成都市龙泉驿区第一中学校2018届高三1月月考数学(理)

成都龙泉中学2015级高三上学期1月月考试题数 学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|12A x x =-<<,12|B x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B = （ ）A ．(0,)+∞B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(2,)+∞2. 已知i 为虚数单位，m R ∈，复数()()m m m m z 88222-+++-=i ，若z 为负实数，则m 的取值集合为（ ）A ．{}0B ．{}8C ．()2,4-D ．()4,2-3. 已知圆22:()1C x a y -+=，直线:1l x =；则：13''''22a ≤≤是''C 上恰有不同四点到l 的距离为12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B ，则B ＝( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 3π45.在等差数列{}n a 中，若59103a a a ++=，则数列{}n a 的前15项的和为（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．456. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=+-=02401)(,23)(223x x x x x x x g x x x f ，则方程[]0)(=-a x f g 的根的个数不可能为（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个7.记{},,max ,,.a ab a b b a b ⎧=⎨<⎩≥已知向量a ，b ，c满足1a = ，2b = ，0a b ⋅=，(,c a b λμλμ=+≥且)1λμ+=，则当{}max ,c a c b ⋅⋅ 取最小值时，c = （ ）A B 1 D 8.榫卯（s ŭn m ăo ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其体积为（ ）A.21B. 22.5C.23.5D. 259．函数y ＝xxa ｜x ｜（0＜a ＜1）的图象的大致形状是（ ）10.已知半径为5的求O 被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．或D ．25)π或25)π11.设a 1，a 2，…，a 2 017是数列1，2，…2 017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F 的值为( )A. 2 015B. 2 016C. 2 017D. 2 018 12. 若函数存在正的零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。

共20分）13.展开式中，的系数为__________．14.若x ，y 满足约束条件11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则34z x y =-的最小值为 ． 15．如图，-P ABCD 错误！未找到引用源。

是棱长均为1的正四棱锥，顶点P 错误！未找到引用源。

在平面ABCD 错误！未找到引用源。

内的正投影为点E 错误！未找到引用源。

， 点错误！未找到引用源。

在平面PAB 错误！未找到引用源。

内的正投影为点错误！未找到引用源。

，则∠=tan PEF 错误！未找到引用源。

．16.已知P 是圆224x y +=上一点，且不在坐标轴上，(2,0)A ，(0,2)B ，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则||2||AN BM +的最小值为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＋a 22＋…＋a nn ＝2n－1(n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝2n 2－na n ，数列{b n }的前n 项和为S n .若对一切n ∈N *，都有S n ＜M 成立(M 为正整数)，求M 的最小值．18. （本小题满分12分）如图，在矩形中，，，是平面同一侧面点，，，，，. （Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.19.（本小题满分12分） 某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为1ξ（万元）的概率分布列如表所示：且1ξ的期望1()120E ξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为(01)p p <<和1p -，乙项目产品价格一年内调整次数X （次）与2ξ的关系如表所示：（1）求,m n 的值； （2）求2ξ的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ）的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点A 在椭圆C 上，1||2AF =，1260F AF ∠=︒，过2F 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P ，Q 的中点为N ，在线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得MN PQ ⊥？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()()R a a x x a x x x f ∈+--=22ln 在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求a 的取值范围；（2）记两极值点分别为.,,2121x x x x <且已知0>λ，若不等式λλ211x x e ∙<+恒成立，求λ的范围.请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρ cos θ＋3＝0，θ∈[)0，2π.(Ⅰ)求C 1的直角坐标方程；(Ⅱ)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)．求C 1与C 2的公共点的极坐标．23.（本题满分10分） 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若对任意正数恒成立，求的取值范围.成都龙泉中学2015级高三上学期1月月考试题数 学（理科）参考答案1—5 CBBCA 6—10 DABDC 11—12 12.【解析】由，得，令，画出函数的图象，∵函数存在正的零点，∴函数和函数的图象在上有公共点。

①由图象知，当时，两函数的图象在上有公共点，满足题意。

②当时，若两函数的图象在上有公共点，则需满足，即，解得。

综上。

所以实数的取值范围是。

选B 。

13.【答案】【解析】展开式的通项为， 所以展开式中的系数为。

14.4 15.错误！未找到引用源。

16.817.【解析】(Ⅰ)因为a 1＋a 22＋…＋a n n ＝2n－1，则a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝2n －1－1(n ≥2).两式相减，得a nn ＝2n －1，即a n ＝n ·2n －1(n ≥2)． 由已知，a 1＝2－1＝1满足上式． 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ·2n －1.(6分)(Ⅱ)由题设，b n ＝n （2n －1）n ·2n －1＝2n －12n －1.(7分)则S n ＝11＋32＋522＋…＋2n －12n －1，12S n ＝12＋322＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .两式相减，得12S n ＝1＋1＋12＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n . (10分) 所以S n ＝6－2n ＋32n －1.显然，S n <6，又S 5＝6－1316>5，所以M ≥6，故M 的最小值为6.(12分) 18.【答案】（1）见解析（2）【解析】：（Ⅰ）由条件可得，，从而可证得平面，根据面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量的运算可求得二面角的余弦值为，进一步可得正弦值为。

