《二元一次不等式(组)与平面区域》教学设计
数学ⅱ北师大版3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第2课时教案
随堂练习1
1、画出不等式2 +y-6＜0表示的平面区域.
2、画出不等式组 表示的平面区域。
2.讲授新课
【应用举例】
例3某人预备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格〔以班级为单位〕：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
课题
§3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域
第2课时
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能依照实际问题中的条件，找出约束条件；
过程与方法
经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
情感态度与价值观
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
重点
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式〔组〕所表示的平面区域画出来；
难点
把实际问题抽象化，用二元一次不等式〔组〕表示平面区域
教学方法
教学过程
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.〔虚线表示区域不包括边界直线〕
渗透化归,数形结合,落实数学抽象核心素养——“二元一次不等式(组
TIANJIN EDUCATION在普通高中数学课程标准修订（2017版）中指出：数学抽象是通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。
本文主要从“二元一次不等式（组）与平面区域”这节课的教学设计上，阐述如何让学生通过数量关系与空间形式的抽象，提升他们的数学抽象核心素养。
“二元一次不等式（组）与平面区域”是人教A 版《普通高中课程标准实验教科书•数学5（必修）》第三章不等式的第3节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题，第1课时内容，其相关概念是将一元一次不等式抽象出几何背景，再以几何直观推理的方法解决二元一次不等式的解集问题，它是线性规划问题的基础和前提，为后面寻求线性规划“最优解”奠定了基础。
一、教学设计及课堂实录（一）创设情景，引入新知数学源于生活又服务于生活，让学生从生活中的具体实例入手，由文字语言转化到符号语言，建立起二元一次不等式的概念，使学生经历、体验从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，让学生从已知到对未知的冲突，从而引出本节课要研究的对象。
例：某高中食堂主要以面食和米食为主，面食和米食中的蛋白质和淀粉含量如下表所示。
学校要求食堂给学生配置成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和12个单位的淀粉，请问食堂应该如何调配面食和米食分量呢？设每份盒饭中面食为x 百克，米食为y 百克。
学生：ìíîïïïï6x +2y ≥84x +8y ≥12x ≥0y ≥0=ìíîïïïï3x +y ≥4x +2y ≥3x ≥0y ≥0（得出二元一次不等式（组）的概念）教师：如何求二元一次不等式（组）的解（集）？如果将有序实数对看做点坐标，那么二元一次不等式（组）的解（集）又表示什么图形？（二）类比旧知，由数抽象出形二元一次不等式表示什么样的平面区域？这是一个比较抽象的问题，学生需要通过已经学习过的、熟悉的知识进行类比、对接。
3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域
我的记录空间：
3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域
一、学习目标
1.掌握二元一次不等式组表示的平面区域；
2.掌握化归与数形结合的思想方法。
教学重点、难点：二元一次不等式组表示的平面区域
二、课前自学
二元一次不等式4x+y ≤10表示的区域是直线4x+y=10及直线的下方的平面区域，那么不等式组410
4320x y x
y +≤⎧⎨+≤⎩表示怎样的几何意义？
画出不等式组410
4320x y x
y +≤⎧⎨+≤⎩表示的平面区域。
变题：（1）加上约束条件0,0x y ≥≥，画出所表示的平面区域。
（2）加上约束条件0,0x y ≥≥，求所表示的平面区域的面积。
（3）加上约束条件0,0x y ≥≥，求所表示的平面区域内的整点个数。
归纳：不等式组表示的平面区域化归为各个不等式所表示的区域的交集。
三、问题探究
例1、画出下列不等式组所表示的平面区域：
（1）2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩ （2）0
04380
x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩
思考：如何寻找满足例1（2）中不等式组的整数解？
我的记录空间： 20y x -≤⎧。
高中数学3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域优秀教案
