高二数学苏教版选修2-2课件：第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数
2020-2021学年苏教版数学选修2-2课件：1.2.3 简单复合函数的导数
则直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.
【延伸探究】将本例改为曲线y=f(x)=e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与过点
(2,3)的直线l垂直,求直线l的方程.
【解析】由例题知y在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cos 0-3sin 0)=2, 所以所求直线的斜率为- 1 .
3
【思路导引】分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导.
【解析】(1)因为y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-′·(3x-2)′=6u=18x-12. (2)因为y=ln(6x+4)由函数y=ln u和u=6x+4复合而成,所以
yx′=yu′·ux′=(ln u)′·(6x+4)′=
【思考】 (1)函数y=sin 3x的导函数是y′=cos 3x吗? 提示:不是.y=sin 3x是由两个函数y=sin t,t=3x复合在一起的复合函 数,y′=cos 3x·(3x)′=3cos 3x.
(2)函数y=ln(-x)的导函数与y=ln x的导函数都为y′= 1 吗?
x
提示:结果y′= 是1 正确的.因为y=ln(-x)是由y=ln t和t=-x复合在一起的复
′(=2x2＋co)s u=2cos
3
. (2x＋)
3
【方法技巧】 复合函数求导的步骤
【变式训练】 函数f(x)=(2x+1)5,则f′(0)的值为____________.
【解析】f′(x)=5(2x+1)4·(2x+1)′=10(2x+1)4, 所以f′(0)=10. 答案:10
【补偿训练】 求下列函数的导数. (1)y=cos(2x-1).(2)y=2xe-x. 【解析】(1)y′=-sin(2x-1)·(2x-1)′ =-2sin(2x-1). (2)y′=(2x)′e-x+2x(e-x)′=2e-x-2xe-x.
2020-2021学年苏教版选修2-2 简单复合函数的导数 课件(30张)
如何获得复合函数的求导法则？
如何理解复合函数的求导法则？ 如何运用复合函数的求导法则？
01 简单复合函数的定义 ------研究对象的确定
1.1复合函数的概念
由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数. 如y ln(5x 1)由y ln u及u 5x 1复合而成. y f ( (x))由y f (u)及u (x)复合而成.
2.1法则猜想
思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律. (2) y (3x 1)2, y 6(3x 1) (4) y sin 2x, y 2 cos 2x
2.1法则猜想
思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律. (2) y (3x 1)2由y u2及u=3x 1复合而成,yu 2u,ux 3
1 u
,
ux
2, yu ux
2, u
又y
ln(2x)= ln x ln 2, yx
1 x
yu ux符合猜想.
2.3法则论证
对于y (3x 1)2, yu u2,ux 3x 1 yx 6(3x 1)，yu 2u,ux 3
考察特殊的位置：x 1时，u 2 思考：此时yx 12，yu 4,ux 3分别代表什么含义？
15 u
5 5x 1
(2) y cos(1 2x)可由y cos u及u 1 2x复合而成，从而
yx yu ( 2) (cos u) ( 2) sin u ( 2) 2sin(1 2x)
3.2能求导，现在更简单的
例2：求下列函数的导数
(1) y (2x 3)3
(2) y 1 3x 1
(1) y (2x 3)3可由y u3及u 2x 3复合而成，从而
yx (2) y
yx
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2
判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的 主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也 都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而 得到的函数．
1.指出下列函数的复合关系： (1)y＝cos( 3x＋1)；(2)y＝e3x2＋2；(3)y＝(1＋15x)3.
第1章 导数及其应用
1.2.3 简单复合函数的导数
第1章 导数及其应用
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如 f(ax＋b)的导数)．
1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．如 y＝sin 2x 由 y＝sin u 及 u＝_2_x__复合而成． 2．复合函数的求导法则 若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝__y_u_′·_u_x_′ _____，即 yx′＝___y_u_′·_a___． 其中 yx′，yu′分别表示 y 关于 _x__的导数及 y 关于_u__的导数．
1．函数 y＝(3x－2)2 的导数 y′＝________． 解析：y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)． 答案：18x－12
2．若 f(x)＝sin3x＋π4，则 f′π4＝________． 解析：f′(x)＝3cos3x＋π4，所以 f′π4＝－3. 答案：－3
3．设曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________． 解析：由题意知 y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2. 答案：2
(2)设 y＝cos u，u＝53π－7x.
