二次函数与一元二次不等式的
二次函数与一元二次方程不等式6种常见考法归类(原卷版)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念2一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数根y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合． 4、简单的分式不等式的解法(1)ax ＋bcx ＋d＞0(＜0)∅(ax ＋b )(cx ＋d )＞0(＜0). (2)ax ＋bcx ＋d ≥0(≤0)∅⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0(≤0)，cx ＋d ≠0. 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？ 答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.5、一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 6、利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题目中的未知数．（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． （3）求解所列出的不等式(组)． （4）结合题目的实际意义确定答案． 7、解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 8、解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：∅关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.∅关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ∅关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2. 9、三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：10、根据一元二次不等式解集求参数已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 11、分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式．特别地，形如y 1y 2＞a (a ≠0)的分式不等式，可同解变形为12y 2＞0，故可转化为解y 2(y 1－ay 2)＞0.12、一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0)；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0).(2)在解关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对一切x 恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意． 13、解不等式应用题的步骤考点一 一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论考点三 根据一元二次不等式的解集求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 一元二次不等式的解法1．（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知集合{}|1M x x =>-，{}260N x x x =--<∣，则M N ⋂= ．2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+> （3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-4．（2023·上海·高一专题练习）二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则y >0的解集为（ ） A ．{x |2<x <1} B ．{x |1<x <2} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <0或x >3}5．（2023秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于x 的不等式2230x x --<解集是 ．考点二 含参数的一元二次不等式的解法（一）对二项式系数的讨论6．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.7．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.8．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．9．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集. （二）对判别式的讨论10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x 的不等式210x ax ++<． 11．（2023·全国·高一假期作业）解关于x 的不等式2210x mx m -++>. （三）对两根大小的讨论12．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．13．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->14．（2023秋·高一校考单元测试）已知函数2()(21)2f x ax a x =-++. (1)当2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤..15．（2023·全国·高三对口高考）解关于x 的不等式： (1)22(1)40ax a x -++< (2)(1)(2)02a x a x -+->-考点三 根据一元二次不等式的解集求参数16．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．10B ．6C ．0D ．217．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式250ax x b -+>的解集是{}32x x -<<-，则a b +的值为（ ）A ．7-B ．7C ．17-D ．1718．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -19．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-20．【多选】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >，则下列结论正确的有（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{6}xx <-∣ C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭ 21．（2023秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知不等式210ax bx +->的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（ ）A ．{3|x x ≤-或2}x -≥B ．{|32}x x --≤≤C ．{|23}x x ≤≤D ．{|2x x ≤或3}x ≥22．【多选】（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是（ ）A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{}xc xd ≤≤∣的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么43b =或4b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么4b a -= 23．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数()()2f x x a b x a =-++．(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}13x x -<<，求a ，b 的值； (2)当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．24．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．112a <≤ B ．12a << C ．12a ≤< D ．11a -<<25．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法26．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）不等式11x<-的解集是27．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ． 28．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 29．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 30．（2023秋·陕西西安·高一校考期中）（1）解关于x 的不等式2340+->x x ； （2）解关于x 的不等式115xx -≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立问题31．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．32．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．33．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．34．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .考点六 一元二次不等式的实际应用35．（2023秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.36．（2023秋·浙江温州·高一校联考期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为 元． 37．（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间的关系为：2202200y x x =-+.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 .38．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,639．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
0
计算判 别式
双基讲解
方程ax bx c , (其中a ) 有两不相等实根.设为x、x，且x x
求根
画图
写出不等 式解集
ax bx c 的解集
, x x,
ax2 bx c 0的解集
x1, x2
返回
0
解 (1) 图像如下图所示：
返回
示范例题
例5 利用在上例学到的知识，解不等式8������2 − 2������ − 3 > 0 对应的二次函数 y=8x²-2x-3 对应的一元二次方程 8x²-2x-3=0 y
x
返回
示范例题
例6 解不等式 − ������2 + 2������ − 2 > 0
计算判 别式
双基讲解
方程ax bx c , (其中a )
有两相等实根
.设为x
x
b a
求根
画图
写出不等 式解集
ax2 bx c 0的解集
, b b ,
2a 2a
ax2 bx c 0的解集
是空集
o x1=x2
������ ������
(−∞,
x
−
������������)
∪
(������������
,
+∞)
∅
y
(−∞, +∞)
o
x
∅
返回
示范例题
例8 解下列不等式. 1 2������2 − 5������ + 2 ≤ 0
返回
示范例题
例8 解下列不等式. 2 ������ ������ + 8 > 4 ������ − 1
二次函数与一元二次方程不等式
【练习2】(2017·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A( －1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是 _______x_＜__－__1_或__x_＞__4____．
| 练习 | 1. [2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为
-1 .
2. [2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称 [答案] x1=2,x2=4
轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5
(2)(2017·天水)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线 的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0) 与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有
两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜ 4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是________②．⑤(只填写 序号)
【例2】(1)(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应 值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1
时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有（ ） B
A．1个 B．2个 C (2)点C(0，3)，点D(1，4)．
(3)设点P(x，y)(x＞0，y＞0)，S△COE＝12×1×3＝32，S△ABP＝12×4y＝2y，
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
思考：一元二次函数y=ax2+bx+c<0(a≠ 0)的图像与x轴 的相对位置有多少种可能？
a>0
a<0
∆<0
∆=0
∆>x0
∆>0
∆=0
x
∆<0
9
二次函数 、方程、不等式之间的关系
ax2+bx+c=0(a>0) 的 判 别式△
y=ax2+bx+c(a>0) 的 图 象
△>0 y
x1 O x2 x
三个二次之间的关系 [例 3] [教材 P52 例 1、例 2 的拓展探究] (1)已知解集求函数 若不等式 y＝ax2－x－c＞0 的解集为(－2,1)，则函数的图象为( )
[解析] 因为不等式的解集为(－2,1)，所以 a＜0，排除 C，D；又与坐标轴交点的横 坐标为－2,1，故选 B.
(2)已知方程的根或函数零点求不等式 若函数 y＝x2－ax＋1 有负数零点，则 a 的范围为________． [解析] 有零点， ∴Δ＝a2－4≥0， ∴a≥2 或 a≤－2， ∵f(0)＝1，要使 x2－ax＋1＝0 有负根，则对称轴 x＝a2＜0，即 a＜0. ∴a≤－2. [答案] a≤－2
