测 量 平 差

出了一定的统计规律性。 • 从下面两个例子中我们再详细研究一下偶然误差,然后 总结出偶然误差的规律性。
表1-1 某测区358个真误差分布情况
Δ 为 负 值 Δ 为 正 值
误差区间 ″ 个数 频率
备注
vi
0.00-0.20 0.20-0.40 0.40-0.60 0.60-0.80 0.80-1.00 1.00-1.20 1.20-1.40 1.40-1.60 1.60以上 ∑ 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
vi n d∆
0.440 0.425 0.345 0.320 0.215 0.200 0.155 0.120 0.095 0.085 0.045 0.035 0.025 0
备注
0.00-0.20 0.20-0.40 0.40-0.60 0.60-0.80 0.80-1.00 1.00-1.20 1.20-1.40 1.40-1.60 1.60-1.80 1.80-2.00 2.00-2.20 2.20-2.40 2.40-2.60 2.60以上 ∑
误 差 理 论 与 测 量 平 差
偶然误差举例
• 经纬仪测角时照准误差可能是由于照准 部旋转不正确、脚架或觇标的晃动与扭 转、风力风向的变化、目标的背影等等 偶然因素影响而产生的小误差。
误 差 理 §3 偶然误差的规律性 论 • 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其 与 真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。 测 • 就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即 量 呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言， 却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态 平 分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在 差 相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现
误 根据观测误差的性质，可将观 差 理 测误差分为 ： 论 • 系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果 与 误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中 测 按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差 称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统 量 误差（举例）。 平 偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如 差 • 果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差
vi / n
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505
vi n d∆
0.630 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0
个数
频率
vi
46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
误 差 理 论 与 测 量 平 差
偶然误差分布直方图
误 差 §4 衡量精度的指标 理 论 与 • 评定测量成果的精度是测量平差的主要任务之 测 一。精度就是指误差分布的密集或离散的程度。 量 • 从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集， 平 图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所 差 构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较 为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较 为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的 形态上，即有误差分布曲线较高而陡峭和误差 分布曲线较低而平缓两种情形。
vi n d∆
0.475 0.405 0.370 0.295 0.240 0.190 0.165 0.105 0.085 0.060 0.070 0.025 0.010 0
个数
频率
vi
37 36 29 27 18 17 13 10 8 7 4 3 2 0 211
vi / n
0.088 0.085 0.069 0.064 0.043 0.040 0.031 0.024 0.019 0.017 0.009 0.007 0.005 0 0.501
§1 概
述
• 测量平差的基本任务:处理一系列带有偶然 误差的观测值，求出观测值或未知量的最可 靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最 或是值、最或然值等），并评定测量成果的 精度。 解决这两个问题的基础，是要研究观测误差 的理论，简称误差理论。 • 本章主要介绍：偶然误差的规律性、衡量精 度的指标、协方差传播律、权的定义以及测 量中常用的定权方法等。
误 差 理 论 与 测 量 平 差
衡量精度的指标--相对误差 衡量精度的指标--相对误差 -• 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误 差还不能完全表达观测结果的好坏。须采用另 一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差， 它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分 子化为1。 • 对于真误差与极限误差，有时也用相对误差来 表示。例如，经纬仪导线测量时，规范中所规 定的相对闭合差不能超过，它就是相对极限误 差；而在实测中所产生的相对闭合差，则是相 对真误差。与相对误差相对应，真误差、中误 差、极限误差等均称为绝对误差。
