八年级数学各章家庭辅导资料 华东师大版
华东师大版数学八年级上册全册知识点汇编(整理版,思维导图)
八年级上册知识点第11章 数的平方11.1平方根与立方根一、平方根的概念如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
二、平方根的性质1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
2. 0有一个平方根，就是它本身。
3. 负数没有平方根。
三、算术平方根正数a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a ”；另一个平方根是它的相反数，即-。
因此，正数a 的平方根可以记作±，其中a 称为被开方数。
0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
四、平方根与算术平方根的区别与联系 1. 概念不同； 2. 表示方法不同； 3. 个数及取值不同。
a a a五、开平方求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
六、立方根1.概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
2.性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。
3a3.表示：数a的立方根，记作，读作“三次根号a”。
其中a称为被开方数，3是根指数。
4.一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。
七、开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
11.2实数一、无理数1.无限不循环小数叫做无理数。
2.无理数与有理数的区别（1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。
二、实数及其分类1.实数的概念有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。
2.实数的分类（1）按概念分类正整数整数0有理数负整数正分数分数实数负分数正无理数无理数负无理数（2）按正负分类正整数 正有理数正实数 正分数 正无理数实数 0负整数 负有理数负实数 负分数 负无理数三、实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点意义对应。
四、实数的有关概念1.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
华师大版八年级下册数学知识点总结
八年级华师大版数学（下）第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
华东师大版八年级下册数学教案全册
第16章 分式§16.1.1 分式的概念教学目标：1、知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 的意义。
2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式，能通过回忆 分数的意义，类比地探索分式的意义。
3、情感态度与价值观：渗透数学中的类比，分类等数学思想。
教学重点：探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。
教学难点：能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。
教学过程：一、做一做（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式.三、例题：例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）x 1； （2）2x； （3）y x xy +2； （4）33y x -.解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）.注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式aS中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n.例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？（1）11－x ； （2）322+-x x .分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1.所以，当x ≠1时，分式11－x 有意义.（2）分母23+x ≠0，即x ≠-23.所以，当x ≠-23时，分式322+-x x 有意义.四、练习：P5习题17.1第3题（1）（3）1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3）3. 当x 为何值时，分式的值为0？（1） （2） (3) 五、小结：什么是分式？什么是有理式？ 六、作业：P5习题17.1第1、2题，第3题（2）（4） 七、教学反思：通过分式概念的教学，让学生懂得了什么时分式，知道了分式与整式的区别，了解了分式成立的条件，为以后的学习打好了基础。
八年级数学下册 各章家庭辅导资料教案 华东师大版【精品教案】
华师大版八年级数学下册家庭辅导资料第十七章 分式知识结构：分式方程分式运算分式分式的基本性质零指数冪与负数指数冪科学记数法可能产生增根通分分式的乘除分式的加减约分应知 一、基本概念。
分式： 一般地，形如BA的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母，且B ≠0。
【注意】①对整式、分式的正确区别：分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。
②a1＋4带有a 是无理式，不是整式，故不是分式。
③当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分母不等于零时，分式有意义。
当分式的分子是零而分母不等于零时，分式的值等于零。
最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式运算的结果均要化为最简分式。
有理式：整式和分式统称有理式。
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
【注意】①约分的步骤主要是：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式。
②分式的约分是分式的分子与分母整体进行的，分式的分子和分母必须都是乘积的形式，才能进行约分。
③分式分子有负号时，先把负号提到分式的前面。
④要将(a －b)与(b －a)统一成(a －b)，注意－(a －b)3=(b －a)3，(a －b)4=(b －a)4。
⑤分式的分子与分母虽然是积的形式，但没有公因式，并且每一个因式都还能分解时，要先分解再约分。
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
【注意】①通分的关键大确定几个分母的最简公分母。
②找最简公分母的方法步骤：（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。
这样取出的因式的积，就是最简公分母。
华东师大版八年级上册数学知识点集及思维导图
初中数学知识点华东师大版初中数学八年级上册 第11章 数的开方 知识点 典型例题、平方根 .平方根 1）定 已知正数m 有两个平方义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.（2）表示方法：)0(,≥±a a . （3）性质：正数有两个互为相反数的平方根；零的平方根是零；负数没有平方根.2.算术平方根 （1）定义：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.（2）表示方法：)0(,≥a a .（3）重要性质：双重非负性：)0(,0≥≥a a其他具有非负性的式子：a n a n ,(2为正整数）.运算性质：如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0. （4）运算性质：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，)0(,)(2≥=a a a . 一个实数的平方的算术平方根等于它的绝对值，a a =2. 3.开平方定义：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 二、立方根 1.立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根.（2）表示方法：3a . （3）性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（4）运算性质：a a a ==3333)(. 三、实数 1.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数. 2.实数有理数和无理数统称实数. 3.实数的分类 按定义分：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理数分数整数有理数实数按性质分：根，分别是a+3与2a -15，求a 的值，并求这个正数m.已知a a -=-22，求a 的取值范围.若0a 2=++c b ，求a 、b 、c 的值.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：222)(c a c b a a ---++一个数的立方根是它本身，则这个数是 .计算：=-33)2( .有下列各数：2π，0，9，32.0 ，2-1，722，⋅⋅⋅3030030003.0，其中无理数有 . 求一个无理数的整数部分和小数部分：已知a 是11的整数部分，b 是11的小数部分，求a 和b 的值.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数 4.实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点一一对应. 5.实数大小比较常有方法平方法；做差法；倒数法；做商法比较大小：23____32 32____3-5+华东师大版初中数学八年级上册 第12章 整式的乘除 知识点典型例题一、幂的运算 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.已知32=x ，求32+x 的值.华东师大版初中数学八年级上册第13章全等三角形知识点典型例题一、命题、定理与证明1.命题（1）定义：表示判断的语句叫做命题.（2）组成：命题是由条件和结论两部分组成。