课时同步练3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域一、单项选择题1．假设点(1,2)-在二元一次不等式10x my ++≤表示的区域中，则m 的取值范围为〔 〕 A ．1m B ．1m ≥ C ．1m < D ．1m 2．在平面直角坐标系xOy 中，与原点位于直线3x+2y+5=0同一侧的点是〔 〕 A ．〔-3，4〕 B ．〔-3，-2〕 C ．〔-3，-4〕 D ．〔0，-3〕3．不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩表示的平面区域为Ω，则以下坐标对应的点落在区域Ω内的是〔 〕 A ．(1,1) B ．(3,1)-- C ．(0,5) D ．(5,1)4．不等式组000x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩表示的平向区域为D ，则区域D 的面积为〔 〕A． B ．2 CD5．假设不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两局部，则k 的值是〔 〕A ．73B ．37C ．43D ．346．D 是由不等式组20,{30x y x y -≥+≥所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为〔 〕A ．4πB ．2πC ．34πD ．32π 7．点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为〔 〕A ．12 B．2 CD ．18．假设0,0a b ≥≥且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标的点(,)P a b 所形成的平面区域的面积是〔 〕A ．12B ．4πC ．1D ．2π 9．不等式||||3x y +<表示的平面区域内的整点个数为〔 〕A ．10B ．13C ．14D ．1710．假设不等式组1,10,20,x x ay x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩可表示为由直线围成的三角形区域〔包括边界〕，则实数a 的范围是〔 〕A ．()0,2B ．()2,+∞C ．()1,2-D ．(),1-∞-11．在平面直角坐标系中，假设不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域被直线1y ax =+分为面积相等的两局部，则a 的值为〔 〕A ．12B ．1C ．2D ．9412．设不等式组()221x y y k x ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，以下命题不正确的是〔 〕 A ．假设4S =，则k 的值唯一 B ．假设12S =，则k 的值有2个 C ．假设D 为三角形，则203k <≤ D ．假设D 为五边形，则4k >二、填空题13．坐标原点和点()1,1在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是______.14．不等式组3020x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩，，表示的平面区域的面积等于____________.15．不等式组6011x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所表示的平面区域内整点的个数是____________16．设不等式组03434x x y x y ⎧⎪+≥⎨⎪+⎩，，所表示的平面区域为D .假设直线1y a x =+（）与D 有公共点，则实数a 的取值范围是_____________.17．不等式组04032140x x y x y ≥⎧⎪-⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域被直线y =kx 分成面积相等的两局部，则k 的值为________.18．假设实数x ，y 满足约束条件210200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),A x y 构成的区域面积为________；点(),B x y x y +-构成的区域面积为________.三、解答题19．不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，〔1〕画出不等式组所表示的平面区域〔要求尺规作图，不用写出作图步骤，画草图不能得分〕； 〔2〕求平面区域的面积．20．求满足||||3x y +的整点x y （，）的个数.21．假设平面区域22(1)x y y k x ⎧+⎨++⎩，是一个三角形，求实数k 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1A 、()2,3B 、()3,2C ，点P 在ABC ∆三边围成的区域〔含边界〕上； 〔1〕假设0PA PB PC ++=，求OP ；〔2〕设OP mAB nAC =+，求动点(),Q m n 所构成的图形的面积；。
二元一次不等式(组)与平面区域福建宏翔高级中学集体备课主备方案
教材 分析
中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新 课程理念。在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面 直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与 平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简 单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。
号可以断定 Ax＋By＋C＞0 表示的是直线 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域 二、例题讲解
题型一
二元一次不等式表示的平面区域
画出不等式 2x＋y－6≤0 表示的平面区域．
2
画出不等式－x＋2y－4＜0 表示的平面区域．
题型二
二元一次不等式组表示的平面区域
画出下列不等式组表示的平面区域． x－y＋5≥0 x＋y＋1≥0 x≤3 .
