九年级上册第一章_一元二次方程复习课课件
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九年级数学中考复习课件：专题一元二次方程
一元二次方程复习
知识 结构 一般情势 ax2+bx+c=0（a≠0）
一 元 二 次 方
解法
直接开平方法 (x a)2 bb 0
配方法 公式法
x2
bx
b 2
2
x
b 2 2
cc
0
x b b2 4ac 0
2a
因式分解法 (x a)(x b) 0
程
根的判别式： b2 4ac
（2）3x²- y -1=0
（4）x
+
1 x
=0
例2：已知方程 2x m 1 2x 3 是关于x的一
元二次方程，则m=__________
【变式训练】
关于x的方程(a 1) xa2 2a1 x 5 0
是一元二次方程，则a=__________
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法 2. 配方法
根与系数的关系：x1
x2
b a
,
x1
x2
c a
应用 实际应用
思想方法 转化思想；整体思想;配方法、换元法
判断是否是一元二次方程的条件： 一元、二次、整式方程
ax2+bx+c=0：是一元二次方程的条件： a≠0
例：1、判断下列方程是不是一元二次方程
（1）4x- 1 x²+
2
3 =0
（3）ax²+ｂx+c=0
关键：方程的两边同时加上一次项系数一半的平方 注意：如果二次项系数不是1的要先把二次项系数转化为1
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法
2. 配方法 3. 公式法
基本步骤：
x= -b b2 4ac（b2 4ac 0） 2a
知识 结构 一般情势 ax2+bx+c=0（a≠0）
一 元 二 次 方
解法
直接开平方法 (x a)2 bb 0
配方法 公式法
x2
bx
b 2
2
x
b 2 2
cc
0
x b b2 4ac 0
2a
因式分解法 (x a)(x b) 0
程
根的判别式： b2 4ac
（2）3x²- y -1=0
（4）x
+
1 x
=0
例2：已知方程 2x m 1 2x 3 是关于x的一
元二次方程，则m=__________
【变式训练】
关于x的方程(a 1) xa2 2a1 x 5 0
是一元二次方程，则a=__________
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法 2. 配方法
根与系数的关系：x1
x2
b a
,
x1
x2
c a
应用 实际应用
思想方法 转化思想；整体思想;配方法、换元法
判断是否是一元二次方程的条件： 一元、二次、整式方程
ax2+bx+c=0：是一元二次方程的条件： a≠0
例：1、判断下列方程是不是一元二次方程
（1）4x- 1 x²+
2
3 =0
（3）ax²+ｂx+c=0
关键：方程的两边同时加上一次项系数一半的平方 注意：如果二次项系数不是1的要先把二次项系数转化为1
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法
2. 配方法 3. 公式法
基本步骤：
x= -b b2 4ac（b2 4ac 0） 2a
好人教版九年级上数学《一元二次方程》复习课件
解题思路与方法：总结一元 二次方程在几何问题中的解 题思路和方法，如代数法、 几何法等
注意事项：强调解一元二次方 程时需要注意的事项，如判别 式的使用、根的取舍等
05
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的判别式
判别式的定义：Δ=b²-4ac 判别式的意义：判断一元二次方程的根的情况 判别式的应用：解决与一元二次方程相关的问题 判别式的拓展：了解其他类型的二次方程的判别式
03
一元二次方程的解 法
直接开平方法
定义：对于形如$x^2=a$（其中a为非负实数）的一元二次方程，可以通过直接开平方的方法 求解。
适用范围：适用于形如$x^2=a$的一元二次方程，其中a为非负实数。
解法步骤：首先确定方程的形式，然后根据平方根的定义，取方程两边的平方根，得到 $x=\pm\sqrt{a}$。
实际应用：一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如求解利润最大化、最短路径等问题
解题步骤：首先将实际问题转化为数学模型，然后利用一元二次方程的解法求解，最后将答案 回归实际问题
注意事项：在解决实际问题时，需要注意问题的实际情况和约束条件，避免出现不符合实际情 况的解
代数问题中的一元二次方程
一元二次方程的根与对称轴和顶点之间的关系
添加标题
一元二次方程的对称轴：一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其对称轴为x=-b/2a。
添加标题
一元二次方程的顶点：对于一般形式的一元二次方程，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
添加标题
一元二次方程的根与对称轴和顶点之间的关系：一元二次方程的根与对称轴和顶点之间存在密 切关系。当方程有两个实数根时，这两个根关于对称轴对称；当方程有一个实数根时，顶点就 是该根；当方程没有实数根时，顶点在x轴上方或下方。
一元二次方程复习课件
化成A B 0 A 0或B 0
适合任何一个一元二次方程
4.公
式
法
化成一般形式ax2 bx c 0
a 0
b 2 4ac 2a
当b 2 4ac 0时,x
一元二次方程的应用
b
一般形式的方程，方法的选取
ax2+c=0
ax2+bx=0
====> 直接开平方法
解一元二次方程方法的选择顺序
1.首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分 解法” 等简单方法，
2.若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
一元二次方程及其解法复习
知识要点说一说
1.方程两边都是整式 一元二次方程的定义 2.只含有一个未知数 ax²+bx+c=0（a0） 3.未知数的最高次数是2
2 1.直接开平方法 适合解(x+a) b b 0
一 元 2.配 方 法 二 次 一元二次方程的解法 3.因式分解法 方 程
a=1,b为偶2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
因式分解的一般步骤
一移--方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解 ; .