高中数学苏教版选修2-2第一章1.2.3复合函数的导数课件(共16张PPT)
不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 一份信心，一份努力，一份成功；十分信心，十分努力，十分成功。 过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件 事，让生命的每一天都有滋有味。 过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件 事，让生命的每一天都有滋有味。 凡过于把幸运之事归功于自我的聪明和智谋的人多半是结局很不幸的。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 给自己一片没有退路的悬崖，就是给自己一个向生命高地冲锋的机会。 没有不会做的事，只有不想做的事。 家！甜蜜的家！！天下最美好的莫过于家！ 学做任何事得按部就班，急不得。 要想成为强乾，决不能绕过挡道的荆棘也不能回避风雨的冲刷。 只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 志坚者，功名之柱也。登山不以艰险而止，则必臻乎峻岭。 为了向别人、向世界证明自己而努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 没有所谓失败，除非你不再尝试。 婚姻的最大杀手不是外遇或出轨，而是一地鸡毛的生活琐事。所以，平时的沟通很重要，而吵架也是另类的沟通，正所谓吵吵闹闹一辈子， 不吵不闹难白首！ 只有坚持才能获得最后的成功。
x
1
f
x
3x
2
6
27 x2
2
f
x
exx x2
ex
高中数学第一章导数及其应用1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2-2
[f(x)·g(x)]′＝__f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)g__′(_x_) _____
商的导数
f′xgx－fxg′x
gfxx′＝
g2x
(g(x)≠0)
判断正误： (1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( ) (2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( ) (3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.( )
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分． 2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公 式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求 导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
求简单复合函数的导数
求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. 【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
阶
阶
段段Biblioteka 一三1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1.2.3 简单复合函数的导数
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点) 2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(难点) 3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点)
[基础·初探] 教材整理1 导数的四则运算法则 阅读教材P21，完成下列问题．
1．导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数 差的导数
【同步课堂】苏教版高中数学选修2-2第一章《常见函数的导数》课件(共17张PPT)
解题感悟
（1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况： ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数
值． ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率
公式进行求解． （2）求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤
五、课堂小结
1.本节课我们利用导数的定义求解了函数:y＝kx＋b，y＝x2，y＝x3， y＝1x , y＝ x 的导数，加深了对导数概念的理解；
例 3 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝log2x2－log2x；
(2)f(x)＝2x2x＋1－2x；
(3)f(x)＝－2sinx22sin2x4－1；
(4)f(x)＝(1－
x)1＋
1
＋
x
x.
解题感悟
解:
(4)因为 f(x)＝(1－ x)1＋ 1x＋ x
＝1－
x＋ 1x－1＋
1 x＝x－2.
3 所以 f ′(x)＝x－12′＝－21x－2＝－2xx2.
即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
例 5（2）已知点 P(－1，1)，点 Q(2，4)是曲线 y＝x2 上的两点， 求与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
(2)因为 y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线 PQ 的斜率为 k＝42－＋11＝1，而切线平行于直线 PQ， 所以 k＝2x0＝1，即 x0＝12，所以切点为 M12，14. 所以所求的切线方程为 y－14＝x－12， 即 4x－4y－1＝0.
解：(1)y′＝(x12)′＝12x11；
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45；
(3)y′＝x35′＝53x32＝533 x2；
苏教版高中数学选修(2-2)课件：1.2.1常见函数的导数
A = f ⅱ(x0 ) = f (x) x=x0
注：①Δx表示自变量x的改变量;Δy表示相应函数y的改变量，
②符号“→”表示“无限趋近于”
符号表示：当Δx→0时，yx
f (x0 x) x
f (x0 ) A
复习回顾：
2.导数的f 几(x0何) 意义： 曲线y=f(x)在点处P(的x0切, f线(x的0 ))斜率，如下图
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1.2导数的运算
1.2.1常见函数的导数
盘湾中学高二数学备Байду номын сангаас组
复习回顾：
1.定义：设函数y=f(x)在区间（a,b）上有定义，x0 (a,b)
求x=x0时的瞬时变化率(导数)
若Δx无限趋近于0，比值无y 限f 趋(x0近 于x)一 f个(x常0 ) 数A,则称f(x)在 x=x0处可导，并称该常数A为x 函数y=f(xx)在x=x0处的导数,记作：
①y x2; ②y x3; ③y 1 ; ④y x x
追问1:求上四个函数是什么函数？
追问2:根据以上四个幂函数的导数，猜想幂函数 y x (为常数)
的导数？
①f (x) 2x;②f (x) 3x2;
③f
( x)
1 x2
x2; ④f (x)
1 2x
P x0
复习回顾：
3.要切实掌握求导数的三个步骤： (1)求函数的增量；(2)算平均变化率；(3)找逼近,得导数。
口诀：一差；二商；三逼近
问题1:求函数的y 导k数x b(k,b是常数）
口诀：
一差；
二商； 三逼近
y f (x x) f (x)
高中数学苏教版选修2-2第1章《导数及其应用》(1.1.2(二 ))ppt课件
f′(x0)是函数 f(x)的导函数 f′(x)当 x 取 x0 时的函数值.