（Ⅰ）∵四边形是矩形，∴. ∵，，故.又， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. （Ⅱ）∵，，，∴，∴， 又，，∴平面.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，19.解：（1）由题意得：0.411101200.4170120m n m n ++=⎧⎨+⨯+=⎩，得：0.5,0.1m n ==．（2）2ξ的可能取值为41.2，117.6，204.0，2(41.2)(1)[1(1)](1)P p p p p ξ==---=-222(117.6)[1(1)](1)(1)(1)P p p p p p p ξ==--+--=+-2(204.0)(1)P p p ξ==-所以2ξ的分布列为（3）由（2）可得：222()41.2(1)117.6[(1)]204.0(1)E p p p p p p ξ=⨯-+⨯+-+⨯-21010117.6p p =-++根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需12()()E E ξξ<，即21201010117.6p p <-++，得0.40.6p <<．因为22()1010117.6E p p ξ=-++，所以当12P =时，2()E ξ取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%. 20．解：（Ⅰ）由12e =得2a c =，1||2AF =，2||22AF a =-， 由余弦定理得，222121212||||2||||cos ||AF AF AF AF A F F +-⋅=， 解得1c =，2a =，2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）存在这样的点M 符合题意. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)N x y ， 由2(1,0)F ，设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，由221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=，由韦达定理得2122843k x x k +=+，故212024243x x k x k +==+， 又点N 在直线PQ 上，02343k y k -=+，所以22243(,)4343k kN k k -++. 因为MN PQ ⊥，所以22230143443MN k k k k k m k --+==--+，整理得22211(0,)34344k m k k ==∈++，所以存在实数m ，且m 的取值范围为1(0,)4．21解：(I )依题意得函数)(x f 得定义域为(0,+∞)，所以方程0)('=x f 在(0,+∞)有两个不同的根，即方程0ln =-ax x 在(0,+∞)有两个不同的根. 问题转化为函数xx x g ln )(=与ay =的图象(0,+∞)有两个不同的交点. 又,ln 1)('2x xx g -=即当e x <<0时，0)('>x g ；当e x >时，0)('<x g ， 所以)(x g 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减. 从而ee g x g 1)()(==极大值 ………………3分 又)(x g 有且只有一个零点是1，且当0→x 时，-∞→)(x g ；当+∞→x 时，0)(→x g . 所以，要想函数xxx g ln )(=与函数a y =的图象(0,+∞)有两个不同的交点， 只需ea 10<<. ………………6分 (II )因为λλ+⋅<211x x e 等价于21ln ln 1x x λ+<λ+，由(I )知21,x x 是方程0ln =-ax x 的两个根，即2211ln ,ln ax x ax x ==，所以原式等价于)(ln ln 12121x x a x x λ+=λ+<λ+，因为2100x x <<>λ，，所以原式等价于211x x a λ+λ+>. …………8分又由2211ln ,ln ax x ax x ==作差得)(ln 2121x x a x x -=，即2121ln x x x x a -=.所以原式等价于2121211lnx x x x x x λ+λ+>-，因为210x x <<时，原式恒成立，即212121)()1(ln x x x x x x λλ+-+〈恒成立. 令)1,0(,21∈=t x x t ，则不等式)1()1(ln -++<t t t λλ在)1,0(∈t 上恒成立. 令λλ+-+-=t t t t h )1()(1ln )(，又2222)()()1()()(11)('λ+λ--=λ+λ+-=t t t t t t t h ， 当12≥λ时，可见)(0,1∈t 时，0)('>t h ，所以)(0,1)(∈t t h 在上单调递增, 又)(0,10)(,0)(1∈<=t t h h 在上恒成立，符合题意. …………10分 当12<λ时，可见当)(0,2λ∈t 时，0)('>t h ，当)1(2，λ∈t 时，0)('<t h 所以)(0,)(2λ∈t t h 在上单调递增, 在),1(2λ∈t 上单调递减，又)(0,10)(,0)(1∈<=t t h h 在上不恒成立，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式λλ+⋅<211x x e 恒成立，只需12≥λ，又0>λ，所以1≥λ.…12分22.【解析】(Ⅰ)将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入ρ2－4ρcos θ＋3＝0得：(x －2)2＋y 2＝1.(4分) (Ⅱ)由题设可知，C 2是过坐标原点，倾斜角为π6的直线，因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6，ρ>0，(6分)将θ＝π6代入C 1：ρ2－23ρ＋3＝0，解得：ρ ＝ 3.将θ＝7π6代入C 1：ρ2＋23ρ＋3＝0，解得：ρ ＝－3，不合题意．故C 1，C 2公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6.(10分)23.【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）存在使不等式成立，等价于，（2）不等式对任意正数恒成立，化为，解不等式得解.（1）已知等价于所以实数的取值范围（2），（取等号）已知可化为所以. 因此实数的取值范围.。