(完整版)华东师大版八年数学下知识点归纳
华师大版八年级数学下册各章知识汇总精编第16章分式1、形如AB（A、B都是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。
整式和分式统称有理式。
2、分母≠0时，分式有意义。
分母＝0时，分式无意义。
3、分式的值为0，要同时满足两个条件：分子＝0，而分母≠0。
4、分式基本性质：分式的分子、分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
5、分式、分子、分母的符号，任意改变其中两个的符号，分式的值不变。
6、分式四则运算1）分式加减的关键是通分，把异分母的分式，转化为同分母分式，再运算．2）分式乘除时先把分子分母都因式分解，然后再约去相同的因式。
3）分式的混合运算，注意运算顺序及符号的变化，4）分式运算的最后结果应化为最简分式或整式．7、分式方程1）分式化简与解分式方程不能混淆．分式化简是恒等变形，不能随意去分母．2）解分式方程的步骤：第一、化分式方程为整式方程；第二，解这个整式方程；第三，验根，通过检验去掉增根。
3）解有关应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤是一样的：设、列、解、验、答。
第17章函数及图象1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
数轴上的点与实数一一对应。
数轴上的点A、B的坐标为x1、x2, 则AB＝。
2、具有公共原点且互相垂直的两条数轴就构成平面直角坐标系。
坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
3、坐标轴上的点不属于任何象限。
x轴上的点纵坐标y＝0；y轴上的点横坐标x＝0。
第一象限内的点x>0,y>0；第二象限内的点x<0,y>0；第三象限内的点x<0,y<0；第四象限内的点x>0,y<0；由此可知，x轴上方的点，纵坐标y＞0；x轴下方的点，纵坐标y＜0；y轴左边的点，横坐标x＜0；y轴右边的点，横坐标x＞0.4、关于某坐标轴对称的点，这个轴的坐标不变，另一个轴的坐标互为相反数。
关于原点对称的点，纵、横坐标都互为相反数。
关于第一、三象限角平分线对称的点，横纵坐标交换位置；关于第二、四象限角平分线上对称的点，不但横纵坐标交换位置，而且还要变成相反数。
最全华师大版初中数学八年级上册全册课件
实数在实际生活中的应用
长度测量
在现实生活中，很多物体的长度 、距离等都是以实数的形式表示 的，例如身高、体重、路程等。
比例计算
在商业、农业等领域中，常常需要 进行比例计算，如利息计算、成本 与售价的比例等。
数据分析
在统计学中，数据通常以实数的形 式表示和分析，如平均数、中位数 、众数等。
04
第三章：一次函数
Chapter
轴对称图形的概念和性质
轴对称图形的定义
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线 叫做对称轴。
轴对称图形的性质
轴对称图形具有对称性，即图形关于对称轴对称，其对称 轴两侧的图形完全相同。
轴对称图形的特点
轴对称图形具有稳定性，可以用于建筑设计、艺术创作等 领域。
许多建筑物都采用了轴对称的设计，如故宫、天坛等，这种设计可以增加建筑的稳定性和 美感。
商标设计
许多商标采用了轴对称的设计，如中国联通的标志等，这种设计可以增加商标的辨识度和 美感。
艺术创作
轴对称图形在艺术创作中也有广泛应用，如绘画、雕塑等，这种创作方式可以增加艺术作 品的表现力和美感。
THANKS
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 爱好，树立正确的数学观 念，形成良好的学习习惯 和科学态度。
02
第一章：有理数
Chapter
有理数的概念
有理数的定义
有理数是可以表示为两个 整数之比的数，包括整数 、分数和十进制数。
有理数的分类
正有理数、负有理数和零 。
有理数的数轴表示
有理数可以在数轴上表示 ，其中正数位于原点右侧 ，负数位于原点左侧，零 位于原点。
华师大版八年级下册初二数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)
华师大版八年级下册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】【403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】 类型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-．【思路点拨】3x ，5π，23-虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中5π的分母中π表示一个常数，因此这三个式子都不是分式．【答案与解析】解：整式：3x ，23-，5π，23x +，分式：2a，1m m +，2a a ．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，m 取何值时，分式有意义？ （1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239mm --．【答案与解析】解：（1）由20m +=得2m =-，故当2m ≠-时分式2mm +有意义． （2）由||20m -=得2m =±，故当2m ≠±时分式1||2m -有意义．（3）由229(9)0m m --=-+<，即无论m 取何值时29m --均不为零，故当m 为任意实数时分式239mm --都有意义． 【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义．这是解答这类问题的通用方法． 举一反三：【变式1】（2016·丹东一模）若分式11x x -+有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】解：由题意得：10x +≠，解得1x ≠-，故答案为：1x ≠-． 【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-．【答案】解：（1）由210x +=得12x =-， 当12x =-时，1323()202x -=⨯--≠，∴ 当12x =-时，分式2132x x +-的值为0．（2）由20x x +=得0x =或1x =-，当0x =时，21010x -=-≠，当1x =-时，221(1)10x -=--=， ∴ 当0x =时，分式221x xx +-的值为0．（3）由20x +=得2x =-，当2x =-时，224(2)40x -=--=，∴ 在分式有意义的前提下，分式224x x +-的值永不为0． 类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y+-； （2）11341123x yx y +-． 【思路点拨】将（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可． 【答案与解析】 解：（1）0.20.020.5x yx y +-(0.2)501050(0.020.5)5025x y x y x y x y +⨯+==-⨯-．（2）11341123x y x y +-1112433411641223x y x y x y x y ⎛⎫+⨯⎪+⎝⎭==-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【总结升华】利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 举一反三：【变式1】如果把分式yx x232-中的y x ,都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍【答案】B ；【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----． 【答案】2()x y -；1；解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为x y +，而等式的右边分式的分子为22x y -，由于22()()x y x y x y +-=-，即将等式左边分式的分子乘以x y -，因而分母也要乘以x y -，所以在？处应填上2()x y -．（2）先观察分母，等式左边的分母为()()()a c a b b c ---，等式右边的分母为a c -，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以()()a b b c --，因为()()[()()]1b a c b a b b c --÷--=，所以在？处填上1．4、 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号． （1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23bc--．【答案与解析】解：（1）22a a b b -=- （2）4455x x y y -=- （3）33m m n n =-- （4）2233b bc c-=-． 【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面． 类型四、分式的约分、通分5、（2015春•东台市月考）约分，通分： （1）； （2）；（3）•．【思路点拨】（1）把分子与分母进行约分即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式先把分子与分母进行因式分解，然后约分即可； （3）把分母进行因式分解，然后相乘，即可得出答案． 【答案与解析】 解：（1）=﹣；（2）= = ； （3）•= •=． 【总结升华】此题考查了分式的约分，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，注意先把分母因式分解，再进行约分． 举一反三：【403986 分式的概念和性质 例6（2）】 【变式】通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -． （3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．