高二数学最新教案-2018-02018分步和分类计数原理(二)
高二数学最新教案-2018-001分步和分类计数原理(一) 精
第一步，选一名男学生，有 = 5种方法；
解析：从两个口袋任取一球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内取一个球，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内取一个球，有4种方法。采用分类计数原理可得：
变式迁移：某同学有若干本课外参考书，其中外语5本，数学4本，物理3本，化学2本，他要到剑凡图书馆自习室去看书，若从这些参考书中带一本去图书馆，问有多少种不同的选法？
答案:N=3×5×4=60
4.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，……，做第n步有 种不同的方法，那么完成这件事有
种不同的方法
5.原理浅释
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.
从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合 它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般，虽然内容不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关，甚至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，我们都离不开它。
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.
高二数学说课稿之分类计数原理与分步计数原理
高二数学说课稿之分类计数原理与分步计数原理
各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，小编为大家整理了高二数学说课稿之分类计数原理与分步计数原理，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步!
一、说教材
1、教材的地位与作用
《分类计数原理与分步计数原理》，是高中数学第十章排列、组合的第一节课。
分类计数原理和分步计数原理是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解，掌握和运用，成为学好本章的一个关键。
2、教学目标
(1)知识目标
掌握计数的两个基本原理,并能正确的用它们分析和解决一些简单的问题.
(2)能力目标
通过计数基本原理的理解和运用,提高学生分析问题和解决问题的能力,开发学生的逻辑思维能力.。
高中数学教案设计：《分类计数原理与分步计数原理》
高中数学教案设计：《分类计数原理与分步计数原理》懦夫把困难当作沉重的包袱，勇士把困难当作前进的阶梯。
一、教学目标“分类计数原理与分步计数原理”是《高中数学》一节独特内容。
这一节课与排列、组合的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解分类计数原理与分步计数原理，还为日后排列、组合和二项式定理的教学做好准备，起到奠基的重要作用。
二、关于教学目标的确定根据两个基本原理的地位和作用，我认为本节课的教学目标是：（1）使学生正确理解两个基本原理的概念；（2）使学生能够正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题；（3）提高分析、解决问题的能力（4）使学生树立“由个别到一般，由一般到个别”的认识事物的辩证唯物主义哲学思想观点。
三、关于教学重点、难点的选择和处理中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以两个计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以正确理解两个基本原理并能解决实际问题是学习本章的重点内容。
正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，面对复杂的事物和现象学生对分类和分步的选择容易产生错误的认识，所以分类计数原理和分步计数原理的准确应用是本节课的教学难点。
必需使学生认清两个基本原理的实质就是完成一件事需要分类还是分步，才能使学生接受概念并对如何运用这两个基本原理有正确清楚的认识。
教学中两个基本问题的引用及引伸，就是为突破难点做准备。
四、关于教学方法和教学手段的选用根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取启发引导式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。
启发引导式作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。
符合教学论中的自觉性和积极性、巩固性、可接受性、教学与发展相结合、教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则，教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
高中数学选修2高二《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》创优课教案设计
高二数学创优课教案高中二年级《数学》选修2-3第一章:计数原理§1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第二课时）教材地位：分类计数原理和分步计数原作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理由于其思想方法独特，它也是培养和发展抽象思维能力和逻辑思维能力的好素材。
教材作用：分类计数原理和分步计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法。
它起到承前启后的作用：它可以弥补列举法一一数出这个数的不足，使其计数时更加灵活，同时又为研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫。
一、教学目标：1、知识与技能：（1）进一步熟悉分类计数原理与分步计数原理的内容.（2）归纳总结分类或分步标准的确定.（3）正确运用两个基本原理分析、解决一些实际应用题.（4）了解基本原理在实际生产、生活中的应用.2、过程与方法：（1）通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力．。
（2）提高比较分类计数原理与分步计数原理的异同，培养学生学习比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力3、情感态度与价值观：通过了解基本原理在生产、生活实际中的应用，使得学生认识数学知识与现实生活的内在联系，增强在现实生活中面对复杂的事物和现象时作出正确分析和准确判断的能力. 二、教学重点与难点：重点：分类计数原理和分步计数原理的应用。
难点：分类或分步标准的确定及基本原理的正确运用。
三、学法与教学用具：学法：启发学生认识到基本原理应用的关键是分类、分步标准的确定，然后在确定的标准下分类或分步.另外，体现基本原理应用的题目还可以结合生活经验，从实际出发，把事物发展的根本规律作为考虑问题的切入点，也可帮助学生理清头绪，达到正确运用原理的目的.教学用具：多媒体四、教学设想：五．板书设计六．教学反思本节课主要是通过解决实际问题，加深对两个原理的认识。
高二数学分类计数原理和分步计数原理2
2. 有四位同学参加三项不同的比赛， （1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？
．
3.6个人分到3个车间，共有多少种分法？
4.甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再 各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取 法?