重点 分析 难点 分析 教学 准备
从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式 （组）表示 的平面区域。 如何确定不等式 Ax By C 0(或 0) 表示 Ax By C 0 的哪一侧区域 多媒体，课件，导学案 一、新课导入 观察下列不等式： (1)x＋y－1>0； (2)x＋2y－1>0 且 2x－3y＋2<0. 以上不等式，各有________个未知数，并且未知数的最高次数是
构成的集合称为二元一次不等式(组)
下列不是二元一次不等式(组)的是( A．－x－y＋2<0 B．2x＋y－1>0 C．y2≥2x
3x＋2y－1≥0 D． 2x－y＋1≤0
)
2．二元一次不等式(组)表示的平面区域． (1)在平面直角坐标系中，画出直线 l：x＋y－2＝0，和点 A(0,1)、B(0,2)、 C(1,2)、 D(2,3)、 E(－1， －2)、 F(－3， 0)、 G(0， －5)、 H(3,5)、 M(0,0)、 N(4,0)， 观察这些点，哪些在直线 l 的上方？哪些在直线 l 的下方？并将点的坐标代 入 F(x，y)＝x＋y－2 中，看在 l 上方的点，与在 l 下方的点，使 F(x，y)的 值都取怎样的符号，你能由此得出什么结论？ 自己再取一些点试试看，为什么会有这种现象？ （2）．二元一次不等式表示平面区域
二元一次不等式(组)与平面区域
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 二元一次不等式(组)表示平面区域 [例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
变式训练1
如图所示的阴影部分表示的区域用二元一 )
x＋y－1≤0 B. x－2y＋2≤0 x＋y－1≤0 D. x－2y＋2≥0
次不等式组表示为(
x＋y－1≥0 A. x－2y＋2≥0 x＋y－1≥0 C. x－2y＋2≤0
答案：A
类型二 [例2]
(2)不等式组的解集是x＋y≤5 ①，x－2y≥3 集的交集．
②的解
①式表示的区域是直线x＋y－5＝0左下方平面区域并 且包括直线x＋y－5＝0. ②式表示的区域是直线x－2y＝3右下方平面区域并且 包括直线x－2y－3＝0. 所以不等式组表示的区域是图(2)中的阴影部分(包括直 线)．
【点评】 画直线时容易虚实不分，若含等号应画成 实线．区域容易弄反，要注意方法．
(1)2x＋y－6<0；
x＋y≤5 (2) x－2y≥3.
[分析]
解题的关键在于正确地描绘出边界直线，然
【数学】3.3《二元一次不等式(组)与平面区域》教案(新人教A版必修5)(5课时)
课题:§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力； 3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣 【教学重点】用二元一次不等式（组）表示平面区域； 【教学难点】【教学过程】1.课题导入1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型 课本第91页的“银行信贷资金分配问题”教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：2.讲授新课1．建立二元一次不等式模型 把实际问题 转化 数学问题：设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。
（把文字语言 转化 符号语言）（资金总数为25 000 000元）⇒25000000x y +≤ （1） （预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）⇒(12%)x +(10%)y 3≥ 即12103000000x y +≥ （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）⇒0,0x y ≥≥ （3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：25000000121030000000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
二元一次不等式(组)所表示的平面区域
二元一次不等式（组）表示平面区域主备人：审核：使用人：班级：【课题】：二元一次不等式（组）表示平面区域【学习目标】1、了解二元一次不等式（组）的概念，理解其解集的几何意义；2、会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域。
【学习重难点】会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域。
【课前预习案】1、二元一次不等式表示平面区域：一般的，二元一次不等式Ax By C++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=某一侧所有点组成的________________.我们把直线画成_________以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画出不等式0Ax By C++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成___________.2、如何确定二元一次不等式0Ax By C++>（或<0）表示的平面区域？【预习检测】画出不等式组10230x yx y--<⎧⎨--≥⎩表示的平面区域.【课内探究案】一、二元一次不等式表示平面区域例1、画出下列不等式表示的平面区域（1）230x y-->；（2）3260x y+-≤【变式训练】画出二元一次不等式320ax y++≥表示的平面区域，已知点（-1，0）在区域边界上.二、二元一次不等式组表示平面区域例2、画出不等式组表示的平面区域(1)21010x yx y-+≥⎧⎨+-≥⎩(2)232021030x yyx-+>⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩【变式训练】已知直线ax=2与x-by+1=0的交点为（1，2），试分别画出2a x<与10x by-+≥所表示的平面区域.三、用二元一次不等式组表示实际问题例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨。