【答案】解：（1）最简公分母为24ab c ，2322444b b b b ac ab c ab c ==，222222244a a a a b c ab c ab c==． （2）222(1)x x x x =++，2111(1)(1)x x x =-+-，最简公分母为2(1)(1)x x +-，2(1)222(1)(1)2(1)(1)x x x x xx x x x x --==++-+-．2112212(1)(1)2(1)(1)x x x x x ⨯==-+-+-． （3）最简公分母是222a b c ．2222333222bc bc a b a b bc a b c ==，22222()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c ---==． （4）最简公分母是(2)(2)x x +-， 21222(2)(2)4x x x x x x --==++--，224444x xx x =--，222(2)242(2)(2)4x x x x x x ++==--+-．【巩固练习】一.选择题1．（2015春•东台市期中）下列各式：其中分式共有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个2．使分式5+x x值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5D ．x ≠－53. 下列判断错误．．的是（ ） A ．当23x ≠时，分式231-+x x 有意义 B ．当a b ≠时，分式22aba b-有意义 C ．当21-=x 时，分式214x x+值为0D ．当x y ≠时，分式22x y y x--有意义4．（2016·营口模拟）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ )A ．121x + B ．121x - C ．213x x - D ．25321x x ++ 5．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ）A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的32 D ．不变6．下列各式中，正确的是（ ）A ．a m ab m b +=+ B ．0a ba b +=+ C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y-=-+二.填空题7．当x ＝______时，分式632-x x无意义． 8.若分式67x--的值为正数，则x 满足______． 9．（1）112()x xx --=- （2）.y x xy x 22353)(= 10．（1）22)(1yx y x -=+ （2）⋅-=--24)(21y y x 11.（2016秋·崆峒区期末）分式21298y z x z x y,,x xy z-+-的最简公分母是_________. 12.（2015•朝阳区一模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三.解答题13.当x 为何值时，下列分式有意义?（1）12x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）2211x x ---．14．已知分式,y ay b-+当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0， 求当y ＝－7时分式的值．15．（2014•上城区二模）在三个整式x 2﹣1，x 2+2x+1，x 2+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再从﹣≤x≤的范围内选取合适的整数作为x 的值代入分式求值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】解：（1﹣x ），，的分母中均不含有字母，因此不是分式，是整式；，分母中含有字母，因此是分式．故选A.2. 【答案】A ；【解析】050x x =+≠且. 3. 【答案】B ；【解析】a b ≠±，22aba b -有意义.4. 【答案】D ；【解析】∵2211x +>，∴不论字母取何值25321x x ++都有意义. 5. 【答案】D ； 【解析】102010(2)2101010()x y x y x yx y x y x y+++==+++.6. 【答案】D ；【解析】利用分式的基本性质来判断. 二.填空题7. 【答案】2；【解析】由题意，360,2x x -==. 8. 【答案】7x >；【解析】由题意70,7x x -<>∴. 9. 【答案】（1）2x -；（2）5y ；10.【答案】（1）x y -；（2）22xy x y +--；【解析】221(1)(2)22244x x y xy x y y y y--++--==---. 11.【答案】272xyz ；【解析】分式21298y z x z x y,,x xy z-+-的最简公分母是272xyz . 12.【答案】，． 【解析】解：∵=（﹣1）2•， =（﹣1）3•， =（﹣1）4•，…∴第7个式子是，第n 个式子为：． 故答案是：，．三.解答题 13.【解析】 解：（1）由分母20x -≠，得2x ≠．∴ 当2x ≠时，原分式有意义．（2）由分母410x +≠，得14x ≠-．∴ 当14x ≠-时，原分式有意义． （3）∵ 不论x 取什么实数，都有210x +>．∴ x 取一切实数，原分式都有意义．（4）∵ 20x ≥，∴ 211x +≥，∴ 2(1)1x -+≤-即211x --≤-∴ x 取一切实数，分式2211x x ---都有意义． 14.【解析】解：由题意：30b -+=，解得3b =2023a-=+，解得2a = 所以分式为23y y -+，当y ＝－7时，2729937344y y ----===+-+-. 15.【解析】解：选择x 2﹣1 为分子，x 2+2x+1为分母组成分式，则= =，当x=0时，上式==﹣1．分式的乘除（基础）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】【402545 分式的乘除运算 知识要点】 要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成nn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】 类型一、分式的乘法1、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a a a a a -+--+-． 【思路点拨】(1)中分子、分母都是单项式，直接用分式乘法法则计算，结果要通过约分化简；(2)中分子、分母都是多项式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法则化简计算． 【答案与解析】解：(1)422449158a b x x a b 422449315810a b x bx a b x==． (2)222441214a a a a a a -+--+-22(2)1(1)(2)(2)a a a a a --=-+-22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a --=-+-222(1)(2)2a a a a a a --==-++-． 【总结升华】分式的乘法运算的实质就是运用分式的基本性质把分式约分化简的过程，熟练之后也可先约分后运用乘法法则计算． 举一反三： 【变式】计算．（1）26283m x xm ；（2）22122x x x x+-+ 【答案】解：（1）原式22621283242m x mx xx m mx ===；（2）原式22112(2)2x x x x x x+==-+-；类型二、分式的除法【402545 分式的乘除运算 例1（4）】2、 计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++．【思路点拨】(1)先运用法则将分式的除法转化为乘法，然后约分化简；(2)先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母分解因式，然后约分化简． 【答案与解析】解：(1)222324a b a b c cd -÷22222244236a b cd a b cd c a b c a b ==--23dc=-． (2) 2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++2(2)(2)2()()2x y x y x x y x y x y+-+=++22(2)24x x y x xyx y x y --==++．【总结升华】分式的除法和实数的除法一样，均是转化为乘法来完成的．举一反三：【变式】（2015•宝鸡校级模拟）化简：．【答案】 解：原式=•=．类型三、分式的乘方3、（2014秋•华龙区校级月考）下列计算正确的是（ ） A.B.C. D.【思路点拨】把四个选项先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，然后利用积与幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，积的乘方等于积中每一个因式分别乘方并把结果相乘，幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，即可计算出结果，得到计算正确的选项．【答案】C ． 【解析】解：A 、，本选项错误；B 、，本选项错误；C 、，本选项正确；D 、，本选项错误．所以计算结果正确的是C ．【总结升华】此题考查了分式的乘方法则，考查了积的乘方及幂的乘方法则，完全平方公式的运用，是一道基础题．类型四、分式的乘除法、乘方的混合运算4、 计算：（1）（2016春•淅川县期中）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3；（2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】先算乘方，再算乘、除.【答案与解析】解：（1）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3=﹣••=﹣．（2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2222232()1()[()]()a b ab b a a b b a -=+-22222332()()1()()a b a b a b b a a b a b +-=+-211()a a b a ab==++． 【总结升华】（1）题中有除法和乘方运算，应先算乘方，要特别注意符号的处理．（2）本题是乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算． 