数学分析中数形结合思想方法及其教学

数学分析中的数形结合思想方法及其教学

[摘要] 结合概念、定理的几何意义去理解、记忆概念和定理,根据题目已知条件的几何意义去理解题意,探讨解决问题的方法,能较深刻地理解概念的内涵以及命题的含义,理清解决问题的思路,达到事半功倍的效果。

[关键词] 数学分析数形结合思想方法

数形结合的思想方法是数学中一种常用的思想方法,是使抽象的数量关系直观化的重要方法和途径。通过数形结合使抽象的数学概念、数学关系变得直观、形象,使我们能更好地观察问题、分析问题、发现问题和理解问题。

数学分析是数学专业的重要基础课程,它的主要内容就是微积分,其中的许多概念、定理令人难以理解和掌握,许多习题的解答也让人无从下手。但是如果我们巧用数形结合的方法,结合概念、定理的几何意义去理解、记忆概念和定理,根据题目已知条件的几何意义去理解题意,探讨解决问题的方法,会达到事半功倍的效果。

1、数学分析概念中的数形结合思想方法

数学分析中的许多概念都具有一定的几何意义,通过对概念的几何意义的掌握,能对概念理解得更深刻,应用起来更能得心应手。例1.曲边梯形的面积——定积分的几何意义

由曲线以及直线,和(即x轴)所围成的平面图形就是曲边梯形。图1 曲边梯形面积的计算

如何计算曲边梯形的面积?采用下面极限的思想方法:[1]

(1)分割——分割区间积分区间,从而将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形。

(2)代替——用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。

(3)求和——将所有小矩形的面积累加,得到曲边梯形的面积的近似值。

(4)取极限——将积分区间无限地分割,并让每个小区间的长度无限趋向于零。

这样小矩形的面积之和就无限趋近于曲边梯形的面积。理所当然地,如果极限此存在的话,我们就把此极限值作为曲边梯形的面积了。

曲边梯形面积的计算过程体现了微积分中以直代曲的极限思想,而这些思想都是通过图象反映出来的。在教学过程中,要通过图象形象直观地说明这四个过程的含义,否则对这个计算过程就难以理解。

曲边梯形面积的计算是作为引入定积分概念的一个引例。定积分的定义很抽象,也很繁杂,使人难以弄懂。通过对曲边梯形面积计算的了解,一方面能使我们比较容易地去理解和记忆定积分的概念,看到定积分的一个几何原型,使定积分概念直观化;另一方面也能使我们感受到定积分概念中所蕴涵的数学思想方法,看到定积分概念的来龙去脉;同时,曲边梯形面积作为定积分的几何意义,能使我们对定积分的一些性质、含有定积分的一些等式有更好的理解,有助于我们提出一些与定积分有关的猜想。

数学分析中还有许多概念都有一定的几何意义,深刻理解这些概

念的几何意义,能使我们对这些概念理解更深刻,能更灵活运用概

念分析问题,解决问题。

2、数学分析定理中的数形结合思想方法

数学分析中的许多定理,看上去使人感到很神秘,令人望而生畏,

捉摸不透。但通过对定理的几何意义的理解,就会觉得定理的结论是顺理成章的,对定理的理解就比较深刻。

例2.罗尔定理的几何解释。

罗尔定理:若函数满足下列条件:

(1)在闭区间连续;(2)在开区间可导;(3)

则在内至少存在一点c,使

几何解释:在闭区间连续,表明曲线在上是一条连续不间断的曲线;在开区间可导,表明曲线在内是光滑的,在内每一点都存在切线;,

表明曲线两端点的连线ab与x轴平行。在上述条件下,在内就至少可以找到一点c,使,也就是在曲线上至少有一点,在这点的切线与

曲线两端点的连线ab平行。

图2 罗尔定理中函数的图象

在教学中,把满足定理条件的函数图象画出来,结论是很明显的。这样,定理的神秘感就被揭开,觉得结论是理所当然的了。

对一些定理的证明,我们可以运用数形结合的方法,寻求定理证明突破口。

例3.拉格朗日中值定理的证明。

拉格朗日定理:若函数满足下列条件:

1)在闭区间连续;2)在开区间可导。

则在内至少存在一点c,使

拉格朗日中值定理的证明关键是作辅助函数,然后应用罗尔定理

来证明的。这个辅助函数怎么作?可结合图象考察。

相当于直线ab的斜率,于是直线ab的方程为

因为要应用罗尔定理来证明,所以要构造的辅助函数必须连续、可导,且还要

图3 拉格朗日定理中函数的图象(1)

满足两个条件:(1)在区间两个端点的函数值必须相等,即;(2)的

导数。这样就可以由罗尔定理得到结果。由图3,因为直线ab与曲线交于a、b两点,作函数

就可以满足条件(1),即。再尝试求它的导数,恰好很显然它也满足条件(2)。于是,这就是证明拉格朗日定理所要作的辅助函数。这是许多教材在证明拉格朗日中值定理时所用的辅助函数。参看文献[1]和[2]。

其实,从图4可以看到,对任意与直线ab平行的直线l:

图4 拉格朗日定理中函数的图象(2)

作函数

对任意常数c,这个函数都能满足条件(1),并且求它的导数,很显

然也满足条件(2)。因此,对任意常数c,上述函数都能作为证明拉格

朗日中值定理的辅助函数。特别地,取,就可以构造出另一个更简洁的证明拉格朗日中值定理所需要的辅助函数

3、数学分析解题中的数形结合思想方法

在许多微积分的问题中,看上去使人感到深奥莫测,令人摸不着头脑。但是把问题中条件和结论的几何意义以及它们的关系弄清楚,就会对问题有一个清楚的认识,会认为在这样的条件下,得到这样的结果是理所当然的,问题的神秘感就会被掀开。

例4.设函数在区间[- a ,a]上连续,证明:

若是奇函数,则

若是偶函数,则

分析:许多教材是用换元法来证明的。然而,这样的等式似乎是太神秘了,它们好象是从天上掉下来的一块馅饼。但是,如果把满足条件的函数的图象画出来,用定积分的几何意义进行分析,那么结果就很明显了:

图5(a) 函数是偶函数时图5(b) 函数是奇函数时

当函数是奇函数时,其函数图象关于原点对称,可假设函数图象如图5(a)曲线与直线、以及所围成的平面图形的面积为a1,曲线与直线、以及所围成的平面图形的面积为,而a1=a2,由定积分的几何意义可知,

于是有

从而可得到

当函数为偶函数时,其函数图象关于y轴对称,可假设函数图象如