如果在此基础上进行生产，设x，y分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
1二元一次不等式(组)与平面区域(1)
3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域课前预习学案一、预习目标1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合二、预习内容1.阅读课本引例，回答下列问题①设用于企业资金贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金y 元，如何用这两个变量表示引例中的三个数字条件②有限制条件吗？y x ,③二元一次不等式，二元一次不等式组④二元一次不等式（组）的解集及几何意义2．思考：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，那么在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？3.通过研究二元一次不等式6<-y x 表示的图形，你能得到什么结论？ 三、总结结论和提出疑惑课内探究学案一、 学习目标1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合二、学习重难点学习重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法学习难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法三、学习过程（一）自主学习大家预习课本P82页，并回答以下几个问题：问题1.那么信贷部如何分配资金呢？问题2 .用什么不等式模型来刻画它们呢？(二) 合作探究，得出概念二元一次不等式（组）的几何意义 研究：二元一次不等式6<-y x 表示的图形通过探究上述问题，你能回答下面的问题吗？① 边界的概念 ② 二元一次不等式（组）的几何意义，画法的要求？③ 判定方法（1）特殊点法：一般选择哪一个点 （2）公式法三、典型例题例1、画出下列不等式表示的区域 (1) 0)1)((≤---y x y x ；解析：原不等式可化为⎩⎨⎧≥--≥-⎩⎨⎧≤--≤-010010y x y x y x y x 或变式训练. 画出下列不等式表示的区域(1) 0)1)((≤---y x y x ； （2）1+>x y ； （3）．y x >； （4）．y x >例2某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
“二元一次不等式(组)表示的平面区域”教学实录与反思
探 究特殊二元一次不等式表示 的平 面区域．
３ ．教 学难 点
生 ：直角坐标系 内点的集合． 师 ：我们这节课 要研究 的就是二元一次 不等式 （ 组）表示
≠０ ，Ｂ≠０ ）
的平 面 区域 ．
探 究 一般 二元 一次 不等 式 Ａ ＋研 ＋Ｃ＞０
收 稿 日期 ：２ １－ １ ２ ０ １ ｌ— ５
验班．
一
生。 ：设 和 Ｙ分别表示购买熏鸡 和猪蹄的数量 ，根据题 意 பைடு நூலகம்
、
教 学 目标 、 教 学 难点 及 教 学 方 法
列 出二元一次方程组 ：
Ｙ 一６＞０ ） ， ４ ｘ＋２ ｙ ０ ０ Ｏ 一２ ０≤ ０ ② ．
１ 教 学 目标 ．
（ ）掌握不等式 区域 的判断方 法 ；能作 出二元 一次 不等式 １
一
个猪蹄售价 ２ ０元 ，如果希望所带 的特产 （ 熏鸡或猪蹄二选 一
（ 第一课 时）．研究 的主题是 通过学生 的 自主探究培 养解 决数学 即可）至 少送 给 ６个 以上 的朋友 ，试 问应该 如何 确 定购 买方 ” 问题 的能力 ，授课班 级为锦州市 北宁第一 高级 中学高二 理科试 案 ？
（ 师板 书 “ 号 同侧 ？ ） 教 同 ”
（ 学生在愉快而又紧张的探索之后 ，各小组代表纷纷要求发 言． ） 生 （ 方法 １ ：先 画出直线 ＋Ｙ一６＝０ ） ，直线上 的点满足 ＋ Ｙ一６＝０ ，直线上方就应该满足大 于 ０ ，下方小于 ０ ．
（ 组）表示的平面区域 ． （） ２ 经历 自主探究提高分析 问题和解决问题的能力 ；理解数 学 的转化 、数形结合 以及分类讨论 的思想． （） ３ 通过主动参与和合作交流 ，培养 团结协作 和勇于探究 的
二元一次不等式(组)与平面区域
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域（2课时）主备人：王智喜一、内容及其解析本节课由日常生活中的实际问题来引出二元一次不等式（组）的一些基本概念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的教学。
教学重点是会求二元一次不等式（组）表示平面的区域.解决重点的关键是将二元一次不等式化为相应的二元一次方程，并画出其对应的直线。
二、目标及其解析1、目标定位：能正确地使用平面区域表示二元一次不等式2、目标解析：将二元一次不等式化为相应的二元一次方程，并画出其对应的直线三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何将二元一次不等式化为相应的二元一次方程，并画出其对应的直线。
产生这一问题的原因是不清楚二元一次不等式与二元一次方程之间的联系。
要解决这一问题，就要结合图形帮助学生理解，其中关键是训练。
四、教学条件支持条件：在本节课二元一次不等式(组)与平面区域教学中，可以使用几何画板或多媒体。
因为使用几何画板或多媒体，有利于直观形象，增加教学容量。
五、教学过程设计第一部分 自学（见学案）第二部分 互学问题：在现实生活中，存在一些不等关系，我们应该用什么模型来刻画它们呢？【设计意图】点明本节知识，提出问题供学生思考师生活动：前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型。