y y=x+1 1
-1 O x
本节我们同样从一元二次函数的观点来研究一元二 次不等式，找到一元二次不等式的求解方法.
一元二次方程的有关知识
一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠ 0)
1.一元二次方程是否有解，用根的判别式∆=b2-4ac来判定： ∆>0，方程有2个不等实根； ∆=0，方程有2个相等实根（1个实数根） ∆<0，方程无实根.
二次函数与一元二次不等式
§2.3 二次函数与一元二次不等式预备知识∙一元二次方程的解法∙二次函数的图象∙乘积的符号法则∙因式分解重点∙解一元二次不等式∙求数集的并集难点∙求一元二次不等式的解集学习要求∙掌握一元二次不等式的求解方法，能结合二次函数图象求一元二次不等式的解集在前两节，出现在不等式中的变量总是一次的．但在客观实际中有很多问题，必须要用到含有变量二次方的不等式．这类不等式就是本节要学习的内容――一元二次不等式．为了表示这种不等式的解集，你还将学习集合的并集的概念． 1. 一元二次不等式 (1)一元二次方程在初中你已经学习过一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)． (2-3-1) 它的解集是由满足(2-3-1)的全部x 构成――你不要觉得这种说法很新奇，本质上就是那么一回事．我们已经知道，满足(2-3-1)的x 称为一元二次方程(2-3-1)的根，因此(2-3-1)的解集是由(2-3-1)的根组成，所谓解方程(2-3-1)，实际上就是求它的解集，也就是求出它的全部根．(2-3-1)有没有根、有几个根，取决于判别式 ∆=b 2-4ac 的符号：⇒ (2-3-1)有两个相异实根 x 1=a 21(-b +∆)，x 2=a21(-b -∆)， ⇒方程(2-3-1)的解集是{x 1, x 2}；⇒ (2-3-1)有两个相同重根 x 1= x 2=ab2-， ⇒方程(2-3-1)的解集是{x 1 }；⇒ (2-3-1)没有实根， ⇒方程(2-3-1)的解集是空集∅． (2)二次函数在初中你还学过与二次方程密切相关的二次函数∆>0 ∆=0 ∆<y =ax 2+bx +c (a ≠0) (2-3-2) 对右端的二次三项式ax 2+bx +c 作配方，可得y =a (x +a b 2)2－a ac b 442-=a (x +ab 2)2-a 4∆，因此它的图象是一条顶点在(-ab2,-a 4∆)的抛物线，并且当a >0时开口向上，a <0时开口向下．这样它的图象总共只有六种可能情况，在a >0时的三种情况的示意图如图2-5：①∆>0 ②∆=0 ③∆<0在a <0的时类似地也有三种情况，你可以自己试绘一下它们的示意图．从示意图2-5，你立即可以准确地填充下面的空格(在位置关系空格内，你可以选相交、相切或相离)：当∆=b 2-4ac >0时，(2-3-2)的图象与x 轴的位置关系是 ，图象与x 轴有 个交点；当∆=b 2-4ac =0时，(2-3-2)的图象与x 轴的位置关系是 ，图象与x 轴有 个交点；当∆=b 2-4ac <0时，(2-3-2)的图象与x 轴的位置关系是 ，图象与x 轴有 个交点．把二次函数(2-3-2)与一元二次方程(2-3-1)关联起来看，你可以发现，其实，(2-3-1)的根就是使函数(2-3-2)等于零的点――称为函数的零点，也就是(2-3-2)的图象与x 轴交点的横坐标，因此(2-3-1)的解图2-5a2a2集也就是(2-3-2)的图象与x轴交点的横坐标所构成的数集．这样可以从图象中，直观地得到关于一元二次方程存在根的结论．(3)一元二次不等式一元二次方程反映数量相等关系．我们来看一个实例．人口控制是我国的一项基本国策，今年我国的人口是A=13亿；设年出生率是x，年死亡率是2‰，则实际增长率为x-0.002，那么明年我国的人口总数将是B=A(1+x-0.002)=13(x+0.998)=13x+12.974(亿)，后年我国的人口总数将是y=B(x+0.998)=(13x+12.974)(x+0.998)即y=13x2+25.948x+12.948052(亿) (2-3-3) 计划生育通过控制x来控制人口y的增长．如果要求后年人口是13.1亿，那么(2-3-3)给出一个等量关系13.1=13x2+25.948x+12.948052即13x2+25.948x-0.151948=0，这表明，为了使后年人口正好是13.1亿，出生率x应该满足一个一元二次方程．如果要求后年的总人口不要超过13.1亿，那么从(2-3-3)得到的将是一个不等式13x2+25.948x+12.948052≤13.1，即13x2+25.948x-0.151948≤0(2-3-4) 我们的任务也就是求出不等式(2-3-4)的解集．(2-3-4)与你以前接触到的不等式相比，式中的变量x虽然只有一个，但它是二次方．我们称它为一元二次不等式．一般地，如果不是要求二次函数(2-3-2)的函数值等于某个量，而是要求它小于(或大于,或不小于,或不大于)某个量，就会遇到一元二次不等式问题.因此一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c<0 (或>0,或≥0,或≤0) (2-3-5)2. 一元二次不等式的解法下面我们学习如何解一元二次不等式．前面已经学习了解一元一次不等式，因此首先考虑能不能用它来解一元二次不等式．(1)化为一元一次不等式组解法这种解法的基础是对一元二次式作因式分解．例1求不等式x2-x-12>0的解集．解对x2-x-12作因式分解，不等式化为(x+3)(x-4)>0，根据乘积的符号法则，这个不等式相当于x+3>0x+3<0(1)(2)x-4>0x-4<0，解不等式组(1)，得x>4，解集为A=(4,+∞)；解不等式组(2)，得x<-3，解集为B=(-∞,-3)．注意，当(1)成立，即x∈ A，原不等式就成立；当(2)成立，即x∈ B，原不等式也成立，因此原不等式的解集应该是A中的元素与B中的元素合并起来所构成的数集C，我们把数集C称为数集A和数集B 的并集，记作C=A∪B．(2)数集的并集用特性描述法表示A和B合并后的数集C，应该是C={x|x∈A或x∈B}．回忆两个数集A,B的交集D是D=A∩B={x|x∈A且x∈B}，虽然只有一字之差，但意义和结果大不相同！我们形象地用一个圆圈表示一个数集(我们在第一章就这么表示过)，交集是取它们的公共部分，而并集则是取它们的全部覆盖部分(见图2-6)．在数轴上表示，你也能看出数集的并与交之间的区别(图2-7是例1的(1),(2)的解集的并和交，显然交集是一个空集)：一般地，设A ,B 是两个数集，由A ,B 的全部元素组成的数集C 称为A ,B 的并集．数集的并也是一种数集间的运算，数集A 并数集B 的结果得到一个新的、由数集A ,B 的全部元素构成的数集C ．数集的并运算的符号是“∪”，因此数集A ,B 的并集可以记为A ∪B用特性描述法表示并集，则是A ∪B ={x | x ∈A 或x ∈B }． 引用并集的概念，例1的解集C 是 C =(-∞,-3)∪(4,+∞)={x | x ∈(-∞,-3)或x ∈(4,+∞)}．把例1改为求不等式x 2-x -12<0的解集，你能不能准确地填好下面的空格： x 2-x -12<0相当于图2-6图2-7x+30x+30(1)(2)x-40x-40，不等式组(1)的解集是A= ；不等式组(2)的解集是B= ，原不等式的解集是A∪B=．小结一下用化为一元一次不等式组方法解题的步骤：第一步对二次式分解因式；第二步据乘积符号法则列出两个一元一次不等式组；第三步分别解两个一元一次不等式组，得到它们的解集A,B；第四步求出A,B的并集，得原不等式的解集．课内练习11.用化为一元一次不等式组的方法解下列一元二次不等式：(1)x2+x-12<0；(2)x2-2x-3<0．(3)图象求解法化为一元一次不等式组解法的基础是对二次三项式作因式分解．但并非所有的二次三项式都能很方便地作因式分解，例如很难对二次三项式(2-3-4)作因式分解．所以我们还必须学习一元二次不等式的更一般的解法，这就是下面要介绍的图象求解法．图象求解法是受启示于二次函数的图象．设要求不等式ax2+bx+c<0 (或>0,或≥0,或≤0) (2-3-5) 的解集，其中x的二次项系数a>0．让我们来回忆一下二次函数y = ax 2+bx +c的图象(见图2-5)，则你立即能发现如下规律(记住∆=b 2-4ac ，并注意y 的正负)：①当∆>0 ⇒ 图象与x 轴有两个交点 ⇒ 方程ax 2+bx +c =0有两个相异实根x 1,x 2(x 1<x 2) ⇒ 在两根之间，即当x 1<x <x 2时，有y <0，在两根之外，即当x <x 1或x >x 2时，有y >0；②当∆=0 ⇒ 图象与x 轴相切于一点 ⇒ 方程ax 2+bx +c =0有两个相同重根x 1=x 2⇒对任何x ≠x 1的实数，均有y >0；③当∆<0⇒图象在x 轴上方，与x 轴不相交⇒方程ax 2+bx +c =0无实根⇒对任何x ，均有y >0．据此，立即就能得到一元二次不等式(2-3-5)的解集，请你填充下一页的表来完成这项任务(注意a >0，解集用区间形式表示)：总结上面的讨论，得到解一元二次不等式(2-3-5)的步骤如下：第一步 把系数a 化为正数；第二步 作二次函数的草图，讨论一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的根；第三步 据表2-1或观察草图得到解集的结论． 例2 解下列不等式：(1)x 2-2x +3<0； (2)-x 2+x -41≤0； (3)2x 2-2x +4≥0．解 (1)第一步 a =1>0； 第二步 作y =x 2-2x +3的草 图(见附图)，∆=b 2-4ac =4-12<0所以方程x 2-2x +3=0无实根；第三步 据表2-1或图可知，原不等式的解集是空集∅ ▍解 (2)第一步 不等式两边乘以-1，得x 2-x +41≥0； 第二步 作y =x 2-x +41的草图(见附图)； ∆=b 2-4ac =1-1=0，所以方程x 2-x +41=0有重根表2-1 一元二次不等式解集表x 1=x 2=21；第三步 据表2-1或图可知，不等式x 2-x +41≥0解集是{21}，所以不等式-x 2+x -41≤0的解集是{21} ▍ 解 (3)第一步 a =2>0； 第二步 作y =2x 2-2x +4的 草图(见附图)；因为 ∆=b 2-4ac =4-32<0， 所以方程2x 2-2x +4=0无实根；第三步 据表2-1或图可 知，原不等式的解集是 R =(-∞,+∞) ▍课内练习21. 根据图象填空： (1)y >0的解集， y ≤0的解集 ； (2)y ≥0的解集，y ≤0的解集 ； (3y >0的解集 ， y ≤0的解集 ．2. 解下列不等式：(1)-x 2-3x -3≥0； (2)x 2-4x +4≤0 (3)4x 2-x -3≥0．如果你能记住表2-1的结论，也可以免去第二步作草图的操作，直接得到不等式解集．为了记住表2-1，你只要记住一个前提(a >0)和三句话：根上等于零，根间小于零，根外大于零．下面例子中我们将不再作草图，你能接受吗？如果你实在觉得有困难，可以在草稿纸上画一个草图，以帮助你确定图象的大致位置．例2 解下列不等式，并用区间表示解集：(1)-x 2+5x >0； (2)x 2+6x +9<0；(3)-x 2+2x -3≤0； (4)x 2-32x +91>0． 解 (1)化x 2项为正系数，得x 2-5x <0；令x 2-5x =0，解得 x 1=0,x 2=5；据“根间小于零”的结论，即得x 2-5x <0的解集为(0,5) ▍解 (2)x 2项的系数已为正数；令x 2+6x +9=0，得解 x 1=x 2=-3；据“根上等于零，根外大于零”的结论，即得x 2+6x +9<0的解集为∅ ▍解 (3)化x 2项为正系数，得x 2-2x +3≥0； 令 x 2-2x +3=0因为 ∆=b 2-4ac =4-12=-8<0所以方程无实根；据“根外大于零” 的结论，x 2-2x +3≥0的解集为R ，即原不等式-x 2+2x -3≤0的解集为R =(-∞,+∞)▍(4)令x 2-32x +91=0，解得 x 1=x 2=31； 据据“根上等于零，根外大于零”的结论，不等式x 2-32x +91>0的解集为(-∞,31)∪(31,+∞) ▍现在让我们回过头来看所谓化为一元一次不等式组的解法．这种解法的基础，是对一元二次式作因式分解，一旦因式分解成功，一元二次方程的根也就得到了，以下完全可以按图像法来得到解集，不必化为一元一次不等式组来解了．按照这个思路，来重解一下例1(求不等式x 2-x -12>0的解集)，你会发现，要比化为一元一次不等式组的解法简便得多． 分解因式 x 2-x -12=(x +3)(x -4)得根 x 1=-3, x 2=4；根据“根外大于零”的结论，即得解集为(-∞,-3)∪(4,+∞)．这表明，能用化为一元一次不等式组解法的，必定可以用图像法计算．因此对一元二次不等式，我们强调图像法．最后，让我们来解决本节最初提出的人口控制问题．不等式13x 2+25.948x -0.151948≤0是为了保证二年后人口不超过13.1亿，出生率x 所必须满足的不等式．应用图解法，并借助计算器，精确到小数点后4位，你可以得到它的解集是[-2.0021,0.0061]即每年出生率不超过千分之六．具体解算过程，是课内练习任务之一．课内练习31. 解下列不等式，并用区间表示解集：(1)(x+1)(x-2)<0；(2)-x2+2x+3≤0；(3)2x2+5x-3>0； (4)x2+2x+1≤0；(5)-x2-4x>5．2. 借助计算器解不等式13x2+25.948x+12.948052≤13(实现人口负增长的出生率)．课外习题A组1.在数轴上表示下列数集：(1){x|x≤-1或x≥2}；(2){x| 0<x≤6}；(3){x|x≤5}；(4){x| -3≤x<2}．2. 用区间法表示下列数集：(1){x|x≥-3}；(2){x|x<5}；(3){x|x>3或x<-2}；(4){x|x≤-1或x>4}；(5){x|x<2或x≥3}；(6){x|x≤-4或x≥-1}．3. 求下列不等式的解集：(1)x2-x≥0；(2)-x2+x+6≥0；1x2-4x+6>0；(4)x2-8x+16<0；(3)2(5)x2+4x+5≥0；(6)x2-3x+9>0．B组1. 求下列不等式的解集：(1)x2≤0；(2)2x2+3x-2>0；(3)6+x-x2<0；(4)-2(x2+x+1)≤0．2. 求m的取值范围，使不等式mx2+(1-m)x+m>0的解集为：(1)R=(-∞,+∞)；(2)空集∅；(3)一个区间；(4)两个区间的并．C组1. 求下列不等式的解集：(1)2x2+3x-1≤2x-1；(2)x2+4x-3>2x2+2x-7；(3)x2+1<4x+3．2. 试确定b,c应满足的不等式，使-x2+bx+c<6x+2对一切x∈R都成立．。
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
返回
双基讲解
解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像
返回
双基讲解
方程ax bx c , (其中a )
0
有两不相等实根 .设为x、x，且x x
计算判 别式
求根
画图
写出不等 式解集
ax bx c 的解集 , x x , ax2 bx c 0的解集 x1 , x2
一元二次方程 二次函数 一元=0
的解 当Δ ＞0 时， 有两个不相等 的实数根
y =ax +bx+c
的图像
2
ax2+bx+c＞0
ax2+bx+c＜0
(x1，x2)
y x1 o y x2 x
x1， x2
当Δ =0 时， 有两个相等的 实数根 b
x1=x2=
o x1=x2
返回
示范例题
例4 解 (1) 图像如下图所示：
返回
示范例题
例5 对应的二次函数 y=8x²-2x-3 对应的一元二次方程 8x²-2x-3=0 y
x
返回
示范例题
例6
二次项系数为负
对应的二次函数 y=x²-2x+2
对应的一元二次方程 x²-2x+2=0
返回
示范例题
例7 对应的二次函数 y=x²-4x+4 对应的一元二次方程 x²-4x+4=0
返回
新课导入
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