1.1.2(二)
1.导数：设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，
本 课 时
当 Δx 无限趋近于 0 时，比值ΔΔxy＝
fx0＋Δx－fx0
Δx
无限趋近
栏 目
于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称常数 A 为函
1.1.2(二)
1.1.2 瞬时变化率——导数(二)
【学习要求】
本 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义和极限形式的
课 时
意义，并掌握导数的几何意义.
栏 2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义.
目
开 【学法指导】
关
导数就是瞬时变化率，理解导数概念可以结合曲线切线的斜
率，结合瞬时速度，瞬时加速度；函数 f(x)在一点处的导数
目 开
线的斜率.
关
1.1.2(二)
例 1 利用定义求函数 f(x)＝－x2＋3x 在 x＝2 处的导数.
解 ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2
本 课
＝－(Δx)2－Δx.
时
栏 目 开
∴ΔΔyx＝－Δx－1，
关
当 Δx→0 时，ΔΔyx→－1，
∴f′(2)＝－1.
目 开
处的函数值.
关 3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线为 y－y0＝f′(x0)(x－x0).
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章_1.2_1.2.3_简单复合函数的导数
1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2. 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1] (1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e－0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e －0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2.[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x ，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x . 答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________． 解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3 3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x .(2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4， ∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－x sin(2x －1)； (2)y ＝ln (2x －1)2x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x )′sin(2x －1)＋31－x ·[sin(2x －1)]′ ＝－31－x ln 3·sin(2x －1)＋31－x ·2cos(2x －1) ＝31－x [2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln (2x －1)]′·2x －1－ln (2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln (2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln (2x －1)2x －12x －1＝2－ln (2x －1)(2x －1)·2x －1 .[一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )． 解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－xx 22x －1 .(2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] 已知函数f (x )处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨] 求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14 相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是________． 解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4， 即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )． (1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x ， ∴y ′＝(e －x )′＝－e －x ， ∴y ′|x ＝t ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )， 即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)． ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. 答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的导数为________． 解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x2sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x 2′sin 4x ＋⎝⎛⎭⎫－x2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a， 则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝5log 2(2x ＋1)；(2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝⎛⎭⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))， a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1) ＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。
苏教版高中数学选修2-2课件 1.2.1 常见函数的导数课件1
π 6＝
23为常数，其导数为
达 标
课
前 自
0.
主
导
学
2．如何利用(ln x)′推出(logax)′？
课 时 作 业
课
【提示】 (logax)′＝(llnn ax)′＝ln1a(ln x)′＝ln1a·
教
堂
师
互 动 探 究
1x＝x·l1n a.
备 课 资 源
菜单
SJ·数学 选修 2-2
教
易
学
错
教
法
原函数
教
易
学
错
教 法 分 析
2．你能结合 x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2 及(x12)′＝12
易 误 辨 析
教 学 方
x－12归纳出 f(x)＝xn 的导数有怎样的规律吗？
当 堂 双
案 设
【提示】 f′(x)＝(xn)′＝nxn－1.
基 达
计
1．(kx＋b)′＝_k_ (k，b 为常数)，特别地 c′＝0(c 为常数)． 标
1．函数 y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
当 堂
方
双
案 设
【提示】
当 k＞0 时，函数增加的快慢与系数 k 有关，
基 达
计
标
k 越大，增加的越快．
课
前 自 主 导 学
当 k＜0 时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数 减少的越快．
课 时 作 业
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
SJ·数学 选修 2-2
④(－ 1x)′＝2x1 x .