举一反三：【变式】计算：(1)332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)2222()m n n m m nm n mn m --+⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭． 【答案】解： (1)332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23263382633312212b b b a a b a b a a a ba b ⎛⎫⎛⎫=-÷-÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)2222()m n n m m n m n mn m --+⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭22222()()()()m n m n m n m m nm n m n m n mn +---==-+． 【巩固练习】一.选择题 1.计算261053ab cc b的结果是( )A ．24a c B ．4a C ．4a c D ．1c2. （2016•迁安市一模）化简：（a ﹣2）•的结果是（ ）A ．a ﹣2B ．a+2C ．D ．3．（2015•蜀山区一模）化简的结果是（ ）A.12B.1a a + C.D.4．分式32)32(b a 的计算结果是（ ） A ．3632b a B ．3596baC ．3598b aD ．36278b a5．下列各式计算正确的是（ ）A ．yx y x =33B ．326m mm =C ．b a b a b a +=++22D ．b a a b b a -=--23)()(6．22222nm m n m n ⋅÷-的结果是（ ）A ．2nm- B ．32n m -C ．4m n-D ．－n二.填空题7.1a c b c÷⨯_____； 2233y xy x -÷_____．8．389()22x yy x⋅-=______；=+-÷-x y x x xy x 33322______． 9．（2015•泰安模拟）化简的结果是 ．10.如果两种灯泡的额定功率分别是21U P R =，225U P R=，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的________倍.11．3322()a bc =____________；=-522)23(z y x ____________． 12．222222.2ab b a b a ab b a ab+-=++-______． 三.解答题13. （2016•黄石）先化简，再求值：÷•，其中a=2016.14.阅读下列解题过程，然后回答后面问题 计算：2111a b c d b c d÷⨯÷⨯÷⨯解：2111a b c d b c d÷⨯÷⨯÷⨯ ＝2a ÷1÷1÷1①＝2a ． ②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．15．小明在做一道化简求值题：22222().,x xy y x yxy x xy x-+--÷他不小心把条件x 的值抄丢了，只抄了y ＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？【答案与解析】一.选择题1.【答案】C ； 【解析】 ∵ 2261061045353ab c ab c ac b c b c==，∴ 选C 项．2.【答案】B ；【解析】原式=（a ﹣2）•=a+2，故选B ．3.【答案】B ； 【解析】解：原式=×=．故选B.4.【答案】D ；【答案】23663333228()3327a a a b b b ==. 5.【答案】D ；【解析】3322()()()()a b a b a b b a a b --==---. 6.【答案】B ；【解析】222222222223n n m n m m m m n n m m n n-÷⋅=-⋅⋅=-.二.填空题7.【答案】2abc；292x y -；【解析】2111a a ac b c b c c bc÷⨯=⨯⨯=.22223933322y x x xy xy x y y -÷=-⨯=-. 8.【答案】218x-；－1；【解析】328918()22x y y x x⋅-=-；22233()3133()x xy x y x x y x x x x x y --+-÷=⨯=---. 9.【答案】；【解析】解：原式=••=．10.【答案】5；【解析】222122555U U U RP P R R R U ÷=÷=⨯=. 11.【答案】9368a b c；1010524332x y z -；【解析】3399323636228()a a a bc b c b c==；25101052510510533243()2232x x x y z y z y z -=-=-.12.【答案】ba；【解析】()()()()()2222222.2b a b a b a b ab b a b ba ab b a ab a a b aa b ++-+-=⋅=++--+.三.解答题13.【解析】 解：原式=••=（a ﹣1）•=a+1当a=2016时，原式=2017． 14.【解析】解：第①步不正确，因为乘除运算为同级运算时，应从左到右依次计算.应为：22111111111a b c d a b c d b b c c d d ÷⨯÷⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=2222a b c d.15.【解析】解：22222().x xy y x yxy x xy x-+--÷ ＝()()22xyx yx x y xx y ---⨯⨯- ＝5y -=这道题的结果与x 的值无关，所以他能算出正确结果是5.分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】【403995 分式的加减运算 知识讲解】 要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：a b a bc c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减【403995 分式的加减运算 例1（5）（6）】1、计算：（1）22222333a b a b a ba b a b a b+--+-； （2）222422x x x x x +-+--； （3）2111x x x-+--； （4）222222222a ab b a b b a a b ++--- 【答案与解析】 解：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222222333a b a b a b a a b a b ab ++--+===； （2）222224242222x x x x x x x x x x +-+-+=-----()222224222x x x x x x -+--===--（3）2121213111111x x x x x x x x x x ---+-+=-==-------； （4）222222222222222222a ab b a ab b a b b a a b a b a b a b++=-+------ 2()()()a b a ba b a b a b--==+-+.【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简． 举一反三：【变式】（2016春·广州校级月考）化简：2221122a a a a a a --+--【答案】解：原式=2221122a a a a a a -----=()()12a a a a --=12a a -- 类型二、异分母分式的加减2、计算：（1）21132a ab +；（2）2312224xx x x+-+--；（3）211a a a ---． 【思路点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为26a b ；（2）题是异分母分式的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将分母因式分解；（3）题是分式21a a -与(1)a --即(1)a -+的和，可将整式部分当成一个整体，且分母为1，使运算简化． 【答案与解析】 解：（1）原式2222323666b a b aa b a b a b+=+=； （2）原式2312224x x x x =-++--31222(2)(2)x x x x x =-++--+ 3(2)(2)24(2)4(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x --++-===-+-++；（3）原式222222211(1)111111111a a a a a a a a a a a a a a +----+=-=-===------． 【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算． 举一反三： 【变式】计算：（1）212293m m ---；（2）112323x y x y ++-. 【答案】 解：（1）212293m m ---122(3)(3)(3)(3)(3)m m m m m +=-+--+ 12262(3)2(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m ---===-+-+-+． （2）()()()()112323232323232323x y x yx y x y x y x y x y x y -++=++-+-+-()()2223234232349x y x y xx y x y x y -++==+--.类型三、分式的加减运算的应用3、（白云区期末）设A 、B 两地的距离为s ，甲、乙两人同时从A 地步行到B 地，甲的速度为v ，乙用v 的速度行走了一半的距离，再用v 的速度走完另一半的距离，那么谁先到达B 地，说明理由．【思路点拨】分别求出甲乙两人走完全程的时间，比较即可．【答案与解析】解：甲走完全程的时间为，乙走完全程的时间为+=+=2524•， ∵2524•＞， ∴甲先到达B 地．【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数是变大了，还是变小了？请先举例发现其中的规律，再设法说明理由． 【答案与解析】解：应选择不同特点的分数来试验探索．1112122132+=>+:；5527544264+=<+:； 2224233253+--=-<-+:；882823323+--=->-+:；… 我们发现：对于正的真分数，分子、分母都加相同的正数时分数变大；对于正的假分数，分子、分母都加相同的正数时分数变小；对于负分数，结论与上两条恰好相反．