先看一个实际例子。
问题1：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷 款资金至少可带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中 获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元，得到分配资金应该满足的条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+.0,0,30000001012,25000000y x y x y x我们把含有两个未知数，且未知数的次数是1的不等式（组）称为二元一次不等式（组）.满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序数对(x,y)，所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集问题2：在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x+y-1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l ，那么，以二元一次 不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）x+y-1＞0的 解为坐标的点的集合A ={(x,y)|x+y-1＞0}是什么图形呢？请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？问题3： 二元一次不等式a x+b y+c ＞0和a x+b y+c ＜0表示的平面区域？（1）结论：二元一次不等式a x+b y+c ＞0在平面直角坐标系中表示直线a x+b y+c =0 某一侧所有点组成的平面区域。
二元一次不等式(组)与平面区域
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（2）探究
O
x
y
x – y = 6
验证：设点P（x，y 1）是直线x – y = 6上的点，选取点A（x，y 2），使它的坐标满足不等式x – y < 6，请完成下面的表格，
横坐标 x
– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
点 P 的纵坐标 y1
点 A 的纵坐标 y2
- 9
- 8
- 6
- 7
- 5
- 4
- 3
- 8
- 6
- 3
- 5
6
4
0
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（2）探究
思考： (1) 当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？ (2) 直线x – y = 6左上方的坐标与不等式x – y < 6有什么关系？ (3) 直线x – y = 6右下方点的坐标呢？
特殊：二元一次不等式 x – y < 6 的解集所表示的图形。
作出x – y = 6的图像——一条直线，
O
x
y
x – y = 6
左上方区域
右下方区域
直线把平面内所有点分成三类:
a)在直线x – y = 6上的点
b)在直线x – y = 6左上方区域内
c)在直线x – y = 6右下方区域内
-6
二、新知探究：
3、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（3）从特殊到一般情况：
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线）
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(第一课时)
学习目标
1、了解二元一次不等式的几何意义 、 2、会画二元一次不等式表示的平面区域 、
创设情境
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业 元用于企业 一家银行的信贷部计划年初投入 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来 元的收 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益 益，其中从企业贷款中获益 ， 10%。那么，信贷部应该如何分配资金呢？ 。那么，信贷部应该如何分配资金呢？
典例分析
画出不等式x+4y<4表示的平面区域 例1 画出不等式 表示的平面区域 分析： 分析： 画出边界 y 代特殊点确定区域
1
x+4y-4=0 4
o
x+4y<4
x
练习：课本 页第 页第1题 练习：课本86页第 题，第2题 题
典例分析
例2 用平面区域表示不等式组
y < −3 x + 12 x < 2 y
新课探究
问题3：对于一般的二元一次不等式Ax+By+C >0, 问题 ：对于一般的二元一次不等式 其解集所表示什么图形，如何画出？ 其解集所表示什么图形，如何画出？ Ax+By+C>0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域，不包括边界 平面区域， Ax+By+C≥0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域， 平面区域，包括边界 画法：直线定界， 画法：直线定界，特殊点定域
高中数学《3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域》教案2 新人教A版必修5
3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）
高二数学教·学案
【学习目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情感态度与价值观：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【学习重点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.