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数 Word版含解析
1．2.3简单复合函数的导数[对应学生用书]已知函数()＝，()＝(＋).问题：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题：试说明()＝(＋)是如何复合的？提示：函数()＝(＋)是由()＝，＝＋复合而成的．问题：试求()＝(＋)，()＝，＝＋的导数．提示：′()＝[(＋)]′＝[＋＋]′＝＋′()＝，′＝.问题：观察问题中导数有何关系？提示：′()＝′()·′.若＝()，＝＋，则′＝′·′，即′＝′·.．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量．．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量的基本函数或关于自变量的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[例]()＝；()＝－＋；()＝(ω＋φ)(其中ω、φ为常数)；()＝(－)．[思路点拨]先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析]()＝＝(＋)－是函数＝－，＝＋的复合函数，所以′＝′·′＝(－)′·(＋)′＝－－·＝－－＝－(＋)－.()＝－＋是函数＝，＝－＋的复合函数，所以′＝′·′＝()′·(－＋)′＝－＝－－＋.()＝(ω＋φ)是＝，＝ω＋φ的复合函数，所以′＝′·′＝( )′·(ω＋φ)′＝－ ·ω＝－ω(ω＋φ)．()＝(－)是＝，＝－的复合函数，所以′＝′·′＝()′·(－)′＝－·)＝)＝).[一点通]对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：()弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；()利用求导法则分层求导；()最终结果要将中间变量换成自变量．．若函数()＝，则′()＝.解析：()＝是()＝与＝的复合函数，所以′＝′·′＝( )′·′＝·＝－.答案：－．函数＝＋的导数为．解析：′＝(＋)′＝()′＋( )′＝＋·＝＋· .答案：＋·．求下列函数的导数：()＝＋；()＝.解：()＝，＝＋，所以′＝′·′＝·(＋)′＝·(＋)＝(＋)＋.()∵＝＝(－)－，∴可设＝－，＝－，∵′＝－－，′＝－，∴′＝′·′＝－－×(－)＝(－)－.。
苏教版高中数学选修2-2《简单复合函数的导数》教学课件2
例1.求下列函数的导数. (1)y=(2x－3)3 (2)y=ln(5x+1)
解 : (1) y 3(2x 3)2 (2x 3) 6(2x 3)2
(2) y= 1 (5x 1) 5
5x 1
5x 1
求下列函数的导数.
(1)y=cos(1－2x) (2)y=(1－3x)－4
l : y 1 3(x ).
6
2.是否存在直线l,使得l与曲线C1:y＝x2, C2:y＝ －(x－2)2都相切,若存在求直线l的方程,若不 存在,试说明理由.
解.假设存在:设C1切点为(x1,x12),C2切点为(x2, －(x－2)2).
2x1 2(x2 x12 (x2 2)2
结论:
若y=f(u),u=ax+b,则yx =yu ·ux 即 yx =yu ·a.
基本初等函数求导公式:
(1)(x )' x 1(为常数）
(2)(ax )' axlna(a 0,且a 1)
(ex )' ex
(3)(log a x)'
1 x
log ae
1 xlna
(a
0, 且a
1)
(lnx)' 1 x
(4)(sinx)' cosx (cosx)' sinx
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 (x)
其中g(x) 0
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备1.2.3简单复合函数的导数
1.2.3 简单复合函数的导数知识梳理1.一个函数可以写成y=f ［φ(x)］,即y=f(u)，u=φ(x)的形式，则称其为_____________.2.函数u=φ(x)在点x 处有导数u′x =φ′(x)，函数y=f(u)在点x 的_____________u 处有导数y′u =f′(u)，则复合函数y=f ［φ(x)］在点x 处有导数，即_____________或写成_____________. 知识导学要学好本节内容,需弄清几个基本概念,如:复合函数、中间变量,同时对基本公式的记忆要熟,即“熟能生巧”.对复合函数的求导要注意中间变量的选取要适当.另外要搞清每一步是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆.新课标要求能求简单的复合函数〔仅限于形如f(ax+b)〕的导数.疑难突破对于复合函数求导,一定要理清中间的复合关系.本节难点是对复合函数求导.剖析：中间变量应选择简单初等函数,判断一个函数是否是简单初等函数的标准是:存在求导公式则直接求导,弄清各分解函数中应对哪个变量求导,对一个函数的复合关系的分解予以足够的重视,要用换元的思想及基本初等函数的观点来理解复合关系,理解复合函数的概念. 典题精讲【例1】 求下列函数的导数.(1)y=(2x 3-x+x 1)4; (2)y=2211x -;(3)y=sin 2(2x+3π); (4)y=x(x-x1)100. 思路分析：选择中间变量是复合函数求导的关键,必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量的式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏.而其中特别要注意中间变量的系数,求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.解:(1)解法一:设u=2x 3-x+x1,y=u 4, 则y′x =y′u ·u′x =4u 3·(6x 2-1-21x) =4(2x 3-x+x 1)3(6x 2-21x-1). 解法二：y′=［(2x 3-x+x1)4］′ =4(2x 3-x+x 1)3·(2x 3-x+x1)′ =4(2x 3-x+x 1)3(6x 2-1-21x ). (2)解法一：设y′=21-u ,u=1-2x 2，则y′x =y′u ·u′x =(2321--u )·(-4x) =232)21(21---x ·(-4x) =2223221)21(2)21(2x x x x x --=--. 