任意一个一元二次不等式，都可以找到 与它对应的二次函数和一元二次方程. 一般的，一元二次不等式ax²+bx+c＞0 （或＜0） 对应的二次函数为 y= ax²+bx+c； 对应的一元二次方程为 ax²+bx+c=0 例如：一元二次不等式 x²-2x-3＞0 对应的二次函数 y=x²-2x-3 对应的一元二次方程 x²-2x-3=0
高一二次函数与一元二次方程不等式
高一二次函数与一元二次方程不等式摘要：一、二次函数与一元二次方程不等式的基本概念1.二次函数的定义及性质2.一元二次方程的基本概念3.不等式的基本概念二、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式的学习内容1.二次函数的图像与性质2.一元二次方程的解法与判别式3.不等式的基本性质与解法4.二次函数与一元二次方程不等式的关系三、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的应用1.利用二次函数解决实际问题2.利用一元二次方程不等式解决实际问题3.二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的综合运用正文：在高一阶段，我们开始接触到二次函数与一元二次方程不等式这两个重要的数学概念。
它们不仅在初高中数学知识体系中占有重要地位，同时也广泛应用于实际生活问题中。
首先，我们需要了解二次函数与一元二次方程不等式的基本概念。
二次函数是指形如f(x) = ax + bx + c 的函数，其中a、b、c 为常数，x 为自变量。
二次函数的性质包括开口方向、对称轴、顶点等。
一元二次方程是指形如ax + bx + c = 0 的方程，其中a、b、c 为常数，x 为未知数。
不等式是指用不等号连接的数学表达式，表示大小关系。
在高一阶段，我们会学习到二次函数的图像与性质，如何通过二次函数的图像来判断其开口方向、对称轴、顶点等性质。
同时，我们也会学习一元二次方程的解法与判别式，了解如何通过判别式判断方程有没有实数解，以及如何求解一元二次方程。
此外，我们还会学习不等式的基本性质与解法，如何通过移项、合并同类项等操作简化不等式，以及如何求解包含一元二次方程的不等式。
二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中也有广泛应用。
例如，我们可以利用二次函数来描述抛物线运动，从而解决物理、化学等领域的相关问题。
同时，一元二次方程不等式也可以帮助我们解决实际问题，例如在经济学、社会学等领域中常常需要通过不等式来描述资源分配、收入差距等问题。
此外，二次函数与一元二次方程不等式还可以在实际问题中进行综合运用，例如在解决与增长率相关的问题时，我们可以将二次函数与一元二次方程不等式结合起来，更准确地描述问题的特点。
二次函数与一元二次方程和不等式的关系
二次函数与一元二次不等式的关系一、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax 2+bx +c =0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当y = 0时x 的情况,抛物线y=ax 2+bx+c 与轴交点的的个数和方程ax 2+bx +c =0的的个数有关。
(1)△＝b 2－4ac ＞0有个交点有实根;(2)△＝b 2－4ac ＝0有个交点有实根;（3）△＝b 2－4ac ＜0交点实根.练习：1、抛物线y =x 2-x -6与x 轴的交点坐标是___________,与y 轴的交点坐标是________;2、抛物线y =3x +2x +1与x 轴的交点个数是（）A 、1个；B 、2个；C 、没有；D 、无法确定3．如图，抛物线y =ax +bx +c (a >0)的对称轴是直线x =1，且经过点22y3P3–1O 1xP （3，0），则方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根为：。
5．已知抛物线y =x 2-6x +a 的顶点在x 轴上，则a =；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是；与x 轴最多只有一个交点，则a 的范围是 .26．已知抛物线y =x +px +q 与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p =，q = .27．抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的图象全部在x 轴下方的条件是（）A ．a ＜0 b -4ac≤0 B ．a ＜0 b -4ac ＞022C ．a ＞0 b -4ac ＞0 D ．a ＜0 b -4ac ＜022二、二次函数与一元二次不等式的关系：一元二次不等式ax 2+bx +c >0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当函数y 的值0时的情况。
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程ax ＋bx ＋c ＝0的根为___________;(2)不等式ax ＋bx ＋c ＞0的解集为________;(3)不等式ax ＋bx ＋c ＜0的解集为________;2222、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（）A ．-1<x <3B ．x >3C ．x <-1D ．x >3或x <-13.二次函数y=ax +bx +c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程ax 2+bx +c =0的两个根_________2（2）写出不等式ax +bx +c ＞0的解集_________2-1O 3xyx =1O 3x（3）若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围？4.解下列不等式（1）2x 2－x －1＞0；（2）2x 2－x －1< 0；(3)3＋2x －x 2≥0；(4)x 2＋3＞2x ；(5)－2x 2－5x ＋3＞0；25.已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a > 0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．116．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－，)，则a ＋b 的值是________．2311【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－，.23b 11－＝－＋a 23则211＝（－）×a 23⎧⎪a ＝－12，解得⎨⎪b ＝－2，⎩∴a ＋b ＝－14.⎧⎨⎩。
二次函数与一元二次方程及不等式
二次函数与一元二次方程及不等式一，二次方程基础概念当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++=其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1．根的判别式24b ac ∆=-∆＞0时，方程有两个不相等的实数根； ∆＝0时，方程有两个相等的实数根；∆＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根．2． 根与系数的关系（韦达定理）12b x x a +=- 12cx x a=二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件20ax bx c ++=（0a >）三、一元二次不等式一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围．0∆>0∆= 0∆<a1，例题：选择题①2=++对任意实数t都有(2)(2)()f x x bx cf t f t+=-，那么（ A ）A．(2)(1)(4)<<<< B．(1)(2)(4)f f ff f fC ．(2)(4)(1)f f f <<D ．(4)(2)(1)f f f <<② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a > B ．11a -<< C ．R a ∈且0a ≠ D ．1a <-或1a >③ 已知函数y ＝log 21（x 2－6x ＋7），则y （ D ）A ．有最大值没有最小值B ．有最小值没有最大值C ．有最大值也有最小值D ．没有最大值也没有最小值 填空题①方程22||(R)x x a a -=∈有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______． 解：令212||y x x =-，2y a =则2122(0)2(0)x x x y x x x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩≥，其函数图象如下：②关于x 的方程2290x ax -+=的两个实数根分别为αβ，，则22(1)(1)αβ-+-的最小值是_______________． 解：方程有实数根，故24490a ∆=-⨯≥∴3a -≤或3a ≥ 又29a αβαβ+==， ∴ 22(1)(1)y αβ=-+-2()2()22αβαβαβ=+-+-+24416a a =-- ∵ 3a -≤或3a ≥ ∴ 8y ≥（a ＝3时取等号）∴ min 8y =应用题：1. 已知函数24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程3xa +|1|1a =-+的根的范围．解：∵24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，所以2(4)4(230)0a a ∆=--+< 解得：－2.5＜a ＜3（1）当a ∈（－2.5，1]时，方程化为 x ＝（a ＋3）（2－a ） ＝－a 2－a ＋6∈（425,49]（2）当a ∈（1，3）时，方程化为x ＝（a ＋3）a ＝a 2＋3a ∈（4，18）综上所述：x ∈（49，18）2. 设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（a ＋k ）2x ＋（k 2＋3ak ＋b ）的图象与x 轴都交于点A （1，0）． （1）求a 、b 的值；（2） 若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB |的最大值．解：⑴a ＝1，b ＝1y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（k ＋1）2x ＋（k 2＋3k ＋1）⑵|AB |的最大值为2．3. 设实数a 、b 、c 满足a 2－bc －8a ＋7＝0 …………①b 2＋c 2＋bc －6a ＋6＝0 …………②求a 的取值范围．解：1≤a ≤94. 设二次函数2()f x ax bx c =++（a ＞0），方程()0f x x -=的两个根12x x ，满足1210x x a<<<． （1）．当x ∈（0，1x ）时，证明x ＜()f x ＜1x ； （2）．设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称，证明：102x x <． 解（2）．依题意知x 0＝－2b a．因为x 1，x 2是方程f （x ）－x ＝0的根，即x 1，x 2是方程ax 2＋（b －1）x ＋c ＝0的根，所以 x 1＋x 2＝－1b a-x 0＝－1212()11222a x x ax ax b a a a+-+-== 因为21ax <，所以0x <1122ax x a =． 5. 若关于x 的二次方程7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2＝0的两根αβ，满足 0＜α＜1＜β＜2求实数p 的取值范围．解：设f （x ）＝7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2根据题意得：(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即 2222028030p p p p p p ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩解得：p ∈（－2，－1）∪（3，4）．6. 已知二次函数y=x 2－（2m+4）x+m 2－4（x 为自变量）的图像与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO ，OB•满足3（•OB －AO ）=2AO ·OB ，直线y=kx+k 与这个二次函数图像的一个交点为P ，且锐角∠POB•的正切值4． （1）求m 的取值范围； （2）求这个二次函数的解析式； （3）确定直线y=kx+k 的解析式．解 （1）m 2－4<0， －2<m<2．（2）二次函数的解析式为y=x 2－2x －3．（3）由y=x 2－2x －3，得A （－1，0），B （3，0）．强化训练 一、填空题1．与抛物线y=2x 2－2x －4关于x 轴对称的图像表示的函数关系式是__y=－2x 2+2x+4_．2．已知二次函数y=（a －1）x 2+2ax+3a －2的图像最低点在x 轴上，那么a=__2__，此时函数的解析式为__y=x 2+4x+4 __．3．某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－14x 2，当涵洞水面宽AB 为12m 时，水面到桥拱顶点O•的距离为___9__m ．图1 图24．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （m ）与其距地面高度h （m ）之间的关系式为h=－112s 2+23s+32．如图2，已知球网AB 距原点5m ，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94m ，•设乙的起跳点C的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是____．5．若抛物线y=12x 2与直线y=x+m 只有一个公共点，则m 的值为__－12__．6．设抛物线y=x 2+（2a+1）x+2a+54的图像与x•轴只有一个交点，•则a 18+•323a －6•的值为__5796__．7．已知直线y=－2x+3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB•的面积等于___6___．8．（2008，安徽）图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像，在下列说法中：①ab<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y随着x•的增大而增大．正确的说法有___①②④____．（请写出所有正确说法的序号）图3 图4 图5二、选择题x2+3.5的一部分（图4），若命9．小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y=－15中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ B ）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m10．当m B ）A．0 B．5 C．．911．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示，则下列结论：①a>0，②c>0，•③b2－4ac>0，其中正确的个数是（ C ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ C ）A ．m>14B ．m>－14C ．m<14D ．m<－1413．根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数y 的对应值，•判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ C ）A ．