引起误差的主要来源
测量仪器：测量工作通常是利用测量仪器进行的。由于 每一种仪器都具有一定限度的精密度，因而使观测值 的精密度受到了一定的限制。 观测者：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局 限性，所以在仪器的安置、照准、读数方面都会产生 误差。同时观测者的工作态度和技术水平也直接影响 观测成果。 外界条件：观测时所处的自然条件，如温度、湿度、压 强、风力、大气折光、电离层等因素都会对观测结果 直接产生影响；随着这些因素的变化，它们对观测结 果的影响也随之不同，因此观测结果产生误差是必然 的。 这些误差怎么分类呢？（根据观测误差的性质）
误 差 理 衡量精度的指标 论 与 • 在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种 确定的误差分布。如图分别表示在偶然误差和系统误 测 差影响下的精度。 量 平 差
误 差 衡量精度的指标---方差和中误差 衡量精度的指标--方差和中误差 理 论 与 • 用 σ 表示误差分布的方差，误差Δ的概 ∆ 测 − 率密度函数为： 1 f (∆ ) = e 2σ 量 2π σ 平 σ 2 = D(∆) = E(∆2 ) − ( E(∆)) 2 差 由方差的定义：
看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差 的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然 误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差（举 例）。 • 粗差： 由于观测者工作态度和技术水平造成的错误
误 差 理 论 与 测 量 平 差
系统误差举例
• 测距仪的乘常数误差所引起的距离误 差与所测距离的长度成正比地增加， 距离愈长，误差也愈大； • 测距仪的加常数误差所引起的距离误 差为一常数，与距离的长度无关；这 是由于仪器不完善或工作前未经检验 校正而产生的系统误差； • 测角时因大气折光的影响而产生的角 度误差等等，
误 差 理 §5 方差传播律及其应用 论 与 测 量 • 协方差传播律是研究函数与自变量之间 的协方差运算规律。在实际工作中，某 平 差 些量的大小往往是由观测值通过一定的
函数关系间接计算出来的
误 差 理 论 与 测 量 平 差
协方差与相关
• 协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X 和Y，它们的协方差定义是： σ xy = E ( ∆ x ∆ y ) σ xy = E [( X − E ( X ))(Y − E (Y )) ] 式中： ∆ x = E ( X ) − X 和 ∆ y = E (Y ) − Y 分别是X和 Y的真误差。 • 设是观测值的真误差，是观测值的真误差， 而协方差则是这两种真误差所有可能取值的 乘积的理论平均值，即 • 实用上总是有限值，所以也只能求得它的估 值，记为
vi / n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495
vi n d∆
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0 dΔ=0.20″； 等于区间左 端值的 误差算 入该区 间内。
表1-2 另一测区421个真误差分布情况
+ −
2
误 差 衡量精度的指标---极限误差 衡量精度的指标--极限误差 理 论 与 在大量同精度观测的一组误差中，误差落在 测 (−σ ,+σ ) (−2σ ,+2σ ) 和 (−3σ ,+3σ ) 的概率分别为： 量 68.3%、95.5%和99.7%。上式反映了中误差与 平 真误差间的概率关系。绝对值大于中误差的偶 然误差，其出现的概率为31.7%；而绝对值大 差 于二倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5%； 特别是绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现 的概率仅有0.3%，这已经是概率接近于零的小 概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。 一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值，并 称为极限误差。
dΔ=0.20″； 等于区间左端 值的误差算入 该区间内。
误 差 理 偶然误差的规律性 论 与 1. 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定 测 的限值，或者说，超出一定限值的误差，其 量 出现的概率为零。 平 2. 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 差 的概率大。 3. 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 4. 偶然误差的数学期望为零，即： E ( ∆ ) = E ( E ( L) − L) = E ( L) − E ( L ) = 0 换句话说，偶然误差的理论平均值为零。
θ = lim
n→ ∞
n
即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算 术平均值之极限值。
误 差 衡量精度的指标---或然误差 衡量精度的指标--或然误差 理 论 (− ρ ,+ ρ ) 之间概 与 或然误差的定义是：误差出现在 ρ 1 率等于1/2，即 f (∆ )d∆ = ∫ρ 2 测 将Δ的概率密度代入上式，并作变量代换，令 量 ∆ 平 σ = t , ∆ = σ t , d ∆ = σ dt t 差 ρσ +ρ 1 −2 1 f (∆)d∆ = 2∫ e dt = 则得： ∫−ρ 0 2 2π 由概率积分表查得，当概率为1/2时，积分限 为0.6745，即得 ρ ≈ 0 .6745 σ ≈ 2 σ 3 上式是或然误差与中误差的理论关系。不同 的也对应着不同的误差分布曲线，因此，或 然误差也可以作为衡量精度的指标。