说明：（1）对于ba（a ，b 均为正整数，且a b >），分子、分母同时加上正数m ，则变成b ma m++．因为()()()()b m b a b m b a m a m a a a m a a m +++-=-+++()0()()am bm m a b a a m a a m --==>++，所以b m b a m a+>+．①（2）对于ba（a ，b 均为正数，且a b <），分子、分母同时加上正数m ，则变成了b m a m ++，因为()0()b m b m a b a m a a a m +--=<++，所以b m ba m a+<+．② （3）对于负分数的情形，只要将①、②两式两边同乘－1即得结论．【总结升华】通过特例发现问题，得出一般结论，并去证明，是我们常用研究、探索问题的手段．【巩固练习】一.选择题 1．（洪江市期末）下列计算正确的是（ ） A.+= B. +=0C.﹣=0D.+=0 2．3333x a a y x y y x+--+++等于（ ）A ．33x y x y -+B ．x y -C ．22x xy y -+D ．22x y +3．b c aa b c-+的计算结果是（ ）A ．222b c a abc -+ B ．222b c ac a b abc--C ．222b c ac a babc-+D ．b c aabc-+ 4.（2016·攀枝花）化简22m n m n n m+--的结果是（ ） A.m n + B. n m - C. m n - D. m n --5．313---a a 等于（ ) A ．2261a a a+-- B ．1242-++-a a a C ．1442-++-a a a D ．a a-16．21111x x x x n n n +-+-+等于（ ） A ．11+n xB ．11-n xC ．21xD ．1二.填空题7.分式2222,39a bb c ac 的最简公分母是______． 8．分式,()()x ya x yb y x --的最简公分母是______．9．计算aa -+-329122的结果是____________． 10.（2016·新县校级模拟）计算：22311x x x -=+- ．11.211a a a-+=+_________. 12．若ab ＝2，a b +＝3，则ba 11+＝______．三.解答题13.（2015•保康县模拟）化简：+．14．已知2222222xy x y M N x y x y +==--、，用“＋”或“－”连结M 、N ，有三种不同的形式：M ＋N 、M －N 、N －M ，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x ∶y ＝5∶2．15．已知220x -=，求代数式222(1)11x x x x -+-+的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】解：A 、+=，故错误；B 、原式=+=，故错误；C 、原式==﹣，故错误；D 、原式=﹣=0，故正确．故选D ．2. 【答案】A ；【解析】333333x a a y x y x y y x x y+---+=+++. 3. 【答案】C ；【解析】222222b c a b c ac a b b c ac a ba b c abc abc abc abc-+-+=-+=.4. 【答案】A ；【解析】()()2222m n m n m n m n m n m n n m m n m n m n+-+=-==+-----. 5. 【答案】A ；【解析】2233332326311111a a a a a a a a a a+--++---=-==----. 6. 【答案】D ；【解析】1131112311n n n n n n n x x x x x x x x+-+++++--++==. 二.填空题7. 【答案】229ab c ； 8. 【答案】()ab x y -；9. 【答案】23a -+； 【解析】()()()()221223231222939333a a a a a a a a -+--+===----+-+. 10.【答案】323x x x--；【解析】()()()()()()()3313323111111x x x x x x x x x x x x x x x x -----==+-+-+--． 11. 【答案】11a +；【解析】22211111a a a a a a a --+=-=+++11a +. 12.【答案】32；【解析】1132a b a b ab ++==.三.解答题 13.【解析】 解：原式=+=+=．14.【解析】解：M －N ＝()()()2222222222222x y xy x y xy x y x yx y x y x y x y x y x y -+----==-=----+-+.因为x ∶y ＝5∶2，设52x k y k ==，所以原式＝523527k k k k --=-+.15. 【解析】解：()22222221(1)(1)1111x x x x x x x x x ---+=+-+-- 因为22x =所以原式()2222221(1)21221111x x x x x x x x ---++-=+==---. 分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】【 分式方程的解法及应用 知识要点】 要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b+=，（a ，b 为非零常数）【答案】B ；【解析】A 、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B 项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程2、 解分式方程（1）10522112x x +=--；（2）225103x x x x-=+-． 【答案与解析】 解：（1）10522112x x+=--， 将方程两边同乘(21)x -，得 10(5)2(21)x +-=-．解方程，得74x =． 检验：将74x =代入21x -，得52102x -=≠． ∴ 74x =是原方程的解． （2）225103x x x x-=+-，方程两边同乘以(3)(1)x x x +-，得5(1)(3)0x x --+=． 解这个方程，得2x =．检验：把2x =代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0． ∴ 原方程的解是2x =．【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根． 举一反三： 【变式】解方程：21233x x x-=---． 【答案】 解：21233x x x-=---， 方程两边都乘3x -，得212(3)x x -=---， 解这个方程，得3x =，检验：当3x =时，30x -=， ∴ 3x =是增根，∴ 原方程无解．类型三、分式方程的增根3、（2015春•安岳县期中）若解关于x 的分式方程会产生增根，求m 的值． 【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值． 【答案与解析】解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得2（x+2）+mx=3（x ﹣2） ∵最简公分母为（x+2）（x ﹣2）， ∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4． 把x=﹣2代入整式方程，得m=6． 综上，可知m=﹣4或6．【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 举一反三： 【变式】如果方程11322x x x-+=--有增根，那么增根是________．。
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华师大版八年级数学下册家庭辅导资料第二十一章 数据的整理与初步处理知识结构：处理数据表示一组数据集中程度的指标表示一组数据离散程度的指标平均数中位数众数极差方差标准差加权平均数用计算器求平均数用计算器求标准差表示一组数据集中程度的指标应知一、基本概念 算术平均数：一组数据的总和与这组数据的个数之比叫这组数据的算术平均数。
其计算公式为：nx x x x x n 321++++=Λ，即：算术平均数=各数据的和÷数据的个数。
算术平均数是全部数据的算术平均，又称均值，符号为M （Mean ）。
它主要适用于数值型数据，但不适用品质数据。
算术平均数易受极端数据的影响。
加权平均数： ⑴ 一般说来，如果n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，x k 出现f k 次，且f 1 + f 2 +... +f k =n ，则这n 个数的平均数可表示为n f x f x f x x k k 2211+++=Λ。
其中nfi 是x i 的权重（i=1，2...k ）。
加权平均数=(各数据×该数据的权重)的和。
⑵一般地，如果n 个数据n 21x x ,x Λ。
的重要程度用连比n 21f ::f :f Λ表示，其中n 21f ::f :f Λ也叫做数据n 21x x ,x Λ的权数，那么这组数据的加权平均数为:x ＝ 加权平均数=(各数据×该数据的权数)之和÷各数据权数之和。
【注意】算术平均数其实就是加权平均数中的权是1：1的情况时求得的平均数。
可以说算术平均数，只是加权平均数中的一个特例。
而加权平均数可以根据数据各部分重要性的不同而得出不同的结果（即权的不同），比平均数适用的范围更广。
但是除了以频数为权数的情况外，权数或权重的确定带有一定的人为因素。
中位数：一组数据按照大小顺序排列起来，位于正中间位置的数据就是中位数；如果数据的个数为偶数，那么位于正中位置的两个数的平均数是中位数．【注意】每一组数据只有一个中位数．中位数不容易受两边极端值的影响，但缺乏敏感性，不能反映多数数据变化的情况．众数：一组数据中出现次数最多．．．．．．的数，叫做这组数据的众数。
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第十一章：数的开方
知识点
内容
概念:如果一个数的平方等于 a，那
么这个数叫做 a 的平方根
算术平方根：正数 a 的正的平方根
平方根
立方根
实数
记作：√a
性质：正数有两个平方根，它们互
为相反数，0 的平方根是 0，负数
没有平方根
概念：如果一个数的立方等于 a,
那么这个数叫做 a 的立方根
= ( + )（ − ）
第十三章：全等三角形
知识点
全等三角形
内容
备注
性质：全等三角形的对应边和对应角相等
三角形全等的判定：
1. （边边边）S.S.S.：如果两个三角形的三条
边都对应地相等，那么这两个三角形全等。
2.（边、角、边）S.A.S.：如果两个三角形的其