解法二：y′=(2211x-)′=［212)21(--x ］′ =232)21(21---x ·(1-2x 2)′ =232)21(21---x ·(-4x) =2223221)21(2)21(2x x xx x --=--.(3)解法一：设y=u 2,u=sinv,v=2x+3π,则 y′x =y′u ·u′v ·v′x =2u·cosv·2=2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·2=2sin(4x+32π). 解法二：y′=［sin 2(2x+3π)］′ =2sin(2x+3π)·［sin(2x+3π)］′ =2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·(2x+3π)′ =2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·2 =2sin(4x+32π). (4)解：y′=［x(x-x1)100］′ =x′(x -x 1)100+x ［(x-x1)100］′ =(x-x 1)100+x·100(x-x 1)99·(x-x1)′ =(x-x 1)100+x·100(x-11x )99·(1+21x ). 绿色通道：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算.复合函数的求导法则，通常称为链条法则.变式训练：求下列函数的导数.(1)y=(2x-1)5; (2)y=32c bx ax ++; (3)y=5)21(1x -. 解:(1)设u=2x-1,则y=u 5.∴y′x =y′u ·u′x =5u 4·(2x-1)′=5(2x -1)4·2=10(2x-1)4(2)设u=ax 2+bx+c,则y=31u .∴y′x =y′u ·u′x =)(3)2()2()(31223322c bx ax c bx ax b ax b ax c bx ax +++++=+++- (3)方法一：u=1-2x,y=u -5,y′x =y′u ·u′x =-5u -6·(-2)=10(1-2x)-6.方法二：∵y=55)211()21(1x x -=-, 令y=u 5,u=v1,v=1-2x. y′x =y′u ·u′v ·v′x =5u 4·(-v -2)·(-2) =10(v1)4·v -2=100-6=10(1-2x)-6. 【例2】 已知f(x)=xlog a (x 2+x-2),求f′(x).思路分析：函数y=log a (x 2+x-2)是由y=log a u 与u=x 2+x-2复合而成的,根据复合函数的求导步骤进行求导.解:f′(x)=log a (x 2+x-2)+x·212-+x x ·log a e·(2x+1) =log a (x 2+x-2)+2log )12(2-+•+x x e x x a . 绿色通道：求复合函数的导数，关键要分清此函数是由哪几个初等函数复合而成的，然后根据求复合函数导数的法则进行求导即可.变式训练：已知f(x)=)(log log x aa ,求f′(x).解：y=log a u,u=log a x, ∴f′(x)=y′u ·u′x =u 1·log a e·x 1log a e=xx e a a log log 2•. 【例3】 求下列函数的导数.(1)y=bx ax e +-2;(2)y=21sin 32x x x +-.思路分析：在公式(log a x)′=ax e x a ln 1log 1=与(a x )′=a x ·lna 中，求导后的系数很容易混淆，要注意掌握公式.并通过比较加以记忆.解：(1)y′=2ax e-+bx·(-2ax+b) =(-2ax+b)·bxax e+-. (2)y′=x x x x x x x x x x 23ln 32ln 1cos 2123ln 3)1(1cos 2ln 21sin 221sin +•-•••-=+•--••• 绿色通道：复合函数求导是一个连锁求导过程，每次选择中间变量都根据问题的具体特点及基本导数公式为准，达到可以直接求导为止.变式训练：(1)f(x)=x 2sin 1ln +;(2)f(x)=cos 2(x ex 21+). 解：(1)f′(x)=x x x x 2222sin 121sin 11)'sin 1(sin 11+•+=++(1+sin 2x)′ =22)sin 1(21x +·2sinx·cosx=)sin 1(22sin 2x x +. (2)f′(x)=［cos 2(x e x 21+)］′=2cos(x e x 21+)·(cos x ex 21+)′ =2cos(x e x 21+)［-sin(x e x 21+)］·(xe x 21+)′ =2cos(x e x 21+)［-sin(x e x 21+)］·［x x x x ee x e e x 2222)')(1()'1(+-+］ =-sin2(x e x 21+)·xxx e e x xe 22)1(2•+- =x x ex x e x 2212)1(2sin --•+-. 问题探究问题：请思考如何利用导数进行求和.1.S n =1+2x+3x 2+…+nx n-1(x≠0,n ∈N *);2.S n =32132n n n C C C +++…+n n n C (n ∈N *).导思：1.一般很容易想到通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决，转换思维角度.由求导公式(x n )=nx n-1可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和.利用导数运算,可使问题解法更加简捷.2.通过对数列的通项进行联想,合理运用了逆向思维的方法,从而激发了思维的灵活性,使数列的求和问题得到解决,其关键是抓住了数列通项的形式结构,这也有助于培养善于联想的好习惯.探究：1.当x=1时,S n =1+2+3+…+n=21n(n+1);当x≠1时，x+x 2+x 3+…+x n =x x x n --+11两边都是对关于x 的函数求导数.(x+x 2+x 3+…+x n )′=(xx x n --+11)′, 即S n =1+2x+3x 2+…+nx n-1=21)1()1(1x nx x n n n -++--. 2.(1+x)n =1+221x C x C n n ++…+n nn C x n-1,令x=1,得n·2n-1=n n n n n nC C C C ++++ 32132,即S n =32132n n n C C C +++…+n n n C =n·2n-1.。
高中数学苏教版选修2-2第1章《导数及其应用》(1.2.3)ppt课件
＝
1
1－2x
1－2x.