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④ x2-4x=6 ⑤ 2x2－x=1 ⑥ 5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ x2+4x-5=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法②、⑥ ； 适合运用因式分解法 ③、⑤ 、⑧ 、⑨ ； 适合运用公式法 ①、 ④、 ⑦ ；
新人教版九年级数学上册课件：单元复习(一) 一元二次方程(共21张PPT)
解：(1)1300×7.1%≈92(亿元)． 答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元 (2)(1300－1204)÷1204×100%＝96÷1204×100%≈8%. 答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8% (3)设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x， 依题意得1300(1＋x)2＝1573，∴1＋x＝±1.1，∴x＝10%或x＝－2.1 (不符合题意，故舍去)． 答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%
12．(通辽中考)若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0 有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是 A
13．(2018·达州)已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0 且 mn≠1， 则mn＋nn＋1的值为_3___.
14．(2018·天门)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____12_x_(_x_－__1_)_＝__2_1____.
17．(桂林中考)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费 的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育 经费7200万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率； (2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用 不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村 学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可 购买电脑多少台？
人教版初三数学一元二次方程全章复习课件PPT
配方法 公式法 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
(最新整理)一元二次方程复习课件
-x=1或 7x=7 x1 = -1， x2 =1
=64 -43（-2） =88
法二（3x-4）²-（4x-3）²=0 X= 8 88
（3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0
6
（7x-7）（-x-1）=0
x14322,x24322
7x-7=0或-x-1=0
x1 = -1， x2 =1
2021/7/26
④解方程，
⑤答。 2021/7/26
29
• 如图所示，用一块长80cm，宽 60cm的薄钢片，在四个角上截去四 个相同的小正方形，然后做成底面 积为1500cm2的没有盖的长方体盒 子．求截去的小正方形的边长
2021/7/26
30
解：设截去的小正方形的边长xcm.
则长和宽分别为(80－2x)cm、 (60－2x)cm
2021/7/26
6
注意：一元二次方程的
一、一元二次方程的概念 引例：判断下列方程是不是一元二次方程
三个要素
（1）4x- 1
2
x²+
3 =0
是
（3）ax²+ｂx+c=0 不一定 巩固提高：
（2）3x²- y -1=0 不是
（4）x
+
1 x
=0
不是
1、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m ≠±1
∴ x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 （2）=x—1（1 +x—-1232—=）—x2x-1—1+2.x（—x22—-—21=）—=——2312143— =3
2021/7/26
38
1、已知方程3 x2-19x+m=0的一个根是1，它的另
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优质课件
1． 这些方程的两边都是整式；
2． 方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知
数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
新知探究
知识点2
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax²+bx+c=0 (a≠0)
无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为x cm，
则盒底的长为(100−2x) cm，宽为(50−2x) cm．
根据方盒的底面积为3 600 cm2，得 (100−2x)(50−2x)=3 600．
整理，得 4x2−300x+1 400=0．
化简，得 x2−75x+350=0 ．
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，
