2πθρ+=（1）求直线l 的参数方程（2）设直线l 与圆相交于N M ,两点，求PN PM ⋅的值24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a x x <-+-34，（1）若不等式的解集为空集，求a 的范围。
（2）若不等式有解，求a 的范围。
答案：一选择题1.C2.A3.C4.B5.B6.D7.D8.D9.C10.B11.D12.D 二填空题：13.0490=+=y x y 或 14.22221111cbah++=15.4 16.θsin 三解答题：17.（1）因为函数)(x f 在()1,0上是增函数只需m x x f +-=2'3)(在()1,0满足0)('≥x f 恒成立即m x +-230≥3≥∴m {}3|≥=∴m m A （2） 29)('31-+-=+n n a f a ，∴29)33(321-++--=+n n a a 231-=∴+n n a a 即)1(311-=-∴+n n a a 3111=--∴+n n a a{}1-∴n a 数列是等比数列，首项为211=-a ，公比为3 1321+⋅=∴-n n a（3）由（2）可知n n b n n +⋅⋅=∴-132 令12103...333231-⨯++⨯+⨯+⨯=n n n Tnn n T 3 (33323133)21⨯++⨯+⨯+⨯=两式相减得43)12(1nn n T ⋅-+=212)1(23)12(21>++⋅-+=∴n n n S nn18.令PD 中点为F 。
连接EF ，则可证FABE 为平行四边形。
⎪⎩⎪⎨⎧⊄⊂⇒PAD EF PAD AF AF BE AB EF 面面//// PAD BE 面//⇒（2）在梯形ABCD 中。
可证BD BC ⊥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⊂⊥=⋂⊥PCD PD CD PD CD ABCD PCD ABCDPCD 面面面面面⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥⇒DPD BD BC PD ABCD PD 面⎩⎨⎧⊂⊥⇒PBC BC PDB BC 面面⇒ 面⊥PBD 面PBC81168120951)4()2(1)6(=--==-=-==ξξξP P P所以ξ的分布列为： ξ 2 4 6P9581208116812668116681204952=⨯+⨯+⨯=∴ξE20.(1)()()()(),1,,0,,0,0,22222222210==+-=∴---b ccbFF cb F cb Fc F,122221=-=cb F F 于是,47,432222=+==cb ac 所求“果圆”方程为()().0134,01742222≤=+≥=+x xy x yx（2）由题意得bc a 2>+,即a b ba ->-222，()(),2,22222222a b ba a cb b ->-∴=+> 得54<a b ，又，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∴>∴-=>54,22,21,222222a bab b a cb。
（3）设“果圆”的方程为()(),01;0122222222≤=+≥=+x cx b y x by ax 记平行弦的斜率为k ，当k=0时，直线()b x b t y ≤≤-=与半椭圆()012222≥=+x by ax 的交点是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t b t a P ,122，与半椭圆()012222≤=+x cx by 的交点是Q P t b t c Q ,,,122∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--的中点M （x,y ）满足⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅-=ty b tc a x 2212得122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-by c a x，022222,222≠+-⋅--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴<b c a b c a b c a b a 。
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上。
当k>0时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆()012222≥=+x by ax 的交点是.,22223222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+b a k b b a k b a k b ka 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kaby 22-=上，即不在某一椭圆上，当k<0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上。
（3）由已知：121201x x y y x --=，所以121212120ln x x x x y y x x x -=--=由<-+=)11ln(ln1212x x x x 112-x x ，故11212121201ln x x x x x x x x x x =-->-=同理2212122112211212120)11ln(lnln x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--<-+--=--=-=综上所述得201x x x <<22..证明：因为FG 切⊙O 于点G ，所以FG 2=F B ·FA ，因为E F //CD ，所以∠BEF=∠ECD ，又A ， B ，C ，D 四点共圆，所以∠ECD=∠EAF ，所以∠BEF=∠EAF ，又∠EFA=∠BFE ，所以△EF A ∽△BFE ，所以EFFA FBEF =，即EF 2= F B ·FA ，所以EF 2= GF 2，即EF=FG 。