1.2.3
(3)原函数可看作 y＝sin u，u＝－2x＋π3的复合函数，
则 yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋π3)
＝－2cos(2x－π3).
本
课 时
(4)原函数可看作 y＝10u，u＝2x＋3 的复合函数，则 yx′＝
栏 目
yu′·ux′＝102x＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x＋3.
本
解
(1)函数 y＝ln
1 x
可以看成函数 y＝ln u 和函数 u＝1x的复
课 合函数.
时
栏 目 开
∴yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(1x)′＝1u·(－x12)＝－1x.
关
(2)函数 y＝e3x 可以看成函数 y＝eu 和函数 u＝3x 的复合函数.
∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(3x)′＝3eu＝3e3x. (3)函数 y＝5log2(2x＋1)可以看成函数 y＝5log2u 和函数 u＝ 2x＋1 的复合函数.
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
1.2.3
1.2.3 简单复合函数的导数
【学习要求】
本 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
课 时
苏教版高中数学选修2-2课件 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数课件2
巧 当
堂
方 案
1.若 a＝2，求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．
双 基
设
达
计
标
【思路探究】 可利用复合函数求导法则对已知函数解
课
前 自 主 导 学
析式求导，得点(0，f(0))处切线的斜率，进而求曲线的切线 方程．
课 时 作 业
菜单
SJ·数学 选修 2-2
教
思
学
想
教
方
法
法
分
技
析
巧
教
求下列函数的导数：
当
学
方 案
(1)y＝sin(2x－1)；(2)y＝x·e2x＋1.
堂 双 基
设 计
【解】 (1)y＝sin(2x－1)由 y＝sin u 与 u＝2x－1 复合
达 标
课 前
而成，
自
主 导
∴y′x＝(sin u)′·(2x－1)′＝2cos u＝2cos(2x－1)．
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 选修 2-2
教
思
学
想
教
方
法
法
分
技
析
巧
教
当
学 方 案
1.理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数 课
堂 双 基
设 计
的导数(重点)． 标
达 标
课
2．能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合
前解
自 主
函数)的导数(难点)．
前 自 主 导 学
合函数求导公式后，应引导学生分析对比乘、除法则的区别 联系，充分借助特例检验运算法则和复合求导公式，加深对
高二数学苏教版选修2-2：第1章 1.2 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
联系及其规律．
(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等 变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的 形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分 数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．
1．若 f(x)＝13x3＋2x＋1，则 f′(－1)＝________. 解析：f′(x)＝13x3＋2x＋1′＝13x3′＋(2x)′＋1′ ＝x2＋2， 所以 f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.
求函数的导数
[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝coxs x； (4)y＝xtan x. [思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则 运算法则直接求导．
[精解详析] (1)y′＝(x2＋log3x)′
＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋xln1 3.
法二：f(x)的导数 f′(x)＝a－a1x2＝a2xa2x－2 1， 当 x>1a时，f′(x)>0，f(x)在1a，＋∞上单调递增； 当 0<x<1a时，f′(x)<0，f(x)在0，1a上单调递减． 所以当 x＝1a时，f(x)取最小值为 2＋b.
(2)由题设知，f′(x)＝a－a1x2，f′(1)＝a－1a＝32， 解得 a＝2 或 a＝－12(不合题意，舍去)． 将 a＝2 代入 f(1)＝a＋1a＋b＝32， 解得 b＝－1.所以 a＝2，b＝－1.