6<x<6.17B ．6.17<x<6.18C ．6.18<x<6.19D ．6.19<x<6.20 14．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像的顶点在第一象限且经过点（0，1）和（•－1，0），则S=a+b+c 的值的变化范围是（A ） A ．0<S<2 B ．0<S<1 C ．1<S<2 D ．－1<S<115．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的最大值是零，那么代数式│a │+244ac b a的化简结果是（ B ）A ．aB ．－aC ．D ．016．（2006，甘肃兰州）已知y=2x 2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y•轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ B ） A ．y=2（x －2）2+2 B ．y=2（x+2）2－2 C ．y=2（x －2）2－2 D ．y=2（x+2）2+2 三、解答题17．（2006，吉林省）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，•两小孔形状，大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m ，顶点M 距水面6m （即MO=6m ），•小孔顶点N 距水面4.5m （即NC=4.5m ）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．设抛物线解析式为y=ax 2+6，依题意得，B （10，0）．∴a ×102+6=0，解得a=－0.06．即y=－0.06x 2+6， 当y=4.5时，－0.06x 2+6=4.5，解得x=±5， ∴DF=5，EF=10，即水面宽度为10m ．18．（2008，安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=－35x 2+3x+1的一部分，如图所示． （1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m ，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4m ，问这次表演是否成功？请说明理由．（1）y=－35x 2+3x+1=－35（x －52）2+194． ∵－35<0，∴函数的最大值是194．答：演员弹跳离地面的最大高度是194m ．（2）当x=4时，y=－35×42+3×4+1=3.4=BC ，所以这次表演成功．19．（2006，沈阳市）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）•之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元； 信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）•之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，•可获得3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元．•请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．解（1）当x=5时，y A=2，2=5k，k=0.4．∴y A=0.4x，当x=2时，y B=2.4；当x=4时，y B=3.2．∴2.442,3.2164.a ba b=+⎧⎨=+⎩解得0.2,1.6.ab=-⎧⎨=⎩∴y B=－0.2x2+1.6x．（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（10－x）万元，获得利润W万元，根据题意可得W=－0.2x2+1.6x+0.4（10－x）=－0.2x2+1.2x+4．∴W=－0.2（x－3）2+5.8．当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元．20．（2008，烟台）如图所示，抛物线L1：y=－x2－2x+3交x轴于A，B两点，交y•轴于M点．抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．（1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N•为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P•关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由．（1）令y=0时，得－x2－2x+3=0，∴x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），B（1，0）．∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2，∴C（－1，0），D（3，0）．∴抛物线L2为y=－（x+1）（x－3）．即y=－x2+2x+3．（2）存在．如图所示．Word 资料令x=0，得y=3，∴M （0，3）．∵抛物线L 2是L 1向右平移2个单位长度得到的， ∴点N （2，3）在L 2上，且MN=2，MN ∥AC ． 又∵AC=2，∴MN=AC ．∴四边形ACNM 为平行四边形．同理，L 1上的点N ′（－2，3）满足N ′M ∥AC ，N ′M=AC ， ∴四边形ACMN ′是平行四边形．∴N （2，3），N ′（－2，3）即为所求．（3）设P （x 1，y 1）是L 1上任意一点（y 1≠0）， 则点P 关于原点的对称点Q （－x 1，－y 1）， 且y 1=－x 12－2x 1+3， 将点Q 的横坐标代入L 2，得y Q =－x 12－2x 1+3=y 1≠－y 1． ∴点Q 不在抛物线L 2上．21．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，4），顶点在x 轴上，•且对称轴在y 轴的右侧．设直线y=x 与二次函数图像自左向右分别交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，•且OP ：PQ=1：3． （1）求二次函数的解析式； （2）求△PAQ 的面积；（3）在线段PQ 上是否存在一点D ，使△APD ≌△QPA ，若存在，求出点D 坐标，•若不存在，说明理由．（1）抛物线过（0，4）点．∴c=4，∴y=ax 2+bx+4又OP ：PQ=1：3， ∴x 1：x 2=1：4由24y x y ax bx =⎧⎨=++⎩得ax 2+（b －1）x+4=0， ∵x 1，x 2是该方程的两个根， ∴x 1+x 2=－1b a -，x 1·x 2=4a ． 消去x 1得25a=（b －1）2．∵抛物线的对称轴在y 轴右侧 ∴－2b a >0，∴ba<0，又抛物线的顶点在x 轴上， ∴b 2=16a 得a=1，b=－4（b=49舍去）． ∴y=x 2－4x+4．（2）如图所示 S △PAQ =S △AQO －S △APO =12×4×x 2－12×4×x 1=2（x 2－x 1）． （3）存在点D ，设D （m ，n ）易得P （1，1），Q （4，4）， 由△APD ∽△QPA 得PA 2=PQ ·PD ，运用勾股定理得│m －1│=53，得m=83或-23． ∵1<m<4， ∴D （83，83）．Word 资料22．（2005，武汉市）已知二次函数y=ax 2－ax+m 的图像交x 轴于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，x 1<x 2，交y 轴的负半轴于C 点，且AB=3，tan ∠BAC －tan ∠ABC=1． （1）求此二次函数的解析式；（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P ，使S △PAC =6？若存在，请你求出点P 的坐标；• 若不存在，请你说明理由．解 （1）∵AB=3，x 1<x 2，∵x 2－x 1=3．由根与系数的关系有x 1+x 2=1， ∴x 1=－1，x 2=2．∴OA=1，OB=2，x 1·x 2=ma=－2．∵tan ∠BAC －tan ∠ABC=1， ∴OC ：OA －OC ：OB =1， ∴OC=2 ∴m=－2，a=1． ∴此二次函数的解析式为y=x 2－x －2．（2）在第一象限，抛物线上存在一点P 使S △APC =6．解法一：过点P 作直线MN ∥AC 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，连接PA ，PC ，MC ，NA ，如图所示． ∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC =S △PAC =6． 由（1）有OA=1，OC=2 ∴12×AM ×2=12×CN ×1=6， ∴AM=6，CN=12．∴M （5，0），N （0，10）． ∴直线MN 的解析式为y=－2x+10．由2210,2.y x y x x =-+⎧⎨=--⎩ 得12123,4,4.18.x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍去）． ∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6． 解法二：设AP 与y 轴交于D （0，n ）（n>0）．∴直线AP 的解析式为y=nx+n ．22,.y x x y nx n ⎧=--⎨=+⎩ ∴x 2－（n+1）x －n －2=0， ∴x A +x P =n+1，∴x P =n+2． 又S △PAC =S △ADC +S △PDC =12CD ·AO+12CD ·x p =12CD （AO+x p ）．∴12（n+2）（1+n+2）=6，n 2+5n －6=0． ∴n=－6（舍去）或n=1．∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6．。
二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】(解析版)-2025年新高考数学一轮复习
二次函数与一元二次不等式【八大题型】【新高考专用】【题型1不含参一元二次不等式的解法】【题型2含参一元二次不等式的解法】【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【题型4其他不等式的解法】【题型5一元二次不等式根的分布问题】【题型6二次函数的单调性、最值问题】【题型7一元二次不等式恒成立问题】【题型8一元二次不等式有解问题】1、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2020年I 卷：第1题，5分2023年新高考I 卷：第1题，5分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2+bx+c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac<0；一元二次不等式ax2+bx+c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac≤0；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.【方法技巧与总结】1．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0Δ<0 ；2．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足a<0Δ≤0 ；3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0Δ<0 ；4．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足a>0Δ≤0 ．【题型1不含参一元二次不等式的解法】1(2023·广东珠海·模拟预测)不等式x2+x-6<0的解集是()A.-6,1B.-1,6C.-2,3D.-3,2【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【解答过程】由x2+x-6<0得x-2x+3<0，解得-3<x<2，故原不等式的解集为-3,2.故选：D.2(2024·天津·一模)设x∈R，则“x<0”是“x2-x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】解出不等式x 2-x >0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.【解答过程】由x 2-x >0，解得x >1或x <0，故“x <0”是“x 2-x >0”的充分不必要条件.故选：A .3(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x 2-1<3x +1 的解集是()A.x ∣x <4B.x ∣-4<x <1C.x ∣-1<x <4D.x ∣x <-1 或x >4【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.【解答过程】由不等式x 2-1<3x +1 可得x 2-3x -4<0，即x -4 x +1 <0，可得-1<x <4，因此不等式x 2-1<3x +1 的解集是x ∣-1<x <4 .故选：C .4(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p ：集合A =x x 2+x -2>0 ，命题q ：集合B =x x 2+2x -3>0 ，则p 是q 的( )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【解题思路】解出集合A 、B ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解答过程】∵A =x x 2+x -2>0 =x x +2 x -1 >0 =x x <-2或x >1 ，B =x x 2+2x -3>0 =x x +3 x -1 >0 =x x <-3或x >1 ，∴B 是A 的真子集，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B .【题型2含参一元二次不等式的解法】1(23-24高一上·海南海口·期中)若0<m <1，则不等式x -m x -1m<0的解集为()A.x 1m <x <mB.x x >1m 或x <mC.x x <1m或x >m D.x m <x <1m【解题思路】根据0<m <1得到1m >m ，从而写出x -m x -1m <0的解集.【解答过程】因为0<m <1，所以1m>m ，所以x -m x -1m <0的解集为x m <x <1m.故选：D .2(23-24高一上·山东·阶段练习)不等式ax 2-a +1 x +1≥0a <0 的解集为( ).A.x 1a ≤x ≤1B.x 1≤x ≤1aC.x x ≤1a 或x ≥1D.x x ≤1或x ≥1a【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.【解答过程】原不等式可化为ax -1 x -1 ≥0即a x -1a (x -1)≥0，而a <0，故1a<1，y =ax 2-(a +1)x +1图象开口向下，故原不等式的解集为x 1a≤x ≤1 .故选：A .3(23-24高一上·河南开封·期中)关于x 的不等式ax 2-a +1 x +1<0的解集不可能是()A.∅B.x x >1C.x 1 <x <1aD.x |x <1 或x >1a【解题思路】将原不等式化为ax -1 x -1 <0，再分类讨论a 的取值情况进行求解.