总结：
分类计数原理与分步计数原理体现了解
分析：完成着色这件事共分四个步骤。可依次考虑为①、②、③、④着色
时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数。
解（1）为①着色有6种不同的方法，为②着色有5种，为③着色有4种，为④着
色也有4种。所以共有着色方法N=6×5×4×4=480种
解（2）与甲区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块。同理可以得到着色
分成n个步骤，在第1步有m1种不同的办法，在第2步有m2 种不同的办法· · · · · · 在第n步有mn种不同的方法，那么完成 这件事共有 N=m1×m2× · · · × mn
例1:电视台在“欢乐大本营”节目中，拿出两个信箱。其
中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30封，乙信箱中有20封。现由主持人抽奖确定幸运观众， 若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴， 有多少种不同的结果？
经全国中小学教材审定委员会 2002年审查通过
全日制普通高级中学教科书(必修)
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第二册 (下)
学
人民教育出版社中学数学室 编著
良乡中学数学组 任宝泉
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 山 路 勤勤 为 奋，努 径，学 崖 苦成 作 功！ 舟 天 少 成功 小 才 =有 艰苦的劳动 不 在 学 于 习，老 +正确的方法 来海 徒无 力 伤 才 + 少谈空话 悲 能
高二数学教案《10.1分类计数原理与分步计数原理》
教学设计（主备人：许倩）教研组长审查签名：高中课程标准 数学必修第二册（下B）教案执行时间：10.1分类计数原理与分步计数原理教学设计一、内容及解析：1.内容：两个基本原理是排列、组合的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题2.解析：正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类和分步教学中给出的练习均在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就在于帮助学生对这一知识的理解与应用。
二、目标及解析：1.目标(1)了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.（2）理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.（3）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.2.解析：两个原理是教与学重点，又具有相当难度．加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想．更具体地说就是把事物分成类或分成步去数．“分类”、“分步”，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点．两个原理，要能在各种场合灵活应用并非易事，所以，着实有其难用之处。
三、数学问题诊断分析对具体的应用问题分不清应该用分步计数原理还是用分类计数原理来解决，还是应该两者结合应用解决。
《计数基本原理》高二数学教案
《计数基本原理》高二数学教案一、教学目标1.理解分类计数原理与分步计数原理的基本概念。
2.能够运用分类计数原理与分步计数原理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力及解决问题的能力。
二、教学重难点1.教学重点：分类计数原理与分步计数原理的理解和应用。
2.教学难点：实际问题的分析及解题策略的运用。
三、教学过程第一环节：导入新课1.引导学生回顾排列组合的基本概念，如排列数、组合数等。
2.提问：在实际问题中，如何运用排列组合知识进行计数？第二环节：新课讲解1.讲解分类计数原理：当完成一个任务有几种不同的分类方式时，每种分类方式中的方法数相加即为总方法数。
举例讲解：从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，共有多少种选法？2.讲解分步计数原理：当完成一个任务需要分成几个步骤时，每个步骤中的方法数相乘即为总方法数。
举例讲解：从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，且要求选出的学生依次站在一排拍毕业照，共有多少种排法？3.对比讲解分类计数原理与分步计数原理的区别和联系。
第三环节：案例分析1.分析案例1：从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，共有多少种选法？引导学生运用分类计数原理进行解答。
2.分析案例2：从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，且要求选出的学生依次站在一排拍毕业照，共有多少种排法？引导学生运用分步计数原理进行解答。
第四环节：课堂练习（1）从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，共有多少种选法？（2）从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，且要求选出的学生依次站在一排拍毕业照，共有多少种排法？2.老师对学生的解答进行点评，指出错误和不足之处。
第五环节：巩固拓展1.引导学生思考：如何运用分类计数原理与分步计数原理解决更复杂的问题？2.举例讲解：某学校举办运动会，有100名学生报名参加，其中跳远项目有20人报名，100米短跑项目有30人报名，200米短跑项目有50人报名。
现在需要从这三个项目中各选一名运动员参加比赛，共有多少种选法？第六环节：课堂小结2.强调在实际问题中，如何灵活运用这两个原理进行计数。
高中数学分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案新人教A版选修
高中数学分类加法计数原理和分步乘法计法原理教案新人教A版选修一、教学目标：1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 让学生掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的运用方法。
3. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 分类加法计数原理：（1）概念：如果一个事件可以分成几个互不重叠的分类，这个事件的总数就等于各个分类事件数之和。
（2）运用方法：先列出事件的所有分类，再计算每个分类的事件数，将各分类事件数相加。
2. 分步乘法计数原理：（1）概念：如果一个事件可以分成几个互相独立的步骤，这个事件的总数就等于各个步骤事件数之积。
（2）运用方法：先列出事件的各个步骤，再计算每个步骤的事件数，将各步骤事件数相乘。
三、教学重点与难点：1. 重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及运用方法。
2. 难点：如何将实际问题转化为分类加法计数原理和分步乘法计数原理的问题。
四、教学过程：1. 导入：通过举例让学生感受分类加法计数原理和分步乘法计数原理在生活中的应用。
2. 讲解：详细讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念、运用方法及注意事项。
3. 练习：给出一些实际问题，让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。
4. 拓展：引导学生思考如何将复杂问题简化，转化为分类加法计数原理和分步乘法计数原理的问题。
五、课后作业：1. 复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及运用方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选做拓展题，提高自己的逻辑思维能力。
教学评价：通过课后作业的完成情况、课堂练习的表现以及学生的反馈，评估学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的掌握程度。
六、教学案例分析：1. 通过分析具体案例，让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理在实际问题中的应用。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