若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
新知探究
跟踪训练
1． 下列哪些数是一元二次方程 x2-4x+3＝0 的解？
-1，
0，
1，
3．
2． 方程 x2+x－12＝0 的两个根为( D )
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
4
2
3
2
3
2
2
①3x +7=0；②x +2x=1−x +x ；③2x −3y+1=0；④3x −
A．1
B．2
C．3
+6=0．
D．4
2．若方程 (m+2)x|m|−3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( B )
一元二次方程复习课件
=16-4b=0 b 4 a 1, b 4, c 4
以a, b, c为边的ABC为等腰三角形。
二、强化训练
2
5. 已知关于x的方程x ＋(m＋2)x＋2m－1＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？ 并求出此时方程的解．
2
（三）配方法解一元二次方程
完全平方 形式来 配方法是通过配成__________ 解一元二次方程的方法． 1.填空： （ 1） 2 2
5 2 2 （2）4x 2 4x ___ 1 (2x __) 1
x
1 1 2 ( ) 2 x ___ 5 5 ( x __)
2.用配方法解方程： 2 （1）x －6x－1＝0
学习目标
(1)、理解一元二次方程的定义及解的定义。 (2)、会用因式分解法、直接开平方法、配方 法、公式法解一元二次方程。 (3)、会用一元二次方程根的判别式及根与系 数的关系解题。
方程两边都是整式 一元二次方程的定义 只含有一个未知数 ax²+bx+c=0（a0） 求知数的最高次数是2
2 化成 x m m 0 x m 直接开平方法
方程则m ≠－ 2
。
m2 2
2、若方程 (m 2) x
(m 1) x 2 0
是关于x的一元二次方程，则m的值为
2
。
3、已知关于x的一元二次方程（k-1)x2-6x+k2k=0的一个根为0，则k= ； 2
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程
x1 2 2, x2 2 2
(六)因式分解法解一元二次方程
人教部初三九年级数学上册 一元二次方程章末复习 名师教学PPT课件
2.已知方程根的情况，确定方程中字母 的值或取值范围。
3.一元二次方程的概念注意a≠0.
课后作业
1.教材25页复习巩固第1题（1）（2）（4） （7）
2.关于x的一元二次方程kx²+2x-1=0有两个 实数根,求k的取值范围.
选做题：教材25页复习巩固第7、8 题
列一元二次方程解实际问题的步骤: 审设列解验答
(二)达标展示
根据上述知识点，画出本章知识结构框图
一个未知数
一 概念 最高次是2
元
整式方程
二
次 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
根的判别式Δ=b2-4ac
Δ>0,方程有两个不等的实数根 Δ=0,方程有两个相等的实数根 Δ<0,方程无实数根
因式分解法： 若A·B=0，则A=0或B=0
应用
传播问题 增长率问题
图形面积问题 几种常见类型
单(双)循环问题
方案设计问题
数字问题
(六)巩固提升
6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产 品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能 售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成 本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应为多少?
5. 解下列方程： x2－2x=0；
解：分解因式得： x(x-2)=0 x=0或x-2=0 x1=0,x2=2
x2－2x+2=0. 解：x2-2x+1=-1
(x-1)2=-1 方程无解
5. 解下列方程： 3x2－6x-21=0；
3.一元二次方程的概念注意a≠0.
课后作业
1.教材25页复习巩固第1题（1）（2）（4） （7）
2.关于x的一元二次方程kx²+2x-1=0有两个 实数根,求k的取值范围.
选做题：教材25页复习巩固第7、8 题
列一元二次方程解实际问题的步骤: 审设列解验答
(二)达标展示
根据上述知识点，画出本章知识结构框图
一个未知数
一 概念 最高次是2
元
整式方程
二
次 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
根的判别式Δ=b2-4ac
Δ>0,方程有两个不等的实数根 Δ=0,方程有两个相等的实数根 Δ<0,方程无实数根
因式分解法： 若A·B=0，则A=0或B=0
应用
传播问题 增长率问题
图形面积问题 几种常见类型
单(双)循环问题
方案设计问题
数字问题
(六)巩固提升
6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产 品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能 售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成 本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应为多少?
5. 解下列方程： x2－2x=0；
解：分解因式得： x(x-2)=0 x=0或x-2=0 x1=0,x2=2
x2－2x+2=0. 解：x2-2x+1=-1
(x-1)2=-1 方程无解
5. 解下列方程： 3x2－6x-21=0；
《一元二次方程》复习课件00
使甬路的面积占矩形场地面积的 六分之一，则甬路宽为
多少米？设甬路宽为x米，则根据题意， 可列方程为 .