【学习难点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.
【授课类型】新授课
高二数学教·学案
课后反思：。
高中数学教案：《二元一次不等式表示的平面区域》苏教版
教学目标：1、理解二元一次不等式的几何意义。
2、会作出二元一次不等式所表示的平面区域，并能写出所给的平面区域所对应的二元一次不等式。
3、灵活应用二元一次不等式的几何意义解题。
4、培养学生数形结合的解题思想。
教学重点：二元一次不等式的几何意义教学难点：感受理解二元一次不等式的几何意义教学方法：探究教学过程：（一）问题情景：问题1：b kx y +=的几何意义？那么你知道b kx y +>的几何意义吗？问题2：直线1:+=x y l 将坐标面分成了几部分？判断点A （3，4）、B （3，5）、C （3，6）与直线的具体位置关系；那么点P （3，3）、Q （3， 2）、R （3， 1）与直线的具体位置关系呢？问题3：若将上述各点代入：1+=x y 有何规律？（二）学生活动：你能由此猜想给出“判断任意一点),(00y x P 与直线l ：b kx y +=的具体位置关系”的方法吗？你能证明吗？（三）意义建构：〈1〉任意一点),(00y x P 满足b kx y +=00⇒点),(00y x P 在直线l 上。
〈2〉任意一点),(00y x P 满足b kx y +>00⇒点),(00y x P 在直线l 上方区域。
〈3〉任意一点),(00y x P 满足b kx y +<00⇒点),(00y x P 在直线l 下方区域思考：b kx y +>的几何意义是什么；b kx y +<的几何意义是什么？可否将上述各式中的“⇒”变成“⇔”？（四）数学理论：（1）一般地，二元一次不等式：b kx y +>表示直线l ：b kx y +=上方的区域b kx y +<表示直线l ：b kx y +=下方的区域（2）直线l ： b kx y +=上方区域的点的坐标均满足不等式b kx y +>直线l ：b kx y +=下方区域的点的坐标均满足不等式b kx y +<（五）数学应用：例1.判断下列命题是否正确：（1）点（0，0）在平面区域0≥+y x 内 （2）点（0，0）在平面区域12->x y 内（3）点（1，0）在平面区域x y 2>内 （4）点（0，1）在平面区域01>+-y x 内 例2.画出下列不等式所表示的平面区域：（1）12+->x y （2）02≥+-y x (3)0<x (4)3≥y思考：对于二元一次不等式的一般式：)0(022≠+>++B A C By Ax ，如何判断其所表示的平面区域呢？如：求作03927>++y x 所表示的平面区域。
二元一次不等式(组)所表示的平面区域教案人教版
-能够将实际问题转化为二元一次不等式（组）问题。
-学会运用二元一次不等式（组）解决实际问题，如线性规划、区域限制等。
6.二元一次不等式（组）的性质：
-了解二元一次不等式（组）的性质，如传递性、互补性等。
-掌握不等式（组）的解集的性质，如闭合性、连续性等。
作业布置与反馈
1.逻辑推理：通过学习二元一次不等式（组）的表示方法，培养学生运用逻辑推理能力，理解不等式（组）之间的逻辑关系，能够准确判断平面区域内各点是否满足不等式（组）的条件。
2.直观想象：通过在平面直角坐标系中表示二元一次不等式（组）所表示的平面区域，培养学生的直观想象能力，使学生能够直观地认识和理解不等式（组）所表示的区域的形状和位置。
解决方法：通过大量练习，让学生在坐标系中绘制不同类型的不等式（组）所表示的区域，加深对“交集”和“并集”的理解。
（2）将实际问题转化为二元一次不等式（组）问题，并求解。
解决方法：引导学生分析实际问题中的约束条件，将其转化为不等式（组）形式，然后运用所学知识求解。可以结合生活实例进行讲解，让学生感受到数学与生活的联系。
（二）存在主要问题
1.课堂管理：在教学过程中，部分学生在课堂上注意力不集中，影响教学效果。
2.教学方法：在讲解知识点时，有时过于侧重理论，忽视了学生的实际操作能力的培养。
3.作业布置：作业布置有时过于繁琐，导致学生花费大量时间完成，影响学习效果。
（三）改进措施
1.改进课堂管理：通过设置课堂规则，加强课堂管理，提高学生的课堂注意力。
教学难点与重点
1.教学重点：
（1）理解二元一次不等式在平面直角坐标系中的表示方法，掌握“交集”和“并集”的概念。
举例：在坐标系中，不等式x+y<2表示的是直线x+y=2下方的区域，不包括直线上的点。
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
四平市第一高级中学2013级高一年级数学学科学案学案类型：新课材料序号：13编稿教师：刘强审稿教师：刘强课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域一、学习目标：1、了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域。
2、经历从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力。
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习兴趣。
二、学习重、难点：教学重点：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。
教学难点：确定不等式)0(0<>++或C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的哪一侧。
三、知识导学：1、二元一次不等式（组）的解集表示的图形：不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域。
（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点),(y x ，把它的坐标),(y x 代入C By Ax ++，所得到实数的符号都相同，所以只需要在此直线的某一侧取一特殊点),(00y x ，从C By Ax ++00的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