七、课堂练习：1. 给出一些实际问题，让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。
高二数学最新教案-高二数学排列与组合复习 精品
10.F1排列组合复习一、 知识回顾1.分类计数原理和分步计数原理（1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法。
那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
(2) 分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
2.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 .3.排列数定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示.4.排列数公式：!()()().()!n mn n n m n m A n A n n n n m A n m --=---+==-1215.全排列：n 个不同元素全部取出的排列。
6.阶乘：从自然数1到n 的连乘积，记为 !nn A n = ，规定：0！=17.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
8.组合与排列的区别：组合无序，排列有序。
9.组合数：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有组合的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的组合数，用符号mn C 表示.10.组合数公式：()()()!.!!()!mm n n mm A n n n n m n C A m m n m ---+===-121()n m m n ≤∈*,,N 11.两个性质，m n n m n C C -=；11-++=m nm n m n C C C ． 规定：01.n C = 12.几个常用公式：⑴ !)!1(!n n n n -+=⋅ ⑵)!1(1!1)!1(+-=+n n n n⑶ 111+++=+++m n m n m m m m C C C C⑷ m mm m m n A A A ++++=1m m A ()m mm m m m m n m n C C C A C ++++++=⋅111二．基础训练：1．5人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法的种数（ ）()A 45 ()B 54 ()C 5432⨯⨯⨯()D 54324!⨯⨯⨯ 2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是 （ ）()A 45 ()B 54 ()C 5432⨯⨯⨯()D 54324!⨯⨯⨯ 3．正十二边形的对角线的条数是 （ ）()A 12112⨯ ()B 1292⨯ ()C 1211⨯ ()D 129⨯ 4．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 （ ）()A 1387C C ()B 48C ()C 486C - ()D 4812C - 5．若1121n n C -+=，那么n = ．6．学生可从本年级开设的7门任意选修课中选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同选法种数是 ．7．安排6名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，也不是最后出场，不同的演出顺序有种． 三．例题分析：例1． 4个男同学，3个女同学站成一排，⑴3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ ⑵任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ ⑷甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？⑸女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）例2．用数字0，1，2，3，4，5组成重复数字的四位数， ⑴可组成多少个不同的四位数？ ⑵可组成多少个四位偶数？⑶可组成多少个能被3整除的四位数？⑷将⑴中的四位数从小到大的顺序排列一数列，问第85项是什么？例3．有6本不同的书，⑴如果全部分给甲、乙、丙，每人得两本，有多少种不同的分法？⑵如果全部分给甲、乙、丙，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？ ⑶如果将这6本书分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分法？例4．由数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位数中，能被2整除但不能被3整除的有多少个？四、作业 同步练习 10F1。
高中数学第一章计数原理1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)教案北师大版选修2-3(2
陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）教案北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）教案北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）教案北师大版选修2-3的全部内容。
1。
2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二)一、复习引入:1、分类加法计数原理:如果完成一件工作有K 种途径,由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k 种途径有k n 种方法可以完成，那么，完成这件工作共有n1+n2+……+k n 种不同的方法。
2.分步乘法计数原理：如果完成一件工作可分为K个步骤,完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……,完成第K步有n种k不同的方法,那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n种不同方法。
k二、学生自学：学生完成优化设计第3页“知识梳理”。
三、典例精讲例1。
书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？例2.在1~20共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种?解：取bb+是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性，第一类, a+与取a偶偶相加，由分步计数原理得（10×9)/2=45种取法，第二类，奇奇相加,也有(10×9）/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法。
高二数学最新课件-分类分步计数原理(二) 精品
应用举例
例1、 要从甲、乙、丙3名工人中选出两名分别上
日班和晚班，有多少种不同的选法？
★★★能力拔高：
⑴安排甲、乙、丙3名学生参加篮球、乒乓球比赛，
一人限赛一项，有多少种不同的安排方法？ 每个项目限一人参加，有多少种不同的安排方法？
⑵安排甲、乙、丙3名学生参加篮球、乒乓球比赛，
相关练习
1.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人 报一项，共有多少种报名方法？ （2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军， 共有 多少种可能的结果？ 2.乘积(a1+a2+a3 )(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项？ 3 把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是 多少? 4.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有 多少种? 1,2,3 的子集共有 多少个? 5.集合M=
施展才华
1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜 色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
2.用6种不同的颜色对下图中5个区域涂色,每个区 域涂一种颜色,相邻的区域不能同色,那么共有多少 种不同的涂色方法?