2
2、 1) x 2 kx 1 0 是一元二次方程的条件是____ (k
3、解方程
2
x 4x 3 0
2
，配方得（ c
2
）
（A）( x 2 ) 7
（C） ( x 2 ) 1
2
（B）( x 2 ) 1
（D）( x 2 ) 7
2
4、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费 2500万元，预计2008年投入3600万元。则这两年投入教育经 费的年平均增长率为多少？
x b b 4ac
2
⑷ 分解因式法 3、应用 ：其关键是能根据题意找出等量关系.
2a
（二）自学交流：复习提纲一： （要求：先独立完成1—6题，疑难问题小组交流解决，5分钟后展示）
1、当m =－1 时，关于x的方程 (m－1) x
m 1
2
+5+mx=0是一元二次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0， 当m ≠±1 时，是一元二次方程；
当m =-1 时，是一元一次方程. 3、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( A ) A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=－9 C.(x+4)2=25中有两个不相等的实数根的是( A B C D
)
5．已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的 取值范围是____
6、由于家电市场的迅速成长，某品牌的电视机为了赢 得消费者，在半年之内连续两次降价，从4840元降到 4000元，如果每次降低的百分率相同，设这个百分率为 x，则根据题意，可列方程为 .
人教版数学九年级上册《一元二次方程》复习教学课件
期中复习课件 Nhomakorabea元二次方程
第一课时 一元二次方程及其解法
知识梳理
基本概念
是整式方程
一元二次方程
只含有一个未知数
一般形式
未知数的最高次数是2 ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的解
使一元二次方程左右两 边相等的未知数的值
知识梳理
解法
直接开平方法
利用平方根的意义直接降次
配方法
左边配成完全平方式的形式，右边为常数
B. 5x2-4x-1=0
x2-4x+1=0
D. 4x2-5x+2=0
深化练习 5
若关于 x 的一元二次方程 x2-x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可 能是 0 (写出一个即可)．
深化练习 6
A
第二课时 一元二次方程的应用
知识梳理
一元二次方程 的实际应用
变化率问题 数字问题 面积问题 商品销售问题 其他问题
重点解析 5
已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范
围是( A ) A. m 4
3
B.m<2
C.m ≥0
D.m<0
重点解析 6
已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根分别为m，n，则m2－mn＋n2＝ 25 ．
解：根据根与系数的关系可知 m+n=4，mn=-3. m2－mn＋n2
深化练习 2
菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则
菱形ABCD的周长为( A )
A. 16
B. 12
C. 16或12
D. 24
第一课时 一元二次方程及其解法
知识梳理
基本概念
是整式方程
一元二次方程
只含有一个未知数
一般形式
未知数的最高次数是2 ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的解
使一元二次方程左右两 边相等的未知数的值
知识梳理
解法
直接开平方法
利用平方根的意义直接降次
配方法
左边配成完全平方式的形式，右边为常数
B. 5x2-4x-1=0
x2-4x+1=0
D. 4x2-5x+2=0
深化练习 5
若关于 x 的一元二次方程 x2-x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可 能是 0 (写出一个即可)．
深化练习 6
A
第二课时 一元二次方程的应用
知识梳理
一元二次方程 的实际应用
变化率问题 数字问题 面积问题 商品销售问题 其他问题
重点解析 5
已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范
围是( A ) A. m 4
3
B.m<2
C.m ≥0
D.m<0
重点解析 6
已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根分别为m，n，则m2－mn＋n2＝ 25 ．
解：根据根与系数的关系可知 m+n=4，mn=-3. m2－mn＋n2
深化练习 2
菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则
菱形ABCD的周长为( A )
A. 16
B. 12
C. 16或12
D. 24
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第二章 一元二次方程复习（一 ）
• 学习目标： • 1.巩固一元二次方程的相关概念。 • 2.会灵活选择方法正确解一元二次方程。
回顾
1 （1）定义：只含有_____个未知数，且未知数的最高 2 次数是____的整式方程，叫做一元二次方程。 ax2 + bx+ c = 0(a ≠ 0) （2）一元二次方程的一般形式是____________。其 ax 2 a 中____叫二次项，_____是二次项系数；_____叫一次 bx c b 项,______是一次项系数；______叫常数项。 (3)将方程 5x =6x−8化为一元二次方程的一般形式是： 5 5x2 − 6x + 8 = 0 _____________，它的二次项系数是____，一次项系 数是___，常数项是___. -6 8 2x +1= 0, y2 + x =1, x2 −1= 0,(x −3)x = 2x2中,是 (4)在下列方程 2 ( x − 3) x = 2x2 x −1 = 0, 一元二次方程的有:_________________________.