解析：f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1. ∵f′(x0)＝2，∴1＋ln x0＝2， ∴x0＝e.
答案：e
3．函数 f(x)＝excos x，x∈[0,2π]，且 f′(x0)＝0，则 x0＝ ________. 解析：f′(x)＝excos x－exsin x， 由 f′(x0)＝0，得 ex0cos x0－ex0sin x0＝0， ∴cos x0＝sin x0，即 tan x0＝1. 又∵x0∈[0,2π]，∴x0＝π4或54π. 答案：π4或54π
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7．已知函数 f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2.求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程． 解：f′(x)＝1＋1 x－1＋2x. 由于 f(1)＝ln 2，f′(1)＝32， 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－ln 2＝32(x－1)， 即 3x－2y＋2ln 2－3＝0.
1.2
1.2.3
简
第单
1
复
章
合 函
数
的
导
数
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二 考点三
1.2
导数的运算
1．2.3 简单复合函数的导数
已知函数 f(x)＝sin2x＋π6，g(x)＝(3x＋2)2. 问题 1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．
问题 2：试说明 g(x)＝(3x＋2)2 是如何复合的？ 提示：函数 g(x)＝(3x＋2)2 是由 g(u)＝u2，u＝3x＋2 复合而成的．
＝31－x[2cos(2x－1)－sin(2x－1)·ln 3]．
(2)y′＝[ln2x－1]′·
2x－1－ln2x－1· 2x－12
2x－1′
2 ＝
2x2－x－1 1－ln2x－1·122x－1－12·2 2 2x－1
＝22x－－l1n·2x2－x－11 .
(3)y＝cos(ωx＋φ)是 y＝cos u，u＝ωx＋φ 的复合函数， 所以 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(ωx＋φ)′ ＝－sin u·ω＝－ωsin(ωx＋φ)． (4)y＝log2(5－3x)是 y＝log2u，u＝5－3x 的复合函数， 所以 y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′·(5－3x)′＝－3·ul1n 2 ＝5－－3x3ln 2＝3x－35ln 2. [一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为 “分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合 函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量．
问题 3：试求 g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x ＋2 的导数．
提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋ 12.g′(u)＝2u，u′＝3.
问题 4：观察问题 3 中导数有何关系？ 提示：g′(x)＝g′(u)·u′.
若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 y′x＝ y′u·u′x ，即 y′x ＝ y′u·a .
复合函数的求导
[例 1] 求下列函数的导数． (1)y＝ 2x1＋33； (2)y＝e－0.05x＋1； (3)y＝cos(ωx＋φ)(其中 ω、φ 为常数)； (4)y＝log2(5－3x)． [思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间 变量，利用复合函数的求导法则求解．
[精解详析] (1)y＝ 2x1＋33＝(2x＋3)－32是函数 y＝ u－32，u＝2x＋3 的复合函数，
解析：y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2·cos x3. 答案：3sin2xcos x＋3x2·cos x3
3．求下列函数的导数： (1)y＝e2x2＋3x；(2)y＝1－13x4. 解：(1)y＝eu，u＝2x2＋3x， 所以 y′x＝y′u·u′x＝eu·(2x2＋3x)′ ＝eu·(4x＋3)＝(4x＋3)e2x2＋3x. (2)∵y＝1－13x4＝(1－3x)－4， ∴可设 y＝u－4，u＝1－3x， ∵y′u＝－4u－5，u′x＝－3， ∴y′x＝y′u·u′x＝－4u－5×(－3)＝12(1－3x)－5.
7．求
y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点－12，ln
2处切线的倾
斜角．
解：令 y＝ln u，u＝2x＋3，则 y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x＋3)′＝u1·2＝2x2＋3.
当 x＝－12时，y′＝3－2 1＝1，
即在－12，ln
2处切线的倾斜角的正切值为
1，
二、解答题 6．求下列函数的导数．
(1)y＝5log2(2x＋1)； (2)y＝cos(53π－7x)； (3)y＝(2x－1)5. 解：(1)设 y＝log2u，u＝2x＋1. 则 y′＝y′u·u′x＝ul5n 2×2＝ul1n02＝2x＋110ln 2. (2)设 y＝cos u，u＝53π－7x. 则 y′＝y′u·u′x＝－sin u×(－7)＝7sin53π－7x. (3)设 y＝u5，u＝2x－1， 则 y′＝y′u·u′x＝5u4×2＝10u4＝10(2x－1)4.