1
2 4 5
3
两个基本原理
分类计数原理 完成一件事，有 n 类办法，在第1类 办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件 事共有： N m1 m2 mn 种不同的方法． 分步计数原理 完成一件事，需要分成n 个步骤，做 第1步有m1 种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，… 做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 mn 种不同的方法．
高二数学最新教案-2018分类与分步计数原理 精品
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分类与分步计数原理㈡
1、从1至20共20个整数任取两个相加，如果使其和为奇数，共有多少种不同的取法？如果使其和为偶数，共有多少种不同的取法？
2、由数字1、2、
3、
4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？若允许重复数字出现，则共有多少个这样的三位数？
3、现有4名同学打算报名参加3个不同学科的比赛，
⑴如果每名同学必须参加1项比赛，则有多少种不同的报名方案？
⑵每项比赛只允许1名同学参加，则有多少种不同的夺冠方案？
4、现有5种不同颜色给图中4个区域涂色，每个区域涂一种颜色。
⑴ 共有多少种涂色方案？
⑵ 若各个区域颜色均不相同，共有多少种不同的涂色方案？
⑶ 若要求相邻的区域颜色不相同，共有多少种不同的涂色方案？
4
3
2
1
5、某座山，从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有 种不同的走法。
6、现有5种不同颜色给图中4个区域涂色，每个区域涂一种颜色。
若要求相邻的区域颜色不相同，那么共有 种不同的涂色方案。
7、从1、2、3、4、7、9中任取不同的两个数字，分别作为对数的底数和真数，可以得到 个不同的对数值。
8、某市提供甲、乙、丙和丁四个企业供某学校高三年级的3个班级进行社会实践活动，其中甲是市明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有多少种？。
高中数学必修3教案：分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理实例引入1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？共有3＋2＝5种不同的走法．分类计数原理完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的办法．对于分类计数原理，注意以下几点：⑴从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；⑵分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法．2. 从甲地到乙地，先乘火车到丙地，再乘汽车到乙地．一天中从甲地到丙地火车有3班，从丙地到乙地汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？共有3×2＝6种不同的走法．分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的办法．对于分步计数原理，注意以下几点：⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．⑵分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；⑶分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成 n 个步骤后这件事才算完成．两个原理的相同之处：⑴目的相同：都要“做一件事并完成它”⑵所问相同：即问“共有几种不同方法”两个原理的不同之处：分类计数用于分类，各类间独立、互斥．各类中任何一种方法都能够独立完成这件事．分步计数原理用于分步，步步相扣，缺一不可，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．火车汽车1火车2火车31汽车2乙地甲地乙地甲地火车1火车2火车3汽车1汽车2丙地例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书．⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？⑵从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：⑴N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9．(分类计数原理)⑵N＝m1×m2×m3＝4×3×2＝24．(分步计数原理)课堂练习1．填空：⑴一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是有9种．(分类计数原理) 5＋4=9⑵从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走法的种数是6种．(分步计数原理) 3×2=62．现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名．⑴从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？⑵从三个年级的学生中各选1人参加外宾的活动，有多少种不同的选法？(1) 3＋5＋4=12 (分类计数原理)⑵3×5×4=60 (分步计数原理)例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9这10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？3．一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位数字是统一的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么不同的电话号码最多有多少个？例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？4．从5位同学中产生1名组长、1名副组长，有多少种不同的选法？课堂小结1. 分类计数原理；2. 分步计数原理.课后作业《习案》三十六.。
2018学年第二学期高二数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)》学案含答案
§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理(重点).2.能根据实际问题特征，正确选择计数原理解决实际问题(难点).知识点两个计数原理的联系与区别【预习评价】(1)已知集合S＝{a1，a2}，T＝{b1，b2}，则从集合S到T的映射共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个(2)如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是________.解析(1)可分两步，第一步，集合S中a1对应到集合T中的元素有2种不同的选法；第二步，集合S中a2对应到集合T中的元素有2种不同的选法.由分步乘法计数原理知，从集合S到T的映射共有2×2＝4(个).故选D.(2)利用分类加法计数原理.当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况.当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况.当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况.据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15种情况.答案(1)D (2)15题型一两个计数原理在排数中的应用【例1】用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？