当二次项系数为1的时 当二次项系数为1 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方
适应于任何一个 一元二次方程
当 b2 − 4ac≥ 0 时
(4)公式法 公式法
−b± b2 −4ac x= 2a
适应于任何一个 一元二次方程
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根 ＜ 时
选择适当的方法求解下列方程 (1) (2) （3 ） (4)
作业： 作业：用适当方法解下列方程
（1） （2） (3) （4） （5）
( x − 1)
2
2
= 0
x − 4x − 5 = 0
5x − x = 0
2
3x − 6 x − 2 = 0
2
(3x + 2)
2
− 4x = 0
2
2
4x +13x + 3 = 0
2
13 − 4
3 4
5
试一试
(1)已知一元二次方程 已知一元二次方程 为 x1 , x 2 . 则 x 1 + x 2 = （2）若 ） 是方程 −4 的解， 的解，则 m = _____
2 x 2 − 3x − 1 = 0 3
2
的两个根
x=0
(m−2)x
2
+3x +m +2m−8 = 0
2
6 ∴1+ x = ± 5 1 ∴ x1 = = 0 . 2 = 20 % 5
11 x2 = − 舍去） （舍去） 5
答：这两年投入教育经费的年平均增长率为20%。
小结：
1、这节课我们复习了什么？ 、这节课我们复习了什么？ 2、通过本节课的学习大家有什么新的感受？ 、通过本节课的学习大家有什么新的感受
2
(1)直接开平方法 直接开平方法
(x+m)2=n(n≥0)
1、提取公因式法
适应于没有一次项的 一元二次方程
一 元 二 次 方 程 的 解 法
(2)因式分解法 因式分解法
2、平方差公式 3、完全平方公式
பைடு நூலகம்
适应于左边能分解 为两个一次式的积， 为两个一次式的积， 右边是0的方程 右边是 的方程
(3) 配方法
(k − 1) x 2 − kx + 1 = 0是一元二次方程的条件是 2、
（
（A）
D
）。
K > 1 （B） K = 1
2
3、解方程
x − 4x + 3 = 0
（C） K
< 1 （D） K ≠ 1 ，配方得（ c ）
(x − 2)2 = 7 （A）
（C）(x − 2)2 =1
(x + 2)2 =1 （B）
（D） (x + 2)2 = 7
7
4、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费 2500万元，预计2008年投入3600万元。则这两年投入教育经 费的年平均增长率为多少？
解： 设这两年投入教育经费的年平均增长率为
x ，依题意得
2500 (1 + x ) = 3600
2
即
36 (1+ x) = 25
2
（3）已知 2 − 5 是一元二次方程 x − 4x + c = 0 的 ） 一个根，则方程的另一个根是_________. 一个根，则方程的另一个根是 2＋ 5
2
效果检测
1、方程
（A）
x +x =0
2
（B）x
的解是（ c
（C） x1
）。
x = ±1
=0
= 0, x2 = −1 （ D）x = 1
2
x1 , x 2
b x1 + x 2 = − a
一元二次方程
c x1 • x2 = a
利用根与系数的关系，填写下表： 利用根与系数的关系，填写下表：
x1 + x2
2 3
− 1 3
x1 • x2
1 2
− 2 3
x2 − 2x +1 = 0 x 2 − 3x + 2 = 0 3x + x − 2 = 0
( x − 10) = 3
2
-----直接开平方法 直接开平方法 -----配方法 配方法
x − 6x + 3 = 0
2
9 x + 10 x − 4 = 0
2
-------公式法 公式法
2x − 5x = 0
2
----------因式分解法 因式分解法
根与系数的关系
若方程 ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 有两个根 那么这两个根与方程的系数有什么关系? 那么这两个根与方程的系数有什么关系
• 学习目标： • 1.巩固一元二次方程的相关概念。 • 2.会灵活选择方法正确解一元二次方程。
回顾
1 （1）定义：只含有_____个未知数，且未知数的最高 2 次数是____的整式方程，叫做一元二次方程。 ax2 + bx+ c = 0(a ≠ 0) （2）一元二次方程的一般形式是____________。其 ax 2 a 中____叫二次项，_____是二次项系数；_____叫一次 bx c b 项,______是一次项系数；______叫常数项。 (3)将方程 5x =6x−8化为一元二次方程的一般形式是： 5 5x2 − 6x + 8 = 0 _____________，它的二次项系数是____，一次项系 数是___，常数项是___. -6 8 2x +1= 0, y2 + x =1, x2 −1= 0,(x −3)x = 2x2中,是 (4)在下列方程 2 ( x − 3) x = 2x2 x −1 = 0, 一元二次方程的有:_________________________.