中两条边都对应地相等，且两条边夹着的角都
第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么
这两个命题叫做互逆命题
考点：判断一个命题或定理
的逆命题为真为假
五个基本的作图方法：
考点：综合考察，例如用尺
规作图画直角三角形，等腰
三角形等等
①作一条线段等于已知线段
②作一个角等于已知角③作已知角的平分线
④过一点作已知线段的垂线
⑤作已知线段的垂直平分线
D
A
性质：①是特殊的等腰三角形，因此具有等腰
对应地相等，那么这两个三角形全等。
3.（角、边、角）A.S.A.：如果两个三角形的其
中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都
对应地相等的话，那么这两个三角形全等。
4.（角、角、边）A.A.S.：如果两个三角形的其
中两个角都对应地相等，且对应相等的角所对
华东师大版八年级数学上册知识点总结
数学8年级上册第十一章：数的开方知识点内容备注幂的运算同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加逆用：=幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘逆用：例：积的乘法积的乘方，把积的每一个因式分别相乘，再把所得的幂相乘==逆用：例=1 同底数同底数幂相处，底数不变，指数相减逆用：知识点内容备注平方根概念:如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根算术平方根：正数a的正的平方根记作：性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根考点：（a的取值范围a）②()③(a的取值范围为任意实数)④=例：=（）=5⑤=a(a为任意实数)例：=2, =—2 立方根概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根性质：任何实数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0实数1.包括有理数和无理数2.实数与数轴上的点一一对应常见的无理数（无限不循环小数）有：①π②开方开不尽的数，如，等考点：判断下列的数哪些是无理数？有理数：分数和整数的统称如：，, 0都是有理数幂的除法例：若=2,则的值是?整式的乘法单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同的字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式例：·=[3·(-2)]·(·x)·(y·)=单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加例：(-2=(-2+(-2)=-6+10多项式与多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加例：（X+2）（X—3）==整式的除法单项式除于单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式例：24=（24）（）（）=8多项式除于单项式多项式除于单项式，先用这个多项式的每一项除于这个单项式，再把所得的商相加例: (9)(3x)=9=3乘法公式平方差公式两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差例：(a+b)(a-b)=逆用：=(a+b)(a-b)两数和的平方公式两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍例：逆用两数差的平方公式两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍例：逆用定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解常考点：①两种因式分解法一起运用（先提公因式，然后再运用公式法）因式分解因式分解的方法：①提公因式法②运用乘法公式法=(a+b)(a-b)例：=②“1”常常要变成“”例：第十三章：全等三角形知识点内容备注全等三角形性质：全等三角形的对应边和对应角相等三角形全等的判定：1. （边边边）S.S.S.：如果两个三角形的三条边都对应地相等，那么这两个三角形全等。
华东师大版八年级下册数学教案及配套课件
华东师大版八年级下册数学教案及配套课件篇一：华东师大版八年级下册数学教案全册华东师大版教师：2022年2月第17章分式17.1.1 分式的概念教学目标：1、学问与技能：经受实际问题的解决过程，从中熟悉分式，并能概括分式的意义。
2、过程与方法：使学生能正确地推断一个代数式是否是分式，能通过回忆分数的意义，类比地探究分式的意义。
3、情感态度与价值观：渗透数学中的类比，分类等数学思想。
教学重点：探究分式的意义及分式的值为某一特定状况的条件。
教学难点：能通过回忆分数的意义，探究分式的意义。
教学过程：一、做一做（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米；（2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为________米；（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是___元；二、概括： A形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A叫做分式的B分子,B叫做分式的分母.整式，整式和分式统称有理式, 即有理式分式.三、例题：例1 以下各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）1x3x?y2xy；（2）；（3）；（4）. 3x2x?y解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）.留意：在分式中，分母的值不能是零.假如分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分S9式中，a≠0；在分式中，m≠n. m?na 例2 当x取什么值时，以下分式有意义？1x?2（1）；（2）. x－12x?3分析要使分式有意义，必需且只须分母不等于零.解（1）分母x－1≠0，即x≠1.1所以，当x≠1时，分式有意义. x－13（2）分母2x?3≠0，即x≠-. 23x?2所以，当x≠-时，分式有意义. 22x?3四、练习：P5习题17.1第3题（1）（3）1．推断以下各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, 7 , 9?y, m?4, 8y?3，1 xx?9520y22. 当x取何值时，以下分式有意义？（1）（2）（3）x2?43?2xx?23. 当x为何值时，分式的值为0？ 3x?52x?5五、小结：什么是分式？什么是有理式？六、作业：P5习题17.1第1、2题，第3题（2）（4）七、教学反思：通过分式概念的教学，让学生懂得了什么时分式，知道了分式与整式的区分，了解了分式成立的条件，为以后的学习打好了根底。
初中数学八年级上册教学资料ppt(19份) 华东师大版8
1.两数和乘以这两数的差
知识回顾
1．多项式乘以多项式的法则： 用多项式的每一项乘以另一个多项式的 每一项，并把乘得的积相加。
2．计算：（1）（a+b)（a-b) (2)(x＋3)(x－3)； (3)(a＋3b)(a－3b)；
新知探索 用多项式乘法法则进行计算
(a+b)(a-b) =
1 1 5 、 ( x 2 y )( x 2 y ) 2 2
新知应用
1、街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统 一规 划后，南北向要加长2米， 而东西向要缩短2米，问改造后 ) a2 4
2
答 :改造后的长方形草坪的 面积是 (a 4 ) 平方米
新知延伸 例 计算
解： 1998
1998 2002
2002 = （2000-2）（2000+2）
2 2 2000 2
=4000000-4 =3999996
拓展练习
⑴ 102×98= (100＋2)(100－2)=9996 ⑵ 50 3 ×49 3 =
2 1
⑶ 59.8×60.2= ⑷ 5678×5680－56792=
(a+b)(a-b) 2 2 = a -ab+ab-b -ab +ab 2 2 = a -b b
2 2 a -b
几何验证
a a-b
(a+b)(a-b)
b
b
a
b
a
a-b
(a+b)(a-b)=a2-b2
新知归纳
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差. 大家议一议，平方差公 式有什么 特点？
(完整word版)八年级数学各章知识点(华东师大版)上册(良心出品必属精品)
1第十二章：数的开方（一）1如果一个数的 ___________ 等于a ,那么这个数叫做a 的平方根，正数的平方根有 _个，它们的关系 是 ______ ，0的平方根是 _______ ，负数 __________ 。
正数a 的 ________________________ ，叫做a 的算 术平方根。
3、如果一个数的 __________ 等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根，正数有 __________ 的立方根，负数有一 的立方根，0 的立方根为 _____________ 。