解完成这件事可分为三类：第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，有3种选法.由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，有3种选法.由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类.对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个). 规律方法对于排数问题，应掌握以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.【训练1】用0，1，2，3，4这5个数字可以组成多少个按下列要求的无重复数字？(1)四位密码；(2)四位数；(3)四位奇数.解(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，分为四个步骤：第一步，取左边第一位上的数字，有5种选取方法；第二步，取左边第二位上的数字，有4种选取方法；第三步，取左边第三位上的数字，有3种选取方法；第四步，取左边第四位上的数字，有2种选取方法.由分步乘法计数原理知，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120(个).(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事分为四个步骤：第一步，从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步、第三步、第四步与(1)类似，分别有4，3，2种选取方法.由分步乘法计数原理知，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96(个).(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，分两类方案.第一类：这个四位奇数的个位数字是1，分三个步骤去完成.第一步，选取千位上的数字，有3种(从2，3，4中选)不同选法；第二步，选取百位上的数字，有3种不同选法；第三步，选取十位上的数字，有2种不同选法.由分步乘法计数原理知，该类中四位奇数共有1×3×3×2＝18(个).第二类：这个四位奇数的个位数字是3，也是分三个步骤去完成.具体求法与个位数字是1时完全一样，因而这样的奇数也是18个.由分类加法计数原理知，共可组成无重复数字的四位奇数18＋18＝36(个).题型二抽取(分配)问题【例2】现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法.根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法.(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法.根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法.规律方法解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.【训练2】3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？解方法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步，放第一个小球有5种选择；第二步，放第二个小球有4种选择；第三步，放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得，共有方法数N＝5×4×3＝60(种).方法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1，2，3，4，5；分成以下10类：第一类，空盒子标号为(1，2)，选法有3×2×1＝6(种)；第二类，空盒子标号为(1，3)，选法有3×2×1＝6(种)；第三类，空盒子标号为(1，4)，选法有3×2×1＝6(种).分类还有以下几种情况：(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10类，每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).【例3】如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现有5种颜色可供使用，若5种颜色全用，求不同的染色方法.解5种颜色全用，有5×4×3×2×1＝120(种)不同的染色方法.【迁移1】(变换条件)若从5种颜色选用4种颜色，求不同的染色方法.解只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有5×4×3×2＋5×4×3×2＝240(种)不同的染色方法.【迁移2】(变换条件)若从5种颜色选用3种颜色，求不同的染色方法.解只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，有5×4×3＝60(种)不同的染色方法.规律方法(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，每一类再进行分步.(2)涂色问题往往涉及两计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色. 【训练3】如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案.解方法一按A，C颜色相同或不同进行分类.若A，C颜色相同，则A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法，故共有5×4×4＝80(种)涂法.若A，C颜色不同，则A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D有3种涂色方法，故共有5×4×3×3＝180(种)涂法.根据分类加法计数原理，共有80＋180＝260(种)不同的涂色方案.方法二按涂色种类进行分类.第一类：涂4种颜色，分四步，A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有2种涂法.故共有5×4×3×2＝120(种)涂法.第二类：涂3种颜色，则A，C颜色相同或B，D颜色相同.当A，C颜色相同时，A，C有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法.故共有5×4×3＝60(种)涂法.当B，D颜色相同时，同理也有60种不同的涂法.故共有60＋60＝120(种)涂法.第三类：涂2种颜色，则A，C颜色相同，B，D颜色相同，A，C有5种涂法，B，D有4种涂法.故共有5×4＝20(种)涂法.根据分类加法计数原理，共有120＋120＋20＝260(种)不同的涂色方案.题型四种植问题【例4】从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)不同种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18(种).方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种).规律方法按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.【训练4】一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.(1)如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？(2)如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？解(1)如图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植.因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步乘法计数原理得3×2×1＝6(种).(2)如图2，当a1，a3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法，当a1，a3同色时，有3×2×2＝12(种)种植方法，由分类加法计数原理，共有6＋12＝18(种)种植方法.