当二次项系数为1的时 当二次项系数为1 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方
适应于任何一个 一元二次方程
当 b2 − 4ac≥ 0 时
(4)公式法 公式法
−b± b2 −4ac x= 2a
适应于任何一个 一元二次方程
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根 ＜ 时
选择适当的方法求解下列方程 (1) (2) （3 ） (4)
作业： 作业：用适当方法解下列方程
（1） （2） (3) （4） （5）
( x − 1)
2
2
= 0
x − 4x − 5 = 0
5x − x = 0
2
3x − 6 x − 2 = 0
2
(3x + 2)
2
− 4x = 0
2
2
4x +13x + 3 = 0
2
13 − 4
3 4
5
试一试
(1)已知一元二次方程 已知一元二次方程 为 x1 , x 2 . 则 x 1 + x 2 = （2）若 ） 是方程 −4 的解， 的解，则 m = _____
2 x 2 − 3x − 1 = 0 3
2
的两个根
x=0
(m−2)x
2
+3x +m +2m−8 = 0
2
6 ∴1+ x = ± 5 1 ∴ x1 = = 0 . 2 = 20 % 5
11 x2 = − 舍去） （舍去） 5
答：这两年投入教育经费的年平均增长率为20%。
小结：
1、这节课我们复习了什么？ 、这节课我们复习了什么？ 2、通过本节课的学习大家有什么新的感受？ 、通过本节课的学习大家有什么新的感受
2
(1)直接开平方法 直接开平方法
(x+m)2=n(n≥0)
1、提取公因式法
适应于没有一次项的 一元二次方程
一 元 二 次 方 程 的 解 法
(2)因式分解法 因式分解法
2、平方差公式 3、完全平方公式
பைடு நூலகம்
适应于左边能分解 为两个一次式的积， 为两个一次式的积， 右边是0的方程 右边是 的方程
(3) 配方法
(k − 1) x 2 − kx + 1 = 0是一元二次方程的条件是 2、
（
（A）
D
）。
K > 1 （B） K = 1
2
3、解方程
x − 4x + 3 = 0
（C） K
< 1 （D） K ≠ 1 ，配方得（ c ）
(x − 2)2 = 7 （A）
（C）(x − 2)2 =1
(x + 2)2 =1 （B）
（D） (x + 2)2 = 7
7
4、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费 2500万元，预计2008年投入3600万元。则这两年投入教育经 费的年平均增长率为多少？
解： 设这两年投入教育经费的年平均增长率为
x ，依题意得
2500 (1 + x ) = 3600
2
即
36 (1+ x) = 25
2
（3）已知 2 − 5 是一元二次方程 x − 4x + c = 0 的 ） 一个根，则方程的另一个根是_________. 一个根，则方程的另一个根是 2＋ 5
2
效果检测
1、方程
（A）
x +x =0
2
（B）x
的解是（ c
（C） x1
）。
x = ±1
=0
= 0, x2 = −1 （ D）x = 1
2
x1 , x 2
b x1 + x 2 = − a
一元二次方程
c x1 • x2 = a
利用根与系数的关系，填写下表： 利用根与系数的关系，填写下表：
x1 + x2
2 3
− 1 3
x1 • x2
1 2
− 2 3
x2 − 2x +1 = 0 x 2 − 3x + 2 = 0 3x + x − 2 = 0
( x − 10) = 3
2
-----直接开平方法 直接开平方法 -----配方法 配方法
x − 6x + 3 = 0
2
9 x + 10 x − 4 = 0
2
-------公式法 公式法
2x − 5x = 0
2
----------因式分解法 因式分解法
根与系数的关系
若方程 ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 有两个根 那么这两个根与方程的系数有什么关系? 那么这两个根与方程的系数有什么关系