（特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点）四、典型例题：1、二元一次不等式表示的平面区域【例1】画出不等式44<+y x 表示的平面区域。
2、二元一次不等式组表示的平面区域【例2】用平面区域表示不等式组⎩⎨⎧<+-<y x x y 2123的解集。
3、实际应用问题【例3】要将两种大小不同的钢板截成C B A 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板211第二种钢板123今需要C B A 、、三种规格的成品分别为15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求。
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课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时
教学分析
本节介绍了用二元一次不等式表示平面区域和简单的线性规划问题，使学生会用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力。
授课类型：新授课
教学目标
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
教学重难点
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
教学过程
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第91页的“银行信贷资金分配问题”
教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：
2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题 转化 数学问题：
设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。
（把文字语言 转化 符号语言）
（资金总数为
25 000 000元）⇒25000000x y +≤
（1）
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）
⇒(12%)x+(10%)y 30000≥ 即12103000000x y +≥ （2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）⇒0,0x y ≥≥
（3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
25000000121030000000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不
等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元
一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y
的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二
元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，
因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）
的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。
平面内所有的点被
直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，
横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 点P的纵
y
坐标
1
点A的纵
y
坐标
2
并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什
么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6
有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y
x,)，把它的坐标（y
x,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
【应用举例】
例1 画出不等式44
x y
+<表示的平面区域。
解：先画直线44
x y
+=（画成虚线）.
取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在44
x y
+<表示的平面区域内，不等式44
x y
+<表示的
区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
特殊地，当0
≠
C时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式12
3
4≤
-y
x所表示的平面区域。
变式2、画出不等式1
≥
x所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组
312
2
y x
x y
<-+
⎧
⎨
<
⎩
的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式312
y x
<-+表示直线312
y x
=-+右下方的区域，2
x y
<表示直
线2
x y
=右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式1、画出不等式0
y
+
x
x表示的平面区域。
-
y
+）
1
)(
2
(<
4
+
变式2、由直线0
1
x和0
2=
+y
+y
+
x围成的三角形区
x，0
+
2=
+
+y
1
2=
域（包括边界）用不等式可表示为。
3.随堂练习
1、课本第97页的练习1、
2、3
4.课时小结
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第1题
板书设计
授后记。