课堂达标1.已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数为( )A.125B.15C.100D.10解析若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，要完成该事件，需分步进行：第一步，对于系数a有4种不同的选法；第二步，对于系数b有5种不同的选法；第三步，对于系数c有5种不同的选法.由分步乘法计数原理知，共有4×5×5＝100(个).答案 C2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24解析剩余的3个座位共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择.根据分步计数原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.故选D.答案 D3.(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项.解析要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法.由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项).答案244.两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有________种.解析由题意知，比赛局数最少为3局，至多为5局.当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种；当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，所以共有6种情形；当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2×6＝12(种)，综上可知，共有2＋6＋12＝20(种).答案205.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，有多少不同的种植方法.解分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法.(2)若第三块田放a：第四块有b或c2种方法：①若第四块放c：第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c ，共1种方法.综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法. 课堂小结1.应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤.2.一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏.3.若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.基础过关1.从1，2，3，…，10这10个数中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8解析 当公比为2时，等比数列可为1，2，4或2，4，8.当公比为3时，等比数列可为1，3，9.当公比为32时，等比数列可为4，6，9. 同时，4，2，1，；8，4，2；9，3，1和9，6，4也都是等比数列，共8个.答案 D2.已知x ∈{1，2，3，4}，y ∈{5，6，7，8}，则xy 可表示不同值的个数为( )A.2B.4C.8D.15解析 完成xy 这件事分两步：第一步：从集合{1，2，3，4}中选一个数，共有4种选法；第二步：从集合{5，6，7，8}中选一个数，共有4种选法.共有4×4＝16(种)选法.其中3×8＝4×6，所以xy 可表示的不同值的个数为15.答案 D3.有4位教师在同一年级的4个班中各教1个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A.8种B.9种C.10种D.11种解析 设4位监考教师分别为A ，B ，C ，D ，4个班级分别为a ，b ，c ，d ，假设A 监考b ，则余下3人监考剩下的3个班，共有3种不同方法.同理A 监考c 或d 时，也分别有3种不同方法.根据分类加法计数原理，监考的方法共有3＋3＋3＝9(种).答案 B4.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种.解析完成承建任务可分五步：第一步，安排1号有4种；第二步，安排2号有4种；第三步，安排3号有3种；第四步，安排4号有2种；第五步，安排5号有1种.由分步乘法计数原理知，共有4×4×3×2×1＝96(种).答案965.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法.解析分三类：第一类，取数学书和语文书，有10×9＝90(种)；第二类，取数学书和英语书，有10×8＝80(种)；第三类，取语文书和英语书，有9×8＝72(种).故共有90＋80＋72＝242(种).答案2426.用0，1，2，3，…，9十个数字可能组成多少个不同的(1)三位数；(2)小于500且没有重复数字的自然数.解(1)由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个).(2)一位自然数有10个，二位自然数有9×9＝81(个)，三位自然数有4×9×8＝288(个).所以共有10＋81＋288＝379(个)小于500且无重复数字的自然数.7.将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入如图所示的5个区域内，要求相邻的两个区域的颜色不相同，问：有多少种不同的涂色方法？解将5个区域分别标记为A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的颜色，如果B区域与D区域涂的颜色相同，则E 区域有2种涂色方法，如果B 区域与D 区域所涂的颜色不相同，则E 区域只有1种涂色方法.因此应先分类后分步.(1)当B 与D 同色时，有4×3×2×2＝48(种)涂色方法；(2)当B 与D 不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)涂色方法.故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法.能力提升8.满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A.14B.13C.12D.10 解析 ①当a ＝0时，方程表示垂直于x 轴的直线方程，有解，此时b 取4个值，故有4个有序数对；②当a ≠0时，需要Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1，有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2).∵(a ，b )共有3×4＝12(个)实数对，此时(a ，b )的取值为12－3＝9(个).∴(a ，b )的个数为4＋9＝13. 答案 B9.如图所示，“中国印”被中间的白色图案分成了5个区域，现给它着色，要求相邻区域不能用同一颜色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同的着色方法有( )A.120种B.72种C.48种D.24种解析 以所选颜色的种数为标准，可分两类进行：第一类，用3种颜色有4×3×2＝24(种)；第二类，用4种颜色有4×3×2×2＝48(种)，∴共有24＋48＝72(种)不同方法.故选B.答案 B10.现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________.解析 因为正整数m ，n 满足m ≤7，n ≤9，所以(m ，n )所有可能的取值有7×9＝63(种)，其中m ，n 都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为2063.答案 206311.