一、平方根的概念及性质 1 1 1（ 1） _______ 的平方等于25,所以25的平方根是 ____________ （ 2）_ ■勺平方等于 ，所以 的 平方根是 ________9（3） 121的平方根 ___ ，所以它的算术平方根是 一（4） 的平方根 ______ ，所以它的算术平方根 是 ______ — F2、 下列说法正确的个数是（）①0.25的平方根是0.5 ;②—2是4的平方根；③只有正数才有平方根; ④负数没有平方根 A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、 下列说法中不正确的是（）5、 若2m — 4与3m — 1是同一个数的平方根，则m 的值是（）A 、一3 B 、1 C 、一 3 或1 D一 16、 ____________________________________________________ 若一个正数的平方根是 2a — 1和—a + 2,则a=a +3和2a —15，那么这个数是多少？ 二、算术平方根的概念及性质 1、 16的算术平方根是（）A 、 4B 、4C 、2 D、2 2、9的算术平方根是（）A 、— 3B、3 C 、 3D 、813、 下列计算不正确的是（）A 、石 2 B 、讥 疔 ^81 9 C 、3；0.064 0.4 D 、3 R664、 下列叙述正确的是（ ）A 0.4的平方根是土 0.2B 、—（— 2） 3的立方根不存在C 、土 6是36的算术平方根D 、— 27的立 方根是一 35、 不使用计算器，你能估算出126的算术平方根的大小在哪两个整数之间吗？（ ） A 10— 11 之间 B 、11 — 12 之间 C 、12— 13 之间 D 、13— 14 之间6、 如果一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是（ ）A 、0 B 、土 1 C 、0和1 D 、0 或土 17、 __________________________ 若 a 16，则 a = _____________ 若厲 1.2，则 a =A 9的算术平方根是3B 、16的平方根是 2C 数是一 14、求下列各数的平方根9 1）、 100 2 ）、 0 32）40.09、27的立方根是 3D 、立方根等于一1的实 ）、1 549 ）、6）、2&计算：（考查平方根、算术平方根、立方根的表示方法）厂3「 巨1）、 192）、3）、' 163厚J 1 194） 31255）\ 64627四、能力点：会用若x 2 |y|逅0，则x o,y o,z 0去解决问题 例题分析：21、已知x , y 是实数，且3x 4 （y 3），则xy 的值是（）99A 4B 、一 4C 、 4D 、一 4 2、若「X 4Jxy 5，贝y x ___________ ，y _________& 恋3— 2的相反数是 ________ ;— 2的绝对值是 ________ 9、求下列各数的算术平方根1）、0.00252 ）、（3 )、0 4)( — 2)X( — 6)三、立方根的概念及性质1、下列说法正确的是（［①12是1728的立方根;② 的立方根是0A 、①④B 、②③C 、①③D 、②④根是：③64的立方根是 4 ；④02、 下列说法中错误的是（） A 5是5的平方根 B 、一 16是256的平方根 C 、—115是 平方根3、 下列说法中错误的是（） 24算术平方根-D 扃A 负数没有立方根 B1的立方根是1 C 、38的平方根是2D 、立方根等于它本身的数有4、若a 是（3）2的平方根，贝U 紅a =（ ） A 、一 3 BC 、3 3或—3 3D 、3和—35、已知x 的平方根是2a + 3和1 — 3a , y 的立方根为a ，求x + y 的值_______________ ； 9的立方根是 __________________3、已知5 x 3 ly n (x D20，求xyz= _________ 34无理数常见的三种形式： 1）开方开不尽的数，如2 , 32 ）特定意义的数，女口3 ）有特定结构的数，如0.010010001 -,311、 下列各数：2 , - 3 , 3.1415926, 25 , 19 , 3 8 , 3.101001000……中无理数有（ ）2、 _________________________________________________________________________ 若无理数a 满足不等式1<a<4,请写出两个符合条件的无理数 ________________________________________223、 下列各数：7 , 0,-, 罷,^64 , 2—中无理数有 ______________________________________________ 22 _____ _2、下列各数：3血，—7 , 3 27 , 1.414 , — 3 , 3.12122 , 闪 中无理数有 __________ __有理数有 ____________________ ;负数有 _______________________ ;整数有 _________ ______________ 3、设a 是实数,则|a| — a 的值（）A 、可以是负数B 、不可能是负数C 、必是正数D 、可以是正数也可以是负数 屈，,術,0中无理数有（）A 4 B 、3 C 、）、无限小数是无理数 C 、数轴上的点与有理数一一对应 带根号的数—3| 与-37、边长为1的正方形的对角线的长是（）A 、整数&写出一个3和4之间的无理数 ______________ 9510、 比较大小：（1） 2庚 _________ 5迈；（2） 3 __________ J 3516、下列各数中，互为相反数的是（ ）A 、一 3 和-34、已知 x y 14 才 y 10x 、，求的值2 5、1)(2x 1) 169 0 ；2)4(3x 1) 17x 3 2 041 _ 4、 下列实数：19 , —2 , 5、 下列说法中正确的是（ A 、有限小数是有理数 BD 、无理数就是B 、分数C 、有理数D 、无理数i --、数轴上表示1 -3的点到原点的距离是11、在下列各数中，0.5, 4, 3 125, - 0.03745 , 3，： 0.12, i —5，其中无理数的个数为（）A 2 B、3 C、4 D、512、一个正方形的面积扩大为原来的n倍，则它的边长扩大为原来的（）nA n 倍B 、2n 倍C > -n倍D 、2 倍6. 9的平方根是 A. ± 3 B.3 C. ± 3 D. 321、x为何值时，下列各式有意义：① 5 x②：x22、解下列方程1) x 2=44)(x-1) 2=492)x 3-27=03）、x 53、81 的平方根是____________ ；27 的立方根是__________ 。
华师大版数学八年级上册本章归纳总结课件
9.先化简，再求值： （1）3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中a=-2；
解： 3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4) =6a3-12a2+9a-6a3-8a2 =-20a2+9a
当a=-2时，原式=-20×(-2)2+9×(-2)=-80-18=-98
（2）(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8，b=-6； 解 (a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2
（6）(-6a2b5c)÷(-2ab2)2 =(-6a2b5c)÷4a2b4 =-1.5a2-2b5-4c =-1.5bc
6.计算：
（1）(6a4-4a3-2a2)÷(-2a2) =6a4÷(-2a2)-4a3÷(-2a2)-2a2÷(-2a2) =-3a2+2a+1
（2）(4x3y+6x2y2-xy3)÷2xy =4x3y÷2xy+6x2y2÷2xy-xy3÷2xy =2x2+3xy-0.5y2
解：
a2+b2=a2+b2+2ab-2ab =(a+b)2-2ab =32-2×2 =5
13.已知a-b=1， a2+b2=25，求ab的值.
解：
ab=[-(a-b)2+a2+b2]÷ 2 =(-12+25)÷ 2 =12
14.把下列多项式分解因式：
（1）x(x+y)-y(x+y) =(x-y)(x+y)
=p3-5p2q-5pq2-6q3
3.计算： （1）(x+2)(x-2) =x2-4
八年级数学上册 各章家庭辅导资料教案 华东师大版
华师大版数学八年级上家庭辅导资料第十二章 数的开方知识结构：实际问题平方立方实数有理数无理数算术平方根平方根立方根应知一、基本概念平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。
【注意】一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
【注意】①正数a 的算术平方根a 的双重非负性：⎩⎨⎧≥≥0a 0a②正数a 的平方根记作a ±立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或三次方根） 【注意】①一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
②33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。
【注意】无理数归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等 实数：有理数与无理数统称实数。
二、基本法则1. 实数大小比较法则：见第二章“有理数大小比较法则”(加入无理数即可)。
2. 实数运算法则：见第二章“有理数运算法则”(加入无理数即可)。
【注意】实数的大小比较和运算通常可取它们的近似值来进行。
● 应会1. 平方根、立方根的符号表示。
2. ⋯17131052、、、、在数轴上的表示方法。
3. 实数的大小比较和运算。
● 例题1. 把下列各数填入相应的括号内：２，０，3，∙∙21.0，1-π，1.0-，144，()013-，722，020********.0属整数的有{ …} 属无理数的有{ …} 2. 81.0的平方根是 ，425的算术平方根是 ，610-的立方根是 。
3. 21-的相反数是（ ） A 、21+B 、12- C 、21-- D 、12+-4. 0.4的算术平方根是（ ） A 、0.2 B 、±0.2 C 、510 D 、±5105. 在数轴上标出51+，写出画点的过程。
初二数学华东师版知识点
初二数学华东师版知识点失败乃成功之母，重复是学习之母。
学习，需要不断的重复重复，重复学过的知识，加深印象，其实任何科目的学习方法都是不断重复学习。
下面是小编给大家整理的一些初二数学的知识点，希望对大家有所帮助。
初二下册数学知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零.2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即;当n为正整数时，6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数)(1)同底数的幂的乘法：;(2)幂的乘方：;(3)积的乘方：;(4)同底数的幂的除法：(a≠0);(5)商的乘方：;(b≠0)7.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简;(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。
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华师大版八年级数学下册家庭辅导资料第十七章 分式知识结构：分式方程分式运算分式分式的基本性质零指数冪与负数指数冪科学记数法可能产生增根通分分式的乘除分式的加减约分应知 一、基本概念。