【解答过程】由题意，原不等式可化为ax -1 x -1 <0当a =0时，原不等式为-x +1<0，解得x >1，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，0<1a <1，原不等式的解集为x 1a<x <1 ；当0<a <1时，1a >1，原不等式的解集为x 1<x <1a ；当a =1时，1a =1，原不等式的解集为∅；当a <0时，1a <1，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；综上，当a =0时，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，原不等式的解集为x 1a <x <1 ；当0<a <1时，原不等式的解集为x 1<x <1a；当a =1时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；故不可能的解集为x |x <1 或x >1a .故选：D .4(23-24高一上·浙江台州·期中)不等式ax 2+bx +c >0的解集为x -3<x <2 ，则下列选项正确的为()A.a +b +c <0B.9a +3b +c >0C.不等式cx 2+ax +b >0的解集为x -13<x <12D.不等式cx 2+bx +a >0的解集为x x >12 或x <-13 【解题思路】赋值法可解AB ，消去参数可解CD .【解答过程】记f x =ax 2+bx +c ，因为1∈x -3<x <2 所以f 1 =a +b +c >0，故A 错误；因为3∉x -3<x <2所以f 3 =9a +3b +c ≤0，故B 错误；由题知-3和2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根，所以-b a =-3+2=-1，ca=-3×2=-6且a <0解得b =a ,c =-6a故cx 2+ax +b =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，C 错误；cx 2+bx +a =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，D 正确；故选：D .【题型3由一元二次不等式的解确定参数】1(23-24高一下·云南·阶段练习)若关于x 的不等式x 2-m +1 x +m <0的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为()A.-3,-2 ∪4,5B.-2,-1 ∪4,5C.-3,1 ∪4,5D.-3,5【解题思路】分类讨论x 2-(m +1)x +m =0的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【解答过程】原不等式可化为(x -1)(x -m )<0，当m >1时，得1<x <m ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<m ≤5；当m <1时，得m <x <1，此时解集中的整数为-2，-1，0，则-3≤m <-2，综上所述，m 的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选：A .2(2024·广东·一模)已知a ,b ,c ∈R 且a ≠0，则“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【解答过程】由题意，二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ，则等价于a >0-b2a =1Δ=b 2-4ac =0 ，即a =c >0,b =-2a ，即a +b +c =0，当a +b +c =0时，不能推出a =c >0,b =-2a ，所以“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的充分不必要条件，故选：A .3(23-24高三上·云南德宏·期末)已知关于x 的不等式x 2-ax +b ≤0的解集为x 2≤x ≤3 ，则关于x 的不等式x 2-bx +a <0的解集为()A.x 2<x <3B.x 1<x <3C.x 2<x <5D.x 1<x <5【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出a 、b 的值，再解不等式.【解答过程】根据题意，方程x 2-ax +b =0的两根为2和3，则a =2+3=5,b =2×3=6，则x 2-bx +a <0为x 2-6x +5<0，其解集为x 1<x <5 .故选：D .4(23-24高一上·黑龙江大庆·期末)关于x 的不等式x 2-ax -6a <0的解集是{x |m <x <n }，且n -m ≤5，则实数a 的取值范围()A.-25,-24B.0，1C.-25,-24 ∪0，1D.-25,-24 ∪0，1【解题思路】先求出m =a -a 2+24a 2，n =a +a 2+24a2，再根据n -m ≤5，即可求出．【解答过程】关于x的不等式x2-ax-6a<0的解集是{x|m<x<n}，∴m,n是方程x2-ax-6a=0的两个根，∴Δ=a2+24a>0即a(a+24)>0，∴a<-24或a>0，∴m=a-a2+24a2，n=a+a2+24a2，∵n-m≤5，∴a+a2+24a2-a-a2+24a2≤5，即a2+24a-25≤0，即(a-1)(a+25)≤0，解得-25≤a≤1，综上所述-25≤a<-24，或0<a≤1，故选：D.【题型4其他不等式的解法】1(23-24高一上·湖南长沙·期末)解下列不等式：(1)2xx-1≥4；(2)2x-3+x-2≤3.【解题思路】(1)将分式不等式化为2x-2x-1≤0且x≠1，求出解集；(2)将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.【解答过程】(1)不等式2xx-1≥4，移项得2xx-1-4≥0，通分得4-2xx-1≥0，可转化为2x-2x-1≤0且x≠1，解得1<x≤2，不等式解集为x 1<x≤2.(2)令y=2x-3+ x-2=3x-5,x≥2,x-1,32<x<2,-3x+5,x≤32,当x≥2时，3x-5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；当32<x<2时，x-1≤3，解得x≤4，即x∈32,2；当x≤32时，-3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；综上所述：不等式解集为x 23≤x≤83.2(23-24高一上·江苏扬州·期中)求下列不等式的解集(1)3x-1x+1>4；(2)2x-3x+1<1(3)x+2<1【解题思路】(1)将原不等式3x-1x+1>4等价转换为x-13x+5>0，解一元二次不等式即可.(2)将原不等式2x-3x+1<1等价转换为x+1x-4<0，解一元二次不等式即可.(3)将原不等式x+2<1等价转换为x+1x+3<0，解一元二次不等式即可.【解答过程】(1)由题意3x -1 x +1 >4⇔3x 2+2x -1>4⇔3x 2+2x -5>0⇔x -1 3x +5 >0，解不等式得x <-53或x >1，从而不等式3x -1 x +1 >4的解集为-∞,-53∪1,+∞ .(2)由题意2x -3x +1<1⇔x -4x +1<0⇔x +1 x -4 <0，解不等式得-1<x <4，从而不等式2x -3x +1<1的解集为-1,4 .(3)由题意x +2 <1⇔x +2 2-12<0⇔x +1 x +3 <0，解不等式得-3<x <-1，从而不等式x +2 <1的解集为-3,-1 .3(22-23高一上·上海徐汇·阶段练习)解下列不等式：(1)5-x x 2-2x -3<-1；(2)(x -1)(x +2)2≥0.【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【解答过程】(1)5-x x 2-2x -3<-1⇔x 2-3x +2x 2-2x -3<0⇔(x +1)(x -1)(x -2)(x -3)<0，由数轴标根法得，解集为(-1,1)∪(2,3)；(2)(x -1)(x +2)2≥0⇔x -1≥0x +2≠0 或x +2=0，易得解集为{-2}∪[1,+∞).4(2023高一·上海·专题练习)解下列关于x 的不等式．(1)x +4 x +5 22-x 3<0；(2)x 2-4x +13x 2-7x +2<1．【解题思路】(1)由题意不等式等价于x ≠-5x +4 x -2 3>0，由零点标根法画图即可求解.(2)由题意不等式等价于(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，由零点标根法画图即可求解.【解答过程】(1)原不等式等价于x +4 x +5 2x -2 3>0，所以x ≠-5x +4 x -2 3>0，如图所示：解得x <-4或x >2且x ≠-5，所以原不等式解集为x |x <-5 或-5<x <-4或x >2 .(2)由x 2-4x +13x 2-7x +2<1得，-2x 2+3x -13x 2-7x +2<0，∴原不等式等价于2x -1 x -13x -1 x -2 >0，即(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，如图所示：解得x <13或12<x <1或x >2，所以原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．【题型5一元二次不等式根的分布问题】1(2024高三·全国·专题练习)关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，那么a 的取值范围是()A.-27<a <25B.a >25 C.a <-27D.-211<a <0【解题思路】说明a =0时，不合题意，从而将ax 2+a +2 x +9a =0化为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，结合其与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.【解答过程】当a =0时，ax 2+a +2 x +9a =0即为2x =0，不符合题意；故a ≠0，ax 2+a +2 x +9a =0即为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，由于关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，则y =ax 2+a +2 x +9a 与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故x =1时，y <0，即1+1+2a ×1+9<0，解得2a <-11，故-211<a <0，故选：D .2(23-24高三上·四川·阶段练习)若关于x 的方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()A.-65,-1 B.-65,1 C.-∞,-65 ∪-1,+∞D.-∞,-65∪1,+∞【解题思路】令g x =x 2-2ax +a +2，依题意可得Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，解得即可.【解答过程】令g x =x 2-2ax +a +2，因为方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，所以Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，即Δ=4a 2-4a +2 >0-2<a <14+4a +a +2>01-2a +a +2>0，解得-65<a <-1，所以a 的取值范围是-65,-1 ．故选：A ．3(23-24高一上·上海浦东新·期中)已知实数a <b ，关于x 的不等式x 2-a +b x +ab +1<0的解集为x 1,x 2 ，则实数a 、b 、x 1、x 2从小到大的排列是()A.a <x 1<x 2<bB.x 1<a <b <x 2C.a <x 1<b <x 2D.x 1<a <x 2<b【解题思路】由题可知x 1+x 2=a +b ，再利用中间量m ，根据x 1+x 2与x 1x 2之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、x 1、x 2之间的关系.【解答过程】由题可得：x 1+x 2=a +b ，x 1x 2=ab +1.由a <b ，x 1<x 2，设x 1=a +m ，则x 2=b -m .所以x 1x 2=(a +m )(b -m )=ab +m (b -a )-m 2=ab +1，所以m (b -a )-m 2=1，m =1+m 2b -a .又a <b ，所以b -a >0，所以m >0.故x 1>a ，x 2<b .又x 1<x 2，故a <x 1<x 2<b .故选：A .4(23-24高三·全国·阶段练习)方程x 2+(m -2)x +5-m =0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是()A.(-5,-4)B.-133,-2 C.-133,-4 D.(-5,-2)【解题思路】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质有f (2)>0，f (3)<0)，f (4)>0，求得m 的取值范围.【解答过程】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3，4)内，只需f (2)>0f (3)<0f (4)>0 ，即4+2(m -2)+5-m >09+3(m -2)+5-m <016+4(m -2)+5-m >0，解不等式组可得-133<m <-4，即m 的取值范围为-133,-4 ，故选：C .【题型6二次函数的单调性、最值问题】1(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，则实数m 的取值范围是()A.-∞,2B.2,+∞C.-∞,4D.4,+∞【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.【解答过程】因为函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，所以m 2≥2，解得m ≥4.故选：D .2(23-24高一上·湖北武汉·期中)已知函数f (x )=2x 2-kx -8在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是()A.k ≤-8B.k ≥4C.k ≤-8或k ≥4D.-8≤k ≤4【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.【解答过程】函数f (x )=2x 2-kx -8对称轴为x =k4，要使f (x )在区间[-2，1]上具有单调性，则k 4≤-2或k4≥1，∴k ≤-8或k ≥4综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4.故选：C .3(23-24高一上·江苏镇江·阶段练习)若函数y =x 2-2x -3的定义域为[-1,t ]，值域为[-4,0]则实数t 的取值范围为()A.1≤t ≤3B.1<t <3C.-1<t <3D.-1<t ≤3【解题思路】利用分类讨论-1<t ≤1与t >1，求解t 范围.