在2017年田径挑战赛上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙3人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析 分两步安排这8名运动员，第一步，安排甲、乙、丙3名运动员，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)；第二步，安排另外5名运动员，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).所以安排这8名运动员比赛的方式有24×120＝2 880(种).答案 2 88012.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选出1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.解 (1)由调查数据，知既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率P ＝1545＝13. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选出1人，其所有可能的结果有5×3＝15(种).根据题意，知这些基本事件的出现是等可能的.事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个.因此A 1被选中且B 1未被选中的概率P ＝215. 13.(选做题)方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c ∈{－3，－2，0，1，2，3}，且a ，b ，c 互不相同.在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有多少条？解 利用两个计数原理结合分类讨论思想求解.当a ＝1时：若c ＝0，则b 2有2个取值，共2条抛物线；若c ≠0，则c 有4个取值，b 2有2个取值，共有2×4＝8(条)抛物线.当a ＝2时：若c ＝0，则b 2有3个取值，共有3条抛物线；若c ≠0，当c 取1时，b 2有2个取值，共有2条抛物线，当c 取－2时，b 2有2个取值，共有2条抛物线，当c 取3时，b 2有3个取值，共有3条抛物线，当c 取－3时，b 2有3个取值，共有3条抛物线.∴a ＝2时共有3＋2＋2＋3＋3＝13(条)抛物线.同理，a＝－2，－3，3时，共有抛物线3×13＝39(条).由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62(条).。
高二数学分类计数原理和分步计数原理2
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突然想到那个名字,猛地如触电壹般从王位上站咯起来.东舌否晓得为什么壹想到东方升那个人就感觉如触电壹般敏感,此人来得神秘,去得神秘.自己从山东离开の壹路上,壹直感觉十分怪异,好像壹直有人跟着自己壹样.而且最让东舌心中疑问无法散去の地方就是自己被围困在洛阳城之时,城门 居然莫名其妙地开出壹道缝,全部人逃出去之后,门又立即关咯上去."算咯算咯,也许只是我多想咯,如果日后有缘,还是会相见の."打咯壹个激灵之后,东舌才感觉自己可能是太过于敏感产生の错觉罢咯,便也否再搭理那件事情.整理思绪片刻过后,东舌派人叫来咯赵雨,与赵雨大致说咯壹遍情况 之后,赵雨便回去整理行囊,换咯壹身便装,挑咯壹杆银枪和青虹剑.东舌在赵雨走后又叫来咯其余文武,派川蒙与流逊带兵五千前去江夏,以防孙军再次否轨,凌统与蒋琬主动请缨前去荆州西北部の武陵城带兵四千前去驻防,其余人等原地驻扎襄阳,以防有变.吩咐好壹切事项,东舌换上壹身便装, 带上流光冥火枪背着行囊,与在门口准备好马匹久等の赵雨和秦琼壹起翻身上马扬鞭出城前往山东而去.时间如白驹过隙壹般飞逝而去,否断滴滴答答の在历史の轮盘上雕刻着壹道道痕迹..东舌,赵雨,秦琼快马加鞭,壹连奔咯十几天の路途,方才赶到山东济南.如今天下剧变,山东可以说尚且还是 壹块净土,除咯偶尔出没の绿林中人,并无人造次.叁人见已经到达咯城门,便翻身下马,牵引着坐骑背着行囊,在来往の人群中排队进城.东舌放眼望去,被罗士信之前砸毁の城门已经换上咯新装,说白咯,只是重新涂上壹层红漆,塞咯几块木板罢咯.此时已经正是午时,人群熙熙攘攘の排在门前经过 检查入城,阳光毒辣の挂在空中,好像要将世间の壹切都燃烧起来壹般,连蝉都抽否出力气鸣叫."站住,您否就是那个出逃在外の通缉犯长越吗？来人啊,给我把他抓起来拖到衙门去/"就在东舌等咯好长时间正要进门之时,壹个士兵朝最前端正欲进城の人大声吼到.话音刚落,便冲出五六个士卒挥 棍打出,将那个被称为长越の打得趴在地上武力起身,嘴角全是鲜血.见其无法动弹之后,守门の士兵便让人把他拖到衙门中去,嘴中还否屑の嚷着:"他娘の,通缉犯也想进城,看老子否打死您."赵雨见到眼前壹幕,对东舌说道:"那下否太妙啊殿下,我等当日从南阳城杀出,容貌肯定已经被画成图像 到处长贴通缉咯."赵雨腰间の青虹剑用右手摁住,随时准备出鞘.东舌并无慌长,反而在囊袋中否断翻来覆去寻找着什么,片刻过后,东舌从囊中拿出叁长人脸面具."殿下,那"秦琼壹脸好奇の问到,显然想否到东舌居然会带那种玩意.东舌将壹长面具慢慢覆盖到自己脸上,四处壹拍,与面颊完美の融 合在咯壹起,好像本来就是那样壹般.又将手中另外两长面具递给咯赵雨和秦琼,说道:"我早就料到会有那种状况发生,所以我已经准备咯面具,您们两个快点戴好,等壹下见机行事便是."秦琼与赵雨会意点咯点头,各自接过面具,在脸上铺咯起来,否壹会,叁个人就完全变作咯另外叁个人.前面人否 断进城,终于轮到咯东舌叁人,门卫士兵按例大喝壹声问道:"站住,什么人？"正所谓出门在外,钱大于壹切.东舌上前作揖,将藏在手中の壹锭银子悄悄塞到门卫の手中,然后淡淡地回道:"大人,我们叁兄弟是从外地来の,来那里省亲来咯,大人没见过所有面生,还望大人通融壹下."守兵收咯手中の 银子,将目光抛向咯旁边の一些守兵,又重新转移到咯东舌の身上.东舌大概懂咯守兵の意思,又从囊中拿出几锭银子说:"那些银子就是请大人们去喝喝茶の,还望笑纳."再次收咯东舌の银子,守兵那才露出咯好脸色给东舌看,将挡在前面の枪壹收笑道:"算您识趣,进去吧.""谢大人,二弟叁弟牵上 马,我们进城."东舌回头朝赵雨和秦琼说到.叁人见势便牵着马匆匆赶进济南城去.（未完待续o(∩_∩)o）壹百二十九部分长相思兮君否绝济南城.东舌,赵雨,秦琼叁人伪装起来混过守兵眼目,牵马走进城门.见城中街道却并没什么想象中の那么拥挤,反而显得十分空荡,叁人壹进城门便迅速骑上 马,马蹄踏出壹圈圈の尘埃,朝历城秦家飞奔而去.否到半响秦家已到,叁人翻身下马,放眼望去,只见秦家虽然算否上什么大富大贵,却也是小康之家,庭院整齐有致.秦琼卸去面具背起包裹,走到东舌赵雨面前,推进门去,只见院内人群熙熙攘攘,都否知在讨论着些什么."呦,单二哥您看,秦兄,秦兄 回来咯/"见到秦琼推门而入,王伯当第壹个望见朝单雄信等人喊叫起来.单雄信等壹干人皆回过头来,望见咯秦琼说道:"叔宝,您可算回来咯,您差点急死二哥我咯."秦琼上前拱手壹礼说:"众位兄弟,秦某在那给各位赔否是咯,否过秦某要先去见过家母,等下再回来与众位兄弟把酒论谈.""去吧,去 吧."众人皆笑颜逐开,让开壹条道路.踏进正堂,映入眼帘の是壹个年纪四五十岁の中年妇人,只能依稀看见年轻时の相貌,两鬓上の秀发早已斑白,显然是多年の操劳所致.秦琼二话否说,直接跪在咯秦母の面前,说道:"娘,孩儿回来咯,孩儿否孝,让您受苦咯."秦母听到秦琼の声音全身壹颤,回过头 来望见咯秦琼の身影,立即上前扶起咯秦琼,嘴中否断念叨:"叔宝,叔宝您回来就好咯,娘还以为您否回来咯,好孩子,回来就好.""娘,叔宝否在,让娘受咯否少苦,以后叔宝接您回襄阳,壹定会让娘安享天年.道.秦琼の壹席话让秦母眼中掠过壹丝失望,否过那壹丝失望转瞬即逝,抚慰着秦琼说道:"叔 宝,您否要在意,否论您走那壹条路,只要您认为是对の,娘都支持您."娘俩壹言壹语,东舌与赵雨纷纷掀下面具,与外院の单雄信等人简单寒暄壹句,走进正堂.秦琼望见东舌走咯进来,立即拉起秦母の手引荐东舌说:"娘,那位就是钱塘王东舌,那位就是赵雨赵将军.""老身拜见我儿之主公钱塘王,赵 将军."秦母听罢就要下跪行礼."使否得,使否得."东舌与赵雨见势急忙扶起秦母,转而亲切说道:"伯母,叔宝是我大尪の骨干,如今天下大隋暴政,民否聊生,我大尪正是需要叔宝那种人才,所以伯母您千万否要行那种礼."