分式： 一般地，形如BA的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母，且B ≠0。
【注意】①对整式、分式的正确区别：分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。
②a1＋4带有a 是无理式，不是整式，故不是分式。
③当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分母不等于零时，分式有意义。
当分式的分子是零而分母不等于零时，分式的值等于零。
最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式运算的结果均要化为最简分式。
有理式：整式和分式统称有理式。
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
【注意】①约分的步骤主要是：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式。
②分式的约分是分式的分子与分母整体进行的，分式的分子和分母必须都是乘积的形式，才能进行约分。
③分式分子有负号时，先把负号提到分式的前面。
④要将(a －b)与(b －a)统一成(a －b)，注意－(a －b)3=(b －a)3，(a －b)4=(b －a)4。
⑤分式的分子与分母虽然是积的形式，但没有公因式，并且每一个因式都还能分解时，要先分解再约分。
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
【注意】①通分的关键大确定几个分母的最简公分母。
②找最简公分母的方法步骤：（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。
这样取出的因式的积，就是最简公分母。
③系数不是整数时，要先根据分式的基本性质，把它们化成整数。
④分母是多项式时，要对分母进行因式分解，并注意统一字母排列顺序（一般按某一字母的降幂排列）；分母的系数是负数的，一般把负号提到分式本身前面去。
分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。
增根：将分式方程变形为整式方程时，•方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不适合原方程的解（或根），这种根通常称为增根。
二、基本法则1. 分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即： A/B=(A ³M)/(B ³M)=(A ÷N)/(B ÷N) ,其中M 、N 为整式，且B ≠0,M ≠0,N ≠0。
2. 分式运算法则 乘除法法则：（1）分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，用式子表示为a b ²d c =adbc；（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，用式子表示为b a ÷d c =b a ²c d =bcad。
乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方。
用式子表示为：(b a )n =n nba （其中n为正整数）。
加减法法则：同分母分式的加减法与同分母分数的加减法的法则类似，即分母不变，分子相加减，用式子表示是：c a ±c b =cb a ±。
异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为：b a ±dc =bd bcad ±。
应会1. 分式化简(求最简分式)。
【注意】①约分是利用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变。
所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果是最简分式。
②通分要先确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。
2. 分式运算。
【注意】①加减乘除类似分数。
②整数指数幂有以下运算性质：（1）a m a n =a m+n （m ，n 是整数)； （2）(am)n =a mn（m ，n 是整数）（3）(ab)n =a n b n （n 是整数）； （4）a m ÷a n =a m-n（m ，n 是整数）（5）(a b )n =n n a b（n 是整数）； （6）a -n =1n a （a ≠0）；特别地，当a ≠0时，a 0=1.有了负整数指数幂后，小于1的正整数也可以用科学记数法表示．③在分式的加减法运算中，注意把分子看成一个整体用括号括起来，再相加减，异分母分式的加减，要注意确定最简公分母． ④在分式的加减法运算中：（1）计算前，注意幂的底数、指数、特别是各项系数． （2）要根据性质正确计算，防止（-2）-2=4，-2-2=211(2)4=-等类错误． （3）注意运算顺序，结果中不同时含分式和负整数指数幂．3. 解分式方程。
【注意】①解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母。
②可能有增根。
（1）增根产生原因：分式方程变形所得的整式方程的某个根使变形时所乘的整式的值为零，它就不适合原方程，即是原方程的增根．因为这个根会使分式方程的某个分母为零，不符合分式方程的定义。
（2）增根的检验：将方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，如果为零，即为增根。
③解分式方程应用题必须双检验：a.检验方程的解是否是原方程的解；b.检验方程的解是否符合题意。
例题1. 当x 取何值时，分式 无意义？2. 当x 为何值时，分式 的值为0？3. 填空：2312-+x x xx x --21（1）x x x 22-=2-x =+22633xxy x yx + （2）=+ab b a b a 2 =-22aba b a 2（b ≠0） 4. 通分 （1）y x y x 22+-与2)(y x xy + （2）9422-m mn 与3232+-m m （3）y x 3与223y x （4）b a c 26与23ab c（5）x x x --21和xx x +-215. 先化简，再求值：,21222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--ab b a ab b a b a 其中a=5,b=-3 6. 先化简，再求值：32,32,24422222-=+=-++-÷+-y x yxy x y x y x y x 其中 7. 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则2a bm dc a b c++-=++ ．8. 方程2515--=-x x m 有增根，求m 的值。
9. 计算：（1）)4(3)98(23232b xb a xy y x ab -÷-⋅ （2）x x x x x x x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44462210. 计算： （1）96261312--+-+-x x x x （2）22643461461xy xy x y x --+-- 11. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的32，求甲、乙两队单独完成各需多少天？12.某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快51，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
13. 甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器各加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？14. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?参考答案 1.32 2. -1 3. (1)1 x 2 (2)ab a 2+ 2b ab 2- 4. (1) ()()2222y x 2xy2y x 2y x ++-与 (2) ()9m 432m 9m 4mn 2222---与 (3) 22y6x9y 6xy 2与 (4)2222b a 3ac b a 3bc 18与 (5) ()()()1x x 1x 1x x 1x 2222----与5. 原式=()()()()1352b a 2b a ab 2b a ab b a b a 2=-=+=+∙--+6. 原式=()()()()()()()436323232232y x y 2x y x y x y 2x y 2x y x 2-=-++-++=++=-++∙+-7. 原式=1m 2-=4－1=3 填空 38. 解方程：-m=1-2x+10， m=2x-11∵有增根 ∴x-5=0，x=5 m=-19. (1)原式=x bb a xy y x ab 34)98(23232-⋅-⋅ (先把除法统一成乘法运算)=xbb a xy y x ab 349823232⋅⋅ （判断运算的符号） =32916axb （约分到最简分式） (2)原式=x x x x x x x --+⋅+⋅+--3)2)(3(31444622(先把除法统一成乘法运算) =x x x x x x --+⋅+⋅--3)2)(3(31)2()3(22(分子、分母中的多项式分解因式) =)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x =22--x (约分到最简分式） 10. (1)原式=)3)(3(6)3(2131-+-+-+-x x x x x (先把分母分解因式) =)3)(3(212)3)(1()3(2-+---++x x x x x (确定最简公分母,进行通分)=)3)(3(2)96(2-++--x x x x =)3)(3(2)3(2-+--x x x =623+--x x (约分到最简分式）(2)原式=y)2x 3y)(2x 3(x3y)2x 3(21y)2x 3(21-+++-- =y)2x 3y)(2x 3(22(3x)2y)-(3x -y)2x 3(-+++=y2x 31-11. 解：设乙队单独完成工程需x 天，则甲队单独完成工程需x 32天 由题意：1x322x 2x 1=++ 解得：x=6 4x 32=检验：∵ 2x ≠0， ∴x=6满足原方程，并与实际题意相符。
答：甲队单独完成工程需4天，乙队单独完成工程需6天。
12. 解：设原计划行军速度为x 千米/小时 由题意：1x60x 2.160=- 解得：x=10 检验：∵ 1.2x ≠0， ∴x=10满足原方程，并与实际题意相符。