＝14相切，求 a 的值．
[思路点拨]
求函数fx的导数
→
求f′1得切 线l的斜率
→
写出直线l的 点斜式方程
→
由l与圆C相切列方程
→
解方程求a
.
[精解详析] ∵f′(x)＝a(x2)′＋2·2－1 x·(2－x)′ ＝2ax－2－2 x， ∴f′(1)＝2a－2，又 f(1)＝a＋2ln 1＝a， ∴切线 l 的方程为 y－a＝2(a－1)(x－1)， 即 2(a－1)x－y－a＋2＝0. ∵直线 l 与圆 C：x2＋y2＝14 相切， ∴圆心(0,0)到直线 l 的距离为12， 所以有 4a|2－－1a|2＋1＝12，解得 a＝181. ∴a 的值为181.
1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系， 选好中间变量．
2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化 简再求导会更简单．
3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分 析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层 的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析， 最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本 函数经过有限次四则运算而得到的函数．
8．已知 A(1，f′(x))是函数 y＝f(x)的导函数图象上的一点，
点 B 的坐标为(x，ln(2－x))，向量 a＝(1,1)，设 f(x)＝ AB·a， 试求函数 y＝f(x)的表达式． 解：∵ AB＝(x，ln(2－x))－(1，f′(1)) ＝(x－1，ln(2－x)－f′(1))， a＝(1,1)， ∴f(x)＝ AB·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1) ＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1 ∴f′(x)＝2－1 x·(2－x)′＋1＝x－1 2＋1， ∴f′(1)＝0， ∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.
5．已知直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切，则 a 的值为 ________． 解析：设切点为(x0，y0)，则 y0＝x0＋1， 且 y0＝ln(x0＋a)，所以 x0＋1＝ln(x0＋a)① 对 y＝ln(x＋a)求导得 y′＝x＋1 a， 则x0＋1 a＝1，x0＋a＝1，② 由①②可得 x0＝－1，所以 a＝2. 答案：2
1．若函数 f(x)＝ln1x，则 f′(x)＝________. 解析：f(x)＝ln1x是 f(u)＝ln u 与 u＝1x的复合函数， 所以 y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·1x′ ＝u1·－x12＝－1x.
答案：－1x
2．函数 y＝sin3x＋sin x3 的导数为________．
[一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的 方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点 可帮助我们分析函数结构．
(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用 代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法 则，明确求导过程的目的．
4．若函数 f(x)＝xcos 2x，则 f′(x)＝________.
[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数 类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导 数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程 的求法的综合应用．
6．函数 y＝cos 2x 在点π4，0处的切线方程是________．
解析：∵y′＝－2sin 2x，∴k＝－2sinπ2＝－2. ∴切线方程为 y－0＝－2x－π4， 即 2x＋y－π2＝0. 答案：2x＋y－π2＝0
解析：f′(x)＝x′cos 2x＋x(cos 2x)′ ＝cos 2x－2xsin 2x. 答案：cos 2x－2xsin 2x
5．求下列函数的导数： (1)y＝ 2xx－1；(2)y＝12sin2(1－x)．
解：(1)y′＝
2x－1′x－ x2
2x－1·x′
＝
2xx－1－ x2
2x－1
＝x2
(2)令 y＝0 得 x＝t＋1. 令 x＝0 得 y＝e－t(t＋1)． ∴S(t)＝12(t＋1)·e－t(t＋1) ＝12(t＋1)2e－t(t≥0)．
求复合函数导数的技巧及注意点 (1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合 函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中 间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．
求导法则的综合应用
[例 2] 求下列函数的导数． (1)y＝31－xsin(2x－1)； (2)y＝ln22xx－－11. [思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导 公式求解．
[精解详析] (1)y′＝(31－x)′sin(2x－1)＋31－x·[sin(2x－1)]′
＝－31－xln 3·sin(2x－1)＋31－x·2cos(2x－1)
答案：2
4．函数 y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2的导数为________． 解析：∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝x2sin(4x＋π)＝－x2sin 4x， ∴y′＝－x2′sin 4x＋－x2·(sin 4x)′ ＝－12sin 4x－2xcos 4x. 答案：－12sin 4x－2xcos 4x
所以 y′x＝y′u·u′x＝(u－32)′·(2x＋3)′ ＝－32u－52·2＝－3u－52＝－3(2x＋3)－25. (2)y＝e－0.05x＋1 是函数 y＝eu，u＝－0.05x＋1 的复合函 数，所以 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′ ＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1.