【解答过程】由y =x 2-2x -3的定义域为-1，t ，对称轴为x =1,y =x 2-2x -3当-1<t ≤1时，y =x 2-2x -3在-1，t 单调递减，则y min =t 2-2t -3，y max =(-1)2-2×-1 -3=0，而函数的值域为-4,0 ，则t 2-2t -3=-4，解得t =1，故t =1，当t >1时，y =x 2-2x -3在-1，1 单调递减，在1，t 单调递增，则y min =12-2×1-3=-4，y =-1 2-2×-1 -3=0，y =t 2-2t +3，故-4≤t 2-2t -3≤0，解得-1≤t ≤3，故1<t ≤3，综上所述，t 的取值范围为1≤t ≤3，故选：A .4(2024高三·全国·专题练习)已知函数f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，若关于x 的不等式f x <c 的解集为m ,m +4 ，则实数c 的值为()A.9B.8C.6D.4【解题思路】先由f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，得到Δ=0，再由f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，得到f (x )-c =0的根为m ,m +4，从而利用韦达定理即可求解.【解答过程】因为f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 开口向上，最小值为0，∴Δ=a 2-4b =0,∴b =a 24，则f (x )=x 2+ax +a 24=x +a 22，∵f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，所以m ,m +4是f (x )-c =0的两个不等实根，即m ,m +4是x 2+ax +a 24-c =0的两个不等实根，所以m +m +4=-a ，则m =-a -42，∴c =f (m )=m +a 2 2=-a -42+a 22=4.故选：D .【题型7一元二次不等式恒成立问题】1(2023·福建厦门·二模)不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是()A.a >2B.a ≥1C.a >1D.0<a <12【解题思路】分a =0和a ≠0两种情况讨论求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a =0时，-2x +1>0，得x <12，与题意矛盾，当a ≠0时，则a >0Δ=4-4a <0 ，解得a >1，综上所述，a >1，所以不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.故选：A .2(2023·江西九江·模拟预测)无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，则k 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,-4C.-4,4D.-2,2【解题思路】由题知4k 2-16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，所以，4k 2-16<0，解得-2<k <2，所以，k 的取值范围是-2,2 故选：D .3(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是()A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(-∞,2).故选：C .4(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，则k 的取值范围是()A.-3,0B.-3,0C.-3,18D.-3,18【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f x =2kx 2-kx -38，则f x <0在-1,1 上恒成立，函数f x 的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f x 在-1,14 上单调递减，在14,1 上单调递增，则有f -1 =2k +k -38≤0f 1 =2k -k -38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f x 在-1,14 上单调递增，在14,1 上单调递减，则有f 14 =2k 16-k 4-38<0，解得-3<k <0.综上可知，k 的取值范围是-3,18.故选：D .【题型8一元二次不等式有解问题】1(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a ≥1B.a ≥4C.a ≥-2D.a ≤4【解题思路】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x ∈[1,2],x 2≤a ，则x 2 min ≤a ，即a ≥1，∴a 的取值范围1,+∞由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为1,+∞ 的真子集，结合选项可知B 对应的集合为4,+∞ 为1,+∞ 的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B .2(2023高三·全国·专题练习)若关于x 的不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，则实数m 的取值范围为()A.-3,+∞B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-3【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.【解答过程】易知Δ=m 2+16>0恒成立，即x 2+mx -4=0有两个不等实数根x 1,x 2，又x 1x 2=-4<0，即二次函数y =x 2+mx -4有两个异号零点，所以要满足不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，所以只需42+4m -4>0，解得m >-3，所以实数m 的取值范围是-3,+∞ ．故选A ．3(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,4C.-2,+∞D.4,+∞【解题思路】由题知x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈-1,1 ，a >x 20-3x 0”为真命题，所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，因为，y =x 2-3x =x -32 2-94，所以，当x ∈-1,1 时，y min =-2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min =-2，即实数a 的取值范围是-2,+∞ 故选：C .4(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是()A.-374,3B.-3,134C.-374,134D.-3,3【解题思路】化简不等式3-3x -a >x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0.当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，Δ=25+4a+12=0,a=-374.当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，解得x=12，不符合题意.当y=-3x+a过0,3时，a=3.结合图象可知a的取值范围是-37 4 ,3.故选：A.一、单选题1(2023·山东泰安·模拟预测)“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】化简“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.【解答过程】由∀x∈R,x2-cx+3≥0可得Δ=c2-4×3≤0，化简可得-23≤c≤23，所以“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”等价于“c∈-23,23”，“c∈-23,23”可推出“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”不能推出“c∈-23,23”所以“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的充分不必要条件，故选：A.2(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x-1x-2023≥0的解集为()A.{x∣x≥2023或x≥1}B.{x∣x≤1或x≥2023}C.x∣1≤x≤2023D.{x∣x<1或x>2023}【解题思路】解一元二次不等式即可得解.【解答过程】因为x-1x-2023≥0，所以x≥2023或x≤1，故不等式x -1 x -2023 ≥0的解集为{x ∣x ≤1或x ≥2023}.故选：B .3(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是()A.2≤k ≤18B.-18<k <-2C.2<k <18D.0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+k -6 x +2>0可化为-6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=k -6 2-4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C .4(2024·甘肃张掖·模拟预测)不等式x 2-3x <2-2x 的解集是()A.-1,12B.-12,12C.-1,5-172D.5-172,12【解题思路】按照x 2-3x 正负分类讨论取绝对值，运算得解.【解答过程】当x 2-3x ≥0，即x ≥3或x ≤0时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于x 2-3x <2-2x ，即x 2-x -2<0，解得-1<x <2，所以-1<x ≤0；当x 2-3x <0，即0<x <3时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于不等式3x -x 2<2-2x ，即x 2-5x +2>0，解得x >5+172或x <5-172，所以0<x <5-172.综上，不等式x 2-3x <2-2x 的解集是-1,5-172 .故选：C .5(2023·山东·模拟预测)若不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是()A.x =2B.x =4C.x =52D.x =32【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．【解答过程】解：∵不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，∴x =0和x =4是方程2x 2+bx +c =0的两个根，∴-b2=0+4，∴b =-8，∴函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是x =-b4=2．故选：A ．6(23-24高一上·四川成都·期中)一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，那么ax 2-bx +c >0的解集为()A.x x >3或x <-2B.x x >2或x <-3C.x -2<x <3D.x -3<x <2【解题思路】根据题意得出a 、b 、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解答过程】一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，所以ax 2+bx +c =0的解为x 1=-2,x 2=3，且a <0，由韦达定理得x 1+x 2=-ba =1x 1⋅x 2=c a =-6⇒b =-ac =-6a，代入得ax 2+ax -6a >0⇒x 2+x -6<0⇒-3<x <2，故选：D .7(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时，不等式：x 2-mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.-8,8B.-∞,8C.-∞,8D.8,+∞【解题思路】先由x 2-mx +16>0得m <x +16x ，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2-mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x ≥2x ×16x =8，当且仅当x =16x 即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C .8(2023·河南·模拟预测)某同学解关于x 的不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)时，因弄错了常数c 的符号，解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞)，则不等式bx 2+cx +a >0的解集为()A.-1,-15B.(-∞,-1)∪-15,+∞ C.15,1D.-∞,15∪(1,+∞)【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a ,b ,c 的关系式，进而求得不等式bx 2+cx +a >0的解集.【解答过程】由题意可知a <0，且-3+(-2)=-b a ,-3×(-2)=-c a，所以b =5a ,c =-6a ，所以bx 2+cx +a >0化为5x 2-6x +1<0，5x -1 x -1 <0，解得15<x <1.故选：C .二、多选题9(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x 2-5x +1>0的解集是x x >14或x <1 B.不等式2x 2-x -6≤0的解集是x x ≤-32或x ≥2 C.若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅D.若关于x 的不等式2x 2+px -3<0的解集是q ,1 ，则p +q 的值为-12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p ,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2-5x +1>0⇔x -1 4x -1 >0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2-x -6≤0⇔x -2 2x +3 ≤0⇔-32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2-84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q ,1是一元二次方程2x 2+px -3=0的两根，从而q ×1=-322+p -3=0，解得p =1,q =-32，而当p =1,q =-32时，一元二次不等式2x 2+x -3<0⇔x -1 2x +3 <0⇔-32<x <1满足题意，所以p +q 的值为-12，故D 正确.故选：CD .10(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x ，不等式a -1 x 2-2a -1 x -4<0恒成立，则实数a 可能是()A.-2B.0C.-4D.1【解题思路】首先当a =1，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；其次a ≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a -1<0Δ<0 ，解不等式组即可.【解答过程】当a =1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足a -1<0Δ<0 ，而Δ=4a -1 2+16a -1 =4a -1 a +3 ，所以解得-3<a <1；综上，实数a 的取值范围是-3,1 ；所以对比选项得，实数a 可能是-2，0，1.