秦母听着东舌亲切の语气,站起身来,顿时增添咯几分好感,感慨道:"若是天 下人都和殿下那般心肠,那那天下如何会有今日の局势啊."东舌从壹旁特地抽来壹条凳子,扶着秦母坐下.就在四人交谈之时,程咬金走咯进来,对着秦琼和秦母打咯个招呼,紧接着对东舌讨好关系起来:"大哥想否到您那么牛,居然是钱塘王,以后可得给俺老程封个小官当当啊."东舌脸上只是笑意 盎然回道:"哈哈,那次您和我壹起回去襄阳吧,我给您壹个将军当当."壹言刚尽,程咬金好像突然想起咯什么重要の事情说道:"甄宓姑娘自从晓得您们の事情之后,整天茶否思饭否想,就坐在后院之中发呆,人都快傻咯,您还是快去看看吧.""是啊,咬金说の是,那个闺女壹连几天都那样,整个人和失 咯魂壹样の坐在后院之中."秦母听咯程咬金の话,开口补充到.听到此言,东舌脸上の笑意顿时全无,浮现出浓烈の担忧.东舌拍咯拍秦琼の肩膀,留下赵雨与众人叙旧,转身朝后院匆匆走去..后院之中,阳光好似刻意削弱咯几分,院内雪白の茉莉花开得正旺,在缕缕阳光衬托下,宛如出水の仙子壹般 妖艳.众多茉莉花之间,壹支茉莉如显眼の呈现出来.甄宓安静の端坐在院内,壹袭白纱伴随那微风否断飘拂,在众多茉莉花之间脱颖而出,秀发否断被阳光如墨の泼洒开来.嫩白如藕の玉手否断拂动石桌上の壹支茉莉花,往上望去,那是壹长清艳无双,美得否可方物の绝世娇颜.她为他の壹句承诺, 苦等半年,如今却是否知所踪.那壹尊娇容上却是布满苍白,目光早已呆滞,憔悴得连朱唇也否再颤动片刻,憔悴得让人心疼否已.东舌远远の望见咯院内呆坐着の甄宓,只觉心中壹痛,无数感受涌上心头,有愧疚,有心疼,有兴奋千万种情绪如风中茉莉壹般紊乱,让东舌否知是何滋味.纵横沙场多载, 面对
数学高二-选修2教案 1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计
1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计教学目标（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学过程一、复习引入一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？二、讲解新课问题1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。
已知当天长途车有2班，列车有3班。
问共有多少种走法？设问1：从济南到北京按交通工具可分____类方法?第一类方法, 乘火车，有___ 种方法;第二类方法, 乘汽车，有___ 种方法;∴从甲地到乙地共有__________ 种方法设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？问题2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？从济南到北京须经 ____ 再由_____到北京有____个步骤第一步, 由济南去天津有___种方法第二步, 由天津去北京有____种方法,设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的?分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
注意：1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！2．“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：它们两两的交集为空集！3．每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成（2）乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
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四、课堂小结：
分类计数原理和分步计数原理,解答都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事。
答案：A
3.集合A={a，b，c} B={1，2}。则集合A到集合B的映射有多少个？集合B到集合A的映射有多少个？
答案：集合A到集合B的映射有2*2*2=23个
4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相连,连线标注的数字表示该网线单位时间内可通过的最大信息量，现从A点向B点
传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）
应用两种原理解题：
1.分清要完成的事情是什么；
2.是分类完成还是分步完成：“类”间互相独立，“步”间互相联系；
3.有无特殊条件的限制。
六、课后作业：
导航教材：P103 1-10
教
学
反
思
（2）从7名男生和5名女生中挑选2人组成一个乒乓球混合双打队，那么不同的组队方法共有多少种？
解：（1）根据题意，个位数字大于十位数字，则十位数字不能为9。将十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个。
由分类计数原理知符合条件的两位数共有N=8+7+6+5+4+3+2+1=36个。
（2）第一步：从7名男生中确定1名队员的不同方法数有7种；
第二步：从5名女生中确定1名队员的不同方法数有5种；
由分步计数原理知共有 种。
迁移训练：从甲地到乙地的道路有2条，从乙地到丙地的道路有3条，从甲地直接到丙地（不经过乙地）的道路有2条，那么从甲地到达丙地的不同走法种数共有（）
（2）若要求相邻的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
答案：（1） ；（2） 。
三、课堂练习：
1.3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，有多少种不同的报名方案？
答案：N=4×4×4=64。
2.把5封信投入6个邮箱，不同的投法共有（）
A、65种B、56种C、720种D、30种
长沙市中学教师统一备课用纸
总课题
计数原理和排列
总课时
12
第2课时
课题
计数原理和排列
课型
新授课
教学目标
1.进一步理解两个基本原理；
2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.
教学重点
两个基本原理的进一步理解和体会
教学难点
正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性
教学过程
教学内容
备课札记
（1）取一本数学书一本语文书有 种；
（2）取一本数学书一本英语书有 种；
（3）取一本语文书一本英语书有 种；
由分类计数原理共有 种。
答：共有146种不同的取法。
变式迁移：从1到200的自然数中，各个数位都不含有数字8的自然数有多少个？
例2（1）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少？
一、复习引入：
1_ 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，……，在第n类办法中有 种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法。
2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，……，做第n步有 种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法。
A．6种B. 7种C. 8种D. 9种
例3如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()
A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)
迁移训练：用五种不同的颜色给图涂色方法？
两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数。
两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。
二、讲解范例：
例1．有8本不同的数学书，6本不同的语文书，7本不同的英语书，从中任取2本不同类的书，则不同的取法有多少种？
解析：所有不同的取法可分三类：