故选：ABD .11(23-24高二上·山东威海·期末)已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则下列选项中正确的是()A.a <0B.不等式bx +c >0的解集是x |x <-6C.a +b +c >0D.不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ 【解题思路】根据给定的解集，用a 表示出b ,c ，再逐项判断作答.【解答过程】不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则-2,3是方程ax 2+bx +c =0的根，且a >0，则-b a =1,ca=-6,a >0，即b =-a ,c =-6a ,a >0，A 错误；不等式bx +c >0化为-ax -6a >0，解得x <-6，即不等式bx +c >0的解集是x |x <-6 ，B 正确；a +b +c =-6a <0，C 错误；不等式cx 2-bx +a <0化为-6ax 2+ax +a <0，即6x 2-x -1>0，解得x <-13或x >12，所以不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ ，D 正确.故选：BD .三、填空题12(2023·江西鹰潭·模拟预测)若命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，则k 的取值范围是[1,7).【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，然后分为k =1,k =-1,k 2-1≠0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【解答过程】因为命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，所以命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，若k 2-1=0，即k =1或k =-1，当k =1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；当k =-1时，不等式为8x +3>0，不恒成立，不满足题意；当k 2-1≠0时，则需要满足k 2-1>0Δ=16(1-k )2-4×k 2-1 ×3<0 ，即(k -1)(k +1)>0(k -1)(k -7)<0，解得1<k <7，综上所述，k 的取值范围是[1,7).故答案为：[1,7).13(2023·河南·模拟预测)已知函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，则k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞.【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k 的取值范围.【解答过程】由题意，函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，y =kx -ky =x 2-1x，则x -1 x 2+1-k x +1 =0，若直线y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，只需满足方程x 2+1-k x +1=0有两个不等于1和0的解.因为该方程的两个解之积x 1x 2=1，故只需满足Δ=1-k 2-4>0，所以k <-1或k >3，即k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞ .故答案为：-∞,-1 ∪3,+∞ .14(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若关于x 的不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，则3a +b +2c 的取值范围是32,4．【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后3a +b +2c 都表示成a 的形式即可.【解答过程】因为不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，所以二次函数f x =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，且需满足f -1 =2f 3 =2f 1 ≥0，即a -b +c =29a +3b +c =2a +b +c ≥0，解得b =-2ac =-3a +2 ，所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，所以3a+b+2c=3a -2a-6a+4=4-5a∈32,4.故答案为：3 2 ,4.四、解答题15(23-24高一下·四川成都·开学考试)已知函数f x =x2-2ax+3．(1)若关于x的不等式f x ≥0的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f x <0．【解题思路】(1)由题意可知Δ≤0，进而求出实数a的取值范围；(2)根据Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答过程】(1)若不等式x2-2ax+3≥0的解集为R，则Δ=(-2a)2-12≤0，解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围[-3,3]；(2)不等式x2-2ax+3<0，①当Δ≤0时，即-3≤a≤3时，不等式的解集为∅，②当Δ>0时，即a<-3或a>3时，由x2-2ax+3=0，解得x=a-a2-3或x=a+a2-3，所以不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}，综上所述，当-3≤a≤3时，不等式的解集为∅；当a<-3或a>3时，不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}．16(2024·山东·二模)已知f x 是二次函数，且f1 =4,f0 =1,f3 =4．(1)求f x 的解析式；(2)若x∈-1,5，求函数f x 的最小值和最大值．【解题思路】(1)设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质，求得函数f x 的单调区间，进而求得其最值.【解答过程】(1)解：设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，因为f1 =4,f0 =1,f3 =4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=-1,b=4,c=1，所以函数f x 的解析式f x =-x2+4x+1．(2)解：函数f x =-x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，即函数f x =-x2+4x+1在-1,2单调递增，在2,5单调递减，所以f(x)min=f-1=f5 =-4，f(x)max=f2 =5．17(23-24高二上·江苏南通·期中)设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅.(1)求m的取值范围；(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.【解题思路】(1)由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；(2)转化条件为mx-2x+1≥0，按照m=0、0<m≤2、-1≤m<0讨论，运算即可得解.【解答过程】(1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅，。
二次函数与一元二次不等式的关系
二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不等式是一元二次函数的不同形式，其中函数值是一个不等式，而不是一个等式。
研究一元二次不等式可以深入了解函数的特性，以及不等式的表示。
下面就介绍一元二次函数与一元二次不等式的关系。
一、一元二次函数的定义一元二次函数是两个参数的函数，函数的形式为 f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，x是变量。
如果a≠0，则称f (x) 为一元二次函数；如果a=0，则称f (x) 为一元一次函数。
求一元二次函数的根，可以利用二次公式已知一元二次函数的系数a、b、c，可以求出该函数的根。
二、一元二次不等式的定义一元二次不等式也是一种不等式，不过它的右边指示符是一个不等式而不是等式，其形式为f(x)≠ax²+bx+c，其中的a、b、c也是一元二次函数的系数，x是变量。
三、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系1、求解一元二次不等式的方法和求解一元二次函数的方法有很大不同，但它们都可以用二次公式来求解，可以解出满足一元二次不等式的x 的值。
2、还有一种重要的解法是利用分类讨论法，根据a、b、c的系数分情况讨论，最后得到一元二次不等式的根。
3、一元二次函数和一元二次不等式都可以画出函数图像，数学解法的求解有些相似，但通过函数图像可以直观的看出满足一元二次不等式的解的区间。
四、总结从以上分析可知，以上是一元二次函数与一元二次不等式的关系。
一元二次函数和一元二次不等式都可以用二次公式结合分类讨论法来求解，也可以画出函数图像进行可视化。
另外，一元二次不等式的求解还可以使用区间法，不过有些和一元二次函数的求解有所不同。
二次函数与一元二次不等式的关系
二次函数与一元二次不等式的关系二次函数和一元二次不等式都是数学中重要的概念。
它们在实际问题的建模和解决中经常被使用，并且彼此之间有着密切的联系。
本文将探讨二次函数与一元二次不等式之间的关系，并探讨如何使用二次函数的性质来解决一元二次不等式。
1. 二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数的图像为抛物线，开口的方向由a的正负确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数还具有对称轴、顶点、零点等重要的性质。
2. 一元二次不等式的定义和解法一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或 < 0、≥ 0、≤ 0）的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解一元二次不等式的关键是确定不等式的解集，即使不等式成立的x的取值范围。
3. 二次函数与一元二次不等式的关系二次函数和一元二次不等式之间存在密切的联系。
当二次函数的值大于0时，即f(x) > 0时，对应的区间可以表示为一元二次不等式的解集。
同样地，当二次函数的值小于0时，即f(x) < 0时，对应的区间也可以表示为一元二次不等式的解集。
4. 利用二次函数的性质解一元二次不等式利用二次函数的性质可以更方便地解一元二次不等式。
首先，找到二次函数的顶点，顶点的纵坐标即为二次函数的最值。
当一元二次不等式是大于或小于的形式时，可以通过比较函数值与最值的关系来确定解集。
当一元二次不等式是大于等于或小于等于的形式时，需要考虑函数值等于最值的情况。
5. 实际问题的应用二次函数与一元二次不等式的关系在实际问题的建模和解决中应用广泛。
例如，求解一个区间内的一元二次不等式可以通过对应的二次函数图像的查看得到。
又如，在优化问题中，构建二次函数模型后可以通过一元二次不等式的解集来确定最优解的取值范围。
总结：二次函数与一元二次不等式之间存在紧密的关系，二次函数可以通过其性质帮助我们解决一元二次不等式。
专题3 二次函数与一元二次方程不等式
专题3 二次函数与一元二次方程不等式知识点一 一元二次不等式的概念解析只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式.ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0，ax 2＋bx ＋c ≥0，ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a ≠0，a ，b ，c 均为常数. 思考 a 2b ＋2ab 2＋8>0(ab ≠0)可看作一元二次不等式吗？可以，把b 看作常数，则是关于a 的一元二次不等式；把a 看作常数，则是关于b 的一元二次不等式． 知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数根20ax bx c ++>意味着c bx ax y ++=中0>y 部分，0<++c bx ax 意味着c bx ax y ++=中0<y 部分 ，0))((212=--=++x x x x a c bx ax ，求出两个根1x ，2x ；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然．【例1】解关于x 的不等式 0322>+--x x ． 【例2】解关于x 的不等式1112≥+-x x ． 【例3】已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集为1|{<x x 或}b x >． （1）求a ，b ；（2）解关于x 的不等式)(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-．知识点三 一元二次不等式与韦达定理①已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m （其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)1,1(mn ，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)1,1(mn ．②已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m ，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为),1[]1,(+∞-∞mn 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为),1[]1,(+∞-∞mn ．③已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m （其中0>>n m ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)1,1(nm --即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)1,1(n m --．④已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m ，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为),1[]1,(+∞---∞nm 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为),1[]1,(+∞---∞nm ， 以此类推．【例4】不等式02>++c bx ax 的解集为}42|{<<x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）A ．41|{<x x 或}21>xB ．}41|{<x xC ．}21|{>x xD ．}4121|{<<x x知识点四 二次项系数含参的一元二次不等式问题 （1）分析当0=a 时的情况．（2）十字相乘得到))((21x x x x a --，求出两个根1x ，2x ，若不能十字相乘，则要讨论∆的情况． （3）比较两个根的大小，21x x =；21x x >；21x x <，并分别进行讨论． （4）其中一种情况涉及到0>a 以及0<a ，再分开口方向讨论． 【例5】解关于x 的不等式：)(222R a ax x ax ∈-≥-．知识点五 乘除的等价原理和穿根法（1）若0)()(<x g x f ，则)(x f 与)(x g 异号，0)()(<∴x g x f ．（2）若0)()(≤x g x f ，则()()f x g x 与异号，0)()(≤∴x g x f ，且0)(≠x g ． （3）若0)()(>x g x f ，则()()f x g x 与同号，0)()(>∴x g x f ．（4）若0)()(≥x g x f ，则()()f x g x 与同号，0)()(≥∴x g x f ，且0)(≠x g ．数轴穿根法0))...()(()(21>---=n x x x x x x x f 或者0))...()(()(21<---=n x x x x x x x f口诀：移项调号，分解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号． 【例6】解关于x 的不等式：02<--ax ax （R a ∈）． 【例7】解关于x 的不等式：a x x-<-11． 【例8】解关于x 的不等式：)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x ax ，且知识点六 对勾函数解决恒成立和实根分布问题对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如bx ax x f +=)( 当b a ,同为正数时，b x ax x f +=)(的图象是由直线ax y =与双曲线bxy =构成，形状酷似双勾．故称“对勾函数”，也称“耐克函数”．耐克函数的顶点：)2,(ab a b 和)2,(ab a b--【例9】已知函数01)(2≥+-=ax x x f 对于一切]21,0(∈x 成立，求a 的取值范围．【例10】方程042=+-ax x 在区间]1,0[内有解 ，求a 的取值范围．知识点七 二次函数轴动区间定和轴定区间动口诀：轴在区间内，顶点定；轴在区间外，单调定．【例11】若函数728)(2--=kx x x f 在]51[，上为单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．]8(，-∞B ．），∞+40[C ．)40[]8(∞+-∞，，D ．]408[，【例12】已知函数542+-=x x y 在闭区间]0[m ，上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是（ ） A ．]10[，B ．]21[，C ．]20[，D ．]42[，【例13】若函数9)(2+-=tx x x f ，若对任意]51[，∈x 不等式0)(≥x f 恒成立，则实数t 的最大值为 ． 归纳总结：在关于二次函数轴动区间定的题型时，若只考查单调性，显然直接法更简单，遇到恒成立或者零点分布类型题目时，显然参变分离更简单．轴定区间动显然还是直接讨论并卡根更加直截了当．关于零点分布，进行区间端点和对称轴一起来“卡根”，端点值往往形成一种“定海神针”感觉，接下来我们通过题目分析这类方法．【例14】（2022•长沙月考）设函数1)(2++=ax x x f ．（1）已知函数)(log )(2x f x g =的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）已知方程0)(=x f 有两个实数根1x ，2x ，且1x ，)20(2，∈x ，求实数a 的取值范围． 归纳总结 此题明显参变分离解题更为简单，下面我们将系统分析参变分离和定海神针方法各自的适用范围．【例15】（2022•湖北月考）已知函数2()1f x ax x a =+++． （1）若函数x x f y +=)(有唯一的零点，求a 的值；（2）设0>a ，若对任意的]21[，∈x ，不等式)(2x f x ≤恒成立，求a 的取值范围．知识点八 二次函数零点分布之两零点分布在同一区间型二次函数的两个零点位于同一区间或者在某个区间存在零点时，参变分离转化为区间的值域或者交点问题，显然事半功倍．【例16】（2022•安徽月考）已知2()234f x x mx m =+++． （1）若1m =-且]30[，∈x ，求()f x 的单调区间； （2）当m 为何值时，()f x 有2个零点，且均比1-大．【例17】（2022•襄阳月考）若关于x 的一元二次方程2(3)10mx m x +-+=至少有一个正根，求m 的取值范围．知识点九 二次函数单零点分布之卡根法第一类 恒成立（能成立）的异号类二次函数开口方向和不等号方向反向，即)0(02><++a c bx ax 恒成立，或者)0(02<>++a c bx ax 恒成立．【例18】不等式22(2)0x a x a --+<对任意(15)x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5a >B ．5≥aC ．55a -<<D ．55≤≤-a第二类 零点问题的分散或者范围内单个零点如果两个零点在不同区间或者某个区间只有一个零点时，端点值的正负号将决定参数的取值范围． 【例19】若方程02)11(52=-+-+a x a x 的一个根在)10(，内，另一个根在)21(，内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)234(，B ．)2(∞+，C ．)434(，D ．)42(，【例20】已知关于x 的方程025222=---k x kx 的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是 ．第三类 综合问题的处理策略在轴动区间定的情况下，若参变分离出现正负号不确定时也需要分类讨论，不等号方向涉及改变，此时只需分两类，而常规的定海神针卡根法需要分三类．【例21】已知函数a ax x x f -++=3)(2，若]22[，-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．【例22】（2007•广东）已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2，如果函数)(x f y =在区间]11[，-上有零 点，求a 的取值范围．1.（2015•广东）不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）2.（2015•上海）函数224y x x =-+，[0x ∈，2]的值域为 [3，4] ．3.（2017•北京）已知0x ，0y ，且1x y +=，则22x y +的取值范围是 1[2，1] ．4.（2022•雨花区开学）一条抛物线2y ax bx c =++的顶点为(4,11)-，且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的( ) A ．只有aB ．只有bC ．只有cD ．只有a 和b5.（2015•四川）如果函数21()(2)(8)1(02f x m x n x m =-+-+，0)n 在区间1[,2]2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16B ．18C ．25D ．8126.（2022•龙凤区期末）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0，)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为( ) A ．6B ．7C ．9D ．107．（2022•浙江开学）已知实数m ，n ，函数2()f x x mx n =++，满足f （2）f ⋅（3）0，则22m mn +的最大值为( ) A ．163B ．815C ．813D ．1658．（2022•连云区开学）若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是( )A ．30k -<<B ．30k -C ．30k -<D ．3k <-或0k9.（2022•榆林期末）若关于x 的不等式220ax x -+>的解集为{|2}x x b -<<，则函数()2f x bx =+在区间[0，9]上的最小值为( ) A ．1-B ．0C ．2D ．310.（2022•双鸭山期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,4)-，则不等式20cx bx a -+<的解集是( )A ．1{|2x x <-或1}4x >B ．{11|}42x x -<<C ．1{|4x x <-或1}2x >D ．11{|}24x x -<<11.（2022•兴化市模拟）若正实数a ，b 满足1a b +=，则函数2()(31)36f x abx b x ab =++-的零点的最大值为( )A B C ．2D ．312.下列结论错误的是( )A ．若函数2(0)y ax bx c a =++≠对应的方程没有根，则不等式20ax bx c ++>的解集为RB ．不等式20(0)ax bx c a ++≠在R 上恒成立的条件是0a <且△240b ac =-C ．若关于x 的不等式210ax x +-的解集为R ，则14a -D ．不等式11x>的解为1x < 13.（2022•义乌期末）已知二次函数2()f x ax bx c =++，若360a b c ++=，(0)0f <，f （1）0<，则()0f x =的根的分布情况可能为( )A ．()0f x =可能无解B ．()0f x =有两相等解0x ，且0(0,1)x ∈C ．()0f x =有两个不同解1x ，2(0,1)x ∈D ．()0f x =有两个都不在(0,1)内的不同解1x ，2x14.（2022•雨花区开学）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示，顶点坐标为(2,9)a --，下列结论：①0abc >；②420a b c ++<；③90a b c -+=；④若方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ，且12x x <，则1251x x -<<<；⑤若方程2||1ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为8-，其中正确的结论有 个．15.（2022•长沙月考）已知不等式04211<⋅+-+x x a 对一切)1[∞+∈，x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．16.（2022•嘉兴期末）已知函数2)(2++=ax x x f ．（1）当3=a 时，解不等式0)(<x f ；（2）当]21[，∈x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 17.（2022•定州期中）已知函数2()24()f x x mx m m R =-+-∈． （1）当1m =时，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）当2x >时，不等式1)(-≥x f 恒成立，求m 的取值范围．18（2022•佛山期末）设二次函数为mxx x f +=2)(．（1）若对任意实数]10[，∈m ，0)(>x f 恒成立，求实数x 的取值范围； （2）若存在]43[0，-∈x ，使得4)(0-≤x f 成立，求实数m 的取值范围． 19.若函数2()4f x x kx =-+在区间)61(，内有零点，求k 的取值范围．20.（2007•湖北）设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两根1x 和2x 满足1021<<<x x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）试比较)0()1()0(f f f -⋅与151的大小，并说明理由． 21.（2022•南京模拟）已知函数2()22f x x ax =++． （1）当1a =时，求函数()f x 在23x -<上的取值范围； （2）当1a =-时，求函数()f x 在1t x t +上的最大值． 22．（2022•北京期末）已知函数2()3f x x ax a =--+．（Ⅰ）设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，若1x ，2x 同号，且12x x ≠，求a 的取值范围； （Ⅱ）()f x 在区间[1，)+∞上的最小值为3，求a 的值．。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
解一般的一元二次不等式？
新课讲授
△>0
y=ax2+bx+c(a>0) 的
图象
ax2+bx+c=0(a>0) 的
根
ax2+bx+c>0(a>0) 解
集
ax2+bx+c<0(a>0) 解
集
△=0
△<0
新课讲授
△=0
△>0
y
y
y=ax2+bx+c(a>0)的
图象
x1 O
△<0
y
x2 x
x
O x1
ax2+bx+c=0(a>0)的
结合函数图像，知原不等式解集为{x|x≠3}.
y
O
3
x
课堂练习
1 2
3
求不等式 - 2 x x 2 0 的解集.
1 2
3
解：不等式 - x x 0 可变形为
2
2
x 2x 3 0
2
∵△=-8<0,
∴方程无实数根.
画出函数y=x2-2x+3图像，其开口向上,与x轴无交点.
2
结合图象得不等式− + 2 − 3 > 0的解集为∅.
因此，原不等式的解集为∅.
课堂练习
求不等式2x2-12x+18>0的解集.
解：对于方程2x2-12x+18=0,可化为x2-6x+9=0
∵△=0,
∴方程有两个相等实数根，为：x1=x2=3.
画出函数y=x2-6x+9图像，其开口向上，零点为3.
二次函数与一元二次方程不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次〞即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次〞问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表答复以下问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c〔a>0〕的图象一元二次方程ax2+bx+c=0 〔a>0〕的根有两相异实根x1，x2〔x1<x2〕有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0 〔a>0〕的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0 〔a>0〕的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0〔a>0〕的求解的算法。
《二次函数与一元二次方程、不等式》知识点
二次函数与一元二次方程、不等式
1．一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或2
0(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，
相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数 c
bx ax y ++=2（0>a ）的图象
20
(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实根
)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集
)0(0
2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集
)0(0
2><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅。